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Resistência dos Materiais
Eng. Mecânica, ProduçãoUNIME – 2016.1
Prof. CoreyLauro de Freitas, Março, 2016.
3 Torção 2da. Parte
Prof. Corey
Ângulo de Torção no Regime Elástico• Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação
de cisalhamento máxima estão relacionados,
γmax=cφL
• No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela Lei de Hooke,
γmax=τmax
G=
TcJG
• Igualando as expressões para a tensão de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção
φ=TLJG
• Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada componente. φ=∑
i
T i Li
J iGi
Prof. Corey
• Dadas as dimensões do eixo e o torque aplicado, encontrar as reações aplicadas no eixo devido aos apoios A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
• A partir de uma análise de corpo livre do eixo,
que não é suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema é estaticamente indeterminado.
T A+T B=120 N.m
T A+L1 J2
L2 J1
T A= 120 N .m
• Substitua na equação de equilíbrio original,
φ=φ1+φ2=T AL1
J 1G−T BL2
J 2G=0 T B=
L1J 2
L2J 1
T A
• Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformações compatíveis.
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Problema Resolvido 3.4
Dois eixos cheios de aço estão ligados por engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa, determine (a) o maior torque T0 que pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira.
SOLUÇÃO:
• Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .
• Encontrar o ângulo de torção correspondente para cada eixo e da rotação angular da extremidade final A.
• Encontre o torque máximo permitido em cada eixo, escolha o menor.
• Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens.
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Problema resolvido 3.4
• Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens.
rBφB=rC φC
φB=rCrB
φC=62 mm22 mm
φC
φB=2, 82 φC
∑M B=0=F (22 mm )−T0
∑MC=0=F (62 mm )−T CD
TCD=2,8 T 0
SOLUÇÃO:
• Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .
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3 - 7
• Encontrar T0 para o torque máximo permitido para cada eixo, escolher o menor.
• Encontrar o ângulo correspondente de torção para cada eixo e o ângulo de rotação da extremidade A.
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Projeto de eixos de transmissão
• As principais especificações no projeto de eixos de transmissão são: potência
Velocidade de rotação
• Para determinar o torque aplicado ao eixo numa determinada potência e velocidade,
P=Tω=2π fT
T=Pω
=P2πf
• Para encontrar a seção transversal a qual não excederá a tensão maxima cisalhante disponível,
τmax=TcJ
Jc
=π2c3=
Tτmax
(eixos solidos )
Jc2
=π2c2
(c24−c1
4)=Tτmax
(eixos vazados )
• O projetista deve selecionar o material e as dimenssões da seção transversal para reunir as especificações sem exceder a tensão máxima admissivel.
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Concentrações de tensões em eixos circulares
3 - 9
• A derivação da fórmula de torção,
assumindo um eixo circular com seção transversal uniforme carregado nas extremidades através de placas rígidas.
τmax=TcJ
τmax=KTcJ
• É aplicado como:
Fig. 3.28 Coeficientes de concentração de tensão.
Fig. 3.26 Acopla-mento de eixos usando: (a) com flange, (b) chavetas.
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• Problema Resolvido 3.6
Deformações plásticas em eixos circulares
3 - 11
• Assumindo um material linearmente elástico,
τmax=TcJ
T=∫0
c
ρτ (2πρ dρ )=2π∫0
c
ρ2 τ dρ
• A integral dos momentos a partir da distribuição interna de tensões:
Fig. 3.29 Distribuição da tensão de cisalhamento para a torção de um eixo circular.
Fig. 3.30 Relação não-linear, tensão em função da deformação.
Fig. 3.31 Distribuição de tensões.
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Eixos circulares de material elastoplástico
3 - 12
• No torque elástico máximo,
TY=JcτY=
12πc3 τY φY=
LγYc
• A medida que o torque aumenta, uma região plástica( ) se desenvolve no núcleo elástico ( )τ=τY τ=
ρρY
τY
T=23πc3τY (1− 1
4
ρY3
c3 )= 43T Y (1−
14
ρY3
c3 )T=
43T Y (1− 1
4
φY3
φ3 )
ρY=LγYφ
• Como , o torque atinge o valor limite,ρY →0
T P=4
3T Y= torque plástico
• Válido para um eixo de material elastoplástico.Fig. 3.34
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Tensão Residual em eixos circulares
3 - 13
• Quando o torque é removido, a redução de tensão e deformação no ponto considerado ocorrera ao longo de uma linha reta com uma tensão residual não-zero.
• Tensão residual achada a partir do princípio de superposição ∫ ρ ( τ dA )=0τ m
' =TcJ
• A região plástica se desenvolve em um eixo quando submetido a um momento torçor alto.
Na curva T- , o eixo se descarrega ao longo de uma linha reta maior que zero.Fig. 3.37
Fig. 3.38 Fig. 3.39
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Aplicação de Conceito
3 - 14
Determinar: (a) radio do núcleo elástico, (b) o ângulo de torção do eixo. Quando o torque é removido determinar (c) a torção permanente (d) a distribuição de tensões residuais
τY=150 MPa
GPa77G
mkN6.4 T
SOLUÇÂO:
• Solve Eq. (3.29) for Y/c and evaluate the elastic core radius
• Find the residual stress distribution by a superposition of the stress due to twisting and untwisting the shaft
• Evaluate Eq. (3.16) for the angle which the shaft untwists when the torque is removed. The permanent twist is the difference between the angles of twist and untwist
• Solve Eq. (3.15) for the angle of twistFig. 3.36 Eixo circular cheio.
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SOLUÇÂO:• Resolver para Y/c e evaluar o
raio do núcleo elástico
T=43T Y (1− 1
4
ρY3
c3 ) ⇒ρYc
=(4−3TT Y
)1
3
J=12πc4=
12π ( 25×10−3m )
=614×10−9m4
τY=T Y c
J⇒ T Y=
τY J
c
TY=(150×106 Pa ) ( 614×10−9m4 )
25×10−3m=3 .68 kN⋅m
ρYc
=(4−34 .6
3 .68 )1
3=0.630mm8.15Y
• Para o ângulo de torção
φφY
=ρYc
⇒ φ=φY
ρY /c
φY=TY L
JG=
(3 . 68×103 N⋅m ) (1 . 2 m )
(614×10 -9m4) (77×10 Pa )
φY=93 . 4×10−3 rad
φ=93 .4×10−3 rad0 . 630
=148 . 3×10−3 rad=8 .50o
φ=8 .50o
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• Evaluar o ângulo para o qual o eixo se untwists quando o torque é removido. A torção permanente é a diferença entre os ângulo de twist and untwist
φ'=TLJG
=( 4 .6×103 N⋅m ) (1 . 2 m )
( 6 .14×10−9 m4 ) (77×109 Pa )=116 .8×10−3 rad=6 .69 °φ p=φ−φ '
=8. 50 °−6 . 69 °=1 . 81o
φ p=1.81o
τmax'
=TcJ
=(4 .6×103 N⋅m ) (25×10−3m )
614×10-9m4
=187 . 3 MPa
Fig. 3.40 Superposição da distribuição de tensão para obter a tensão residual.
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Torção de elementos se seção não circular
3 - 17
• Planar cross-sections of noncircular shafts do not remain planar and stress and strain distribution do not vary linearly
• Previous torsion formulas are valid for axisymmetric or circular shafts
τmax=T
c1ab2
φ=TL
c2ab3G
• For uniform rectangular cross-sections,
• At large values of a/b, the maximum shear stress and angle of twist for other open sections are the same as a rectangular bar.
Fig. 3.41 Twisting of shaft with square cross section.
Fig. 3.44 Shaft with rectangular cross section, showing the location of maximum shearing stress.
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Eixos vazados de paredes finas
3 - 18
• Summing forces in the x-direction on AB,
shear stress varies inversely with thickness
∑ F x=0=τ A (t A Δx )−τB ( t B Δx )τ A t A=τB t B=τt=q=shear flow
φ=TL
4 A2G∮
dst
• Angle of twist (from Chapter 11)
dM 0=p dF=pτ (t ds )=q ( pds )=2q dAT=∮ dM 0=∮2q dA=2qA
τ=T2 tA
• Compute the shaft torque from the integral of the moments due to shear stress
Fig. 3.47 Thin-walled hollow shaft subject to torsional loading.
Fig. 3.51 Shear flow in the member wall.
Fig. 3.53 Area for shear flow.
Fig. 3.48 Segment of thin-walled hollow shaft.
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Aplicação de conceito
3 - 19
Um tubo de aluminio com uma seção transversal retangular submetida a um torque de 24 kip-in. Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes com (a) uma espessura de 0.160 in. e (b) 0.120 in. sobre AB e CD, e 0.200 in. sobre CD e BD.
Fig. 3.54
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3 - 20
• Encontrar as tensões de cisalhamento.
Com uma espessura uniforme,
τ=T
2tA=
24kip−in .
2(0 . 160 in .)(8 . 986in .2)=8.35ksi
τ=8 .35 ksiCom uma espessura variável
τ AB=τ AC=1 .335 kip / in .
0 . 120 in .
τ BD=τCD=1 . 335 kip / in .
0 . 200 in .
τ AB=τBC=11.13 ksi
τ BC=τCD=6 . 68 ksi
SOLUÇÂO:
• Determinar as tensões.
A=(3 .84 in . ) (2. 34 in. )=8 .986 in .2
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