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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Seno, Cosseno e Tangente

1. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.

Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a

tangente do ângulo ˆCAD mede:

30 d) 1

2. (G1 - utfpr 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:

(Considere: 1 3 3

sen 30° , cos 30° e tg 30°2 2 3

a) 0,8 3. b) 2,4. c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6.

3. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas

margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os

ângulos ˆABC e ˆACB medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a

distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

Dado: 3 1,7.

4. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 5. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a

horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão.

Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 3 5 2 metros de largura, assinale a

alternativa que contém a altura da escada, em metros.

a) 5 2 b) 5

c) 10 3 d) 10 6. (Ufpr 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem

profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar?

a) 75°. b) 60°. c) 45°. d) 30°. e) 15°.

7. (Uepg 2013) Num instante 1t , um avião é visto por um observador situado no solo sob um

ângulo de 60° e, no instante 2t , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta

horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o que for correto.

01) No instante 1t , a distância entre o observador e o avião é 10 3 km.

02) No instante 2t , a distância entre o observador e o avião é 10 km.

04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e 2t é maior que 5 km.

08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e 2t é menor que 4 km.

8. (Udesc 2013) No site

http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf (acesso em: 23/06/2012), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1.

Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 20°, conforme mostra a Figura 2.

Considerando tg(20º ) 0,36, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1.

Tipo de Semáforo D H

Coluna simples ? 2,4

Projetado sobre a via 13,1 ?

Tabela 1

Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para

verdadeira e (F) para falsa.

( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. ( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4,2 m. ( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1 m maior que a altura

H do semáforo de coluna simples.

Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. a) F – V – V b) V – F – V c) F – V – F d) V – V – F e) F – F – V 9. (G1 - cftmg 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: α 30° 45° 60°

sen α 1/2 2/2 3/2

cos α 3/2 2/2 1/2

tg α 3/3 1 3

Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por

d) 3 3

10. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é

perpendicular a BD, AH 5 3 cm e 30 .θ A área do retângulo ABCD, em centímetros

quadrados, é

a) 100 3.

b) 105 3.

c) 110 3.

d) 150 2.

e) 175 2. 11. (G1 - utfpr 2012) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma

loja e tem inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.

Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e tg 30 0,58.

a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3. 12. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia.

Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.

Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:

a) 80 3 1,5 b) 80 3 1,5 c) 160 3

d) 160 3

13. (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para

otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.

Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo,

em metros, do comprimento desta rampa de acesso? 14. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da

margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual

é a largura do rio?

a) 50 3 m

b) 75 3 m

c) 100 3 m

d) 150 3 m

e) 200 3 m

15. (Uepb 2012) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm e os

ângulos congruentes medem 30 . O perímetro deste triângulo em cm é

a) 2 3 3

b) 2 3 2

c) 8 3

d) 3 3

e) 3 3

16. (G1 - ifpe 2012) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura

de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros: Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75

a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 17. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e

10 3 cm. Assinale a alternativa errada.

Dados: sen 30° = 0,5, cos 45° = 0,707 e sen 60° = 0,866. a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707. b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866. c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5. d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°. e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°. 18. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de

45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros.

Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a

espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7

19. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma

praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.

Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?

a) 60 ( 3 + 1)

b) 120 ( 3 – 1)

c) 120 ( 3 + 1)

d) 180 ( 3 – 1)

e) 180 ( 3 + 1) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 20. (Pucrs 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o

teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.

Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é

a) 100 3

b) 100 3

c) 100 3

d) 50 3

e) 200

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.

Considere que – a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; – o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; – o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; – o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati; – o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; – o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari;

– a medida do segmento AC é 220 m;

– a medida do segmento BC é 400 m e

– o triângulo ABC é retângulo em C. 21. (G1 - cps 2012) Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo.

26° 29° 41° 48° 62°

sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88

cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47

tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88

No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ˆABC é, aproximadamente, a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88.

22. (Uel 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição 1P , um barco

ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição 1P , o ângulo de visão do barco, em

relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.

Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a

partir da posição 2P . Neste novo ponto de observação 2P , o ângulo de visão do barco, em

relação à praia, é de 45°.

Qual a distância 2P B aproximadamente?

a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros d) 1714 metros e) 2414 metros 23. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de

60º , conforme a figura.

Dados: 3

sen 60º2

cos 60º2

; tg 60º 3 .

A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é a) 600 dam b) 12.000 m

c) 6.000 3 dm

d) 600.000 3 cm

24. (G1 - ifsc 2011) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte

peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade.

Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonas-

diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.

Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de...

Dados: Seno Cosseno Tangente

45º 2

60º 3

a) 60 3 metros. b) 40 3 metros. c) 120 metros.

d) 20 3 metros. e) 40 metros.

25. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo ˆBAC. Sendo

AC 1 e 1

sen( ) ,3

quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?

a) 3 b) 2 2

3 c) 10 d)

Gabarito: Resposta da questão 1: [B]

Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos

AB 8 30 240cm,

BC 6 30 180cm

CD (8 6) 20 280cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AB BC AC 240 180

AC 300cm.

Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem

CD 280 14tgCAD .

300 15AC

Resposta da questão 2: [B]

No triângulo assinalado, temos:

1,2 1 1,2sen30 x 2,4

Resposta da questão 3:

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.

Como ABC 135 , segue que ABH 180 ABC 45 e, portanto, o triângulo ABH é

retângulo isósceles. Logo, AH HB.

Do triângulo AHC, obtemos

AH AHtgACB tg30

HB BC AH 20

3 AH 20

20 3AH

AH 10( 3 1)

AH 27 m.

Resposta da questão 4: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.

htan 15 h 3,8 tg 15

Considerando x a altura da escada, temos:

x cos30 x cos45 5 3 5 2

3 2x 5( 3 2)

5sen 30

10α α

02 + 04 = 06.

[01] Falsa, pois 5 3 5 10 3

sen60 y km.y 2 y 3

[02] Verdadeira, pois 5 1 5

sen30 x 10 km.x 2 x

[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5. [08] Falsa, pois z = y > 5. Resposta da questão 8:

[B] Para o semáforo de coluna simples, temos

H 1 1,25 2,4 0,25tg20 D 1,5

D 1,5 0,36

D 5,97 1,5

D 4,5 m.

Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem

H 1 1,25 H 0,25tg20 0,36

D 1,5 13,1 1,5

H 0,25 5,26

H 5,5 m.

Por conseguinte, como 5,5 2,4 3,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre

a via é aproximadamente 3,1m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples.

Resposta da questão 9: [C]

No triângulo ABC, assinalado na figura, temos:

AB 3 ACsen60 AB AC sen60 AB

5. 3no AHD sen30 AD 10. 3

5. 3no AHB cos30 AB 10

Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:

A 10. 3.10 100 3

h = altura entre os dois andares.

hsen30

H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos:

H 1,5 3 H 1,5sen60 H 80 3 1,5 m

160 2 160

Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 14: [A]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.

Queremos calcular AH.

Temos que CAB BAH 30 . Logo, do triângulo AHB, vem

HB 3tgBAH HB AH.

Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos

HB BC 3tgCAH 3 AH AH 100

2 3AH 100

150 3AH 50 3 m.

Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB AC 3 cm e

ABC ACB 30 . Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem

BCMC 2cos ACB cos30

BC 3cm.

Portanto, o resultado é

AB AC BC 3 3 3

(2 3 3)cm.

[D] tg (37°) = 0,75

AC0,75

AC 75m

22 2a 10 10 3 a 20

10 1sen 30

10 3 3sen 60

Logo, a alternativa errada é a [A], “O seno do menor ângulo agudo é 0,707”.

[B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2h h (6 2) , logo h = 6.

No triângulo APR, podemos escrever:

3 AB 6

18 6 3AB

18 3 18AB

AB 4,2

e 4 < 4,2 < 5. Resposta da questão 19:

Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.

Queremos calcular PQ.

Como PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo, AQ 240 QG 240 PQ.

Portanto, do triângulo APQ, vem

PQ 3 PQtgQAP

3AQ 240 PQ

(3 3)PQ 240 3

240 3PQ

240 3 3 3PQ 120( 3 1) m.

3 3 3 3

O resultado pedido é dado por y

tg60 y 100 3 m.100

Resposta da questão 21: [B] Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

2 2 2 2 2 2

AB AC BC AB 220 400

AB 208400

AB 456,5 m.

Portanto,

AC 220senABC senABC

456,5AB

senABC 0,48.

Resposta da questão 22: [C]

1000cos 45º

2 1000

2x 2000

x 1,414 m

[D] h = altura.

o hsen60

h 6. 3km = 600.000 3cm

o 60sen60

AB 40 3m

Sabendo que AC 1 e 1

sen ,3

BC 1 BC AB

sen BC .3 3AB AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

22 2 2 2 2

ABAB AC BC AB 1

3 3 2AB .

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