profesor: felipillo asmad. * un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. * los...

PROFESOR: Felipillo Asmad

*Geometría del espacio – Sólidos

geométricos - PRISMA

CUERPOS SÓLIDOS

*Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.

*Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad

¿Qué características comunes ves a todos ellos?

DEFINICIÓN

*Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Actividad *Observa los siguientes poliedros.

• Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

DEFINICIÓN

*A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

Actividad *En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?

Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?

CONCLUSIÓN

*En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos:

C + V = A + 2

*Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro?

¿Y el plano diagonal?

¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

POLIEDROS REGULARES

*Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

DEFINICIÓN

*Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

Un desarrollo de cada sólido platónico

Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

*Un prisma es un poliedro limitado por dos caras congruentes y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

PRISMA

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:D

Ejemplos:

Prismarecto

Prismarecto

Prismaoblicuo

A B

C

D

E

F G

H

I

J

PRISMA REGULAR:Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son regiones

poligonales regulares

Ejemplo:

AREA LATERAL DE UN PRISMA RECTO

El área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura.

a

h

a

h

a a a a

Alateral= perímetro x h

Ejemplo:

=

AREA TOTAL DE UN PRISMASe obtiene sumando al área lateral las áreas de las bases

Ejemplo:

a

h

a

h

a a a a

Atotal = Alateral

+2Abase

= +

VOLUMEN DE UN PRISMA

a

h

a

h

El volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por su altura.

V= Abase x h

*Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos.

•Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

EJERCICIOS

3

3

4

5

5

4

10

Área lateral = (Perímetro).(altura)

Área lateral =(3+4+5).10= 120

Problema 1

13

1313

13

5 5

12

12

Área de la base = 120

Volumen = 120 . 24 = 2880

Volumen = (Área de la base).(altura)

Problema 2

5 5

6

4 46

3

Área lateral =(5+6+5+14).8= 240

8

Problema 3

3a

2a

a 2√13

Pitágoras:= 9 = 4.13 13 = 4.13 = 4

2a

Volumen:2a . 3a . a = 48

Problema 4

b

c

a

Reemplazaremos en el siguiente producto notable:

(12)2=56+Área total 88

Problema 5

6

8

1037°

1037°

= 4k5/2 = k

3k

= 15/2

Área lateral = (6+6+8+8).(15/2) = 210

Problema 6

2

22

2 2

1 1

√3

Área de la base = =

Volumen =

10

Problema 7

4

4

44

44 4

4 4

4 4

Área de la base =

Volumen =

2 212

Problema 8

Área lateral = 16.6 = 96

6

44

44

Problema 9

2

2

2

1

1

2

D

D

Pitágoras:= 8 1 = 3 =

Problema 10

3

3

4

5

5

4

2,5

Área total = Área lateral + 2 Área de la base

Área lateral =(3+4+5).(2,5)

= 30

Área de la base =(3.4)/2

= 6

Área total = 30 + 2.6

= 42

Problema 11

12

12

12

12

24Área lateral = (12+12+12+12) . 24 = 1152

Problema 12

6

6

8

10

10

8

12

Área de la base =(6.8)/2

= 24

Volumen =24. 12

= 288

Problema 13

30

10√2a

a

a

a

Pitágoras:= 2 = 100.2 = 100= 10

Área lateral =(10+10+10+10) . 30

= 1200

Área de la base =10 . 10

= 100

Área total =1200+ 2 . 100

= 1400

Problema 14

a

b

2a + 2b = 34a . b = 60

Datos:

a + b = 17

Entonces:a = 5b = 12D = 85

D4D = 340

c

13= 5

= 12

Pitágoras:= = 7225 = 7056= 84

Hallando el volumen

V = a . b . c = 5040

= 85

Problema 15

x3cm

2,8m

Sabiendo que un metro es cien centímetros

Tenemos que: 3 cm = 0,03 m

Volumen:(0,03) . (x) . (2,8) = 0,45

(3) . (x) . (28) = 450

x = 5,36 m

Problema 16

a

b

c

a . b = 8

b . c = 10

bc

a

a . c = 6

Nos piden el volumen del paralelepípedo rectangular:V = a . b . c

Problema 17

6

2a

a

D

a

Dato:Área total = 144

Área lateral = (+ +2 +2 ) . 6

= 36

Área de la base =

=

Sabemos que:Área total = Área lateral + 2(Área de la base)

144 = 36 + 2 ()

0 = - 144 + 36 +

0 = + 36a - 144 0 = + 9 - 36

Entonces:

= 6

3 = x3√5

Pitágoras:= 36 + 45 = 81 = = 9

Problema 18

aa

a

a a a

6

Pitágoras:= 9 + 27 = 9 =9= 1= 1

Volumen = (Área de la base) . (altura)

=

=

Problema 19

6

6

624

24

Volumen del paralelepípedo rectangular

= 24 . 6 = 144

Volumen del prisma triangular

= 144/2 = 72

Echando el paralelepípedo rectangular:Problema 20

5

a

a

a

a

a/2

a

a/2

4√3

Pitágoras:= + 48 = + 192 = = 192= 64= 8

Volumen = (Área de la base) . (altura)

= 5

=

Problema 21