persamaan trigonometri 1 pmtk 1a

ASSALAMU’ALAIKUM

PEMBAHASAN

Periodesasi Fungsi Trigonometri Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Persamaan yang mengandung Jumlah

Perbandingan Trigonometri Persamaan Kuadrat Perbandingan

Trigonometri Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c

Periodesasi Fungsi TrigonometriSecara lebih umum lagi dapat dinyatakan: sin (x + k.2π) = sin x cos (x + k.2π) = cos x tan (x + k.π) = tan x

Dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Sehingga periode untuk sin x, cos x, cosec x, dan sec x adalah 2π atau 360°, periode untuk tan x dan cot x adalah π atau 180°.

• Contoh 1Periode fungsi sin x adalahkarena sin x = sin (x + k.2π)

• Contoh 2

Periode fungsi sin 2x adalah

karena sin 2x = sin (2x + k.2π)

maka, sin 2x = sin 2 (x+ k.π)

• Contoh 3Periode fungsi cos 3x adalahkarena cos 3x = cos (3x + k.2π)

maka, cos 3x = cos 3 (x + k.⅔ π)

• Contoh 4Periode fungsi tan 3x adalahkarena tan 3x = tan (3x + k.180°)

maka, tan 3x = tan 3 (x + k.60°)

• Contoh 5

Periode fungsi sin ⅔ x adalah

karena sin ⅔ x = sin (⅔ x + k. 360°)

maka, sin ⅔ x = sin ⅔ (x + k. 540°)

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa fungsi trigonometri untuk satu atau beberapa sudut ruang yang tidak diketahui.Misal:Sin 2x = ½ (satu fungsi, satu sudut)Sin x cot 2x - ⅙ √3 = 0 (dua fungsi, satu sudut)Sin (x-y) – 1 = 0 (satu fungsi, dua sudut)Sin (x-y) cos (x-y) = ¼ (√3 +2) tan y (tiga fungsi, dua sudut)

Yang dimaksud bentuk dasar persamaan trigonometri adalah persamaan yang berbentuk umum :

( dengan x sudut yang tidak diketahui dan k bilangan real )

Dari bentuk-bentuk tersebut dapat langsung ditemukan x nya. Untuk sin x=k dan cos x = k dapat diselesaikan bila -1≤ k ≤1.

Karena periodiknya fungsi trigonometri maka penyelesaian umum bentuk-bentuk

dasar persamaan pada sebelumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

(1) sin x = sin α → x = α + k.2π

atau x = (π – α)+k.2π khusus sin x = 0 → x = 0 + k.π

(2) cos x = cos α → x = ± α + k.2π khusus cos x = 0 → x = ½ π + k.π

(3) tan x = tan α → x = α + k.π dengan x R dan k bilangan bulat

Contoh soalTentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00 x 3600 :

a. sin xo = 32

1 b. sin (x+30)o – 1 = 0

JawabJawab

a. sin xo =

sin x =sin (– 600 ) x2 = 180 – (– 600 )+ k. 360 x1 = (– 600 )+ k. 360 atau

k = 0 x = – 600 ( tdk. memenuhi )

k = 1 x = 3000

k = 2 x = 6600 ( tdk. memenuhi )

k = 0 x =2400

x2 = 2400 + k. 360

k = 1 x =6000

Jadi, Harga x yang memenuhi = 2400 atau 3000

( tdk. memenuhi )

32

1

b. sin (x+30)o – 1 = 0

sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1

sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o

x1 +300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360

atau

x2 = 600 + k. 360

k = 0 x = 600

( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200

k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )

Jadi, Harga x yang memenuhi = 600

x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360

b. sin (x+30)o – 1 = 0

sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1

sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o

x1 + 300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360

atau

x2 = 600 + k. 360

k = 0 x = 600

( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200

k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )

Jadi, Harga x yang memenuhi = 600

x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360

Contoh SoalTentukan Himpunan Penyelesaiannya :

cos 3xo = 32

1untuk 00 x 3600

JawabJawab

( tdk. memenuhi )x = –100

x = 1100 x = 2300

k = 0 x = 100 k = 1 x = 1300

k = 2 x = 2500

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 x = 3500

3x1 = 300 + k. 360 atau 3x2 = –300 + k. 360

x1 = 100 + k. 120 atau x2 = –100 + k. 120

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =

{100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }

cos 3x = cos 300

cos 3x = 32

1

cos 3xo =

cos 3x = cos 300

3x1 = 300 + k. 360

32

1

atau 3x2 = –300 + k. 360

Contoh Soal

Tentukan Himpunan Penyelesaiannya :

tan 2xo = 3 untuk 00 x 3600

Jawab :Jawab :

tan 2xo = 3

tan 2x = tan 600

2x1.2 = 600 + k. 180

x1.2 = 300 + k. 90

k = 0 x = 300 k = 1 x = 1200 k = 2 x = 2100 k = 3 x = 3000

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah ={300 , 1200 , 2100 , 3000 }

Persamaan Berbentuk

sinpx = a, cospx = a dan tanpx = adiselesaikan dengan cara mengubah kepersamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian sin 3x = ½, 0° x 180°

Jawab: sin 3x = sin 30° maka • 3x = 30° + k.360°

x = 10° + k.120° k = 0 x = 10° k = 1 x = 10° + 120° = 130°

• 3x = (180 - 30) + k.360° 3x = 150° + k.360° x = 50° + k.120°

k = 0 x = 50°k = 1 x = 50° + 120° = 170°Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 x 2π

Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π

• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π x = -¾π + ¼π + 2k.π x = -½π + 2k.π k = 1 x = -½π + 2π = 1½π

• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π

• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π x = -¾π - ¼π + 2k.π x = -π + 2k.π k = 1 x = -π + 2π = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }

Contoh 3:

Himpunan penyelesain tan ⅓x = √3, 0° x 2π

Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓x = ⅓π + 2k.π x = π + 6k.π k = 0, x = π

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0° x 360°

Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = -½

x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini pada dasarnya seperti aljabar, yaitu:

Diingat bahwa untuk melogaritmakan suku-suku yang berperan adalah kelompok rumus Identitas

• Contoh soalTentukan HP dari sin 3 x + sin x – sin 2x = 0untuk 0° ≤ x ≤ 360° .Jawab: sin 3 x + sin x – sin 2x = 02 sin 2x cos x – sin 2x = 0sin 2x (2 cos x – 1) = 0sin 2x = 0 → 2x = 0 + n.180° → x = 0 + n. 90°

2 cos x – 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 60 + n. 360°

Maka HP: {0°, 60°, 90°, 180°, 270°, 300°, 360°}

Contoh soalcos 3x + cos 2x + cos x = 0 , 0°≤x≤360°. tentukan HP?Jawab:cos 3x + cos 2x + cos x = 02 cos 2x cos x + cos 2x = 0cos 2x (2 cos x + 1) = 0cos 2x = 0 → 2x = 90 + n.180 → x = 45 + n. 90°

2 cos x + 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 120 + n. 360° Maka HP: {45°, 120°, 135°, 225°, 240°, 315°}

Contoh soal : Selesaikan tan 2x + tan x= tan 3x, 0° ≤ x ≤ 360°

Jawab: tan 2x + tan x - tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x) – tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x – 1) = 0 tan 3x tan 2x tan x = 0 tan 3x = 0 → 3x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.60 °

tan 2x = 0 → 2x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.90 °

tan x = 0 → x = 0 + n. 180 °

Maka HP: {0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300°, 360°}

Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri

• Bentuk Umum:a sin²x + b sin x + c = 0a cos²x + b cos x + c = 0a tan²x + b tan x + c = 0

Persamaan Trigonometriyang berbentuk persamaan kuadrat

dalam sin, cos atau tan

Langkah-langkahnya:

1. Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.

Langkah ke-2

2. Bila belum berbentuk persamaan

kuadrat dalam sin ,cos atau tan,

ubah dulu ke bentuk persamaan

kuadrat dalam sin, cos atau tan,

dengan menggunakan:

1. Rumus trigonometri sederhana

2. Rumus trigonomteri sudut rangkap

Rumus Pendukung

• Rumus-rumus pendukung untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini terutama dengan rumus Identitas, seperti:(1) sin 2x = 2 sin x cos x(2) cos 2x = cos²x - sin²x= 2 cos²x – 1

= 1- 2 sin²x(3) tan 2x = 2 tan x

1-tan²x

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian dari2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x 360°

Jawab:

2sin2x + 3sinx – 2 = 0(2sinx – 1)(sinx + 2) = 02sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0• 2sin x – 1 = 0 2sinx = 1 sinx = ½

Lanjutan

sinx = ½ sinx = sin 30°

x = 30° + k.360°

k = 0 x = 30°

x = (180° – 30°) + k.360°

x = 150° + k.360°

k = 0 x = 150°

• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2

tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, Hp = { 30°, 150°}

Contoh 2:

Himpunan penyelesaiancos2x + 2cosx = 3, 0° x 360° Jawab: cos2x + 2cosx = 3

cos2x + 2cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0

• cosx + 3 = 0 cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi

LANJUTAN

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0• cosx - 1= 0 cosx = 1

x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}

Contoh 3:

Himpunan penyelesaiantan2x – 3 = 0, 0° x 360° Jawab: tan2x – 3 = 0

(tanx + √3)(tan - √3) = 0• tanx + √3 = 0 tanx = -√3

x = 120°, 300°

LANJUTAN

(tanx + √3)(tan - √3) = 0 tanx - √3 = 0 tanx = √3 x = 60°, 240°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}

Contoh 4:

Himpunan penyelesaiancos2x – sinx = 1, 0° x 360° Jawab: cos2x – sinx = 1

1 - 2sin2x – sinx = 1 sinx(- 2sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0

• sin x = 0 x = 0°, 180°, 360° • -2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1

LANJUTAN -2sinx – 1 = 0

-2sinx = 1 sinx = -½

x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}

Contoh 5:

Himpunan penyelesaiancos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x 360° Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0

2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (2cosx – 1)(cosx – 1) = 0

• 2cosx – 1 = 0 2cosx = 1 cosx = ½

LANJUTAN

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½ x = 60°, 300°

cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = 0°, 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}

Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c• Untuk menyelesaikan persamaan

a cos x + b sin x = c,c diubah menjadi bentuk k cos (x – α),dengan cara:

• a cos x + b sin x = k cos (x – α), k > 0

k (cos x cos α + sin x sin α)

k cos x cos α + k sin x sin α

k cos α . cos x + k sin α . Sin x

maka: k cos α = a tan α = b

k sin α = b a

Lanjutan

k² cos²α = a²k² sin²α = b² +k² (cos²α + sin²α) = a² + b²

k² = a² + b²k = √a² + b² → k tertentu

karena k > 0, letak α ditentukan oleh cos α dan sin α, yaitu tanda a dan b.

Contoh :Selesaikan 3 cos x + 4 sin x = 2Jawab :a = 3, b = 4, c = 2k cos (x – α) = c → k = √a²+b²

= √3²+4² = √25 = 5 tan α = =

α = 53,8°

a

b

3

4

LANJUTAN

k cos (x – α) = c5 cos (x – 53,8 °) = 2Cos (x – 53,8 °) = 0,4X – 53,8 ° = 66,25° + n . 360°X1 = 66,25° + 53,8° + n . 360°

X1 = 119,33° + n . 360°

X2 = - 66,25° + 53,8° + n . 360°

X2 = 346,43° + n . 360°

Latihan Soal1. Himpunan penyelesaian persamaan dari

cos x + sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …A. {15°, 255°} D. {75°, 315°}B. {30 °, 255°} E. {105°, 345°}C. {60° , 180°}

2. Diketahui persamaan 2 sin2x + 5 sinx – 3 = 0 untuk -90° ≤ x ≤ 90°, nilai cos x adalah …A. D. B. E.C.

32

1

32

1

2

1

22

1

2

1

22

3. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0° < x < 360°

himpunan penyelesaiannya adalah … A. {135°, 315°} D. {75°, 315°}B. {60 °, 255°} E. {30° , 180°}C. {105°, 345°}

4. Bentuk (-cos x - sin x) dapat diubah menjadi bentuk …A. 2 cos (x - π) D. -2 cos (x - π )

B. 2 cos (x + π) E. 2 cos (x - π )

C. 2 cos (x + π)

3

4

3

4

6

7

3

1

6

7

3

5. Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, untuk 0° x 360° adalah …A. {45°, 135°, 150°, 240°, 330°, 360°}B. {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}C. {30°, 135°, 150°, 270°, 300°}D. {60°, 120°, 150°, 270°, 360°}E. {45°, 120°, 180°, 240°, 330°, 360°}

Kunci jawaban Latihan Soal1.E 4. A2.E 5. B3.A