pertemuan 12 13 bab7 transportasi linier
Post on 16-Jul-2015
1.436 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 1/56
T R A N S P O R T A S I L I N I E R
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 2/56
7.1. PENGERTIAN TRANSFORMASI
Pandang 2 buah himpunan A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara
tertentu f, kita mengaitkan (menggandengkan, mengkawankan) setiap x E A
dengan satu dan hanya satu y E B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A ~
B.
Contoh (7.1) "
Misalkan A = [x., x2, X3},
B = fY I, Y 2 }
A B
Terlihat bahwa setiap x E A mempunyai satu pasangan y E B. Jadi f adalah
fungsi A ~ B.
Contoh (7.2) "
Terlihat bahwa tidak semua x E A, mempunyai pasangan, di sini X2 tidak
mempunyai pasangan. Jadi bukan fungsi.
A B
288
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 3/56
A B
Terlihat bahwa terdapat x E A, di sini XI mempunyai lebih dari satu pasangan,
yaitu Yl dan Y2 E B. Jadi juga bukan fungsi.
Catatan (l) :
Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riiI RI
(atau kompleks el) atau himpunan bagiannya, caralaturan pengaitan
umurnnya dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis. Hal ini sudah
cukup kita kenaI dalam pelajaran-pelajaran Matematik sebelum ini.
Catatan (2) :
Fungsi f : R I ~ R I dimana setiap X E R I dikaitkan dengan kuadratnya E
R 1 atau X E X2 atau f(x) = X2 untuk setiap X bilangan riiI. (Atau pula y =x 2).
Catatan (3) :
Himpunan A di atas disebut DOMAIN dan himpunan B disebutCODOMAIN dari fungsi f terse but.
Yang menjadi pokok pembicaraan kita di dalam bab ini adalah fungsi-
fungsi dimana domain dan codomainnya merupakan ruang vektor, pada
khususnya adalah R", ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan
bilangan riil (tetapi sedikit-sedikit disinggung pula e n atau ruang vektor lain).
Untuk ini, kita memilih menggunakan perkataan "TRANSFORMASI"
("MAPPING", "PEMETAAN") sebagai pengganti perkataan fungsi :
289
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 4/56
Contoh (7.3) :
Diketahui suatu transformasi T : R3 ~ R3 dengan rumus transformasi T[x.,X2, X3] = [2XI-x2, X2+X3, xl], untuk setiap x = [x., X2, X3] E R3. Vektor [2, 1,
-1] akan ditransformasikan oleh T menjadi : T[2, 1, -1] = [2.2-1, 1-1, (-If]
= [3, 0, 1].
Kita katakan : vektor [3, 0, 1] adalah peta dari vektor [2, 1, -1], sebaliknya :
vektor [2, 1,-1] adalah prapeta dari vektor [3, 0, 1].
Contoh lain: T[ 1, 0, 0] = [2, 0, 0]
T[4, -1, 7]=[9, 6, 49) dan lain-lain.
ZZ PERGANTIAN BAS5
Salah satu transformasi vektor yang penting adalah transformasi sebagai
akibat pergantian basis dari ruang vektor tersebut. Sehingga dalam hal 101,
sebenarnya vektor adalah tetap tetapi cara menyatakannya yang berubah.
Catatan (3) :
Kita pandang misalnya R2.
Setiap 2 vektor yang bebas linier selalu dapat dijadikan basi's. Vektor-
vektor yang membentuk suatu basis disebut vektor-vektor basis dari basis
tersebut. Setiap vektor E R2 dapat dinyatakan secara tunggal sebagai
kombinasi linier dari vektor-vektor basis.
a2a2
- - - - - - - - - - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ : : : : ~ ~ : ~ : : ~ ~ ~,,
p = ala, + a2a2
= I } , b , + 1 } 2 b 2
,,
:
"'==,.----~ ...../- ---------~I} I b I,,
--'ala
2 9 0
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 5/56
U2a2
,r ----- ___________ J~ :::~~
, p =ulal +~2
= ~lbl + ~2b2
Misalkan p E R2, terhadap basis {a., a2} adalah p = alai + ala2, sedang
terhadap basis lain {b., b2} adalah p :.: f3lbl + f32b
2.
Kita katakan : Koordinat b adalah [ ~] relatif terhadap basis (a., a2)
dan relatif terhadap basis {b 1 0 b2}.
",,,
""
(Boleh saja kalau kita menginginkan menulis koordinat tersebut secara baris :[a], a2J, [fit. 1 3 2 ] . Tetapi dalam pembicaraan mengenai transforrnasi linier dan
anal isis matriks lebih lanjut, penulisan vektor secara kolom lebih memudahkan
pembahasan).
Secara abstrak dapat dirasakan bahwa terdapat suatu transforrnasi R2 ~ R2
sebagai akibat perubahan basis {a., a2} menjadi {b., b2}, dimana salah satunya
adalah
Catalan (4) :
Selama ini kita selalu menggunakan basis dasar yang disebut basis natural,
disingkat basis {ej}, dengan vektor-vektor basis :
Untuk R", basis naturalnya terdiri atas n vektor-vektor :
29 1
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 6/56
1 ,e2= 0
o 1
o o
, ... ,
1
Vektor-vektor tersebut saling tegak lurus dan masing-rnasing panjangnya =1 satuan, disebut juga basis orthogonal. Di dalam Ilmu Ukur Analitik kita
kenaI sebagai basis dari susunan koordinat Cartesian.
Koordinat vektor v = [~] relatif terhadap basis {ed
Kalau dilakukan pergantian basis ke basis { f i }
1 1 = [ : ] ,/ Z = [ ~ ]
rnaka berlaku : 4 [~] + 5
[n=
diperoleh 4 - a } ~
5 : a + 2b
Contoh (7.4) :
artinya [ ~ 2 ] adalah koordinat vektor v relatif terhadap {fd.
Misalkan {ed adalah basis natural dan {fd basis yang lain dari R" dimana
berlaku hubungan :
f, = a"e, + a12e2+ + a'nen
f2 = a2,e, + a22e2+ + a2nen' .
i« = an,e, + an2e2+ + annen
(f! I f2 I ... I fn ) = (e, I e2 I ... I en) a" a2' an'
a'2 a22 ~2
DEFINISI:
292
a
b
+ b
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 7/56
Matriks P =
disebut matriks TRANSISI dari pergantian basis lama {ei} menjadi basis
bam {fd.
Ditulis pula P = pfe'
Jelas karena {fd basis, maka bebas linier sehingga matriks P mempunyaiinvers, p-I = Q, berarti :
(e , I e2 I ... I en) = (II I hi ... I In ) Q, sehingga Q merupakan matriks
transisi dari pergantian basis lama {fd menjadi basis bam {ed.
Contoh (7.5) :
Pandang dua buah basis R3 : {ed
dan {Ii} dengan vektor basis :
/1 ~ [ n ' h ~ U J ' J, = [ ~ ]
Hubungannya :
I = 1eI+ 1e2 + 2e3
h= 1eI + 1e2 + 0e3
h= le. + 0e2 + 0e3
Jadi P ~
li 1 ~Sedangkan : el = O il + Oh + lh
e2 = O il + h - h
e3 = 1/2f1 - 1/2f2 + Oh
Jadi Q =
l~I/~
1 _1~2
-1
Mudah diselidiki bahwa Q = p-I
293
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 8/56
Teorema (1) :
Jika M suatu titik di R'' berkoordinat (x ., X2, ... , Xn) relatif terhadap basislama {ei} dan berkoordinat (Yh Y2, ... , Yn) relatif terhadap basis baru {fi}
yang titik awal (nolj-nya adalah ti tik 02(C" C2, ... , Cn), maka berlaku :
=
Yn
dimana P adalah m atriks transisiP YI
Y2
(e I I e2 I ... I en) x I = (e 1 I e2 I ... I en) C1 + (f I I hi... I f n) YI
X2 C2 Y2
Bukti :
O IM = 0102 + 02M
Secara matriks :
= Xlel + X2e2 + + Xnen
= C Ie I + C2e2 + + Cnen + YIf 1 + Y2i2 + ... +Ynfn
Yn
Kalau P matriks tran sisi beraiti (e I I e2 I ... I en) P = ( f 1 I hi. . .f n).
2 9 4
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 9/56
Sehingga :
(e I I e Z I '" I en) X I = (e I I ez I .., I en) C I + (e I I e2 I ...' I en)p Y
Y n
= + P
Y n
Contoh (7.6) :
Diketahui suatu susunan koordinat Cartesian di RZ , Dibuat susunan koordinat
baru dengan vektor-vektor basis i,= [1, 2], fz = [2, -1] dengan titik awal yang
baru adalah titik C(2, 3), Tentukan matriks transisi P. Titik R berkoordinat (5,
4), berapa koordinat relatif terhadap { f i } ?
Iawab :
Koordinat Cartesian mempunyai basis natural eI= [1, 0]
ez = [0, 1]
f I= [1, 2] = II+ 2ez
fz = [2, -1] = 2el - le2
P =4 ----------------------::"
"/:
,,,,---------
R(3,4)
"
295
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 10/56
Y I + 2 Y 2 = 3 } ~2 Y l - Y 2 = 1
Titik R(5, 4) :
[ n = [n + D - m ~ ; lY l = 1y2 = 1
Jadi koordinat R relatif terhadap basis {fl} adalah (1, I).
Teorema (2) :
Vektor v berkoordinat [x [0 X 2 , . . . , xn] relatif terhadap basis {e;\ [ Y l ' Y 2 ' . . . ,
Y ] relatif terhadap basis baru {fd, rnaka berlaku :
Y l
= P Y 2 atau
Y n Y n
dirnana P adalah rnatriks transisi pergantian basis dari {ed ke (fd atau secara
singkat kita tulis :
ve = PVf ~ Vf = p-1ve
Bukti :
Caranya sarna seperti bukti Teorerna (1), hanya perubahan titik awal susunan
baru tidak rnembawa pengaruh apa-apa, karena di sini kita berbicara rnengenai
vektor, tetapi sarna apabila kita pindahkan sejajar.
Contoh (7.7) :
Kalau pada contoh (7.6) di atas diketahui vektor v = [4, 3] relatif terhadap
basis
{e, }, rnaka terhadap basis { f i } :
atau : Vf = [2, 1]
296
Y l + 2 Y 2 = 4
2 Y I - Y 2 = 3} ~ Y l = 2
Y 2 = 1
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 11/56
Catatan (5) "
Uraian di atas berlaku pula untuk pergantian basis ruang vektor yang lain.
Juga tidak untuk basis natural saja.
Z~ T R A N S F O R M A S I V E K T O R L I N I E R
DEFINISI,'
T : V ~ W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W.
Transformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :
(i) Untuk setiap v" V2E V T(v.) + T(v2) = 'I'(v, + V2), dan
(ii) Untuk setiap v E V dan A skalar berlaku AT(v) = T(AV).
Contoh (7.8) "
Diketahui T : R3 ~ R3 dimana :
T'{x, x2, x3] = [2X,+X2, x2, x3+1] untuk setiap [x, X2,X3]E R3.
T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat (i), misalnyatak terpenuhi. Ambil v, = [1, 0, 0], v2 = [1, 0, 1] maka T(v.) + T(V2) = [2, 0,
I] + [2, 0, 2] = [4, 0, 3], sedang T(v,+v2) = T[2, 0, 1] = [4,'0, 2].
Jadi T(v.) + T(v2) :;:.T(v,+V2)'
7.4. MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
Pandang T : R" ~ R'" suatu transformasi vektor linier.{ed, i = 1, 2, , n, basis natural dari R"
{EJ, i = I, 2, , m, basis natural dari R'"
Tte.), T(e2), ..., T(en) adalah vektor-vektor di Rm, sehingga merupakan kombinasi
linier dari {Ed
Misalnya : T(e,) = all E, + a2' E2 + + am' Em
T(e2) = a'2 E, + a22 E2 + + am2Em
(*)
297
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 12/56
all al2
[T]e a2l a22 berukuran (mxn);
DEFINISI:
Transpose dari matriks koefisien di atas :
disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnyamatriks transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {ei} dan
{ E d ·
Catatan (6) :
Kalau kita tulis secara kolom (*) di atas menjadi :
all al2 aln
a21 a22 a2n
= 1
o
o o 1
o1
o
o
= 1 [T], = [T],
Jadi kolom-kolorn dari matriks transformasi merupakan peta dari vektor-
vektor basis. Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari
298
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 13/56
vektor basis. Matriks transformasi ini secara lengkap menentukan transformasi
tersebut.
Teorema (3) "
Bila v = VI
V2
vektor (kolom) ERn, dan T : R" ---7 R'", suatu transformasi
linier dengan [T], matriks transformasi relatif terhadap basis natural (ditulis
secara kolom) maka berlaku :
Bukti :
T
w = T(v) = T VI
v2
=
= [T]ev
o
+
o
+ V2T
o
oo
o
T+ '"
V2
oo
o 1
299
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 14/56
= v,T(e,) + V2T(e2)+ ... + vnT(en)
= [T(e,) I T(e2) I '" I T(en)) v,
V2
= [T],v (terbukti).
Contoh (7.9) :
T : R3 --7 R3 suatu transformasi linier dimana Tjx], X2, X3] = [x., 2X2,
xj+xj], Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-
vektor basis. (Bila tak disebut apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis
natural).
T(e,) = T[I, 0, 0] = [1, 0, 1] = Ie, + Oe2+ Ie3
T(e2) = T[O, I, 0] = [0, 2, 0] = Oe, + 2e2 + Oe3
T(e3) = T[O, 0; 1] = [0, 0, 1] = Oe, + Oe2+ Ie3
o2
o
Peta dari [2, 3, 1] :~ o2
o
atau : [2, 6, 3].
Catatan (7) :
Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi
linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor
basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari sebarang
vektor yang lain dapat ditentukan.
300
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 15/56
Contoh (7.10) :
T : R 2 ~ R2 dimana diketahui :
[2.1] -4 [5, -2]
[-1, 1] L, [-1, 1]
maka untuk menentukan transformasi T tersebut kita mencari matriks
transformasi, kita tulis :
T[2, 1] = [5, -2] ~ 2T{l, 0] + IT[O, 1] = [5, -2] .... (**)
T[-I, 1] = [-1, 1] ~ -IT[1, 0] + IT[O, 1] = [-1, 1]
3T[1, 0] = [6, -3]
Jadi T[I, 0] = [2, -1], dan dari (**)
diperoleh T[O, 1] = [1, 0]
Jadi matriks rrr, = ~i ~ Jdan rumus transformasinya :
T [:;] = rrr, [ : : ]= =
7.5. RUANG PETA DAN RUANG NOL
T : R" ~ R'" suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di R'"
menjadi peta dari vektor di R",
Contoh (8.11) :
T : R2 ~ R3 dimana T[x., X2] = [X2, 0, x.],
Maka vektor [1, 1, 1] E R3 bukan peta dari vektor manapun di R2. Kalau
terjadi demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.
301
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 16/56
T : R" ~ Rill suatu transforrnasi linier, maka Irn(T) = {w I w = T(v), v E
Rn}, suatu hirnpunan bagian dari Rill, disebut RUANG PET A (IMAGE)
dari transforrnasi linier T.
DEFINISI:
Temyata bahwa Irn(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rill.
Catatan (8) :
Dapat terjadi bahwa 2 vektor atau lebih rnernpunyai peta yang sarna. Bilaterjadi dernikian, kita katakan bahwa transforrnasi tersebut "tidak satu-satu
(one-one)".
Contoh (7.12) :
T : R2 ~ R2 dirnana 'I'[x., X2] = [X,+2X2, 2x,+4x2]'
terlihat bahwa T[O, 0]
T[2, -I]
T[-8, 4]
= [0, 0]
= [0, 0]
= [0, 0]
dan lain-lain vektor lagi yang rnernpunyai peta [0, 0].
Jadi T tidak one-one.
DEFINISI:
T : R" ~ Rill suatu transforrnasi linier, rnaka Ker(T) = {v I v e R", T(v)
= O}, suatu hirnpunan bagian dari R", disebut RUANG NOL (KERNEL)
dari transforrnasi linier T.
Temyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R ".
Catatan (9) :
Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdirnensi nol (yaitu ruang vektor
yang anggotanya hanya vektor nolO).Anggota ruang nol, selain 0, rnungkin juga vektor *O.
302
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 17/56
Bukti :
bahkan Im(T) dan Ker(T) ruang vektor :
(*) - ° E Im(T) karena TO) = 0, jadi Im(T) - : t 0.
- Bila WI, W2 E Im(t) maka ada v,. v2 E R'' sehingga T(v.) = w, dan T(V2)
= W2, Jadi : w, + W2 = T(v,) + T(V2) = T(v, + v2)' Berarti (w. + W2) E
Im(T).
- A skalar, dan W E Im(T) maka ada vERn sehingga T(v) = w, Jadi AW
= AT(v) = T(AV). Berarti (AW) E Im(T).
Im(t) ruang vektor bagian dari R'".
(**)- T(O) = 0, berarti 0 E Ker(T). Jadi Ker(T) - : t 0.
Bila v" V2 E Ker(T). Maka T(vI) = T(V2) = o .
T(v,+vz) = T(v,) + T(v2) = 0 + 0. Jadi (v,+vz) E Ker(T).
- Bila A skalar, dan v E Ker(T) yang berarti T(v) = 0 maka T(AV) = AT(v)
= AO = O. Jadi (AV) E Ker(T).
Ker(T) ruang vektor bagian dari R".
Catatan (10) :
Kalau T : R" ~ R" mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur
sangkar) yang singular, T dikatakan transformasi yang singular, Kalau A
singular, transformasi dikatakan nonsingular.
Catatan (11) :
Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) = rankrA).Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah Tte.), T(e2, "" T(en) yang
membentuk ruang 'kolom dari A, Dengan perkataan lain :
Im(T) = L{T(e,), T(e2), ,." T(en)} , berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e,),
T(e2), "" T(en)} = rankt A),
Catatan (12) :
Dimensi Ker(T) = n - rankt A).
Mudah dilihat bahwa bila v E KerrT) maka T( v) = A v = 0,
303
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 18/56
T[ I, 0, 0] = [I, 2, 3]
T[O, I, 0] = [2, 0, 2]
T[O,O, I] = [I, 3, 4]
Susunan persamaan linier homogen Av = 0 mempunyai ruang jawab yang
berdirnensi n - rank(A), (Iihat kembali Bab VI). Dengan perkataan lain:mencari Ker(T) tak lain daripada mencari jawab susunan persamaan linier
homogen A v = O.
Contoh (7.13) :
Diketahui T : R' ~ R3 dimana :
T[x, y, z] :;:: [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]
Tentukan basis dan dimensi ruang pet a dan ruang noll
Kita tentukan dulu matriks transformasi A
()
2
: 2
Rank matriks A (secara kolorn)
[ i2 Il K
211-2)
[ i()
' : ]K ,,'" [
()
0
~ J-4 - : 2 ()
2 K I-I)-3 3 ()
31
()
I :
adalah = 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambrl {[I. 2, 31.
[0, I, I]}.
T di at as adalah transforrnasi yang singular.
Untuk mencari Kert'T) :
Misalkan v = [v., V2. V3] E Kert'T), maka Av = ( ) atau
2
o2
= n - rankt A)
=3-2= I.
304
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 19/56
Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :
cukup diambil 2 persamaan yang bebas :
v, + 2v2 + V, = 0 }
2v, + OV2 + 3v, = 0
Ambil 1 parameter, misalnya V2= /..,maka v, = -6/.., V3= 4/...
J adi v = /..[-6, I, 4]; Ker(T) mempunyai basis (-6, I, 4)
Atau Ker(T) = L{[-6, I, 4]}.
7.6. PRODUK TRANSFORMASI
Pandang 2 buah transformasi linier :
dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B.
(dimensi V" = n, dimensi w r = = r, dimensi u r n = m)
Setiap vektor v E V" oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian
hasilnya w E w r oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) =
(BA)v.
V E V" . . I t w E w r _ r , U E u r n
'-------ST I
v ~ u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks
transformasi BA.
ST disebut produk transformasi dari S dan T.
Contoh (7.14) :
T : R3 ~ R3 dengan T[x, X2, X3] = [2X2+X3, 3X,+X2+X3, X2] dan
R : R3 ~ R3 dengan Slx. X2, X3] = [2X,+X2+X3, x,+x3, 2X,+X2+2x3]
305
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 20/56
Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :
(ST)[XI, X2, X3 ] = S(T[X l ' X2, X3 ] = S[2X l+X3 , 3X l+X2+X3 , x2 1 =[2(2x2+X3)+ 1 (3 x 1 +x 2+ x3 )+ 1 (X2), 1 (2X2+X3)+ I (X2) , 2 (2 x2+X3 )+ I (3 x 1+x2+X3)+2(X2)]
= [3X l+6x2+3 x3 , 3X2+X3 , 3x 1+ 7X2+3x3 ]
dan matriks transformasinya,
[S'T]", =
[ ~6
~
3
7 3
Jelas [S]", = B =
U i J[T]", = A =
[~2
i Jdan [S'T]", = rS]ee[T]ee = BA.
Peta dari vektor v = [I, 0, 2] adalah ST[l, 0, 2] = [9, 2, 9J.
7.7. TRANSFORMASI INVERS
Pandang T : vn ----)yn suatu transformasi linier pada v", ruang vektor
berdimensi n. A matriks transformasi dari T.
Maka v E vn dipetakan menjadi w = Av E yn. Kalau rank/A) = n maka
jawab persarnaan w = Av adalah tunggal (unik); berarti setiap w merupakan
peta dari hanya satu v, dengan perkataan lain: tidak ada vektor E v» mempunyai
peta yang sama, sehingga transformasi T adalah one-one dan onto.
Pandang sekarang S : V" ----)V" dengan matriks transformasi B sedemikian
sehingga untuk v dan w di at as berlaku v = Bw. Kalau kita lihat produk
transformasi ST (dengan matriks transformasi BA) maka (BA)v = B(Av) = Bw
= v = Iv, I matriks identitas.
V EVn ----)W E vn
306
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 21/56
Transformasi linier yn ~ yn dengan matriks transformasinya matriks
identitas I, disebut transformasi identitas, berlaku Iv = v, untuk setiap v E
v » .
Juga produk transformasi TS (dengan matriks transformasi AB) memenuhi
(AB)w = A(BW) = Av = w = Iw. Karena berlaku untuk setiap vektor E V"
maka BA = AB = I.
DEFINISI:
DEFINISI:
Bila A dan B matriks-matriks transformasi dari trasformasi-transformasi
linier T dan S, dimana berlaku BA = AB = I, maka dikatakan: S adalah
transformasi invers dari T dan sebaliknya; ditulis S =11atau T = S-I, dan
matriks B = A-I atau A = B-1 •
Catatan (13) :
Suatu transformasi yn ~ yn, hanya mernpunyai myers bila matriks
transformasinya mempunyai invers (bila matriks nonsingular, determinannya
:;t: 0).
Contolt (7.15) :
Vektor w = [3, 1,01 adalah pet a dari v oleh transformasi T dengan matriks
transformasi
A =
o
Untuk mencari v, dapat kita cari dahulu transformasi invers 11 dengan
matriks transformasi
A I = [ ~
o
-1
307
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 22/56
7.8. TRANSFORMASI SIMILARITAS
Misalkan selain melakukan transformasi vektor T v n ~ w n kita juga
melakukan pergantian basis.
Perhatikan gambar berikut :
e E yn W E w m
pi=pe
IE v »W E w m
Dimana:
we = [T)Eev,
Wa = [T]<\ Vf
Vf = [pfe)-lve
wa = [P<>"E]-IWE
ve = vektor v relatif terhadap basis {ej}
vf = koordinat vektor v relatif terhadap basis {fl}
WE = koordinat vektor w, peta dari v, relatif terhadap basis {EI}
WC5 = koordinat vektor w, peta dari v, relatif terhadap basis {ad
pfe = matriks transisi basis lama {ej} ke basis baru {fl}
pC5E = matriks transisi basis lama {Ed ke basis baru {ad
[T)Ee = matriks transformasi relatif terhadap basis {e.] dan {Ed (basis-basis
natural}
[T)C5f= matriks transformasi relatif terhadap basis {fl} dan {ad (basis-basis
baru}
308
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 23/56
p~= p P' = pe
Catatan (13) :
WeJ
=[T]eJ
fVf
=[T]eJt<pfetlv
eWeJ= (peJErlwE = (PeJErl[T]EeVekarena berlaku untuk setiap Ve
maka [T]eJ<pfe)-I[T]Ee(Pfe).
Kalau transformasi T : V" ~ yn, dengan melakukan pergantian basis {ej} ke
{fd, menjadi :
[Tl~
[Tl\
Contoh (7.16) :
T : R2 ~ R2 dimana T[x, y] = [x+y, x-y]. Bila dilakukan pergantian basis
R2 menjadi {[1, 2], [2, 3]}, tentukan matriks transformasi sesudah pergantian
basis dan peta vektor [13, 2] sebelum dan sesudah pergantian basis.
T[1, 0] = [1, 1]
T[O, 1] = [1, -1]
f I = (1, 2] = 1e I + 2e2
fz = [2, 3] = 2el + 3e2
matriks transisi P = [ ~ ~ JI T - I = f - 3 2 1
L 2 - ~309
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 24/56
[- 3 2 l r t ~ [ 1 · 2 12 -~ L l - ~ 2 ~
[-11 -17J7 11
Peta dad v = [13, 2] sebelum pergantian basis adalah
Sesudah pergantian basis :
[-3 2 1 [ 1 5 ] = L 2 3 12 -~ 11 1~
atau boleh juga
Wf
=[TIff Vf
=[l1f~~lv,
= [ ~ - : T I [ ; - T I [ ' ; ] = [ ]
DEFINISI:
A dan B, matriks-matriks bujur sangkar berordo n. Apabila terhadap matriks
bujur sangkar P yang nonsingular berordo n sedemikian sehingga B = p-
lAP, maka dikatakan bahwa matriks B similar terhadap matriks A, atau
matriks B didapatkan dari A dengan suatu transformasi similaritas.
Catatan (15) :
Similaritas merupakan relasi yang ekivalen, dimana terpenuhi :
(i) A similar A, karena A = 1-' AI.
(ii) Bila B similar A maka A similar B, karena :
B = P-'AP ~PBp-l = PP-'APP-' ~ PBp-1 = Q-'BQ
dimana Q = p-I
310
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 25/56
(iii) Bila B similar A, C similar B maka C similar A, karena
B = p-1AP
C = Q-1BQ ~ C = Q-l(P-1AP)Q
= (PQt1 A(PQ)
R-1 AR, dimana R = PQ.
Catalan (16) :
Kalau A dan B similar dan merupakan matriks transformasi, maka A dan
B mewakili suatu transformasi yang sarna, hal mana mudah dijelaskan dari
Catatan (14), mereka masing-masing relatif terhadap basis yang berbeda,
dan matriks P merupakan mariks transisi kedua basis terse but.
7.9. AKAR DAN VEKTOR KARAKTERISTIK (EIGENVALUE DAN
EIGENVEKTOR)
DEFINISI:
A suatu matriks bujur sangkar. A skalar yang memenuhi persamaan (*) : Av =A V , untuk suatu vektor kolom v 1 = 0, maka dikatakan : A adalah suatu akar
karaktenstik dari A, dan v yang memenuhi persamaan (*) itu disebut vektor
karakteristik yang bersangkutan dengan A .
Contoh (7.17) :
Hitunglah akar karakteristik dari A =
Misalkan A skalar dan Y 0 [:;] vektor yang mernenuhi :
u ~ [ : ; ] O A [ : ; ] ~ [ ~ ; ] [ : ; ] - [ ~ ~ ] [ : : J 0 [~
[:;] 0 [~
(*) [ I - A 2 l
3 2 - J j
311
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 26/56
suatu susunan persamaan linier homogen, kita inginkan jawab nontrivial v * o .
jadi rank
[ ~ ~ A 2 ~ A J< 2
atau det [ 1 ~ A 2 J ~ 0
2-A
(persamaan ini disebut persamaan karakteristik).
atau (l-A)(2 - A) - 6 = 0
~ A2 - 3A - 4 = 0 ~ AI = 4, A2 = -1
Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, kita masukkan harga A
ke (*) :
Untuk AI = 4 :
2~ [::]
=
atau : -3vl + 2v2 = 0 I3v I - 2V2 = 0 Cukup diambil 1 persamaan :
-3vl + 2V2 = 0, pilih (2 - 1) = 1 parameter
Misalnya VI = 21l ~ V2= 31l = -1, jadi v = Il
adalah vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan A = 4. Dengan
cara yang sarna untuk 112= -1, diperoleh persamaan :
312
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 27/56
Catatan (17) :
Vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan suatu akarkarakteristik tertentu, membentuk suatu ruang vektor yang kita sebut
EIGENSPACE. Silahkan untuk dibuktikan.
Catatan (18) :
Kalau matriks bujur sangkar A di atas merupakan matriks transformasi dari
transformasi linier T, maka kita dapat mengatakan akar dan vektor
karakteristik dari A tersebut sebagai akar dan vektor karakteristik dari
transformasi linier T.
7.10DIAGONALISASI
DEFINISI:
Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat dibawa (direduksikan) ke
bentuk diagonal oleh suatu transformasi similaritas bila terdapat matriks
nonsingular P sehingga p-l AP = D, dimana D suatu matriks diagonal.
Syarat perlu dan cukup bahwa matriks ordo n A dapat dibawa ke bentuk diagonal
(similar dengan suatu matriks diagonal) adalah : A mempunyai n buah vektor
karakteristik yang bebas linier. Dalam hal ini bila VI adalah vektor karakteristik
yang bersangkutan dengan akar karakteristik ai' maka matriks P = lv, v2 .....
Vn] dan matriks
D = oo
o o
Contoh (7.18) :
Pandang matriks A pada Contoh (7.17).
Untuk l. = 4 didapatkan vektor karakteristik ~ [ ; ]
313
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 28/56
Maka P = 1 2 / ' " 13(}/"'13danD= [~
kita ambil salah satu, misalnya yang panjangnya = 1 yaitu :
[2/" '13J31"'13
dan untuk A . = -1, kita pilih
ke-2 vektor tersebut bebas tinier.
Silahkan diselidiki bahwa p-IAP = D.
7.11. TRANSFORMASI ORTHOGONAL
DEFINISI:
Transformasi tinier T : R" -7R" dengan matriks transformasinya A disebut
orthogonal bila T memetakan setiap v e R" menjadi T(v); tanpa mengubah
panjang (norm)-nya, dengan perkataan lain IT(v)1= Av = v ata (Av), (Av)
= v.v.
A disebut matriks orthogonal.
Jadi panjang suatu vektor tidak berubah bila dilakukan transformasi orthogonal.
Teorema (4) :
T : R" -7 R", dengan matriks transformasi A, yang orthogonal. Bila v" V2
vektor sebarang ERn, maka (AvI).(AvI) = VI.v2.
Bukti :
(vI + V2)·(VI+ v2) = VI.VI+ 2VI·v2 + v2·v2
-72VI.V2 = (VI + V2).(VI+ V2) - VI·vI - v2.v2
= A(vI + v2)·A(VI + V2)- (AVI)·(AvI) - (AV2)·(Av2)
= 2(AvI)·(Av2)·atau VI.V2 = (AVI)·(Av2)·
314
L
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 29/56
Teorema (5) :
Bila A matriks orthogonal relatif terhadap basis orthonormal maka det(A)
:::+1, atau -1.
Catatan (.1 9 ) :
Untuk basis yang orthonormal, yaitu basis yang vektor-vektor basisnyasaling tegak lurus dan panjangnya ::: 1; dengan perkataan lain basis {bj}
dimana berlaku :
b, .b I ::: 0 bila i "# j
::: 1 bila i::: j; dengan melakukan transformasi orthogonal, diperoleh
basis yang orthogonal pula.
Bukti :
Misalkan A ::: all al2 aln
a21 a22 a2n
Kita tahu bahwa kolom-kolom dari A adalah vektor kolom Ae], Ae2, ...,
Ae.; jadi :
ATA = all a2l anI all al2 aln
al2 a22 an2 a2l a22 a2n
= Ael·Ael
Ae2·Ael
315
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 30/56
= 1 0 0 karena Aej.Aej = ej.ej
0 0 = 1 bila i = j= 0 bila i '# j
0 0
Jadi ATA = I.
Maka det(A TA) = det I = 1 ~ det(A T).det(A) = 1 dan karena det(A T) = det(A)
maka (det(A)}2 = 1 atau det(A) = ±l.
Catatan (20) :
Pada matriks orthogonal dapat dicatat :
(i) Dot product suatu baris/kolom dengan baris/kolom itu sendiri = I.
(ii) Dot product suatu baris/kolom dengan baris/kolom yang lain = o .
(iii) Berlaku A-, = AT.
7.12. ROTASI
Pan dang matriks orthogonal A =
menurut Catatan (20) di atas, maka,
(I) a,? + a2? = 1 (kolom 1 . kolom 1).
(2) a,l + a222 = 1 (kolom 2 . kolom 2).
(3) a"a'2 + a21a22= 0 (kolom 1 . kolom 2)
Misalkan A = [COSO sin 8l
sin 0cos8J
maka (1) dan (2) ialah terpenuhi dan (3) : cosOsin8 + sinOcos8 = sin(O+8) =o
~ 0 + 8 = kn; (k = 0, ±1, ±2, ...). Cukup kita ambil untuk = 0 dan k = 1, berarti8 = -8, 8 = 1t - O.
316
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 31/56
Kita peroleh matriks orthogonal berordo. 2 :
Al = [ c o s o s i n O J ~ [ C O S O - S i n o J dan
sinn .cosn sinn cosn
A2 = [ C O S O S i n c n - O l J = [ C O S O S i n o ]sinn cos(1t-n) sinn -cosfz
Transformasi orthogonal dengan matriks transformasi AI
e,
~ ~ ~ : g J~ [:~~~
Terlihat bahwa transformasi berupa rotasi langsung sebesar n (arah
berlawanan jarum jam). Rotasi ini disebut rotasi langsung.
Det(AI) = l.
Matriks transformasi Az
317
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 32/56
koordinat titik relatif terhadap sistem koordinat lama
= [ Sinn]-cosfz
Terlihat bahwa transformasi berupa rotasi sebesar Q, setelah mernantulkan
e2. Maka rotasi ini disebut rotasi cermin.
Det(A2) = -I.
Catatan :
Kita dapat melakukan rotasi sistem koordinat; matriks transformasi
merupakan matriks orthogonal.
Kalau
relatif terhadap sistern koordinat baru (basil rotasi).an
Contoh (7.19) :
Suatu parabola y = x2
dirotasikan sebesar 3()O, bagaimana persamaannyasekarang ?
318
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 33/56
x x
o
Kalau kita pandang menurut sistem koordinat baru x'oy' maka parabola(setelah rotasi) mempunyai persamaan y' = (X')2.
Rumus rotasi [ ~ J =[COS30
0
-sin30~
[ > Jin30° cos30°
= [ ' / 2 ' - ' 3 - 1 / 2 J [~:]/ 2 1 / 2 ' - ' 3
atau
[ > J =[ ' / 2 ' - ' 3 I I J T [ X ] = [ 1 /2 '- ' 3 I I J [ ~ J/ 2 ~)3 y' - 1 / 2 1 / ~ ' - ' 3
y' = 1/2'-'3 x + I / ? y
y' = _I/?X + 1 / 2 ' - ' 3 y
Berarti : y' = (X')2 ~ - 1 / 2 X + 1 / 2 ' - ' 3 y = e / 2 ' - ' 3 x + 1 / 2 y ) 2~ 3x2 + y2 + '-'3 xy + 2x - 2'-'3y = 0, adalah persamaan parabola yang diminta.
Z1~ TRANSFORMASISIMETRIS
Suatu transformasi hnier T pada R" dikatakan suatu transformasi simetris
bila untuk setiap u, vERn berlaku dot product: u.T(v) = T(u).v. Matriks
transformasi dari suatu transformasi simetris, relatif terhadap suatu basis
orthonormal, merupakan matriks simetris.
319
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 34/56
Teorema (6) :
Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang
berbeda adalah saling tegak lurus (orthogonal).
Hal khusus :
Bila A simetris berordo 2 maka didapatkan 2 vektor karakteristik yang
saling tegak lurus dan panjangnya = 1 (vektor karakteristik yang
orthonormal).
Bukti :
Misalkan A; dan Aj akar-akar karakteristik dari A maka
AVi = Aivi (*)
AVj = AjVj.
Kalau A simetris maka ATVj = AjVj'lakukan conjugate transpose
~ (ATvj)H = (Ajv)H ~ vHJ A = AjVjH (**)
(AJ
: conjugate dari Ai)'
Kalikan (**) di kanan dengan Vidan (*) di kiri dengan VjH
vt AVi = AjVjHVidan vjHAvi = A;VjHVi
Berarti (Aj - Ai)VjHVi 0, kalau diambil i = j maka ..JVjHViadalah panjang Vj'
dimana IVjl * O.Jadf\ - Aj= 0 ~ 1j_:=Aj~ riil. Berarti setiap akar karakteristik
adalah riil. Bila diambil i " * j maka Aj - Aj " * 0, karena akar karakteristik yang
berbeda.
Maka vtvi = Vj,vi = 0, artinya saling tegak lurus.Kita khususkan sekarang untuk A berordo 2 :
A) dan 1.,2akar-akar karakteristik yang riil
Bila 1.,\ " * ~ jelas dari bukti di atas, terdapat VI dan V2yang saling tegak lurus
dan ambil yang panjangnya = 1.
Bila Al = ~ : Pandang persamaan karakteristik :
3 2 0
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 35/56
~ Diskriminan (all + a22)2- 4(al2a22 - all) = 0
~ (all - ad2 + 4all = 0; jumlah 2 bilangan non-negatif = 0, berakibat
masing-masingnya = 0, jadi all = a22dan al2 = O.Maka persamaan karakteristik
menjadi ,,} - 2aliA + al12 = 0 ~ Al = A2 = all
Semua koefisien dari persamaan (all - A)X+ Oy = = 0 )
Ox + (all - A)y = = 0 adalah no1.
Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik. Dapat dipilih 2 vektor
yang saling tegak lurus dan ambil panjangnya = I.
Catatan (22) "
Persamaan karakteristik dari matriks A berordo 2, bila A matriks simetris adalah
al2 I = 0 ~ A2 - (all + a22)A+ alla22 - a122
= = 0,
a22-A
, maka persamaan menjadi A2 - SA + D = = O.
Catatan (23) "
Sebagai kelanjutan Teorema (6) yang lalu, (di sini tidak dibuktikan) terdapat
teorema: A adalah suatu matriks yang simetris berordo n, maka meskipun
tidak semua akar karakteristik berbeda, selalu didapatkan suatu himpunann buah vektor karakteristik yang orthonormal (dan bebas linier).
Akibatnya:
Bila A matriks simetris berordo n, maka terdapat suatu matriks orthogonal
U, dimana UT = u',yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor karakteristik
(yang orthonormal), sedemikian sehingga UTAU = = D, D = = matriks diagonal
yang elemen-elemen diagonalnya adalah akar-akar karakteristik.
321
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 36/56
----------------- - - -
A=
[ ~tentukan matriks U sehingga UTAU = D.
Contoh (7.21) :
Bila kita hitung maka akar-akar karakteristik dari A adalah A . , = 8, ~ = 3
dan vektor karakteristik (yang panjangnya = 1) adalah :
[ 1 / ~ 5 J dan [ V ~ 5 ]2 / - . . . / 5 -1 / - . . . / 5
Maka U = [ 1 / ~ 5 2 / ~ 5 J ' suatu matriks orthogonal
2 / - . . . / 5 -11 - . . . / 5
UT = [ 1 I ~ 5 2 /~5 J ' dan D ~ [~ ~]/ - . . . / 5 - 1 1 - . . . / 5
Mudah diselidiki bahwa UT AU ::: 0
7.14. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA
7.22. Vektr - a mempunyai koordinat [2, 3] relatif terhadap basis {f, = [3, 1],
fz = [1, -3]}. Carilah koordinatnya relatif terhadap basis natural {e, = [1,
0], e2 = [0, 11 } dan juga relatif terhadap basis {g, ::: [1, 1], g2 ::: [0, 2]}.
Penyelesaian :
a = [2, 3] relatif terhadap {II} berarti :
a = "fl + 312::: 2[3,1] + 3[1, -3] = [9, -7] relatifterhadap basis natural.
Terhadap basis [g.] : rnisalkan koordinatnya [a, b] berarti : [a, blg = a[l,
1] + b[O, 2] = 9[1, 0] - 7[0, I] atau : [a, a+2b]::: 9, -7],jadi a = 9; a-i-Zb
::: -7 atau b = -8.
Koordinat a relatif terhadap {gil: [9, -8Jg.
7.23. Carilah matriks transisi dari perubahan basis tel ::: [1,0], e2::: [0, I]} ke
basis baru {ft ::: [1, IJ, ii= [I, 2]} dan sebaliknya dari { I d ke {el}'
322
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 37/56
J adi matriks transisi dari {el) ke (fd , Pet = [ :
e, = [1,01 = a[l, 11 + b['!, 2] = [a+b, a+Zb]
e2 = [0, I] = e[l, I] + d[l, 2] = [e+d, e+2d].
=P
Penyelesaian :
i, = [I, I] = 1[1,0] + 1[0, I] = Ie, + le21 2 = [1, 2] = 1[ 1,0] + 2[0,1] = Ie, + 2e2'
Kita eari a, b, e, dan d' a + b = 1 dan a + 2b = 0, jadi a = 2 , b = -I.
e + d = ° dan c + 2d = 1, jadi e = -I,d = Ie2 = -II, 2] + [I, 21 = -f, + f2
e, = 2[1, I) - [I, 2J = 2 f, - f2 .
Matriks transisi dari {ill ke fed adalah r = , = [=1 -I~ = Q
Jelas bahwa PQ = QP = I.
7.24. Tunjukkan bahwa transformasi berikut linier :
(i) T[x" X2] = [X2, x .]
(ii) Tl x.; X2) = [X,-X2, xrxd
Penyelesaian :
Untuk setiap = [v. V2] dan w = [WI, W2] E R2 dan A suatu skalar, selalu
berlaku :
(i) T(v+w) = T[v,+w" v2+w2]
= [v2+w2, v,+w,]
= [V2' v.l + [w2' w.l
= T(v) + T(w) dan
T(AV) = T[AV" AV2] = [AV2, Avd
= A[v.. v2]
= AT(v).
Jadi T linier.
(ii) 'I'(v-sw) = T[v,+w" v2+w2]
= [v,+W,-VrW2, v2+wrv,-wd
= [V,-v2, vrv,] + [W,-w2' w2-wd= T(v) + T(w).
3 2 3
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 38/56
_ - -
T(AV) = T[AV» AV2]
= [AVI-AV2,AVrAVd
= A[VI-V2, VrVI]
= AT(v).
Jadi T linier.
7.25. Diketahui di R3 transformasi linier T yang menstransformasikan :
T[I, 0, 0] = [I, 1,0], T[O, 1,0] = [2, I, -I], T[O, 0, I] = [I, 2, 3].
Carilah :
(i) Matriks transformasi linier T relatif terhadap basis:{el = (I ,0,0], e2 + [0, I,0], e) = [0,0, I J }
(ii) Peta dari vektor [3,2, I]
(iii) Peta dari garis g : x = [3,2, I]T + A [ I,2,3JT.
Penyelesaian:
T[I, 0, 0] = [I, I,0]
T[O, I, 0] = [2, I, -I] =T[O ,O , I] = [I, 2, 3 ]
= lei + le2 + O e2
2el + lei - Ie)
= lei + 2e2 + 3e3
Matriks transformasi
-I
2
Jadi peta dari [3, 2, I] :
2 atau [8, 7, I].
-I
Peta dari garis g: x = [3, 2, l]T + [1, 2, 3]T adalah y =A[3, 2, I]T + AA[1,
2, 3]T = [8, 7, I]T + A[8, 9, 7]T.
7.26. Carilah matriks transforrnasi linier T di R2 yang didefinisikan sebagai
berikut :
(i) T(v) = T[x, y] = [2y, 3x-y],(ii) T[x, y] = [3x-4y, x+Sy], relatif terhadap basis natural {el}.
324
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 39/56
Penyelesaian :
(i) Karena relatif terhadap basis {e.] kita transformasikan vektor-vektorbasis terse but :
Tre.) = T[ l . 0] = [0, 3] = Oe. + 3e2
T(e2) = T[O, I] = [2, -I] = 2e, - e2
[ T ] \ =
(ii) T(e,) = T[I, 0] = [3, I] = 3e, + e2
T(e2) = T[O, I] = [-4,5] = -4e, + 5e2
[TJ\ ~ Q ~
7.27. Diketahui sebuah transformasi Iinier T : R3 ~ R\ dimana T'[x, y, z] =[x+2y-z, y+z, x--y-Zz]
Carilah basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nolnya !
Penyelesaian :
Ruang peta adalah ruang yang dibentuk oleh 'I'(e.), T(e2), T(e3) yaitu :
T(e.) = T[I, 0, 0] = [1,0, I], T[e2) = T[O, 1,0] = [2,1, 1], dan T(e3) =T[O,O, 1] = [-1, 1, -2].
Ruang peta adalah L{[I, 0, I], [2, 1, 1], [-1, 1, -2])
Untuk mencari basis dan dimensi L kita cari rank matriks transformasi :
A =
2
2
- I JK (-')
U2
- ~ ]K (3)
32 3'
-2 -3
~ ]Jadi dimensi ruang kolom dari A = 2, berarti juga dimensi dari Im(T) =
2 dan basisnya boleh kita pilih {[ 1, 0, 1], [2, 1, I)}.
325
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 40/56
=
[ ~2
-~
-2
yaitu = 2. Jadi dimensi ruang jawab
= n-r=3-2=1.
Ruang nol kita cari sebagai berikut :
Misalnya v = [v). V2, v3] E Ker(T) berarti T[v). V2, v3J = [0, 0, OJ ~
[vl+2vrv), v2+v), vl+Vr2v3J = [0, 0, 0].
Diperoleh susunan persamaan linier homogen :
VI + V2 - v) = 0 I2 + v) = 0
VI + V2 - 2v3 = 0
Kita harus mencari dimensi dan basis dari ruang jawab susunan persamaan
di atas. Kita cari rank matriks koefisien A
berarti juga dimensi ruang nol (kernel) dari T tersebut = I.
Cukup kita pilih 2 persamaan saja :
v I + 2V2 - V3 = 0
V2 + V3 = 0
dan kita tentukan sebuah parameter, misalnya V2= A, jadi V3= -A dan VI
= -3A atau ruangjawab: v = A[-3, 1, -1]. Sehingga Ker(T) = L{[-3, 1,
-I]} dan basisnya boleh dipilih [-3, 1, -IJ.
7.28. Diketahui transformasi-transformasi linier T dan S di R2 sebagai berikut
: T[x, yJ = [0, x] dan S]x, y] = [y, x].
Carilah peta dari a = [2, 1] terhadap produk transformasi sebagai berikut
: (i) ST; (ii) TS; (iii) S2.
Penyelesaian :
Kita boleh mewakilkan transformasinya (kita sebut A dan B).
326
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 41/56
Maka:
T[1, 0] = [0, 1] Jadi A =
[~~[O, 1] = [0, 0]
S[I,O] = [0, 1] Jadi B = [~~[O, 1] = [1, 0]
(i) ST: BA =
~ ~ [~~
= [~~
BAa =
~ ~W= [ ~ J
atau [2, 0]
(ii) TS : AB =
~ ~ [~~
= [~~
ABa =
~ ~ [i] = [ ~ J atau [0, 1]
(iii) S2 : B2 = [ ~~ ~ ~ J = [~ T I
=
S2 adalah transformasi identitas.
Jadi S2(a) = Ia = a = [2, 1].
7.29. T adalah suatu transformasi linier di R3 yang didefinisikan sebagai : T[x,
y, z] = [2x, 4x-y, 2x+3y-z].
(i) Tunjukkkan bahwa T mempunyai invers
(ii) Carilah rumus untuk transformasi invers tersebut
Penyelesaian :
(i) Untuk membuktikan bahwa T mempunyai invers, cukup kita buktikan
bahwa matriks transformasinya A mempunyai invers (detertninannya
;t: 0).
T[I, 0, 0] = [2, 4, 2], T[O, 1, 0] [0, -1, 3], dan T[O, 0, 1] =[0, 0, -1]
Jadi A = [~ _~
dan det(A) = 2 ;t: °
3 2 7
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 42/56
O J [ ' / 2= 2
-2 7
Jadi A mempunyai invers.
(ii) Kita cari A-' =
adj.A ~ 0- - - = '/2 4 -2
det(A) 14-6
o-1
-3 -~
jadi peta dari sebarang vektor [r, s, t] E R3 :
D ' = 1D ~
.30. A =
O ~ l r J [ 1 / 2 r ls = 2r-s
-1 t 7r-3s-t
adalah matriks suatu transformasi linier T.
Carilah matriks transformasi relatif terhadap basis {f, = [1, 3], fz =[2, 5]}.
Penyelesaian :
= atau [7, 15]
= [ i~] atau [12, 26]
Koordinator-koordinator di atas adalah relatif terhadap basis {(e,)};
(*) [7, 15] = a[l, 3] + b[2, 5] = [a+Zb, 3a+5b] atau : a + b = 7 dan 3a+ 5b = 15, a = -5, b = 6.
(**)[12,26] ,; c[l, 3] + d[2, 5] = [c+2d. 3c+5d] atau : c + 2d = 12 dan
3c + 5d = 26, c = -8, d = 10.
328
- 8 ll~
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 43/56
7.31. Diketahui T : R3 ~ R3 dimana [1,0,0]
[0, 1, 0][0, 0, 1]
~ [2, 1]
~ [5,-4]~ [-3,7].
Ditanya :
(i) Matriks transformasi relatif terhadap basis-basis natural dari R3 dan
R2.
(ii) Matriks transformasi relatif terhadap basis
{fl = [1, 1, 1], f2 = [1, 1, 0], = [1, 0, O]} dari R3 dan basis {gl =
[1, 3], g2 = [2, 5]} dari R2
(iii) Tentukan peta vektor v = [2, 1, 1] sebelum dan sesudah pergantian
basis.
Penyelesaian :
(i) Secara mudah [T]Ee = 5
-4 -~
(bila [e.] basis natural dari R3 dan {Ed basis natural dari R2).
(ii) [T]gf = (pgE)-I[T]Ee(pfe)
gl = EI + 3E2
g2 = 2EI + 5E2
Pg -E -
f I = e I + e2 + e3
h= e I + e2 + Oe3
i3 = e I + Oe2+ 0e3
I
°
329
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 44/56
Maka [T]g, =
[ - i .~5
- ~ I : ~
-40
= h 2 -41 - : ]4
(iii) Sebelum pergantian basis peta dari [2, I, II adalah
D5
- ~ Jl : J=
[ ~4 =
Sesudah pergantian basis :
5
-4 - ; I ' : J c L ~ ~ J
~I
7.32. Cari lah sernua akar karakteristik dan
-6
dan basis dari masing-masing ruang vektor karaktensuknya (eigenspace).
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya :
[
1-t3
6
-3
-5-t
-6
3 J4-t
= 0 atau (t+2)2(t-4) = ( )
Jadi akar-akar karakteristiknya t} = t~ = -2, t, = 4
Untuk t = -2 kita mencari vektor-vektor dan ruang karaktcnstiknya sebagai
berikut : A v = tv atau :
-3
-5
-6
3 3 0
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 45/56
atau : 3v I - 3V2 + 3 v3 = 0 }
3v I - 3 v2 + 3 v3 = 06v I - 6v2 + 6v3 = 0
rank = I, cukup kita ambil atau persamaan 3vI - 3V2 + 3v3 = 0 atau V I
- V2 + V3 = o .
Kita pil ih n - r = 3 - 1 = 2 parameter, kita peroleh ruang jawab v = )"[1,
1,0] + 11[1, 0, -I]; ).., 11sebarang bilangan.
Ruang jawab tersebut adalah ruang karakteristik (eigenspace) yang dibentuk
oleh dua vektor karakteristik yang bebas l inier [I, I, 0] dan [I, 0, -I]yang boleh dipi l ih sebagai basisnya. Untuk akar karakteristik t = 4 .
Aw = tw =
U-3
n l : : J = 4 l : i l5
-6
atau : -3w l - 3W2 + 3w3 = 0
IwI - 9W 2 + 3w3 = 0
6w I - 6W 2 =0
Kita cari rank , t ~ -3
~
H (-I)
L ~-321
-9 -6
-6 -6
L i-3
~
-6
0
Ielas rank = 2, cukup kita ambil 2 persam aan :
-3w l - 3W2 + 3w2 = 0 ~ W I + W2 - W 3 = 0
6w I - 6W 2 = 0 ~ W I - W2 = 0
K ita arnbil parameter W I = 11,W2 = WI = 11dan W 3 = 2 1 1 ·
Ruangjawab: w = 11[1, 1,2]. Jadi, ruang karakteristik (eigenspace) untuk
akar karakteristik t = 4 berdimensi satu dan dibentuk oleh vektor
karakteristik [I, I, 2].
331
- - ----------
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 46/56
7.33. Matriks = -3
-5
-6
pada soal 7.32. yang lalu adalah diagonalisabel (dapat dibawa ke bentuk
diagonal) oleh transformasi similaritas, karena didapatkan 3 vektor
karakteristik yang bebas Iinier yaitu :
Maka kalau P =
dan D =
° ~I
m ~ ~ [ i ]°
~
L ~
°~
t2 = -2
° °berlaku D = P-'AP (silakan diselidiki).
7.15. SOAL-SOAL LATIHAN
7.34. Carilah matriks transisi dari perubahan basis:
(i) Basis {e, = [I, 0], e2 = [0, I]} ke basis {f, = [2, I], h= [3, O]} dan
sebaliknya dari {f\} ke {e;}(ii) Basis {e, = [I, 0, 0], e2 = [0, 1,0], e3 = [0, 0, I]} ke basis {f, =
[1,0,0], f 2 = [I, 1,0], f3 = [I, I, I]}.
(iii) Basis {f, = [I, 2], h= [2, 3]} ke basis [g. = [2, I], g2 = [4, 3]}.
Iawab :
(i) [ ~ ~ J [ ~ , - , : J
332
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 47/56
(ii)
(iii)
7.35. Kalau vektor-vektor berikut mempunyai koordinat yang relatif terhadap
basis {eI= [I, 0], e2 = [0, I]}, carilah koordinatnya relatif terhadap basis
{fl = [2, 1], f2 = [3, OJ} (pakailah matriks transisi dari soal 7.34. (i) di
atas) :(i) a = [2, 1],
(ii) a :: [5, 4J.
Iawab :
(i) [1, 0], (ii) [4, -I].
7.36. Vektor-vektor berikut mempunyai koordinat yang relatif terhadap basis
i,::I, 2J, h::[2, 3], carilah koordinatnya relatif terhadap basis gl =[2, 1], g2 :: [4, 3]. [pakai matriks transisi pada soal 8.34. (iii):
(i) [2, 2],
(ii) [0, IJ.
Iawab :
[-11, 7], [-3, 2].
7.37. Diketahui suatu susunan koordinat Cartesian di R2. Dua vektor f l = [2,
IJ dan h = [-1, 2J titik awalnya berimpit dengan titik (2, 2) dan kita
bentuk susunan koordinat baru dengan vektor-vektor basis i,dan h·(i) Periksa apakah susunan koordinat baru tersebut tegak lurus.
(ii) Carilah koordinat titik R(12, 7) relatif terhadap susunan koordinat
baru tersebut.
(iii) Carilah koordinat vektor a = [3, 1], relatif terhadap basis baru.
(tv) Bagaimana bentuk persamaan garis y = x relatif terhadap basis baru?
Iawab :
(5, 0), Cis , I/s),x' = 3y'.
333
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 48/56
7.38. Apakah transformasi ini linier :
(i) [x.,X2] ---- t [x I+I, X2]
(ii) [x., X2, x3 ) ---- t [x-, XI -Xz, -X2];
(iii) [x., X2, X3] ---- t [0, 0, 0];
(v) [x., X2] ---- t [x ., X2, X2]
(v) [XI, X2] ---- t [XI2, x/l
(vi) [x ., X2] ---- t 12xI - X :? ' x .]
Jawab : tidak ; linier, linier, tidak, tidak, linier
7.39. Carilah matriks transformasi dari transformasi-transformasi berikut reJatif
terhadap basis natural, dan relatif terhadap basis {f I = [J, 2], i: = [2, 3 J }
bila : (i) T(x) = 2x, pada R2; (ii) T[x, y] = 12x-3y, x+yJ; (iii) T[x, y] =
[5x+y, 3x-2y]
Iawab :
[~ ~] r U~L - J 1
2 5 J-15
- 3 9 ]2~
7.40. Diketahui T suatu transforrnasi linier pada R' dirnana :
[3, 7, 2] ---- t [10, 9, 12];
[1,2, \] ---- t [3, 3, 4];
[4, 5, 3] ---- t [9, 8, 12l;
CariJah matriks transformasi, peta dari bidang V : r = 10, O. -I] + A I \ ,
1, I] + ).1[2,3, I].
Bila dilakukan pergantian basis ke {f I = [I, 0, 0], h= [I, 1, 0], f3 = [I,
1, 11}, bagaimana matriks transformasi dan peta dari bidang V di atas
relatif terhadap { f , } ?
Iawab :
l i : J
U~12 ~~
r' = [0, -I, -I] + A12, 2, 3] + [5,4; 6];
ff' = [1, 0, -1] + A[O, -\,3] + ).1[1,-2, 6]
334
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 49/56
(ii) 6x' - y"'./7 = °
7AI. Diketahui sebuah transformasi linier pada R2 yang mentransformasikan
suatu ellips dengan persamaan x2/9 + y2/7 = 1 menjadi lingkaran X'2+
s"= 1. Carilah : (i) matriks transformasinya: (ii) peta dari garis y = 2x.
Iawab :
(i) [ 6 ' 1 / ~ 7 J
7A2. T adalah transformasi linier di R3 :
T(el) = el + e2 + e3; T(e2) = el - e2 + e3; T(e3) = el - 3e2 + 3e2, dimana
el = [1,0,0], e2 = [0, 1,0], dan e3 = [0,0, 1].
(i) Carilah matriks transformasi relatif terhadap basis {el}
(ii) Carilah ruang peta dan ruang nolnya
Iawab ;
-I-~
, R3 , L{O }
7.34. A adalah matnks transformasi dari T di R2.
(i) Apakah transformasi T singular?
(ii) Carilah basis ruang peta dan ruang nol dari transformasi tersebut.
(Jawab : Ya; [2, 4], [3, -2]).
7A4. Canlah transformasi linier a yang ruang petanya dibentuk oleh vektor-
vektor : u . 2, 3] dan [4, 5, 6].
Iawab :
4
5
6
A dan 11sebarang.
335
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 50/56
7.45. Diketahui transformasi-transformasi linier T] :" [y], Y2 ,Y 3 ] = [2x]+3x2+X3,
5XI+X3 , X2+X3 ], T2 : [z., Z 2, Z 3] = [Yb Y 2+Y 3, yd·
Carilah (i) matriks transformasinya, (ii) matriks dari produk transformasi
TzT], (iii) peta dari [1, 1,0] terhadap T2T], (iv) apakah T2T] mempunyai
invers?
Iawab :
(i)
[ ~
3
U
,
[ ~0
! ]1
1 0
(ii) [~3
~
2
3
(iii) [5 , 6, 5]
(iv) tidak
7.46. Diketahui matriks transformasi :
A= [~~
B= [~ ~ Jdari dua transforrnasi Iinier di R Z . Carilah peta dari a = [I, 1] terhadap
produk transformasi : (i) AB, (ii) BA, (iii) A2, (iv) B2.
Iawab :
[7, 11]; [10,8]; [11, 13]; [8,4]).
7.47. Apakah transformasi-transformasi berikut mempunyai mvers, bila ada
carilah matriks transformasi inversnya. (i) T(x) = 3x di R2, (ii) T(x, y] =
[1, x+y], (iii) T[x, y, z} = [x+y, x-z, y].
Iawab :
O J '{3
336
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 51/56
A= oo1
7.48. y = [2, 0, 1) adalah peta dari x dengan suatu transformasi Ax = y dimana
Carilah x terse but.
Iawab :
[1, 1, 1).
7.49. Diketahui {g I> g2} adalah suatu basis dari R2 dan T adalah transformasi
linier di R2 : T(gj) = 3g1 - 2g2 dan T(g2) = gl + 4g2.
Kalau {h I> h2} basis lain dari R2 sehingga hi = gI+ g2 dan h2 = 2gI+
3g2, carilah matriks transformasi dari T relatif terhadap basis {hi}'
Iawab :
1~
-~
7.50. Bila A similar B, buktikan :
(i) A2 similar B2
(ii) det(A) = det(B).
(iii) akan karakteristik mereka sarna.
7.51. Carilah akar-akar karakteristik dan vektor-vektor karakteristik yang
bersangkutan dari matriks berikut, apakah matriks diagonalisabel?
(i) Q ~ (ii) D ; ] (iii) D - ~Iawab :
( i ) 1 = 5, 11[1, 1), ~ = -1, 11[2, -1], ya; (ii) 1 . . 1 = 4, 11[1, 1], ~ = 1, 11[2,
-1], ya; (iii) A . = 4, 11[1, 1], tidak.
7.52. Carilah 2 vektor karakteristik yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus
dari transformasi simetris berikut :
337
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 52/56
--------------------------- -- --
(i) [~
Iawab :
(ii) [ 7 --JI0J
--JI0 4
[2 , 1+ --J5 ]
(i) 2 + ..)5, ----r======;=--
-/IO + 2..)5
[2, 1-..)5]
2-..)5, --;:===:::::;=---/IO - 2..)5
(iii) A I = 9, [5 17 , 2 1..)1 4], A 2 = 2, [ . . )217,-51. . )35]
7.53. Carilah akar karakteristik dan basis ruang karakteristiknya, dari
transformasi linier dengan matriks transformasi :
Iawab:
1
1
°~ (H) r ~ 4
-23
3
(i) A = 1, {[1, 0, 0], [0, 0, I]}, tidak diagonalisabel
(ii) x , = 1, {[3, 0, -4]}; A 2 = 3, {[4, 1, 3]}; A 3 = -24, {[4, -25, 3]},
diagonalisabel.
7.54. Sebuah bujur sangkar dibatasi oleh vektor-vektor [1, 0] dan [0, 1]
ditransformasikan menjadi sebuah jajaran genjang yang dibatasi oleh
vektor-vektor [3, 0] dan [1, 2]. Carilah matriks transformasi dan determinan
matriks transformasi tersebut. Tunjukkan bahwa determinan tersebutmenyatakan perbandingan luas antara peta dengan prapetanya (jadi
perbandingan luas antara jajaran genjang bujur sangkar).
Iawab :
[~ ~]
338
, 6, luas bujur sangkar = 1, luas jajaran genjang = 6.
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 53/56
Iawab : 8
7.55. Dengan cara sarna seperti 7.54. hitung isi bidang ernpat yang bertitik
sudut di (0, 0, 0), (1, 0, 0), (5, -3, 1), (-7, 1, 5).
7.56. Titik K berkoordinat (1, 1) pada sistern koordinat Cartesian di R2. Apabi1a
dilakukan rotasi sistern koordinat sebesar 30°, berapa koordinat K
sekarang? Bagairnana persarnaan ellips x2 + y2/4 = 1 re1atif terhadap
sistern baru?
Iawab :
('/2+ 1/2--J3_1/2+1/2--J3),13x'2 - 6x'y'--J3 + 7y'2 = 16.
7.57. T: R3 ~ R3 rnernproyeksikan sernua vektor-vektor di R3 ke bidang y -
z = O. Tentukan rnatriks transformasinya dan proyeksi vektor [2, 6, 4].
[2, 5, 5]
7.58. Diketahui suatu transforrnasi dari bidang XY ke bidang UV dengan rurnus
transforrnasi :
u = x2 _ y2 }
V = 2xy.
Apakah transforrnasi ini linier ? Tentukan dan garnbar peta dari daerah
yang dibatasi oleh garis x = 1, Y = 1, x + Y = 1.
Iawab ,
tidak; daerah yang dibatasi parabola-parabola u = I - v2/4, u = -1 +
y2/4' V = (l-u2)12.
3 39
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 54/56
--------------- --
Hitung akar dari :
Q , = [ 5 ;~ , Q 2 =
l !
1
n5
5
Iawab :
R, = [~
~
R2 = r ~ 0 J
7.59. Suatu matriks simetris Q disebut definit positif apabila semua akar
karakteristiknya positif. Bila Q definit positif maka terdapat matriks definit
positif R = UD 1I 2UT dimana D = UTQU matriks diagonal dan D"2 matriks
diagonal yang elemen diagonalnya Ai"2; sedemikian sehingga R2 = Q .
Buktikan ! (R disebut akar dari Q).
340
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 55/56
CONTOH PROGRAM Bab 7
MENCARIPETA , "
10 'pro gram m en cari peta
20 CLS :INPUT"b an ya k b aris matriks t ransformasr~p30 , INPUT"b an ya k -k o lom matrik s tra ns fo rmas i";Q
40 D IM A (P ,Q ) ,B (Q ) ,C (P )
50 PRIN T:PR fN T"E LEMEN MATRIK S TRANSFORMASI :.:PRlN'r;~'
60 FOR I ::: 1 TO P : FOR J=1 TO Q: . > ' "
PRIN T"BAR IS ";l;KO LOM ";J ;;J ;:J NPUT A (I.J ):N EXT J ,J70 PRINT :PR INT"ELEMEN VEK TOR Y ANG DIPETAK AN:":PR1 NT '
80 FOR J ::: 1 TO Q : PRINT"BAR1S" ;J ; : lNPUT 8(J) :NEXT J90 FOR I ::: 1 TO P
100 C(I):::O
110 FOR K=1 TO Q120 C(I) = C(J) + A{I,K ) ,. B(K )
130 NEXT K
140 NEXT I
150 'm en cetak PEJ A
160 CLS :PRINT"VEKTOR PETA:" :PRINT170 FOR I ::: 1 TO P
180 PRINT USING "# # # # , # ";C (I)
190 NEXT 1
200 END
CONTOH SOAL
ROTASIVEKTOR
10 'pro gram m en cari peta akibat rotasi
20 CLS:INPUrSUDUT ROTASr;p
30 INPUT"VEK TOR Y ANG DlROTAS. ";E ,F
40 G = E*CO S(P) • PSIN(P )
50 H::: E*SIN(P) + PCOS(P)
60 C LS:P RIN r'VE KTOR HASIL ROT AS I:":P RIN T
70 PRINT USING "# # # # . tH t# # " ;G
80 PRINT USING "# # # # . # # # # ";H
90 END
341
5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 56/56
, _ __ ._
EIGENVALUE MATRIKS ORDO 2
CONTOH PROGRAM
10 'menghitung eigenvalue matriks ordo 220 CLS:PRrNT"MATRIKS: ":PRINT
30 PRINT" A B "
40 PRINT" C 0 ":PRINT
50 PRINT" Harga A:";: tNPUT A
60 PRINT" Harga B :";: INPUT B
70 PRINT" Harga C :";: .INPUT C80 PRINT" Harga 0;";:NPUT 0
90 DET=A*O-B"C
100 EG1={(A+O)+SOR«A+OY'2-4"OET)}/2
110 EG2=(A+D)-SQR«A+D)1\2-4*DET»)/2120 PRINT:PRINT:PRtNr'EIGENVALUE : ":PRINT
130 PRINT USING"###.##";EG1;:PRINT" dan ";:PRINT USING"###.###";EG2
140 PRINT;PRINr'EIGEN VAKTOA berturut-turut:":PRINT
150 PRINT"r';:PRINT USING"###.##";B;:
PRINT USfNG"###.##';A-EG1;:PRINTj"160 PRINT" 0AN"170 PRINT"[";:PRINT USING"###.##";B;:
PRINT USING"###.##";A-EG2;:PRINTj"
180 END
3 4 2
top related