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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e MeccatroniciAnalisi Sistemi articolati piani

prof. Paolo Righettinipaolo.righettini@unibg.it

Universita degli Studi di BergamoMechatronics And Mechanical Dynamics Labs

November 18, 2011

prof. Paolo Righettini paolo.righettini@unibg.it Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs

Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici

Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

Rappresentazione vincoli cinematici

Chiusura vettoriale

Soluzione manovellismo

Analisi velocita

Analisi quadrilatero

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I facciamo riferimento a sistemi articolati piani

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I facciamo riferimento a sistemi articolati piani

I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)

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I facciamo riferimento a sistemi articolati piani

I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)

I la posizione dei vincoli cinematici e rappresentata per mezzo di vettori nel pianocomplesso

zi = ρieiθi

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I facciamo riferimento a sistemi articolati piani

I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)

I la posizione dei vincoli cinematici e rappresentata per mezzo di vettori nel pianocomplesso

zi = ρieiθi

I il vettore nel piano complesso e rappresentato con la notazione complessa

zi = ρieiθi

in cui ρi rappresenta il modulo del vettore, mentre θi l’anomalia

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo

I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo

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I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo

I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo

I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo

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I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo

I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo

I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo

I z3 mantiene costante l’anomalia, mentre cambia il modulo

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale

I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale

z1

z2

z3e

I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)

I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo

I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo

I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo

I z3 mantiene costante l’anomalia, mentre cambia il modulo

I altri vettori, che rappresentano il telaio, rimangono costanti (modulo e anomalia)

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z1

z2

z3e

I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0

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z1

z2

z3e

I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0

I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene

{

ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0

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z1

z2

z3e

I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0

I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene

{

ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0

I riorganizzando i termini (isolando i termini contenenti θ2, incognita, descriventerotazione della biella, si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = ρ3 − ρ1 cos θ1ρ2 sin θ2 = e − ρ1 sin θ1

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z1

z2

z3e

I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0

I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene

{

ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0

I riorganizzando i termini (isolando i termini contenenti θ2, incognita, descriventerotazione della biella, si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = ρ3 − ρ1 cos θ1ρ2 sin θ2 = e − ρ1 sin θ1

I quadrando e sommando si ottiene un’equazione di secondo grado in ρ3 (posizionedel corsoio)

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0

in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella

ρ23 − 2ρ3B + A = 0

in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0

in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella

ρ23 − 2ρ3B + A = 0

in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella

I le soluzioni sonoρ3 = B ±

√

B2 − A

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0

in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella

ρ23 − 2ρ3B + A = 0

in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella

I le soluzioni sonoρ3 = B ±

√

B2 − A

I valutato ρ3 e possibile determinare l’angolo θ2 (sin θ2, cos θ2)

cos θ2 =B±

√B2−A−ρ1 cos θ1

ρ2

sin θ2 = e−ρ1 cos θ1ρ2

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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo

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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo

I partendo daρ1e

iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e

iθ3 − ee iπ/2 = 0

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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo

I partendo daρ1e

iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e

iθ3 − ee iπ/2 = 0

I considerando che dipendono dal tempo θ1, θ2, ρ3, derivando rispetto al tempo siottiene

ρ1eiθ1 i θ1 + ρ2e

iθ2 i θ2 − ρ3 = 0

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo

I partendo daρ1e

iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e

iθ3 − ee iπ/2 = 0

I considerando che dipendono dal tempo θ1, θ2, ρ3, derivando rispetto al tempo siottiene

ρ1eiθ1 i θ1 + ρ2e

iθ2 i θ2 − ρ3 = 0

I la derivata rispetto al tempo di un vettore zi , in cui il modulo e costante, risulta

dzi

dt= ρie

iθi i θi = zi i θi

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zi = ρieiθi

ρi θiei(θi+π/2)

I il vettore zi i θi puo essere espresso nella forma

ρi θiei(θi+π/2)

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zi = ρieiθi

ρi θiei(θi+π/2)

I il vettore zi i θi puo essere espresso nella forma

ρi θiei(θi+π/2)

I e allora un vettore ruotato di π/2 rispetto al vettore −→zi , di modulo ρi θi ,

rappresenta quindi il vettore velocita del punto estremo del vettore

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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene

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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene

I{

ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0

ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0

in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene

I{

ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0

ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0

in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1

I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione

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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene

I{

ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0

ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0

in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1

I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione

I risulta

θ2 = − ρ1ρ2

θ1cos θ1cos θ2

ρ3 = ρ1θ1sin(θ1−θ2)

cos θ2

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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene

I{

ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0

ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0

in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1

I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione

I risulta

θ2 = − ρ1ρ2

θ1cos θ1cos θ2

ρ3 = ρ1θ1sin(θ1−θ2)

cos θ2

I in modo del tutto analogo si procede con l’analisi delle accelerazioni

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z1

z2

z3

z4

I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0

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z1

z2

z3

z4

I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0

I proiettando l’ungo l’asse reale ed immaginario si ottiene

{

ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 cos θ3 − ρ4 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − ρ3 sin θ3 = 0

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z1

z2

z3

z4

I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato

−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e

iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0

I proiettando l’ungo l’asse reale ed immaginario si ottiene

{

ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 cos θ3 − ρ4 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − ρ3 sin θ3 = 0

I in cui, considerando noto θ1 (rotazione dell’asta motrice), sono incogniti θ2 e θ3.La soluzione di questo sistema non lineare pue essere cercata sia per via numericache per via analitica

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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3

I quadrando e sommando si ottiene

ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3

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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3

I quadrando e sommando si ottiene

ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3

I considerando le costanti

A = −2ρ1ρ3 sin θ1B = 2ρ3ρ4 − 2ρ1ρ3 cos θ1C = ρ21 − ρ22 + ρ23 + ρ24 − 2ρ1ρ4 cos θ1

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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene

{

ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3

I quadrando e sommando si ottiene

ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3

I considerando le costanti

A = −2ρ1ρ3 sin θ1B = 2ρ3ρ4 − 2ρ1ρ3 cos θ1C = ρ21 − ρ22 + ρ23 + ρ24 − 2ρ1ρ4 cos θ1

I si ottiene il sistema in sin θ3 e cos θ3{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

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I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

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I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine

{

y = −C−BxA

x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0

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I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine

{

y = −C−BxA

x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0

I le cui soluzioni sono

x =−BC±A

√B2+A2−C2

A2+B2 = cos θ3

y =−CA∓B

√B2+A2−C2

A2+B2 = sin θ3

prof. Paolo Righettini paolo.righettini@unibg.it Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs

Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici

Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine

{

y = −C−BxA

x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0

I le cui soluzioni sono

x =−BC±A

√B2+A2−C2

A2+B2 = cos θ3

y =−CA∓B

√B2+A2−C2

A2+B2 = sin θ3

I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)

prof. Paolo Righettini paolo.righettini@unibg.it Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine

{

y = −C−BxA

x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0

I le cui soluzioni sono

x =−BC±A

√B2+A2−C2

A2+B2 = cos θ3

y =−CA∓B

√B2+A2−C2

A2+B2 = sin θ3

I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)

I in modo analogo si procede per il calcolo di θ2

prof. Paolo Righettini paolo.righettini@unibg.it Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs

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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero

I partendo da{

C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1

I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine

{

y = −C−BxA

x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0

I le cui soluzioni sono

x =−BC±A

√B2+A2−C2

A2+B2 = cos θ3

y =−CA∓B

√B2+A2−C2

A2+B2 = sin θ3

I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)

I in modo analogo si procede per il calcolo di θ2I per l’analisi delle velocita e delle accelerazioni e necessario derivare rispetto al

tempo l’equazione di chiusura vettoriale.

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