raciocínio lógico matemático · conectivos lógicos. conectores que criam novas sentenças...

Raciocínio

Lógico

Matemático

# DICA 1 #

LEMBRAR-SE DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ELEMENTARES

Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

Números Inteiros Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Números Racionais Q = { p/q | p ∈Z e q ∈ Z* } quocientes entre dois números inteiros.

Números Irracionais (I) 0,212112111... 1,203040...

Números Reais R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø

Alem disso devemos relembrar as principais operações matemáticas e suas propriedades.

# DICA 2 #

NA INTERPRETAÇÃO DE PROBLEMAS E USO DAS FRAÇÕES, LEMBRAR QUE UMA FRAÇÃO INDICA UMA PROPORÇÃO E TRABALHAR COM A IDEIA DE COMPLEMENTAÇÃO.

Dos funcionários do departamento administrativo de uma repartição pública, 5/8 trabalham diretamente com computadores. Se o total de funcionários desse departamento que não trabalham diretamente com computadores é igual a 120 pessoas, então esse departamento tem um total de funcionários igual a

a) 285.

b) 200.

c) 195.

d) 320.

e) 192.

EXEMPLO

Resolução

Segundo o enunciado, 5/8 dos funcionários do departamento trabalham diretamente com computadores, logo o restante, os outros 3/8 não trabalham com computadores.

Assim 3/8 do total = 120

3/8 . t = 120

logo isolando o t, temos

t = 120.8 / 3 = 40.8 = 320 pessoas no total

Alternativa Correta : D

# DICA 3 #

PORCENTAGEM REPRESENTA UMA FRAÇÃO COM DENOMINADOR 100 E SEMPRE VEM ASSOCIADA À OUTRO NÚMERO, OU SEJA, VEM MULTIPLICADO POR ELE.

Em um edifício, 40% dos condôminos são homens e 60% são mulheres. Dentre os homens, 80% são favoráveis à construção de uma quadra de futebol. Para que a construção seja aprovada, pelo menos a metade dos condôminos deve ser a favor. Supondo que nenhum homem mude de opinião, para que a construção seja aprovada, o percentual de mulheres favoráveis deve ser, no mínimo, a) 20%. b) 25%. c) 30%. d) 35%. e) 50%.

EXEMPLO

Supondo que são 100 condôminos pois todos os valores apresentados são percentuais, montaremos o esquema de acordo com a interpretação:

Resolução

Para obtermos 50% dos condôminos favoráveis (metade), precisamos que 18 mulheres sejam favoráveis (50-32). Assim basta calcular qual a participação percentual de 18 mulheres no grupo de 60 mulheres, logo: 18/60 = 3/10 que corresponde a 30% Alternativa Correta : C

# DICA 4 # AINDA EM PORCENTAGEM , LEMBRAR DOS

FATORES DE AUMENTO E DESCONTO. POR EXEMPLO, UM DESCONTO DE 20 % ACARRETA

EM MULTIPLICARMOS O VALOR ORIGINAL POR 0,80 POIS 100% -20% = 80% QUE POR SUA VEZ REPRESENTA O DECIMAL 0,80.

DA MESMA FORMA UM AUMENTO DE 20% IMPLICA EM MULTIPLICARMOS O VALOR ORIGINAL POR 1,20 POIS 100% +20% = 120% QUE É 1,20 NA FORMA DECIMAL.

Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em

a)18,5%.

b)20%.

c)22,5%.

d)25%.

e)27,5%.

EXEMPLO

Inicialmente devemos lembrar que um desconto de 20% e um aumento sucessivo de 20% não fazem o preço voltar ao valor original. Assim:

Resolução

Para calcularmos de forma rápida e

segura basta usarmos o recurso de aumentos

e descontos sucessivos, logo:

Um desconto de 20% implica em multiplicarmos por 0,8 pois 100% - 20% = 80% = 0,8

Então:

P3 = (0,8) (x) P1 e como o comerciante quer voltar a vender pelo preço inicial, P3 = P1

P1= (0,8) (x) P1 e cortando ambos P1 teremos:

1 = (0,8).x x = 1/0,8 x = 1,25 logo o aumento deve ser de 25%

Alternativa D

# DICA 5 # NA REGRA DE TRÊS COMPOSTA

MUITO CUIDADO COM A PERGUNTA QUE SE FAZ DA COLUNA COMPLETA PARA A COLUNA DO “X” E LEMBRE QUE O SINAL COLOCADO EM CADA COLUNA INDICA QUEM FICA NO NUMERADOR .

Certo dia, Jasão - Analista Judiciário do Tribunal Regional do Trabalho - recebeu um lote de processos, em cada um dos quais deveria emitir seu parecer. Sabe-se que ele executou a tarefa em duas etapas: pela manhã, em que emitiu pareceres para 60% do total de processos e, à tarde, em que os emitiu para os processos restantes. Se, na execução dessa tarefa, a capacidade operacional de Jasão no período da tarde foi 75% da do período da manhã, então, se pela manhã ele gastou 1 hora e 30 minutos na emissão dos pareceres, o tempo que gastou na emissão dos pareceres à tarde foi: a) 1 hora e 20 minutos. b) 1 hora e 30 minutos. c) 1 hora e 40 minutos. d) 2 horas e 20 minutos. e) 2 horas e 30 minutos.

EXEMPLO

Inicialmente organizaremos as colunas nas mesmas unidades de medida, portanto, usaremos o tempo em minutos lembrando que 1,5 h = 1,5x60 minutos , logo 90 minutos.

Assim: % cap % t (min) Manhã 60 100 90 Tarde 40 75 x

Resolução

Montando a estrutura e fazendo as perguntas das colunas completas para a do ‘X” de forma independente, temos:

1) Se Jasão emitiu 60% dos pareceres em 90 minutos, ele

emitiria 40% dos pareceres em MAIS ou MENOS tempo?

2) Se com capacidade de 100%, Jasão emitiu pareceres

em 90 minutos, se trabalhasse com capacidade de 75%

ele gastaria MAIS ou MENOS tempo?

Lembre que os sinais são independentes , então não precisa

ser um + e outro – e que o sinal indica quem fica no

numerador , ou seja, se aparece o sinal de + fica o MAIOR e se

aparece o sinal de - , fica o menor no NUMERADOR.

MENOS TEMPO

MAIS TEMPO

- +

% capac % t (min)

Manhã 60 100 90

Tarde 40 75 x

Agora colocamos os sinais nas colunas

Assim basta colocar no numerador o valor que respeita o sinal colocado na coluna completa:

Alternativa Correta : A

1h 20 min

Raciocínio Lógico

Sentenças Abertas Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: x + 4 = 12. Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x. Ele esta estudando. Nessa outra , precisaríamos saber de quem está se falando para poder atribuir valor lógico à sentença.

Raciocínio Lógico

Sentenças Fechadas ou Proposições Sentenças matemáticas fechadas ou proposições são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: 5 + 4 = 12. Essa expressão é falsa, logo uma proposição Dudan está estudando para preparar suas aulas. Essa outra também pois sabemos ser uma “eterna” verdade.

Raciocínio Lógico

Negação Simples Para negar uma sentença acrescentamos o não ou o retiramos, sem mudar a estrutura da frase, mas mudando seu valor lógico. Exemplo: Dudan adora Matemática. Negação: Dudan não adora Matemática. Exemplo: Amanha não vai chover. Negação: Amanha vai chover.

Raciocínio Lógico

Proposições Compostas Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Esse conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão. Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso). Uma proposição simples possui apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso. Já proposições compostas terão mais do que duas possibilidades distintas de combinações dos seus valores lógicos.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “e” / “^” Tabela Verdade: V V = V Negação: nega ambas proposições e troca “e”por

“ou”. ~(p^q) = ~p V ~q Equivalência: (p^q) = (q ^ p) Comutatividade. Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja ou não ensina Matemática. Equivalência: Dudan ensina Matemática e viaja.

Conjunção

Raciocínio Lógico

Conectivos : “ou” / “V” Tabela Verdade: F F = F Negação: nega ambas proposições e troca “ou”por “e”. ~(pVq) = ~p ^ ~q Equivalência 1: (p V q) = (q V p) Comutatividade. Equivalência 2: (p V q) = (~pq) Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja e não ensina Matemática. Equivalência 1 : Dudan ensina Matemática ou viaja. Equivalência 2 : Se Dudan não viaja , então ele ensina

Matemática.

Disjunção Inclusiva

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Ou...ou...” / “V” Tabela Verdade: F F = F e V V = F Negação 1: troca “ou..ou” por “se e somente se” ~(pVq) = p ↔q Negação 2: nega apenas uma das proposições, mantendo

o conectivo: ~(p V q) = (~p V q) ou ainda ~(p V q) = (p V ~q) Negação 3: Usa Teoria dos Conjuntos Equivalência: (p V q) = (q V p) Comutatividade. Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação 1: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Negação 2: Ou Dudan não viaja ou ensina Matemática. (e vice-versa) Negação 3: Dudan viaja e ensina Matemática e ainda Dudan nem viaja

nem ensina Matemática.

Disjunção Exclusiva Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se e somente se” / “↔” Tabela Verdade: F F = V e V V = V Negação 1: troca “se e somente se” por “ou..ou” ~(p ↔ q) = p V q Negação 2: nega apenas uma das

proposições,mantendo o conectivo. ~(p ↔ q) = (~p ↔ q) ou ainda ~(p ↔ q) = (p ↔ ~q) Equivalência: (p ↔ q) = (q ↔ p) Comutatividade. Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Negação 1: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação 2: Dudan não viaja se e somente se ensina Matemática. (e vice-

versa)

Bicondicional

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se ...então ” / “” Tabela Verdade: V F = F Negação : Confirma a causa “e” nega a consequencia ~(p q ) = p ^ ~q Equivalência 1: (p q) = (~p V q) Duas negações em

sequencia. Equivalência 2: (p q) = ( ~q ~p) Contrapositiva Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática. Negação : Dudan viaja e não ensina Matemática. Equivalência 1: Dudan não viaja ou ensina Matemática. Equivalência 2: Se Dudan não ensina Matemática, então não viaja.

Condicional Raciocínio Lógico

Ao se admitir por verdadeira a declaração “Se Paulo é alto, então Gabriela não é alta”, conclui se, de maneira correta e necessária, que se a) Gabriela é alta, então Paulo não é alto. b) Gabriela é alta, então Paulo é alto. c) Gabriela não é alta, então Paulo não é alto. d) Gabriela não é alta, então Paulo é Gabriela. e) Paulo não é alto, então Gabriela é maior que Paulo.

FCC- 2013

Leia a instrução fictícia reproduzida a seguir e suponha que ela seja sempre cumprida.“Sempre que um Oficial de Justiça executar uma intimação, ele deverá estar acompanhado por um Policial Federal.”Nessas condições, é correto concluir que, necessariamente, a) os Oficiais de Justiça deverão estar acompanhados por um Policial Federal durante todo seu horário de trabalho. b) um Oficial de Justiça só deverá solicitar o acompanhamento de um Policial Federal quando for executar uma intimação. c) sempre que um Oficial de Justiça estiver acompanhado por um policial, ele deverá estar executando uma intimação. d) se um Oficial de Justiça não estiver executando uma intimação, então ele não poderá estar acompanhado por um Policial Federal. e) se um Oficial de Justiça não estiver acompanhado por um Policial Federal, então ele não estará executando uma intimação.

FCC - 2013

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será considerada uma TAUTOLOGIA se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Já uma proposição composta formada por duas ou

mais proposições p, q, r, ... será dita uma CONTRADIÇÃO se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

Tautologia x Contradição

Raciocínio Lógico

CASO ESPECIAL: SER OU NÃO SER , SER E NÃO SER Casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO OU NÃO SER ALGO caracterizam Tautologia, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Disjunção Inclusiva só é Falsa se ambas as proposições simples forem falsas. Exemplo: Sou feliz OU não sou feliz. → TAUTOLOGIA Da mesma forma os casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO E NÃO SER ALGO caracterizam Contradição, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Conjunção só é Verdadeira se ambas as proposições simples forem verdadeiras. Exemplo: Sou feliz E não sou feliz. → CONTRADIÇÃO

Tautologia x Contradição Raciocínio Lógico

Todo Sinônimos: “qualquer um” ou outra similar. Representação: Conclusão: Todo A é B. Alguns elementos de B são A ou existem B que são A. Negação: Trocar TODO por ALGUM NÃO Exemplo: Todo aluno gosta de Matematica. Negação: Algum aluno não gosta de Matemática

Diagramas lógicos Raciocínio Lógico

Algum Sinônimos: existe(m), há pelo menos um ou qualquer outra similar. Representação: Conclusão: Existem elementos em A que são B. Existem elementos em B que são A. Existem elementos A que não são B. Existem elementos B que não estão em A. Negação: trocar ALGUM por TODO NÃO ou por NENHUM. Exemplo: Algum aluno gosta de Matematica. Negação 1 : Todo aluno não gosta de Matemática. Negação 2 : Nenhum aluno gosta de Matemática.

Diagramas lógicos Raciocínio Lógico

Nenhum Representação: Conclusão: Nenhum A é B. Nenhum B é A. Negação: trocar NENHUM por ALGUM Exemplo: Nenhum aluno gosta de Matematica. Negação : Algum aluno gosta de Matemática.

Diagramas lógicos

Raciocínio Lógico

Diante, apenas, das premissas “Existem juízes”, “Todos os juízes fizeram Direito” e “Alguns economistas são juízes”, é correto afirmar que a) todos aqueles que fizeram Direito são juízes. b) todos aqueles que não são economistas também não são juízes. c) ao menos um economista fez Direito. d) ser juiz é condição para ser economista. e) alguns economistas que fizeram Direito não são juízes.

FCC - 2015

Exemplos Toda mulher é friorenta. Negação: Alguma mulher não é friorenta. Algum aluno da casa será aprovado. Negação: Nenhum aluno da Casa vai ser aprovado. Nenhum gremista é campeão. Negação: Pelo menos um gremista é campeão. Todos os estudantes não trabalham. Negação: Algum estudante trabalha.

Diagramas lógicos

Raciocínio Lógico

Resumindo

Diagramas lógicos

Raciocínio Lógico

Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador a) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. b) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. c) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. d) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. e) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete.

FCC - 2013

OUTROS TIPOS DE QUESTÕES

Raciocínio Lógico

Um baralho convencional possui 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (paus, copas, espadas e ouros). O número mínimo de cartas que devem ser retiradas de um baralho convencional para que se possa afirmar que necessariamente, dentre as cartas retiradas, haverá pelo menos uma de cada naipe é igual a: a) 4 b) 40 c) 27 d) 26 e) 13

FCC - 2013

Uma urna contém 14 bolas vermelhas, 15 pretas, 5 azuis e 11 verdes. Retirando-se ao acaso uma bola por vez dessa urna, o número mínimo de retiradas para se ter certeza que uma bola azul esteja entre as que foram retiradas é a) 6. b) 20. c) 1. d) 41. e) 40.

FCC - 2014

Há um diamante dentro de uma das três caixas fechadas e de cores diferentes (azul, branca, cinza). A etiqueta da caixa azul diz “o diamante não está aqui”, a da caixa branca diz “o diamante não está na caixa cinza”, e a da caixa cinza diz “o diamante está aqui”. Se apenas uma das etiquetas diz a verdade, então, a caixa em que está o diamante e a caixa com a etiqueta que diz a verdade são, respectivamente, a) azul e cinza. b) branca e azul. c) cinza e cinza. d) cinza e azul. e) azul e branca.

FCC - 2015

Quatro corredores participaram de uma corrida de 100 metros rasos. Sabe-se que Cláudio (C) chegou imediatamente atrás de Bruno (B); e Daniel (D) chegou no meio entre Adriano (A) e Cláudio. De acordo com essas informações, a classificação final da corrida foi a) 1o A, 2o B, 3o D, 4o C. b) 1o B, 2o C, 3o D, 4o A. c) 1o B, 2o D, 3o A, 4o C. d) 1o A, 2o B, 3o C, 4o D. e) 1o B, 2o A, 3o C, 4o D.

FCC - 2015

TENHAM CALMA !!! FAÇAM AS QUESTÕES MAIS FÁCEIS PRIMEIRO !