professor alisson de souza análise combinatória. a análise combinatória procura resolver...
Post on 16-Apr-2015
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Professor Alisson de Souza
Análise Combinatória
A análise combinatória Procura resolver problemas de contagem.
As vezes contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nestes casos,através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais Rápido
Exemplo
Determinar as combinações possíveis de placas de carros no planejamento urbano, na teoria dos jogos e etc.
Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes, a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediarias.
Exemplo
Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?
Resposta
3 ∙ 2 = 6 maneiras diferentes.
Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados.
Exemplo 1
Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?
Camiseta 1
Camiseta 2
Camiseta 3
Calça 1
Calça 2
Calça 1
Calça 2
Calça 1
Calça 2
6 Possibilidades.
Exemplo 2
Um homem joga sucessivamente uma moeda e ele irá parar se obter OU duas caras OU três lançamentos ( o que primeiro ocorrer ). Quantos resultados diferentes ele pode obter?
Coroa
Cara
Cara
Coroa
Cara
Coroa
7 Possibilidades.
Cara
CoroaCara
Coroa
Cara
Coroa
Exemplo 3
Sabendo que as placas de carros possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis? (indique os calculos)
x26 26 26 10 10 10 10
26³ ∙ 10 4
12167 ∙ 10000
12167 0000
Ou seja teríamos 121670000 combinações possíveis de placas
Exemplo 4
Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5?
x5 4 3
x = 60
Ou seja poderemos montar 60 números com 3 algarismos distintos
Exemplo 5
Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?
Cuidado 023, 045 são números de 2 algarismos, porque quando um número começa com 0 o mesmo é ignorado.
x4 4 3
x =48
Ou seja poderemos montar 48 números com 3 algarismos distintos
Exemplo 6
Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) que começam com 2 podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?
x1 4 3
x =12
Ou seja poderemos montar 12 números que começam com o número 2
Exemplo 7
Quantos números pares (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?
x x0
Cuidado ao considerar os pares, não esqueça que o 0 não pode vir no começo! Divida o exercicio em casos.
1° Caso – Pares com 0 no final
143=12
x x
2° Caso – Pares sem o 0 no final
233=18
Ou seja 12 + 18 = 30 números pares distintos
Através do principio fundamental da contagem, podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de combinatória.
Um arranjo pode ser de dois tipos:
- Arranjo com repetição
- Arranjo simples (também chamado de arranjo)
Nos arranjos com repetição ou simples, (a ordem é importante). Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.
Se em um grupo for possível repetir os elementos (como o próprio nome sugere) teremos um Arranjo com Repetição
-Equação do arranjo com repetição
(AR) = nn,r
r
Exemplo 8: Quantos números de 3 algarismos, podemos fazer com 1,2,3 e 4?
x4 4 4
x = 4³ ou 64 combinações (AR) = 44,3
3 64
9 – Em uma urna há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número da mesma em um papel e recoloca a ficha na urna, repetindo o processo mais três vezes, criando uma sequência de quatro números. Quantas sequências são possíveis nesse caso?
x xx4 4 4 4
= 44
(AR) = nn,r
r(AR) = 4
4,44
(AR) = 2564,4
No arranjo (ou simplesmente arranjo) a ordem também é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.
Se tivermos grupos sem repetição, teremos um arranjo
Equação de arranjo simples:
A = n,p
n !
(n – p)!! = fatorial
10 – Quantos números de 3 algarimos distintos, podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?
x4 3 2
x = 24 combinações A = 4,3
4 !
(4 – 3)!4 !1!
=4.3.2.1 !
1!
4.3.2.1 !
1!= 24 combinações
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