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Regime sinusoidale

2

Un circuito elettrico è in regime sinusoidale quando ciascun elemento presenta una tensione

sinusoidale ed una corrente sinusoidale della stessa frequenza.

Perché ciò si verifichi, la tensione sinusoidale deve essere stata applicata da un certo tempo

prima dell’istante di osservazione.

L’intervallo di tempo necessario perché le grandezze assumano andamento sinusoidale è il

transitorio.

La durata del transitorio dipende dalle caratteristiche dei componenti e dalla topologia del

circuito.

Le grandezze elettriche nelle macchine che producono energia elettrica sono sinusoidali, così

come nei circuiti che utilizziamo nella vita quotidiana.

Nell’ingegneria dell’informazione si usano segnali elettrici ben più complessi (ad ex.,

microfono che in uscita riproduce il suono della voce) la serie di Fourier permette di

scomporli in segnali sinusoidali.

Regime sinusoidale

3

Grandezze sinusoidali

y(t) = YMsenwt=YMsen[(2p/T)t]

T

YM

t

YM ampiezza

y(t) = y(t+T) = y(t+2T)=…. = y(t+nT)

T periodo [s, ms=10-3s, ms=10-6s, ns=10-9s]

f=1/T frequenza [Hz]=[s-1]

n. di periodi in un secondo

w=2pf pulsazione [rad/s]

4

1( ) 0

t T

t

y y t dtT

valore medio

Tt

t

dttyTy )(

2 2 21 1[(2 / ]

2

t T t T

Meff M

t t

Yy y dt Y sen T)t dt

T Tp

Valore efficace

5

VM

wt

F

w

w

tsenVv

tsenVv

M

M

2

1

1v2v

v2 è in anticipo su v1 di F. v2 e v1 sono sfasate

In generale

a(t) = AMsen(wt+a)

b(t) = BMsen(wt+b)

a > b a è in anticipo di > 0

b è in ritardo di

a- b p/2 a e b sono in quadratura = p/2 (a è in quadr. anticipo)

a b a e b sono in fase = 0

a-b sfasamento

Differenze di fase

6

Numeri complessi

Un fasore è un numero complesso che rappresenta

l’ampiezza e la fase di una sinusoide (Steinmetz 1893)

j

z x j y

z r

z re

forma rettangolare

forma esponenziale

forma polare y

z

x

Im

Re

r

x

y

rseny

rx

yxr

atan

cos

22

)(cos)(cos

)(cos

jsenejsenrre

jsenrjyxz

jj

Numero complesso z

Formula di Eulero

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Addizione e sottrazione forma rettangolare

Moltiplicazione e divisione forma polare

coniugato complesso

quadrata radice

reciproco

divisione

zionemoltiplica

esottrazionaddizione/

2

1

2222

1111

j

j

erjyxz

erjyxz

212121

yyjxxzz

21

2121

jerrzz

21

2

1

2

1 -

je

r

r

z

z

1 1 jz r e -2jerz

jyxrez j - - *

8

L’idea della rappresentazione con i fasori si basa sulla formula

di Eulero

e±jF= cos F ± j sen F formula di Eulero

j

j

esen

e

Im

Recos

( ) cos Re Re

Posto

( ) Re

fasore della sinusoide

j t j j tM M M

jM

j t

jM

v t V t V e V e e

V V e

v t Ve

V V e v(t)

w w

w

w

Un fasore è un numero complesso che rappresenta

l’ampiezza e la fase di una sinusoide.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento di

un insieme di sinusoidi isofrequenziali e ciascun fasore

Fasori

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Interpretazione grafica del fasore

Im w

t=0

VMcosF F

O

VM

t

Al crescere di t il vettore ruota in verso antiorario

descrivendo una circonferenza di raggio VM , con velocità angolare w.

v(t) è la sua proiezione sull’asse reale:

v(t) = VMcos(wt+F

Il vettore rotante in t=0 è il fasore della sinusoide v(t) vettore rotante =

fasore rotante.

Nel fasore il termine ejwt è implicito notevole semplificazione

F tj

M

tj eVeV ww

Re

t=t0

t0

tjeV v(t) wRe

10

fasore

w

w

jM

tj

M

eVV

eVtv

)t( Vv(t)

Re)(

cos

Re

Im

O

I

V w

F

-a

fasore a

w

aw

jM

tj

M

eII

eIti

)t( Ii(t)

-

-

Re)(

cos

Diagramma fasoriale

Per ottenere la sinusoide

corrispondente ad un fasore si

moltiplica per ejwt e se ne

prende la parte reale.

Per ottenere il fasore data la

sinusoide, si deve esprimere la

sinusoide in forma coseno,

come parte reale di un numero

complesso. Si elimina poi ejwt

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Re

Im

O m

jm

m reale

jm immaginario

L’operatore j fa ruotare il vettore a cui è applicato di p/2 in verso antiorario

L’operatore j2 fa ruotare il vettore a cui è applicato di p in verso antiorario

L’operatore j3 fa ruotare il vettore a cui è applicato di 3p/2 in verso antiorario

o p/2 in verso orario.

Re

Im

O 1

j m = 1

-1

-j

Dalla formula di Eulero

ejp/2 = j

e-jp/2 = -j

ejp = e-jp = -1

ej0 = 1

L’operatore che fa ruotare dell’angolo q: e±jq operatore vettoriale a modulo

unitario

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Proprietà dei fasori

MOLTIPLICAZIONE PER UNA COSTANTE

cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w

Qual è il fasore di 1 ( )?y (t) ky t

1 1cos jM My (t) kY ( t ) Y kY e kYw

ADDIZIONE

1

2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

cos

cos

jM M

jM M

y (t) Y ( t ) Y Y e

y (t) Y ( t ) Y Y e

w

w

Qual è il fasore di 3 1 2 ( )?y (t) y (t) y t

3 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

cos cos

M M

j t j t j t

y (t) y (t) y (t) Y ( t ) Y ( t )

e Y e e Y e e Y Y ew w w

w w

Quindi 3 1 2Y Y Y

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DERIVAZIONE

cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w

Qual è il fasore di

1

( 2)1

( )( ) cos( 2)M M

jM

dy ty (t) Y sen t Y t

dt

Y Y e j Y p

w w w w p

w w

-

1

( )?

dy ty (t)

dt

INTEGRAZIONE

cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w

Qual è il fasore di

1

( 2)1

1( ) cos( 2)M

M

j j jM MM

Yy (t) Y sen t t

Y Y YY Y e j e e

j j

p

w w pw w

ww w w

-

-

-

1 ( ) ?y (t) y d

14

Dominio del tempo Dominio della

frequenza

fasore

v1+v2

)t(VvM

w cos

)tsen(VvM

w

dt

dve

j

MeVV

- 90j

MeVV

90ww j

MeVVjE

vdtf - 90

ww

jM eV

j

VF

Mv kV sen( t )w jMV kV e

1 2V V

15

Bipoli resistivi

cos ( ); jM M

j jM M

i I t I I e

v iR

V RI RI e RI V e

w

La corrente è in fase con la tensione

Rappresentazione vettoriale: Il vettore corrente è in fase con

il vettore tensione

i R

i

Re

Im

R è un operatore vettoriale

che modifica solo il modulo di VI

I

+

v

-

Proprietà della moltiplicazione per una costante

16

Bipoli induttivi

i L v

+

-

2

cos

2

v(t) cos

Rappresentazione vettoriale

I

V I I

V

M I

jM

jj j j

M M M

j

M M M V I

M V

i I t

I I e

div L

dt

V LI e LI e e j LI e j LI

V j LI

V V e V LI ,

V ( t )

p

w

w w w w

w

pw

w

Re

Im

V

I

V

I

La corrente è in ritardo di 90° sulla tensione

Proprietà della derivata e della moltipl. per una costante

17

v C

i

22

cos ;

2

Rappresentazione vettoriale

cos cos2

V

VV

I

jM V M

jjj

M M

M M I V

jM

M I M V

v V ( t ) V e

dvi C

dt

j C C V e e j C V e

I C V

I e

j C

i I ( t ) C V ( t )

pp

w

w w w

pw

w

pw w w

V

I V

I

I V

Re

Im

v

Bipoli capacitivi

VLa tensione è in ritardo di 90° sulla corrente

I

Proprietà della derivata e della molt. per una costante

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CjCj

LjLj

RR

ww

ww

11

I

VIV

I

VIV

I

VIV

Legge di Ohm tra i fasori

L’impedenza è il rapporto tra il fasore della tensione e quello

della corrente

NON E’ UN FASORE

impedenza)(wZZ

IZVI

VZ

001

00

CCC

LLL

R

ZZCj

Z

ZZLjZ

RZ

w

w

19

00

00

k

k

Ii

Vv

Leggi di Kirchhoff

Anche i fasori soddisfano le leggi di Kirchhoff

20

Metodo simbolico (o dei fasori)

Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione w con

un generatore di pulsazione costante pari al fasore

corrispondente.

Sostituire ogni tensione e corrente col fasore

corrispondente.

Sostituire ogni condensatore di capacità C con un bipolo di

impedenza 1/jwC e ogni induttore di induttanza L con un bipolo

di impedenza jwL

Analizzare il circuito ottenuto come un circuito resistivo,

ricavando i fasori delle grandezze desiderate.

Ricavare le grandezze sinusoidali antitrasformando il fasore

nella corrispondente sinusoide.

21

Bipoli serie

321

321

321

ZZZZ

IZZZ

IZIZIZVVVV

eq

311V

I

L’impedenza equivalente a più impedenze collegate in serie, è

la somma delle singole impedenze

)()(3232

XXXjRRR

jXRii

11

i

Z

Z

2Z1

Z

3Z

VI

eqZ

Partitore di tensione VV 21

1

1ZZ

Z

Se le impedenza sono due:

22

Bipoli parallelo

321

321

321

YYYY

VYYY

VYVYVYIIII

eq

321

V

L’ammettenza equivalente a più ammettenze collegate in

parallelo, è la somma delle singole ammettenze

)()(3232

BBBjGGG

jBGii

11

i

Y

Y

+ I

-

2Y

2I

VI

eqY

+

-

Partitore di corrente II 21

2

1ZZ

Z

3Y1

Y

1I 3

I

Se le impedenze sono due:

23

Trasformazione stella triangolo A

C B

CABCAB

BCCA

C

CABCAB

ABBC

B

CABCAB

CAAB

A

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

B

BACBCA

CA

A

BACBCA

BC

C

BACBCA

AB

Z

ZZZZZZZ

R

ZZZZZZZ

R

ZZZZZZZ

Nel caso di tre impedenze uguali sarà:

3

ZZ

Y(Carico bilanciato)

24

v

i

idtCdt

diLRivvvtv

)t(Vv

CLR

VM

1)(

cos w

Bipoli RLC

L R

C

1

tan

22

1

11

( ) cos

v

R L C

LC

j aR

m

i

R j L j R j LC C

Ve

R j LR LC

C

i t t

ww

w ww w

w ww w

w

- -

- -

- -

IV V V V I I I

VI

I

25

22

1

1

1

atan V I

R j LC

R LC

LC

R

Z

ww

ww

ww

-

-

-

-

Z

Z

V I Re

Im

V

I IRI

C

j

w

-

ILjw

2 2

01 reattanza

0

tan

L C

V I

X L X X XC

Z R jX

Z R X

Xa

R

ww

> - -

-

I

-

C

jLj

ww

26

2 2

forma rettangolare

Re resistenza

0 induttivaIm reattanza

0 capacitiva

forma esponenziale tan

cos

j

R jX

R

X

Xe R X a

R

R X sen

>

Z

Z

Z

Z Z Z

Z Z

2222

22

1

Im

Re

1

XR

XB

XR

RG

XR

jXR

jXRjBG

SVB

SG

jBG

V

I

-

-

>

Y

Y

Y

ZY

induttiva 0

capacitiva 0 asuscettanz

aconduttanz

rerettangola forma

In generale

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v i

regime a ,permanente risposta cos

oria transitrisposta0

coseparticolar int.generale int.

:completa Risposta

cos1

)(

cos

/

/

)t(A

ke

)t(Akev

)t(RC

Vv

RCdt

dvv

dt

dvRCvvtv

)t(Vv

tRCt

RCt

C

VM

CC

CC

CR

VM

w

w

w

w

-

-

Risposta ad un ingresso sinusoidale R

C

Col metodo dei fasori studiamo la sola risposta a regime

( atan( ))

2

2

1cos

1 1 ( )

cos atan( )1 ( )

V

V

jC CM MC V C

j RCM MC

MC V

dv VV Vv ( t ) j V e

dt RC RC RC RC

V VV e

j RC RC

Vv ( t RC )

RC

w

w w

w w

w ww

-

-