planejamento e otimização de experimentos - prof. anselmo · • selecionar um número fixo de...

Planejamento e Otimização

de Experimentos Planejamentos Fatoriais

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br

anselmo.disciplinas@gmail.com

Fatores e Níves

Fatores ou Variáveis

• Temperatura

• Pressão

• Concentração

• Tempo

• Solvente

• Fluxo/Vazão

• Agitação/Rotação

• Catalisador

Níveis

• 25 e 50 oC

• 1, 5 e 10 atm

• ppm, % e m/v

• 1 min, 2 e 6 h

• Puro ou mistura

• 10 e 20 mL/h

• 100 e 200 rpm

• A, B, ...

• Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores)

• Experimentos com todas as combinações possíveis

– Exemplo

• n1 = 2

• n2 = 3

• n3 = 5

Fatorial 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 = 2 × 3 × 5 = 30 experimentos

𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛3 = 2 Fatorial 23 = 8 experimentos

Exemplo: planta piloto

Variáveis Quantitativas

• Temperatura, T 160 oC (-)

180 oC (+)

• Concentração, C 20% (-)

40% (+)

Variáveis Qualitativas

• Catalisador, K A (-)

B (+)

• Resposta Rendimento químico

Variáveis

• T /oC • C /% • K

-

• 160 • 20 • A

+

• 180 • 40 • B

Níveis

• Fatorial 2N, com N o número de variáveis N = 3 Fatorial 23 8 experimentos

• Matriz de Planejamento

experimento Temperatura T /oC

Concentração C /%

Catalisador K

Rendimento

𝒚 /g

1 160 20 A 60

2 180 20 A 72

3 160 40 A 54

4 180 40 A 68

5 160 20 B 52

6 180 20 B 83

7 160 40 B 45

8 180 40 B 80

• Distribuição Normal

– Amostra • aleatória

• representativa

• Planejamento Fatorial

• aleatoriedade

– experimentos realizados de modo aleatório

• representatividade

– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores

Matriz de Contrastes do Planejamento

experimento Temperatura T /oC

Concentração C /%

Catalisador K

Rendimento

𝒚 /g

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

Rendimento 𝒚 /g

(1) 60

a 72

b 54

ab 68

c 52

ac 83

bc 45

abc 80

existem quatro medidas dos efeitos da temperatura

Efeitos Principais: Temperatura

Efeito de uma fator é a mudança na resposta quando passamos no nível - para o nível + desse fator

experimento C K 𝒚

- -

- -

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

T

-

+

1

2

diferença nos rendimentos depende apenas da temperatura

60

72

• Medidas individuais dos efeitos quando a temperatura muda de 160 para 180 oC

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

72 – 60 = 12

68 – 54 = 14

83 – 52 = 31

80 – 45 = 35

• Efeito principal da temperatura

aumentando a temperatura de 160 para 180 oC, o rendimento da reação aumenta 23 g, em média

𝑇 = 23

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

+12

+14

+31

+35

efeito mais acentuado

O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador

Sinergismo

Efeitos Principais: Concentração

• Medidas individuais dos efeitos quando a concentração muda de 20 para 40%

existem quatro medidas dos efeitos da concentração

experimento T K 𝒚

- -

2 + - - 72

- -

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

C

-

+

1

3

diferença nos rendimentos depende apenas da concentração

60

54

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔

𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒

𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕

𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑

• Efeito principal da concentração

aumentando a concentração de 20 para 40%, o rendimento da reação diminui 5 g, em média

𝑪 = −𝟓

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

−𝟔

−𝟒

−𝟕

−𝟑

os efeitos individuais da concentração não indicam efeito sinérgico

Efeitos Principais: Catalisador

• Medidas individuais dos efeitos quando o catalisador muda de A para B

existem quatro medidas dos efeitos do catalisador

experimento T C 𝒚

- -

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

- -

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

K

-

+

1

5

diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador

60

52

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖

𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏

𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗

𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = +𝟏𝟐

• Efeito principal do catalisador

a mudança do catalisador de A para B aumenta o rendimento da reação em 1,5 g, em média

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito sinérgico com a temperatura

-8

+11

-9

+12

Diferença entre duas médias

Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −

resposta média para o nível +

resposta média para o nível –

• Efeito da temperatura

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeito da concentração

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeito do catalisador

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeitos principais

T = 23

C = -5

K = 1,5

Efeitos de interação

• Entre dois fatores T = 23, porém o efeito da temperatura é muito maior com o catalisador B do que com o A

variáveis temperatura e catalisador não se comportam aditivamente INTERAGEM

INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura com o catalisador A e com o catalisador B

Temperatura Catalisador

• Interação entre a temperatura e o catalisador, TK

experimento T C K

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

+12

+14

+31

+35

• Vimos que um efeito é uma diferença entre médias

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam os mesmos níveis

experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam níveis diferentes

Temperatura Concentração

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam os mesmos níveis experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam níveis diferentes

𝑻𝑪 = 𝟏, 𝟓

Concentração Catalisador

usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam níveis diferentes

𝑪𝑲 = 𝟎

Efeitos de interação

• Efeitos secundários TK = 10 TC = 1,5 CK = 0

efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador

efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador

Interação entre três fatores

• De modo similar ao que pode ser aplicado para o cálculo de qualquer efeito, o nível + para o efeito médio resulta dos produtos dos contrastes de cada fator, em cada experimento, com resultado +

• Idem para o nível –

- - + +

- - - -

• interação entre temperatura, concentração e catalisador

experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

Representação Gráfica

+12

-9

+11 -8

-3

-4

-7

-6

+35

+14

+31

+12

(-) (+)

temperatura (oC) 160 180

(+)

(-) A

B

(-)

(+)

con

cen

tra

ção

(%

)

20

40

60 (1)

54 (3)

45 (7) 80 (8)

68 (4)

83 (6)

72 (2)

52 (5)

• Efeitos principais

• Interação entre dois fatores

• Interação entre três fatores

Interpretação dos Resultados

• Média = 64,25

• T = 23

• C = -5

• K = 1,5

• TC = 1,5

• TK = 10

• CK = 0

• TCK = 0,5

o efeito principal de uma variável deve ser interpretado individualmente apenas quando há evidência de que a variável não interage com outras variáveis

o efeito médio da concentração, C, é o de reduzir o rendimento em cerca de 5 g

• Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não podem ser avaliados separadamente devido à grande interação TK (= 10). – Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura

pelos dois catalisadores

(-)

(+)

cata

lisa

do

r

A

B

temperatura (oC)

(-) (+)

160 180

48,5 81,5

57 70 +13

+33

-8,5 +11,5

A troca do catalisador A por B, a 160 oC, levará a conclusões diferentes se esse mesmo experimento for conduzido a 180 oC: • 160 oC: A melhor que B • 180 oC: B melhor que A

• The regression model representation 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝜖

– The variables 𝑥1 and 𝑥2 are defined on a coded scale from −1 to +1 (the low and high level of A and B), and 𝑥1𝑥2 represents the interaction between 𝑥1 and 𝑥2

– The parameter estimates in this regression model turn out to be related to the effect estimates • Ex: A = 21, B = 11, AB = 1, and Mean = 35.5

𝛽 1 = 21/2, 𝛽 2 = 11/2, 𝛽 12 = 1/2 and 𝛽 0 = 35.5 𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2 + 0.5𝑥1𝑥2

Since the interaction coefficient (𝛽 12 = 0.5) is small relative to the main effect coefficients 𝛽 1 and 𝛽 2

𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2

Surface plot Contour plot

>> X1 = -1:.1:1

>> X2 = X1

>> [x1,x2] = meshgrid(X1,X2);

>> y = 35.5 + 10.5*x1 + 5.5*x2;

>> surf(x1,x2,y)

>> xlabel("x1"); ylabel("x2"); zlabel("x3");

>> contour(x1,x2,y)

>> colorbar on

Cálculo dos Erros

• Efeitos significativos

– Variações entre os experimentos realizados nas mesmas condições experimentais

– Variabilidade total que afeta os experimentos realizados em diferentes condições experimentais

– Aleatoriedade da ordem de realização dos experimentos

• Experimento etapas 1

2

3

4 . . .

Repetição de um experimento genuíno

realização de todas as etapas, novamente

experimentos genuínos

n-ésima replicata do experimento i

graus de liberdade

Estimativa conjunta da variância

experimento y1 y2 𝒚 𝒊

1 59 61 60

2 74 70 72

3 50 58 54

4 69 67 68

5 50 54 52

6 81 85 83

7 46 44 45

8 79 81 80

𝒔𝒊𝟐

2

8

32

2

8

8

2

2

𝝂𝒊

1

1

1

1

1

1

1

1

8

𝝂𝒊𝒔𝒊𝟐

2

8

32

2

8

8

2

2

64

64

soma

8

com = 8 graus de liberdade

as replicatas também são realizadas de modo aleatório

𝒔𝟐 =𝟏

𝟖𝟔𝟒 = 𝟖

O que interessa é o erro dos efeitos

Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −

resposta média para o nível +

resposta média para o nível –

Assumindo que os erros são independentes

• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)

• variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =

𝜎2

𝑁

usando s2 (= 8) como estimativa de s2

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 = 𝒔𝟐 𝒚 + ± 𝒚 − = 𝒔𝟐 𝒚 + + 𝒔𝟐 𝒚 −

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =

𝝈𝟐

𝟖+

𝝈𝟐

𝟖=

𝝈𝟐

𝟒

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =

𝟖

𝟒= 𝟐

Logo, o erro estimado para cada efeito é

Para a média, a variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =

𝜎2

𝑁

N = 8 x 2 = 16

s = s = 2,8 (estimativa conjunta da variância)

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 = 𝟐 = 𝟏, 𝟒

𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂𝟐 =

𝟐, 𝟖

𝟏𝟔→ 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟕

M = 64,25 0,7

T = 23 1,4

C = -5,0 1,4

K = 1,5 1,4

TC = 1,5 1,4

TK = 10,0 1,4

CK = 0,0 1,4

TCK = 0,5 1,4

exceto T, C e TK os outros efeitos podem ser gerados por ruídos

Gráficos Normais

Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of Manufacturing Technology Management, Vol. 16 Iss: 1, pp.18 - 35

Analysis of Variance

Effects

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

(1)

-

-

-

+

+

+

-

a

+

-

-

-

-

+

+

b

-

+

-

-

+

-

+

c

-

-

+

+

-

-

+

ab

+

+

-

+

-

-

-

ac

+

-

+

-

+

-

-

bc

-

+

+

-

-

+

-

abc

+

+

+

+

+

+

+

23 factorial design: 𝑛 replicates

𝐴 =1

4𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐

𝐵, 𝐶, …

𝑆𝑆𝐴 =1

8𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 2

𝑆𝑆𝐵, 𝑆𝑆𝐶 , …

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙2

𝑛

𝑙=1

2

𝑘=1

2

𝑗=1

2

𝑖=1

−𝑦….

2

8𝑛

𝑆𝑆𝐸 is obtained by subtraction

exp A B C AB AC BC ABC y1 y2 Total 1 (1) -1 -1 -1 1 1 1 -1 59 61 120 2 a 1 -1 -1 -1 -1 1 1 74 70 144 3 b -1 1 -1 -1 1 -1 1 50 58 108 4 ab 1 1 -1 1 -1 -1 -1 69 67 136 5 c -1 -1 1 1 -1 -1 1 50 54 104 6 ac 1 -1 1 -1 1 -1 -1 81 85 166 7 bc -1 1 1 -1 -1 1 -1 46 44 90 8 abc 1 1 1 1 1 1 1 79 81 160

-120 -120 -120 120 120 120 -120 144 -144 -144 -144 -144 144 144 -108 108 -108 -108 108 -108 108 136 136 -136 136 -136 -136 -136 -104 -104 104 104 -104 -104 104 166 -166 166 -166 166 -166 -166 -90 90 90 -90 -90 90 -90 160 160 160 160 160 160 160

effect 23 -5 1.5 1.5 10 0 0.5 Total Error SS 2116 100 9 9 400 0 1 2699 64 DF 1 1 1 1 1 1 1 15 8 MS 2116 100 9 9 400 0 1 8 F 264.5 12.5 1.125 1.125 50 0 0.125

p-value 0.0000 0.00767 0.31981 0.31981 0.00010 0.73281

The Addition of Center Points to the 2k Design

• Assumption of linearity

• Interaction terms represent some curvature in the response function

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗

𝑘

𝑗=1

+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑗𝑖<

+ 𝜖

>> X1=-1:.1:1

>> X2=X1

>> [x1,x2]=meshgrid(X1,X2);

>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2;

>> subplot(2,2,1),surf(x1,x2,y)

>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x2;

>> subplot(2,2,2),surf(x1,x2,y)

>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1;

>> subplot(2,2,3),surf(x1,x2,y)

>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1-7*x2.*x2;

>> subplot(2,2,4),surf(x1,x2,y)

• When curvature is not adequately modeled by the first-order model

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗

𝑘

𝑗=1

+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑗𝑖<

+ 𝛽𝑗𝑗𝑥𝑗𝑗2

𝑘

𝑗=1

+ 𝜖

A method that will provide protection against curvature from second-order effect as well as allow an independent estimate of error to be obtained consists of adding center points to the 2k design

(- -) (+ -)

(- +) (+ +)

(0 0)

Suppose that the curvature test is significant so that we will have to assume a second-order model such as 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝛽11𝑥1

2 + 𝛽22𝑥22 + 𝜖

There are six parameters to estimate and the 22 design and center points have only five independent runs ⟹ augment the 2k design with four axial runs

Central Composite Design (CCD)

Blocagem

• Blocking

2 x 4

23 = 8 experimentos mistura homogênea

um reagente/material não é suficiente para a realização dos 8 experimentos

experimento

1

2

3

4

5

6

7

8

1

-

+

-

+

-

+

-

+

2

-

-

+

+

-

-

+

+

3

-

-

-

-

+

+

+

+

123

-

+

+

-

+

-

-

+

Bloco I 123 = -

experimento 1 2 3

1 - - -

4 + + -

6 + - +

7 - + +

experimento 1 2 3

2 + - -

3 - + -

5 - - +

8 + + +

Bloco II 123 = +

experimento 1 2 3

1 - - -

4 + + -

6 + - +

7 - + +

experimento 1 2 3

2 + - -

3 - + -

5 - - +

8 + + +

a idéia é confundir (confounding) a interação entre os três fatores, com a diferença nas misturas

variável 4 Blocagem

123 = 4

Operação Evolucionária (EVOP)

planta piloto

grande escala

condições ótimas

quando as mudanças não são grandes, ou bruscas

EVOP

pequenas mudanças no nível de operação das variáveis

2K pontos (centrado na melhor condição

experimental)

ciclo: após uma medida em cada

ponto vários ciclos

efeitos e interações podem apresentar

um efeito significativo na

resposta

mudar as condições de operação para

melhorar a resposta

fase é completada quando a melhoria

nas condições é completada

Planejamento Fatorial Fracionário

k fatores 2k experimentos

alguns efeitos são desprezíveis

fração dos 2k experimentos

• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou

o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos

principais e de interação

• Pode ser projetado em planejamentos maiores no

subconjunto dos fatores significativos

• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,

planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,

um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e

das combinações de interesse.

Redundância em um Planejamento

k = 7 27 = 128 experimentos

Quantos efeitos resultam?

combinações simples de n elementos tomados

k a k, sem repetição (elementos distintos)

𝑛𝑘

=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

média = 1

efeitos principais (n = 7, k = 1)

efeitos secundários (n = 7, k = 2)

efeitos terciários (n = 7, k = 3)

n = 7, k = 4

n = 7, k = 5

n = 7, k = 6

n = 7, k = 7

128 efeitos

71

= 7

72

= 21

73

= 35

74

= 35

.

.

. 77

= 1

Redundância e o Número de Efeitos

• se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à redundância em um fatorial 2k

• Fatorial 23-1

– Três fatores, dois níveis

• 23 = 8 experimentos

– Possível: 4 experimentos

• 23-1 = 4 experimentos

experimento

1

2

3

4

5

6

7

8

A

-

+

-

+

-

+

-

+

B

-

-

+

+

-

-

+

+

C

-

-

-

-

+

+

+

+

ABC

-

+

+

-

+

-

-

+

I

+

+

+

+

+

+

+

+

experimento ABC

1 -

4 -

6 -

7 -

experimento ABC

2 +

3 +

5 +

8 +

Gerador

ABC gerador

• ABC = +

• ABC = -

• I = ABC : relação de definição

Efeitos p/ gerador I = ABC

efeitos principais

experimento

2 a

3 b

5 c

8 abc

I

+

+

+

+

A

+

-

-

+

B

-

+

-

+

C

-

-

+

+

AB

-

-

+

+

AC

-

+

-

+

BC

+

-

-

+

ABC

+

+

+

+

efeitos de interação

não se pode diferenciar entre

– A e BC

– B e AC

– C e AB

• estimativas

o A = 𝓁A + 𝓁BC

o B = 𝓁B + 𝓁AC

o C = 𝓁C + 𝓁AB

ou

o 𝓁A A + BC

o 𝓁B B + AC

o 𝓁C C + AB

alias

Meia Fração

relação de definição I = ABC

multiplicando por A pela esquerda

A.I = A.ABC

A = A2BC A2 = I

A = BC

a meia fração I = +ABC é a fração principal

Efeitos p/ gerador I = -ABC

calcule os efeitos principais e os de interação

experimento

1 (1)

4 ab

6 ac

7 bc

I

+

+

+

+

A

-

+

+

-

B

-

+

-

+

C

-

-

+

+

AB

+

+

-

-

AC

+

-

+

-

BC

+

-

-

+

ABC

-

-

-

-

Construção das meias frações: 23-1

1. Montar o planejamento completo 2k-1

fatorial 22

experimento A B

1 - -

2 + -

3 - +

4 + +

fatorial 23-1 ; I = ABC

A B C = AB

- - +

+ - -

- + -

+ + +

fatorial 23-1 ; I = -ABC

A B C = -AB

- - -

+ - +

- + +

+ + -

2. Adicionar o k-ésimo fator de

acordo com o gerador

Resolução

I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1

I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1

I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1

...

Em geral, é o tamanho da menor palavra na

relação de definição

Projeção de frações em fatoriais

Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução

R, contém planejamentos fatoriais completos em

qualquer subconjunto R-1 de fatores

existem vários fatores de interesse

potencial, mas acredita-se que apenas

R-1 desses fatores têm efeitos

importantes

fatorial fracionário de resolução R

Exemplo: velocidade de filtração

A = temperatura

B = pressão

C = concentração de formaldeído

D = taxa de agitação

resposta: velocidade de filtração (gal/h)

fatorial completo 24 = 16 experimentos

experimento 𝒚

(1) 45

a 71

b 48

ab 65

c 68

ac 60

bc 80

abc 65

d 43

ad 100

bd 45

abd 104

cd 75

acd 86

bcd 70

abcd 96

A = 21,625

C = 9,875

D = 14,625

AC = -18,125

AD = 16,625

• Planejamento Fatorial Completo 24

experimento A B C

1 - - -

2 + - -

3 - + -

4 + + -

5 - - +

6 + - +

7 - + +

8 + + +

D = ABC y

- 45 (1)

+ 100 ad

+ 45 bd

- 65 ab

+ 75 cd

- 60 ac

- 80 bc

+ 96 abcd

– efeitos principais

A.I = A.ABCD

A = A2BCD

A = BCD

B.I = B.ABCD

B = AB2CD

B = ACD

C.I = C.ABCD

C = ABC2D

C = ABD

D.I = D.ABCD

D = ABCD2

D = ABC

• 24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

– interações de dois fatores

AB.I = AB.ABCD

AB = A2B2CD

AB = CD

AC.I = AC.ABCD

AC = A2BC2D

AC = BD

AD.I = AD.ABCD

AD = A2BCD2

AD = BC

fatorial 23 = 7 efeitos

o 3 principais

o 3 de 2ª ordem

o 1 de 3ª ordem

fatorial 24-1 = 7 efeitos

o 4 principais

o 3 de 2ª ordem

estimativa do efeito principal A

estimativa do efeito de interação AB

𝑦

45 (1)

100 ad

45 bd

65 ab

75 cd

60 ac

80 bc

96 abcd

𝓁A = 19

𝓁B = 1,5

𝓁C = 14

𝓁D = 16,5

𝓁AB = -1

𝓁AC = -18,5

𝓁AD = 19

como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca interação

entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD

Fatorial 24

• A = 21,625

• C = 9,875

• D = 14,625

• AC = -18,125

• AD = 16,625

Assim, tem-se um fatorial 24-1 projetado em um

fatorial 23, com os fatores A, C e D

(-) (+)

A

(+)

(-)

D (-)

(+)

C

45

80

75 96

60

100

65

45

AC: A(-) A(+)

• C(-) 45 65

• C(+) 80 60

AD: A(-) A(+)

• D(-) 45 65

• D(+) 45 100

com base na tabela do

planejamento, como fica

o cubo de respostas?

𝑦

45 (1)

100 ad

45 bd

65 ab

75 cd

60 ac

80 bc

96 abcd

• Modelo

𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 𝐴𝐴 + 𝛽 𝐶𝐶 + 𝛽 𝐷𝐷 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐶 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐷

𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 1𝑥1 + 𝛽 3𝑥3 + 𝛽 4𝑥4 + 𝛽 13𝑥1𝑥3 + 𝛽 14𝑥1𝑥4

𝑦 = 70.75 +19

2𝑥1 +

14

2𝑥3 +

16.5

2𝑥4 −

18.5

2𝑥1𝑥3 +

19

2𝑥1𝑥4

𝑦 = 70.75 + 8.5𝑥1 + 7𝑥3 + 8.25𝑥4 − 9.25𝑥1𝑥3 + 9.5𝑥1𝑥4

>> x1=-1:.1:1;

>> x3=x1; x4=x1;

>> [X1,X3,X4]=meshgrid(x1,x3,x4);

>> Y=70.75+8.5*X1+7*X3+8.25*X4-9.25*X1.*X3+9.5*X1.*X4;

>> slice(X1,X3,X4,Y,[-1. 1.],[-1. 1.],[-1. 1.])

>> xlabel("X1-Temperatura");

>> ylabel("X3-Concentracao Formaldeido");

>> zlabel("X4-Taxa de Agitacao");

>> colorbar on

Velocidade de filtração

(gal/h)

Fatorial Fracionário 2k-p

2k-p experimentos = 1

2𝑝 fração do planejamento 2k

2k-2 experimentos = 1

22=

1

4 fração de 2k

• p geradores independentes

• a relação de definição completa consiste de todas as

colunas que são iguais à coluna identidade, I

ex: k = 6, p = 2 26-2

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF

𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF • para A

A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF

A = A2BCE = ABCDF = A2DEF

A = BCE = ABCDF = DEF

• para AB

AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF

AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF

AB = CE = ACDF = BDEF

Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

experimento A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

E = ABC F = BCD

- -

+ -

+ +

- +

Summary tables of useful fractional factorial designs

Geradores