podstawy matematyczne elektrotechniki i automatyki dla energetyków
Post on 13-Feb-2017
310 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Publikacja współfinansowana
ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt „Plan Rozwoju Politechniki
Częstochowskiej”
Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie na stronie:
www.plan-rozwoju.pcz.pl/energetyka.html
POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
WYDZIAŁ INZYNIERII I OCHRONY ŚRODOWISKA
Zygmunt Piątek
PODSTAWY MATEMATYCZNE
ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI
DLA ENERGETYKÓW
CZĘSTOCHOWA 2009
0.5 1 1.5 2Q@ΩD
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
P@ΩD
GHjΩL=2
H1 + jΩL H1 + j5ΩL
Ω=0Ω=¥
1
PRZEDMOWA
Teoria sterowania i obwodów elektrycznych wymaga znajomości matematyki elementarnej i elementów matematyki wyŜszej. Dlatego w niniejszym opracowaniu przypominamy funkcje jednej zmiennej wraz z wykresami i ich granicami, elementy rachunku róŜniczkowego i całkowego, równania róŜniczkowe i funkcje dyskretne, liczby zespolone oraz funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a.
W opracowaniu zamieszczamy wiele staranie dobranych rysunków i przykładów rachunkowych wyjaśniających sens pojęć matematycznych ze szczególnym uwzględnieniem zastosowania matematyki w teorii elektrotechniki i automatyki.
Opracowanie nie pretenduje do pracy z matematyki. Pominięto w nim dowody matematyczne, które czytelnik moŜe znaleźć w podręcznikach z matematyki. Jest ono pewnego rodzaju poradnikiem czy teŜ zbiorem podstaw matematyki elementarnej i wyŜszej, których przyswojenie i biegłe posługiwanie się jest niezbędne do efektywnego uczestnictwa w wykładach z elektrotechniki i automatyki. Jednocześnie opracowanie to moŜe słuŜyć do szybkiego dostępu do tych dziedzin matematyki, które wykorzystywane są podczas wykładu, bez konieczności poszukiwań w wielu podręcznikach z matematyki.
1. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ
Funkcja jest przepisem przyporządkowującym jednym elementom inne i definiujemy ją następująco:
JeŜeli kaŜdemu elementowi x ze zbioru X jest przyporządkowany według pewnego przepisu pewien
element y ze zbioru Y, to mówimy, Ŝe została określona w zbiorze X funkcja o wartościach ze zbioru Y.
)(xfy = (1.1)
Element x nazywamy zmienną niezaleŜną lub argumentem, odpowiedni zaś element y, oznaczający to
samo co , nazywamy zmienną niezaleŜną lub wartością funkcji w punkcie x. Zbiór X nazywamy polem
funkcji lub dziedziną funkcji, a zbiór wartości funkcji , który jest częścią zbioru Y lub pokrywa się z nim, nazywamy zakresem funkcji.
Funkcję moŜemy określać w róŜny sposób, a mianowicie: • za pomocą przepisu słownego, • wzorem lub wzorami, • tabelarycznie, • graficznie.
1.1. Przykłady funkcji
Funkcja moŜe być opisana więcej niŜ jednym wzorem, np. funkcja (1.2) z rysunku 1.1.
>
≤<+−
≤≤−
−<≤
<
=
6 dla 0
63 dla 183
32 dla
23- dla -
-3 xdla 0
2
2
x
xx
xx
xx
y (1.2)
2
-2 2 4 6x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
y
y=x2
y=-x2
y=-3x+18
Rys. 1.1. Wykres funkcji określonej wzorem (1.2)
Przykłady innych funkcji wraz z ich wzorami i wykresami przedstawiamy poniŜej.
-2 -1 1 2x
-40
-20
20
40
y
y=10
y=10x
y=
1
x
-2 -1 1 2x
-40
-20
20
40
y
y=10
y=10x+5
y=
1
x-5
Rys. 1.2. Przykład funkcji stałej, proporcjonalności prostej i proporcjonalności odwrotnej
Rys. 1.3. Przesunięcie funkcji w zakresie funkcji
-2 -1 1 2x
-40
-20
20
40
y
y=10y=10Hx+1L
y=
1
x - 1
-2 -1 1 2x
-40
-20
20
40
y
y=10
y=10Hx+1L+5y=
1
x - 1-5
Rys. 1.4. Przesunięcie funkcji w polu funkcji Rys. 1.5. Przesunięcie funkcji w polu i zakresie funkcji Przyporządkowanie kaŜdej liczbie naturalnej n według pewnego przepisu jakąś liczbę )(na jest teŜ
funkcją nazywaną ciągiem nieskończonym, a wartość tej funkcji w punkcie n – n-tym wyrazem ciągu. Wyraz n-ty )(na oznaczamy krócej przez na ; liczbę n nazywamy wskaźnikiem wyrazu na , Ciąg o wyrazach 0a ,
1a , 2a ,…, na ,… oznaczamy krótko przez na . Funkcje taką moŜemy przedstawić za pomocą tzw. wykresu prąŜkowego (wykresu widmowego).
3
2 3 4 5 6 7 8n
100
200
300
400
500
an
an=nHn2+1L
Rys. 1.6. Wykres prąŜkowy (widmowy)
1.2. Funkcja okresowa
Funkcję )(xf nazywamy okresową o okresie T mierzonym w radianach, jeŜeli
)()( xfTxf =+ (1.3)
dla kaŜdego Xx∈ .
1 2 3 4
x
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
T 2T 3T
Rys. 1.7. Funkcja okresowa
Funkcją okresową często wykorzystywaną w automatyce (i nie tylko) jest funkcja sinusoidalna
)sin( )( αxAxf m += (1.4)
gdzie mA jest amplitudą funkcji, a kąt α przesunięciem fazowym, przy czym argument x tej funkcji jest
zawsze mierzony w radianach, a nie w stopniach, przy czym miara łukowa x kąta mającego ox wyraŜa się
wzorem o
o
180
πxx = .
-Π Π 2Π 3Π
x
-3
-2
-1
1
2
y
y=2sinx
y=2sinHx+Π3L
y=2sinx-1T=2Π
x0=-Α
Rys. 1.8. Funkcje sinusoidalne
4
Funkcję sinusoidalną w automatyce i elektrotechnice wykorzystuje się w postaci tzw. funkcji
harmonicznej względem czasu t, którą zapisujemy
)(sin )( 0ttAtf m += ω (1.5)
gdzie wielkość ω jest pulsacją lub częstotliwością kątową mierzoną w -1srad ⋅ wyraŜaną wzorem
fT
π2 π2
==ω (1.6)
w którym T
f1
= jest częstotliwością mierzoną w Hz (Hertz), a ωα
=0t jest przesunięciem fazowym w
dziedzinie czasu. Funkcja (1.5) jest funkcją okresową o okresie T mierzonym w sekundach, czyli
)(sin )()( 0ttAtfTtf m +==+ ω (1.7)
-Π Π 2Π 3Π
Ωt
-2
-1
1
2
y
y=2sinΩt
y=2sinHΩt+Π3L
y=sin2Ωt
T1=2ΠΩ
T2=T12
Ωt0=-Π3
Rys. 1.9. Funkcje harmoniczne argumentu tω
We wzorze (1.5) pulsacja ω mnoŜona jest przez jedynkę i dlatego funkcję tę nazywamy pierwszą
harmoniczną. Jeśli zaś pulsacja ta mnoŜona jest przez liczbą naturalną 0≠n , czyli gdy
)(sin )( 0nmnn ttnAtf += ω (1.8)
to taką funkcję nazywamy n-tą harmoniczną przy oczywistym związku n
TTn = .
Funkcje z rysunku 1.9. moŜemy przedstawiać, jako funkcje zmiennej t (czasu) – rys.1.10.
-10 10 20 30t@msD
-2
-1
1
2
y
y=2sinΩt
y=2sinHΩt+Π3L
y=sin2Ωt
f=50 Hz
t0=-3.33 ms
Rys. 1.10. Funkcje harmoniczne względem czasu t
5
1.3. Funkcje elementarne
Do funkcji elementarnych naleŜą: • Wielomiany, tj. funkcje postaci
nnn xaxaxaaxPxf ++++== ...)()( 2
210 (1.9)
gdzie n jest stopniem wielomianu, jeŜeli 0≠na .
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x
-2
-1
1
2
y
y=x2+1
y=-x2+3x-2
y=x6-14x5
+80x4-238x3
+387x2-324x+108
Rys. 1.11. Funkcje wielomianowe
Zera (miejsca zerowe, pierwiastki) wielomianu nazywamy kaŜdą liczbę x* taką, Ŝe
0)( * =xf (1.10)
Wielomian )(xPn jest podzielny przez wielomian )(xGm , przy czym nm < , jeŜeli istnieje taki
wielomian )(xS k , Ŝe )( )()( xSxGxP kmn = przy oczywistym związku kmn += .
MoŜemy udowodnić, Ŝe wielomian )(xPn mający pierwiastek x* jest podzielny przez wielomian
pierwszego stopnia )( *xx − , tzn. )( )()( 1* xSxxxP nn −−= . Stąd wynika, Ŝe wielomian n-tego stopnia
)(xPn ma co najwyŜej n pierwiastków. Jeśli ma dokładnie n pierwiastków 1x , 2x ,…, nx , to moŜemy przedstawić go w postaci )( ... )( )( )()( 21 nnn xxxxxxaxPxf −−−== (1.11)
Jeśli jakakolwiek z liczb 1x , 2x ,…, nx powtarza się dokładnie k razy, kx nazywamy k-krotnym
pierwiastkiem wielomianu.
y
x
y=f(x)
x* x* x*
pierwiastek pojedynczy
pierwiastek wielokrotny
nieparzystego rzędu
pierwiastek wielokrotny parzystego
rzędu
Rys. 1.12. Zera wielomianu
6
Wielomian moŜe nie mieć wcale pierwiastków (rzeczywistych). MoŜemy jednak wykazać, Ŝe kaŜdy
wielomian n-tego stopnia nnn xaxaxaaxPxf ++++== ...)()( 2
210 daje się rozłoŜyć na czynniki stopnia
pierwszego postaci )( *xx − lub kwadratowe ) ( 2 qxpx ++ o ujemnym wyróŜniku, przy czym suma stopni wszystkich czynników równa się n. Stąd teŜ dowodzimy twierdzenie, Ŝe kaŜdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek (rzeczywisty).
Przykład 1.1.
Wyznaczyć postacie iloczynowe poniŜszych wielomianów:
1. )2( )1(2 32 −−−=−+− xxxx
2. 3265432 )3( )2( )1(1480238387324108 −−−=+−+−+− xxxxxxxxx
3. 12 +x nie ma postaci iloczynowej albowiem wyróŜnik równania kwadratowego 0<∆
• Funkcje wymierne, tj. ilorazy dwóch wielomianów
)(
)()()(
xM
xLxWxf
n
m== (1.12)
-3 -2 -1 1 2 3x
-40
-30
-20
-10
10
20
30
y
y=x3 + 2 * x - 5
x2 - 1y=
2 * x + 1-2 + 2 x - x2 +
y=1
-4 + 3 x2 + x3
Rys. 1.13. Przykłady funkcji wymiernych
Jeśli nm ≥ , to dzieląc licznik )(xLm przez mianownik )(xM n otrzymujemy rozkład
)(
)()(
)(
)()()(
xM
xRxS
xM
xLxWxf
n
nrnms
n
m <−= +=== mm (1.13)
gdzie wielomian )(xS nms −= jest ilorazem wielomianów )(xLm i )(xM n , a wielomian )(xR nr< jest resztą z dzielenia tych wielomianów.
Przykład 1.2.
Wykonać dzielenie następujących wielomianów:
1. 1
53
1
52)()(
22
3
−
−+=
−
−+==
x
xx
x
xxxWxf
gdzie 52)( 33 −+= xxxL , 1)( 2
2 −= xxM , xxS =)(1 , 53)(1 −= xxR
7
2. 11
1)()(
2
+=−−
== xx
xxWxf
gdzie 1)( 22 −= xxL , 1)(1 −= xxM , 1)(1 += xxS , 0)( =xR
JeŜeli nm < , to funkcję wymierną )(
)()()(
xM
xLxWxf
n
m== nazywamy właściwą i wtedy moŜemy
przedstawić ją jako sumę tzw. ułamków prostych
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) l
ll
k
k
ll
ll
ll
ll
ll
ll
k
k
k
k
k
k
n
m
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
qxpx
CxB
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xM
xLxWxf
β
ββ
β
ββ
β
ββ
α
α
α
α
α
α
++
+++
++
++
++
++
+++
+++
++
++
++
++
+++
+++
++
++
++
++
+−
++−
+−
+
+−
++−
+−
+
+−
++−
+−
=≡=
222
222
11
222
11
2
222
2222
222
2121
112
11
2
112
1212
112
1111
221
2
2
22
22
2
21
1
1
21
12
1
11
...
.................................................................................................
...
...
)(...
)()(
-----------------------------------
)(...
)()(
)(...
)()()(
)()()(
2
22
1
11
2
2
1
1
(1.14)
gdzie kkAA α ,...,11 ,
llBB β ,...,11 , llCC β ,...,11 są to pewne stałe. Stałe te obliczamy mnoŜąc obie strony
toŜsamości (1.14) przez )(xM n i porównując po obu stronach współczynniki wielomianów przy tych samych potęgach zmiennej x albo teŜ innymi sposobami, które pokaŜemy poniŜej. Przykład 1.3.
RozłoŜyć następujące funkcje wymierne na ułamki proste:
1. ( ) ( ) 212 1
12)()(
22 +
++
−≡
+−
+==
x
CBx
x
A
xx
xxWxf
Obie trony powyŜszej toŜsamości mnoŜymy przez wspólny mianownik
( ) ( )2 1)( 23 +−= xxxM
porządkując jednocześnie wyrazy wielomianu po prawej stronie toŜsamości według malejących potęg x. Wtedy otrzymujemy toŜsamość
( ) ( ) ( )CAxBCxBAx −+−++≡+ 2 12 2
8
Następnie porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x po obu stronach ostatniej toŜsamości, otrzymując układ trzech równań z trzema niewiadomymi A, B, C
1 ,1 ,1 12 ,2 ,0 =−==⇒=−=−=+ CBACABCBA
Zatem funkcja wymierna po rozkładzie na ułamki proste ma postać
( ) ( ) 2
1
1
1
2 1
12)()(
22 +
+−+
−≡
+−
+==
x
x
xxx
xxWxf
2. ( )( ) ( )22 2212 1
1)()(
++
++
−≡
+−==
x
C
x
B
x
A
xxxWxf
Po pomnoŜeniu stronami powyŜszego równania przez wspólny mianownik, otrzymujemy
( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 −++−++≡ xCxxBxA
Tym razem podstawiamy kolejno za zmienną niezaleŜną x tyle wartości, ile jest niewiadomych współczynników, gdyŜ z równości toŜsamościowej dwóch funkcji wynika równość ich wartości dla kaŜdej wartości zmiennej niezaleŜnej:
( )
9
1 2 41mamy 0 dla
3
1 31mamy 2 dla
9
1 21 1mamy 1 dla 2
−=⇒−−==
−=⇒−=−=
=⇒+==
BCBAx
CCx
AAx
a stąd
( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 3
1
2 9
1
1 9
1
2 1
1)()(
+−
+−
−≡
+−==
xxxxxxWxf
3. ( ) ( )( ) 2112 1 1
)()(−
++
+−
≡−+−
==x
C
x
B
x
A
xxx
xxWxf
Jeśli obie strony powyŜszej toŜsamości pomnoŜymy przez ( )1−x , to otrzymujemy
( )( )
( ) ( )2
1
1
1
2 1 −−
++−
+≡−+ x
xC
x
xBA
xx
x
Następnie zapiszemy otrzymaną toŜsamość dla 1=x , otrzymując
( )( ) 2
1
21 11
1−=⇒≡
−+AA
MnoŜąc z kolei toŜsamość wyjściową przez ( )1+x i wtedy
( )( )
( ) ( )2
1
1
1
2 1 −+
++−+
≡−− x
xCB
x
xA
xx
x
a następnie zapiszemy otrzymaną toŜsamość dla 1−=x . Wtedy mamy, Ŝe
9
( )( ) 6
1
21 11
1−=⇒≡
−−−−−
BB
W podobny sposób wyznaczamy stała C mnoŜąc stronami toŜsamość wyjściowa przez ( )2−x i w otrzymanej
toŜsamości podstawiamy 2=x , a stąd mamy, Ŝe 3
2=C . Ostatecznie funkcja wymierna po rozłoŜeniu na ułamki proste
ma postać
( )( )( ) )2( 3
3
)1( 6
1
)1( 2
1
2 1 1)()(
−+
+−
−−≡
−+−==
xxxxxx
xxWxf
• Funkcje niewymierne są to funkcje algebraiczne nie podpadające pod definicję funkcji
algebraicznych wymiernych.
Rys. 1.14. Przykłady funkcji niewymiernych
• Funkcje trygonometryczne poznaliśmy w kursie matematyki elementarnej. Funkcję )sin( )( αxAxf m += omówiliśmy powyŜej jako jedną z funkcji okresowych. Funkcję
)cos( )( αxAxf m += otrzymamy z funkcji sinusoidalnej, bowiem na podstawie wzoru redukcyjnego mamy
toŜsamość
)2
πsin( )cos( )( αxAαxAxf mm ++=+= (1.15)
co oznacza funkcję sinusoidalną )sin( αxAm + przesuniętą w lewo od osi rzędnych o kąt 2
π. Funkcję
)cos( )( αxAxf m += nazywamy zatem funkcją sinusoidalną albo teŜ harmoniczną względem czasu
określoną wzorem )(cos )( 0ttAtf m += ω (1.16)
Pozostałe elementarne funkcje trygonometryczne mają postać )(tg)( αxxf += (1.17)
oraz )(ctg)( αxxf += (1.18)
10
Rys. 1.15. Funkcje tangens Rys. 1.16. Funkcje cotangens
• Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi względem funkcji trygonometrycznych, czyli mamy
xxf sin arc)( = (1.19)
xxf cos arc)( = (1.20)
tgxarc)( =xf (1.21)
ctgx arc)( =xf (1.22)
Rys. 1.17. Funkcje arc sinx i arc cosx Rys. 1.18. Funkcje arc tgx i arc ctgx • Funkcję logarytmiczną o podstawie 2,71828e = argumentu rzeczywistego 0>x zapisujemy w
postaci xxf ln)( = (1.23) • Funkcją wykładniczą o podstawie 2,71828e = argumentu rzeczywistego x nazywamy funkcję
postaci
]exp[e)( xxf x == (1.24)
11
Rys. 1.19. Funkcje logarytmiczne Rys. 1.20. Funkcja wykładnicza
1.4. Granice funkcji
Funkcja )(xf o polu D ma w punkcie 0x (naleŜącym do D lub nie) granicę skończoną g, jeŜeli do
kaŜdej liczby 0>ε moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla wszystkich Dx∈ i spełniających nierówność
δ<−< 00 xx jest ε<− gxf )( . Granice funkcji zapisujemy w postaci
gxfxx
=→
)(lim0
(1.25)
Przykład 1.4. Wyznaczyć granice funkcji podane na rysunku 1.21:
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
y
y=12
x2
y=x2 - 4x - 2
y=2Sin@xD
xy=ý x ý
x
Rys. 1.21. Granice wybranych funkcji
1. 2
2
1)( xxf = przy 2→x . Po bezpośrednim podstawieniu za 2=x , otrzymujemy granicę 2
2
1lim 2
2=
→x
x, co
oznacza, Ŝe w tym przypadku granica funkcji w punkcie 2=x jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
2. 2
4)( 2
−
−=
x
xxf przy 2→x . W punkcie 2=x funkcja )(xf nie jest określona, ale 4
2
4lim 2
2=
−
−→ x
x
x.
12
3. x
xxf =)( przy 0→x . Funkcja ta jest określona wszędzie z wyjątkiem punktu 0=x . Dla 0<x wartość
funkcji 1)( −=xf , oraz dla 0>x wartość 1)( =xf . Stąd w punkcie 0=x funkcja ta nie ma granicy, poniewaŜ
wartości tej funkcji w Ŝadnym otoczeniu punktu 0=x nie róŜnią się dowolnie mało od pewnej liczby.
4. Dla porównania z powyŜszą funkcją moŜemy wykazać, Ŝe 2sin
2lim0
=→ x
x
x.
Funkcja )(xf ma w punkcie 0x granicę lewostronną (prawostronną) g, jeŜeli dla dowolnej liczby
0>ε moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla x spełniających nierówność 00 xxx <<− δ , (a dla granicy
prawostronnej δ+<< 00 xxx ) jest ε<− gxf )( . Granice te nazywamy granicami jednostronnymi i
zapisujemy w postaci
gxfxx
=−→
)(lim0
lub gxfxx
=+→
)(lim0
(1.26)
Przykład 1.5.
Wyznaczyć granice jednostronne funkcji x
xxf =)( . Funkcja ta ma stale wartość 1, gdy x>0, ma natomiast
wartość -1, gdy x<0. W punkcie x=0 nie jest ona określona, ma natomiast granicę lewostronną 1lim0
−=−→ x
x
xi
prawostronną 1lim0
=+→ x
x
x. Zwykłej granicy nie ma.
Funkcja )(xf określona w pewnym otoczeniu punktu 0x ma w tym punkcie granicę niewłaściwą ∞+
(lub ∞− ), jeśli dla dowolnej liczby 0>N moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla kaŜdego x spełniającego
nierówność δ<−< 00 xx jest Nxf >)( ) (lub Nxf −<)( dla granicy ∞− ). Granice te nazywamy
granicami niewłaściwymi i zapisujemy w postaci
+∞=+∞=
+∞=+∞=
++
−−
→→
→→
)(lim lub )(lim
)(lim lub )(lim
00
00
xfxf
xfxf
xxxx
xxxx (1.27)
jeśli zaś granice jednostronne są tego samego znaku, to mamy
+∞=→
)(lim0
xfxx
lub −∞=→
)(lim0
xfxx
(1.28)
Przykład 1.6.
Wyznaczyć granice funkcji podanych na rysunku 1.22:
1. 2
01.0)(
xxf = przy 0→x . Granica +∞===
→→→ +−)(lim)(lim)(lim
000xfxfxf
xxx. Prosta 0=x jest asymptotą
pionowa tej funkcji.
13
2. 21
1)(
xxf
−= przy 1→x . Granica +∞=
−→)(lim
1xf
x, zaś −∞=
+→)(lim
1xf
x. Granica −∞=
−−→)(lim
1xf
x, zaś
+∞=+−→
)(lim1
xfx
. Proste 1−=x i 1=x są asymptotami pionowymi tej funkcji.
-2 -1 1 2x
-10
-5
5
10
15
20y
y=0.01
x2
y=1
1 - x2
Rys. 1.22. Granice niewłaściwe
Funkcja )(xf ma w ∞+ (lub ∞− ) granicę g, jeśli dla dowolnej liczby 0>ε istnieje liczba 0>N ,
taka Ŝe dla Nx > (lub Nx −< w przypadku −∞→x ) spełniona jest nierówność ε<− gxf )( . Granice
takie zapisujemy w postaci
gxfx
=∞→
)(lim lub gxfx
=−∞→
)(lim (1.29)
Przykład 1.7.
Wyznaczyć granice funkcji podanych na rysunkach 1.23. i 1.24.
1. Dla funkcji xxf
1
e)( = otrzymujemy następujące granice:
0elim1
0=
−→
x
x, +∞=
+→
x
x
1
0elim , 1elim
1
=−∞→
x
x, 1elim
1
=+∞→
x
x.
Wyznaczanie granic w nieskończoności pozostałych funkcji sprowadzimy do przypadku wyznaczania granicy w nieskończoności dla argumentu rzeczywistego 0≥t , czyli przy +∞→t . Dotyczy to poszukiwania funkcji )(tf w tzw.
stanie ustalonym, gdzie zmienna t jest czasem.
-4 -2 2 4x
1
2
3
4
5y
y=e1x
0.5 1 1.5 2 2.5 3t
1
2
3
4
y
y=e-t
y=2
y=2*H1+e-tL
Rys. 1.23. Funkcja o róŜnych granicach dla 0→x Rys. 1.24. Granice w nieskończoności
14
2. Dla funkcji xxf
1
e)( = otrzymujemy następujące granice:
0elim1
0=
−→
x
x, +∞=
+→
x
x
1
0elim , 1elim
1
=−∞→
x
x, 1elim
1
=+∞→
x
x.
Wyznaczanie granic w nieskończoności pozostałych funkcji sprowadzimy do przypadku wyznaczania granicy w
nieskończoności dla argumentu rzeczywistego 0≥t , czyli przy +∞→t . Dotyczy to poszukiwania funkcji )(tf w tzw.
stanie ustalonym, gdzie zmienna t jest czasem.
3. ttf -e)( = przy +∞→t . Granica 0elim =∞→
-t
t, co oznacza teŜ, Ŝe prosta 0=y (oś odciętych) jest asymptotą
poziomą badanej funkcji.
4. ( )ttf −+= e1 2)( przy +∞→t . Granica ( ) 2e1 2lim =+ −
∞→ −
t
t, co oznacza teŜ, Ŝe prosta 2=y jest asymptotą
poziomą tej funkcji.
1.5. Pochodna i różniczka funkcji
W wielu zagadnieniach fizyki, techniki i innych wymaga się określenia, jakim zmianom podlega zaleŜna funkcja procesu, gdy zmienna niezaleŜna tej funkcji wzrasta lub maleje i jaka jest szybkość tych zmian. Zmiany takie moŜna wyznaczyć za pomocą rachunku elementarnego tylko w przypadku proporcjonalności prostej między funkcja a zmienną. W pozostałych przypadkach wprowadzamy pochodną
)(xf ′ funkcji )(xf w punkcie 0x .
Dla funkcji )(xfy = i dwóch róŜnych od siebie punktów 0xx ≠ tworzymy wyraŜenie nazywane
ilorazem róŜnicowym
0
0 )()(
xx
xfxf
−
− (1.30)
w którym )()( 0xfxf∆y −= nazywamy przyrostem zmiennej zaleŜnej (przyrostem funkcji), a róŜnica
0xx∆x −= - przyrostem zmiennej niezaleŜnej.
Pochodną funkcji )(xfy = w punkcie 0x nazywamy granicę (o ile istnieje)
0
000
)()(lim
d
d)()(
00
xx
xfxf
x
yxfxy
xxxx −
−=
=′=′
→=
(1.31)
x0
S
α
x
f(x0)
x
f(x)
T
C
B
A
∆y
∆x=dx
dy
y
f(x)
r
Rys. 1.25. Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej funkcji
15
Gdy 0xx → punkt C zbliŜa się do punktu B, sieczna S obraca się dookoła punktu [ ])( , 00 xfx aŜ do pokrycia się ze styczną T. Współczynnik kierunkowy siecznej dąŜy do współczynnika kierunkowego stycznej, czyli mamy, Ŝe
αtg)( 0 =′ xf (1.33) a to oznacza, Ŝe pochodna funkcji )(xfy = w punkcie 0x równa się tangensowi kata α , jaki styczna do
wykresu funkcji w punkcie [ ])( , 00 xfx tworzy z dodatnim kierunkiem osi x.
Pochodna funkcji jest oczywiście funkcją
∆x
xf∆xxf
x
yxfxy
∆x
)()(lim
d
d)()(
0
−+==′=′
→ (1.34)
Reguły róŜniczkowania i wzory na pochodne niektórych funkcji przedstawiamy w tabeli 1.1.
Tabela 1.1.: Reguły róŜniczkowania i pochodne wybranych funkcji
Numer
wzoru )()( xfxy = )()( xfxy ′=′
Numer
wzoru )()( xfxy = )()( xfxy ′=′
1 )()( xhxg ± )()( xhxg ′±′ 2 c (stała) 0
3 )( xgc )( xgc ′ 4 nx 1 −nxn
5 )( )( xhxg )( )()( )( xhxgxhxg ′+′ 6 nxc
1 −nxnc
7 )(
)(
xh
xg
[ ]2)(
)( )()( )(
xh
xfxgxfxg ′−′
8 n x
n nxn
1
1−
9 [ ])(xgF ,
)(xgu = )( )( xguF ′′
10 n
m
x
1
−n
m
xn
m
11 )(ln xg )(
)(
xg
xg ′ 12 xln
x
1
13 )(e xg )(e )( xgxg ′ 14 xe
xe
15 xsin xcos 16
xtg x2cos
1
17 xcos xsin− 18 xctg x2sin
1−
19 xsin arc 21
1
x− 20 x tgarc 21
1
x+
21 xcos arc 21
1
x−− 22 xctg arc 21
1
x+−
We wzorze (1.34) yd jest róŜniczką funkcji )(xfy = , która określamy jako iloczyn pochodnej przez
dowolny przyrost ∆xx =d , czyli róŜniczkę zmiennej niezaleŜnej x i zapisujemy
xxfy d )(d ′= (1.34)
16
Stąd teŜ mamy, Ŝe x
yxf
d
d)( =′ , co oznacza, Ŝe pochodna )()( xfxy ′=′ równa się stosunkowi róŜniczki
funkcji do róŜniczki zmiennej x. W interpretacji geometrycznej róŜniczka funkcji w punkcie 0x jest
przyrostem stycznej T do funkcji )(xfy = w tym punkcie przy danym przyroście xd zmiennej x, czyli
ABxαxxfyxx
==′==
d tgd )(d 00
(1.35)
RóŜniczka funkcji jest zatem częścią przyrostu (dodatniego lub ujemnego) funkcji, jakim powstaje na
skutek przyrostu (dodatniego lub ujemnego) zmiennej niezaleŜnej x. RóŜniczkę ABy =d nazywamy częścią
główną przyrostu ACy =∆ funkcji )(xfy = , a pozostała część BCx∆yr =−= d przyrostu – błędem
bezwzględnym. RóŜniczka jest wartością przybliŜoną przyrostu funkcji. PrzybliŜenie jest tym lepsze, im mniejszy jest przyrost zmiennej niezaleŜnej. Przykład 1.8.
Wyznaczyć pochodną funkcji
x
xxf
sin)( =
Do wyznaczenia tej pochodnej wykorzystamy wzór 7 z tabeli 1.1., otrzymując
( ) ( )
222
sincossincos sinsinsin)(
x
x
x
x
x
xxx
x
xxxx
x
xxf −=
−=
′−′=
′
=′
1.6. Całka nieoznaczona
W rachunku róŜniczkowym wyznaczaliśmy pochodną )(xF ′ funkcji )(xF stwierdzając przy tym, Ŝe
pochodna ta teŜ jest funkcją zmiennej niezaleŜnej x, czyli
x
xFxFxf
d
)(d)()( =′= (1.36)
W wielu zagadnieniach mamy funkcję )(xf i chcemy wyznaczyć taką funkcję )(xF , aby między tymi
dwoma funkcjami był spełniony związek )()( xfxF =′ . Funkcję )(xF , której pochodna równa się danej
funkcji )(xf , nazywamy funkcją pierwotną funkcji )(xf . Z łatwością zauwaŜamy, Ŝe kaŜda funkcja
cxF +)( , gdzie c jest dowolną stałą, jest równieŜ funkcją pierwotna funkcji )(xf , bo mamy
[ ] )()()( xfxFcxF =′=′+ . Zatem istnieje rodzina funkcji pierwotnych funkcji danej.
Rodzinę funkcji pierwotnych danej funkcji )(xf nazywamy całką nieoznaczoną funkcji )(xf i
zapisujemy symbolem
cxFxxf +=∫ )(d )( (1.37)
Wtedy teŜ funkcję )(xf nazywamy funkcją podcałkową, a liczbę c stałą całkowania.
Funkcję )(xf , dla której istnieje całka ∫ xxf d )( , nazywamy funkcja całkowalną.
Z definicji całki wynika, Ŝe kaŜdy wzór na pochodną funkcji moŜemy zarazem traktować jako wzór na obliczanie całki jakiejś funkcji dodając do funkcji pierwotnej stałą c. Trzeba jednak zaznaczyć, Ŝe całkowanie jest trudniejsze na ogół niŜ róŜniczkowanie, bowiem łatwo wyznaczamy pochodne funkcji elementarnych, otrzymują kolejną funkcje elementarną, natomiast całkowanie wielu funkcji elementarnych
17
prowadzi do złoŜonych funkcji nieelementarnych. Przykładem niech będzie funkcja elementarna x
xsin,
której pochodną wyznaczymy z reguły róŜniczkowania ilorazu dwóch funkcji. Natomiast wyznaczenie
∫ xx
xd
sin jest zadaniem trudnym, ale moŜliwym do wykonania. NaleŜy takŜe zaznaczyć, Ŝe reguły
całkowania z reguły są inne niŜ róŜniczkowania. Niektóre z nich podajemy w tabeli 1.2.
Tabela 1.2.: Wybrane reguły całkowania i całki niektórych funkcji (bez stałej c)
Nr
wzoru )(xF ∫= xxFxf d )()(
Nr
wzoru )(xF ∫= xxFxf d )()(
1
)()( xhxg ± ∫∫ ± xxhxxg d )(d )( 2 )(xf ′ )(xf
3 )( xgc ∫ xxgc d )( 4 )( )( xhxg ′ ∫ ′−
−
xxhxg
xhxg
d )( )(
)( )(
5 nx
1 1
1 +
+nx
n 6
x
1
xln
7 ( )nbax ± ( )
( ) 1
1
1 +±+
nbax
na 8
bax ±1
( )bax
a
b
a
x±ln
2m
9 xxa +2
1 a
x
a tgarc
1
10 22
1
xa −
axxa
xa
a<
−+
dla ln2
1
axax
ax
a>
+−
dla ln2
1
11 22 xa
a
− a
xsin arc
12 22 xa
x
− 22
xa −−
13 22ax
x
±
22ax ±
14 22
1
axx +
++−
x
axa
a
22
ln1
15 axe
axea
1
15 xln
xxx −ln
Przykład 1.9.
Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji xxxf sin )( =
JeŜeli w całce
xxxxxfI d sin d )( ∫∫ == oznaczymy przez xxg =)( oraz xxh sin)( =′ , to mamy, Ŝe 1)( =′ xg oraz xxh cos)( −= . MoŜemy teraz wykorzystać
wzór 4 z tabeli 1.2., otrzymując
cxxxxxxxI ++−=⋅+−= ∫ sincos d cos1cos
18
przedstawioną wyŜej, często uŜywaną, metodę całkowania nazywamy całkowaniem przez części. Rezultat całkowania osiągnięty tą metodą zaleŜy w znacznym stopniu od umiejętnego rozkładu na czynniki funkcji występującej w całce, która obliczamy.
Przykład 1.10.
Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji
x
xxf
ln)( =
JeŜeli w całce
xxxx
xxxfI d
x
1 lnd
lnd )( ∫∫∫
===
podstawimy za tx =ln i zróŜniczkujemy prawą stronę tego podstawienia względem zmienne x, zaś lewą względem
zmiennej t, to otrzymujemy Ŝe txx
dd 1
= i wtedy całka
cxctttI +=+== ∫ 22 ln2
1
2
1d
Przykład 1.11.
Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji 1
12)(
2
23
−
−−=
x
xxxf .
Funkcję podcałkową moŜemy rozłoŜyć na ułamki proste, czyli mamy, Ŝe
1
2
1
12
1
12)(
2
23
++
−−−≡
−
−−=
xxx
x
xxxf
Jeśli teraz zastosujemy wzór 1 z tabeli 1.2., to otrzymujemy całkę
xx
xx
xxxxxfI d 1
2d
1
1d 2d d )( ∫∫∫∫∫ +
+−
−−==
Całka ta jest sumą całek elementarnych, a więc ma postać
( )
cx
xxxcxxxxxxfI +
−
++
−=+++−−−== ∫ 1
1ln
2
41ln 21ln2
2
1d )(
222
1.7. Całka oznaczona
Całkę oznaczoną obliczamy w następujący sposób: JeŜeli )(xF jest jedną z funkcji pierwotnych dla
funkcji )(xf ciągłej w przedziale bxa ≤≤ , to
)()()(d )( aFbFxFxxfb
a
b
a
−==∫ (1.38)
JeŜeli dla wszystkich punktów ) ,( yx pewnej figury o polu D spełnione są warunki
≤≤
≤≤
0)( yxf
bxa (1.39)
19
to całkę oznaczoną (1.38) moŜemy interpretować geometrycznie jako pole D zawarte między funkcją )(xf ,
a osią odciętych x – rys.1.26., czyli
DaFbFxFxxfb
a
b
a
=−==∫ )()()(d )( (1.40)
b
f(a) x
f(b)
y
f(x)
a c ξ
f(ξ)
f(c) D
Rys. 1.26. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Z istotnych twierdzeń dotyczących całki oznaczonej jest twierdzenie o wartości średniej funkcji )(xf w
przedziale bxa ≤≤ , a mianowicie
∫−=
b
a
xxfab
f d )(1
)(ξ (1.41)
gdzie punkt naleŜy do przedziału bxa ≤≤ . Niektóre własności całek oznaczonych podajemy w tabeli 1.3.
Tabela 1.2.: Niektóre własności całek oznaczonych)
Nr
wzoru Wzór
Nr
wzoru Wzór
1
∫∫ −=a
b
b
a
xxfxxf d )(d )(
2 0d )( =∫a
a
xxf
3 ∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
xxfxxfxxf d )(d )(d )( 4 ∫∫ =b
a
b
a
ttfxxf d )(d )(
5 ∫∫ =b
a
b
a
xxfCxxfC d )( d )( 6 ( ) )( d )( ξfabxxf
b
a
−=∫
Przykład 1.12.
Wyznaczyć pole figury ograniczone łukami parabol 21 )( xxf = i xxf =)(2 .
20
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
f1HxL=x2
f2HxL=!!!!
x
Rys. 1.27. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pola ograniczonego dwoma łukami Poszukiwane pole jest róŜnicą pól zawartych między funkcjami a osią odciętych x,
czyli mamy ∫∫∫∫ −=−=−=1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
121 d d d )(d )( xxxxxxfxxfDDD , a po obliczeniu tych całek otrzymujemy, Ŝe
3
1
3
1
3
2
3
1
3
21
0
3
1
0
2
3
=−=−= xxD .
2. RÓWNANIA RÓśNICZKOWE ZWYCZAJNE
Wiele problemów fizyki, równieŜ teorii sterowania, polega na rozwiązywaniu pewnej klasy równań, w których występują pochodne funkcji, przy zadanych warunkach granicznych. Równaniami tymi są równania róŜniczkowe zwyczajne i cząstkowe.
2.1. Definicja równań różniczkowych zwyczajnych
JeŜeli poszukujemy funkcji )(xy ϕ= takiej, by dla kaŜdego x z pewnego przedziału zachodziło
[ ] 0)( ..., ),( ),( , )( =′ xxxxf nϕϕϕ (2.1)
to o funkcji )(xy ϕ= mówimy, Ŝe spełnia ona to równanie lub teŜ jest jego rozwiązaniem. Takie równanie
nazywamy równaniem róŜniczkowym zwyczajnym. Rząd najwyŜszej pochodnej poszukiwanej funkcji występującej w równaniu nazywamy rzędem równania róŜniczkowego.
JeŜeli w równaniu (2.1) mamy wielomiany stopnia k zmiennych )( ..., , , nyyy ′ , to liczba k jest stopniem
równania. JeŜeli 1=k , to równanie jest stopnia pierwszego lub równaniem liniowym. Równanie liniowe stopnia pierwszego, a n-tego rzędu ma postać
0)( )( )(... )( )( 1)1(
1)(
0 =++′+++ −− xbyxayxayxayxa nn
nn (2.2)
przy czym 0)(0 ≠xa , a współczynniki )( ),...,( ),( 10 xaxaxa n są dowolnymi funkcjami zmiennej x.
JeŜeli współczynniki te są liczbami stałymi, to równanie (2.2) nazywamy równaniem róŜniczkowym
zwyczajnym o stałych współczynnikach. W przypadku gdy 0)( =xb , to równanie (2.2) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
21
KaŜde rozwiązanie )(xy ϕ= równania róŜniczkowego nazywamy całką równania róŜniczkowego, a
krzywą o tym rozwiązaniu, nazywa się krzywą całkową tego równania. W całkach tych występują stałe dowolne i dlatego dla danego równania róŜniczkowego całek takich jest nieskończenie wiele. JeŜeli stałym tym nadamy określone wartości, to otrzymujemy rozwiązanie nazywane całkami szczególnymi, podczas gdy ogólne rozwiązanie nazywa się całka ogólną. Liczba stałych jest równa rzędowi równania róŜniczkowego i stałe te, występujące w rozwiązaniu ogólnym równania róŜniczkowego, wyznacza się z n dodatkowych warunków nazywanych warunkami brzegowymi, jeśli są zadane na krańcach przedziału, w których funkcja jest określona, lub początkowymi (warunkami Cauchy’ego), jeśli zadane są w jednym punkcie. W niniejszym punkcie zajmiemy się niemal wyłącznie prostymi typami równań, a przede wszystkimi równaniami liniowymi o stałych współczynnikach.
2.2. Równania różniczkowe f(x)y =′
Równanie róŜniczkowe )(xfy =′ jest szczególnym przypadkiem równania (2.2), gdzie pochodna y′ występuje tylko w pierwszej potędze ze współczynnikiem 1. Mamy zatem równanie
)(xfy =′ (2.3)
lub inaczej
)(d
dxf
x
y= (2.4)
Następnie powyŜsze równanie moŜemy scałkować stronami względem zmiennej x, otrzymując
∫∫∫∫ =⇒= xxfyxxfxx
yd )(d d )(d
d
d (2.5)
a w rozwiązaniu równania róŜniczkowego mamy, Ŝe
∫=+= xxfcxy d )()(ϕ (2.6)
Otrzymujemy więc nieskończoną liczbę rozwiązań, przy czym funkcja )(xϕ jest pewną całką
szczególną równania (2.3), a więc funkcją pierwotną względem funkcji )(xf . Całka ogólna równania (2.3)
ma postać cx +)(ϕ .
Rozwiązaniami równania róŜniczkowego postaci (2.3) są wszystkie całki nieoznaczone.
Przykład 2.1.
Rozwiązać równanie xy =′ .
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
y
y=
1
2x2
+c
c=1
c=2
c=-1
Rys. 2.1. Całki ogólne równania róŜniczkowego xy =′
22
Mamy zatem do rozwiązania równanie róŜniczkowe
cxyxxyxx
y+=⇒=⇒= 2
2
1 d d
d
d
czyli w rozwiązaniu otrzymujemy całkę ogólną, która przedstawia sobą rodzinę parabol (nieskończenie wiele) – rys. 2.1. Całkę szczególną tego równania róŜniczkowego moŜemy wyznaczyć zadając warunek początkowy, np. 1)0( =y i
wtedy mamy równanie umoŜliwiające nam określenie stałej c, czyli
1 2
1)( 1 0
2
11)0( 22 +==⇒=⇒+== xxyccy ϕ
2.3. Równania różniczkowe f(y)y =′
Zakładamy, Ŝe prawa strona równania
)(yfy =′ (2.7)
jest funkcja ciągłą zmiennej y w pewnym przedziale i nie zaleŜy od x. Z równania (2.7), otrzymujemy
1)(=
′
yf
y (2.8)
a następnie wykonujemy całkowanie
cyGyf
yxxx
x
y
yfxx
yf
y+==⇒=⇒⋅=
′∫∫∫∫ )(
)(
d d
d
d
)(
1 d1d
)( (2.9)
Jeśli teraz znajdziemy funkcję g odwrotną do funkcji G, czyli )( cxgy −= , to będziemy mieć
rozwiązanie równania róŜniczkowego (2.7). Przykład 2.2.
Rozwiązać równanie yy =′ .
-2 -1 1 2x
-5
5
10
15
y
y=Cex C=1
C=2
C=-1
Rys. 2.2. Całki ogólne równania róŜniczkowego yy =′
Z równania wyjściowego, otrzymujemy 1=′
y
y. Następnie wykonujemy całkowanie
cyyy
xx
y
yxxx
x
y
yxx
y
y+===⇒=⇒=
′∫∫∫∫∫ lnd
1d
d
d1 d
d
d1 dd
23
Teraz moŜemy wyznaczyć funkcję odwrotną xxccx cy e e ee 1=== −− , gdzie nowa stała cc −= e1 . Ostatecznie
mamy rozwiązanie równania róŜniczkowego, jego całkę ogólną, w postaci wzoru xCy e = , w którym C oznacza
dowolną stałą. Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 2)0( =y i wtedy
2 2)0( =⇒== CCy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać xy e 2= .
2.4. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Zakładamy, Ŝe prawa strona równania
)()( ygxfy ⋅=′ (2.10)
jest iloczynem dwóch funkcji ciągłych w pewnych przedziałach. PowyŜsze równanie nazywa się równaniem
o zmiennych rozdzielonych. PowyŜsze równanie zapiszemy w postaci
)()(
xfyg
y=
′ (2.11)
i wykonamy całkowanie
∫∫∫∫∫∫ =⇒=⇒=′
xxfyg
yxxfx
x
y
ygxxfx
yg
yd )(
)(
d d )(d
d
d
)(
1 d )(d
)( (2.12)
Jeśli funkcja )(yG jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej całki z lewej strony równania (1.53), a
funkcja )(xF jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej całki z prawej strony tego równania, to równanie
to moŜemy zapisać w postaci
cxFyG += )()( (2.13)
Przykład 2.3.
Rozwiązać równanie x
yy −=′ .
-6 -4 -2 2 4 6x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
y
y=
c
x
c=2c=-2
c=10c=-10
Rys. 2.3. Całki ogólne równania róŜniczkowego x
yy −=′
24
Równanie to moŜemy widzieć w postaci x
yy
11−=′ i po jego scałkowaniu, otrzymujemy
dd
d1
dd
d1 d
1d
1∫∫∫∫∫∫ −=⇒−=⇒−=′
x
x
y
yx
xx
x
y
yx
xxy
y.
Ostatecznie w rozwiązaniu równania róŜniczkowego mamy całkę ogólną x
cy
x
cy =⇒= lnln , która jest
rodzina hiperbol – rys. 2.3. Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 2)1( =y i wtedy
2 2)1( =⇒== CCy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać x
y2
= .
2.5. Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu
Równanie
)( )( xqyxpy =+′ (2.14)
nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego, a jeŜeli 0)( =xq , to
równanie (2.14) jest równaniem róŜniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego, które ma postać
0 )( =+′ yxpy (2.15) To ostatnie równanie zapisane w postaci
)(xpy
y−=
′ (2.16)
jest szczególnym przypadkiem równania o zmiennych rozdzielonych. Zatem po scałkowaniu go względem zmiennej x
∫∫ −=′
xxpxy
yd )(d (2.17)
a stąd otrzymujemy, Ŝe
cxFy +−= )(ln (2.18)
a więc
)(e e xFcy −= (2.19)
i ostatecznie
)(e xFCy −= (2.20)
gdzie C jest dowolną stałą mogącą przyjmować wartości dodatnie ce i ujemne ce- . Rozwiązanie (2.20) jest całka ogólną równania jednorodnego (2.15), ale nie spełnia ono równania
niejednorodnego (2.14). JeŜeli jednak stałą C zastąpimy odpowiednio dobraną funkcją )(xC zmiennej x, to
okaŜe się, Ŝe funkcja
)(e )( xFxCy −= (2.21)
jest całką ogólną równania niejednorodnego (2.14). Aby znaleźć funkcję )(xC , róŜniczkujemy równanie (2.20), podstawiamy y oraz y′ do równania (2.14)
i wyznaczamy
)(e )()( xFxqxC =′ (2.22)
25
a więc
∫= xxqxC xF d e )()( )( (2.23)
Zatem rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja
[ ]∫−= xxqy xFxF d e )( e )()( (2.24)
NaleŜy tutaj pamiętać, Ŝe z prawej strony powyŜszego rozwiązania występuje całka nieoznaczona, a więc w rozwiązaniu tym pojawi się jedna stała K, którą będziemy mogli wyznaczyć z warunku początkowego. W zagadnieniach fizyki i techniki stałą tą wygodniej jest wprowadzić juŜ w rozwiązaniu (2.23), czyli mamy
KxxqxC xF += ∫ d e )()( )( (2.25)
co oznacza, Ŝe w rozwiązaniu całki nieoznaczonej we wzorze (2.25) podajemy tylko jej funkcję pierwotną. Wtedy teŜ całka ogólna równania niejednorodnego (2.14) ma postać
∫−− += xxqKy xFxFxF d e )(ee )()()( (2.26)
Szczególnym przypadkiem równania niejednorodnego rzędu pierwszego jest równanie liniowe
niejednorodne pierwszego rzędu o stałych współczynnikach
)( xqbyya =+′ (2.27)
gdzie a oraz b są wielkościami stałymi. JeŜeli do tego równania zastosujemy procedurę rozwiązywania pokazaną wyŜej, to w rozwiązaniu
równania jednorodnego
0 =+′ yya (2.28)
otrzymujemy jego całkę ogólną
a
x
Cy−
= e (2.29)
Po uzmiennieniu stałej )(xC mamy
a
x
xCy−
= e )( (2.30)
zróŜniczkowaniu stronami tego równanie i odpowiednim podstawieniu do równania niejednorodnego (2.27), otrzymujemy pochodną uzmiennionej stałej
)( e )( xqa
bxC a
x
=′ (2.31)
a stąd
∫= xxqa
bxC a
x
d )( e )( (2.32)
i ostatecznie całka ogólna równania niejednorodnego
26
= ∫
−xxq
a
by a
x
a
x
d )( e e (2.33)
w której wystąpi jedna stała K, bowiem w rozwiązaniu (2.33) mamy całkę nieoznaczoną. Stała tą typy moŜemy wprowadzić wcześniej, a mianowicie
Kxxqa
bxC a
x
+= ∫ d )( e )( (2.34)
i wtedy rozwiązanie ogólne równania (2.27) ma postać
∫−−
+= xxqa
bKy a
x
a
x
a
x
d )( e e e (2.35)
Przykład 2.4.
Rozwiązać równanie 12
1=+′ yy .
-4 -2 2 4x
-10
10
20
y
y=2+K*Exp@-x
2D
K=0, Hy=2L
K=2
K=-2
K=5
K=-5
Rys. 2.4. Całki ogólne równania róŜniczkowego 22 =+′ yy
PowyŜsze równanie jest równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym pierwszego rzędu o stałych
współczynnikach typu (2.27), bowiem z łatwością uzyskujemy następującą jego postać: 22 =+′ yy . Wtedy moŜemy
powtórzyć procedurę jego rozwiązywania podaną wyŜej lub wykorzystać rozwiązanie (2.33), otrzymując całkę ogólną
22222 e 22e ed e e xxxxx
KKxy−−−
+=
+=
= ∫ , gdzie M i N są dowolnymi stałymi. Jeśli zaś wykorzystamy wzór
(1.76), to mamy rozwiązanie 2222 e 2d e ee xxxx
KxKy−−−
+=+= ∫ . Całka ogólna równania opisuje rodzinę hiperbol i
prostą 2=y (dla 0=K ) – rys. 2.4.
Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 1)0( =y i wtedy
1 21)0( −=⇒+== KKy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać 2e 2x
y−
−= .
Przykład 2.5.
Rozwiązać równanie xyy sin 42 =+′ .
27
W powyŜszym równaniu 2=a , 4=b , xxq sin)( = . Jeśli wykorzystamy wzór (2.35), to mamy rozwiązanie
∫−−
+= xxKy
xxx
d sin e e 2e 222 . Wykonując całkowanie przez części obliczamy całkę
( ) )sin(52sincos 2 e 5
2d sin e 22 α−=−−=∫ xxxxx
xx
, gdzie 2 tgarc=α . Zatem rozwiązanie ogólne ma postać
)sin(54e 2 α−+=−
xKy
x
.
Całka ogólna równania opisuje rodzinę sumy sinusoidy i funkcji tłumionej – rys. 2.5.
Π2 Π 3Π2 2Π
x
-20
-15
-10
-5
5
10
y
y=K*Exp@-x
2D+4*
!!!!5 *Sin@x-ΑD
K=0
K=5
K=-5
K=15
K=-15
Rys. 2.5. Całki ogólne równania róŜniczkowego xyy sin 42 =+′
2.6. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach
Równanie
0 =+′+′′ ybyay (2.36)
gdzie współczynniki a i b są stałe nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym jednorodnym drugiego
rzędu o stałych współczynnikach. JeŜeli przyjmiemy funkcję
xry e= (2.37)
gdzie r jest stałą, a następnie wykonamy jej dwukrotne róŜniczkowanie ze względu na zmienną x i dokonamy podstawień tych pochodnych do równania (2.36), to otrzymamy
( ) 0 e 2 =++ brarxr (2.38) Z równania (2.38) wynika, Ŝe funkcja (2.37) jest rozwiązaniem równania (2.36), gdy stała r spełnia równanie
0 2 =++ brar (2.39) czyli gdy jest jego pierwiastkiem (miejscem zerowym).
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania (2.36). W tym przypadku jest to równanie kwadratowe, a zatem jego rozwiązanie zaleŜy od znaku jego wyróŜnika.
• Gdy 0>∆ , to równanie (2.39) ma dwa róŜne pierwiastki rzeczywiste 1r i 2r . Wtedy rozwiązanie
ogólne równania (2.36) ma postać
28
2 21 1
2
121 ee yCyCCCyxrxr +=+= (2.40)
gdzie 1C oraz 2C są dowolnymi stałymi, a xry
1
1e= oraz xry
2
2e= .
• Gdy 0=∆ , to równanie (2.39) ma jeden pierwiastek podwójny 0r . Wtedy funkcja
xr
y
10e= (2.41)
jest rozwiązaniem szczególnym równania (2.36). Wiemy jednak, Ŝe rozwiązanie ogólne równania róŜniczkowego drugiego rzędu jest kombinacją liniową dwóch rozwiązań szczególny z dwoma stałymi 1C i
2C . Zatem brakuje nam jeszcze jednego rozwiązania szczególnego. W celu jego wyznaczenia zróŜniczkujemy równanie (2.38) względem r, otrzymując
( ) ( ) 0 2 e e 2 =++++ arbrarx xrxr (2.42) a stąd mamy, Ŝe
( )[ ] 0 2 e 2 =++++ arbrarxxr (2.43)
Jeśli 0r jest pierwiastkiem podwójnym równania charakterystycznego, to z równania (2.43) mamy, Ŝe
0 2 0 002
0 =+∩=++ arbrar (2.44) A zatem dla 0rr = równanie (2.42) jest spełnione, więc funkcja
xr
xy
20e = (2.45)
jest drugim rozwiązanie szczególnym równania (2.36). Wobec czego jego rozwiązanie ogólne ma postać
xrxr
xCCyCyCy
2
12 21 100 e e +=+= (2.46)
• Gdy 0<∆ , to równanie (2.39) nie ma pierwiastków rzeczywistych lecz pierwiastki zespolone*
βα j 4 2
1 j
2
1 22 ,1 ±=−±−= abar (2.47)
gdzie
2 4
2
1 oraz
2
1aba −=−= βα (2.48)
Zatem, zgodnie ze wzorem (2.40), zespolone rozwiązanie ogólne równania (2.36) ma postać
xxxx
CCy -j
2 j
1 e ee e βαβα += (2.49)
a stąd rzeczywiste rozwiązanie ogólne
2 21 1
2
1
-j 1
j 1
cos esin e
e eRee eIm
yCyCxCβxC
CCy
xx
xxxx
+=+=
=+=
βαα
βαβα
(2.50)
gdzie βxy x sin e 1
α= , a βxy x cos e 2
α= .
* Liczby zespolone omówiono w rozdziale 3.
29
MoŜemy łatwo sprawdzić, Ŝe funkcje 1y , 2y jak równieŜ ich suma 21 yy + spełniają równanie (2.36)
przy dowolnie wybranych stałych 1C oraz 2C .
Rozwiązania (2.40), (2.46) lub (2.50) zaleŜą od dwóch stałych 1C i 2C , tj. od tylu stałych, jaki jest rząd
równania. Stałe te wyznaczamy z zadanych warunków początkowych, tj. ze znanych wartości funkcji 0y i
jej pochodnej 0y′ w wybranym punkcie 0x , czyli dla układu dwóch równań 000 )( cyxy == oraz
100 )( cyxy =′=′ .
Przykład 2.6.
Rozwiązać równanie 0 65 =+′+′′ yyy .
W powyŜszym równaniu 5=a oraz 6=b , a stąd równanie charakterystyczne ma postać
06 52 =++ rr
WyróŜnik tego równania 01>=∆ , więc istnieją dwa róŜne pierwiastki rzeczywiste 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką
ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.40), jest funkcja
xx CCy 2
2 3
1 ee −− +=
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
xx CCy 2
2 3
1 e 2e 3 −− −−=′
w następującej postaci
=−−=′
=+=
0 2 3)0(
1)0(
2 1
2 1
CCy
CCy
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 2 1 −=C oraz 3 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
21 2 3 e 3e 2 yyy xx +=+−= −−
gdzie
xxxx yyy 2
2 3
1 2 3 e 3 oraz e 2e 3e 2 −−−− =−==+−=
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.6.
0.5 1 1.5 2x
-2
-1
1
2
3
y
y=-2e-3 x+3e-2 x
y1=-2e-3 x
y2=3e-2 x
Rys. 2.6. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 65 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
30
Przykład 2.7.
Rozwiązać równanie 0 44 =+′+′′ yyy .
W powyŜszym równaniu 4=a oraz 4=b , a stąd równanie charakterystyczne ma postać
04 42 =++ rr
WyróŜnik tego równania 0=∆ , więc istnieją jeden rzeczywisty pierwiastek podwójny rzeczywiste 20 −=r . Zatem
całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.46), jest funkcja
xx xCCy 2
2 2
1 e e −− += Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( )xxx xCCy 2 2 2
3 1 e 2ee 2 −−− −+−=′
w następującej postaci
=+−=′
==
0 2)0(
1)0(
2 1
1
CCy
Cy
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =C oraz 2 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
21 2 2 e 2e yyxy xx +=+= −−
gdzie
xy 2
1 e−= oraz xxy 22 e 2 −=
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.7.
0.5 1 1.5 2x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
y=e-2 x+2xe-2 x
y1=e-2 x
y2=2xe-2 x
Rys.2.7. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 44 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
Przykład 2.8.
Rozwiązać równanie 0 22 =+′+′′ yyy .
W powyŜszym równaniu 2=a oraz 2=b , a stąd równanie charakterystyczne ma postać
02 22 =++ rr
WyróŜnik tego równania 04 <−=∆ , więc istnieją dwa pierwiastki zespolone
31
βα j j12 ,1 ±=±−=r gdzie
1−=α oraz 1=β Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.50), jest funkcja
x eCx eCy -x
x
cossin 21 += −
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( ) ( )xx eCxx- eCy -x
x
sincossincos 21 +−=′ − w następującej postaci
=−=′
==
0)0(
1)0(
2 1
2
CCy
Cy
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =C oraz 1 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
( ) ( ) x eyyxx exx- ey -x-x x sin 2sincossincos 21 −=+=+−= −
gdzie
( )xx- ey x sincos1−=
oraz
( )xx ey -x sincos2 +−= czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.8.
0.5 1 1.5 2x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
y
y=-2e-x*sinx
y1=e-xHcosx-sinxL
y2=e-xHcosx+sinx
Rys. 2.8. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 22 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
2.7. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach
Równanie
)( xqybyay =+′+′′ (2.51)
gdzie współczynniki a i b są stałe nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym
drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Zakładamy, Ŝe rozwiązaniem równania jednorodnego (2.36) jest funkcja
2 21 1
2
121 ee yCyCCCyxrxr +=+= (2.52)
32
gdzie funkcje 1y oraz 2y mają postać zaleŜna od wyróŜnika ∆ równania charakterystycznego (2.39).
MoŜemy wykazać, Ŝe jeśli stałe w równaniu (2.51) zastąpimy odpowiednio dobranymi funkcjami )(1 xC
oraz )(2 xC zmiennej x, to funkcja
2211
2
1 )( )(e )(e )( 21 yxCyxCxCxCyxrxr +=+= (2.53)
jest rozwiązaniem ogólnym równania (2.51). Aby wyznaczyć funkcje )(1 xC i )(2 xC , róŜniczkujemy równanie (2.53), otrzymując
22112211 )( )( )( )( yxCyxCyxCyxCy ′+′+′+′=′ (2.54) śądamy aby
0 )( )( 2211 =′+′ yxCyxC (2.55) a wtedy
2211 )( )( yxCyxCy ′+′=′ (2.56) i stąd druga pochodna
22112211 )( )( )( )( yxCyxCyxCyxCy ′′+′′+′′+′′=′′ (2.57)
Jeśli teraz wzory (2.54), (2.56) i (2.57) wstawimy do równania (2.52) zauwaŜając przy tym, Ŝe 0 111 =+′+′′ ybyay oraz 0 222 =+′+′′ ybyay , bo 1y oraz 2y są rozwiązaniami równania jednorodnego
(2.36), to otrzymujemy warunek
0 )( )( 2211 =′′+′′ yxCyxC (2.58)
Równania (2.55) i (2.58) tworzą układ równań z niewiadomymi )(1 xC ′ i )(2 xC ′ . Wyznacznik funkcyjny
(wrońskian) tego układu
0)(21
21 ≠′′
=yy
yyxW (2.59)
jest róŜny od zera, gdy funkcje 1y i 2y są niezaleŜne. Stąd otrzymujemy
)(
)()( oraz
)(
)()( 1
22
1xW
yxqxC
xW
yxqxC =′−=′ (2.60)
Szukane funkcje mają zatem postać
+=+=
+=+−=
∫
∫
2221
2
1112
1
)(d )(
)()(
)(d )(
)()(
KxFKxxW
yxqxC
KxFKxxW
yxqxC
(2.61)
gdzie )(1 xF i )( 2 xF są funkcjami pierwotnymi funkcji podcałkowych w całkach (2.61), a 1K i 2K są
dowolnymi stałymi. Rozwiązaniem ogólnym równania róŜniczkowego niejednorodnego (2.51) jest zatem funkcja
[ ] [ ] 222111 )( )( yKxFyKxFy +++= (2.62) lub w postaci
33
22112211 )( )( yKyKyxFyxFy +++= (2.63) Rozwiązania (2.62) lub (2.63) zaleŜą od dwóch stałych 1K i 2K , tj. od tylu stałych, jaki jest rząd
równania. Stałe te wyznaczamy z zadanych warunków początkowych, tj. ze znanych wartości funkcji 0y i
jej pochodnej 0y′ w wybranym punkcie 0x , czyli dla układu dwóch równań
=′=′
==
100
000
)(
)(
cyxy
cyxy
(2.64)
Postać rozwiązania (2.63), równieŜ (2.62), zaleŜy takŜe od wyróŜnika ∆ równania charakterystycznego
(2.39). • Gdy 0>∆ , to
xrxrxrxr
xFxFKKy
2
1
2
12121 e )(e )(ee +++= (2.65)
• Gdy 0=∆ , to
xrxrxrxr
xxFxFxKKy
2
1
2
10000 e )(e )(e e +++= (2.66)
• Gdy 0<∆ , to
xxFβxxFxKβxKy xxxx ββ αααα cos e )(sin e )(cos esin e 2
1
2
1 +++= (2.67)
Przykład 2.9.
Rozwiązać równanie 3 65 =+′+′′ yyy .
Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe. W równaniu tym 5=a , 6=b oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać
przedstawioną w przykładzie 2.6 z dwoma róŜnymi pierwiastkami rzeczywistymi 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką
ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.65), jest funkcja
xxxx xFxFKKy 2
2 3
1 2
2 3
1 e )(e )(ee −−−− +++=
Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu
0e2e-3e-
ee)( 5
23
23
21
21 ≠==′′
= −−−
−−x
xx
xx
yy
yyxW
Funkcje pierwotne
===
−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xx
x
x
xx
x
x
xxxF
xxxF
2 2
5
3
2
3 3
5
2
1
e2
3d e 3d
e
e 3)(
ed e 3d e
e 3)(
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
2
1ee 2
2 3
1 ++= −− xxKKy
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
xx KKy 2
2 3
1 e 2e 3 −− −−=′
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
34
=−−=′
=++=
0 2 3)0(
02
1)0(
2 1
2 1
KKy
KKy
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =K oraz 2
3 2 −=K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
up
xxyyy +=+−= −−
2
1e
2
3e 2 3
gdzie
xx
py 2 3 e
2
3e −− −=
oraz
2
1=uy
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.
2
1
2
1
2
1e
2
3elimlim 21
2 3 =
++=+−== −−
∞→∞→yyyy
xx
xxu
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.9.
0.5 1 1.5 2x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
y
y=e-3 x-
32
e-2 x+
12
yp=e-3 x-
32
e-2 x
yu=12
Rys. 2.9. Całka szczególna równania róŜniczkowego 3 65 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
Przykład 2.10.
Rozwiązać równanie 3 44 =+′+′′ yyy .
W równaniu tym 4=a , 4=b
oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w
przykładzie 2.7 z jednym rzeczywistym pierwiastkiem podwójnym 20 −=r . Równanie tego typu opisuje np. przebieg
napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe w przypadku rezystancji obwodu równej rezystancji krytycznej. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.66), jest funkcja
xxxx xxFxFxKKy 2
2 2
1 2
2 2
1 e )(e )(e e −−−− +++= Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu
0ee)2-(12e-
ee)( 4
22
22
21
21 ≠==′′
= −−−
−−x
xx
xx
x
x
yy
yyxW
Funkcje pierwotne
35
===
−−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xx
x
x
xx
x
x
xxxF
xxxxx
xF
2 2
4
2
2
2 2
4
2
1
e2
3d e 3d
e
e 3)(
e2
1
2
3d e 3d
e
e 3)(
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
( )4
3e 2
21 ++= − xxKKy
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( ) xKxKKy 2221 e 2 2 −+−−=′
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
=+−=′
=+=
0 2)0(
04
3)0(
2 1
1
KKy
Ky
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 4
3 1 −=K oraz
2
3 2 =K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
up
xyyxy +=+
+−= −
4
3e
2
3
4
3 2
gdzie
x
p xy 2e
2
3
4
3 −
+−= oraz
4
3=uy
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.
4
3
4
3e
2
3
4
3limlim 2 =
+=+
+−== −
∞→∞→up
x
xxu yyxyy
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.10. Funkcję y w takim przypadku nazywamy przebiegiem aperiodycznym krytycznym (nieokresowym krytycznym).
0.5 1 1.5 2x
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
y
y=e-3 x-
32
e-2 x+
12
yp=e-3 x-
32
e-2 x
yu=12
Rys. 2.10. Całka szczególna równania róŜniczkowego 3 44 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
36
Przykład 2.11.
Rozwiązać równanie 3 22 =+′+′′ yyy .
W równaniu tym 2=a , 2=b
oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w
przykładzie 2.8 z dwoma pierwiastkami zespolonymi
βα j j12 ,1 ±=±−=r gdzie
1−=α oraz 1=β
Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe w przypadku rezystancji obwodu mniejszej niŜ rezystancja krytyczna. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.67), jest funkcja
xxFxxFxKxKy xxxx cos e )(sin e )(cos esin e -2
-1
- 2
- 1 +++=
Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu
( )0e
e)sincos(-e sincos
cosesine)( 2
21
21 ≠−=+−
=′′
= −−−
−−x
xx
xx
xxx
xx
yy
yyxW
Funkcje pierwotne
( )
( )
−−===
+−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xx
x
x
xx
x
x
xxxxxx
xF
xxxxxx
xF
e cossin2
3d e sin 3d
e
sine 3)(
e sincos2
3d e cos 3d
e
cose 3)(
22
21
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
( )
−−+=−++=
42sin
2
2 3cos esin e2sin2cos
2
3cos esin e -
2 -
1 -
2 -
1
πxxKxKxxxKxKy xxxx
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( ) ( )[ ] ( )xxxxKxxKy x 2sin2cos3e sincossincos 21 +−+−−=′ −
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
=−−=′
=+=
03)0(
02
3)0(
2 1
2
KKy
Ky
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 2
3 1 =K oraz
2
3 2 −=K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
( ) ( ) up
xx yyxxxxxxy +=
−−
−=−+−=
42sin
2
2 3e
42sin
2
2 32sin2cos
2
3e cossin
2
3 - - ππ
gdzie
x
p xy -e 4
2sin2
2 3
−=π
oraz
−−=
42sin
2
2 3 πxyu
37
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej, która odpowiada tzw. funkcji ustalonej funkcji, tzn.
−−=
−−
−==
∞→∞→ 42sin
2
2 3
42sin
2
2 3e
42sin
2
2 3limlim - πππ
xxxyyx
xxu
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.11. Funkcję y w takim przypadku nazywamy przebiegiem oscylacyjnym tłumionym.
Π4 Π2 3Π4 Π
x
-2
-1
1
2
y
y=yp+yu
yp=3 !!!!
2
2sinH2x-
Π4Le-x
yu=-3 !!!!
2
2sinH2x-
Π4L
Rys. 2.11. Całka szczególna równania róŜniczkowego 3 22 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)
Przykład 2.12.
Rozwiązać równanie xyyy sin 3 65 =+′+′′ . Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu
go na napięcie sinusoidalne. W równaniu tym 5=a , 6=b oraz xxq sin 3)( = . Równanie charakterystyczne ma postać
przedstawioną w przykładzie 2.6 z dwoma róŜnymi pierwiastkami rzeczywistymi 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką
ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.65), jest funkcja
xxxx xFxFKKy 2
2 3
1 2
2 3
1 e )(e )(ee −−−− +++=
Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu przykładu poprzedniego 0e)( 5 ≠= − xxW .
Funkcje pierwotne
( )
( )
−−===
−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xxxxxx
xF
xxxxxx
xF
xx
x
x
xx
x
x
sin 2cose5
3d e sin 3d
e
e sin 3)(
sin 3cose10
3d e sin 3d
e
e sin 3)(
2 2
5
3
2
3 3
5
2
1
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
( )
−++=−++= −−−−
4sin
10
2 3eecossin
10
3ee 2
2 3
1 2
2 3
1
πxKKxxKKy xxxx
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
38
−+−−=′ −−
4cos
10
2 3e 2e 3 2
2 3
1
πxKKy xx
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
=+−−=′
=−+=
010
3 2 3)0(
010
3)0(
2 1
2 1
KKy
KKy
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 10
3 1 −=K oraz
10
6 2 =K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
up
xx yyxy +=
−++−= −−
4cos
10
2 3e
10
6e
10
3 2 3 π
gdzie
( )xx
py 2 3 e 2e 10
3 −− −−= oraz
−=
4cos
10
2 3 πxyu
czyli całka ta jest zatem sumą funkcji wykładniczej i wielkości sinusoidalnej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.
−=
−++−== −−
∞→∞→ 4cos
10
2 3
4cos
10
2 3e
10
6e
10
3limlim 2 3 ππ
xxyyxx
xxu
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.12.
Π4 Π2 3Π4 Π
x
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
y
y=yp+yu
yp=-3
10He-3 x
-2e-2 xL
yu=3 !!!!
2
10sinHx-
Π4L
Rys. 2.12. Całka szczególna równania róŜniczkowego xyyy sin 3 65 =+′+′′ (zerowe warunki początkowe)
Przykład 2.13.
Rozwiązać równanie xyyy sin 3 44 =+′+′′ .
W równaniu tym 4=a , 4=b
oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w
przykładzie 2.7 z jednym rzeczywistym pierwiastkiem podwójnym 20 −=r . Równanie tego typu opisuje np. przebieg
napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie sinusoidalne w przypadku rezystancji obwodu równej rezystancji krytycznej. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.66), jest funkcja y oraz wyznacznik funkcyjny są takie jak w przykładzie 2.10. Funkcje pierwotne
39
===
−−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xx
x
x
xx
x
x
xxxx
xF
xxxxxxx
xF
2 2
4
2
2
2 2
4
2
1
e2
3d e sin 3d
e
e sin 3)(
e2
1
2
3d e sin 3d
e
e sin 3)(
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
( ) ( )xxxKKy x cos 4sin 325
3e 2
21 −++= −
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( ) ( )xxKxKKy x sin 4cos 325
3e 2 2 2
221 +++−−=′ −
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
=++−=′
=−=
025
9 2)0(
025
12)0(
2 1
1
KKy
Ky
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 25
12 1 =K oraz
5
3 2 =K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
( ) up
xyyxxxy +=−+
+= − cos 4sin 3
25
3e
5
4
5
3 2
gdzie
x
p xy 2e
5
4
5
3 −
+= oraz ( )xxyu cos 4sin 3
25
3−=
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej
( ) ( )α−=−= xxxyu sin5
3cos 4sin 3
25
3 gdzie
3
4 tgarc=α
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.13.
Π4 Π2 3Π4 Π
x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
y
y=yp+yu
yp=35H
45
+xLe-2 x
yu=3
25H3sinx-4cosxL
Rys. 2.13. Całka szczególna równania róŜniczkowego xyyy sin 3 44 =+′+′′ (zerowe warunki początkowe)
40
Przykład 2.14.
Rozwiązać równanie xyyy sin 3 22 =+′+′′ .
W równaniu tym 2=a , 2=b oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w przykładzie 2.8
z dwoma pierwiastkami zespolonymi
βα j j12 ,1 ±=±−=r gdzie
1−=α oraz 1=β
Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie sinusoidalne w przypadku rezystancji obwodu mniejszej niŜ rezystancja krytyczna. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.67), jest funkcja y oraz wyznacznik funkcyjny podany w przykładzie 2.11. Funkcje pierwotne
( )
( )
−−===
−−=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
xx
x
x
xx
x
x
xxxxxxx
xF
xxxxxxx
xF
e cos2sin10
3d e sin 3d
e
sine sin 3)(
e 2cos22sin10
3d e 2sin
2
3d
e
cose sin 3)(
2
22
21
Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja
( ) ( )xxxKxKy x cos 2sin5
3e cos sin -
21 −−+=
Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej
( ) ( )[ ] ( )xxxxKxxKy x sin 2cos5
3e sincossincos 21 +−+−−=′ −
w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)
=−−=′
=+=
05
3)0(
05
6)0(
2 1
2
KKy
Ky
Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 5
3 1 −=K oraz
5
6 2 −=K . Wtedy całka szczególna badanego
równania róŜniczkowego ma postać
( ) ( ) up
x yyxxxxy +=−−+−= cos 2sin5
3e cos 2sin
5
3 -
gdzie
( ) x
p xxy -e cos 2sin5
3+−= oraz ( )xxyu cos 2sin
5
3−−=
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej
( ) ( )α−=−−= xxxyu sin5
5 3cos 2sin
5
3 gdzie tg2arc=α
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.14.
41
Π4 Π2 3Π4 Π
x
-1
-0.5
0.5
1
y
y=yp+yu
yp=-35Hsinx+2cosxLe-x
yu=-35Hsinx-2cosxL
Rys. 2.14. Całka szczególna równania róŜniczkowego xyyy sin 3 22 =+′+′′ (zerowe warunki początkowe)
3. LICZBY I FUNKCJE ZESPOLONE
Liczby i funkcje zespolone są waŜnym działem matematyki stosowanym w elektrotechnice i automatyce. Szczególne dotyczy to funkcji sinusoidalnych oraz rachunku operatorowego.
3.1. Liczba zespolona
Najprostszą postacią liczby zespolonej z jest postać algebraiczna (postać kartezjańska)
zzyxz Im jRe j +=+= (3.1)
gdzie: zx Re= - oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej,
zy Im= - oznacza część urojoną liczby zespolonej,
1-j= - oznacza jednostkę urojoną, ( -1j2 = ).
którą moŜemy przedstawić na płaszczyźnie zespolonej (płaszczyźnie liniowej) w postaci punktu ) ,( yxz lub
wektora Ozz = , jak to ilustruje rys. 3.1. Punktom osi x odpowiadają liczby rzeczywiste, a punktom osi y – liczby urojone. Dlatego tez oś x nazywamy osią rzeczywistą, a oś y – osią urojoną.
x
x
y
y
z
j Im(z)
z*
φ
-φ
z
O
1
-1
j
-j Re(z)
Rys. 3.1. Ilustracja geometryczna liczby zespolonej z i liczby zespolonej sprzęŜonej z*
42
Modułem lub wartością bezwzględną liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą
22 yxz += (3.2)
i jest on równy długości wektora Ozz = . Argumentem, oznaczanym przez zarg , liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą określoną
równaniami
sin ,cosz
y
z
x== ϕϕ (3.3)
przy czym naleŜy pamiętać, Ŝe jest to kąt skierowany mierzony od osi rzeczywistej do wektora. Ponadto kaŜda liczba zespolona 0≠z ma nieskończenie wiele argumentów róŜniących się od siebie wielokrotnością liczby π, czyli
... 2, ,1 ,0 gdzie , 2arg ±±=+= kkz πϕ (3.4)
Argument określony nierównością πϕπ ≤≤− nazywamy argumentem głównym i oznaczamy przez z Arg . JeŜeli wykorzystamy równania (3.3), to liczbę zespolona (3.1) przedstawiamy w postaci
trygonometrycznej
( )ϕϕ sin jcos += zz (3.5)
Liczbami sprzęŜonymi nazywamy dwie liczby zespolone o jednakowych częściach rzeczywistych i częściach urojonych róŜniących się tylko znakiem, czyli
yxz j* −= (3.6)
i jest to wektor *z , który jest symetryczny do wektora z względem osi rzeczywistej x. Postacią wykładniczą liczby zespolonej jest
ϕ je zz = (3.7)
Te trzy postacie są równowaŜne, czyli mamy
( ) ϕϕϕ je sin jcos j zzyxz =+=+= (3.8)
( ) ϕϕϕ -j* e sin jcos j zzyxz =−=−= (3.9)
RównieŜ jedynkę urojoną moŜemy przedstawić w postaci wykładniczej jako
2
jej
π
= i odpowiednio 2 j-
ej-π
= (3.10)
Postać wykładnicza liczby zespolonej pozwala nam wyrazić funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej x przez liczby zespolone, a mianowicie
j 2
eesin
-j j xx
x−
= (3.11)
2
eecos
-j j xx
x+
= (3.12)
43
NaleŜy przypomnieć, Ŝe dla liczb zespolonych istnieje tylko równość dwóch liczb zespolonych, tzn., jeŜeli 111 j yxz += , 222 j yxz += , to z1= z2 pociąga za sobą odpowiednio równość części rzeczywistych i
urojonych, czyli: 21 xx = i 21 yy = . Nie istnieją pomiędzy liczbami zespolonymi znaki nierówności (większy
>, mniejszy <).
3.2. Algebra liczb zespolonych
Do dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += wykorzystujemy ich postacie algebraiczne, otrzymując
( ) ( )212121 j yyxxzzz ±+±=±= (3.13)
Wtedy teŜ, w odniesieniu do liczb zespolonych sprzęŜonych yxz j+= i yxz j* −= mamy
zxzzz Re 2 2* ==+= (3.14)
oraz
zyzzz Im j 2 j 2* ==−= (3.15)
Interpretacje geometryczne dodawania i odejmowania liczb zespolonych przedstawiamy odpowiednio na rysunku 3.2. i 3.3.
x1 x
y
y j Im(z)
z1
O
z2
z
x2
y1
y2
x
Re(z)
x1 x
y
y j Im(z)
z1
z2
z
x2
y1
y2
x
Re(z)
-z2
O
Rys. 3.2. Ilustracja geometryczna dodawania dwóch liczb zespolonych
Rys. 3.3. Ilustracja geometryczna odejmowania dwóch liczb zespolonych
MnoŜenie dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += najwygodniej wykonać na ich
postaciach wykładniczych, czyli w postaci 1 j11 e ϕ
zz = oraz 21 j22 e ϕ
zz = otrzymując
)( j
21 j
2 j
1212121 e e e ϕϕϕϕ +=== zzzzzzz (3.16)
W interpretacji geometrycznej operacja ta oznacza, Ŝe długość wektora iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równa iloczynowi modułów liczb składowych, a jego połoŜenie otrzymuje się poprzez obrót jednego wektora w stosunku do drugiego o kąt równy argumentowi jednego z nich w kierunku zgodnym ze znakiem tego argumentu – rys. 3.4.
44
x1 x
y
y j Im(z)
z1
O
z2
z
x2
y1
y2
x
Re(z)
φ1
φ1
φ2
x
x
y
y
z
j Im(z)
φ
z
O
j
-j Re(z)
-j z
j z
Rys. 3.4. Ilustracja geometryczna
mnoŜenia dwóch liczb zespolonych Rys. 3.5. Ilustracja geometryczna
mnoŜenia liczby zespolonej prze j oraz –j Stąd teŜ mnoŜenie liczby yxz j+= przez jedynkę urojoną j lub –j oznacza obrót wektora z dokładnie
o 2
π odpowiednio w lewo bądź w prawo – rys. 3.5.
W szczególnym przypadku mnoŜenia liczby zespolonej z przez jej sprzęŜoną *z , otrzymujemy
222* yxzzzz +=== (3.17)
MnoŜenie dwóch liczb zespolonych moŜemy takŜe wykonać posługując się ich postaciami kartezjańskimi, otrzymując
( ) ( ) ( ) ( )12212121221121 j j j yxyxyyxxyxyxzzz ++−=++== (3.18)
x1
x
y
y j Im(z)
z1
O
z2
z
x2
y1
y2
x
Re(z) -φ2
Rys. 3.6. Ilustracja geometryczna dzielenia dwóch liczb zespolonych
Dzielenie dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += najwygodniej wykonać na ich
postaciach wykładniczych, czyli w postaci 1 j11 e ϕ
zz = oraz 21 j22 e ϕ
zz = otrzymując
45
)( j
2
1
j2
j1
2
1 21
2
1
e e
e ϕϕϕ
ϕ−===
z
z
z
z
z
zz (3.19)
W interpretacji geometrycznej operacja ta oznacza, Ŝe długość wektora ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równa ilorazowi modułów liczb składowych, a jego połoŜenie otrzymuje się poprzez obrót w prawo wektora z licznika o kąt równy argumentowi liczby z mianownika wyraŜenia (1.126) – rys. 3.6.
Stąd teŜ dzielenie liczby yxz j+= przez jedynkę urojoną j lub –j oznacza obrót wektora z dokładnie
o 2
π odpowiednio w prawo bądź w lewo.
Dzielenie dwóch liczb zespolonych moŜemy takŜe wykonać posługując się ich postaciami kartezjańskimi, otrzymując
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]211221212
22
22
21122121
2222
2211
22
11
2
1
j 1 j
j j
j j
j
j
yxyxyyxxzyx
yxyxyyxx
yxyx
yxyx
yx
yx
z
zz
−++=+
−++=
=−+
−+=
+
+==
(3.20)
3.3. Wzory Moivre’a
Potęgowanie liczby zespolonej wyraŜamy wzorem
( ) ϕ je j nnnn zyxz =+= (3.21)
Pierwiastkowanie liczby zespolonej wyraŜamy wzorem
++
+=+=
n
k
n
kzyxz nnn πϕπϕ 2
cos j 2
cos j (3.22)
gdzie: k = 0, 1, 2, .., (n-1).
W zbiorze liczb zespolonych istnieje zatem pierwiastek dowolnego stopnia z kaŜdej liczby, a stąd wynika, Ŝe kaŜde równanie algebraiczne n-tego stopnia ma n pierwiastków.
Jeśli zaś równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony z, to liczba
sprzęŜona *z jest takŜe pierwiastkiem tego równania.
Przykład 3.1.
Rozwiązać równanie 0222 =++ yy .
WyróŜnik tego równania 04 <−=∆ , a zatem równanie to nie ma rozwiązań w zakresie liczb rzeczywistych. Ale
j 2=∆ , a stąd mamy pierwiastki
j12
j 221 −−=
−−=x oraz j1
2
j 222 +−=
+−=x
Zatem równanie to ma dwa pierwiastki zespolone, przy czym są to liczby sprzęŜone, bowiem *12 xx = ( i oczywiście
*21 xx = )
46
3.4. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
Funkcja zespolona
)(tzz = (3.23)
jest funkcją zmiennej rzeczywistej t jeśli kaŜdej liczbie rzeczywistej t naleŜącej do pewnego przedziału I βα ≤≤ t jest przyporządkowana według pewnego przepisu liczba zespolona )( j)()( tytxtz += . Zbiór
linii określony równaniem (3.23) nazywamy linią krzywą o początku )(αz i końcu )(βz .Kierunek
wzrastającego parametru nazywamy zwrotem linii. Jeśli np.
)( dla j 0 ∞<<−∞+=+= ttmzyxz (3.24)
gdzie baz j0 += i 0 j ≠+= qpm są dowolnymi liczbami zespolonymi, przedstawia linię prostą
przechodzącą przez punkt 0z i tworzącą z osią x kąt równy argumentowi liczby m. Wynika stąd, Ŝe
równanie (3.24) moŜemy zastąpić równaniami
tqbytpax , +=+= (3.25)
które są równaniami parametrycznymi prostej. Jej postać kierunkowa
( ) ( ) 00 yxxp
qbax
p
qy +−=+−= (3.26)
czyli jest to prosta przechodząca przez punkt ( )byax == 00 , i nachylona do osi x pod kątem, którego
tangens (współczynnik kierunkowy) jest równy p
q - rys. 3.7.
a x
y
y j Im(z)
z0
O
m
z
x1=a+p
b
y1=b+q
x
Re(z)
z1 t=1
q
p
t
x
y
D’
j Im(z)
D
O Re(z)
Rys. 3.7. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej tmzyxz j 0 +=+=
Rys. 3.8. Krzywa Jordana
W przypadku ogólnym funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej moŜe zakreślać dowolną krzywą, w
tym krzywą zamkniętą. Krzywa Jordana jest krzywą zamkniętą nie mających punktów wielokrotnych.
Krzywa ta dzieli płaszczyznę zespoloną na dwie części: wnętrze D oraz zewnętrze D’ –rys. 3.8. Krzywa
Jordana jest skierowaną dodatnio względem obszaru wewnętrznego D, jeśli w czasie obiegu po krzywej w zwrocie odpowiadającym wzrastającemu parametrowi mamy wnętrze D po lewej stronie. Krzywa Jordana skierowana dodatnio jest konturem.
47
W elektrotechnice oprócz działań na liczbach zespolonych wykorzystuje się działania na funkcjach zespolonych zmiennej rzeczywistej czasu. Wprowadźmy mianowicie następującą postać funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej (czasu)
)(jjjj eeee)( αωωαω +=⋅== tm
tm
tm FFFtF (3.27)
Funkcji tej przyporządkujemy na płaszczyźnie zespolonej wektor Fm zaczepiony w początku układu i
wirujący z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim (rys. 3.9). MnoŜnik ejωt stanowi wersor obrotu wektora Fm o kąt ωt w kierunku matematycznie dodatnim. Zatem funkcję F(t) dla dowolnego czasu t reprezentuje wektor Fm dla czasu t=0 obrócony o kąt ωt, jak to przedstawiono na rys. 3.9.
x
y
Fm
j Im(z)
O Re(z)
ωt
Fmejωt
t
t=0
ω
α
Rys. 3.9. Interpretacja funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej (czasu) F(t)
Przedstawiając funkcję F(t) określoną wzorem (3.27) w postaci trygonometrycznej, otrzymujemy:
[ ].)(sinj)(cosee)( )(jj αωαωαωω +++=== + ttFFFtF mt
mt
m (3.28)
Analizując wzór (3.28) moŜna zauwaŜyć, Ŝe istnieje ścisły związek pomiędzy funkcją sinusoidalną f(t) a
funkcją zespoloną F(t), mianowicie:
)(Im)(sin )( tFtFtf m =+= αω (3.29)
albo )(Re)(cos )( tFtFtg m =+= αω (3.30)
MoŜna wykazać, Ŝe w odniesieniu do działań Im, Re obowiązuje prawo przemienności względem dodawania, odejmowania, róŜniczkowania i całkowania. Spełnione są zaleŜności:
)(j2
)(j1
)(j2
)(j1
2121 eeImeImeIm αωαωαωαω ++++ ±=± tm
tm
tm
tm FFFF (3.31)
= ++ )(j)(j e
d
dImeIm
d
d αωαω t
m
t
m Ft
Ft
(3.32)
tFtF t
m
t
m deImdeIm )(j)(j αωαω ++ ∫∫ = (3.33)
Prawo przemienności działań Im, Re nie dotyczy mnoŜenia i dzielenia, np.
)(j2
)(j1
)(j1
)(j1
2111 eeImeImeIm αωαωαωαω ++++ ⋅≠ t
m
t
m
t
m
t
m FFFF (3.34)
48
ZaleŜności (3.31), (3.32), (3.33) są wykorzystywane do wprowadzenia metody symbolicznej do analizy liniowych obwodów elektrycznych przy wymuszeniach sinusoidalnych.
Jest oczywiste, Ŝe moduł i argument funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej teŜ sa funkcjami tej zmiennej. W elektrotechnice i automatyce zmienną tą jest częstotliwość kątowa ω, tzn. mamy funkcję
)(ωzz = . ZaleŜność takiej funkcji od ω nazywamy charakterystykami częstotliwościowymi. JeŜeli
przedstawiamy zaleŜność )(ωz , to charakterystykę taką nzywamy charakterystyką amplitudową, dla funkcji
)( Arg ωz - charkterystyka fazowa. Łączne przedstawienie graficzne funkcji )(ωzz = nazywamy
charakterystyką amplitudowo-fazową.
Przykład 3.2.
Wyznaczyć charakterystyki: amplitudową, fazową i amplitudowo-fazową członu inercyjnego drugiego rzędu opisanego funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej
( )( ) 5 j1 j1
2)j(
ωωω
++=G
Charakterystyki: amplitudową, fazową i amplitudowo-fazową powyŜszej funkcji przedstawiamy na rysunku 3.10. a)
2 4 6 8 10Ω
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
A@ΩD
GHjΩL=2
H1 + jΩL H1 + j5ΩL
b)
5 10 15 20Ω
-Π
-3 Π4
-Π2
-Π4
j@ΩD
GHjΩL=2
H1 + jΩL H1 + j5ΩL
c)
0.5 1 1.5 2Q@ΩD
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
P@ΩD
GHjΩL=2
H1 + jΩL H1 + j5ΩL
Ω=0Ω=¥
Rys. 3.10. Charakterystyki częstotliwościowe funkcji
( )( ) 5 j1 j1
2)j(
ωωω
++=G : a) amplitudowa, b) fazowa, c) amplitudowo-fazowa
49
3.5. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Funkcja zespolona
)(zfw = (3.35)
jest funkcją zmiennej zespolonej z naleŜącej do pewnego zbioru płaskiego E jeśli kaŜdej takiej zmiennej jest przyporządkowana według pewnego przepisu liczba zespolona )(zfw = . Zbiór E jest polem funkcji, a zbiór
E’ wartości funkcji jest jej zakresem. Jeśli zmienna yxz j+= oraz funkcja vuw j+= , to
),( j),() j()( yxvyxuyxfzfw +=+== (3.36)
co oznacza, Ŝe funkcja )(zfw = jest wyznaczona jeśli wyznaczone są dwie funkcje rzeczywiste ),( yxu
oraz ),( yxv .
Pochodną funkcji )(zfw = w punkcie 0z nazywamy granicę (o ile istnieje)
0
000
)()(lim)()(
0 zz
zfzfzfzw
zz −
−=′=′
→ (3.37)
Jeśli pochodna ta istnieje, to w punkcie 000 j yxz += część rzeczywista ),( yxu oraz urojona ),( yxv
mają pochodne cząstkowe i spełniają warunki nazywane równaniami Cauchy-Riemanna
),(),( oraz ),(),( 00000000 yxvyxuyxvyxu xyyx −== (3.38)
Funkcję ),( j),()( yxvyxuzfw +== nazywamy holomorficzną w punkcie 0z , jeŜeli posiada
pochodną skończoną w kaŜdym punkcie pewnego otoczenia tego punktu. Funkcja holomorficzna w pewnym obszarze (w kaŜdym punkcie tego obszaru) jest funkcją harmoniczną w tym obszarze, tzn. jej część rzeczywista i część urojona spełniają równanie Laplace’a, czyli
0),(),(
oraz 0),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
y
yxv
x
yxv
y
yxu
x
yxu (3.39)
Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej ),( j),()( yxvyxuzf += wzdłuŜ krzywej zamkniętej
C określamy wzorem
∫∫∫∫∫ ++−=CCCCC
yyxvxyxvyyxvxyxuzzf d ),(d ),( jd ),(d ),(d )( (3.40)
Całka krzywoliniowa wzdłuŜ dowolnej drogi regularnej C zawartej w obszarze D o początku a i końcu b nie zaleŜy od drogi całkowania i wyraŜa się wzorem
)()(d )( aFbFzzf
C
−=∫ (3.41)
gdzie )(zF jest funkcją pierwotną.
Jeśli funkcja ),( j),()( yxvyxuzf += jest holomorficzna w obszarze jednospójnym E i ma w tym
obszarze ciągłą pochodną, to całka krzywoliniowa wzdłuŜ kaŜdej krzywej zamkniętej C jest równa zeru. Jest tzw. twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Twierdzenie to pozwala wyprowadzić tzw. wzór całkowy Cauchy’ego
∫ −=
Cz
fzf ξ
ξξ
d )(
j π2
1)( (3.42)
50
który pozwala na wyznaczanie funkcji holomorficznej ),( j),()( yxvyxuzf += w obszarze domkniętym D
(równieŜ w D) przez swoje wartości )(ξf na brzegu obszaru, tzn. wartości )(ξf funkcji )(zf na brzegu C
tego obszaru. Jeśli C jest dowolną krzywą regularną na płaszczyźnie, zamkniętą lub nie, oraz )(ξf jest dowolną
funkcją określoną i ciągłą na C , a z jest punktem nie leŜącym na C , to wzór (3.42) określa pewną funkcję )(zF zmiennej z , którą wyraŜamy tzw. całką typu Cauchy’ego
∫ −=
Cz
fzF ξ
ξξ
d )(
j π2
1)( (3.43)
Jeśli funkcja ta ma pochodne wszystkich rzędów, to
∫ +−=
C
n
n
z
fnzF ξ
ξξ
d )(
)(
j π2
! )(
1)(
(3.44)
Szereg Taylora
( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ... !
)(... )()()( 00100
0)(
000 ++++=+++′+= n
n
nn
z-zaz-zaaz-zn
zfz-zzfzfzf (3.45)
gdzie
...) 2, 1, ,0( d )(
)(
j π2
11
=−
= ∫ +n
z
fa
C
nn ξξ
ξ (3.46)
umoŜliwia rozwijanie funkcji )(zf holomorficznej w pewnym kole K o środku 0z w szereg potęgowy,
gdzie C jest okręgiem o tym środku, w którego wnętrzu leŜy punkt z i który sam leŜy we wnętrzu koła K. Szereg Laurenta o współczynnikach ka i środku 0z ma postać
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )∑∑∑∞
=
∞
=
−−−∞
∞−
+=++++++=0
01 0
202010
0
12
0
20 ... ...
k
k
k
kk
kk
k z-zaz-z
az-zaz-zaa
z-z
a
z-z
az-za (3.47)
przy czym część główna szeregu
( ) ( ) ( )...
20
2
0
1
1 0
++= −−∞
=
−∑z-z
a
z-z
a
z-z
a
kk
k
(3.48)
i część regularna
( ) ( ) ( ) ... 202010
00 +++=∑
∞
=
z-zaz-zaaz-zak
k
k (3.49)
Jeśli funkcja )(zf holomorficzna w pewnym pierścieniu Rzzr <−< 0 jest rozwijalna w szereg
Laurenta o współczynnikach
...) 2, 1, ,0( d )(
)( j π2
11
0
±±=−
= ∫ +n
z
fa
K
kk ξξ
ξ (3.50)
gdzie K jest dowolnym okręgiem o środku 0z leŜącym wewnątrz tego pierścienia.
Residuum funkcji )(zf w punkcie ∞≠0z definiujemy jako współczynnik
∫== −
K
z fazf ξξ d )( j π2
1)(res 10 (3.51)
51
rozwinięcia tej funkcji w szereg Laurenta w otoczeniu pierścieniowym punktu 0z .
Pojęcie residuum odgrywa waŜną rolę w wielu rozumowaniach wykorzystujących funkcje zespolone, np. przy obliczaniu całek, transformat odwrotnych Laplace’a, itp., w szczególności w przypadku punktów osobliwych funkcji )(zf .
Punkt 0z nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji )(zf jeśli funkcja ta jest holomorficzna
w pewnym otoczeniu pierścieniowym o środku 0z i promieniu R.
Punkt 0z jest istotnie osobliwy jeśli część główna szeregu Laurenta funkcji )(zf zawiera
nieskończenie wiele wyrazów. Jeśli część główna jest skończona, czyli ma postać
( ) ( ) ( )kk
z-z
a
z-z
a
z-z
a
02
0
2
0
1 ... −−− +++ (3.52)
to punkt 0z jest biegunem k-krotnym funkcji )(zf .
Jeśli zaś część główna jest równa zeru, to szereg Laurenta staje się szeregiem potęgowym o środku 0z .
Wtedy funkcja )(zf jest określona i holomorficzna w punkcie 0z , bądź staje się holomorficzna w tym
punkcie po odpowiednim określeniu jej lub po odpowiednim zmodyfikowaniu określenia jej w tym punkcie i wtedy mówimy, Ŝe punkt 0z jest osobliwością usuwalną.
Przykład 3.3.
Funkcja
zzf
1
e)( =
jest holomorficzna wszędzie poza punktem 00 =z . Po rozwinięciu w szereg Laurenta w pierścieniu ) 0, ;0( ∞P ma ona
postać
... !
1...
! 2
1
! 1
11e)(
2
1
+++++==n
z
znzzzf
którą moŜemy otrzymać z definicji funkcji wykładniczej ze zmiennej zespolonej z w postaci szeregu potęgowego
...!
...! 2! 1
1!
e2
0
+++++==∑∞
= n
zzz
n
z n
n
nz
poprzez podstawienie z
z1
= . Część główna tego rozwinięcia zawiera nieskończenie wiele wyrazów, zatem punkt
00 =z jest istotnie osobliwy.
Funkcja
( )( )22 4-z 3
)2( )1()(
+
+−=
z
zzzf
ma dwa bieguny jednokrotne 3 j1 −=z , 3 j2 =z i jeden biegun dwukrotny 43 =z .
Funkcja
z
sin)(
zzf =
jest holomorficzna wszędzie poza punktem 00 =z . Po rozwinięciu w szereg Laurenta w pierścieniu ) 0, ;0( ∞P ma ona
postać
...! 5! 3
1sin
)(42
−+−==zz
z
zzf
52
Część główna rozwinięcia jest równa zeru, ale wiemy, Ŝe 1)0( =f , a to oznacza, Ŝe funkcja staje się holomorficzna w
punkcie 00 =z , więc punkt ten jest osobliwością usuwalną.
W przypadku, gdy 00 =z jest biegunem k-krotnym funkcji )(zf , to jej rozwiniecie w pewnym
otoczeniu pierścieniowym tego punktu w szereg Laurenta ma postać
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−−
+−− ++++=0
00
11
0
1
0
...)(k
n
nk
k
k
k z-zaz-z
a
z-z
a
z-z
azf (3.53)
Wtedy residuum funkcji w tym biegunie
( )[ ])( d
dlim
! )1(
1)(res 01
1
10
0zfzz
zk-azf
k
k
k
zzz −==
−
−
→− (3.54)
W przypadku, gdy 00 =z jest biegunem jednokrotnym, to
( )[ ])( lim)(res 010
0zfzzazf
zzz −==
→− (3.55)
Jeśli funkcja
)(
)()(
z
zzf
ψϕ
= (3.56)
jest w otoczeniu punktu 0z ilorazem dwóch funkcji holomorficznych spełniających warunki 0)( 0 ≠zϕ ,
0)( 0 =zψ oraz 0)( 0 ≠′ zψ , to wtedy 0z jest biegunem jednokrotnym funkcji )(zf i jej residuum w tym
punkcie
)(
)()(res
0
010 z
zazfz ψ
ϕ′
== − (3.57)
Przykład 3.4.
Wyznaczyć residuum funkcji:
( )( )22 4-z 3
)2( )1()(
+
+−=
z
zzzf
Na podstawie poprzedniego przykładu funkcja ta ma dwa bieguny jednokrotne 3 j1 −=z , 3 j2 =z i jeden
biegun dwukrotny 43 =z . Do pierwszych dwóch biegunów zastosujemy wzór (3.55), a stąd dla pierwszego bieguna
mamy, Ŝe
( ) ( )( )( ) ( )( )( )722
3 j1 27
4-3j 3j3j
)23j( )13j(
4-z 3jz 3jz
)2( )1(3jz lim)(res
223j13j0
+−=
−−−
+−−−=
−+
+−+==
−→−−=
zzazf
zzz
W podobny sposób otrzymujemy residuum w punkcie 3 j2 =z , otrzymując
( ) ( )( )( )( )
722
3 j1 27
4-z 3jz 3jz
)2( )1(3jz lim)(res
23j13j0
+−=
−+
+−+==
→−=
zzazf
zzz
PowyŜsze wyniki moŜemy takŜe otrzymać ze wzoru (3.57). Do obliczenia residuum w punkcie 43 =z , wykorzystamy
wzór (3.54), a mianowicie
53
( )[ ]( )
( ) 361
27
3
3 10lim
3
)2( )1(
d
dlim)( 4
d
dlim)(res
2
2
4
224
2
4140
=+
++−=
=
+
+−=−==
→
→→−=
z
zz
z
zz
zzfz
zazf
zz
zzzzz
Przykład 3.5.
Wyznaczyć residuum funkcji:
sinz
1)( =zf
Funkcja ta ma bieguny jednokrotne w punktach πkz k = , ... 2, 1, ,0 ±±=n . Do tych biegunów zastosujemy wzór
(3.57), otrzymując
( )kkzk
azf 1) πcos(
1)( res 1 π0
−=== −=
Odwzorowania konforemne obszaru D na obszar 1D nazywamy kaŜde odwzorowanie )(zfw = za
pomocą funkcji holomorficznej i jednolistnej w D. Pochodna )(zfw ′=′ musi być wówczas róŜna od zera.
Odwzorowanie konforemne jest więc odwzorowaniem równokątnym (kaŜdym dwóm łukom 1C i 2C wychodzącym z punktu 0z odpowiadają w obszarze dwie krzywe 1Γ i 2Γ mające w punkcie )( 00 zfw =
styczne i spełniające warunek ) ,() ,( 2121 CCΓΓ ∠=∠ ) i jednolistnym (funkcja )(zfw = jest jednolistna,
tzn. dla 21 zz ≠ mamy )()( 21 zfzf ≠ ).
Odwzorowania konforemne wykorzystuje się przy wyznaczaniu miejsc geometrycznych prądu i napięcia sinusoidalnego, impedancji i admitancji dwójników, czy teŜ transmitancji przy zmianie parametru k, wyraŜającego liczbę rzeczywistą, np. częstotliwość kątową ω. Przy ciągłej zmianie tego parametru zmienia się rozpatrywana wielkość zespolona, przy czym zmienia się zarówno jej moduł, jak teŜ i argument. Graficzne przedstawienie tej zmiany moŜna przedstawić poprzez dwa wykresy, a mianowicie poprzez wykres modułu oraz wykres argumentu w zaleŜności od parametru k albo teŜ osobno przedstawiając cześć rzeczywistą i część urojoną.
Wielkość zespoloną moŜna równieŜ przedstawić graficznie za pomocą jednego wykresu na płaszczyźnie zespolonej przez wektor, którego koniec przy zmianie parametru k kreśli miejsce geometryczne (hodograf) w postaci krzywej. Krzywa ta jednocześnie wskazuje na zmianę modułu i fazy rozpatrywanej wielkości zespolonej w zaleŜności od zmian parametru k. Krzywa ta nazywa się krzywą wskazową lub wektorową, bądź teŜ charakterystyką amplitudowo-fazową lub biegunową. Taki sposób przedstawiania stanu pracy obwodu elektrycznego nazywa się metodą miejsc geometrycznych.
Zmiennym parametrem k moŜe być w zasadzie kaŜda dowolna wielkość fizyczna wyraŜająca się liczbą rzeczywistą. Wobec tego za parametr k moŜna przyjąć rezystancję R , indukcyjność L, pojemność C,
pulsację ω, wartość skuteczną napięcia U itp.
W ogólnym przypadku krzywe wskazowe mają postać dowolną. JednakŜe w zastosowaniach często krzywe te są liniami prostymi lub okręgami. Te ostatnie nazywa się wykresami kołowymi.
W ogólnym przypadku parametr zmienny obwodu elektrycznego jest pewną zmienną zespoloną yxz j+= (3.58)
zadaną w określonym obszarze płaszczyzny zmiennej zespolonej. KaŜdej liczbie zespolonej z odpowiada określona wartość funkcji badanej ),( j),() j()( yxvyxuyxfzfw +=+== , wyraŜającej prawo zmienności
tej wielkości zespolonej. Zbiór wartości funkcji )(zfw = odpowiadających zadanej wartości z wypełnia
pewien obszar nowej płaszczyzny zmiennej zespolonej. Zatem funkcja )(zf przekształca płaszczyznę Z w
płaszczyznę W lub – co oznacza to samo – odwzorowuje obszar Z w obszar W.
54
W ogólnym przypadku badana wielkość zespolona moŜe być funkcją homograficzną
zDC
zBAw
++
= (3.59)
PokaŜemy, Ŝe gdy koniec wektora z opisuje na płaszczyźnie zespolonej okrąg, to koniec wektora w opisuje równieŜ okrąg lub prostą; jeśli natomiast z opisuje linię prosta, to w opisuje prostą lub okrąg. Ze wzoru (3.59) mamy
WDB
wCAz
+−−
= (3.60)
co oznacza odwzorowanie obszaru W w obszar Z czyli przekształcenie okręgu w okrąg lub prostą. W przypadku gdy parametrem jest pulsacja ω, charakter badanej funkcji i odpowiedniej krzywej zaleŜy od wykładnika potęgi ω. Jeśli jest to zaleŜność w pierwszej potędze, to własność kołowa zostaje zachowana. Przy większych wykładnikach potęgi otrzymuje się krzywe wyŜszego rzędu.
Równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej moŜe być przedstawione w postaci odcinkowej. Z geometrii analitycznej znamy równanie prostej w postaci odcinkowej (rys. 3.11)
1=+b
y
a
x (3.61)
Z teorii liczb zespolonych wiemy, Ŝe dla liczby (1.165) wyznacza się część rzeczywistą i część urojoną w postaci wzorów
−=
+=
)( j 2
1
)( 2
1
*zzy
zzx *
(3.62)
Po podstawieniu powyŜszego wzoru do (3.61), otrzymujemy
1 j 2 2
**
=−
++
b
zz
a
zz (3.63)
i po dalszych przekształceniach
1 2
1 j
2
1
2
1 j
2
1 * =
++
−ba
zba
z (3.64)
Jeśli teraz przyjmiemy, Ŝe pewna liczba zespolona
−=ba
z 2
1 j
2
1 0 (3.65)
to otrzymamy równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej
1 *0
*0 =+ zzzz (3.66)
W przypadku prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych (rys. 3.12.) wektory *zz +
oraz *zz − są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego i dla kąta φ przylegającego do przyprostokątnej *zz + mamy równanie tej prostej w postaci zespolonej
55
ϕctg j*
*
−=−
+
zz
zz (3.67)
lub
0)ctg j1( )ctg j1( * =−++ ϕϕ zz (3.68)
x
y
z
j Im(z)
z
O
b
Re(z) a
x
y z
j Im(z)
z
O
Re(z)
φ
z-z*
z+z*
z*
Rys. 3.11. Prosta w postaci odcinkowej
na płaszczyźnie zespolonej Rys. 3.12. Prosta przechodząca przez
początek układu współrzędnych
Równanie prostej prostopadłej do osi rzeczywistej (rys. 3.13.) ma postać
yaz j+= (3.69)
zaś prostej równoległej do tej osi (rys. 3.14.) xbz j+= (3.70)
x=a
y
z
j Im(z)
z
O Re(z)
x
z
j Im(z)
z
O Re(z)
y=b
Rys. 3.13. Prosta prostopadła do osi rzeczywistej Rys. 3.14. Prosta prostopadła do osi urojonej
Równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej wyraŜamy poprzez połozenie zespolone jego środka i promień R . Dla okręgu o środku w punkcie 0z i promieniu R (rys. 3.15), zgodnie z definicją okręgu ,
mamy Rzz =− 0 (3.71)
a stąd
220 Rzz =− (3.72)
lub teŜ
2*00 )( )( Rzzzz =−− (3.73)
56
skąd otrzymujemy równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej
2*0
*0 )( )( Rzzzz =−− (3.74)
albo, po wymnoŜeniu otrzymujemy
2*000
**0
* Rzzzzzzzz =+−− (3.75)
W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.16.), dla 0 * == zz
otrzymujemy, ze 2*00 Rzz = i wtedy równanie okręgu ma postać
0 0**
0* =−− zzzzzz (3.76)
x
z
j Im(z)
z
O Re(z)
y
z0
R
y0
x0
z0
x
z
j Im(z)
z
O Re(z)
y
z0
R
y0
x0
z0
Rys. 3.15. Okrąg na płaszczyźnie zespolonej
Rys. 3.16. Okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych
Inwersja jest przekształceniem typu
z
w1
= (3.77)
Dla okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych (rys. 3.17. i rys. 3.18.) w wyniku
podstawienia
w
z1
= (3.78)
do równania (3.76) otrzymujemy
01
2*
002*
00
*0*
2*00
0* =−
+−
−−
−RzzRzz
zw
Rzz
zwww (3.79)
lub teŜ
22*
00
2
22*00
*00
2*00
*0*
2*00
0*
)()(
Rzz
R
Rzz
zz
Rzz
zw
Rzz
zwww
−=
−+
−−
−− (3.80)
Jeśli następnie porównamy powyŜszy wzór ze wzorem (3.76), to stwierdzimy, Ŝe w wyniku inwersji
okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych płaszczyzny Z otrzymaliśmy równieŜ okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny W, o środku w punkcie zespolonym
57
0
2*00
*0
0
1
zRzz
zw ≠
−= (3.81)
i promieniu
) ( 2*
00 Rzz
R
−=ρ (3.82)
Analogicznie, wychodząc z równania okręgu na płaszczyźnie W
2*000
**0
* ρ=+−− wwwwwwww (3.83)
w wyniku podstawienia z
w1
= otrzymujemy równanie okręgu
22*
00
2
22*00
*00
2*00
*0*
2*00
0*
)()(
ρρ
ρρρ −=
−+
−−
−−
wwww
ww
ww
wz
ww
wzzz (3.84)
o środku w punkcie
0
2*00
*0
0
1
www
wz ≠
−=
ρ (3.85)
i promieniu
)( 2*
00 ρρ−
=ww
R (3.86)
y
j Im(z)
Re(z) O
x
z
Z
z
w
j Im(w)
Re(w)
W
O
u
v
w
Rys. 3.17. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar na zewnątrz odwzorowanego okręgu
y
j Im(z)
Re(z) O x
z
Z
z
w
j Im(w)
Re(w)
O
u
v
W
w
Rys. 3.18. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar wewnątrz odwzorowanego okręgu
58
Okrąg stanowi granicę dwóch obszarów: obszaru wewnątrz i na zewnątrz okręgu. W zaleŜności od tego, czy
początek układu współrzędnych znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz okręgu, funkcja z
w1
= realizuje
przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu odpowiednio na obszar na zewnątrz (rys. 3.17.) lub na obszar wewnątrz (rys. 3.18.) odwzorowanego okręgu. Punktowi okręgu z najbardziej oddalonemu od początku układu współrzędnych odpowiada przy tym punkt okręgu w połoŜony najbliŜej względem początku układu współrzędnych i odwrotnie. Średnice odpowiednich okręgów przechodzące przez początek układu współrzędnych tworzą z osią rzeczywistą jednakowe kąty, odliczane w przeciwne strony. W kaŜdym z przypadków zachodzi przekształcenie okręgu w okrąg.
W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych – równanie (3.76), rys. 3.15. –
w wyniku podstawienia w
z1
= otrzymujemy
1 *0
*0 =+ zwzw (3.87)
i jest to równanie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli w tym przypadku zachodzi przekształcenie okręgu w prostą.
y
j Im(z)
Re(z) O
z
Z
x
z
w
j Im(w)
O
v
u
Re(w)
W
w
Rys. 3.19. Przekształcenie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych w prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz
przekształcenie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych w okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych
Gdy prosta nie przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.19) i dana jest równaniem (3.87).
to w wyniku podstawienia z
w1
= otrzymujemy z tego równania
0 0**
0* =−− wwwwww (3.88)
i jest to równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych. W tym przypadku zachodzi przekształcenie prostej w okrąg.
Gdy prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.20.) i dana jest równaniem (3.67) lub
(3.68), to w wyniku podstawienia w
z1
= otrzymujemy
ϕctg j*
*
=−
+
ww
ww (3.89)
lub
0)ctg j1( )ctg j1( * =++− ϕϕ ww (3.90)
59
co przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. W tym przypadku zachodzi przekształcenie prostej w prostą.
x
y z
j Im(z)
z
O
Re(z)
φ
z-z*
z+z*
z*
u
-v
w
j Im(z)
w*
O Re(w) -φ
w
v
w*
Rys. 3.20. Przekształcenie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w prostą przechodzącą przez
początek układu współrzędnych
Reasumując, stwierdzamy, Ŝe poprzez inwersję z
w1
= uzyskujemy następujące przekształcenia
krzywych wektorowych: • okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie
przechodzący przez początek układu współrzędnych W, • okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą nie
przechodzącą przez początek układu współrzędnych W, • prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą przechodzącą
przez początek układu współrzędnych W, • prosta przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie
przechodzący przez początek układu współrzędnych W.
Przekształcenie homograficzne realizuje się według funkcji homograficznej. ZałóŜmy, Ŝe badana wielkość elektryczna (zespolona) moŜna wyrazić za pomocą funkcji homograficznej (bilingowej)
kDC
kBAw
++
= (3.91)
gdzie A, B, C, D są liczbami zespolonymi, zaś k jest zmiennym parametrem rzeczywistym.
Zgodnie z własnością kołowa funkcji homograficznej przy zmianie parametru k koniec wektora W opisuje okrąg. NaleŜy zatem wyznaczyć środek i promień tego okręgu.
Ze wzoru (3.91) otrzymujemy
wDB
wCAk
+−−
= (3.92)
Współczynnik k jest rzeczywisty więc
***
****
wDB
wCAkk
+−
−== (3.93)
Porównując prawe strony równań (3.92) i (3.93) otrzymamy
60
************ wwDCwCBwDABAwwDCwCBwDABA −++−=−++− (3.94) lub
0
**
***
**
**
**
*** =
−
−+
−
−+
−
−+
DCDC
BABAw
DCDC
DACBw
DCDC
CBDAww (3.95)
Porównując równanie (3.95) z równaniem okręgu 2*000
**0
* ρ=+−− zzzzzzzz wyznaczamy środek
okręgu
DCDC
CBDAw
**
**
0−
−= (3.96)
Ponadto mamy
2*00**
**
ρ−=
−
−ww
DCDC
BABA (3.97)
a stąd wyznaczamy promień okręgu
DCDC
BABA
DCDC
DACBCBDA
) (
) ( ) (**
**
2**
****
−
−−
−
−−=ρ (3.98)
W przypadku szczególnym, gdy 0=B , funkcja homograficzna
kDC
Aw
+= (3.99)
Postępując podobnie jak wyŜej, otrzymujemy równanie
0
*
**
*
**
** =
−−
−+ w
DCDC
DAw
DCDC
DAww (3.100)
po porównaniu którego z równaniem 0 0**
0* =−− zzzzzz , stwierdza się, Ŝe jest to okrąg przechodzący
przez początek układu współrzędnych. Środek tego okręgu
DCDC
DAw
**
*
0−
= (3.101)
a jego promień
2**2**
22
2**
**
) (
1
) (
) (
DCDCDA
DCDC
DA
DCDC
DADA
−−=
−−=
−−=ρ (3.102)
Jeśli rozpatrywana zespolona wielkość fizyczna opisana jest przez funkcję homograficzną
kDC
AFw
++= , (3.103)
której obrazem jest okrąg uzyskany po przesunięciu równoległym o wektor F kaŜdego punktu poprzednio rozpatrywanego okręgu.
61
Przykład 3.6.
Wyznaczyć miejsce geometryczne funkcji
XRRZ j)( += oraz jej odwrotności
XRRZRY
j
1
)(
1)(
+==
jeśli
∞≤≤ R0 Miejscem geometrycznym końca wektora XRRZ j)( += , w teorii obwodów elektrycznych nazywanego
impedancją układu szeregowego R, X przy zmianie parametru (rezystancji) R ≥ 0 jest półprosta równoległa do osi rzeczywistej (rys. 3.21.).
2 4 6 8 10 12 14Re@ZD
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Im@ZD
y=R+jXy=R+jX 0£R£¥
X=0.5
R=¥R=0
R=0
jX
-jX
Rys. 3.21. Miejsce geometryczne impedancji XRRZ j)( += układu szeregowego RX przy zmianach rezystancji w zakresie ∞≤≤ R0
Wtedy dla odwrotności tej funkcji )(
1)(
RZRY = (admitancji) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji
homograficznej (3.99) są następujące:
1 , j ,0 ,1 , ===== DXCBARk
Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest półokrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Y (rys. 3.22.) o środku w punkcie
XXXXDCDC
DAY
2
1 j
j 2
1
1) j(1 j
11
**
*
0 −==⋅−−⋅
⋅=
−=
i promieniu
XXXDCDC
DA2
1
]1) j(1 j[
111
) (
1
22**=
⋅−−⋅−⋅⋅=
−−=ρ
czyli średnicy
X
12 == ρδ
Druga połowa okręgu odpowiadająca ujemnym wartościom R nie jest rozpatrywana. Wartości 0=R odpowiada
na okręgu Y punkt najbardziej oddalony, a wartości ∞=R punkt O - początek układu współrzędnych płaszczyzny Y.
62
0.2 0.4 0.6 0.8 1Re@YD
-2
-1
1
2
Im@YD
y=
1
R + I * X
X<0
X>0
0£R£¥
X=0.5
R=¥
R=0
R=0
1X
1X
Rys. 3.22. Miejsce geometryczne admitancji XRRZ
RY j
1
)(
1)(
+==
układu szeregowego RX przy zmianach rezystancji w zakresie ∞≤≤ R0
Dla 0>X miejsce geometryczne wektora Z jest prosta połoŜona ponad osią rzeczywistą, a dla 0<X - poniŜej osi rzeczywistej. Odpowiednio półokrąg Y dla 0>X jest połoŜony poniŜej osi rzeczywistej, a dla 0<X - ponad osią rzeczywistą. Przykład 3.7.
Wyznaczyć miejsce geometryczne funkcji
XRXZ j)( += oraz jej odwrotności
XRXZXY
j
1
)(
1)(
+==
jeśli
∞≤≤−∞ X
Dla badanej funkcji )(XZ parametrem jest rzeczywista wielkość X i wtedy jej miejscem geometrycznym jest
prosta równoległa do osi urojonej – rys. 3.23.
R
j X
z
j Im(z)
z
O Re(z)
j X=var
X=0
X>0
X<0
Rys. 3.23. Miejsce geometryczne impedancji XRXZ j)( += układu szeregowego RX przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X
63
Wtedy dla admitancji )(XY parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (1.198) są następujące:
j , ,0 ,1 , ===== DRCBAXk
Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest zatem okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych
płaszczyzny zespolonej Y (rys. 3.24.) o środku w punkcie R
Y 2
1 0 = i promieniu
R2
1=ρ , czyli średnicy
R
12 == ρδ . Wartościom 0>X odpowiada półokrąg dolny, a wartościom 0<X półokrąg górny. Przy 0=X
obwód jest rezystancyjny i odpowiednio kondukcyjny. Przy ±∞=X admitancja jest równa zeru.
0.5 1 1.5 2Re@YD
-1
-0.5
0.5
1
Im@YD
y=
1
R + I * X
X<0
X>0
0£R£¥
R=0.5
X±=¥ X=01
R
Rys. 3.24. Miejsce geometryczne admitancji XRXZ
XY j
1
)(
1)(
+==
układu szeregowego RX przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X
Przykład 3.8.
Wyznaczyć miejsce geometryczne funkcji
2
21 j
)(
RX
RXRXZ
−+=
jeśli
∞≤≤−∞ X
PowyŜsza funkcja jest impedancją szeregowego połączenia rezystancji 1R z równoległym połączeniem układu
XR 2 . Funkcje te przedstawiamy następująco:
2
21
2
12
1 j
1
j1
11
RX
RXR
XR
RY
RZ−
+=−
+=+=
co jest rozpatrywanym juŜ okręgiem 2
22 j
RX
RXZ
−= z rys. 3.24. przesuniętym względem początku układu
współrzędnych o wektor zespolony 11 RZ = - rys. 3.25.
64
R2
Z
j Im(Z)
Z
O Re(Z)
X=var
X=0
X>0
X<0
X=±¶ R1
Rys. 3.25. Miejsce geometryczne impedancji 2
21 j
)(
RX
RXRXZ
−+=
przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X
4. TRANSFORMATA LAPLACE’A
Przekształcenie całkowe Laplace’a – transformata Laplace’a – polega na przeniesieniu rozwiązywania równań róŜniczkowych o stałych współczynnikach z obszaru funkcji zmiennej rzeczywistej w obszar funkcji zmiennej zespolonej, gdzie działania przyjmują postać prostszą w wyniku algebraizacji tych równań. Przekształcenie to jest metodą operatorową rozwiązywania obwodów elektrycznych w stanach nieustalonych i w opisie liniowych układów automatycznej regulacji, czyli w opisie układów dynamicznych.
Sygnały wejściowe i wyjściowe, zadane i zakłócające w układach automatycznego sterowania oraz prądy i napięcia w obwodach elektrycznych są funkcjami argumentu rzeczywistego – zazwyczaj czasu t. W ogólnym przypadku mamy więc funkcję )(tf , którą nazywamy oryginałem.
W odniesieniu do tej funkcji czynimy załoŜenia: • znika ona dla argumentów ujemnych, tzn.
0 dla 0)( <= ttf (4.1)
• jest jednoznacznie określona w całym przedziale czasu ∞<≤ t0 , jest w tym przedziale ciągła, z
wyjątkiem co najwyŜej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, • rośnie co do wartości bezwzględnej nie szybciej niŜ funkcja wykładnicza. Wtedy kaŜdej takiej funkcji zmiennej rzeczywistej )(tf moŜemy przyporządkować funkcję )(sF
argumentu zespolonego ωσ j+=s , zwanego parametrem zespolonym. Funkcję tę nazywamy transformatą
funkcji czasu lub jej funkcją przekształconą, lub obrazem.
4.1. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a
Przekształcenie Laplace’a proste jednostronne definiujemy za pomocą całki
ttfsF ts d e )()(0
∫∞
−= (4.2)
Taka całka jest jednostajnie zbieŜna i jest funkcją analityczną (holomorficzną) zmiennej zespolonej
ωσ j+=s w obszarze
10sRe σσσ >≥= (4.3)
65
przy warunku
tffsFMtf tst d e )()(e )(0
1 ∫∞
−=< σ (4.4)
gdzie M jest dowolna liczbą dodatnią.
j Im(s)=j ω
O Re(s)=σ σ0
Rys. 4.1. Obszar zbieŜności transformaty Laplace’a
Oznacza to, Ŝe całka (4.2) jest funkcją jednoznaczną, ciągłą i róŜniczkowalną zmiennej zespolonej s w kaŜdym punkcie obszaru połoŜonego z prawej strony prostej oraz na granicy tego obszaru.
Transformatę Laplace’a zapisujemy symbolicznie w postaci
[ ] )()( )( )( sFtfsFtf =≡÷ L (4.5)
Przekształcenie Laplace’a odwrotne określamy całką
ssFtf ts d e )(j π2
1)(
j
j
0
0
∫+
−
=ωσ
ωσ
(4.6)
i zapisujemy symbolicznie
[ ] )()( )( )( 1 tfsFtfsF =≡÷ −L (4.7)
4.2. Transformata skoku jednostkowego
f(t)
O t
1
1(t)
Skokiem jednostkowym (funkcją Heaviside’a) jest
funkcja opisana wzorem
0 tdla 0
0 dla 1)()(
<
>==
tttf 1 (4.8)
i którą przedstawia rysunek 4.2. Rys. 4.2. Funkcją Heaviside’a )(t1
Zgodnie ze wzorem (4.2) mamy, Ŝe dla σ>sRe
[ ]s
tss
tsFts
ts 1)(
1ed e 1)(
0
0
=≡=−=⋅=∞−∞
−∫ 1L (4.9)
66
4.3. Transformata funkcji wykładniczej
f(t)
O t
1
e-a t
Funkcję wykładniczo malejącą określamy wzorem
0 tdla 0
0 dla e)(
<
>=
− ttf
ta
(4.10)
i przedstawiamy na rysunku 4.3.
Rys. 4.3. Funkcja wykładniczo malejąca
Transformata tej funkcji dla σ>sRe
[ ]asasas
tsF tatas
tsta
+=≡
+=
+−== −
∞+−∞−−∫
1e
1ed e e)(
0
)(
0
L (4.11)
f(t)
O t
1
ea t
Funkcję wykładniczo rosnącą określamy wzorem
0 tdla 0
0 dla e)(
<
>=
ttf
ta
(4.12)
i przedstawiamy na rysunku 4.4.
Rys. 4.4. Funkcja wykładniczo rosnąca
Transformata tej funkcji dla σ>sRe
[ ]asasas
tsF tatas
tsta
−=≡
−=
−−==
∞−−∞−∫
1e
1ed e e)(
0
)(
0
L (4.13)
Liczba a moŜe być takŜe liczbą zespoloną, np. mającą niezerową tylko część urojoną, i wtedy
[ ] ωω
ω jgdy j
1e j =
+=− a
s
tL (4.14)
albo
[ ] ωω
ω jgdy j
1e j −=
−= a
s
tL (4.15)
67
4.4. Transformata funkcji impulsowej Diraca
f(t)
O t
¶
δ(t)
Funkcję impulsową Diraca określamy wzorem
0 tdla 0
0 tdla
0 dla 0
)(
<
=∞
>
=
t
tf (4.16)
dla warunku
1d )( =∫∞
∞−
ttδ (4.17)
i przedstawiamy na rysunku 5.5. Rys. 4.5. Funkcja impulsowa Diraca
Warunek (4.17) oznacza, Ŝe przyjmujemy pole powierzchni tej funkcji równe jedności (skończona energia impulsu) mimo, Ŝe funkcja ta jest impulsem o nieskończenie wielkiej amplitudzie i nieskończenie krótkim czasie trwania.
Do wyznaczenia transformaty Laplace’a impulsu Diraca wykorzystamy jego własność filtrowania w postaci wzoru
)( )0()( )( tfttf δδ = (4.18) a dla całki mamy
btaftttf
b
a
≤=≤=∫ 0 dla )0(d )( )( δ (4.19)
co oznacza, Ŝe całka z iloczynu pewnej funkcji czasu i impulsu Diraca jest równa wartości tej funkcji w chwili, w której pojawił się impuls Diraca, czyli następuje wydzielenie, wyfiltrowanie wartości tej funkcji w chwili 0=t .
Zatem po podstawieniu za tstg e)( −= mamy
[ ]
=
==⋅==== ∫∫∫∞∞∞
1)(
1e1)0(d (t))0(d )0( )(d )( )()( 0
000
t
gtgtgtttgtsF
δ
δδδ
L
(4.20)
4.5. Transformata kombinacji liniowej funkcji czasu
Jeśli funkcja )(tf jest kombinacją liniowa funkcji )(tf i , to jej transformata Laplace’a
)( )( 11
sFatfa i
n
i
ii
n
i
i ∑∑==
=
L (4.21)
W szczególnym przypadku iloczynu stałej i funkcji mamy zatem
[ ] )( )( sFatfa =L (4.22)
68
4.6. Transformata funkcji trygonometrycznych ωtsin i ωtcos
Funkcja
j 2
eesin
-j j tt
tωω
ω−
= (4.23)
zatem
[ ] ( )
[ ]
+=
+=
−−
−=
−==
22
22 j- j
sin
j
1
j
1
j 2
1ee
j 2
1sin)(
ωω
ω
ωω
ωωω ωω
st
ssstsF tt
L
LL
(4.24)
Funkcja
j 2
eecos
-j j tt
tωω
ω+
= (4.25)
i w podobny sposób jak wyŜej, otrzymujemy
[ ]22
cosω
ω+
=s
stL (4.26)
4.7. Transformata funkcji hiperbolicznych atsh i atch
Uwzględniając, Ŝe
2
eesh
- tata
at−
= (4.27)
oraz
2
eech
- tata
at+
= (4.28)
otrzymujemy transformaty
[ ]22
shas
aat
+=L (4.29)
oraz
[ ]22
chas
sat
−=L (4.30)
4.8. Transformata pochodnej funkcji względem czasu
Jeśli t
tftf
d
)(d)( =′ , to
[ ] )0()( )( +−=′ fsFstfL (4.31)
a dla n-tej pochodnej mamy
[ ] ∑=
+−−−=n
k
kknnnfssFstf
1
)1()( )0()( )(L (4.32)
69
4.9. Transformata całki oznaczonej funkcji czasu
Transformata całki oznaczonej funkcji czasu w granicach od 0 do t ma postać
s
sFttf
t)(
d )(0
=
∫L (4.33)
4.10. Twierdzenie o opóźnieniu w obszarze zmiennej rzeczywistej
Twierdzenie o opóźnieniu nazywane teŜ twierdzeniem o przesunięciu dotyczy wyznaczania transformaty Laplace’a z funkcji )( 0ttf − , czyli funkcji )(tf przesuniętej w prawo w dziedzinie czasu o
wielkość 0t . Postać tego twierdzenia jest następująca
[ ] )( e)( 0 -s0 sFttf
t=−L (4.34) Przykład 4.1.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego przedstawionego na rysunku 4.6. Impuls prostokątny otrzymujemy ze złoŜenia dwóch skoków jednostkowych przesuniętych w czasie o wartości
odpowiednio 1t oraz 2t , a mianowicie
[ ])()( )( 21 ttttAtf −−−= 11
f(t)
O t
A
A 1(t-t1)
t
t
O
O
-A
A
t1
t1
t2
t2
-A 1(t-t2)
Rys. 4.6. Konstrukcja impulsu prostokątnego
Jeśli teraz wykorzystamy wzory (4.9), (4.22) i (4.34), to wyznaczymy transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego o amplitudzie A w postaci
[ ] ( )21 ee )( tsts
s
Atf
−− −=L
70
4.11. Twierdzenie o przesunięciu zespolonym
Twierdzenie o przesunięciu zespolonym lub tłumieniu dotyczy tłumionej funkcji czasu i wyraŜamy je następującym wzorem [ ] )()( e λλ +=− sFtftL (4.35)
Przykład 4.2.
Π8 Π4 3Π8 Π2Ωt
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
f@tD
f HtL=e-tcosΩt a=1Ω=8
Rys. 4.7. Kosinusoida tłumiona Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji tłumionej (rys. 4.7)
ttf ta ωcos e)( −= Wykorzystując wzór (4.26) oraz (4.34) mamy
[ ]( ) 22
cos eω
ω++
+=−
as
ast
taL
4.12. Transformata funkcji okresowej
Jeśli transformata Laplace’a funkcji okresowej wyznaczana za okres ma postać
[ ] )()( sFtf TT =L (4.36)
to transformata funkcji
[ ]Ts
T sFTtfsF
e1
)()()(
−−=+= L (4.37)
Przykład 4.3.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a sinusoidy wyprostowanej przedstawionej na rysunku 4.8a. Okresem funkcji sin tω jest T , a funkcji badanej (wyprostowanej sinusoidy) jest T/2. Aby zatem wykorzystać
wzór (4.37) utworzymy funkcję )(2/ tfT jako sumę dwóch funkcji
)()()( 212/ tftftfT +=
gdzie )( sin)(1 tttf 1ω=
przedstawionej na rysunku 4.8b. oraz
71
−
−=
2
2sin)(2
Tt
Tttf 1ω
przedstawionej na rysunku 4.8c. Sumę tych funkcji przedstawiamy ma rysunku 4.8d. Zatem jej transformata
[ ] 2
22222/2/ e )()(T
s
TTss
sFtf−
++
+==
ωω
ωω
L
a)
T2 T 3T2t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f@tD
f HtL=ÈsinΩtÈ
b)
T2 T 3T2t
-1
-0.5
0.5
1
f1@tD
fHtL=sinΩt
c)
T2 T 3T2t
-1
-0.5
0.5
1
f2@tD
f HtL=sinHΩt-T2L1HtL
d)
T2 T 3T2t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f T2@tD
fT2HtL=f1HtL+f2HtL
Rys. 4.8. Ilustracja do przykładu 4.3. Ze wzoru (4.37) mamy
+=
−
+
+=
−
+
+=
−=
−
−
−
−
− 4cth
ee
ee
e1
e1
e1
)()(
22
4
4
4
4
22
2
2
222/
2/ Ts
sss
sFsF
Ts
Ts
Ts
Ts
Ts
Ts
Ts
T
ωω
ωω
ωω
4.13. Twierdzenie o wartościach granicznych
Twierdzenia o wartościach granicznych dotyczą zachowania się transformaty Laplace’a dla czasu 0→t oraz ∞→t i maja postać
)( lim)( lim0
sFstfst ∞→→
= (4.38)
oraz )( lim)( lim
0sFstf
st →∞→= (4.39)
Wzory te umoŜliwiają wyznaczanie wartości początkowej i końcowej funkcji )(tf , gdy dana jest jej
transformata Laplace’a )(sF .
72
Przykład 4.4.
Wyznaczyć wartość początkowa i końcową funkcji, której transformata laplace’a
as
sF+
=1
)(
Jak wiemy ze wzoru (4.11), jest to transformata funkcji te)( atf −= . Zatem mamy
1 lim1e lim t
0=
+==
∞→
−
→ as
s
s
a
t oraz 0 lim0e lim
0
t =+
==→
−
∞→ as
s
s
a
t
4.14. Transformata funkcji nt
Transformata funkcji
[ ]1ns
! +
=n
t nL (4.40)
Przykład 4.5.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji przedstawionej na rysunku 4.9a.
O t
A
f(t)
T O
A
-A
T
t
-A /T (t-T) 1(t-T)
A /T t 1(t)
-A 1(t-T)
a)
b)
Rys. 4.9. Impuls piłokształtny i jego konstrukcja z funkcji elementarnych Funkcję piłokształtną moŜemy złoŜyć z funkcji elementarnych w postaci wzoru
)( )( )( )( )( TtATtTtT
Att
T
Atf −−−−−= 111
Zatem transformata tej funkcji
( )TsTsTsTssT
sT
A
ssTsTAsF
2
22e e1
e
1e
1111)( −−−− −−=
−−=
73
4.15. Twierdzenie o podobieństwie
Twierdzenie o podobieństwie dotyczy zmiany skali zmiennej niezaleŜnej i zapisujemy je następująco
[ ]
=a
sF
ataf
1) (L (4.41)
Przykład 4.6.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
ttf ω2sin)( =
Wykorzystamy tutaj wzór (4.24) oraz (4.41), otrzymując
[ ] [ ]( )22
22 2
2
2
s
2
1)2(sin2sin
ω
ω
ω
ωωω
+=
+
==
stt LL
4.16. Twierdzenie o transformacie splotu funkcji
Splotem funkcji określamy funkcję
∫ −=∗=t
tfftftftf
0
2121 d )( )()()()( τττ (4.42)
i jeśli funkcje splotu maja transformaty Laplace’a
[ ][ ]
=
=
)())
)())
22
11
sFtf
sFtf
L
L (4.43)
to transformata [ ] )( )()()( 2121 sFsFtftf =∗L (4.44)
czyli transformata splotu jest równa iloczynowi transformat – twierdzenie Borela. Twierdzenie to wykorzystujemy do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a oraz transmitancji układów elektrycznych i automatycznej regulacji. Przykład 4.7.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )( )bsas
sF++
=1
)(
PowyŜszą transformatę przedstawimy w postaci iloczynu dwóch transformat
( )( ) ( ) ( )
111
)(bsasbsas
sF++
=++
=
a stąd
( ) ( )
tbta
bstf
astf
1-2
1-1 e
1 )( oraz e
1 )( −− =
+==
+= LL
Zatem
74
( )tbta
t
batb
t
batb
t
ba
abba
tftftf
0
)(
0
)(
0
)-(t 21
ee1
e)(
1e
d e ed e e)()()(
−−−−−
−−−−−
−−
=−−
=
===∗= ∫∫
τ
τττ ττ
4.17. Wyznaczanie oryginału z transformaty odwrotnej
Całkę (4.6) określającą transformatę odwrotną Laplace’a z funkcji operatorowej )(sF o n biegunach
moŜemy wyznaczać z pojęcia residuum, tzn.
[ ] [ ]∑∫=
=
+
−
− ===n
l
tsts sFssFsFtf1
ss
j
j
1 e )(resd e )(j π2
1)()(
l
0
0
ωσ
ωσ
L (4.45)
gdzie ls jest biegunem funkcji operatorowej )(sF . Jeśli biegun ten jest biegunem k-krotnym, to
[ ] ( )[ ]tsk
lk
k
ss
tss sFss
sk-sF
l
1
1 e )(
d
dlim
! )1(
1e )(res
l
−=−
−
→ (4.46)
Jeśli funkcja operatorowa jest ma biegun jednokrotny 0s i jest funkcją wymierną postaci
)(
)()(
s
ssF
ψϕ
= (4.47)
to
[ ] tstss
s
ssF
l
0
0 0e )(
)(e )(res
ψϕ′
= (4.48)
Przykład 4.8.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )ass
sF+
=
1)(
PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne 01 =s oraz as −=2 . Ze wzoru (4.45) mamy
( ) ( )
( ) )( e11
)( e 11
e )(
1lime
1lim)(
0t
at
aaas
asss
asstf
tatats
as
ts
s11
−−
−→→−=
−
+=++
++
=
Funkcja w mianowniku
( ) asssasasss +=′⇒+=+= 2)( )( 2 ψψ
i jeśli zaś wykorzystamy wzór (4.48), to otrzymujemy
( ) )( e11
)( e 11
e 2
1e
2
1)(
0
t
at
aaasastf
tata
as
ts
s
ts11
−−
−==
−=
−
+=+
++
=
75
4.18. Twierdzenie o rozkładzie
Twierdzenie o rozkładzie wykorzystujemy do wyznaczania transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji operatorowej typu (1.257), przy następujących załoŜeniach:
• ułamek (4.47) jest nieskracalny, • stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
Jeśli pierwiastki mianownika są jednokrotne, to transformata odwrotna
[ ] ∑=
−
′==
n
l
ts
l
l l
s
ssFtf
1
1 e )(
)()()(
ψϕ
L (4.49)
przy czym
)()(1
il
n
lil
l sss −∏=′
≠=
ψ (4.50)
Przypadek ten jest teŜ szczególnym rozwiązaniem z wykorzystaniem residuum określonym wzorem
(4.48) – patrz przykład 4.8. Jeśli jeden z pierwiastków jest równy zeru, tzn. 00 =s , to wtedy funkcja operatorowa ma postać
)(
)(
)(
)()(
1 ss
s
s
ssF
ψϕ
ψϕ
== (4.51)
a transformata odwrotna
[ ] ∑=
−
′+==
n
l
ts
ll
l l
ss
ssFtf
1
11
1 e )(
)(
)0(
)0()()(
ψϕ
ψϕ
L (4.52)
Przykład 4.9.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )ass
sF+
=
1)(
PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne 01 =s oraz as −=2 i moŜemy ja przedstawić w postaci
)(
1)(
1 sssF
ψ=
gdzie 1)( )( 11 =′⇒+= sass ψψ
Ze wzoru (4.49) mamy
[ ] ( ) )( e11
e 1
11)()( 1
tasa
sFtfta
as
ts1
−
−=
− −=⋅
+== L
Jeśli jeden z pierwiastków jest zespolony o zerowej wartości części rzeczywistej, tzn. ω j0 =s , to wtedy
funkcja operatorowa ma postać
)( ) j(
)(
)(
)()(
1 ss
s
s
ssF
ψωϕ
ψϕ
−== (4.53)
a transformata odwrotna
76
[ ] ∑=
−
′+==
n
l
ts
ll
lt l
ss
ssFtf
1
1
j
1
1 e )( ) j-(
)(e
) j(
) j()()(
ψωϕ
ωψωϕ ωL (4.54)
Przykład 4.10.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )( )ass
sF+−
=ω j1
)(
PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne ω j1 =s oraz as −=2 i moŜemy ja przedstawić w postaci
)(
1)(
1 sssF
ψ=
gdzie 1)( )( 11 =′⇒+= sass ψψ
Ze wzoru (4.54) mamy
[ ] ( ) )( ee j
1e
1) j(
1e
j
1)()( j j1 t
asasFtf tat
as
tst 1−
−=
− −+
=⋅−
++
== ωω
ωωωL
Jeśli funkcja operatorowa ma jeden k-krotny biegun is− , to moŜemy ją przedstawić w postaci
( ) ( ) ( ) ( )ki
ik
r
i
ir
i
i
i
i
k
i ss
K
ss
K
ss
K
ss
K
ss
s
s
ssF
+++
+++
++
+=
+== ......
)(
)(
)()(
221ϕ
ψϕ
(4.55)
gdzie
( ) ( ) ( ) ik
rk
iir
k
ii
k
ii KssKssKssKs ++++++++= −−− ......)( 22
11ϕ (4.56)
issik sK−=
= )(ϕ (4.57)
( )iss
rk
rk
irs
s
rkK
−=−
−
−=
d
)(d
!
1 )( ϕ (5.58)
Wtedy transformata odwrotna
[ ]( )∑
=
−−
−
−==
k
r
tsr
iri
r
tKsFtf
1
1
1 e ! 1
)()( L (4.59)
Z powyŜszego wzoru dla As =)(ϕ mamy, Ŝe
( ) ( )
tsk
k k
t
ss
Atf
1
0
1 0e ! 1
)( −−
−
−=
+= L (4.60)
Przykład 4.11.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )32
2
1 2)(
+
++=
s
sssF
77
PowyŜsza funkcja ma jeden biegun trzykrotny 20 −=s . MoŜemy ja przedstawić w postaci
( ) ( )3
13
2
1211
222)(
)()(
++
++
+==
s
K
s
K
s
K
s
ssF
ψϕ
Obliczamy współczynniki
( ) 11 2)(2
2
213 =++==−=−= ss
sssK ϕ
( ) 22 2d
(s)d
! 1
12
212 −=+==
−=−=
ss
ss
Kϕ
oraz ( ) 122
1
d
)(d
! 2
12
2
2
2
11 ===−=
−=s
ss
sK
ϕ
Zatem funkcję operatorowa moŜemy przedstawić w postaci
( ) ( ) ( )323
2
2
1
2
2
2
1
2
1 2
)(
)()(
++
+
−+
+=
+
++==
ssss
ss
s
ssF
ψϕ
a transformata odwrotna
( )
tttttt
ttt
s
sstf
22 22
21
20
3
21 e
2
1 21e
! 21e
! 1)2(e
! 01
2
1 2)( −−−−−
+−=⋅+−+⋅=
+
++= L
Jeśli funkcja operatorowa ma n pierwiastków w tym pierwiastki is są ir -krotnymi, to transformata odwrotna
[ ]( )
( )∑= =
−
−−
−
−==
n
i ss
tsr
ir
r
ii
ii
i
i
sssr
sFtf1
1
11 e
(s)
(s)
d
d
! 1
1)()(
ψϕ
L (4.61)
Przykład 4.12.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( ) 321
2)(
ss
ssF
−
+=
PowyŜsza funkcja ma 2=n pierwiastki 01 =s oraz 12 =s , przy czym pierwszy z nich jest pierwiastkiem trzykrotnym,
czyli 31 =r , a drugi jest pierwiastkiem dwukrotnym, czyli 22 =r . Zatem dla pierwszego pierwiastka mamy
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
8 5
e 1-s
2e
1-s
5e
1-s
5se
1-s
1-s 3 5s-1-s
2
1
e 1-s
2e
1-s
5s
d
d
2
1
e1-s
2s
d
d
2
1e0
1-s
2s
d
d
! 13
1)(
2
0
2
2
3
3
6
23
0
2
3
0
22
2
0
3
322
2
1
−+
=
+−
+−
+−
+−=
=
++
+−=
=
+=
−
+
−=
=
=
==
tt
ts
ts
t
ts
s
ss
sstf
s
tstststs
s
tsts
s
ts
s
ts
Dla 12 =s , otrzymujemy
78
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) t
s
tsts
s
ts
s
ts
ttss
s
sss
sstf
e 8 3e 2s
es 3 2s-
e2s
d
de1
1-s
2s
d
d
! 12
1)(
1
3
6
23
1
3
1
3
322
−=
++
+=
=
+=
−
+−
=
=
==
Ostatecznie otrzymujemy
( )
( ) tttt
ss
stf e 8 38 5
1
2)( 2
32
1 −+−+=
−
+= −L
4.19. Rozkład na ułamki proste
W przypadku ogólnym funkcja operatorowa )(sF moŜe mieć k biegunów rzeczywistych kα -krotnych i
l biegunów zespolony lβ -krotnych. Wtedy funkcję taka moŜemy przedstawić w postaci
k
k
k
k
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
B
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
ss
A
x
xsWsF
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
m
α
β
α
β
α
β
α
α
α
α
α
α
ψϕ
)(...
)()(
...)(
...)()()(
...)()(
)(...
)()(...
)(...
)()(
)(...
)()()(
)()()(
22
21
2
2
22
22
2
21
1
1
21
12
1
11
22
21
2
2
22
22
2
21
1
1
21
12
1
11
2
2
1
1
2
2
1
1
−++
−+
−+
+−
++−
+−
+−
++−
+−
+
+−
++−
+−
++−
++−
+−
+
+−
++−
+−
=≡=
(4.62)
Na podstawie o liniowości i znanych odwrotnych transformat odpowiadających ułamkom prostym
moŜemy wyznaczać transformaty odwrotne w ten sposób określone funkcje zespolone. Przykład 4.13.
Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej
( )( ) ( ) ( )4242
1)(
++
+=
++=
s
B
s
A
sssF
korzystając z rozkładu jej na ułamki proste.
PowyŜsze równanie pomnoŜymy stronami przez wspólny mianownik, to otrzymamy
2
1 oraz
2
1 2 4 )(1 −==⇒+++= BABAsBA
Zatem funkcja
( )( ) ( ) ( )42
1
2
1
2
1
42
1)(
+−
+=
++=
s
B
ssssF
została sprowadzona do ułamków prostych, których transformaty odwrotne znamy. Ostatecznie
[ ] ( )ttsFtf
4 21 ee2
1)()( −−− −== L
79
4.20. Transformaty Laplace’a wybranych funkcji
W tabeli 4.1. podajemy transformaty Laplace’a wybranych funkcji.
Tabela 4.1.: Transformaty Laplace’a niektórych funkcji
Nr
wzoru )(tf )(sF
Nr
wzoru )(tf )(sF
1 )(tδ 1 2 )(t1 s
1
3
nt 1
! +ns
n
4
ta e − as +
1
5 tωsin 22 ω
ω+s 6 tωcos
22 ω+s
s
7 tta ωsine − ( ) 22 ω
ω
++ as 8 tta ωcose −
( ) 22 ω++
+
as
as
4.21. Transmitancja operatorowa
W teorii sygnałów (w automatyce i elektrotechnice) poszukuje się odpowiedzi (sygnały wyjściowego) )(ty układu na wymuszenie (sygnał wejściowy ) )(tx - rys. 4.10.
x(t) y(t) g(t)
Rys. 4.10. Schemat blokowy układu w dziedzinie czasu Dla kaŜdego układu liniowego związek miedzy tymi sygnałami jest następujący
∫∞
∞−
= τττ d )( ) ,()( xtgty (4.63)
gdzie ) ,()( τtgty = jest funkcją dwóch zmiennych i nazywamy ją impulsową funkcją przejścia lub
charakterystyka impulsową układu liniowego. W dziedzinie czasu
∫∞
=∗=0
d )( )-()()()( τττ xtgtxtgty (4.64)
Jeśli )()( ttx δ= (4.65)
to
)(d )( )-()(0
tktgty == ∫∞
ττδτ (4.66)
a stąd wynika, Ŝe na wymuszenie impulsem Diraca odpowiedzią układu jest impulsowa funkcja przejścia. W dziedzinie transformat Laplace’a wymuszenie [ ])()( txsX L= , a odpowiedź układu [ ])()( tysY L= -
rys. 4.11.
80
X(s) Y(s) G(s)
Rys. 4.11. Schemat blokowy układu w dziedzinie operatorowej
Transmitancja operatorową )(sG nazywamy stosunek transformaty odpowiedzi )(sY do transformaty
wymuszenia )(sX , czyli
)(
)()(
sX
sYsG = (4.67)
przy zerowych warunkach początkowych układu. Jeśli sygnałem wejściowym jest impuls Diraca (4.65), to sygnał wyjściowy określony jest wzorem
(4.66), a w dziedzinie transformat mamy, Ŝe
)()( )()( sGsXsGsY == (4.68)
co oznacza, Ŝe dla sygnału wejściowego )(tδ czasowy sygnał wyjściowy jest charakterystyką impulsową
układu. Jeśli sygnałem wejściowym jest skok jednostkowy
)()( ttx 1= (4.69) to
∫∫ ==∞ t
gtgty
00
d )(d )( )-()( τττττ 1 (4.70)
a stąd
)(d
)(dtg
t
ty= (4.71)
co oznacza, Ŝe impulsowa funkcję przejścia układu otrzymuje się po zróŜniczkowaniu sygnału wyjściowego jako odpowiedzi na skok jednostkowy. Wtedy teŜ
s
sGsY1 )()( = (4.72)
Jeśli na wejście zadamy dowolny sygnał )(sX i w odpowiedzi otrzymamy )(sY , to układ liniowy
będzie opisany transmitancją (4.67), co oznacza równieŜ, Ŝe transmitancja )(sG , czyli operatorowa funkcja
przejścia przy wymuszeniu impulsem Diraca, wystarcza do uzyskania odpowiedzi )(sY na dowolny sygnał
wejściowy )(sX .
Przykład 4.14.
Wyznaczyć czasowy sygnał wyjściowy dla sygnały wejściowego
)( sin)( tttx 1ω=
jeśli widomo, Ŝe operatorowa transmitancja skokowa układu sksG )( = . Operatorowa postać sygnału wyjściowego
22s
)( )()(ω
ω+
== k ssXsGsY
81
Zatem sygnał wyjściowy w postaci czasowej
[ ]( )( )
[ ]
[ ]tkt
tωtktk
tkttks
k
ss
sk k ssYty
tt
tttt
ωωω
ωωωωω
ωω
ωωωω
ωω
ω
ωω
ωωωω
sin d
d)( cos )(
2
ee
)( j 2
ee je )( sin je
s
j
j
1
j j
j j
s )()(
j- j
j- j j- j-
22
1
1
22
1 1
==+
=
=
−+=+=
++
+=
=
−+
−+=
+==
−
−−−
11
11L
LLL
albowiem transmitancja sksG )( = opisuje tzw. idealny człon róŜniczkujący.
4.22. Metoda przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych
Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach
)( ... 1)1(
1)( tfyayayay nn-
nn =+′+++ − (4.73) Metoda operatorowa rozwiązania równania (4.73) polega na zastąpieniu tego równania, po obustronnym przekształceniu Laplace’a, równowaŜnym równaniem algebraicznym pierwszego stopnia z niewiadomą
)(ty , w postaci
)()()( )( sFsMsYsN += (4.74)
gdzie )(sN i )(sM są wielomianami operatora s odpowiedni stopni n i m, przy czym nm < .
Wtedy
)(
)(
)(
)()(
sN
sB
sN
sMsY += (4.75)
Dokonując odwrotnej transformaty Laplace’a wyznaczamy funkcję )(ty , przy czym wielomian )(sM zaleŜy od warunków początkowych.
Szczegółowe sposoby rozwiązywania równań róŜniczkowych metoda operatorowa rozpatrzymy na poniŜszym przykładzie.
Przykład 4.15.
Rozwiązać równanie
)( 3 6 5 tuuu 1=+′+′′ z warunkami początkowymi
0)0( oraz 1)0( =′= uu Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe przy napięciu początkowym na kondensatorze róŜnym od zera i zerowej wartości prądu.
Po obustronnym przekształceniu Laplace’a
[ ] [ ])( 3 6 5 tuuu 1LL =+′+′′
otrzymujemy równanie algebraiczne
ssUusUsuussUs
1 3)( 6)0( 5)( 5)0()0( )( 2 =+−+′−− +++
a stąd
[ ]s
uuussssU1
3)0( 5)0()0( 6 5 )( 2 =−′−−++ +++
i ostatecznie
82
6 5
1 3
6 5
)0( 5)0()0(
)(
)(
)(
)()(
22 +++
++
−′−=+=
+++
ss
s
ss
uuus
sN
sB
sN
sMsU
Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy zaś
( ) ( )( )3 2
3 5-
6 5
3
6 5
5 )(
2
22 ++
+=
+++
++
−=
sss
ss
sssss
ssU
Po rozłoŜeniu powyŜszej funkcji na ułamki proste, otrzymujemy
3
1 9
2
1
2
17
1
2
1)(
++
+−=
ssssU
a wtedy odwrotna transformata Laplace’a
[ ] up
ttuusU +=++−= −−−
2
1e 9e
2
17)( 3 21L
gdzie
tt
pu 3 2 e 9e
2
17 −− +−= oraz 2
1=uu
czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.
2
1
2
1e 9e
2
17lim)(lim 3 2 =
++−== −−
∞→∞→
tt
xxu tyu
Wartość ustaloną funkcji moŜemy wyznaczyć takŜe bezpośrednio z transformaty, wykorzystując twierdzenie o wartości granicznej (4.39), a mianowicie
( )( ) ( )( ) 2
1
3 2
3 5- lim
3 2
3 5- lim)( lim)( lim
2
0
2
00=
++
+=
++
+===
→→→∞→ ss
ss
sss
ssssFstuu
ssstu
Podobnie z drugiego twierdzenia (4.38) o wartościach granicznych wyznaczamy wartość początkową funkcji bezpośrednio z transformaty
( )( )
16 5
3 5- lim
3 2
3 5- lim)( lim)( lim
2
22
0=
++
+=
++
+==
∞→∞→∞→→ ss
ss
sss
ssssUstu
ssst
Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 4.12.
0.5 1 1.5 2x
-1
-0.5
0.5
1
y
u=up+uu
up=9e-3 x-
172
e-2 x
uu=12
Rys. 4.12. Rozwiązanie równania róŜniczkowego )( 3 6 5 tuuu 1=+′+′′
przy warunkach początkowych 0)0( oraz 1)0( =′= uu . Czytelnik zechce porównać otrzymane rozwiązanie z rozwiązaniem przy zerowych warunkach początkowych
przedstawione w przykładzie 2.9. i na rysunku 2.9.
83
Literatura:
1. Palczewski A.: Równania róŜniczkowe zwyczajne. WNT, Warszawa 1999. 2. Fichtenholz G. M.: Rachunek róŜniczkowy i całkowy. WN PWN, Warszawa 1995. 3. Janowski W.: Matematyka – podręcznik dla wydziałów elektrycznych i mechanicznych politechnik. Tom I i tom
II. PWN, Warszawa 1962. 4. Leitner R.: Zarys matematyki wyŜszej. Część I. II i II. WNT, Warszawa 19994. 5. Trajdos T.: Matematyka dla inŜynierów. WNT, Warszawa 1974. 6. Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inŜynierów. Część 1 i Część 2. PWN,
Warszawa 1983. 7. śakowski W., Decewicz G.: Matematyka. Część I, II, III i IV. WNT, Warszawa 1997. 8. Grzymkowski R.: Matematyka dla studentów wyŜszych uczelni technicznych. Wyd. Pracowni Komputerowej J.
Skalmierskiego, Gliwice 1999. 9. Osiowski J.: Zarys rachunku operatorowego. Teoria i zastosowania w elektrotechnice. WNT, warszawa 1972. 10. Bolkowski s.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT, Warszawa 2008. 11. Walczak J., Pasko M.: Elementy dynamiki liniowych obwodów elektrycznych. Wyd. Pol. Śl., Gliwice 2001. 12. Leja F.: Funkcje zespolone. WN PWN, Warszawa 2006.
top related