programacion lienal ejercicios resuelltos
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PROBLEMA 1:
Para el modelo de la compaa PINTUCO produce pinturas para interiores y exteriores, a
partir de dos materias primas, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos bsicos del
problema.
Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2
toneladas. Adems, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la
pintura para exteriores por ms de 1 tonelada. Pintuco quiere determinar la mezcla de
producto ptima de pinturas para interiores y exteriores que maximice la utilidad total
diaria. Construya cada una de la siguientes restricciones y exprsalas con un lado derecho
constante.
X1= Toneladas diarias de pinturas para exteriores
X2= Toneladas diarias de pinturas para interiores
FO (MAX) UTILIDAD= 5X1+4X2
Sa:
1) 6x1+4x2 24 (disponibilidad de materia prima M1)
2) x1+2x2 6 (disponibilidad de materia prima M2)
3) x2-x11 (produccin diaria de pintura para exteriores e interiores)
4) x22 (demanda de pintura para interiores)
5) x1,x20 N.N
Toneladas de Materia prima Pintura para exteriores
Pintura para interiores
Disponibilidad diaria mxima (ton)
Materia prima M1 6 4 24 Materia prima M2 1 2 6
Unidad por ton (miles de $) 5 4
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
2
Z1= 18+6 24 EFECTIVA
Z2=3+3 6 EFECTIVA
Z3=1.5-31 NO EFECTIVA
Z4=1.52 NO EFECTIVA
PRECIO SOMBRA
Primera Restriccin disminuyendo
6x1+4x2 23
P1(2.75;1.63)
Z1-Z=20.27-21=-0.73
Aumentando
6x1+4x2 25
P2(3.25; 1.38)
Z2-Z=21.77-21= 0.77
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
3
Por cada tonelada que se aumente en la disponibilidad diaria abra una ganancia de 0.77
centavos de dlar al contrario si se disminuye una tonelada en la disponibilidad diaria har una
prdida de 0.73 centavos.
Segunda Restriccin (Aumento)
x1+2x2 7
p1(3;2)
Z1-Z=23-21=2
Disminuyendo
x1+2x2 5
p2(3;1)
Z2-Z=19-21=-2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
4
Si se aumenta en una tonelada la disponibilidad de la materia M2 abra una ganancia de 2
dlares pero si se disminuye una tonelada habr una prdida de -2 dlares.
Intervalos de Factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (3,1.5)
Mnimo: (2,2)
20 1 24
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (3,1.5)
Mnimo: (0,2)
6 2 4
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (2,1)
Mnimo: (1.5,0)
1 3 1.5
Cuarta RESTRICCIN
x22
Mximo: (2,0)
Mnimo: (1.5,0)
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
5
2 3 1.5
ISOUTILIDAD
(maxi) = 11 + 22
1 = 5
2 = 4
10 1 6
PROBLEMA 2:
Para la solucin factible = , = del modelo de Pintuco, determine:
a) La cantidad no utilizada de materia prima M1
b) La cantidad no utilizada de materia prima M2
F.O : Maximizar utilidad
1: Pintura para exteriores
2: Pintura para interiores
= 5 1 + 4 2
s.a:
6 1 + 4 2 24 Restriccin materia prima M1
1 + 2 2 6 Restriccin materia prima M2
0 N.N
a) La cantidad no utilizada de materia prima M1
6 1 + 4 2 = 6 2 + 4 2 = 20
24 20 = 4
No se utilizan 4 toneladas de la materia prima M1
b) La cantidad no utilizada de materia prima M2
1 + 2 2 = 2 + 2 2 = 6
6 6 = 0
Se utilizan todas las toneladas disponibles de la materia prima M2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
6
PROBLEMA 3.
Suponga que PINTUCO le vende su pintura para exteriores a un solo mayorista, con un
descuento por cantidad. El resultado final es que la utilidad por tonelada ser de 5.000
dlares si el contratista compra no ms de 2 toneladas diarias o de lo contrario de 4.500
dlares. Es posible modelar esta situacin como un modelo de PL?
Si pues la PL (programacin lineal) es una clase de modelo de programacin matemtica
destinada a la asignacin eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el
objetivo de satisfacer las metas deseadas. La caracterstica distintiva de un modelo PL es que
las funciones que representan el objetivo son lineales es decir, inecuaciones o ecuaciones de
primer grado, para resolver problemas de carcter tcnico econmico que se presentan por la
limitacin de recursos.
PROBLEMA 4:
Determine el espacio de solucin y la solucin ptima del modelo de PINTUCO para cada uno
de los siguientes cambios independientes:
a) La demanda mxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.
b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.
c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente de 1 tonelada
ms que la pintura para exteriores.
d) La disponibilidad diaria de materia prima, M1, es de por lo menos 24
toneladas.
e) La disponibilidad diaria de materia prima M1, es de 24 toneladas como
mnimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la
pintura para exteriores en por lo menos 1 tonelada
a)
Z(max)utilidad= 5x1+4x2
Sa:
1. 6x1+4x224 materia prima M1
2. X1+2x26 materia prima M2
3. X12.5 demanda mxima diaria pintura para exteriores
4. X2-x11 relacin demanda diaria de pintura
5. xj0 N.N
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
7
ZA(0,0)=0
ZB(2.5,0)=12.5
ZC(0,1)=4
ZD(2.5,1.75)=19.5 MAX
ZE(1.33,2.33)=16
La utilidad mxima a lograr es de 19.5 dlares cuando se usa 2.5 toneladas de pintura para
exteriores y 1.75 toneladas de pintura para interiores
b)
Z(max)utilidad= 5x1+4x2
Sa:
1. 6x1+4x224 materia prima M1
2. X1+2x26 materia prima M2
3. X12.5 demanda mxima diaria pintura para interiores
4. X2-x11 relacin demanda diaria de pintura
5. xj0 N.N
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
8
ZA(0,1)=4
ZB(3,1.5)=21 MAX
ZC(3.33,1)=20.67
ZD(1.33,2.33)=16
La utilidad mxima a lograr es de 21 dlares cuando se usa 3 toneladas de pintura para
exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores
C)
Z(max)utilidad= 5x1+4x2
Sa:
1. 6x1+4x224 materia prima M1
2. X1+2x26 materia prima M2
3. X22 demanda mxima diaria pintura para interiores
4. X2-x1=1 relacin demanda diaria de pintura
5. xj0 N.N
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
9
ZA(0,1)=4
La utilidad mxima a lograr es de 4 dlares cuando se usa 0 toneladas de pintura para
exteriores y 1 toneladas de pintura para interiores
d)
Z(max)utilidad= 5x1+4x2
Sa:
1. 6x1+4x224 materia prima M1
2. X1+2x26 materia prima M2
3. X22 demanda mxima diaria pintura para interiores
4. X2-x11 relacin demanda diaria de pintura
5. xj0 N.N
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
10
ZA(4,0)=20
ZB(6,0)=30 MAX
ZC(3.33,1)=20.67
ZD(4,1)=24
La utilidad mxima a lograr es de 30 dlares cuando se usa 6 toneladas de pintura para
exteriores y 0 toneladas de pintura para interiores
e)
Z(max)utilidad= 5x1+4x2
Sa:
1. 6x1+4x224 materia prima M1
2. X1+2x26 materia prima M2
3. X22 demanda mxima diaria pintura para interiores
4. X2-x11 relacin demanda diaria de pintura
5. xj0 N.N
No posee solucin ptima, ni punto ptimo
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
11
PROBLEMA 5:
La seorita Carolina Gutirrez es una estudiante emprendedora de primer ao en la
Universidad Tcnica Particular de Loja. Comprende que slo el trabajo y nada de diversin
hacen de Carolina una muchacha aburrida. Como resultado, Carolina quiere distribuir su
tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al da, entre el trabajo y la diversin. Calcula
que el juego es dos veces ms divertido que el trabajo. Tambin quiere trabajar por lo
menos tanto como juega.
Sin embargo, Carolina comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no
puede jugar ms de cuatro horas al da. Cmo debe distribuir Carolina su tiempo para
maximizar su satisfaccin tanto en el trabajo como en el juego?
FORMULACIN:
VARIABLES NIVEL DE SATISFACCIN RELACIN DE JUEGO HORAS DIARIAS ENTRE
JUGAR Y TRABAJAR Diversin (x1) 2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
12
(4,6) = 2(4) + 6 = 14
1. 4 + 6 = 10
2. 4 = 4
3. 4 6 < 0
Conclusin:
La satisfaccin mxima a lograr es 14, esto sucede si Carolina distribuye su tiempo en 4 horas
de diversin y 6 horas de trabajo.
Precio Sombra dual:
PRIMERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
1 + 2 11
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
13
P(4,7)
(4,7) = 2(4) + 7 = 15
Z-Z=14-15=-1
DISMINUYENDO 1
+
P(4,5)
(4,5) = 2(4) + 5 = 13
Z-Z=14-13=1
El precio sombra de la restriccin primera (tiempo disponible de Carolina) es de 1, lo cual
implica que si Carolina aumenta 1 hora a su tiempo disponible, tambin aumenta 1 hora de
satisfaccin. Si Carolina reduce 1 hora a su tiempo disponible, reduce 1 hora a su satisfaccin.
SEGUNDA RESTRICCIN
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
14
AUMENTANDO 1
1 5
P(5,5)
(5,5) = 2(5) + 5 = 15
Z-Z=14-15=-1
DISMINUYENDO 1
1 3
P(3,7)
(3,7) = 2(3) + 7 = 13
Z-Z=14-13=1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
15
El precio sombra de la restriccin segunda (tiempo disponible de juego) es de 1, lo cual implica
que si Carolina aumenta 1 hora a su tiempo de juego, tambin aumenta 1 hora de satisfaccin.
Si Carolina reduce 1 hora a su tiempo disponible, reduce 1 hora a su satisfaccin.
TERCERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
1 2 1
P(4,6)
(4,6) = 2(4) + 6 = 14
Z-Z=14-14=0
DISMINUYENDO 1
1 2 1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
16
P(4,6)
(4,6) = 2(4) + 6 = 14
Z-Z=14-14=0
El precio sombra de la restriccin tercera (tiempo relacionado entre trabajo y diversin) es de
0, lo cual implica que si las variaciones en relacin al tiempo relacionado entre trabajo y
diversin aumentan o disminuyen, su satisfaccin no vara.
Intervalos de factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (10,0)
Mnimo: (0,10)
10 1 20
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (4,6)
Mnimo: (4,0)
8 2 14
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (4,4)
Mnimo: (0,0)
0 3 12
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
17
ISOUTILIDAD: Entre L1 y L2
(maxi) = 11 + 22
PENDIENTE DE LA RECTA DE ISOUTILIDAD: -2
2 C1C2
1 = 2
2 = 1
(2)(1) 1
2 1
PROBLEMA 6:
Para el modelo (de la dieta). Du Pont utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento
especial. El alimento especial es una mezcla de maz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones:
Los requerimientos dietticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30%
de protenas y cuando mucho un 5% de fibra. Du Pont desea determinar el costo mnimo
diario de la mezcla de alimento.
Libra por libra de alimento para ganado
Alimento para ganado
Protenas Fibra Costo (/libra)
Maz 0.09 0.02 0.30 Semilla de Soya 0.60 0.06 0.90
X1= libras de maz en la mezcla diaria
X2 = libras de semilla de soya en la mezcla diaria
FO(MIN) Mezcla de alimento = 0.31 + 0.92
Sa:
1) x1+x2 800 (libras de alimento diariamente)
2) 0.21x1-0.301x20
3) 0.3x1-0.1x20
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
18
4) x1;x2 0
Punto de efectividad (471;329)
Z1= 800 800 EFECTIVA
Z2=-0.119 0 NO EFECTIVA
Z3=108.40 NO EFECTIVA
Precios Sombra
Primera Restriccin disminuyendo
x1+x2 799
P1(471;328)
Z1-Z= -437.4+436.5=-0.9
AUMENTANDO
x1+x2 801
P2(472;329)
Z2-Z= 437.7-437.4=0.3
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
19
Si se aumenta una libra en la utilizacin diaria de alimentos se va tener un 0.3 centavos de
dlar ms caro pero si se disminuye una libra su costo mnimo reducir 0.9 centavos de dlar.
Intervalos de Factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
0 1 227
SEGUNDA RESTRICCIN:
800 2 0
TERCERA RESTRICCIN:
0 3
ISOUTILIDAD
(maxi) = 11 + 22
1 = 0.3
2 = 0.9
0.9 1
PROBLEMA 7:
Para el modelo de la dieta anterior. Qu tipo de solucin ptima dara el modelo si la
mezcla de alimento no excediera de 800 libras al da? Tiene sentido esa solucin?
F.O : Minimizar costo
1: Libras de maiz
2: libras de soya
= 0.3 1 + 0.9 2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
20
s.a:
1 + 2 800 Libras diarias de alimento
0.091 + 0.62 0.3 Requerimiento protenas
0.021 + 0.06 2 0.05 Requerimiento fibra
0 N.N
La solucin ptima es Z (0,0) = 0
Esta respuesta no tiene sentido porque si no hubiera mezcla entre maz y soya, no existiera el
alimento.
PROBLEMA 8:
Valeria Ortiz debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso
mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en 2 tiendas al detalle: en la
tienda 1 Valeria puede trabajar entre5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten
trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Valeria
quiere basar su decisin acerca de cuntas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio
diferente: el factor del estrs en el trabajo. Basndonos en entrevistas con los empleados
actuales. Valeria calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrs son de 8 y 6 en
las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrs aumenta por hora, ella supone que
el estrs total al final de la semana es proporcional al nmero de horas que trabaja en la
tienda. Cuntas horas debe trabajar en cada tienda?
Formulacin
Variables de decisin:
X1: Horas a trabajar en la tienda 1
X2: Horas a trabajar en la tienda 2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
21
F.o:
Zmin= 8X1+ 6X2
S.a
X1+X220 -----> Horas a trabajar en la tienda 1 ms las horas a trabajar en la tienda 2
X15
X112
--------> En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas.
X26
X210
-------->En la tienda 2 puede trabajar entre 6 y 10 horas.
X1,X2 0 ------>No negatividad
Solucin Grfica:
Z(8,12) = (8*10) + (6*10) = 140
Funcin de isocosto
8X1+6X2=140
Conclusin.
Para minimizar su estrs Juan debe de trabajar 10 hrs ( resultado de X1) en la tienda 1 y 10
hrs (resultado de X2 ) en la tienda 2 y el mnimo de estrs est dado por Z=140
Anlisis de efectividad
1. X1+X220
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
22
10+10=20 Restriccin efectiva
2. X15
10>5 Restriccin no efectiva
3. X112
106 Restriccin no efectiva
5. X210
10=10 Restriccin efectiva
Al sustituir en las desigualdades notamos lo siguiente:
En desigualdad 1: Las horas a trabajar en la tienda 1 ms las horas a trabajar en la tienda
2 son 20.
En desigualdad 2: Las horas a trabajar en la tienda 1 son cinco ms de las 5 mnimas.
En desigualdad 3: Las horas a trabajar en la tienda 1 son dos menos de las 12 mximas.
En desigualdad 4: Las horas a trabajar en la tienda 2 son cuatro ms de las 6 mnimas.
En desigualdad 5: Las horas a trabajar en la tienda 2 son exactamente 10 de las 10 mximas.
Precio sombra
PRIMERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
X1+X221
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
23
P(11,10)
(11,10) = 8(11) + 6(10) = 148
Z-Z=140-148=-8
DISMINUYENDO 1
X1+X219
P(9,10)
(11,10) = 8(9) + 6(10) = 132
Z-Z=140-132=8
El precio sombra para la primera restriccin es de 8, lo cual implica que si Valeria aumenta o
disminuye 8 horas de trabajo en la tienda, su nivel de estrs tambin aumenta o disminuye 8
eslabones
SEGUNDA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
X16
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
24
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140 Z-Z=140-140=0
DISMINUYENDO 1
X14
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140
Z-Z=140-140=0
TERCERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
X113
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
25
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140 Z-Z=140-140=0
DISMINUYENDO 1
X111
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140
Z-Z=140-140=0
CUARTA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
X27
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
26
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140
Z-Z=140-140=0
DISMINUYENDO 1
X25
P(10,10)
(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140
Z-Z=140-140=0
QUINTA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
X211
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
27
P(9,11)
(9,11) = 8(9) + 6(11) = 138
Z-Z=140-138=2
DISMINUYENDO 1
X29
P(11,9)
(11,9) = 8(11) + 6(9) = 142
Z-Z=140-142=-2
PROBLEMA 9:
En el modelo de PINTUCO (problema 1), considerar la solucin factible = toneladas y
= tonelada. Determine el valor de holguras asociadas para materia prima M1 y M2
Para los valores de Holgura, tomando en cuenta la restriccin 1 y 2 correspondientes a la
disponibilidad diaria mxima de materia prima M1 y M2:
1: 61 + 42 24
1 = 24 (61 + 42)
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
28
1 = 24 [6(3) + 4(1)]
1 = 2 (Toneladas diarias)
PROBLEMA 10:
En el modelo de la dieta (problema 6), determine la cantidad excedente de alimen to que
consiste en 500 libras de maz y 600 libras de semillas de soya.
FO(min) Mezcla de alimento = 0.3 x1 + 0.9 x2
Si
x1=500
x2=600
Z(500,600)= 690
1) x1+x2 800
500+600800
1100>800 No efectiva 300
2) 0.21x1-0.301x20
0.21 (500)-0.301(600) 0
-75.60 No efectiva 90
PROBLEMA 11:
Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de produccin por
unidad de productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total
de la mquina es de 2.500 minutos por da. En un da cualquiera, el fabricante vende entre
150 y 200 unidades del producto 1, pero no ms de 45 unidades del producto 2. Se pueden
emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0,50 de dlar por
minuto.
a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y2 son 6.0 y 7.50
dlares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel ptimo de
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
29
fabricacin para cada producto, as como cualesquier nmero de horas extras
necesarias en el centro.
b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dlares, la
entidad debe utilizar horas extras?
1 = 1
2 = 2
. .:
1) 101 + 122 2500 Tiempo regular total de la mquina por da.
2) 1 150 Venta min unidades del producto 1
3) 1 200 Venta max unidades del producto 1
4) 2 45 Venta min unidades del producto 1
5) 0 N.N.
Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound
X1 196 0 6 0 6,25
X2 45 0 7,5 7,2 Infinity
Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound
Constraint 1 ,6 0 2500 2040 2540
Constraint 2 0 46 150 -Infinity196
Constraint 3 0 4 200 196 Infinity
Constraint 4 ,3 0 45 41,6667 83,3333
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
30
: (196; 45) = 6(196) + 7.5(45) = 1513.5
: 61 + 7.52 = 1513.5
Conclusin:
La utilidad mxima a lograr es 1513.5, vendiendo 196 unidades del producto 1 y 45 unidades
del producto 2.
Tipo de restriccin:
1) 10(196) + 12(45) = 2500 2500 RESTRICCION EFECTIVA.
2) 1 = 196 150 RESTRICCION NO EFECTIVA.
3) 1 = 196 200 RESTRICCION NO EFECTIVA.
4) 2 = 45 45 RESTRICCION EFECTIVA.
Precio Sombra dual:
PRIMERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
101 + 122 2501
P(196.1;45)
(196.1; 45) = 6(196.1) + 7.5(45) = 1514.1
Z-Z=1514.1 1513.5 = 0.6
DISMINUYENDO 1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
31
101 + 122 2499
P(196.9;45)
(195.9; 45) = 6(195.9) + 7.5(45) = 1512.9
Z-Z=1513.5 1512.9 = 0.6
El precio sombra de la primera restriccin (Tiempo regular total de la mquina por da) es de
0.6, lo cual implica que por cada min que se aumente al proceso aumenta 0.6 dlares de
utilidad. Si se reduce la produccin en un minuto, se reduce 0.6 dlares de utilidad.
SEGUNDA RESTRICCIN
Es No Efectiva por lo que no se tendr ningn precio sombra.
TERCERA RESTRICCIN
Es No Efectiva por lo que no se tendr ningn precio sombra.
CUARTA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
32
2 46
P(194.8;46)
(194.8; 46) = 6(194.8) + 7.5(46) = 1513.8
Z-Z=1513.8 1513.5 = 0.3
DISMINUYENDO 1
2 44
P(197.2;44)
(197.2; 46) = 6(197.2) + 7.5(44) = 1513.2
Z-Z=1513.5 1513.2 = 0.3
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
33
El precio sombra de la primera restriccin (Tiempo regular total de la mquina por da) es de
0.3, lo cual implica que por cada min que se aumente al proceso aumenta 0.3 dlares de
utilidad. Si se reduce la produccin en un minuto, se reduce 0.3 dlares de utilidad
Intervalos de factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (200,45)
Mnimo: (150,45)
2040 1 2540
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (196,0)
2 196
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (196,0)
196 3
CUARTA RESTRICCIN:
Mximo: (150,83.33)
Mnimo: (200,41.67)
41.67 4 83.33
INTERVALOS DE OPTIMALIDAD: L1^L4
(max) = 11 + 22
61 + 7.52 = 1513.5
L1: 101 + 122 2500
1 = 10 2 = 12 12
=10
12=
5
6
L4: 2 45
1 = 0 2 = 1 12
=0
1= 0
-
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34
0 C1C2
5
6
6
5
C2C1
1 = 6
2 = 7.5
0 C17.5
5
6
=> 0 1 6.25
6
5
C26
=> 7.2 C2
PROBLEMA 12:
Determine grficamente el rango ptimo, para los siguientes problemas. Observe los
casos especiales donde pueden asumir un valor de cero
= 21 + 32
Sujeto a
a) 31 + 22 5
1 + 2 0
1,2 0
-
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35
(0,0) = 0
(1,1) = 5
(1.67,0) = 3.34
Se maximiza la funcin hasta 5, con 1 = 1 y 2 = 1 .
1) 5 5 5 = 5 Restriccin Efectiva
2) 0 0 0 = 0 Restriccin Efectiva
1) 5 5 = 0 Se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1.
2) 0 0 = 0 1 es igual a 2.
Con la distribucin obtenida, se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1 y 1 es
igual a 2.
Anlisis de Sensibilidad
Precio Sombra:
Para la restriccin 1:
+1 -1
1) 31 + 22 6 4
2) 1 + 2 0
-
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36
Para : 1 2
31 + 22 = 6 = 6
1 + 2 = 0 = 5
(1.2,1.2) = 1
Para : 1 2
31 + 22 = 4 = 4
1 + 2 = 0 = 5
(0.8,0.8) = 1
El precio sombra para la restriccin 1 es de 1, lo cual implica que si se aumenta
una unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo incrementara en 1, mientras que
si se disminuye unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo disminuir en 1.
Para la restriccin 2:
+1 -1
1) 31 + 22 5
2) 1 + 2 1 1
Para : 1 2
31 + 22 = 5 = 6
1 + 2 = 1 = 5
(0.6,1.6) = 1
Para : 1 2
31 + 22 = 5 = 4
1 + 2 = 1 = 5
(1.4,0.4) = 1
El precio sombra para la restriccin 2 es de 1, lo cual implica que si se aumenta
una unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo incrementara en 1, mientras que
si se disminuye unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo disminuir en 1.
-
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37
Intervalos de Factibilidad
1 {: (,) 31 + 22 =
: (0,0) 31 + 22 = 0
0 1
2 {: (0,2.5) 1 + 2 = 2.5
: (1.67,0) 1 + 2 = 1.67
1.67 2 2.5
Intervalos de Optimalidad
Isoutilidad: 1 2
() = 11 + 22
1
2
En 1: 31 + 22 5 1
2=
3
2= 1.5
En 4: 1 + 2 0
1
2=
1
1= 1
Entonces:
1 = 2, 2 = 3
1 1
2 1.5
1 2
2
1
1.5
2 2 1.33
-
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38
1 1
2 1.5
1 1
3 1.5
3 1 4.5
= 41 + 32
Sujeto a
b) 31 + 52 5
1 2 0
1,2 0
(0,0) = 0
(0.625,0.625) = 4.375
(0,1)=3
Se maximiza la funcin hasta 4.38, con 1 = 0.625 y 2 = 0.625 .
Anlisis de las Restricciones:
3) 5 5 5 = 5 Restriccin Efectiva
4) 0 0 0 = 0 Restriccin Efectiva
3) 5 5 = 0 Se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1.
-
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39
4) 0 0 = 0 1 es igual a 2.
Con la distribucin obtenida, se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1 y 1 es
igual a 2.
Anlisis de Sensibilidad
Precio Sombra:
Para la restriccin 1:
+1 -1
3) 31 + 52 6 4
4) 1 2 0
Para : 1 2
31 + 52 = 6 = 5.25
1 2 = 0 = 4.375
(0.75,0.75) = 0.875
Para : 1 2
31 + 52 = 4 = 3.5
1 2 = 0 = 4.375
(0.5,0.5) = 0.875
El precio sombra para la restriccin 1 es de 0.875, lo cual implica que si se
aumenta una unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo incrementara en 0.875,
mientras que si se disminuye unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo
disminuir en 0.875.
Para la restriccin 2:
+1 -1
3) 31 + 52 5
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
40
4) 1 2 1 1
Para : 1 2
31 + 52 = 5 = 5.75
1 2 = 1 = 4.375
(1.25,0.25) = 1.375
Para : 1 2
31 + 52 = 5 = 3
1 2 = 1 = 4.375
(0,1) = 1.375
El precio sombra para la restriccin 2 es de 1.375, lo cual implica que si se
aumenta una unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo incrementara en 1.375,
mientras que si se disminuye unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo
disminuir en 1.375.
Intervalos de Factibilidad
1 {: (,) 31 + 52 =
: (0,0) 31 + 52 = 0
0 1
2 {: (0,1) 1 2 = 1
: (1.67,0) 1 2 = 1.67
1 2 1.67
Intervalos de Optimalidad
Isoutilidad: 1 2
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
41
() = 11 + 22
1
2
En 1: 31 + 52 5 1
2=
3
5= 0.6
En 4: 1 2 0
1
2=
1
1= 1
Entonces:
1 = 4, 2 = 3
1 1
2 0.6
1 2
4
1
0.6
4 2 6.67
1 1
2 0.6
1 1
3 0.6
3 1 1.8
PROBLEMA 13:
En el problema de la dieta (problema 6)
a) Determine la gama de optimilidad para la razn del costo pos libra de maz con el
costo por libra de alimento de semilla de soya.
b) Si el costo por libra de maz se incrementa 20% y el del alimento de semilla de soya
disminuye en 5%, La solucin actual seguir siendo ptima?
c) Si el costo por libra de maz se mantiene fijo a 0,30 centavos y el costo por libra de
alimento se semilla de soya aumenta a 1,10 dlares, la solucin actual seguir
siendo ptima?
0.63 1 0.9
0.3 2
-
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42
Siendo 1 el costo por libra de maz, y 2 el costo por libra de semilla de soya.
a) La funcin objetivo es 0.31 + 0.92, si se aumenta el costo por libra de maz en un
20% y se disminuye el costo por libra de semilla de soya en un 5%, tendremos:
0.361 + 0.8552
Analizando el intervalo de optimalidad podemos apreciar que tanto 0.36 como 0.855,
estn dentro de sus respectivos intervalos, por tanto la solucin sigue si endo ptima.
b) De igual manera, si el costo por libra de maz se mantiene, y el costo por libra de
semilla de soya aumenta a 1.10 dlares; ambas cantidades siguen dentro de sus
respectivos intervalos, por tanto la solucin sigue siendo ptima.
PROBLEMA 14:
La tienda de comestibles AMAZONAS vende dos tipos de bebidas no alcohlicas, la marca de
sabor cola PEPSI y la marca propia de la tienda, AMAZONAS, ms econmica. El margen de
utilidad en la bebida PEPSI es de alrededor de 5 centavos de dlar por lata, mientras que la
bebida de cola AMOAZONAS 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende ms de 500
latas de ambas bebidas de cola al da. Aun cuando PEPSI es una macar ms conocida, los
clientes tienden a comprar ms latas de marca AMAZONAS, porque considerablemente, es
ms econmica. Se calcula que la venta de la marca AMAZONAS superan a las de la PEPSI en
una razn de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, la tienda vende como mnimo, 100 latas de
PEPSI al da,
a) Cuntas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para
maximizar su utilidad?
b) Determine la razn de las utilidades por lata de PEPSI y AMAZONAS que mantendr
inalterada la solucin en (a).
= 1
= 2
S.A.:
1)1 + _2 500
2)21 2
3)1 100
4) 0
-
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43
FUNCION OBJETIVO:
= 51 + 72
Punto ptimo (100;400)
Funcin de iso utilidad 51 + 72 = 3300
(100,400) = 5(100) + 7(400) = 3300
1)100 + 400 500
2)2 100 400
3)100 100
4) 0
PRIMERA RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
1 + 2 501
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
44
3307 3300 = 7
DISMINUYENDO 1
1 + 2 499
3307 3300 = 7
El precio sombra de la restriccin primera (venta mxima de latas de Pepsi y amazonas ) es de
7, lo cual implica que si se vende una lata ms se aumenta la utilidad en 7 ctvs.
SEGUNDA RESTRICCION
AUMENTANDO 1
1 101
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
45
3298 3300 = 2
DISMINUYENDO 1
3302 3300 = 2
El precio sombra de la restriccin primera (venta mnima de latas de Pepsi) es de 2, lo cual
implica que si se vende una lata ms se aumenta la utilidad en 2 ctvs. la utilidad.
Intervalos de factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (100,400)
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
46
Mnimo: (500,0)
500 2 500
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (166.66, 333.33)
Mnimo: (0,500)
0 1 166.66
ISOUTILIDAD: Entre
2)21 212
= 2
3)1 10012
=
(maxi) = 11 + 22
2 C1C2
1 = 5
2 = 7
(2)(7) 1
14 1
PROBLEMA 15:
MUEBLE HOGAR emplea a 4 carpinteros durante 10 das para ensamblar sillas y mesas. Se
requieren 30 minutos para ensamblar una silla y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo
comn, los clientes compran entre 4 y 6 sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5
dlares por mesa y 5 dlares por silla. La empresa opera un turno de 8 horas al da.
a) Determine grficamente la mezcla de produccin ptima de los 10 das
b) Determine el rango de la razn de utilidades por unidad, que mantendr inalterada
la ptima (a)
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
47
c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen en un 10%, utilice la
respuesta en (a) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta a la solucin
ptima obtenida en (a)
d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dlares, utilice el
resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiar o no la solucin en (a)
= 1
= 2
S.A.:
1)0.51 + 22 80
2)42 1
3)1 62
4) 0
FUNCION OBJETIVO:
= 51 + 13.52
Punto ptimo (96;16)
Funcin de iso utilidad 51 + 13.52 = 696
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
48
(96,16) = 5(96) + 13.5(16) = 696
1) 0.5(96) + 2(96) 80
2) 4(16) 96
3)96 6 16
4) 0
PRIMER0.A RESTRICCIN
AUMENTANDO 1
3)1 62 1
670 696 = 26
El precio sombra de la restriccin primera (que seria 6 sillas que se llevan por cada mesa ) es
de 26, lo cual implica que si se vende un juego ms de 6 sillas por cada mesa la utilidad
aumentara en 26 dlares por cada juego .
Intervalos de factibilidad
1)0.51 + 22 80
2)42 1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
49
3)1 62
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (96,16)
Mnimo: (0,0)
0 1 80
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (0,40)
Mnimo: (96,16)
32 2 160
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (96,16)
Mnimo: (160,0)
0 3 160
ISOUTILIDAD: Entre
1)0.51 + 22 80 1/2 = 0.25
3)1 62 1/2 = 0.1666
(maxi) = 11 + 22
0.1666 C1C2
0.25
51 + 13.52
1 = 5
2 = 13.5
(0.166)(13.5) 1
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
50
2.241 1
PROBLEMA 16:
El Banco de Guayaquil est asignando un mximo de 200.000 dlares para prstamos
personales y de automviles durante el prximo mes. El banco cobra 14% por prstamos
personales y 12% por prstamos para automviles. Ambos tipos de prstamos se liquidan al
final de un perodo de un ao. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los
prstamos personales y del 2% de los prstamos para automviles nunca se liquidan. Por lo
comn, el banco asigna cuando menos el doble de los prstamos personales a los prstamos
para automviles.
a) Determine la asignacin ptima de fondos para los tipos de prstamos y la tasa
neta de utilidad que obtendr el banco de todos los prstamos.
b) Determine el rango de optimilidad para la razn de las tasas de inters de
prstamos personales y para automvil que mantendr inalterada la solucin en
(a)
c) Supongamos que el porcentaje de prstamos personales y para automvil no
liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, Cmo afectara este cambio la
solucin ptima en (a)?
Al analizar el enunciado del problema observamos claramente que las variables se relacionan con dos tipos de crditos: Xa = Cantidad de dinero asignada a los prstamos para autos. Xp = Cantidad de dinero asignada a los prstamos personales. El objetivo principal est relacionado lgicamente con la mayor utilidad que obtendr el banco con la asignacin de esos dos tipos de prstamo. Por lo que debemos tener presente que la utilidad viene dada por la diferencia entre lo que obtengo y lo que pie rdo o dejo de ganar. Obtengo 14% por prstamos personales y 12% por prstamos para automviles, pero despus observo que nunca se liquidan o se pierden 3% de los prstamos personales y 2% de los prstamos para autos. Entonces la funcin objetivo puede ser expresada como:
Z = (12% Xa + 14% Xp) (2% Xa + 3% Xp) O tambin: Z = 12% Xa 2% Xa + 14% Xp 3% Xp Z = 10% Xa + 11% Xp El modelo de PL quedar expresado como: MAXIMIZAR Z = 0,10 Xa + 0,11 Xp
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
51
Sujeta a las siguientes restricciones: - El banco est asignando un mximo de $200.00 para prstamos personales y de automviles:
Xa + Xp < = 200.000 (1) - Por lo comn el banco asigna cuando menos el doble de los prstamos personales a los prstamos para automviles:
Xa - 2 Xp > = 0 (2)
- Condicin de no negatividad: Xi > = 0 (3)
Solucin grfica
Ilustracin 1. Solucin Grfica
Verifique que el punto (Xa =100.000, Xp =0) cumple con las dos restricciones. El punto ptimo (donde Z alcanza el mximo valor) es la interseccin de las rectas (1) y (2) representado por el par ordenado (133330, 66670), donde:
Xa = 133.330, y Xp = 66.670 Lo que significa que para maximizar su utilidad el banco debe asignar $133.330,oo para prstamos de automviles y $66.670,oo para prstamos personales. La mxima utilidad se calcula sustituyendo estos valores en la funcin objetivo (Z):
Z = 0,10 (133.330) + 0,11 (66.670)
Zmx = $ 20.667
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
52
Comprobacin en Excel
Ilustracin 2. Tabla de datos
Restricciones
Ilustracin 3. Ingreso de restricciones
Resultados
Ilustracin 4. Resultados
Xa = 133.333
Xp = 66.667
Zmx = $ 20.667
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
53
PROBLEMA 17:
Industria Briones produce dos tipos de motores elctricos, cada uno en una lnea de
ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos lneas son de 200 y 350
motores. El motor tipo 1 emplea 20 unidades de cierto componente electrnico y el motor
tipo 2 solo utiliza 14 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 4000
piezas al da. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son 70 y 80 dlares,
respectivamente.
a) Determine la mezcla ptima para la produccin diaria
b) Determine el rango de optimalidad de la razn de utilidades por unidad que
mantendr inalterada la solucin en a.
Variable Utilidad Capacidad produccin Limite diario Componente utilizado
Tipo 1 x1 70$ 4000 200 20 u Tipo 2 x2 80$ 350 14 u
F.O Z (Max) = 70x1 + 80x2
S.A
20X1 + 14x2 4000 Lim.de motores diarios
x1 200 Lim.diaria de motores tipo 1
x2 350 Lim. diaria de motores tipo 2
x1 x2 0 No Negatividad
L1: 20x1 + 14X2 4000
L2: X1 200
L3: X2 350
L2
A
-
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54
Ilustracin 5. Resultados
INTERVALOS DE OPTIMALIDAD DE F.O
10 1 0
4 2
PRECIO DUAL
L1) 20x1 + 14x2 = 4000 (+1)
=
=
L4) X2 350 (1)
2x1-x2=0 2x1-201=0 x1= 100,5
Z(MAX(con 201)) 1809
=
=
2x1-x2=0 2x1-199=0 x1= 99,5
Z(MAX(con 199)) 1791
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
55
=
=
PRECIOS DUALES: 40; 90
PROBLEMA 18:
Caprino pizzera tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 70 centavos la libra,
con las cuales produce pasta de tomate, as como jugo de tomate. Los productos enlatados se
empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra tomates frescos y una lata de pasta
solo requiere media libra de tomates frescos. La utilizacin de las latas en la pizzera se limita a 2000
cajas de jugo y 6000 cajas de pasta mensuales. Los precios de mayoreo por caja de jugo y pasta son de
15 y 10 solares, respectivamente.
a) Desarrolle un programa de produccin ptima para la pizzera.
b) Determine la razn del precio por la caja con el precio por caja de pasta que permitir que la
pizzera produzca ms caja de jugo que pasta.
1 = (24)
2 = (24)
() = 151 24 0.71 + 102 24 0.72
() = 1.81 + 1.62
Sujeto a:
1. 241 + 122 60000 Nmero total de libras
2. 1 2000 Mximo de cajas de jugo
3. 2 6000 Mximo de cajas de pasta
4. 0 Condicin de no negatividad
Funcin de ISO utilidad: () = 1.81 + 1.62
(0,5000) = 1.81 + 1.6(5000) = 8000
241 + 122 60000 60000 60000
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
56
1 2000 0 2000
2 6000 5000 6000
Conclusin:
La utilidad mxima a lograr es 8000, vendiendo 0 unidades de jugos de tomate y 5000
unidades de pasta de tomate.
Precio Sombra dual:
PRIMERA RESTRICCIN
241 + 122 59999
= 1.8 0 + 1.6 4999 .92 = 79999 .88
Z-Z= 8000-79999 .88=0.128
241 + 122 60001
= 1.8 0 + 1.6 50000 .08 = 80000 .128
Z-Z= 8000-80000 .128=-0.128
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
57
El precio sombra de la restriccin primera (nmero total de libras de tomate) es de 0.128, lo
cual implica que por cada libra que se aumente al proceso aumenta 0.128 dlares de utilidad.
Si se reduce la produccin en una libra, se reduce 0.128 dlares de utilidad
SEGUNDA Y TERCERA RESTRICCION
Al ser restricciones no efectivas no afectan al precio sombra.
Intervalos de factibilidad
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (0,5000)
Mnimo: (0,0)
0 2 5000
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (2000,0)
2000 1
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (0,6000)
6000 3
(max) = 11 + 22
241 + 122 60000
PENDIENTE DE LA RECTA DE ISOUTILIDAD: 2
2C1
C2
1 = 1.8
2 = 1.6
(2)(1.6) 1
3.2 1
-
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58
PROBLEMA 19:
Industria Cook, ensambla dos tipos de juegos de cocina de madera precortada: regulares y
de lujo. Los juegos regulares estn pintados de blanco y los de lujo estn barnizados. Tanto la
pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del
departamento de ensamble puede producir un mximo de 100 juegos regulares y 50 juegos
de lujo. El barnizado de un juego de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular.
Si el departamento de pintura / barnizado se dedica nicamente a las unidades de lujo
terminara 80 unidades diarias. La compaa calcula que las utilidades por unidad de los
gabinetes regulares y de lujo son de 150 y 200 dlares, respectivamente.
a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de
produccin ptima por da.
b) Supongamos que, debido a la competencia, las unidades por unidad de las unidades
regulares y de lujo deben reducirse a 130 y 180 solares, respectivamente. Utilice el
anlisis de sensibilidad para determinar si la solucin ptima en a se mantienen inalterada o no.
1 =
2 =
() = 1501 + 2002
Sujeto a:
1. 1 100 Nmero total de libras 2. 2 50 Mximo de cajas de jugo
3. 1
1601 +
1
802 1 Mximo de cajas de pasta
4. 0 Condicin de no negatividad
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
59
PUNTO OPTIMO (100,30)
(100,30) = 150 100 + 200 30 = 21000
1 100 100 100
2 50 30 50
1
1601 +
1
802 1
1
160100 +
1
8030 1 1
Conclusin:
La utilidad mxima a lograr es 21000, vendiendo 100 unidades de jugos regulares y 50 juegos
de lujos.
PRIMERA RESTRICCIN
1 101
= 150 101 + 200 20.5 = 21050
Z-Z=21000-21050=50
1 99
= 150 99 + 200 30.5 =20950
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
60
Z-Z=21000-20950=50
El precio sombra de la restriccin primera (TOTAL muebles regulares) es de 50, lo cual implica
que si se vende una unidad ms de juego regular la utilidad aumentara en 50 dlares, mientras
que no se produzca un juego regular disminuir la utilidad en 50 dlares
2da
No tiene precio sombra
TERCERA RESTRICCION
1
1601 +
1
802 2
= 150 100 + 200 50 =25000
Z-Z=21000-25000=-4000
1
1601 +
1
802 0
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
61
El precio sombra de la restriccin primera (produccion) es de 16000
PRIMERA RESTRICCIN:
Mximo: (60,50)
Mnimo: (160,0)
60 1 160
SEGUNDA RESTRICCIN:
Mximo: (0,80)
Mnimo: (100,30)
30 2 /80
TERCERA RESTRICCIN:
Mximo: (50,100)
Mnimo: (100,0)
0.625 3 1.25
2 50 1/2 = 0
1
1601 +
1
802 1 1/2 = 0.5
(maxi) = 11 + 22
C1C2
0.5
1 = 150
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
62
2 = 200
0 1 0.5
C2
150
300 C2
Si se reduce la utilidad a 130 y 180
Nuestra utilidad bajara a 18400
Restndonos 21000 18400 = 2600$
PROBLEMA 20:
EcuaModa produce dos tipos de sombreros estilo toquilla, el sombrero tipo A requiere el
doble de tiempo de trabajo que el tipo B. Si todos los sombreros producidos nicamente son
del tipo B, la empresa puede producir un total de 150 sombreros al da. Los limites diarios
del mercado son 80 y 120 sombreros de tipo A y B respectivamente. La utilidad del sombrero
tipo A es de 10 dlares y el del sombrero tipo B es de 8 dlares.
a) Utilice la solucin grafica para determinar el nmero de sombreros de cada tipo que
se debe producir.
FORMULACIN:
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
63
VARIABLES TRABAJO Lmites del mercado UTILIDAD
Tipo A (x1) 2 80 10
Tipo B (x2) 1 120 8
Funcin Objetivo:
(mx)utilidad = 10x1 + 8x2
Sujeto a:
1. 21 + 2 0
2. 2 150
3. 1 80 sombrero tipo A
4. 2 120
5. 0
Se necesitan 60 sombreros de tipo A y 120 sombreros tipo B, para alcanzar una utilidad
mxima.
b) Determine el valor de incrementar la capacidad de produccin de la compaa en un
sombrero tipo B y el rango para el cual es aplicable este resultado.
FORMULACIN:
VARIABLES TRABAJO Lmites del mercado UTILIDAD
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
64
Tipo A (x1) 2 80 10
Tipo B (x2) 1 120 8
Funcin Objetivo:
(mx)utilidad = 10x1 + 8x2
Sujeto a:
1. 21 + 2 0
2. 2 151
3. 1 80 sombrero tipo A
4. 2 120
5. 0
De la misma manera que en el literal a, si se aumenta un sombreo de tipo B en la produccin
de la compaa, para alcanzar una mxima utilidad, se debe produci60 sombreros de tipo A y
120 sombreros de tipo B.
c) Si el lmite de la demanda del sombrero tipo A disminuye a 60 determine el efecto
correspondiente en la utilidad optima, utilizando el valor unitario del recurso.
FORMULACIN:
VARIABLES TRABAJO Lmites del mercado UTILIDAD
Tipo A (x1) 2 60 10
-
INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN
65
Tipo B (x2) 1 120 8
Funcin Objetivo:
(mx)utilidad = 10x1 + 8x2
Sujeto a:
1. 21 + 2 0
2. 2 150
3. 1 80 sombrero tipo A
4. 2 120
5. 0
Si la demanda en el mercado del sombrero tipo A baja a 60, se tiene al igual que el literal a y b
que para recibir una maximizacin en la utilidades se necesitan producir 60 sombreros tipo A y
120 sombreros tipo B.
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