rcc. de materiales
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RESISTENCIA DE MATERIALES
(Conceptos Básicos de la Materia)
Estudia las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus
efectos en el interior de los cuerpos, además no supone que los
cuerpos son idealmente rígidos como en estática, sino que las
deformaciones por pequeñas que sean tienen gran interés, esta
materia comprende los métodos analíticos para determinar la
resistencia, la rigidez y la estabilidad de los diversos medios
soportadores de carga.
Cuerpos Deformables (Sólidos Deformables): Todo cuerpo está
constituido por una serie de partículas pequeñas entre las cuales
actúan fuerzas (internas), estas fuezas se oponen a los cambios de
forma del cuerpor cuando sobre él actúan fuerzas exteriores, si un
sistema de fuerzas exteriores se aplican a un cuerpo o un sólido sus
partículas se desplazan relativamente entre sí, y estos
desplazamientos continúan hasta que se establece el equilibrio
entre fuerzas exteriores y fuerzas interiores.
La resistencia de materiales estudia a los sólidos como cuerpos
deformables que ofrecen gran resistencia a la deformación y desea
hallar:
a.- El estado de tensión del sólido
b.- Determinar cuales son las fuerzas internas con el objeto de
analizar si el sólido puede o no resistir las cargas externas, o
conocidas las cargas externas determinar las dimensiones que debe
tener el cuerpo para resistirlas.
c.- El estado de deformación infinitesimal para determinar los
desplazamientos de los cuerpos para saber si son balanceados y
para resolver problemas hiperestáticos.
Cargas: Fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Según su efecto
sobre lso cuerpos existen varios tipos de cargas.
1.- Carga Puntual o Concentrada
2.- Carga Uniformemente Distribuida
3.- Carga Uniformemente variada
Esfuerzos: El término fundamental para el estudio de la resitencia
de los materiales es el llamado esfuerzo unitario, sabemos que el
calculo de las fuerzas externas en una sección de un miembro debe
ser determinada por los conocimientos de la estática.
Esfuerzo Unitario: Puede ser definido como la fuerza interna por la
unidad de área de una sección de unión. Hay dos tipos de
esfuerzos. Esfuerzos normales los cuales actúan en perpendicular a
las secciones en estudio y pueden ser de tensión o compresión
dependiendo de sus tendencias a alargar o acortar el material sobre
el cual actúa.
Deformación: Un cuerpo sólido sometido a un cambio de
temperatura o a cargas externas se deforma.
Deformación Uniforme: Cambio de longitud entre la longitud inicial
y la final.
Relación Esfuerzo - Deformación: En la figura se observa que los
esfuerzos unitarios y las deformaciones unitarias son proporcionales
hasta el punto (A), al continuar cargando más allá del punto (B) la
deformación aumenta rápidamente en relación con el esfuerzo (B-C)
más allá del punto (C) el esfuerzo y la deformación crecen sin
ningún tipo de proporción hasta llegar al punto (D) más allá de
dicho punto el esfuerzo unitario disminuye y la deformación unitaria
crece hasta la rotura del material.
Rango Elástico o Zona Elástica: Zona dónde es válida la Ley de
Hooke en cualquier punto de esta zona el material se deforma bajo
la acción del esfuerzo y al retirar el esfuerzo el material recupera
sus dimensiones originales sin que quede ninguna deformación
(desde 0 hasta A).
Rango Plástico o Zona Plástica: Es la zona donde los esfuerzos no
son proporcionales a las deformaciones, un material cargadoque se
encuentr en esta zona al retirar el esfuerzo queda con una
deformación permanente.
Esfuerzo de Fluencia o Punto Cedente: En este punto el material
desarrolla un marcado incremento de la deformación sin aumentar
el esfuerzo. En la figura el punto cedente esta determinado por las
ordenadas de (B y C), de los cuales B es el punto cedente superior y
C el punto cedente inferior.
Esfuerzo Ultimo: Es el mayor esfuerzo basado en el are original que
puede desarrollar un material así que es la máxima ordenada de un
diagrama Esfuerzo/Deformación. En la figura el esfuerzo último esta
determinado por la ordenada del punto D.
Esfuerzo de Rotura: Es el esfuerzo en un material basado en el area
original en el instante en que se rompe. Es la última ordenada del
diagrama representado por el punto E.
Esfuerzo Admisible: Es el máximo esfuerzo al que puede ser
sometido un material con cierto grado de seguridad.
Factor de Seguridad: Relación entre el esfuerzo último y el esfuerzo
admisible.
Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse
plásticamente ante la fractura bajo esfuerzo de tracción.
Maleabilidad: Es el mismo concepto de ductilidad pero bajo un
efecto de compresión.
Fragilidad: Ausencia de eductividad.
Resistencia de los materiales:
La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la
ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los
sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia
de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos
y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones
permanentes o deteriorarse de algún modo.
Un modelo de resistencia de materiales establece una relación
entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y
los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente
las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre
el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de
deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas
la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario
usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica
de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados
en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser
resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como
el análisis por elementos finitos.
.
Relación entre esfuerzos y tensiones
El diseño mecánico de piezas requiere:
• Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan
los límites resistentes del material.
• Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos
sobrepasan los límite de rigidez que garanticen la funcionalidad del
elemento diseñado.
En general el cálculo de tensiones puede abordarse con toda
generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la
geometría de los elementos es suficientemente simple (como
sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las
tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera
mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de
materiales, que directamente a partir del planteamiento general del
problema elástico.
Elementos lineales o unidimensionales
El cálculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinación
de las fórmula de Navier para la flexión, la fórmula de Collignon-
Jourawski y las fórmulas del cálculo de tensiones para la torsión.
El cálculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse
a cabo a partir métodos directos como la ecuación de la curva
elástica, los teoremas de Mohr o el método matricial o a partir de
métodos energéticos como los métodos energéticos como los
teoremas de Castigliano o incluso por métodos computacionales.
Elementos superficiales o bidimensionales
La teoría de placas de Love-Kirchhoff es el análogo bidimensional de
la teoría de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte el cálculo de
láminas es el análogo bidimensional del cálculo de arcos. El análogo
bidimensional para una placa de la ecuación de la curva elástica, es
la ecuación de Lagrange para la deflexión del plano medio de la
placa. Para el cálculo de placas también es frecuente el uso de
métodos variacionales.
Relación entre esfuerzos y desplazamientos
Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia
de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas
aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes
algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos
por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones
a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios
métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las
fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuación de la
curva elástica.
Propiedades mecánicas
En ingeniería, las propiedades mecánicas de los materiales son las
características inherentes que permiten diferenciar un material de
otros, desde el punto de vista del comportamiento mecánico de los
materiales en ingeniería, también hay que tener en cuenta el
comportamiento que puede tener un material en los diferentes
procesos de mecanizados que pueda tener. Entre estas
características mecánicas y tecnológicas destacan:
• Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, flexión y torsión,
así como desgaste y fatiga, dureza, resiliencia, elasticidad,
tenacidad, fragilidad, cohesión, plasticidad, ductilidad, maleabilidad,
porosidad, magnetismo, las facilidades que tenga el material para
soldadura, mecanizado, tratamiento térmico así como la resistencia
que tenga a los procesos de oxidación, corrosión. Asimismo es
interesante conocer el grado de conductividad eléctrica y la
conductividad térmica que tenga y las facilidades que tenga para
formar aleaciones.
• Aparte de estas propiedades mecánicas y tecnológicas cabe
destacar cuando se elige un material para un componente
determinado, la densidad de ese material, el color, el punto de
fusión la disponibilidad y el precio que tenga.
Debido a que cada material se comporta diferente, es necesario
analizar su comportamiento mediante pruebas experimentales..
Tracción
En el cálculo de estructuras e ingeniería se denomina tracción al
esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos
fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Se
considera que las tensiones que tienen cualquier sección
perpendicular a dichas fuerzas: son normales a esa sección, son de
sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo.
Compresión
El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o
presiones que existe dentro de un sólido deformable o medio
continuo, caracterizada porque tiende a una reducción de volumen
o un acortamiento en determinada dirección. En general, cuando se
somete un material a un conjunto de fuerzas se produce tanto
flexión, como cizallamiento o torsión, todos estos esfuerzos
conllevan la aparición de tensiones tanto de tracción como de
compresión.
En un prisma mecánico el esfuerzo de compresión puede
caracterizarse más simplemente como la fuerza que actúa sobre el
material de dicho prisma, a través de una sección transversal al eje
baricéntrico, lo que tiene el efecto de acortar la pieza en la
dirección de eje baricéntrico.
Flexión
En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que
presenta un elemento estructural alargado en una dirección
perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica
cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso
típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar,
principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se
extiende a elementos estructurales superficiales como placas o
láminas.
El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión
presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la
distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía
con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que
provoca la flexión se denomina momento flector.
Torsión
En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se
aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento
constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en
general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras
dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva
paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano
formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva
paralela al eje se retuerce alrededor de él
Enfoque de la resistencia de materiales
La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar
con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por
campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que
satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para
ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas,
pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas,
membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden
analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre
una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un
dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden
determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis
cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio
puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a
deformaciones y tensiones. El esquema teórico de un análisis de
resistencia de materiales comprende:
• Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el
campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos
bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis
más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y
la hipótesis de Saint-Venant para la torsión.
• Ecuación constitutiva que establece una relación entre las
deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis
cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos
particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.
• Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral
que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.
• Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con
las fuerzas exteriores.
En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un
esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales
o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al
tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas
preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se
basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente
la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales
sigue los siguientes pasos:
1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y
ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar
los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.
2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los
esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones
depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática
asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, flexión
esviada, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon
para tensiones cortantes, etc.
3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a
partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello
puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática
o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de
Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.
Hipótesis cinemática
La hipótesis cinemática es una especificación matemática de los
desplazamientos de un sólido deformable que permite calcular las
deformaciones en función de un conjunto de parámetros incógnita.
El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos
lineales (e.g. vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a
la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales
más simples. Así pués, gracias a la hipótesis cinemática se pueden
relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido
deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos
especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.
Ecuación constitutiva
Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las
que explicitan el comportamiento del material, generalmente se
toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lamé-
Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser
especializadas para elementos lineales y superficiales. Para
elementos lineales en el cálculo de las secciones, las tensiones
sobre cualquier punto (y,z) de la sección puedan escribirse en
función de las deformaciones como:
En cambio para elementos superficiales sometidos
predominantemente a flexión como las placas la especialización de
las ecuaciones de Hooke es:
Además de ecuaciones constitutivas elásticas, en el cálculo
estructural varias normativas recogen métodos de cálculo plástico
donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad.
Ecuaciones de equivalencia
Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes
a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es
posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen
directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.
Elementos lineales
En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para
representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se
escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricéntrico de la
pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales
de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre
esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento
torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:
Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor
tensión para una pieza prismática:
Ecuaciones de equilibrio
Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales
relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores
aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y
elementos bidimensionales son el resultado de escribir las
ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en
lugar de las tensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo
de tensiones generales de la teoría de la elasticidad lineal:
Si en ellas tratamos de sustituir las tensiones por los esfuerzos
internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de
materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es
ligeramente diferente para elementos unidimensionales y
bidimensionales.
Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos
En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las
cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones
de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo
cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:
Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales
Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales
(placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior
para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad
de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de
ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):
Relación entre esfuerzos y desplazamientos
Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia
de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas
aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes
algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos
por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones
a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios
métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las
fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuación de la
curva elástica.
Vigas continuas.- Vigas con más de un tramo, pueden ser homogéneas (EI=cte) o no (EI no es cte).
Comparación de una viga
continua y una de dos tramos
3.- Marco Teórico
El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga,
siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para
hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación
fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos
conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en
los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en
una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que
son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo
extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.
Vigas Continuas
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser
utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:
Los términos:
Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6
tipos de cargas básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos.
Por ejemplo:
Tramos 1 - 2
Tramos 2 - 3
Tramos 3 - 4
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).
Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los
momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que
todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos
escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:
O sea:
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de
palanca a este último apoyo.
M1=0 y M2=PL1
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para
cada tramo: ejercicios
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:
4.- Ejercicios:
(Haga click sobre la imagen para visualizar el ejercicio)
En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la
simplificación del mismo con respecto a los momentos flectores en una viga de
estudio. Con la aplicación de una fórmula que relaciona los datos de la situación del
problema, directamente (con una ecuación matemática), se puede determinar a
renglón seguido el comportamiento de la viga. El problema que enfrentan los
ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoyos, reside en la
indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la
Estática y la Resistencia de Materiales. Que es el caso particular que se explicará en
relación con el método de los tres momentos y las vigas continuas. A través de
este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos
ejemplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica
matemática y el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo del método
de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analizadas en otros métodos,
dada su indeterminación o su comportamiento hiperestático. De paso se resumirán
los conceptos precedidos para el análisis compresivo del método. Se estará en
contacto con la definición de las fases de una viga continua, los principios de
hiperestaticidad, diagramas de fuerzas y flexiones y la propia deformación
analizada en vigas continuas. Buscando significados a los datos recolectados para la
formulación del trabajo, existe una relación entre la palabra flecha y deformación
de una viga. Se explica este concepto, con tal de que no se confunda su significado,
así como otros. Las gráficas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoyo
y sumisión a cargas, revelan que se necesitará previamente desarrollar bosquejos
para indicar el flujo del momento, cortante y flexión sobre la viga. Estos esquemas
gráficos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del método. La
utilización de vigas continuas en la ingeniería civil es muy frecuente, por ejemplo
en puentes, pórticos, forjados, carriles de ferrocarril, tuberías, etc. Lo que no le resta
importancia en su estudio. La viga continua nos dará pie a las definiciones más
adelante, pero mientras, es justo que se comprenda que puede tratarse como una
tipología particular de estructura reticulada de plano medio, capaz de soportar
esfuerzos, principalmente de flexión y cuya característica mas importante es la de
disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares de
tramos simplemente apoyados. Eso justifica su uso, y en este caso, su estudio.
Siempre, antes de enfrentar el análisis de algún método es recomendable valerse de
los significados de los términos que se usarán. En la tesis de la investigación, se
encontró que el Método de los Tres Momentos, no es el único que da soluciones a
los problemas de cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico
parte de condición estática de la viga.
Una viga continua
puede definirse como una estructura hiperestática formada por varias piezas rectas
alineadas, unidas entre si por nudos rígidos apoyados, determinándose vano, o
tramo, al segmento comprendido entre dos apoyos sucesivos de la viga. Esta
tipología es apreciable en la figura 1. En el estudio de las vigas continuas sólo
consideramos la acción de fuerzas verticales y de momentos, con lo que las
reacciones en los apoyos también serán verticales. De actuar alguna fuerza
horizontal, como, por ejemplo, de frenado en puentes de carretera o de ferrocarril,
supondremos que uno de los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta
todas las acciones horizontales.
Con esta disposición de los apoyos, los cambios térmicos uniformes a través del
espesor de las piezas no producen ningún tipo de esfuerzo. Como la viga sobre dos
apoyos simples es un sistema isostático, en una viga de más de un tramo cada
apoyo intermedio introduce un vinculo redundante y, en general, una viga continua
sobre n apoyos, constituye un sistema n-2 veces hiperestático. Por tanto, en la
resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas hiperestáticas las
reacciones de los apoyos intermedios. Como alternativa a diferentes métodos para
resolver vigas continuas se eliminan los enlaces entre los diversos tramos y se
eligen como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyos
intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la
viga como una sucesión de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a
través de momentos de extremidad de valor desconocido al momento del cálculo.
Recordando que una estructura
hiperestática es
aquella que necesita más elementos de los necesarios
para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos
no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones
de funcionamiento estático. También llamada
estructura estáticamente indetermin
ada. Y que estas
condiciones se reflejan en el cálculo, puesto que la
cantidad de variable supera la cantidad de ecuaciones
proporcionadas para la solución de los estados de
esfuerzos sobre ellas.
Figura
1
Viga continua.
Se observa que los nudos intermedios son
rígidos, lo cual implica la continuidad de los giros y los momentos
flectores a uno y otro lado de cada apoyo.
Ecuación de los tres momentos
En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que se
pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden
mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La determinación de
las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que
se denominan hiperestáticos, como ya se mencionó, se recurre a la mecánica de
materiales para su análisis. Buscando determinar la ecuación que se utilizará para
el desarrollo del método, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infinita
con diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se toma de la misma,
en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L
1
y L
2
, como se observa en la figura 2.
Figura 2 Separación de dos tramos de una viga continua infinita y desarrollo de los
diagramas de cortante DFV y DFM.
Separando por tramos la viga y haciendo la similitud estática de las cargas en las
secciones de corte, construimos los diagramas de cortante y momento, señalando
las áreas y centroides de las figuras compuestas en la siguiente forma: Al dividir la
estructura por tramos, es decir, entre cada apoyo, un corte, se generan momentos
compensados de signos contrarios. Los ángulos de giro son señalados con relación
a la pendiente de la deformación, en la división de los tramos. Al realizar el corte
sobre los extremos infinitos, se generan momentos que también son señalados sobre
ambos tramos. En estas razones se puede establecer: Si se toma por separado cada
uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de
momentos pero tambien aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramode
la viga. Los dos tramos tienen un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y
en cual se sabe que
�
=0
.
El problema de las vigas continu
as | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V
El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se observa
que cada uno de de los tramos es afectado por las cargas y los momentos. Tomando
en consideración el teorema de area momentos, la contribución de las cargas
externas del tramo 1 a
�2
′
es la siguiente:
�2
′
=
�1
�1
��1
Podemos expresar el ángulo
�2
′
como una contribución de los momentos hiperestáticos En el tramo dos,
igualmente está expresado como sigue: Igualando con la ecuación determinada
antes donde
�2
′
=
�2
′′
, tenemos:
Donde:
M1, M2, M3
: Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.
L1, L2 :
Longitudes de los tramos 1 y 2.
A1, A2
: Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2.
a1
: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.
b2
: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo
3.
Consideraciones del método
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres
Momentos por cada par de tramos consecutivos.
Tramo 1-2:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0
Tramo 2-3:
M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0
Tramo 3-4:
M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0 Si tenemos un
apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Si tenemos un
empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos,
creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Si tenemos
un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.
El método por pasos
Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.
Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática.
Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos.
Construir diagrama de cortante y momento flector, calculando y ubicando áreas y
sus respectivos centroides.
Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos en dos. Obteniendo
un sistema de ecuación de dos ecuaciones y dos incógnitas por cada tramo. Sustituir
y resolver. Considerando las condiciones de borde, donde los momentos son cero.
Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de fuerza,
calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las
reacciones reales de los apoyos. (Opcional)
Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura (Opcional) Este
método fue idealizado por:
Benoit Paul Émile Clapeyron
(26 de febrero, 1799 - 28 de enero, 1864) fue un ingeniero y físico francés, padre
(entre otros) de la teoría termodinámica. Nacido en París, Clapeyron estudió en la
École polytechnique y la École des Mines, antes de mudarse a San Petesburgo en
1820 para enseñar en la École des Travaux Publics. Tras la Revolución de 1830
volvió a París, donde supervisó la construcción de la primera vía de ferrocarril de
Francia, que comunicaba París con Versalles y Saint-Germain-en-Laye. 20KN
Ejercicios de Aplicación
1)
Construyendo el esquema de análisis del problema: En el
siguiente paso construimos el diagrama de cortante y momento, superponiendo las
cargas y dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga
puntal de la primera columna de contención con su magnitud respectiva. El
segundo tramo asume el peso del camión como carga distribuida entre el punto 2 y
3. El tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmente aplicadas
y concluye con una articulación.
El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC |
Resistencia II | Grupo V
Encuentre los momentos
hiperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio
para
camiones
que se muestra en la figura articulado en 1, y simplemente apoyado en 2, 3 y 4.
Considere el peso de las
columnas de contención
de acero galvanizado como cargas puntuales
en las distancias céntricas correspondientes. Asuma el peso del camión
como carga distribuida
de 4kN/m sobre la plataforma del puente entre el punto 2 y 3.
10kN 10kN 4kN/m
20kN
2m
4m
6m
6m
DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE LA
ESTRUCTURA
Analizando el primer tramo de 1 a 2, se construye nuestra primera ecuación:
Analizando el segundo tramo de 2 a 3, se construye la segunda ecuación:
20KN
Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de fuerza,
calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las
reacciones reales de los apoyos.
20KN
Construyendo el diagrama de momento total con las reacciones totales ya
calculadas. 2)
En la siguiente viga vamos a analizar los momentos que se generan en los apoyos,
mediante el método de los tres momentos.
3)
Determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos, usar la
ecuación
de los
tres momentos y realizar los diagramas correspondientes.
Conclusión
En la parte final de la investigación se alinean los aspectos generales del tema de
vigas continuas y la oferta de solución que brinda el método matemático, para
problemas de aplicación en ingeniería. Se resumirá brevemente en conclusiones
puntuales los conocimientos concretos adquiridos, conjuntamente, al análisis del
mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos flectores, conocidos
previamente. Comprendiendo el método, podríamos decir, que se trata de una
ecuación que relaciona a las vigas y los momentos sobre los apoyos con un
comportamiento matemático creciente, que a su vez no es limitado por la forma
hiperestática de la estructura. Resulta beneficioso un método que nos proporcione
soluciones en problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele suceder
en la ingeniería. Por lo regular en grandes estructuras del campo de estudio
mecánico y la propia construcción civil, un método que exprese el comportamiento
conteniendo a las cargas y los momentos, relacionándose al mismo tiempo con los
diagramas que reflejan los esfuerzos de corte máximos , y los momentos flectores,
le agrega fidelidad a los resultados. Eso es lo que difiere con respecto a los demás
métodos. El teorema de los tres momentos, ajusta por tramos de ecuaciones
conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructura de
estudio. Cada paso es fidedigno y no requiere de cálculos avanzados de derivadas o
integraciones múltiples. El comportamiento es creciente, una función relacionada a
la expansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de materiales, el
momento afectado sobre una viga guarda relación con su centroide, su área de
sección y la distancia desde el punto de referencia. Es menester reconocer, que en
el intento de presentar un ejercicio de aplicación donde se demostrase la utilidad de
la ecuación de los tres momentos idealizada por Clapeyron, nos dirigimos al caso
práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la plataforma. El
problema lejanamente puede ser considerado como complicado. Hemos querido
presentarlo de esa forma, para darle la versatilidad al campo real de los problemas
ingenieriles ligado a la continuidad y la indeterminación de las vigas de análisis.
En comparación con otros métodos conocidos, para la resolución de cargas vigas
determinadas, aunque no esté al mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se
corrige con una ecuación que no trasciende fronteras algebraicas. Las funciones
están ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución no más de
dos sustituciones. Eso, sencillamente es útil y aprovechable.
El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC |
Resistencia II | Grupo V
1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓNEl Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783). " Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas"
Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición:Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas.Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero.Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación.m a r t e s 2 9 d e j u l i o d e 2 0 0 8
ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS Introducción
Para la resolución matemática de la estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios métodos de análisis de deformaciones de vigas. La asignatura de RESISTENCIA DE MATERIALES II es muy importante la cual brindará al estudiante las herramientas necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de análisis estructural es necesario hacer tanto un estudio matemático, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectónico,
para determinar el material a utilizar en la construcción de la estructura así como sus dimensiones. Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones de vigas entre ellos tenemos: método de área de momento, método de viga conjugada, tres momentos, método de la doble integración y método matricial, este último se presenta a través de un programa computacional llamado sap 2000. En el presente trabajo daremos a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos que a continuación lo mostrare.
GENERALIDADES- Objetivos
· Dar a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos.· Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los ejercicios.· Resolver ejercicios utilizando el Método de tres momentos.
- Limitaciones del Trabajo . Aplicar la ecuación de los tres momentos en vigas hiperestáticas.. Interpretar correctamente la ecuación de los tres momentos.. Graficar correctamente los DFC y DMF.MARCO TEORICO
El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos.
“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”.
Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga.
Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos.
Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el
sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.
- Ecuación de los Tres MomentosVigas Continuas
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:
Los términos: pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:
Tramos 1 - 2
Tramos 2 - 3
Tramos 3 - 4
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:O sea:
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:
Ejerccios:
BIBLIOGRAFIA
· ANALISIS ESTRUCTURAL, Genaro Delgado Contreras. Ediciones Edicivil. S.R.L. Lima – Perú, 83p
· RESITENCIA DE MATERIALES “Problemas Resueltos”, Isidoro Tiburcio. Ed. San Marcos. Lima – Perú, 320p.
· http://webdelprofesor.ula.ve/arquitectura/jorgem/principal/guias/vigas.pdf
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