relationen zwischen mengen a b. operationen von mengen ababab m a

Relationen zwischen Mengen

A B

Operationen von Mengen

A B A B

A BM

A

Produktmengen

0 1 2

2

x

y

Funktionsbegriff

A B

f

Funktionsbegriff

A B

f

A B

f

Pascalsches Dreieck

1 2

Horner-Schema

x = 3

3

3•

-1 2 1

9=

+

8

24

+

26

78

+

79 = f(3)

Horner-Schema

x

an

•

an-1 an-2 a1

an•x=

+ +

… = f(n)an an•x+an-1

(an•x+an-1)•x

… a0

Komplexe Zahlen

reelle Achse

imaginäre Achse

0 1

j

bjb>0

Komplexe Zahlen

1 5

j

3j

a

bja+jb

Komplexe Zahlen

a

bjz=a+jb

|z|

konjugiert komplex

z

z

Spiegelungan x-Achse

Addition

z1

z2z2

z=z1+z2

Re

j•Im

z1 wird um z2 nachoben verschoben

Scheinleitwert

R1

R2

L1

L2

C

Y

Z

Polarkoordinaten

a

bz=a+jb

r = |z|

φ

Im

Re

Multiplikation

r = r 1

• r2

φ=φ1+φ2

Im

Re

r2

r1

φ1

φ2

Wechselstrom

reeller Vorgangin Technik

Übertragungins Komplexe

Rechnen imKomplexen

komplexesErgebnis

bilden desRealteils

reellesRechenergebnis

Reihenschaltung

R L C

monoton wachsend

0 1

Horner-Schema

x0

an

•

an-1 an-2 a1

cn-1x0=

+ +

…cn-1 cn-2

… a0

cn-2x0

cn-3 c0 0

+

c1x0

+

c0x0

arcsin

x

y = sin x

π2

π2 x = arcsin y

y

π2

π2

x

y = arcsin x

π2

π2-1

1

-1

1

-1

1

arccos

x

y = cos x

π2

-1

1

x

y = arccos x

π2

-1

1

π

π

arctan

x

y = tan x

π2

π2

x

y = arctan x

π2

π2Asymptote

arccot

x

y = cot x

π2

x

y = arccot x

π2

Asymptote

π

π

Exponentialfunktion

x

y = ax

1

a > 1

x

y = ax

1

0 < a < 1

Logarithmus

x

y = ex

1 x

y = ln x

1

hyperbolius

x

y

1

x

y

1coshx

sinhx

-1

tanhx

cothx

Geometrische Interpretation

x1

x2

x1

x2

x n=2

P

Rechtssysteme

e3

e2

e1

Skalarprodukt

u

v

uv

x1

x2

Skalarprodukt

u

v

cosu

φ

u

v

v

φ

uv

0 0

Skalarprodukt

3ee

2e

x

y

z

α β

γ

1e

Vektorprodukt

ba

b

a

Physik

r

F

e

A

P

starrer Körper

IB

Spatprodukt

c

b

a

Anwendungen

c

b

a

c

b

a

Parmeterform

G

S

r

0r x

y

Parameterfreie Form

r nr

G x

y

φ

n

Lot

1* rr *r

S

0 1r0r P

parallel und windschief

1S

c

2r

y

x

z

0

2S

1r

G2

G1

Ebene

n0

r

φ

Lot auf Ebene

1r

0

*r

Lot auf Ebene

1r

0

n

Multiplikation

87

105

16

942

031

756

BA

Falksches Schema

Unterräume

R2

Unterräume

a1

span{a1}

a1

span{a1,a2}

a2dim = 1

a1

span{a1,a2}=R2

a2

Mannigfaltigkeit

U

r0

M

symmetrische Matrizen

653

542

321

A

Quadriken im R2

x

y

x

y

x

y

Quadriken im R2

x

y

x

y

x

y

Quadriken im R3

zx

yx

y

z

x

y

z

Quadriken im R3

x

y

z

c

yx

z

y

x

z

Quadriken im R3

x y

z

y

z

x x

y

z

Quadriken im R3

xy

z

ba

c

x y

z

c

Quadriken im R3

xy

z

a bx

y

z

ab

c

Grenzwert

a1 a3 a2

a - ε a + ε

Im Reellen

ε

a

a2

a3

a1

unendlich vieleWerte innerhalb

Im Komplexen

einseitiger Grenzwert

xcosxsinx

xtan

P

P1

Q10

1

rechtsseitige Polstelle

stetige Funktion

x0 - δ x0 + δx0

f(x) - ε

f(x) + ε

f(x)

Unstetige Funktionen

1 1

-1

1 2

12

Klassifikation von Unstetigkeitsstellen

x0 x0 a bx

y

Das Differential

x x+dx

f(x)

f(x+dx)

dyΔy

Umkehrfunktionen

xfy

x

y

yfx 1

von Rolle

a b

Mittelwertsatz

Parallel

x0

Newtonverfahren

x1x2

x

f(x1)

y=f(x)

P(x1,f(x1))

Newtonverfahren

x1

x1

Kurvendiskussion

x2x1

f‘(x1,2)=0

x

f‘(x) existiertnicht

Kurvendiskussion

x

a

bαβ

Wendepunkte

konvex konkav

fTangente

Parameterdarstellung

a

b

Parameterdarstellung

x

y

x

y

λ=1

λ<1

λ>1

Tangentenvektor

bestimmtes Integral

x0=a x1 b=xn

μ1

m1

xi-1 xi

mi

μi

1

bestimmtes Integral

f(ξ)f

a b

Hauptsatz

a b

f(x)= 1x 1

2

Integrale unbeschränkter Funktionen

1 ca b

unbeschränkter Intervalle

Flächen zwischen Graphen

f(x)

g(x)

f(x)+c

g(x)+c

Flächen von Sektoren

α

βφ

x

y

1

x

y

φ

r

Volumina von Rotationskörpern

y=f(x)

xi-1 xi x

z

y

x

z

y

h

Längenberechnung von Kurvenstücken

t=a

γ(t1)γ(t2)

t=b

x

y

dyΔy

dx=Δx

dx=Δx

ds

Δs

Oberfläche von Rotationskörpern

x

z

y

Trapezregel

y

x

α β

f(x) y

x

f(x)

Geraden

Simpsonsche Regel

α β

α+β2

Grundbegriffe

121

4

18

…

Grundbegriffe Funktionenreihen

x

x4

10

Potenzreihen

Im

1

Re

Konvergenzinnerhalb Kreis

r

r~

Sägezahn

π-π π-π

Original Sägezahn 10-te Partialsumme

Gibbs-Phänomen

anzunäherndeFunktion

Die Maxima derÜberschwingerbilden Gerade

Si(π)

π2

0.179•π2

y

x

N=3

N=6

xN xN+3

Rechteckfunktion

π

Fourierentwicklung

π

Rechteckfunktion

π

-1

1

-1-2-3-4 1 2 3 4

Rechteckimpuls

-a a

Beispiel 3

1

verschobener Rechteckimpuls

-a+c a+c

Satz 3

2121ˆˆ ffff

Heaviside Funktion

[

a

C

0

KonvergenzHalbebene

Dämpfung im Bildbereich

t

f(t) f(t-δ)

δ

hδ(t)•f(t-δ)

vorne durch 0 ersetzt

Rechteckimpuls

c

a b

elektrischer Schwingkreis

L

RCu

i

Silberne Taschenuhr

Faden nachoben gezogen

straffer Faden a x

y

Uhr

Uhr

Faden ist jeweilstangential zur

Bahnkurve

Geometrische Interpolation

x0 x0+h

a

y1

1

y2

y1

Wechselspannung

S

R

Lu(t)

Beispiel 2

Re

j•Im

mechanisches Schwingungssystem

FederMasse

mk

r

Dämpfer

R

ωt

Transformatorschaltung

R

LU R

M

i1 i2

System von gewöhnlichen DGL

i

t

i1(t)

i2(t)