bimbinganalumniui.combimbinganalumniui.com/assets/upload/file/buku_matematika_sma_p… · penulis :...
Post on 06-Jul-2020
21 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sutrima
Budi Usodo
UNTUK SEKOLAH MENENGAH ATAS DAN MADRASAH ALIYAH KELAS XII
PROGRAM ILMU BAHASA
UNTUK SEKOLAH MENENGAH ATAS DAN MADRASAH ALIYAH KELAS XII
PROGRAM ILMU BAHASA
MATEMATIKAMATEMATIKA
Sutrim
a
Budi U
sodo
UN
TU
K S
EK
OLA
H M
EN
EN
GA
H A
TA
S D
AN
MA
DR
AS
AH
ALIY
AH
KE
LA
S X
II
PR
OG
RA
M IL
MU
BA
HA
SA
UN
TU
K S
EK
OLA
H M
EN
EN
GA
H A
TA
S D
AN
MA
DR
AS
AH
ALIY
AH
KE
LA
S X
II
P
RO
GR
AM
ILM
U B
AH
AS
A
MA
TE
MA
TIK
AM
AT
EM
AT
IKA
3
Wahana
3
Wah
an
a
PROGRAM ILMU BAHASA
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
SutrimaBudi Usodo
Wahana
MAMAMAMAMATEMATEMATEMATEMATEMATIKATIKATIKATIKATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XIIProgram Ilmu Bahasa
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
Penulis : SutrimaBudi Usodo
Penulis : SutrimaBudi Usodo
Editor : Giyarti
Setting/Lay-out : Lilis Handayani
Desain Cover : Romiyanto
MATEMATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XIIProgram Bahasa
510.07SUT SUTRIMAw Wahana Matematika : untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah
Aliyah Kelas XII / penulis, Sutrima, Budi Usodo ; editor, Giyarti. — Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009.
x, 168 hlm, : ilus. ; 25 cm
Bibliografi : hlm. 153IndeksISBN 978-979-068-854-4 (No. Jil Lengkap)ISBN 978-979-068-857-5
1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. JudulII. Budi Usodo III. Giyarti
Diterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional Tahun 2009
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit : CV. HaKa MJ
Diperbanyak oleh : ...
Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi oleh Undang-Undang
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepadamasyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakandalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 9 Tahun2009 tanggal 12 Februari 2009.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yangtelah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasionaluntuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada DepartemenPendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan,atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial hargapenjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwabuku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indone-sia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajarini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kamiucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kamiharapkan.
Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
iii
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasaiv
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telahmemberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunanbuku Wahana Matematika ini. Buku Matematika ini merupakan buku pelengkap bagi Andayang sedang duduk di Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah (MA) kelas XIIProgram Bahasa selama satu tahun.
Matematika menurut sifatnya merupakan ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu,maka sebagai ratu matematika mempunyai struktur yang sistematis dan logis tidak dapatdipengaruhi oleh ilmu yang lain, sedangkan sebagai pelayan Matematika menyediakanalat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada ilmu-ilmu yanglain. Buku ini ditekankan pada cara berpikir sistematis dan logis, di samping menyajikanaplikasinya pada kehidupan sehari-hari. Dengan karakteristik ini diharapkan setelahmempelajari buku ini siswa-siswa dapat berpikir secara sistematis dan logis untukmengambil kesimpulan.
Di dalam setiap awal bab buku ini disajikan tujuan yang hendak dicapai dalammempelajari pokok bahasan yang bersangkutan dan informasi beberapa syarat yangdiperlukan. Penjelasan materi disajikan secara singkat dengan menyertakan beberapa buktidari sifat atau teorema yang dipandang perlu. Untuk mempermudahkan pemahamankonsep, disajikan juga pembahasan satu atau beberapa contoh soal. Di akhir setiap babdisajikan rangkuman, math info, dan uji kompetensi sebagai evaluasi bagi siswa di dalammemahami suatu konsep. Sebagai refleksi terhadap tingkat penguasaan konsep, setelahmengerjakan uji kompetensi siswa dapat melihat kunci jawaban untuk mengetahui tingkatpenguasaan.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihakyang membantu penerbitan buku ini. Semoga buku ini mampu memberikan motivasi belajarbagi Anda dan nilai tambah bagi para pemakainya. Kritik dan saran kepada penulis akanditerima dengan senang hati dan akan penulis perhatikan untuk perbaikan pada edisiberikutnya.
Surakarta, April 2008
Penulis
Kata Pengantar
Petunjuk Penggunaan Buku v
Petunjuk Penggunaan Buku
Tujuan PembelajaranTujuan pembelajaran mencakup kemampuan dasar yang diharapkan Anda miliki setelahmembaca materi pada bab yang bersangkutan.
PengantarPada bagian awal bab dimulai dengan pengenalan masalah nyata (contextual proplem) darimateri yang akan dipelajari. Hal ini dimaksudkan untuk memotivasi Anda tentangpentingnya materi yang akan dipelajari.
Materi BahasanMeskipun matematika sendiri bersifat deduktif, namun pembelajarannya dapatmenggunakan metode induktif. Oleh karena itu agar mudah Anda ikuti, materi bahasandideskripsikan secara induktif, diawali dari kajian hal yang konkrit ke abstrak, darisederhana ke kompleks, dan dari mudah ke sulit. Dengan metode ini Anda diharapkandapat menemukan sendiri konsep, sifat, aturan, atau rumus dalam matematika. Meskipunmasih dimungkinkan dengan bimbingan guru.
Contoh dan Pemecahan MasalahUntuk membantu Anda memahami konsep, sifat, aturan, dan rumus yang telah dikajidalam materi bahasan, diperlukan contoh soal pemecahan masalah. Contoh soalpemecahan masalah dalam buku ini dibedakan menjadi dua yaitu: mencari nilai suatubesaran yang tidak diketahui yang memenuhi syarat yang ditetapkan dalam soal, danmembuktikan kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan.
Soal LatihanSebagai evaluasi proses belajar Anda dalam menguasai materi bahasan, pada setiap akhirsub-bab diberikan latihan soal yang sajikan secara bergradasi. Latihan ini juga untukmelatih kecermatan, keakuratan dan kecepatan siswa dalam memecahkan masalah.
Soal AnalisisSoal ini bersifat masalah kontekstual yang berkaitan dengan permasalahan di dunia nyata.Hal ini bertujuan membantu Anda berpikir kritis, yang ditandai dengan keterampilansiswa memahami masalah, memilih pendekatan atau strategi pemecahan, menyelesaikanmodel matematika yang diperoleh, serta bagaimana menafsirkan solusi terhadap masalahsemula.
Tugas MandiriSesuai namanya tugas ini untuk mengevaluasi sejauh mana Anda secara mandiri dapatmemecahkan masalah. Soal-soal untuk Tugas Mandiri bersifat terbuka, sehingga Andadapat mencari jawaban atau strategi penyelesaian yang bervariasi. Tugas ini mendorongAnda untuk memperoleh informasi lebih lanjut dari berbagai sumber lain seperti internet,buku atau artikel.
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasavi
Tugas KelompokTugas ini diberikan dengan tujuan untuk melatih Anda berdiskusi, berkerjasama danberkomunikasi dengan teman Anda. Tugas dapat berbentuk gagasan tertulis, denganmenggunakan narasi, tabel, dan diagram serta lisan.
Math InfoMerupakan informasi tentang matematika untuk meningkatkan cakrawala pengetahuanyang relevan dengan materi bahasan yang bersangkutan.
RangkumanMerupakan kumpulan konsep kunci bab yang dinyatakan dengan kalimat ringkas danbermakna, serta memudahkan Anda untuk memahami isi bab.
Uji KompetensiUntuk setiap materi bahasan diakhiri dengan uji kompetensi. Uji kompetensi terdiri atassoal-soal pemecahan masalah, untuk mengevaluasi sejauh mana kompetansi siswaterhadap pemahaman konsep, penggunaan sifat, aturan dan rumus matematika dalampemecahan masalah yang berakitan dengan materi bahasan. Selain itu soal-soal LatihanUji Kompetensi diharapkan dapat melatih ketrampilan Anda untuk meningkatkankemampuan dalam pemecahan masalah.
Aktivitas ProyekMerupakan kegiatan untuk mengaktifkan serta meningkatkan kreativitas dan kemampuanmotorik Anda. Sajian materi memuat tugas observasi, investigasi, eksplorasi, inkuiri atauhands-on activity.
Teka-teki MatematikaTeka-teki matematika bersifat recreational mathematics dan bertujuan menimbulkan minatAnda untuk mengkaji lebih jauh tentang matematika.
Latihan Ulangan Umum SemesterLatihan Ulangan Umum Semester terdiri atas soal-soal pemesahan masalah yang meliputiseluruh materi bahasan dalam kurun waktu satu semester atau satu tahun. Terdapat duajenis soal yang disajikan dalam latihan ulangan umum semester ini, yaitu soal berbentukpilihan ganda, dan soal berbentuk uraian terstruktur. Soal-soal ini dipersiapkan untukdigunakan sebagai pelatihan Anda dalam menghadapi ulangan umum semester maupunulangan akhir tahun.
GlosariumMerupakan kumpulan istilah penting beserta penjelasannya yang dilengkapi dengannomor halaman kemunculan istilah dan disajikan secara alfabetis.
IndeksMerupakan kumpulan kata penting, antara lain objek matematika, nama tokoh ataupengarang, yang diikuti dengan nomor halaman kemunculan dan disajikan secara alfabetis.
vii
: implikasi dibaca “jika ... maka ...”
: biimplikasi dibaca “... jika dan hanya jika ...”
: kurang dari atau sama dengan
: lebih dari atau sama dengan
: anggota atau entri dari
: tak hingga
(xn) : barisan bilangan real dengan suku-suku xn
A, B, C : nama-nama matriks
a, b, c : entri-entri dari matriks
A-1 : invers dari matriks A
At : transpose matriks A
O : matriks nol
I : matriks identitas
|A| atau det(A) : determinan matriks A
un : suku ke-n dari suatu barisan
Sn : jumlah n suku pertama dari barisan
b : beda dari barisan aritmetika, b = un – un-1
r : rasio dari barisan geometri, r = un/un-1
: notasi sigma
�
: akhir bukti atau penyelesaian
Daftar Simbol dan Notasi
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasaviii
Kata Sambutan ........................................................................................................................... iiiKata Pengantar ........................................................................................................................... ivPetunjuk Penggunaan Buku .................................................................................................... vDaftar Simbol dan Notasi ......................................................................................................... viiDaftar Isi ...................................................................................................................................... viii
BAB I PROGRAM LINEAR ................................................................................................. 11.1 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .............................................. 21.2 Nilai Optimum Fungsi pada Daerah Penyelesaian ..................................... 61.3 Model Matematika Persoalan Program Linear ............................................ 101.4 Penyelesaian Persoalan Program Linear ...................................................... 141.5 Penggunaan Garis Selidik untuk Nilai Optimum ....................................... 20Rangkuman ................................................................................................................ 25Uji Kompetensi ........................................................................................................... 27Aktivitas Proyek ........................................................................................................ 32
BAB II MATRIKS .................................................................................................................... 332.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks ........................................................... 342.2 Kesamaan Dua Matriks .................................................................................... 372.3 Jenis-jenis Matriks ............................................................................................. 382.4 Transpose Matriks ............................................................................................. 412.5 Operasi Aljabar pada Matriks ........................................................................ 422.6 Determinan Matriks .......................................................................................... 582.7 Invers Matriks .................................................................................................... 622.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear ........................... 692.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan ................... 73Rangkuman ................................................................................................................ 82Uji Kompetensi ........................................................................................................... 85Aktivitas Proyek ........................................................................................................ 89
Daftar Isi
Diunduh dari BSE.Mahoni.com
Daftar Isi ix
Latihan Ulangan Umum Semester 1 ...................................................................................... 91
BAB III BARISAN DAN DERET ........................................................................................... 993.1 Pengertian Barisan dan Deret ......................................................................... 1003.2 Barisan Aritmetika ............................................................................................ 1043.3 Deret Aritmetika ................................................................................................ 1073.4 Barisan Geometri ............................................................................................... 1113.5 Deret Geometri ................................................................................................... 1153.6 Deret Geometri Konvergen .............................................................................. 1193.7 Notasi Sigma ...................................................................................................... 1223.8 Pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika ....................................... 1273.9 Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri ...................................................... 129Rangkuman ................................................................................................................ 139Uji Kompetensi ........................................................................................................... 142Aktivitas Proyek ........................................................................................................ 145
Latihan Ulangan Umum Semester 2 ...................................................................................... 147
Daftar Pustaka ............................................................................................................................ 153Glosarium .................................................................................................................................... 155Indeks .......................................................................................................................................... 157Lampiran ...................................................................................................................................... 159Kunci Jawaban ............................................................................................................................ 167
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasax
������ ��� ������������� 1
PROGRAM LINEAR
�������������� ����� �� ���� ������������� ������������
�� ������������� �������� ����������� ����� � ���� �� ������
�� � ����������������������� ��������� �� �� ����� �
� ��������������������������� �� �������� � �� �� ����� � �������!�� ���
����������
����������������������������������
"������������������ �� ���� ��� �� ������������ ���������� ������ �����
�� ������� ��������� ����������������������� �� ������������#�������
����������� ���� �$%������ �� �������$�� ������� ���� ����� �������� �� ������
������������������ ������������������� �� �� ��������� ������ ��� ����#
�� ��� ������� �������&� ������������ ��������������������� ���� �������� �� �
����� �������������������������������
�
BAB
�������������������������
Tujuan Pembelajaran
Pengantar
������������ !� �"�����#$$�%�&�����2
& �� �� ����� �� ������� ����� ����� ��������� ����������������������
����������������������������$������� �� ������� ���������������������������
���������� ��������#����������������������������������� �������#���������
�������������� �� ���� ������������� ������������� ������������
������������������������������������ ���������������� �������������������
���!�� ������������������ �������������� ���� ���������������� ���������������
� ��� ��������� ���������� �������� ��� ���������������� ������� ������������
�� ������ ����� ����� �������� ������ ����� �
'����������������������� ������������������������� �� ��#�� ��������������
�������� ����������������� ������������������������������������������������
������� �� �� ����� �� !������ ����������� ���������� ��������� �� �� ����� �
����������������������!������ �������������������������������� �� �� �����
��������� �����������
1.1 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel������������������ ����� ������� ��������� �� ������� ����������������
��������������������������������������� ���������������� ������� ����������� �
���� �������� ����������� ����� � ���� �� ������ ������� ���� �� ����������
�����������������������
�'�(����(�)��≤��(�)�����≥ (�*�'�(����(�*��≤��(�)�����≥ (�*
��������������������������������������� ���� ��������� ���������� ����
��� ����� ��������������� )'+�*� ���������� ���������������� �������������� ����
��������� ���������� ����� �������� �������������� ������� ��� ����� � ����
���� ���������� ��������������������������������)'+�*��������������� ����������
������ ������ �� ����������� �� ������� ������� ����������� ��� �
��������������������� ���������������� ������������ ������������������������ �
��������������� ���������������� ������� �������'����������� ��������������� �����
������� �����
+����������� ����������������������� ����������� '�,�-��≤��-�
&������������
�������� ��������� ����������� ��� ��� '� ,� -�� .� �-��'������������ ��� ��� ���
���������� ����������� �����#������ ������� �� ��� �� ������ ������� ����#����
��� ���������������������������������������� �����
/��������� ��������� ��� ������ ������������������������ �����#�����
������������������#�������� �������������������� ����������������0��� ���
���������� �����
'�,�-��.��-
��' ��( ��-
��� �� ��(
+���� )(� * )-�(*
������ ��� ������������� 3
��������,
���������������������������� ����������������� �� '�,�-��≤��-��'����������� ������
0��� �������������
0� ����� ����������������������� �#-.��������������������+����#����������
�� ��� �� ������� ��������������������� ������������� ����� � '�,�-�� .� �-��+����
��������� ������� ������������� ����������������� ����������� ����� � '�,�-��1��-
�������� ����������������� ���������������� � '�,�-��2��-��'�������������������
����������� �����#�������������� �� �� �������������������������� ���������������
���� ������3����������������������������������������������������� ��� '�,�-��.��-��'����
���������������������)(�(*��'�����'�.�(�������.�(������ ���� )(*�,�-)(*�.�(�1��-�
4����� � ���������#������������������� ���������������� � '�,�-��1��-������
�����#������������� �����������5���� ��� '�,�-��1��-������������� ����������������� �
�� ����������� '�,�-��1��-���������� ���������� �� ���������� ��� �����
��������/
�
�������
$��������������������������������������5����� �����������������������
��� ���������� �� ���������������� �� ���������� ��������������������������
���� ���� ����� ���� ����� ������ �� �� ��� �� ������������� ������ �����
�� ����������� ����� �
.
#
6
)(� *
)(�-*
'�,�-��.��-
.
#
(
)(� *
)(�-*
'�,�-��.��-
������������ !� �"�����#$$�%�&�����4
������� ����!
+����������� ����������������������������� ����������� ����� ��� �����
'�,����≤��(���'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(&������������
$����� � ������������� ���'�,���� .� �(������� ���'� ,��� .� 7������ ��������� �����
8� �������������������� ��������������� ��� ����������������� ������8� ������
����������������������������#������������������������#�������� ������
0��� ������� ��� �� �������������������� ������������
��������0
" $�� ����������������� ��'� ,� ���≤� �(� ��������� ����� ��5������������� ��
'�,����.��(��9������� �� ���������� �������5���� ����� ������
" $�� ����������������� ��'�,���≤�7���������� �������5������������� ���'�,���.�7�
9������� �� ���������� �������5���� ��� �� ������
" $�� ����������������� ��'�≥�(���������� ��������������������������������.�
$�� ���������� �� ���������� �����������������������.�
" $�� ����������������� ����≥�(���������� �������������������������������#�
$�� ���������� �� ���������� ����������������������#�
" &� ������������� ���� ���'�,����.��(������� ����'�,���.�7����� ������������ �����
'�,����.��(
���'�,�����.�7���:
��������.��
/� ����'�,���.�7�������.��������'�.�7�;���.�<�
$������������������������������������ ����� ������������������)<��*�
"�������� ����������������� ���������� ����������� ����� �
'�,����≤��(����'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(
'�,���.�7
��' ����( �7
��� ����7 �(
+���� ��)(�7* �����������)7�(*
'�,����.��(
��' ����( ��(
��� ����- ��(
+���� ��)(�-* ����������)�(�(*
.
#
(
)(�7*
)(�-*
'�,���.�7
'�,����.��(
)7�(* )�(�(*
������ ��� ������������� 5
��������� ��- &1���������-)(�(*�� )7�(*��&)<��*������1)(�-*�� ���� ��� ����������
���� ������5������
��������2
�
������� ����#
+����������� ����������������������������� ����������� ����� ��� �����
'�,����≤�������-'�,�<��≤� (���'�≥�(�����≥�(
&������������
+����#��������������� ��� '�,����.���������� ���-'�,�<��.� (������������#�������� �����
���������� �����
+�������������������� ����� ������������
'�,����.�����������=� > � ��=�������⇒ ?'�,�<� .� <
-'�,�<��.� (��������=� > ����=�������⇒ -'�,�<���.� (�:
@' .�<
��' .�
32
/� ���� '�,���.��������'�.�
32���������.����;� �A�
�
�.�
�
�@ # ?
.�
�-
�
���������.�
154�
"�������������������������� ����� ������������������
3 15,2 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� �
'�,����≤�������-'�,�<��≤� (���'�≥�(�����≥�(
��������� ��- &1��������-)(�(*�� )@�(*��&
3 15,2 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������1)(�-*������ �������������
0��� ���<��� ���������
-'�,�<��.� (
��' ����( �<
��� ����- �(
+���� ��)(�-* ��������������)<�(*
'�,����.���
��' ����( ��@
��� ����< ��(
+���� ��)(�<* ����)@�(*
.
#
-)(�(*
)(�7*
1)(�-*
'�,���.�7
'�,����.��(
)7�(* )�(�(*
&)<��*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����6
��������3
�
�� +������������������ ��8� ����������������������������� ����������� ����������
�� �����)'+���∈�B*������������ �� ���� ��������������� ���������� ���������������
�� '�≥�( �� '�≤�( �� ��≤�'�≤�- �� @�≤��'�≤�7�� ��≥�( �� ��≤�( !� ��≤���≤� � <�≤� ��≤��-
�� +��������� ����� ���� �� 8� ������� ��� �� ������������� �� �� �����#�����
�� ���������������� ��� �����)������ ��������������� �������������������� ����*�
�� '�,���≤�- �� ��≥� �� �'�,� ��≤�< �� (�≤���≤�C�� '�;���≥�@ �� ��≤�'�≤�- !� -'�;�@��≤��( � '�,�@��≥��@
� +������������������ ��8� ���������� ����������������� �������#������ �����
�� ����������� ����� ��� �����
�� @'�,����≤�7������'�,�<��≤�������'�≥�(�����������≥�(�� '�,����≤��(����-'�,����≤��(����'�≥�(�����������≥�(�� '�,���≤��-������'�,� ��≤��-����'�≥�(�����������≥�(�� ��≤�'�≤�-����������(�≤���≤�<���������'�,���≤�7�� (�≤�'�≤�7������������≤���≤�-���������'�,���≤�<���'�,���≥��
@� +������������������ ��8� ��������������������������� �������� �����������
��≤�'�≤�<���������≤���≤�<�������'+���∈�&�)��������������������������*�
1.2 Nilai Optimum Fungsi pada Daerah Penyelesaian$����������������������������������������������)����������������������
����*� ������ !������ ��������� ���������� ��������� ��������������� �����
�� ����������� ����� �
���� ������ ������� ����� �������� ����������� ����� �
'�,����≤��(����'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(
Latihan 1.1
.
#
-)(�(* ����������� )@�(* )<�(*
)(�<*
1)(�-*
'� ,� ��� .� ��
-'� ,� <�� .� (
�-
�
� @
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠&
������ ��� ������������� 7
�������� ���������������� ���������������� ������������������� �������������
���� ��� �����
��������4
"������������ ����������������� ����������!���������!������5�������� ������
�������
5�.� '�,�@�
����������!������5�������� ���#������ ����������������������������'�����������
�����������������$�����������������������������������������������������'���������
�������� ����������������������� ����������� ���������� ��������������������
!������5������������������D����������������������� ��������!�����
����� ���� ����� �� ������ ��� �����#������ ��� �� �������������� �������� �����
���������������������������������������������!��������������� �����������
���������������������#��������������� ���������������
���� ����������� �������������!������5�����������#������-)(�(*�� )7�(*��&)<��*�����
1)(�-*������ ���������������������� �����
$� �������������������������5��
�� D�����5������������(���� ����������������������-)(�(*��4����� � �����5�������
'�.�(�������.�(��5���������������������������������5��
�.�(��������'�.�(����
��.�(�
�� D�����5��������������<���� ���������������� ������&)<��*�� 4��� �� � ��� ��5�
������'�.�<�������.����������!������5��������������<����������5���
�.��<�������
'�.�<�������.��
������� ��!��
+������������������ ��8� ��������������������������� �������� �����������
��≤�'�≤� ������������≤���≤�@�������'����∈�&�)��������������������������*�������������������
�� ������'�,����� �������#�������������� ������
�� �����������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
��+���� ��������������- � �& ��1
����' ��������������( �7 �< ��(
����� ��������������( �( �� ��-
�D�����5 ��������������( �@������������< ��(
.
#
-)(�(* )7�(*��������)�(�(*
)(�7*
1)(�-*
'�,����.��(
&)<��*
'�,���.�7
������������ !� �"�����#$$�%�&�����8
�� ������������'�,����� ������������������������ ������������������������
��� ���� �� �����
�� ��������#������������'�,���.�-E
&������������
�� '���������������������'�,�������������������������� �����
�� D����������'�,������������������������������ ������������ ���� �������������
)���*�
�� D�����������'�,���������������������������� �� ������������C�� �� �������
������) �@*�
�� D�����'�,���.�-��� �������������#������)��@*��)�� *������) ��*�
�
������� ��!�!
+����������� ��������������� �������� ����������� ����� ��� �����
'�,� ��≤�<����'�,���≤�@���'�≥�(�����≥�(/��������������������������������������������!������5�.��'�,�������!�����
�.�'�,�-����������� ����������������������� ������������� ������
&������������
$�� �� ������������� �������� ����������� ����� � �� ������ ������������� �������
�� �����
+�������������������� ����� ������������
'�,�� ��.�<
'�,������.�@
����������.��
'�,� ��.�<
��' ����( ��<
��� ����� ��(
+���� ��)(��* )<�(*
'�,���.�@
��' ����( ��@
��� ����@ ��(
+���� ��)(�@* ���������������)@�(*
.
#
@
�
�
(��������������������� ������@
����+���� D�����'�,��
����)���* �������
����)�� * �������@
����)��@* �������-
����)���* �������@
����)�� * �������-
����)��@* �������<
����) ��* �������-
����) � * �������<
����) �@* �������C
������ ��� ������������� 9
$��� ������.���������� ����������'��,���.�@�→ �'��,���.�@������'�.� �
"�������������������������� ����� ������������) ��*�
��������6
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� �
- &1�� /�������� ������ !������5� ���� !������ � ����� �����#������ �������� �� ��� �
�������������- &1��������������������� �����
$� ����������������� ������5��
" D������������� ��5�������7���������'�.�@�������.�(�
" D������������ ��5�������(��������'�.�(�������.�(�
" D������������� �� ��������(��������'�.�(�������.���
" D������������ �� �������(��������'�.�(�������.�(�
�
�� +������������������ ��8� �������������� ���������������������� �����������
��≤�'�≤�<������������≤���≤�-�������'+���∈�&�)��������������������������*�������������������
�� �������'�,����� �������#�������������� ������
�� �����������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
�� ������������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
�� ��������#������������'�,���.�7E
�� "����5�.� '�,������� �.��'�,�-���� ���'+�����������������#������������������������������
����������������������� ��5����� �����������#�������������� ����������
����� ��� �����
�� �'�,���≤�@����'�,�<��≤������'�≥�(�����≥�(
�����+���� - & 1
�������' ( @ �(
�������� ( ( � ��
5�.��'�,�� ( 7 C ��
�.�'�,�-� ( @ 7 �(
Latihan 1.2
.
#
-)(�(* � )@�(* �����)<�(*
)(�@*
&) ��*
'�,� ��.�<
1)(��*
'�,���.�@
������������ !� �"�����#$$�%�&�����10
�� '�,����≤��(���-'�,����≤��(���'�≥�(�����≥�(�� '�,�-��≤��-���'�,� ��≤��-���'�≥�(�����≥�(�� �'�,���≤� (����'�,����≤�@7���'�≥�(�����≥�(�� �'�,� ��≤� <���'�,���≤��<���'�≥�(�����≥�(
� +������������������ ��8� ����������������������������� ���������� ����������
�'�,����≤�7����'�,���≤�-���'�≥�(�����≥�(����������'+���∈�&�)���������������������*��/�������
����������������������� �� '�,�@������������������#���������� �����$������
������������'��������� ���������������� '�,�@�E
@� $������������������- &1�������������#������������-)(�(*��� )@�(*���&) �@*������1)(�-*�
�� 8� ���� �������� ����������� ����� � ����� ����������������������� �����
��� ������������- &1�
�� +�������������#�������� ��� '�,������������#������-+� +�&������1�
�� +���������������������� �� '�,������������#������-+� +�&������1�
�� +��������������������� �� '�,������������#������-+� +�&������1�
1.3 Model Matematika Persoalan Program Linear$������������������� �#� ��� ����� �������������������� ��������� ������
�������� ����������!������ ���� #���� ������ ������� �� ������� ���� #����
���������������� ������������� ����������������� ����������������� ���������
�������5����������������� ������������������������ ������������������������
� ����� �� ������
%����������������������������������������������������� ���������������
���� #���� �������� ������������������� �� ������� ��&��������� ������������
��������������� �� �� ����� � ������� �������������������� ����������
�������������� ������������������ ������� ��!� ���� ����� ����� ������
� ���������������������������������� �������������������������������
��������� �� ����������������������� ��5����� �� ������������������������
$����������� ��������������������������� �� �� ����� � ������ ��������� �
��������� �� ����������������������������� ������ �����#�� ����������
�� ����������#�� ���������������� ���������������������������������� ������
� �� �� ����� � ������ �������� ��������������������������� ���������#�����
�������� ����������������������������������������������� !�������������
���������� ����������������#���������������������������������������
��������� �����#�� ������������� ����������#�� ����������� ����� �
$������ ����� ����� ��� ������ �� � ��� ������ �� ������� ����������� ������
�� �������� �� �� ����� � ��������������������#������������ ����� ����
�� %����� !������ ������������� �������������������������������� !������ �����
�� ���� �����#�� �������������������������*)'+�*�7��'�,�����F������������������ ��
���� ������ ��������� �������������������������
�� ���� #���� �������� ����������� ������������ ������ )�������� �����������
����� �� �������5����� �� ������� ������� �� ������� ���� ����#����*�� &��������#
������������ ������� ���������������������������������� ����������� �����
�� ����������� ����� �
� G� ����� ���������� ����!���������������������������������������������������
������ ������������� ����������� !������ �������������������� ����
�����
'�������� ��������� ��������������������� ��������� �����#���� �����
����������� ������������� �����������������
������ ��� ������������� 11
������� ��#��
&� ������� ����H����& ���5�I����������������������� ������������� �����8�������
%�����#������� ������� �������� ������������������������� �����&��G� ��
����� ��������������8� ������B���-((�((������� ������B���(((�((��3��������� �����
�� ������ ������<�(((� �����������&� �������(�(((� ��������'������� ������� ����
������������� ���������������� ������������������������������������&������������
������������������ �������������������8����� ���������������� ��������������
���������������������&�������������������%���������������������������������
������������������ �����&�������� ������������������������ �����������8�����
��������������� ��������������������������������������������
'�������������������� ��� ��������� ������������������������������
�����������������!� ������ ������������������������������������� �������������
�������� �����
J������ �� ������������������������� ��� ����� ����� �����������
�������������� ��������� ���� ���������������� �� ��5���������'����
���� ����� �����������������5������������� ����� ��������������'��������������
� �����������8���������������������������������������������*)'+�*�.���-(('�,���(((��
+�������� ������������������������*)'+�*������� #���� ����������� � ����������
���������������� ������ #���� ����
/� ������������ ������������������������� ����������������������� ����
��������������&�������������������'�� ����������� ������'������������� ������'
������������&��$�������� �������������������������������������� �����������8
���� �������� ������������ ������� ������������&��$������������������������
����� � ��������� �������������� �������'� ������� ������������� ������� �����8
������ )'� ,��*� ��������3�������������� &���������� �������������� �������'
��������������������������������8�������)�'�,��*��������
/� ��������� �����&������#����������� �� ������<�(((�������������(�(((
������������� ����� ������� �����������
'�,���≤�<�(((���������'�,���≤���(�((($���������������� ����'������������#��������������������������� ����
������������ ������ 8������'�������� ��� ��������� ���������!� ����� � ��� �� ����
�� �����������
'�≥�(���������������≥��("�����������!� �������������������������������� �����������������
������������ ����������� ����������������������������� ������� ����H���
& ���5�I��������
+��������������'����������������������!������
*)'+�*�.���-(('�,���(((�
��������������#��������
'�,����≤��<�(((�'�,����≤���(�((('� ≥��(�����≥��(
�
& ���� "�����& ������ 3����3���
3��� � ��������8 �����+� �����
� ��������- �������<�(((
& � ��������( ������(�(((
������G� ���"��� ��������������-(( ������(((
������������ !� �"�����#$$�%�&�����12
������� ��#�!
�������� ����������������� ����������� ���������������������������������#
�������'����� �������� ������ �@� ��������� ��� ����������� <� ��������� ��� ���� �
&� �����������������5��� ������� �����������������<���������� �������������
@���������� ������� ��$���������������� ����������������������5��� �������������
�����������-���������� ������������������������� ������� ��6��������5��������
������������� ������� �������B�C-(�(((�((������������ ���������������B�-((�(((�((�
&� ��������� ���� ��������������� �������������� � ������� ����� � �������������
� �������5��������������������5������������������ ����������������� ��������
������������������
���� ������������������������������������ ���� ���������� ������&� ����
������������5������������ � ������� ����������5��������'��������������� � ��
���������������5����������������������� �������������5������������� ����� �����
������ *)'+�*� .�C-(�((('�,�-((�(((��� �+�������� ������������������������ *)'+�*
������������� � ����������� ������������������5��������������
/� ���� ������� ����� � ������� ����������������� <���������� ��� ����������
@���������� ������� ������'� � ������� �����������������<'���������� ���������
����@'���������� ������� ����������������� ����������������� ������������������������
-���������� ������������������������� ������� ��������� ������������������������
-����������� �������������������������� ������� �
3��������� ������ ������� ������ �@� ���� ���������� ������ ���� � ������ <�
����������� ����� ����� ��� ����������� ����� ��� �����
@'�,����≥�� <����������<'�,�-��≥���@$���������������� ����'������������#��������������������������� ������� ����
���������� � ��������������'�������� ���������������������!� ������ ����� ����
�� �����������
'�≥�(���������������≥��("��������������������� ���� �������� �� ������� ���������������
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�.�C-(�((('�,�-((�(((�
��������������#��������
@'�,����≥�� <<'�,�-��≥���@��'�≥�(����≥��(
$� ����������������������������������������������5��������������� ���
� ��������� ����������������� !������ ������������������������ ������
�� ���������������� !������ ��������6����� ���� ����� �������� �����������
����������������� ��������� � ��� �����������������������������������������
����� � � � ��� �
3������������������������� �������� �� ������� ����������������
����������� ���������� �����
%��������� !������ �������
*)'+�*�7��'�,���
������� ��� ��#��� ���
)��'�(��
����≤��
�
�)��'�(��
����≤��
�
'�≥�(+���≥�(
������ ��� ������������� 13
/��� ������
3� ����� ���� ����� � ������� ����� ����� ������ ���� ������ ������ �����
����������������!�������������������������� ���������������������� �����
������� �����
�� +� ���������������� ����������������� �������������#����������������'�������
�� �������������#����������������� ����� ���������� ����'�������
� )�������
�������#��������������������������������������#����������������
�������� ��������� ������������ �����������������������'�������
@� �����������������������������������#�
3������������������������� �������� �� �� ����� ���������������
����������� ���������� �����
%�������� !������ �������
*)'+�*�7��'�,���
������� ��� ��#��� ���
)��'�,��
����≥��
�
)��'�,��
����≥��
�
'�≥�(����≥�(
/��� ������
3� ����� ���� ����� � ������� ����� ����� ������ ���� ������ ������ �����
���������������!������ �������������������� ���������������������� �����
������� �����
�� +� ���������������� ����������������� �������������#����������������'�������
�� �������������#�������������������� ������������� ���������� ����'�������
� )�������
�������#�����������������������������������#���������������������
�� ��������� ������������ �����������������������'�������
@� ��������������������������#������������� ����
�� ������ �� ��������� ������� ���� ������ �� ����� ������ ������������9�� '����
�� ����������� ������ �� ���� �� ���������� ������ ���������������� ����������
����� +�&������1���������������� ����&��� ���������������� +�&������1������#
������ ���������@��������������������������������� ����9��� ���������������
+�&������1������#���������-������<���������3������������������� +�&+�����1
�����#������ �� ������ ��(� �������� �-(� ������������ �@(� �������� "����� ��� ����� ��
������������#������� �����������9�������B��(�(((�((�����B�7�(((�((�� ��������
����������� ������� �� ������ ����9� ��� ����� ��������� ���������� ����� ������ #
���� ���� ������� ���������� ���������� ����� ���� �������� ������������
�� �������� ����� �� ������� 3�������������������� ������ �� ������� � �� �
����� � ����
Latihan 1.3
������������ !� �"�����#$$�%�&�����14
�� �������� ���������������������������� ����������������������������������������
�����&��'���������������������������������� ���������� ������������������ ���
������������ �����������������������������#�������� ������@(������(����� (����������-
����'���������������������������������������� ��� ������������������� �������� ������
������ ���� � ����������� ���������� ������ ������� �� �������������� ������ ������ &
�� ������-��������������������� �� ���������������������������/���������������������
�������������������� ������ �������B��(�(((�((������������������ ������&������
B�C�-((�((��3� ��������������� ������������#������������������� �� ������ ���
���� ��������������������������E�3�����������������������
� ��� �������� ����������������� �������������������������������������� ������
������������������ ������� ��������������������������������������� <���@�����
@(� ����������� ���� ���� ������ +�&�� ����1� �������� ������'��������� ����� �� ������
�� �����������������������������������������9�����������������������������������
��� ���� ������ +�&+�����1������#������������ � ������������������������������������
�������������9��������������� ���� ���� ������ +�&������1������#������������
��� ��� ���� �� ��������G� ��� ����� ���������� �������� ����9������#������ �����
B�7�(((�((�����B�<�(((�((��&��� ���� �� ������� ������������������ ����� �����
������������������������������������ ��������������������� ������� ����� ���
�� ������������� ���������������������������������������������������3����������
����������� ���� ������� ����
@� ����� ������������������������@�(��������� ���� ��������3� ������������ �
�� ������ ��������������� �������� � ���� �� ������ ������ ��������� ����� ���������
������������������������5�������� ���� ��������������������� ������������� ��
������6��� ������ ��������� ������������ �������� �� ������������ ��������������
J���� ���# ���������� ����������� ������������<���� ���������������� ���������
�������(���� �+������� �� � �� ������ ����������������� ������� �� C(�������+� �!
�� �� ������� ����������� ������������B�-�(((�((���������B��(�(((�((��3� �����
�����#������������� �������������� �� ����� ����� ��������������������������E
3���������������������������� �����������
-� �������������������������������������������������� ��-((�� ��������������������
��������������!���������5���� ������������������<(������������������������������
��������5���� �������������@(������/������� ��������������������5���� ���
������������� ���7��(((�����3����������������������������������������������!�B�@((�(((�((
�����������������B��((�(((�((���� ����������������������������#�����������
��� ����� ��������������� ��������#���������E�3�������������������������
�� ������� ����
1.4 Penyelesaian Persoalan Program Linear+������������������ ����� ������� ������������5�� �� �������������
�� �������� �� ������� ���������� ����������������������� �����������������8� �
���� ������������������������� �������� �� ������� �������
�� %��������� �������� �� ������� ��� ����������������������������������
����������!�������������������� ����!����������� �������� ��#��� �������������
������� ���� �������� ����������� ����� �������� ������ ����� �
�� %������������� ����������������� �� �������� ����������� ����� ����
� %���� �������������������������������� �� !������ ���������������� ����
�������� ���������������
@� %����5����� �������������������������������������������������������
������������������ �������� �� �� ����� ����
������ ��� ������������� 15
�������
"���� �������� �������� �� �� ����� � ��������������������������������
������������������������������������� �������������������������� ��� �
��������������������
3� ������������� ������������������������������ �������� �� ������� �������
�� ����� ��������� �������� �� ������� ���������������������������������
� ��������� �������� �� �� ����� ����������
������� ��$��
��� ������������ ������������ �� �������������������� ������ ����� ������&�������#
�������� �������������������������������4����������44��'�������������������
�� ����������������4���������������������������44�(��-���'������������������
&��� ����������������4���������������������������44����������(�-���&������
�� ������ �������������������� ���������������� ������������������� �� �����
��������#�����������/��������� 4� �� ������ (���������������� 44� �� ������ ����
3� ���������������������� �����������&�������������������������� ��������������
���������� ��������������������������#�����������������������������������
�� �����������E
&������������
�������� � %���������������������� ���� �������� �� ������� ���������
%��������������������������������� �������������������'��������
������������������������&�������������������������
&� �������� �� ������� �������������������������!�������������
*)'+�*�7�'�,��
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≤� ( )�*
(��-'�,�(�-��≤����������������������������������������������������������������)��*����������������������'�≥�(���≥�(��������������������������������������������������������������������)���*
'+���∈�1�)�������������������������*
�������� ! %������������� ����������������� �� �������� ����������� �����
)�*;)���*
9������ �������� ����������������� ����'�,���.� (������� ���(��-'�,�(�-��.���
�� ����� ����#�������� ������
&� ���������5���������������������� �������� ��� (��-'� ,� (-�� .� ��
��������� ������ '� ,� ��� .� @7��� ������ ������ �� �������������
��������������������������������������� �������������/�������
���� ����������������� ���������� ����� ������
��������3���
����4 �������44
���� ����(��-
& ���� �����(�-
3��������� �� ����� �� ( �������
&������
�'�,���.� (
���' ����������( �����������-
���� ��������� ( �����������(
)'��* ������)(� (*�������)�-�(*
(��-'�,�(�-��.���
���' ���������( ����������@7
���� ���������@ �����������(
)'��* ������)(��@*�������)@7�(*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����16
�'�,�����.� (���⇒����'�,�����.� (
��'�,����.�@7���⇒ �'�,�@��.�?<�:�������; ��.�;<<����������.���
������������'�.�@7�;�@@�.�@
"�������������������������� ����� ������������)@���*�
G������� ������������� ����� ��� �� ������������� �� �� �����
�� �����������)�*�;�)���*������������� �������������� �����
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� � )�*� ;� )��*� �����
��� ������������������������������- &1�
�������� # %������������������������ ��!��������������������� ���������������
'�����������������������������)'�,��*���������#�������������� �����������- &1�
"�����������������!�������������*)'+�*�7�'�,�����������<��� �������������
&)@���*���������'�.�@�������.����
�������� $ %������������������������� �������� �� �� ����� ����
/� ����'��� ���������������������������������������������������
���������������������������������������������� ������&�������������
�����������������������5�����������������������������������
���������� ��������������� ������������������ ������ ����������@����
��������������&������������������������������������������������������<�
�
������� ��$�!
��� ����������������������������������������� �� ����������� ������������� ��#
���� �� �������� ������� �� ������� ������� ��������������������������� �����
������:+�;������<������#����������������������C���������� (������������ �������� ������
$��� ������������ ������9����� ���������� ������� �� ������� �������������� ������ �
�������������� ������������:+�;������<������#������������ � ������������������
������������������������������9��������������� ������������:+�;+�����<������#
������������ ������������� ��������&� ��� ����������������5��� ����������������
������������9������#������������B�7�(((�((�����B�<�(((�((��&�������� ������� ��
�������������������������������������#���������������������� ����������
������� �� ������������� �������������������������������������� �������������
�� ������
.
#
��-)(�(* ������)@7�(*
)(� (*
)�-�(*
'�,����.�@7
1)(��@*&)@���*
�'�,���.� (
���+���� -)(�(* )�-�(* &)@���* �1)(��@*
������������' ����( �����- �����@ ������(
������������� ����( �����( ������ ������@
��'�,�� ����( �����- �����< ������@
������ ��� ������������� 17
&������������
4�!� ������ ���� �������� �� �� ����� ���� ��������������������������������� �����
���������� �����
�������� � %���������������������� ���� �������� �� ������� ���������
%���������������������������������������������������'���
��������������������������������9�����������������������
&� �������� �� ������� ������������������� ��K����������������#
������!�������������
*)'+�*�.�7�((('�,�<�(((�
������� ��� ��#��� ���
� '�,���≥��C�������������������������������������������������������������������������)�*����'�,����≥���������������������������������������������������������������������������)��*
�����'�,����≥� (�����������������������������������������������������������������������)���*�������������������������������������'�≥�(�������������������������������������������������������������������������)��*
��������������≥�(��������������������������������������������������������������������������)�*
�������� ! %���������� ������� ����� ��� �� ������������� �� �� �����
�� ���������������� �)�*�;�)�*�
9������ �������� ����������������������� ��#�� ��� '�,���.��C��'�,���.����
������ ���'�,����.� (��� ���������#�������� ������
+�������������� ��� '�,���.��C������� ���'�,���.������������������������� �����
'��,���.��C
������'��,���.����:
������������'��������.�<
�'��������.�
������������.��7
"�������������������������� ����� ������������&) ��7*�
+�������������� ���'�,���.���������� ���'�,����.� (���������������������� �����
���������'���,�������.���
'���,������.� (�:
�������;��.�;?
���������������������.�?
���������'�.���
"�������������������������� ����� ������������1)���?*�
'�,���.��C
������' �������( ������?
������� �������C ������(
���)'��* ��)(��C* ���)?�(*
'�,���.���
������' �������( �������
������� �������� ������(
���)'��* ��)(���* ��)���(*
'�,����.� (
������' �������( ����� (
������� ������- ������(
���)'��* ��)(��-* ���) (�(*
'��� �/���
��"�����: "�����; "�����<
�������� �������� ������ ������� 7�(((
�������9 ��������� ������ ������� <�(((
+�������� ��������C ������ ����� (
"�����&���� �����������G� ��
������������ !� �"�����#$$�%�&�����18
$�� ���������������)$&*��� ���������� ���������������� �)�*�;�)��*�������
������ ���� ���������� �����
�������� # %����������������������� ��!��������������������� ���������������
'����� ��������� ��������������� )7�((('� ,� <�(((�*���� �����#������ ������ +�&+�1�
������
"����������������!�������������*)'+�*�.�7�((('�,�<�(((���������� ��(((
�� ��������������&) ��7*���������'�.� �������.��7��������������������������
B�� ��(((�((�
�������� $ %������������������������� �������� �� �� ����� ����
��� �������� ���� ������ ��������������������������� �� ������ � ��
������������������ ���������� ��������������������&�����������7����
�
3� ��������� ����� ��������������������� �������� �� �� ����� � ����� ����
��������������������������
������� ��$�#
������������� �������� �� �� ����� ������������� �����
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,���
������� ��� ��#��� ���
'�,����≤�7�����������������������������������������������������������������������)�*'�,���≤�<����������������������������������������������������������������������)��*
�����������'�≥�(����≥�(��������������������������������������������������������������������)���*&������������
������������������������������������������� ���������� �����������)�*�;�)���*�
'����� �������� �� ��������������� ��� '�,����.�7������� ����'�,���.���� �� ���������#
�������� ������
.
#
(���������)?�(*����������)���(*
)(���*
)(��-*
'�,���.��C
'�,���.���
'�,����.� (
)(��C*
&) ��7*
1)���?*
�) (�(*
��������+���� )(��C* &) ��7* 1)���?* �) (�(*
�����������' ������( ����� ������ ���� (
������������ ������C �����7 �����? �����(
7�((('�,�<�(((� �<��((( � ��((( �-(�((( �@(�(((
������ ��� ������������� 19
Tugas Mandiri
+�������������� ���'�,����.�7������� ���'�,���.�<����������������������� �����
'�,����.�7
���'�,�����.�<�:
������������������������������������������������������������������.�������������������'�.�<�;���.�@
"�������������������������� ����� ������������)@��*�
G���������������������������� ����������������� ���������� ����������
)�*�;�)���*������������� �������������� �����
$�� ����������������� ���������� ����������� ����� � )�*�;� )���*���������� ������
�����������������������- &1�
D������������� ��!��������������������� �������������������������������
������������������������*)'+�*�.� '�,�������������#�������������� ������������- &1�
"�����������������!�������������*)'+�*�.� '�,������������7��� �������������� )<�(*�����
���'�.�<�������.�(�
�
8� ������!� ����������� ����������� �������������� �������� �� ������� ���������
����������� �����������������������������#������������������������ �����������
��������������� ���������������������
'�,���.�<
���' ����( �<
���� ����< �(
)'��* ��)(�<* ��������������)<�(*
'�,����.�7
���' ����( ��7
���� ����@ ��(
)'��* ��)(�@* ���������������)7�(*
��������+���� -)(�(* )<�(* &)@��* 1)(�@*
�����������' ������( �����< �����@ �����(
������������ ������( �����( ������ �����@
����� '�,��� ������( �����7 �����< �����7
.
#
�-)(�(* �������� )<�(*��������)7�(*
)(�<*
&)@��*
'�,����.�7'�,���.�<
1)(�@*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����20
�� �������� ��������� ������������������� ������������ ����������������9��/����
�� ���� �� ��������������������������������������������������� 4���������� 44�
'������������� ���������� ���������������������4����� ������������44�����������
�������������� ����9����� ������@� �����������4������� �����������44��%�����4
���������� ����(������������ �����������44����������� ����7������������ ���"������ �
��������� ���� �� ���� ���� �����B�-�(((�((������� �� ��������� ����9����� ���� ����
B�7�(((�((�� ��������������������� ���� �������������� ���� ������9������� ���������
��� ����� ���������������������������G����������������������������
�� �������� ������� ������ �������-(�� �� ������������-(�� ��������������
������ ���������� ������������������������ ����������3����� �������-(�� ��������
�����((�� ����������&� ��������� ���������������� �����������������������
(����������������-�������������3� ���������������������#������������ ������ �
�������������� ���������������������� ����� �������������� ������ ���������������� �����
������E
� ����������5������ ���������� ������������ ������ ������� �� @((����������
������������������������������!���������5���� ��������������������<(����
����������������������������������������������������(�����&���5�����������������
���5��������� ������ ������� �� ���(((�����3���� ������������ ���������������������
��������!�B�7((�(((�((����� ������������������ �������B� ((�(((�((�� ����������� ���
���������� ��������������#������ ������ �� ������ ��� � ���� ���� ����������
��������#����������
@� 8� ����������'����������������������!�������������
*)'+�*�.�-'�,�@�
������� ��� ��#��� ���
� '�,����≤����'�,� ��≤�?'�≥�(����≥�(
-� 8� ����������'���������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,���
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≥�<����'�,���≥�@'�≥�(����≥�(
1.5 Penggunaan Garis Selidik untuk Nilai Optimum$������������������������������� ���� �����������������������������
���������������� !������ ������������ !�������������!� � *)'+�*� .��'� ,������������ �
������������������������������� ������ �� ��� ���������������� �� �� � ������� �
������ ������������������������������������'�,����7����"������������������������
�� ��� ���������'� ,����7��� ������ �������� ��� ������� !��������������������������
��������������������������������������!������������� *)'+�*�7��'�,��������
��� ������������������
Latihan 1.4
������ ��� ������������� 21
J�����#�������������������� ������������'�,����7����������������������� �����
�� 0��� ����� ����'� ,����7� ��� ����� ��������� ������8� ������������������
�����#�����������)��(*�����������������������������)(��*��0� ����������������������
�5����0� ����'�(����7���������������� #���� ������� ���������� ����� �������������
������*)'+�*�7��'�(���������������� ���#�����D�����*)'+�*��������������� ����
������� ����� ������������ ��������������������� �� ��������������� ������ ��
�� 3�������� ��#�� �������������� ���������� ����'�,����7��������������� ������
���������#���������� ���������� �����
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
��������������������������� ������������������������������������������������
�����������*)'+�*�7��'�,����7���� ��������������������� ��!�������������
+�������������� ������� �������������������������������������������� �����
������
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
������� ������ ����� ��������� ����������������������������������5������
��������� �������*)'+�*�7��'�,����7���� �������������������� ��!�������������
+�������������� ������� �������������������������������������������� �����
�����
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
�� ������������������������ ������������� ����� ������������������������
������� ����� ������������ ����������� *)'+�*� 7� �'� ,���� 7� ��� ������������
�������� �� !������ �������� ������� ������ ����� �� ��� �� ������ ���� ����
�� � ����� ������� ��� �� ������������� � ������� �����#������ ����
�������������������������� �������������G�������������������� ���������
*)'+�*�������� ���������� � ����� �� ��������������� ��������� ������������
�������� ��!�������������*)'+�*��������� ���������������
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
�� ������������������������ ������������� ����� ������������������������
���������5���������������� �������*)'+�*�7��'�,����7���� �����������������
�� ��!���������������������������������� ����� ����������������� � �����������
��� ���������������� ������� �����#������ ���������������������� ������
�� ������������G��� ���� ������������� ���������� *)'+�*� ����� �� ��� ����
�� � ����� �� ��������������� ��������� �������������������� �� !�����
�������*)'+�*��������� ���������������
������� ��%��
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�7�'�,�,�
������� ��� ��#��� ���
��'�,���≤�7�'�,� ��≤�?'�≥�(����≥�(
&������������
+�������������������� ���
<'�,� ���.��@
��'�,� ���.��?�:
-'�����������.��-
��'�����������.� �����������.��
.
#
1)(� *
'�,����.��
&) ��*
)@�(*
�'�,���.�7
'�,����.�C '�,� ��.�?
)?�(*
)(�7*
-)(�(*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����22
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� �� ����
�����- &1���"������������� ��#�� ���'�,����.����������������� ������������� ��������
�� ��� �� ������ � ������ ���������� ���'� ,� ���.���+� ����������� ���������������� ��
�� �������������������-������������������������� ��/� �������������� ���������������
�������� �� !������ �������������� �� ���� � ������������������ ���'�,���� .������
���������� ���������������� ��������������������� �� !������ �����������
���������� ������������������������ ���'�,����.���������������� ��������������
� �������������������� ��!��������������&� ����������� ������������5���� ��
'�,����.C�� ��������� ����������������������������������� ���������������
"�����������������!�������������*)'+�*�7�'�,�,����������� ����������������� �����
������C��������������������&) ��*�
�
������� ��%�!
+��������������'�����������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,�-���������������
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≥�?����'�,���≥�-'�≥�(����≥�(
&������������
+�������������������� ���
'�,���.�?
��'�,���.�-�:
�'�������.�@
����������������'��������.�������������.�
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� ������
��� �� ���"������������� ��#�� ���/'�,�2��7����������������� ������������� ����������� ��
�� ������������� ���������� ��� '�,�-��.�-��+� ��������������������������� ����� �����
�������������-������������������������� ��/� �������������� ������������������������ �
!���������������������� ���� ������������������� ��� '�,�-��.�������������
��� ���������������� ��������������������� ��!���������������������������� �����
������������������ ��� '�,�-��.����������������� ���������������� ������
������������� ��!��������������&� ����������� ������������5���� ��� '�,�-��.�-
� ��������� ������������ ��������������������� ������������������������������
)-�(*�
"����� ����������� !������ ������� *)'+�*�.� '�,� -�� �������� ��������������
�� �������������-�������������������� )-�(*�
.
#
-)(�(*�����������) �(*������� )-�(*
1)(�?*
)(�-*
'�,���.�?
&)�� *
'�,���.�-
'�,�-��.��- '�,�-��.��-
������ ��� ������������� 23
.
#
-)(�(* ���������������������)�@�(*������ )�(�(*
1)(��@*
)(�7*
-'�,�7��.�@( '�,���.��@-'�,�7��.�7�
�'�,�-��.�@(
&)�(�@*
���� ������������ ������� �������������5������ ������ �������� �� �
����� � �������������������������������� �������� ������� �� ���� � ��
�������� ����� ������ ����� ������������� ���������� ������� �����
������������������ ��������� ���� ������� ����� �� ��� � ���������#
���� � ����������������������������������������������������� �� �� ����� ����
3� ��������� ����������������������������� �������������������
������� ��%�#
������ ����������������6�4��������� �� ���� ��@(�� �������������������������
�������� ��� ���������� ��� � ������'����� ����� ���� � �������5�������������
&������������������������������������ ������������� ����������&��+���� ������
������������ �������������&����������������-�� �����&��������������������������
������������5����� �����������������@���� ��G� ����� ���� ������ ������
B��-�(((�((������ ����� ���� ������&�������B�@(�(((�((���3� �����������������
� �������5����� � ������������� ���������������������������������������
��� �#� ����E
&������������
%����������������������� ������ ����������5��������'���� ����
���������������������� ������&����������5�������������
3� ���� ������ �������� �� �� ����� � �� ��������� ���������� �����������������
���������� �����
%�������� !������ �������
*)'+�*�.��-�((('�,�@(�(((�
������� ��� ��#��� ���
�'�,�-��≥�@(����'�,�����≥��@'�≥�(����≥�(
+�������������������� ���
�'�,�-��.�@(
�'�,����.��7�:
��������� ��.���
�������������.�@�������������'�.��(
0� ��������������������-�((('�,�@(�(((��.���������-'�,�7��.�������������.�
�
-�(((
�
$�� ����������������� ���������� ���������������� ������������������ ���������
�� ���'�,��� .� �@�� �� ��� �'� ,� -�� .� @(������ �����#� �� ������ ������������� �����.�
/���������������� ��#�� ������������-'�,�7��.���������������������������� �����0� ��
�� ������������ ���������� ���-'�,�7��.�@(��0� �������������������� ����������������5�
������������������� ����������������������� ��� � -'� ,�7�� .�7���0� ��� �������
�� ���������������� ������������������������&)�(�@*��4����� � ���������'�.��(����
��.�@�� ���������������������� ������������������������
"����� ������������� � ����� ����������5���������(���� ����� �����&� ����
����5��������@���� �����������������5��������B��@�(�(((�((�
�
������������ !� �"�����#$$�%�&�����24
Tugas Mandiri
"������ ����������������� L�� ������������������������ ����������������������������
��������������E
�� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�7�2'�,�/�����������
������� ��� ��#��� ���
��'�,���≤� ����'�,���≤��'�≥�(����≥�(
�� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.�7'�,�<����������
������� ��� ��#��� ���
���'�,���≥� (���'�,����≥��@'�≥�(����≥�(
� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.�-'�,�@�����������
������� ��� ��#��� ���
��'�,� ��≤�����'�,���≤�7'�≥�(����≥�(
@� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.� '�,�@����������
������� ��� ��#��� ���
����'�,�����≥��(���@'�,� ��≥�@7��'�≥�(����≥�(
Latihan 1.5
������ ��� ������������� 25
-� $������������������� ������������������������� �������� �� ������� ��� ������'����
�� ��������������� ��������� ����� ���������������� (��������5������� �������
�7����������������������� ��������� ���������&����� �����������������(�������
5����� �� �������� �@� ����M����� �� �������� ����� �� ������ ������ C�(� ������
��������������������������� ������������C-(�����"����� ���������������������� ���
�������B�-�(((�((������ ������������ ����&�������B�@(((�((��������������������
� ��������� ������� �� ��������� ����� �������������������������
<� �������� ������� ���������������������������� ����������� ��������� ����� ���
�����&��3���������������� ���������������� ��?(���������� ((������������ 7(��������
��������@(�����'�������������������� ��������� ����� ������(� �������� ���(�����
������(������������������(� ������������'�������������������� ���������&����� �����
(���������� ��(������������(�-����������������(��������������G� ����������������� ��������
�������B��(�(((�((������ ����������������� ���������&�������B��-�(((�((��3� �����
���������� ��������� ����� ���������&�� ������������� ����� �����������������������
������E
�� �������� ����������� �����
�������� ���������������� ������������������������� ������ ����������������
����������������������������+�����)�+�*�� ���������������������� �������������
�� ����������� ����� � � ����� ����� �������������� '� 7� �� ���� �� 7� �� ����� ������
�� ����������� ����� �������������� ����������� ����� � �� ����������������
�� ��������������� ������ ���� �
J�����#������� ���������������� ��� �� ������������� ������ �������� #
����������� ����� � ������
�� 0��� ����� �������� ���������� ������������������������ ����������
�������������
�� ����� ������ ����������� ���������� ������������������� ����������
����� ������
�� +�������������������������� ������������������������
�� %�������������
%��������������������� �������� ���� �������#�� �������� �����������
��������������������������� ��������� ����������������������������� ����������
� &� �������� �� �� �����
&� �������� �� ������� ���������� �����������������������������)�����
���������*��� �� ������ !������ �������!� �� ����� !�����#!������ ������������
���� ���������������� �������� �� ������� ���������� �� ���� ��������������������
�� F������ ������L�������!� )�����������������������*�
�� F��������������)�� ������������ ���������������� *�
@� %����������������������!�������������!
�������� ������ ������������������������������)���������������*
������!�������������!������ �����������������������
�� �� �����������������
�� �� ����� ����������
Rangkuman
������������ !� �"�����#$$�%�&�����26
&���� ���'������ �������� �������� ���� !����!��
��� ���� ������������� �� 4�� ����������
��������� ���� !������ ���� ��������5���
$���� ���� ��� � ��� +�� ������ &� ������� ��� �
��� �������������&������ ��(� ���������
����������� ���� � �� ����� ����� /� ��
������������������������������ �������� ��
�������+������ ���� ������� ����� �< C�� 4��
� ������� ������������� ����� �� ���
������ �� �������������������� �������� ����� �
������������������� ����� �������& �� �������
���������������� �� ��������� ���������� �
��� ���������������������������
��������=��>�������)�����
�������������������)��
Math Info
������ ��� ������������� 27
�� ������� ��������������������������� �� ����� �����������
�� ��������������������������������
�� &� �������� ����� ���������������������)(�<*�����)7�(*������������
�� @'�,� ��.��@ $� @��,� '�.��@
3� @'�;� ��.��@ N� @��;� '�.��@
8� @'�,� ��.�;�@
�� +���������������� ���� ���'�,���.��(�����'�;����.�@������������
�� )��7* $� );��7*
3� )7��* N� );7��*
8� )7�;�*
� $�������� �������� ����������� ����� �
@'�,� ��≤����'�,�-��≥��('�≥�(����≥�(
$�� ����������������� ���������� ���������������� ������������������ �
�������� �� ��� ������ ������
�� $�
3� N�
8�
Uji Kompetensi
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
������������ !� �"�����#$$�%�&�����28
@� $�� ���������� �� ���������� ��8� ������������5������� ���������� �
��������������������� ��������������� �
�� ��'�,�����≤�@ $� ��'�,�����≥�@��'�,����≥�@ ��'�,����≥�@��'�;����≤�;@ ��'�;����≤�;@�'�;�����≥�@ �'�;�����≤�@
3� ��'�,�����≤�@ N� ��'�,�����≤�@��'�,����≥�@ ��'�,����≥�@��'�;����≥�@ ��'�;����≥�;@�'�;�����≤�@ �'�;�����≤�@
8� ��'�,�����≤�@��'�,����≤�@��'�;����≤�;@�'�;�����≤�@
-� ��������������������� �������������(((������� �������7(O�������� �#
����������� ��� ���� ��$������ �������� ��� ���� �� ����� ��������������
��������������������-(��� ������������5�� ������"����?�������������������
�� ��������������������������������������������������
�� ?�.��7(O� > �)�(((�;��-(* $� ?�;��-(�.�7(O� > ��(((
3� ?�,��-(�.�7(O� > ��((( N� 7(O� > �?�,��-(�.��(((
8� ?�.�7(O� > �)�(((�,��-(*
<� ��� ���������������������������������� ������ ���������������� ������
����&����������������� �� ����������� ������� ������������������
���((����������������������� ����������@(��������������������������&
��������� <(� ������� "���� '����������� ���������� ����� ����
������������ ����������������������������������� ����&����������
�� ���������������� ���������������� ���������������������� ����������
�����������
�� �'�,� ��≥�<( $� '�,����≥�<(3� �'�,� ��≤�<( N� '�,����≤�<(8� �'�,� ��.�<(
C� ��� ��������������������� �� ���������������� �� �� ������������(((
���+����� �� �������������������� �������� �� �������������� ��K��� "�������
�� ������ ������ ������� (������������ ��K���� ������ �������-�
��
����������� ���������������� ���������������������� ����������������������
�� <'�,� ��≥��(( $� '�,�<��≥��((3� '�,�<��≤��(( N� <'�,� ��.��((
8� <'�,� ��≤��((
@
�
( �� ������@
.
#
)@�@*
������ ��� ������������� 29
7� &� �������H����& ���5�I��� �������������������������������� ����������
&�������#�������� ��������������������������4����������44��'����
����������� ��� �����������4����������������������������44���������
(��-���'����������������&��� �����������4���������������������������
44� ��������� (�-� ��������3���� 4� �� ������ (� ���������������� 44� �� ������ ��
��������"�����������������������������������������#���������������������
�� �- $� (
3� �@ N� �<
8� �7
?� $�� ����������������� ���������������� ���������������� ����������� �����
D�����������!�������������*)'+�*�.� '�,������������� ���������� �� ��������
�����������
�� ( $� ?
3� �7 N� 7
8�
328
�(� G���������������������� ���������� ���������������� ��'�;���≥�(��'�,���≥� �����@'�,���≤��������������� ��������� ������������
�� �������������� ��� $� � ������
3� �� ������������ N� ��������
8� ��������
��� $������������ ����������������� ���������������� ���������������� ��������
�� �����
&� �������� �������������������������������� �����������������������#
�������!�������������*)'+�*�.�-'�,�@���������������������������������
�� < $� �@
3� ( N� �(
8� �<
.
#
@
�
( �������� �<
.
#
( � ���������������<
@
������������ !� �"�����#$$�%�&�����30
��� D���������� !������ *)'+�*� .� 7'� ,� <�� � ����� ��� �� ������������� �����
�� ���������������� ���'�,����≥� (��'�,����≥��@��'�≥�(��������≥�(�������������� �?� $� � �
3� �7( N� C�
8� �@�
� � ������������������ ����������������������������������������P��
����� ������ � �������� ������ �� (� ����������� ������&� �������� ������ �� �@
��������'���������������������� �������� �������������������������
���������������������������
���%��������������
�������������������������
�������P�������������� ��������������P��������������&��%����������������������
����������������� �������P�������� ������ ������� �������P�������� ������&�
G� �������������������������B�7�(((�((��� ��������� �����������������
�
������B�-�(((�((��� � ����3��� ���������������� ������ ���������� ���
� ������ ��������� ����������P���������� �������� ���������������� �
�� B�<(�(((�(( $� B�?<�(((�((
3� B�C-�(((�(( N� B�? �(((�((
8� B���(�(((�((
�@� ����������5������ ���������� ������������ ������ ������� �� ((���#
��������������������������������������!���������5���� �������������
������<(����� ������������������������� �������������������������
�(�����&���5��� ������������������5��������� ������ ������� �� ���(((����
3����������������������������������������������!�B�7((�(((�((����������������
�������������B�-((�(((�((������������������������������#�����������
�� ��������� ����� �����������������������#���������������� ���� �
�� B��?-�(((�(((�(( $� B��@(�(((�(((�((
3� B��<(�(((�(((�(( N� B� ((�(((�(((�((
8� B��-(�(((�(((�((
�-� D�����'����������������������!��������������*)'+�*�.�-'�,�@���������� �
���������������������������� ������������ '�,���≤��-���'�,����≤�?���'�≥�(��������≥�(�������������� 7 $� <
3� @- N� �-
8� <(
�� ������� ������ ����������������!"��������������� ������#
���������� ������
�<� "�����*)'+�*�.�-'�,����������)'+�*�.��'�,� ���� ���'+�����������������#��������������
������!���������������������������������������� ��!������*�����������
�����#������ �������� ����������� ����� ��� �����
�� �'�,���≤�@���'�,�<��≤������'�≥�(�����≥�(�� '�,����≤��(���-'�,����≤��(���'�≥�(�����≥�(
�C� J������� ���� �� � ������ -((���� J���� ���# ���������� ����������� ��K
�(��� ���� ������ ������ � ��� �-�
���$�� �� �� �� � �� ������ ������ ����
�������� ������� �� @(������ ����� "���� �� �!��� �� ������������ ��K����
� ��������#������������B�@�(((�((�����B�-�(((�((�� ������������������
����� ��K����� � ��������#������� ����� �� � ��� ����� ��������������
���������� ���������������������������� ������
������ ��� ������������� 31
�7� �������������������������������������������������� ��-((�� �����������
�����������������������!���������5���� ������������������<(�����������
���������������������������5���� �������������@(������/������� �����
��������������5���� ���� ������ ������� �� �7�� (((�����3���� �����������
������������������������������!�B�@((�(((�((������������������B��((�(((�((�
�� ���� ���������� ��������� �����#������ ������ ��� � ���� ���
�������������������#���������E�3���������������������������� ������
�������������������
�?� ��� ���� ������������������� ���������� ������ �� �� ���� �������
������������� �� ������ �� ��������� ������� �� ������� ������� ������������
�������������� ������������#+�.������@������#����������������������@�����
���� <������������ �������� �������$����������������������3������ ���������
��������� ��������������������������� ��������������� ������������#+�.+
����@������#������ ������ ���� ��������� �������� � ���������� �������������
������3��������������� ������������#+�.������@������#������������ ������
���� �� ��������G� ��� ����� ��� ������ ������ � ����&������#������ �����
B�7�(((�((�����B�<�(((�((��+������������������������������� ����������
��� �������������� �� ������
�(� �������� ������� ���������������������������� ����������� ���������
���� ���� �����&�� 3�������������� �� ������ ������ ���� � @((����� ����� -((����
�������7((���������������� �((�����'����������� ��������� ���� �����
���� ������(���������� ���(�����������������������������(� ������������'����
��������������� ���������&����� ������(���������� ��(������������(�7�����������
����(��������������G� ��� �������������� ���� ����� �������B����(((�((����
� ����������������� ���������&�������B��(�(((�((��3� ���������������� ���
����� ����� ���������&�� ������������� ����� ������������������������������E
�� ��� ��������������� ���������������� ������������<�������������
�������������������&��� �� ���4������������������������������
������������������������+�������� ����������������������������� ����
�������������&��������������������� ������������������@�������������
������������������&��"����� �������������������� �� ��#�� ���B�@((�((����
B� ((�((��� ����� ���� ������������ ��� ������������� ��������� ��
���������������������E
�� ��� �������������������������������������������������������#�����������
�������� �((������������ �������5������ �-(��������� +���� �� �����������
����� @((�������� ��������/���������� �������������� ������� ����#����
B���(((�((����� �������������� �������5������B�-((�((�� "���� ���������
������� ����#����� ������������������ �-(����������� ����������������
������� ���� ���������������� ���E
� &���5��������������������������������@7��� �������������������
�������������������5��������� <(����� ������������� ��������(����
&���5�����������������5�����������@@(�����G� ��� ����������������
B��-(�(((�((� ���� ������ �������B��((�(((�((����� � ����������� �� �
�������� ����������� ���������5������������������������� �����
���������������������������E
Soal Analisis
������������ !� �"�����#$$�%�&�����32
��� ( ���
D�� ����������������������������������������������������� +������ ������������������������������������������������������������
/���� ���Q44 %��� ��&���� ���& �� ��J����
/������ ����������������������������������������������������� ������ �����)����*
/������� ����� ������ �������� �� ������� ��������������������� �#� �
+����� ���%����������������������)��������������*�!������������
�� ���� ���� )����� ���� � �������
�� ����� ����� � $�!�� � ����������� ���� ��� ��
�� 3���� ������� @� M��������������� ���
�� ����� ���*�
�� 3��������������������� �� ��@������-����5��
�� �������5������ �� ���� ��� ������ � ������ �������������� J������� �� ���
�� ����������������������� ������������� �������������� �������� �� �
����� �
� %�����#������ �������� ��� ������ �������������������� ����
�� �������� �� �� ����� ����������� ���� ������� �������� �� �� �����
���������
@� J����������������������������� !������ ����������� !���������������� �
�����#�������� �������� �� ������� �������������������G������������
������������������������ ���������
-� 3� ���� ��������������������� �������������� �������� �� ������� �����
����������������������� ��������� ������ �������������������������������
��������������� �������#�������� �������� �� �� ����� � �� ������
<� 3������ ���� ������������� ���� ��������� ��������������� �������
� ������������������������
C� ����� �����5��������������� ����������������������������������������
�������� �������� ���������������� ���������� �������� �������� ����
� ������������ ����� ����������� �� ����� ���������L�� �������� �� �
���� �����������
�� ��� � �
3� ���� �����������������������������������������������������������������������
�� �������� �� ������� ������������������
Aktivitas Proyek
+��
��
��
�
@�
���������+���
,���� � -�����,���� � .�*���
/���� /������ ��
������� ��� ������� 33
MATRIKS��
BAB
Tujuan Pembelajaran
Pengantar
�������������� ����� �� ���� ������������� ������������
�� ������������������������������ ������ ���������������������������������� ���
�� ������ ������� ���� ���� ���� ������ ����� ���� �����
!� �������������� ��������� ���� ���� ����
"� ����������� ���� ����� ���� ���� �� �� ���� ����� �� ���������� �����
�� ������ ����� � ���� �� ������
������ ��������������������
#����������� ����������� ����� �������������������������������������������
���������� ��������� ������ ������������ �������� ���������������� ���� ���
���� ���������������������������������� �����������������$������ ���������������������
��%� �� �������� ����������%���&������������ �� ����������������� ��������������
������� ������� ������� �������������������� �������������� ����
���� ������������������
����������������������������� ����34
�������������� �� ���� ������������� ����������������������� �����������
������� ������� ������ �������������������� ���� ���� ������ ����� ���������
�� ���������� ������ �� ������ ����� �� ��������� �� ������ ������� ���������
�� ��������� ������� ��� ��� �� ���������������� �����'������������� �
���������������� ���������������� �������������������������� ��������������������
����������� ��������� �������� ������ ����� ������� �����������������������
������������� �����������
'�����������������%������� ���������� ������������������ ���� �����������
�� �� ����� �������� ������� ����� ���������� ����� �������������� ����� � �������
�� ����� ��� ���� ������ � ������� ����� ���� ������� ����� ���� ���� ����� ���
��������� ���������� ��������� �������� ������ ����� �
2.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks$���������������� ��� ���� ���������������������� ���� ������ �� ���� �
�������������������������� ��������� �������� �������������������������� ����
���������(� ������������� ����%��������������������
����� �� �
$��������������� ������������������� ������������ ��������������������������� ��
����������� �������� �����
�
����� �� ��
(���� ������ ���� �� �� �������� ����������� ����� )��� ���� �� ����� ����������� �������
������������������� ��*����� ������)��� ���
�
����� �� ��
+� ����� %����������� ��������������������
�
���� ����� ����� ������������
����� ���*! �����" ��������*,
������ ���** ������ ��������*,
-��� ���*, �����. ��������*,
/��� ���*" �����! ��������*,
#��� ���*, �����. ��������*,
����� ���** ������ ��������*,
���� ����������� ������ ������ ���� ����
0����� �����������1 ��������! �����* ������ ���*.
2�� ��� �����������1 ��������� �����" �����" ���"3
� ����� �����������1 ��������. �����, �����! ���",
4����'����� �����������3 ��������5 �����3 �����! ���".
���������� �����������
�������!"#$ ����������!"#$
��������� ������!�... ��������!�,..
$����� ������"�... ��������*�...
������� ��� ������� 35
4������� ��������%��������� �������� ����������� �������������������������
��������� ��� ��� ��� ���� ����������� �������0�����!���"�� ������������ ���� ����
��������� ���������������������������������������� �����
!�...����������!�,..
"�...����������*�...
������������������� ��������� ����� ������� ������������� ���� ������ ��������������
�������� �������� ����� ���� ��������� ���� ���� ���� �� ���������������� �������
�� �����
!... !,..
"... *...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������
!... !,..
"... *...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
��%� ����������� ������� ���������������������������� �����
%�&������ ��
������'�������������������������������������� ��������� �������� ������
������������������� ��������������(�������������������������������� �����
�����������'������������������������������� ����
����� �� �(
������������������ ����� ������ �������� ����
!
� " .
"
! * 1 �
1
� . 3
,
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
����6����7"���.8��658
���� ��������������������0�����!���*���� �������� �������%����� ����� ����
)������!����$��� ������������������������ ���������� ��� ��������������� ��� �
����'� ��������������� ������ �������#������������ �������� ��������������
������'*���������������������������!����$� ��� ���� ���� �� �����������������9 ����������� ������������� ���������4�� ������ ���������0�����!���*����� ��
� ���"��"���� �������!����� ���� ���*������� �������"����� ���� ������"������� ���� ������ ��� ����� ���� ���������'������� ����� ���������� ���������������������������� �����#������� ����658����������������������5������
:����� ������������� �������������������� ������� ����������������� �
������������������������� �����%������������%����
��;�
" . 3
� ! *
* , �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
���������� �;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� � !
" � #
$� ���� ���������� �������� ���������� ���������������� �����
+ 9 ����� ������������"��"��� �������� ���"��� �������"������
+ 2������������������ ��������������"��.������3�
+ 2������������������ ������!����������!������*�
+ 2������������������ ������"�������7*��,��������
����������������������������� ����36
+ 2��������������������������������"����������*�
+ 2������������������������!�������.��!������,�
+ 2������������������������"�������3��*��������
$� ���� ���� ����� �������� ���������� ���������������� �����
+ 9 ����� ���� �������!��"��� �������� ���!��� �������"������
+ 2������������������ ������������������������!�
+ 2������������������ ������!�������"���������#�
+ 2��������������������������������������"�
+ 2������������������������!���������������
+ 2������������������������"�������!�����#�
�
�� (���������� ������ �� ���� ���������� ������ ���������������� �������� ���������
������������������ ����� ���� ���� ����������� ����
�� &������� ������������������������ ������������������� ���������
�� &������� ������� ������������������������������������� ���� �������������������
������ ���������(�����)����������4��������������(�����)��� ���
%� &������� ����������������� ��� ����� ������������������������������� #���� ��
<�� �� �������4� �������������������� ��
Latihan 2.1
= . � ! " *
. . � ! " *
� � ! " * .
! ! " * . �
" " * . � !
* * . � ! "
�����������������'�� ������������������
����,���� �)-��� ,���� )-���
���� ��������>. �����5, ����>. ���1,
(����� )�������� ��������5, �����>. ����5. ���5,
4�������� ��������>. �����5, ����1. ���1,
(����� )��� �� ��������1, �����5, ����5, ���5.
����.���-����
������� /��� ������������������/�����
���!"#$ �!"#$ �������!"#$
#���� � "�... *�,.. ������3�,..
<�� �� � !�1,. *�".. ������3�!,.
4� �� !�5.. *�!,. ������3�*..
�����
������� ��� ������� 37
!� 0� �������� ������������� ��������������� ����������������� ������� �����������
������� ������ ���������� �������� ������� ����� ��� ���� ��� (� ������ � ����� �
�� ���� ����������� ���?
"� $��� ������� ����
��;�
5 . ! ! �
�
" , * ,
!
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &��������� ����� ������
�� &��������������������������� ����� ����
%� &�������������������������������������
�� &��������������������� �������������������������
�� &��������������������� ����� �������������������
*� (����������� ����������������� �������������������������������������������
�� ��� ����������������� ����� ���� ����������� ����
2.2 Kesamaan Dua Matriks$��������� ����������� ��������������'�������������;� �� ������������� ���
�� ���������� ���� ��� ���� �������������������� ������ ��������� 6�������8
����
����� ����
&���������� ������ ���� �� �����
��;�
" �
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� �;�
� �
. "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��$�;�
! � �
. " "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������%�;�
� �
! ! >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
@��������� ����� ����������� ����� ���� � ���� ����� ������������ �� ����
������������������������������ �����������������������≠� ���/� ����� ����� ���
�������������������� ����� ����$��������≠�$��9 ����� ���� ������������� ��
�� ����%����������������� ���� ���������� ���������� ���� ���� ����� ��������
�;�%�
�
����� �����
$���������� �������;�
.
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������ �;�
! .
"
�
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����#������;� ������������������������� �
����������!�
A�� ���������
$� ����;� ����� ������������
.
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��0�
! .
"
�
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(� ���� ���������������������������� ��������� ����
���������;�!�� ���7��;�!� ���;�"!
$� ���� �������� ������ ��������� ����
�������!�;�7�������;�"!�;�"6��8�;�7"������������;�!��;�!67"8�;��3
�
����������������������������� ����38
����� �����
$���������� �������;�
%�� ���
��� %��
α αα α
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� �;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���#������;� �����������������α�
A�� ���������
/� ������;� ������%���α�;�����������α�;�.��$� ����������%���α�;�������� ���������α�;�.�=�!�π���$� ��������������α�;�.������ ����α�;�.�=��π���#�����α�;�.�=�!�π�
�
�� $��������� ����� ���������������������� ����� ���� �������&��'��#������;� ����� ������������������������������������ ��������&������'?
!� #����� ����� ���� ������������������ ����� ���� ����������;� ?�#����������������
��� ����������������� ������������� �����%����� ��
"� #������ ������������������� ���� ��������� ����� ������������������ ����� ��
?��(� ����������������
*� #������ ������������ ���� ����� ���� ��������������;� ������ ����������������������������������� ���������?
,� &��������������(�����)�����������������
! "
* ,
( )
( )
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
�;�
�,
1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
3� &��������������(�����)�����������������
" * !
, ,
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�0�
�� !
, 5
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
1� ����������������(�����)�����������������
.
� !
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�0�
" �
� .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
?
5� $���������� ������;�
%�� ���
��� %��
α αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �;�
� �
"
! !
� �
"
! !
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��#������;� �����������������α�
2.3 Jenis-Jenis Matriks(� ����� �������� ����� �������������� ���� �������� ��� ������������������
�� �������.������
#���� �������� �������� ������ ����� ��� �������������� ��������
������ ��������������������'������#��������#������� ��� ���� ���������� ���
�� �������������������� ���� �� ���������������� ������ ������ �������� ������ �������������� ������ ������ �����
Latihan 2.2
������� ��� ������� 39
(� ������������� ��������� ����%������� ������ �����
��;�
� *
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������ ������ ������ ���!
�;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����� ������ ������ ���"
�� �������%�������
#�������� ������� ������ ����
���*��
� � ! "
� # � �
� � � �
� � � &
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������������+�#+��������&��������������������� ������ �������������������
������� ��������������� ������ ��������������'�������������������������
��������� ��� ��������������������������(� ����� �������� ��������� ����%����
�� �������������
��;�
! .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
� . .
. � .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
$�;�
* . . .
. ! . .
. . " .
. . . ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������� ������������'������ ������������� ����� ������������������������
�������������������������(� ������������� ����%������� ������������������
,�;��
" �
. !
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-��;��
, . !
. � "
. . *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������� ������������'������ �������������� ����� �������������� ����� �����
�������������������������(� ������������� ����%������� ������������������
���;��
! . .
* � .
" . ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.��;��
* . . .
1 ! . .
5 . � .
! " . ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1� ������� �������
�������� ����������������������'�������������������'������������
����� ���������������������������������� ���� ������������� �� ��������������
4�� ���� ���������� �� ���� ������������ ������� ���� ��������������������
� ����� ���� ���� ���������� �� �������4�� ���� ���������� ����� �� ���������������
��������������
����������������������������� ����40
(� ����� �������� �����%������� ���� ����������
�!��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�"��;��
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ������� ��
�������� ��������������'������������������������������ ���� ������ �����
�����������4�� ���������� �������������������������(� ������������� ��������� ���
%������� ��������
. .
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�*���
. . .
. . .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�*���
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�*��������� ( )0 0 0 0
�� ������������
�������� ���� ������ ������ ��� ������� �����������'������������
(� ����� �������� ����%������� ������ ���
6����!��"8� 67���*��1��58� ��� 6>��.��5��7,��1��3��*8
& � �����������'
�������� ���� ������ ������ ���������������������'����������'�
(� ������������� ����%������� ���������
!
.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����
�
�
.
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�
3
"
1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �������� ���������������� ��������� ������ ����?
!� �������� ���� ������������������ ��������� ������ ����?
"� �������� ���������������������� ������ ����?
*� �������� ��������� ��������� ������������?
,� �������� ���� ����������� ��������� ������������?
3� �������� ���������� ������ ��������� ������������?
Latihan 2.3
������� ��� ������� 41
1� (� �����%������� �������� ���������� ��������� ������ ��?
5� (� �����������%������� �������� ����������� ���������
>� �������� ���� ��������������� ��������� ������ �������������� ��������?
�.� �������� ���� ����������� ��������� ���� �������������?
��� �������� ���� ����������� ��������� ���� �������������?
�!� ������������ ���� ����� ��������� ���������������������������� ������ ������
�� ���� �������������?
�"� �������� �������� ������ ����������� ��������� �����������������?
2.4 Transpose Matriks
& ���������� ���������������������������������� ���� ���������������� �
���� ������ ���������������� ����������������������������������� �������
�� ���� ������������������������������� ���� ����������������������������
������� ��������������������� ���������� ���� ���������#������� ��������� ���
�� ������ ������������ ������� ������� ������ ����� � ������ ������� ��������� ���
�� � ��������������� �������� ��������� ������ � ���������(� ������������� ����
%� ������������ � �������� �������� ����
����� ��(�
#�������� ������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� �;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� ��� $�;�
. �
� .
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� � ���������� ���� ������ ���� �� ������ ������
���;�
� !
. "
1 *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� ��;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� �����������$��;�
. �
� .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
$��������� ���������������� � ���������� ������� ����������������������
������ ���������� �������� ���������6��8��;������������� ����������� ���� ���
���� ��� ��������� ;��� ��������'������ ��'������ ���������� �������� ���� ���
���� ��� ���������;�7����������'������ ����2��'�������������7���������� ���
������� ����� �� ������������������ �� ��� ����� ���� ������
����������������������������� ����42
�� &�������� � ���������� ���� ������ ������ �����
��;�
! . .
* � .
" . ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
, . !
. � "
. . *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� $�;�
�
3
"
1
⎛ ⎞⎜⎜⎜ −⎜⎜ −⎝ ⎠
�
%�;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
� /�;�
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� 0��;��67���*��1��58�
�;�
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� 1�;�
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
!� (� ��������� ����%������� ���� ���������������������6��8��;���
"� (� ��������� ���� %������� ���� ���� ���
*� (� ��������� ���� %������� ���� ��������� ���
,� �������� ���� ����������� ��������� ���� ���� ��?
3� �������� �������� ������ ������ ��������� �������� ��?
1� ������67��8�;�62�8
�?�(� ��������� ����%�����
5� �������� ���� ���� ���� ���� ��������� ������ ����?
>� �������� ���� ��������� ���� ���� ��������� ������ ����?
�.� �������� ���� ���� ��� ���� ������������ ���� ��������� ��?� #���� ���� �� ����
%����� ��
2.5 Operasi Aljabar Dua Matriks'�������������������� ������� ���� ������� ������ �� �������� ����
������� ���� ������������ B������������ ���C� ������������ �������������
�� ���������� ������������ ������� ������� ����� ���������� ����������� ������
������ ����
��3� .��-�'����� ���� .�����������%���������
(� ������������� ���������� ����� ������������ ��������������� �������
������������������������� �������� ������ �������� ������� ��� �6��� ���
�� ��(�������������8������������#���� ������������<�� �� ��
Latihan 2.4
������� ��� ������� 43
$���� �A��� �����(� ����(�����#���� �
$���� �A��� �����(� ����(�����<�� �� �
$� �� ��������� � ���� ������� ���� �� ������� ������� ����������������
���� ����� �� ���� ������ ���� ������ �� �� ����� ��� ��� � �� ������� �������
���� ��������� ����� ������� �������������� �����
$���� �A��� �����(� ����(�����#���� ������<�� �� �
A� ����������������������������� ���������������������������
��������������� �������������� ���������� ���������������������$� ���� ������
�� ��������%��� ���� ���������������� ���� ������ ����� (� ����� ���
���� ���������������������������������� ���� �������� ���� �������
'����������� ���� �������� ���� ����� ���������������������������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������.. ������,. �!,
D��� ����������,. ������1, �3.
4�� �� ����������1, ������,. �5.
�'��������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������1, ������.. �..
D��� ����������1, ������,. �,.
4�� �� ����������.. ������5. �1,
�'��������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������1, �����!,. !!,
D��� ����������!, ������!, !�.
4�� �� ����������1, ������". �,,
�'��������
����������������������������� ����44
%�&������ ���
#���������� ����������� ���������� ���� �������� ���� �������
���� ����������� ������=� ��������� ���� �������� ����������
��������� �� �������� ������������ ���� �� ��������� �� �
�������� ���� �� ������
����� ��3�
#��������������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��������$�;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
���
��=� �;�
� , . * 1 "
! . " 1 * 6 �8
+ + − +⎛ ⎞⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠
�;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������=�$����� �=�$� ����������������������������������������������
�� ������ ����������$� �� ����� ���� �����$� ���������� ���� ��� ���
����
#���� �� ����������� ������ ���������7 ��������� ���� ����������
������ ������������������ ���������������� ���� � ��������������������
%����� ����
��;��
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
7 ��;��
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
%�&������ ���
#���������� ����������� ���������� ���� �������� ���� �������
���� ����������������� ������� 7� � �������� ���� ����� ������
������� ���� ����������67 8������������7� �;���=�67 8�
����� ��3��
#��������������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 45
���
������7� ���;����=�67 8
�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
* * �.
! �. ,
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
A� ������� ������� 7� ������� ���� ���� ��%� �� ��������� ������
���� ������������������� ��� ���������������� ������������
(� ����� �������� �������������������� ������������������������ ����
,����'�� ��
#������� �� ����$�� ��������� ������ ������������ ��� ���� ����
������ �����
�� ��=� �;� �=�� 6��������������� �� ��������������8
�� ��=�6 �=�$8�;�6��=� 8�=�$ 6������ ���������� �� ��������������8
%� &� �������� ��������3�����������
��=�3�;�3�=���;��
�� &� �������� ����67�8�����������
��=�67�8�;�67�8�=���;�3
(� ������������� �����%�������������� ��������� ����� ����� �����������
����� ��3��
#�������� ������� ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
��=� �;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
���������
�=���;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$� ��%�����������������������=� �;� �=���
�
A� �� ��������� ����������������������������������� ���� �����������
��� ����� %�����%�����
����������������������������� ����46
�� A� ������� B���� A �����C����� ��� ���� ����� %������ �� �������� ����� B���
A ������)C�����B����A ������))C������������������ ���� �������������������.�
����4��(�� ��� ��� ������� ������������#���� ���<�� �� �������4� �����������������
�������� �����
�� : ������������ ��� ��� ��� ������� ����� %�������� ������� B���� A ������ )C
���������� ������
�� : ������������ ��� ��� ��� ������� ����� %�������� ������� B����A ������ ))C
���������� ���� �
%� (� ����� ����� ������������ ����� ����� ���� ?
�� : ���������������������� ��������� ����� �������������������� ����
!� (� ����� ������ %�������� ����������� ����������� ������ ������� ��������������
���� ����� ���������������� ����
"� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� $�;�
, !
" .
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
�%�;�
! . *
� , "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� /�;�
! �. 3
5 , �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ ������������������������ ������������������������������
�� ��=� �� ��7�$
�� ��=�$ �� %�7�/
%� �=�$ � $�7��
�� �=�� �� /�7�%
�� ��=�/ �� %�7��
�� %�=�/ �� /�=�6�/8
�� 67�8 E� 6��=� 8�=�$
� 67 8 � ��=�6 �=�$8
�� ��7� �� 6��=�$8�=�
�� �7�$ �� ��=�6$�=� 8
Latihan 2.5.1
����.�������� ����.��������� ����.������
��� ���� ����� �� ��� ���� � ��� �����
#���� � !.. �,. ��1,���������!,. �.. ��,.����������*,. !,. ��!!,
<�� �� � �.. �1, ��!,����������.. �.. ��1,����������!.. �1, ��!..
4� �� �,. �!, ��..����������!, �,. ��!,���������!1, !1, ��!!,
�����
������� ��� ������� 47
*� $��� ������� ������ ����
,�;�
" * .
� 3 �
! . "
, ! 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� ����3�;�
. . .
. . .
. . .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� 67,8 �� 3�=�,
�� ,�=�67,8 �� 3�7�,
%� 67,8�=�, �� ,�7�3
�� ,�=�3
,� &��������������(��)������5���������������
!
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
,
*
5
(
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
� "
)⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3� &������������������������!���������������
� �
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��=��
.
� �
!
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;��
�. 3
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1� �������� ����������������������!� ������������ �������� �����
� � �
� � .
� ! � � � !
� � !
+ + −⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! " !
" ! �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5� &���������� ������������ ���� ������������������� �����
��
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=���;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��
5 �
, .
1 *
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�7� �;�
! ,
* "
3 .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
>� #��������������� ����
��;�
! . *
� , "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! �. 3
5 , �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �������������
�� 6��=� 8��;��
��=�
�
�� 6��7� 8��;��
��7�
�
�.� �� (���������������������� �������� ���6���;��8�������� ����6��=��
�8�������� ���
���� ���
�� (������������������ ��� ������������� ���6���;���8�������� ����6 �7�
�8� ����
��������� ���
����������������������������� ����48
��3�� .��������� ������� �������������
#����!������������ � ����� ��������������� ����������� ���������������
�� �������������������������������� ������ ������� !�� �����������������
���������� �����
%�&������ ��(
#�������������� ��������!������������ ����������������!���������� ���
���� ���� ���� ����������������������������� ������ �� ���
�������!�
����� ��3�(
#�������� ������� ���
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
!��;�
! . �*
* 3 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������������7"��;�
" . !�
3 > �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�
(� ������������� ��������� ������������ ������������ ���������� ����
,����'�� ���
$���������������� ����� ��� ������� ���� ���������� �� ����
�� ����������������� ������ ����� ������� ����� ��� ������� �����
�� 6��8� ;���6��8 6������������ ��������� 8
�� 6��=��8� ;�����=��� 6������������ ��������� 8
%� �6��=� 8 ;�����=�� 6������ ��������� 8
�� �� ;���
�� .� ;��3 63��� �������8
������� ��� ������� 49
�� $���������� ������ ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� $�;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
%�;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� /�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� 0�;��
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ������ ���� �� ����� ������������ ���� �� ����� ����������� ����� �����
�������
�� ,� �� .0
�� !$ �� ,6!�8
%� 7"% � �.�
�� 7,0 �� "6��=� 8
�� *��=�" �� "��=�"
�� , �=�!$ �� !6$�7�%8
�� 3$�=�!% E� 6*�=�,80
� "/�=�0 � >0
�� !��7�" �� �/
�� 1$�7�*%
!� $���������� ������ ����
��;�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" !
� "
�� �;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
* �
. ,�� $�;�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 3
* �
��������� �����;�!�����;�7"�
$����������������� ������ ������ ������ ���������������
�� 6��=���8$�;��$�=��$ �� �6�$8�;�6��8$
�� 6��7��8$�;��$�7��$ �� ���;��
%� �6 �=�$8�;�� �=��$ �� .��;�3
"� &��������������(��)������5�������� �������� ������ ��������� �
"
!
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�7�!
,
*
5
(
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
� ��
)⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
*� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������(�;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� �������������
�� 6,�8��;�,�
�
�� 6"��7�! 8��;�"�
��7�!
�
Latihan 2.5.2
����������������������������� ����50
,� #�������������
��;�
� !
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
�
� 6
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ����������� ����������� ��������� �� ���������������
�� 6��8��;���
�
�� 6���=�� 8��;���
��=��
�
��3�� .���������%���������
$��������������������� ����������������������� ����������� �������
��������� �����A� ��� ������ ����� ���������������������������� ������
���� ������������ ���?�$��������� �����������������������������
������ ���������%������� ������� ���������� ���� �������� ��������
�� ����������������� ������������������ ���������� ������� ��� ����� �� ���
���������&���������������������� � ������������������� ������������� ������������
(� ������������� ��������� ��� ����������������������������������� ������
���� ������ ����� A� ������� ���� ���� ����� � �� ������ $���� � �� ���
���������������� ��������������� ����������������������������������F���
�����������#���� ������������<�� �� ���$���� ������������������� �������
�� ���������������#���� ������<�� �� ��
$���� �A� ��� $���� �/����
$� ������� �������������� �������� ���������
�� '���� ����������� �������������������
".��-�*�,..�..�=�!.��-�*�...�..�;�-�!�,�...�..!� '���� ����������� ��������F���������
,.��-�*�,..�..�=�*.��-�*�...�..�;�-�"5,�...�..
#������ �������� �� ������������������������������ ��������� ����������
���������� �����
". !.
,. *.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
*�,..
*�...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
". *�,.. !. *�...
,. *�,.. *. *�...
× + ×⎛ ⎞⎜ ⎟× + ×⎝ ⎠
�;�
!�,�...
"5,�...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� ������������ ������� �������� ��� ����� 6�� ��� ����� ������� ��� ���!8��� �
�� ������ ��������������������������������������������� ����������
������������������������������������� ���� ������ ��
$��������� ��������� �������� �� ������� �� �������������
���������������� ��������� �������������� �����
#���� � <�� �� �
)������ ���".��� ����!.���
)���F��� ���,.��� ����*.���
������+� ��
#���� � ��-�*�,..�..
<�� �� � ��-�*�...�..
������� ��� ������� 51
%�&������ ��3
#�������������� ������ � ������������ ��������� ������ � ����������������������� ��������� ������ � �������� ���������������� �
��������������������� ������2������������ ������������������������ �
�� ����� � ���� �������������������������� ����� �����������
�� ���������� ���� ������������������������������������� ���� �
'�������� ������������������ �������� ��������� ����� %������� ������
���������� ����
����� ��3�3
$��� ��������������� ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
!
�
*
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ������� ��������� ������ � ���!��"����� ��� ������ � ���"��������
�� ��������������� ��������� ������ � ���!�����'��������������������
������� ����� ��������������� ������ ��� �����������������������������
�������� ����� ������ ���� ������ �������������������������� ���
�� ���� �������������� ���
�6!8�=�.6�8�=�67186*8�;�!�=�.�7�!5�;�7!3
'���������������������������� �������������������� ������ ��� ������
������������������������������ ����������� ���� �������������������
������������� ������ ���� �������������� ����
!6!8�=�67"86�8�=�*6*8�;�*�7�"�=��3�;��1
#������� ��������������� ������
� ��;��
!3
�1
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ������ ���� ����� ���� ���"���������� ���������� ���� ���!��"��� ���� ���������������������������� ��������� ���� ���������� ���������
����� ��3�4
$��� ��������������� ����
��;�
� "
! ,
. �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
! . 1 *
� " ! .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
/� ������� ��������� ������ � ���"��!����� ��� ������ � ���!��*�������
� ��������� ���� �� � ��� "� � *�� 2������������� ���� ����� � �����
����������� ���������� �����
��2������� ����� ��������������� ����������
�6!8�=�67"86�8�;�!�7�"�;�7�
��2������� ����� �������������������������
�6.8�=�67"867"8�;�.�=�>�;�>
��2������� ����� ��������������������������
�618�=�67"86!8�;�1�7�3�;��
����������������������������� ����52
��2������� ����� ��������������������������
�6*8�=�67"86.8�;�*�=�.�;�*
��2������� �������������������� ����������
!6!8�=�,6�8�;�*�=�,�;�>
��2������� ������������������������������
!6.8�=�,67"8�;�.�7��,�;�7�,
��2������� �������������������������������
!618�=�,6!8�;��*�=��.�;�!*
��2������� �������������������������������
!6*8�=�,6.8�;�5�=�.�;�5
��2������� ��������������������� ����������
.6!8�=�67�86�8�;�.�7���;�7�
��2������� �������������������������������
.6.8�=�67�867"8�;�.�=�"�;�"
��2������� ��������������������������������
.618�=�67�86!8�;�.�7�!�;�7!
��2������� ��������������������������������
.6*8�=�67�86.8�;�.�=�.�;�.
#������� ����� �������
� �;�
� > � *
> �, !* 5
� " ! .
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
$������������� ���������������%������������ ��������� ��������� ���
���������� ������������
����� ��3�5
$���������� ����
��;�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ����� ������� ���� ��
A�� ���������
/� ������ �������� � ���!��"������� ���� ��� � ���"��!������� �����
�� � ���!��!�������������� ���� ���� � ���"��"�$�������� ������������ ���%������������ ������� ����
� �;�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
3 . . �. . �! 3 !
" * . , 5 !. 1 1
+ + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���
��;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
3 , . !. > !, �� !. "*
! ! . 5 " �. * 5 �"
. * . �3 . !. * �3 !.
+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
&����������� ������������������ ��
�
������� ��� ������� 53
����� ��3�6
$����������;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&���������� ����� �
A�� ���������
� �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
, "
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
�
�����7
�� $���������� ��������� ���������� ��� � �������������� ��� �
������� ������ ����������������� ��� ���� ����� ����(�������
������������� ����� �
������� �����*�� ����
#����� � ��� �� ������ ���������������������� ������ ��������� �����
������ �� ���������
!� &����� ���� ��� �� ������� ����� ��������� ���� ���� �� ����� �����
���������� �� ��������� ���� �������� ������ ���������� ����������
���� ������ ���������� ��� ������������������������� ���&� �����
������������������ ����� �������������������� ���� ��
� ��'��������� ���4�� ����� � �� ���������� ������������ ���� �
������ �� ���������� �������� %����� ������� ������ �� ��� ���"�� !���� ��� ��� ���!��*�������� ����� ��� ��� ���"��*������������ ���� ���������� ���������
� ��'��������� ����4�� ����� ������� ���� �� �� ���������� ������
���� ��� ��� ��� 6� ��8� ���� �� ������ �������� %����� ����
�� �������� ��� ���"��!����� ��� ��� ���!��"�������� �����
�� ��� ���"��"������������� ���� ���� ��� ���!��!�� ��'��������� ����� �4�� ����� � ������ ���� �� �� ������������
���� ������ ���6� ��8� ������������������������������ �
�� ����� �����(���� ������ (� ����� ���� ������ %����� ���
������� ������� ����
$��� ������� ���������� �
��;�
� .
! "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$������������������������ ������ ����������� ����
� �;�
� !
�� *
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� ��;�
" 3
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ �≠� ��
����������������������������� ����54
(� ����� �������� ������������������� ����������������� ����
,����'�� ���
$������������������������ ������� ������ ��������� ������� ���������
������� ������ ����� ��������� ������ ������� �����
�� �6� 8 ;��6��8 �������6������ ��������� 8
�� �6 $8 ;��6� 8$ �������6������������������ ������� ������8
%� �6 �=�$8 ;��� �=��$ �������6���������� ������������8
�� 6 �=�$8� ;�� ��=�$� �������6���������� ��������� �8
�� ����;���� ;��� �������6���� �������������8
�� �3�;�3� ;��3 �������63��� �������8
A� �� ��������� ��������%�������������� ���� ���� ������ ��� ����
���������� �����%��������� ������ ���� ������ ����������
�� $���������� ����
��;�
! " �
* � !
" ! ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&��������
�� �� ����� ������ ����� �� ������������� �����
�� �� ����� ������ ���� � �� ������������� ���� �
%� �� ������������ ����� �� �� ������������ ������
�� �� ������������ ���� � � �������������� ����
!� $���������� ������ ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������������������������ �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� $�;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��
%�;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������������������/�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �0�;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ������ ���� �� ����� ������������ ���� �� ����� ����������� ����� �����
�������
�� � �� �!
�� � �� $%
%� �$ �� /0
�� $� � 0/
Latihan 2.5.3
������� ��� ������� 55
�� �6 $8 � ,6� 8
�� 6� 8$ �� 6,�8
�� 6��=� 8$ �� �6%�=�/8
�� �$�=� $ �� �%�=��/
"� $���������� ������ ����
������������;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ��;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 3�;�
. .
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� �� %� �3
�� �� �� 3�
*� 0� ������ �������(������0������������������� �������� ������ ��������� �
�� "
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=���;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� !
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�7�" �;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� ,$�=�"
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
! ,
* "
3 .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,� $���������� ������ ����
����������;�
! " �
* � !
" ! ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
(
)
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ���������������������������$�;�
�
!
"
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &���������� ����� �
�� #����� �;�$��� ��������� �������� ������ ���������������������� ����������� �
3� : ������� �������� ������ ����� ��� ����� ���������� �������� ����
��
! " 5
, �.
( )
( )
+ =⎧⎨ − =⎩
��
, !
! , 3
( )
( )
+ = −⎧⎨ − =⎩
%�
! " ,
! , 5
" * , �.
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
����������������������������� ����56
1� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� �������������
�� 6� 8��;�
��
�
�� 6 �8��;��
� �
5� (������������������ �� ��������� �������� ���6 ��;� 8������
�������� ������
�� ���� ���� ���
��3�( .��#��������������
���� ������ ������������� ������������������������ �����������������
�������� ��� ���� �� �����������/� ������ ����������� ������� ��� ���
�� ������� ���������������������������������������� ���������� � � ��
������������������ ��������� ����� ������������������� ������ ����������
�������� ��� ��������� ������ ����� ����������������� ��� ���� ��
�� �����������$��������� ������������� ������ ����������������� ���
������� �������� ��������������� �� ���������� � ��� �������� ����
��� ��� ���� ����������������� ��� ��������)����� � ������������������
��� ������ ������������� ��� ��� ���� ��������� ������ �����
'������� ������ ���������� ������������ ���������������������������
�� �����
�����
�
�
� ��� �= ������
'�������;�.�����������������.�;���������������������� ��������������
����� ��3�8
$���������� ������;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�� &���������!�
�� #����#6(8�;�"(!�=�,(�7�!�����������#6�8�
A�� ���������
�� �!;����
;��
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠
� � ! " � ! ! .
" � . " " ! . .
;�
1 !
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 57
�� #6�7���;��"�!�=�,��7�!�
����������;��"
1 !
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=�,
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�7�!
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
!� 3
> �5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=�
, �.
�, .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�7�
! .
. !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
!* �3
!* �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�����7
$������������������������ �������������#8(7�;��(!�=��(�=�!�������������!
��������� ������������������� ������ ������ ��������� �����
��������#8�7�;���!�=���
!�=�!��
����������� ���������������������� ��������������� ����� ����
�� $���������� ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+��������
�� �!
�� �"
%� �!�=�!��=��
!� $���������� ����
�;�
! " �
� � !
" ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+��������
�� !
%� #8 7�������#8(7�;�(!�=�!(�=�"
�� "
�� �8 7��������8(7�;�("�7�(
!�=�(�7��
"� #�������������
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������������������������� �������!�;����=����
Latihan 2.5.4
����������������������������� ����58
*� (������������� ����
� �;�
� "
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� ������������������������������� ������ ��;�
� "
. �
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
,� #������� ��������� ������ ������������������������������������������������ �����
6��8��;�6�
�8�?��������� � �������� ��������������� ��������� ������ ������������ ���
�� ����?
2.6 Determinan Matriks/��������������%��������������������#8(7�;�(�=�!���8(7�;�(
!�7�,(�=�3�����������
������ ������������������ ������������������������ ����(����������������� ����#8(7�
<������������������������������� ������ ������ ���������� ������ �����$�������������
����� ����� ������������� ��������� ������ ������ �� �������� �������� ����� )��� �� � ��
�������� �������6"�����8� ������� ���������������������� ������ ��������
��� �� ������ 6��"�����7� ������� �� ������ ������� ��������� ����� <������ ���
��������� ���������������"����������
(� ������������� ������������������ ������� ������ ������ ���!��!�
%�&������ ��4
#������� ��������� ������ ������ ���!��!����������
��;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ����������������������� ������� ���� ��������������� ���� ���
������������������������6�8�;��"�7��!�
'���������������������� �������� ������� ����� ���!��!���� ��������������� �����
-�������� ������� ����������6�8����� �������������������������������������
����� �������� ������������������� ������������ ����� ����������������
����� �������� ������� ��
$��� ������� �������� �������������������������6�8������G�G���#�������6�8�;�.�
������ ��������������'����������������������������6�8�≠�.�������� �������������
'������������������
'����������������������� �������� ����� �������� ��������� ���� %����
������������������� ����� �������� ����
����� ����
�����!� �"�
6�8� � ������6=8
������� ��� ������� 59
����� ��4�
&������������ ������� ���� ������ ������ �����
�� ��;�
" �
* !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� $�;�
1 ,
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� ���6�8�;�6"8�⋅�67!8�7�6�8�⋅�6*8�;�73�7�*�;�7�.��� ���6 8�;�6��7��86��7�"8�7�6!86*8�;��
!�7�*��=�"�7�5�;��
!�7�*��7�,�
%� ���6$8�;�6186.8�7�6,86.8�;�.�7�.�;�.�
�
����� ��4��
&����������������������������������������6�8�;�.����������;�
� !
� *
�
�
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
A�� ���������
���6�8�;�. ��⇔��6��7��86��7�*8�7�67!86�8�;�.
⇔ ��!�7�,��=�*�=�!�;�.
⇔ ��!�7�,��=�3�;�.
⇔ �6��7�"86��7�!8�;�. ⇔ ��7�"�;�.����������7�!�;�. ⇔ ���;�"����������;�!
�
���� ����������� ������������������ ������� ������ ������� � ���"��"�
%�&������ ��5
#������� ��������� ������ ������ ���"��"����������
��;
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� � �
� � �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ����������������������� ������� �����������������������6�8�������
��������� ���� �������������������������
���6�8�;����
⋅�!!
⋅�""�=��
�!⋅�
!"⋅�
"��=��
�"⋅�
!�⋅�
"!����
�"⋅�
!!⋅�
"�����
��⋅�
!"⋅�
"!����
�!⋅�
!�⋅�
""�
����������������������������� ����60
'���������������������� �������� ������� ����� ���"��"���� ��������������� �����
H�������� ����������� ������������ ����������������������������������������
����� ��������������� ���� �������� ��� ��������������� ����������H�����������
��������������� ����� ���������������������� �������� ��������������
���� ������������ ����� ��������������������������� �������� ������� ��
+����� �� ���������������� ����� ������������
����� ��4��
&������������ ������� ������ ������ �����
�� ��;�
� ! "
* , 3
1 5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� . "
* . ,
" . >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� ���6�8 ;��
� ! " � !
* , 3 * ,
1 5 > 1 5
− −− −
;��6�86,86>8�=�6!8638618�=�6"867*86758�7�6"86,8618�7�6�86386758�7�6!867*86>8
;��*,�=�5*�=�>3�7��.,�=�*5�=�1!
;��!*.
�� ���6 8 ;��
� . " � .
* . , * .
" . > " .
;��6�86.86>8�=�6.86,86"8�=�6"86*86.8�7�6"86.86"8�7�6�86,86.8�7�6.86*86>8
;��.�=�.�=�.�7�.�7�.�7�.
;��.
�
���� ��!� ��"� ���� ��!�
�!�� �!!� �!"� �!�� �!!�
�"�� �"!� �""� �"�� �"!�
6�8�������6�8�����������6�8������������6= 8����������6= 8���������6=8�
������� ��� ������� 61
�� +������������ ������� ���� ������ ����� ���!��!��� ���������
�� ��;�
� !
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� %�;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
3 !
" *
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� /�;�
! *
3 ,
�
�
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
%� $�;�
, �.
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
!� &�����������������������������������6�8�;�.�������
��;�
" !
5 ,
�
�
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
"� &�����������������������������������6�8�;�,�������
��;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
*� +������������ ������� ����� ���"��"��� ���������
�� ��;�
� " �
! ! �
* . "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
%� $�;�
* . �
! ! �
" * ,
�
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� 5 3
* . �
! . "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,� &�����������������������������������6�8�;�.�������
��;�
3 . .
. �
. * !
�
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
3� (�������������������� �������� � ���!��!����� ����� ��� ���������������� �
���������������������6�8�;�.�
1� (�������������������� �������� � ���"��"����� �������� ���������������� �
���������������������6�8�;�.�
5� (������������� ������� ������ �� � ���!�� !����� ����� ��������� ����������
������ ������������� ����� ������������6�8�;�.�
>� $��������� �����%������������������������6�8�;����6��8�
�.� $��������� ����� %������ ��������������� ������� ������ �� � ��� !�� !�����
���6��8�;��!����6�8�
Latihan 2.6
����������������������������� ����62
2.7 Invers Matriks$���� ��� �� ���������� ������������� ����� ���������� 6���� �8� ��������� !
�� ������� ������� ��������������
�
!
��������6!8�
!
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;����$����������������������6���� �8
���������
"
,
�������
,
"
��������
"
,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,
"
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �;�������� ����������������� ����������� �
�� �� �������� ������ �����
%�&������ ��6
4�� ����������������9����'��������������� ������ �;� ��;�������������� ������
�� ���� ����������
�����7
�� )��� ���� ���� ������������������� ���
!� #������� ����������� ���� ���� ���������������������� ���;���
"� #���������� ���� ���� ������ ������� ����������� ���� ������
*� A������������ ���� ������ ������������������ ������ ���������������
������������� ���� ���� ������������ �����
����� ��5�
#�������������
��;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������������ ����������� ���� ���� �
A�� ���������
����������������������� �;� ��;���
A� ������������
� ��;��
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��;��
3 , " "
�. �. , 3
− − +⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 63
���
� ��;��
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;��
3 , ! !
�, �, , 3
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������� ������������ �;� ��;����)����� � ����������� ����������� ���� ���� ����
�������� �� �� ����������� ���� ������
�
A� ��� ������ ����� ���������������������� ���� �� �������� ������ ����?
(� ������������� �������� ��� ���������������������������������������� �������
�� ������ � ����!��!�
,����'�� ��(
#������;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�����������"�7��!�≠�.�
��������7
���������������������������;��
����;���
A� ������������
����
;��
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
������;��
�
�" �!− �
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
" �
! �
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
�
�" �!− �
�" �! �� ��
!" "! �! "�
− − +⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
;��
�
�" �!− �
.
.
�" �!
�" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������������� ����64
���
���� ;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
�
�" �!−"� �! "� �"
!� �! !� �"
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
;��
�
�" �!−.
.
�" �!
�" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ��������� ;��
���� ;� ������� �� �������� ������
���� ������� ���� ���� �
�� ������
�
�����7
�� )��������������������������B�"�7��!�B����������� ������� �����������
���6�8�;��"�7�!���������;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
!� $� ��&�� ���!�*�� �������� ��������� �������������� � ��������6�8�≠� .��������� ���� ������������������������� ������� ��������� �����������
��������6�8�;�.���������� ���� ����������������
����� ��5��
&�������� ���� ���� ������ ������ ����� 6��������8�
�� ��;�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
" �
3 !
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� $�;�
%�� ���
��� %��
α αα α
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 65
A�� ���������
�� /� �������6�8�;�6,86"8�7�6!8618�;��,�7��*�;���≠�.���������� ���� ����������
$����������������� ������������%� ������ ������� ����
����;�
" !�
1 ,�, �*
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� /� �������6 8�;�6"867!8�7�67�8638�;�73�=�3�;�.�������� ���������������� ������� ��
%� /� �������������� ����������α���� ��������6$8�;�%��!�α�=����!�α�;���≠�.���������� �
�� ����$������$����������������� ������������%� ������ ������� ����
���������������������$�����;�
! !
%�� ����
��� %��%�� ���
α αα αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠�;�
%�� ���
��� %��
α αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
����� ��5��
&���������� ������������ ���� � ������������ �������� ������ �����
��
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� �
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;��
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� A� ��������� �������� ����
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������6�8
#��������������,�;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������,���;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
������� ���������� ������6�8������������� ���� ����������,������������ ����
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������������������������������������������⇔��������������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
5 1
!! �>
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������������������������������������������⇔������������������������������;�
5 1
!! �>
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� A� ��������� �������� ����
�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������6��8
����������������������������� ����66
#��������������-�;�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������-���;�
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
������� ���������� ������6��8������������� ����������������-������������ ����
�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔���������������� �
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
�, ��
!! �3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔�������������������������� ���;��
�, ��
!! �3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
,����'�� ��3
#������ ���������� ����� ��� ���� ��������� ����� � ��������� ��
���� �����
6� 8���;�
���
��
��������7
+� ��������������������6� 86� ���
��8�;�6
���
��86� 8�;���
A� ������������
6� 86� ���
��8�;��6
��8�
���;����
���;���
���;��
���
6� ���
��86� 8��;�
��6�
���8 ;�
��� ;�
�� ;��
#������� �����������6� 8���;�
���
���
�
����� ��5�(
#�������������
��;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�
���������
�� �� �����
�� ���� ���� ����� ������6� 8��
%� �� �������
�� �� ���� ��
�� �� ������� ��
�� �� ���� ���
��
A�� ���������
�� � �;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 67
�� 6� 8���;�
* "�
! !5 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
"
!
!
� �
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� ����;�
! ��
, "3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� ���;�
" !�
* !3 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
�;�
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ��� ���;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
, "
!1
5
!
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ���
���;�
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
"
!
!
� �
$� ��%��������������������6� 8���;�
���
��������6� 8
���≠����
���
�
�� 0� ���� ���� ���� ���� ������ ������ ����� 6��������8�
�� ��;�
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� %�;�
! "
� *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� /�;�
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
! !
�
�
"
%� $�;�
� "
! 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 0�;�
%�� ���
��� %��
( (
( (
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
!� &���������������������������������� ������ ������ �������� ������ ��
�� ��;�!
! !
�
�
� �
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
%� $�;�
!
" !
!
� �
� �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
� ,
� "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
6)������������������ ������� ������ ������������ ����� ����������������������8�
Latihan 2.7
����������������������������� ����68
"� $���������� ������ ����
��;�
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" ,
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� ���
�� ��
�� ��
�� 6��8��
%� � �� 6���8�
�� 6� 8��
�� !�
�� ��� ��
� 6!�8��
�� ���
���� 6��=� 8
�� ���� �� 6��=� 8
��
� ����
�� ����=�
��
*� $����������������������������� ��:���"�� ���������� ��� ������ ���������
�� �������6� 8���;��
�� ��?
�� �������6� 8���;�
���
��?
%� ������������;���
����;��?
�� �������6��8���;�6�
��8�?
�� �������6!�8���;�!�
��?
�� ������6��=� 8���;��
���=�
��?
,� &���������� ������ ������������������ �������� �������� ������ ��������� �
��
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
!
,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
%�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
��;�
� "
! 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �
" ,
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�;� ( )� "− �� �
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! "
� *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
3� �� �������� ��������638��� � ���!��!����� ������� �?
�� �������� ���� ���������� 6�8� �� � ���!�� !����� ��� ���� �?� #���� ��� ��������
���� �� ��
1� $��������
��;�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� ���
��
�
"
����
�� 6���8��
�� 6��=� 8
%� "� � 6��=� 8�6��=� 8
�� 6"�8��
�� ���=�!� �=�
�� "����
�� ����=�� �=� ��=�
������� ��� ������� 69
5� $��������
��;�
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &����������������� ������������������������� �������7������� ������� ��
�� &����������������� ������������������������� �������7������������� ������� ��
>� &������������������� �����$�� ����������� ���� ���� ������������ �;�$�
�.� &�������������������� �;� �������6��=� 8!�;��
!�=�!� �=�
!����������
!�;����
2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear)��� ���� ���������������������������� ������������������ ����������� �
$�������������� ���� ��������������������� ���� ���� ������������ ��������� �����
�� ����������� �������������� ���������������� ������
A� ������� �������� ������ ����� �������������� ���������������� �����
�� ����� ����
�(�=��)�;��
�(�=�")�;�#�
/������������ ��������������� ����������� �������������� �������� �����������
�� �����
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������������������������������������������������������������6I8
4��������
��;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� �;�
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#�������6�8�;��"�7��!�≠�.�������� ���������� ������� ���������� �� ��������
����;�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
#������ �������� ����6I8����������������� ���� ����������� ����
�������
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �����
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#�������������6�8�≠�.�������������� ����������� ������������� ������ ���������
����������������������������� ����70
�����7
�� #������������ �������� ���������� ����������� ��������������������
������ ������������������ ������������ ����� ���� ������ ����� ���
!� #������ ���������� ����������� ��� ����������������"�7��!�≠�.������� ����
�� ��� �� ��� �� ������� ��������� ����������� ����� ������� )��� �� � ���� �����
�� ������ ����� � �� ���������� ��� ������ �������� ���������
(�������� ���������������"� 7��!� ;�.?�(� ��������� ����%����������������� �������
���� ������������������������������ �������6.�������7�#����� ������� �������
�� ������ �� �������� ������ �� � ��� �������� ������ ����� � �� ���������� ��
��� ��������� ������� ��� ����������������������������� ������� ���������� �����
����� ��� ������������������� �������������� ����������� ��� ���������������� ��
��� ��������8�
(� ������������� �����%�����%� ���� ������������������ ����������� �������
����������� ���� ���� ����
����� ��6�
$����������������� ���� ���� ����� ������������������� ����������� �� �����
�� ������ ����� ��� �����
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
A� ������������ �������� ������ ����� �
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
������������������������������ �������� ����
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
5
�,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������ ������;�
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������6�8�;�6"86"8�7�6!86*8�;�>�7�5�;����������� ����� �����
���� ��� ���� ���������
Tugas Kelompok
������� ��� ������� 71
����;�
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ �������� ���������������������������� ���� ���������������� ����
����
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
5
�,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ��������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
!* ".
"! *,
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔ ����������������������
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
3
�"
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ��(�;�73�������������)�;��"
#��������������� ����������������� ����������� ���������������J673��"8K�
�
����� ��6��
$���������������� ����������� �
, "
3 *
( ) �
( ) �
+ =⎧⎨ + =⎩
: ���������� ���������������(�����)��������������
A�� ���������
�������� ������ ����� ���� ����������������������������������� �������� ���
���������� �����
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������;�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
�
!. �5−
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
#������ �������� ���������������������������� ���� ����������� ����
��������������
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
� �
� �
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔ ���������������������
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
� �
� �
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
#�������� ����������������� ����������� ���������������
(�;�
�
!
6*��7�"�8���������)�;�
�
!
673��=�,�8
����������������������������� ����72
�� $����������������� ���� ���� ����� ������������������� ����������� �� �����
�� ������ ����� ��� �����
��
" ! ,
!
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
, 3 �,
! " 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
! * �
! " !
( )
( )
+ =⎧⎨ + = −⎩
��
! " .
� .
( )
( )
+ + =⎧⎨ − − =⎩
%�
! *
, !
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
* , �, .
" 5 .
( )
( )
+ − =⎧⎨ + + =⎩
!� �� #�������;� ���������
��;�
, >
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �;�
*
!
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������� ��(�����)�
�� #�������;� ���������
��;�
, "
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �;�
�
!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
����������������������� ��(�����)�
"� $��������������������� ���� ������������������������ ����������� ��� �����
" ! 5
3 * �3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
�� �������������� ����������� ��������������������������������������� ���� ���?
�� D��� ���������������� �� ������ ����� � ��� ����� ����� ������ ��� �����
0� ������?
%� $���������� ������� ����������� ������ ������ �� ������ ����� � �� �����
���� ������ ��������?�#��������������������� ��������� ��
*� $��������������������� ���� ������������������������ ����������� ��� �����
! "
! * ,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
�� �������������� ����������� ��������������������������������������� ���� ���?
�� D��� ���������������� �� ������ ����� � ��� ����� ����� ������ ��� �����
0� ������?
%� $���������� ������� ����������� ������ ������ �� ������ ����� � �� �����
���� ������ ��������?�#��������������������� ��������� ��
Latihan 2.8
������� ��� ������� 73
,� $� ���������� ����������� ��� ������������������������������� ����������� � ���
���� ��� �������������� ���������� ���������� ������ ������������������ ��
��� ��������� ������� ��� ������������
��
! "
! *
( )
( )
+ =⎧⎨ − =⎩
��
"
" " >
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
%�
*
, , �,
( )
( )
− =⎧⎨ − =⎩
2.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan$�������(����4���������/�����L���������������� ����������������� �����
����� ������� ����������������� ������������������������%� ������������A����������
������������������� ����������������� ����������� ������� ����������������� �����
�������%� ������ �����
��8� ����'�.����'����:������ �������%���;�������
����������������������� %� ������ ������ ����������� ��� �������
������ �������� ��� ��������� ������ �� ������ ����� � ���� �� ������ ������
�����������%� ������������'����������� �������%������� �����
����� ��8�
$�����������������%� ������������������������������� ����������� ��� �����
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
$� ���������� ����������� �������������� ����
"(�=�!)�;�5 ��G�×�"�G ⇒ >(�=�3)��;�!*
*(�=�")�;��, ��G�×�!�G ⇒ 5(�=�3)��;�".��M
��( ;�73
$� ��(�;�73�����"(�=�!)�;�5������ ����
6"86738�=�!)��;�5 ⇔ !)��;�5�=��5
⇔ !)��;�!3
⇔ ��)��;��"
#�������� ����������������� ����������� ���������������(�;�73�����)�;��"�
�
����������������������������� ����74
���� ������ ������������������������� ����������� �����������
�� ������ �� �����
�( �) �
!( ") �
+ =⎧⎨ + =⎩
$�����������������%� ���������������� �������������� �����
�(�=��)�;�����G�×�!�9 ⇒ �!(�=��!)�;��!
!(�=�")�;����G�×���9 ⇒ �!(�=��")�;�����M
6�!�7��"8)�;��!�7���
#�����!�2��"�≠ �.���������� ����
�)�;�
�! �� �� !�
�! �" �" �!
− −=− −
���
�(�=��)�;�� G�×�"�9 ⇒ �"(�=��")�;��"
!(�=�")�;�� G�×���9 ⇒ �!(�=��")�;�����M
6�"�7��!8(�;��"�7���
��������������(�;�
�" ��
�" �!
−−
#�������� ���������������������������� ����������� �������������� �����
������
(�;�
�" ��
�" �!
−− ���������)�;�
�� !�
�" �!
−−
���� ����������������%� ����� ����������������������� �����������
������ ������������� %� ������ ������A� ������� ����� ���������������
�� ������ ����� �������������� �������� �����
�( �) �
!( ") �
+ =⎧⎨ + =⎩
#��������������
�;�� �
! "
�;��"�7��!���ΔN;�
� �
� "
�;��"�7����������Δ �;�
� �
! ��;����7�!�
������� ����������������� ����������� ���������������
(�;�
�" ��
�" �!
−− �;�
(ΔΔ ���������)�;�
�� !�
�" �!
−− �;�
)ΔΔ
0� ����� ��������� ���� �� ��� � ���� ���������������������� ��������� %� �
���� �����
������� ��� ������� 75
����� ��8��
$����������������� %� �� ���� ������ ��������� ��� ��������� �����
�� ������ ����� ��� �����
3 1 >
" * 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
/���������������������
Δ�;�3 1
" *�;�!*�7�!��;�"
ΔN�;�
> 1
3 *�;�"3�7�*!�;�73
Δ �;�
3 >
" 3
�;�"3�7�!1�;�>
��������
(�;�(
ΔΔ �;�7!���������)�;�
)ΔΔ
�;�"
�
�����7
�� #����������������� ����������� �����������������Δ�≠�.�����������
�� ������ ����� � �� ������ ���� ��� ��� ��������� ���
��� ��������� �� ��������
!� #����������������� ����������� ������������������;�.�������� �����
����������������������������� ���� �������� ������ �����
�� ������ ���������� ��� ��� �����������������������������
���� ������ ��������� ������� ��� �� ����������
�� (� ����� ����������� ����� ������� ������ ������ �� ������ ����� ���� ;� ��� � ������
� �
�
! "
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠��
(
�
)
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠��
�
�
�
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠�� ���� ���6�8� ;� .�� ������� ����������� ������ � ���
���������������� ��
!� (� ��������� ������������������ ��������������������:�����
Tugas Mandiri
����������������������������� ����76
'�������� ����������������%���������������� �������%������� ����
����
����� ��8��
&������������������ ����������� �� �������� ������ ����� ��� ����� 6����
���8�
��
! " �
* 3 !
( )
( )
+ = −⎧⎨ + = −⎩
��
* 3 �.
! " 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
�� ���������������� � ����� 6(+)8� ������������ ������!(� =� ")� ;� 7�
������������������� ������*(�=�3)�;�7!��)����� � ��������������
��� ����������� �� �������� ������ ����� � �� ������������
1,�;�J6(+)8�G�!(�=�")�;���K�
/� ���� ��� ��� ����������� 6(+)8� ���������� �� ������ �� �����
��� ��� ������������������������� ���������� ������ ��������� ���
��� ��� �� �����������A� ������������������ �������� ������ �����
�������� �����;�6!8638�7�6"86*8�;��!�7��!�;�.��� #������ ������*(�=�3)�;��.��������������������� �����!(�=�")�;�,��A�������
6(+)8� ���������� �� ������ !(� =� ")� ;� ,� ���� ���������� �� �����
!(� =� ")�;� 3� ����������� )��� �� � ���� �������� ������ ����� � �� ������ �����
���� ������ ����������A� �������������������������� �����������
�������� �����;�6*86"8�7�6386!8�;��!�7��!�;�.��
$������������������� ��� ����� ������������������� ������� ���
�������������� ���� ������������ ����������� ��(� �����������%����
���������������
����� ��8�(
��� ���������������������������������� ���#�������������"���������"���
� ������� ���� ������ � �-�1�,..�..�� ���������� ����� ��������� !����
����*����� ������� ���� ������ � �-�5�...�..��(� ������� ��������
������������������ �?
A�� ���������
4�������� � �������������������(� ����
� ������������� ��������)� ����
$� ������ ���� �������� ���������������������������� ������������������
"(�=�")�;�1�,..
!(�=�*)�;�5�...
��������
Δ�;�" "
! *
�;��!�7�3�;�3
������� ��� ������� 77
Δ(�;�
1�,.. "
5�... *�;�".�...�7�!*�...�;�3�...
Δ)�;�
" 1�,..
! 5�...
�;�!*�...7��,�...�;�>�...
������� ��
(�;�(
ΔΔ �;���...�������)�;�
)ΔΔ
�;���,..
#����� � ��� ���������� ������-���...�..������ ��� ������ ��� � �������
-���,..�..�
�
��8�� ����'�.����'����:������ �������,����;�������
/������������������������������ ������� ������ ������ ���"��"�����
���;�
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� � �
� � �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� ������� ������������������� ���� ������������������������
���6�8�;����
⋅�!!
⋅�""�=��
�!⋅�
!"⋅�
"��=��
�"⋅�
!�⋅�
"!����
�"⋅�
!!⋅�
"�����
��⋅�
!"⋅�
"!����
�!⋅�
!�⋅�
""�
'�������������� �������� ������� ����� ���"�� "� ����� ������ ���������������� �����
$����������������� �������� ������� ����� ���"��"������������� ������������������ ����������� ��������������� ���������
������� �������(����������� ���������� ����������� �����������
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� ( � ) � 5 &
� ( � ) � 5 '
� ( � ) � 5 �
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
#��������������
�;��� �! �" �� �!
!� !! !" !� !!
"� "! "" "� "!
� � � � �
� � � � �
� � � � �
���� ��!� ��"� ���� ��!�
�!�� �!!� �!"� �!�� �!!�
�"�� �"!� �""� �"�� �"!�
678���������678����������678��������6=8�����������6=8������6=8�
����������������������������� ����78
Δ(�;�
�! �" �!
!! !" !!
"! "" "!
& � � & �
' � � ' �
� � � � �
Δ)�;�
�� �" ��
!� !" !�
"� "" "�
� & � � &
� ' � � '
� � � � �
Δ5�;�
�� �! �� �!
!� !! !� !!
"� "! "� "!
� � & � �
� � ' � �
� � � � �
������� ����������������� ����������� ��������������� ���������
������� ��������������������
(�;�(
ΔΔ ����)�;�
)ΔΔ
����������5�;�(
ΔΔ
0� ����� ��������� �������� ������ ����� ��������%� �����������������
��� ��������� %� �� ���� ����� ����� �� ���� �������� ����� %� �� ��� ��
0 �� �
����� ��8�3
$����������������� %� ������ ������ ����������� �������� �����
����� ��� �����
! ! �
" *
" ! "
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
A�� ���������
/���������������������
�;�� ! ! � !
� " � � "
� " ! � "
�;�3�=�!�=�3�7�3�7�"�7�*�;��
Δ(�;�
� ! ! � !
* " � * "
" " ! " "
− −�;�73�=�3�=�!*�7��5�=�"�7��3�;�71
Δ)�;�
� � ! � �
� * � � *
� " ! � "
− −�;�5�7���=�3�7�5�7"�=�!�;�*
������� ��� ������� 79
Δ5�;�
� ! � � !
� " * � "
� " " � "
−�;�>�=�5�7�"�=�"�7��!�7�3�;�7�
#�������� ����������� ���������� ����������� ���������������
(�;�(
ΔΔ �;�71����)�;�
)ΔΔ
�;�*����������5�;�(
ΔΔ �;��
�
����� ��8�4
��� ���� ����� ������������ ���� �� ���� ������ ����������� #���� ���
������ !� �� ���� "� ������ ���� ������������� ���� � ������ �
-�5�,..�..��#������������������ ����*�����������!����������������� ��
��� � �-����...�..���������������������������"��� ����!�����������!
���������������� ������ � �-��.�...�..�
�� (���������������������������� ���������� ����������������
�������� ������ ����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� �����
����� � ������������� ����
%� (� ������� ����������� �������������������������������?
A�� ���������
�� 4�������� � �������������� ���������(� �����
� �����������������������)� ���������
� ������������������������5� �����
$� �� ���� ��������������������������� ������������������ ���
�� ���� ������ �� ������ ����� � ������� ����� �� ������ ���� ����
�� ������� ���������� �����
!(�=�")�=���5�;���5�,..
��(�=�*)�=�!5�;����...
"(�=�!)�=�!5�;��.�...
�� $�����������������%� ������ �������������� ����������� ����
����������������������������� �����
$� ���������� ����������� � �������� ��������������
����;��! " � ! "
� * ! � *
" ! ! " !
�������;���3�=�5�=�!�7��!�7�5�7�3
�������;���.
ΔN��;��
5�,.. " � 5�,.. "
���... * ! ���... *
�.�... ! ! �.�... !
�������;��35�...�=�3.�...�=�!!�...�7�*.�...�7�"*�...�7�33�...
�������;���.�...
����������������������������� ����80
Δ ��;�
! 5�,.. � ! 5�,..
� ���... ! � ���...
" �.�... ! " �.�...
������;��**�...�=�,��...�=��.�...�7�""�...�7�*.�...�7��1�...
������;��,�...
ΔO��;�
! " 5�,.. ! "
� * ���... � *
" ! �.�... " !
������;�5.�...�=�>>�...�=��1�...�7��.!�...�7�**�...�7�".�...
������;�!.�...
#�������� ����������� ���������� ����������� ����������������
(�;�(
ΔΔ �;���...����)�;�
)ΔΔ
�;���,..����������5�;�(
ΔΔ �;�!�...
%� #���� � ������������ �� ���������-���...�..�
� �����������������������-���,..�..�����
� ������������������������-�!�...�..�
�
�� $�����������������%� ������ ������������������ ����������������� �����������
�� �����
��
! "
" �
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
, " �5
! " >
( )
( )
+ =⎧⎨− − =⎩
��
! * �
" !
( )
( )
− = −⎧⎨ + = −⎩
��
" ! �* .
! 1 .
( )
( )
+ + =⎧⎨ − − =⎩
%�
! 3
! 3 �.
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
* , �! .
" , 5 .
( )
( )
+ − =⎧⎨ + + =⎩
!� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� ��� �����
��
! "
�
" !
( )
)(
− =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
��
5
* "
"
! ,
)(
)(
⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
Latihan 2.9
������� ��� ������� 81
%�
3 .
" ,
" .
* ,
)(
)(
⎧ − − =⎪⎪⎨⎪ + − =⎪⎩
��
!�
! .
" ,
�"
� .
! ,
)(
)(
+−⎧ + + =⎪⎪⎨ −+⎪ + + =⎪⎩
��
� .
! >
! .
! "
)(
)(
⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
��
!�
� .
" *
!!
� .
! !
)(
)(
−+⎧ + + =⎪⎪⎨ −−⎪ + − =⎪⎩
"� &������������������ ����������������� ����������� ��� �����6�����������8����
�� ����������������������������������
��
! "
" 3 >
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
! �
* ! .
( )
( )
− = −⎧⎨ − =⎩
�
*� #��������������������������� "1�� ���������� ������������������������ �� �����
�������"�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ������������������������ �� �����?
,� ��� �������� ������������������ ���������� ���� �������������������� ���
��������� ����#������������� ������"�����������������!���������� ������������ ��
��� � �-��",�...�..��������� ��������������������������� ������*������������
����"���������� ������������ ������ � �-��>.�...�..�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ����������������������������������� ���������� �?
3� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� ������������
�� ���������� ������� �������� ����� ����
��
! " 3
" * "
! " , 1
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + − =⎩
%�
, " �! .
! " " �. .
" " 3 �, .
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− + − =⎧⎪ + − + =⎨⎪ − − − =⎩
��
! * " ,
, ! * 5
! 3 , �!
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
��
, ! * �, .
* " ! 5 .
! " " �! .
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − − =⎩
����������������������������� ����82
Rangkuman
1� �������������� ����������� ��� ��������� ������ ��������?�(� ������������ ��
��
3
! ! ! �!
" " " �5
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
��
,
! ! ! 5
! ! , �.
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
5� (�����+������������������������������������������� #���� ��������������������
�� ������������-���...�...�..��#�������������(��������+�����������-�,..�...�..�
������������������������+��������������������-�5..�...�..�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ���������������������������(�����+��������������?
�� A���� ���������9 ���4�� ���
�� A���� ������� ���
4�� ���� ������ �������� �� �� ������������������ ���� �� ������� �� ����
�������������������������������� �� ��� ���� ������ ��������� ���� ���
�������������������� ������� �6�������8�
�� 9 ����� ���
4�� �������������������� ���� ����������� �����P ����������� ��������
��� ������� ������������������������� ���� ������������ �����P �������������
���������N��
!� #�����������4�� ���
�� (� ���� ������� ��� ���� ��������������� ����� �
�8 4�� ������ ���� ������� ���� �������� ��� ������� ��� �����
!8 4�� ���������� ������� ���� �������� ������������������
"8 4�� ������� ������ ������� ���� �������� ������ ����� �������������
��� ��� �������
�� (� ���� ������������������� ����� �
�8 4�� ��������� ������� ���� ������������ �� ������
!8 4�� ���� ����������� ������� ������ ����� ���� �������� ���������������
����� ���� ��������������� �� ����������� ����������
"8 4�� �������������� ������� ���� ���� ��� ����� ����� ��� ��������������
�� ����������
������� ��� ������� 83
*8 4�� ���� ��������� ������ ������� ���� ���� ��� ����� �� ��� �������������
������� ����������
,8 4�� ���� ��������� ������ ������� ���� ���� ��� ����� �� ��� �������������
������� ����������
"� & ��������4�� ���
& ���������������� �������������� ������ �� �������� ����������������
�� ������������������������� ����������� ��� ���������� ���������������
*� /�������$�������4�� ���
4�� ����������������������������� ���� �������� ����� ������������������ ��
�� ���� �������� ����� �� ������������������ ������
,� 9�� ���������� ������4�� ���
�� A����������� ���
#������ ������;�6���8������� ���� �;�6�
��8����������������� ���� ������ � ��
�����P �������������������� �������������������������=� ������������
�� ������ ��$�;�6!��8�������� �����P ����������!
���;��
���=��
������������������������
�� A���� �������� ���
#������ ������;�6���8������� ���� �;�6�
��8����������������� ���� ������ � ��
�����P ��������� ���������� ������� ���� ����������������������7� ������
�������� ������ ��$�;�6!��8�������� �����P ���������!
���;��
���7��
����������������������
��
%� A� ��������� ���
$��������� ��������������������� ����� ��� ��� ��������� ������ ���
�������������� ��� ���� ����� �����������#������ ������;�6���8��� ������P �
������ ���� �;�6���8��� � ����P '�������� ����$�;�� ��������� ������ � ��
�P'��������
!���;��
������=��
� � ��=��
�:�:��=�����=��
�����
���������������������
3� )��� ��4�� ���
4�� �������������������� ������� ���������� �������� ���� ����������������
� �;���;� ���#�������� ������ � ���! P !��������
� �
�
! "
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠���������� ���� �����
�������������������������������
� � " �
�
! ��" �!
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
1� ���������4�� ���������������A� ������H����
�������������� ����������� ���������������������� �������� ������ ������
���;� ����������� ��������� ���������� ������� �������������� ��������������
�� ����������� � ����������� ����������������;���� �
����������������������������� ����84
Math Info
������������� ������� ����� ����� ������� ���
�� �����������������>� ������ ������� ��)��� ����)�����
���-�%������� � ��)��� �����������������3��������
�5!���$�� ����������������� ������� ������� �� �����
�� ���� ������������ ��� ���� ���� ��� $�� ����
�� ���������� ���� ������ ����������� �������
�������� �������� ���� ���������� ��� ���������
&��������������������������������� ���� ������� ��
���� ����������������������� ��������������������
�������� ��������� �� ��� �� �� �������� ��
�� ��������� ���� %����������� �������� ��
���������������� �������������
������ � ���������$�)��)
������;��������&�"������
������� ��� ������� 85
� ��� ��������������������������������������������������� ��������� ���
������������!�"������������ � �� �������!
�� (�� ��� ��������� ���� ����
���;��
� ! " �
. , * !
" 1 ! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�� ���� $� ���
(� ���� 2� ���������
0� ���������
!� 2����� ���� �� ����������� �� ��� ���"� ��������!� ������� ������ ��� ����
�����������
�� * $� 1
(� � 2� ,
0� 3
"� $���������� ������ ����
��;�
� � !
. " �
� . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
��������� �;�
� !
. �
� !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ ����$�;�� +������� ����$��� �����������������
��
� ,
! .
� �
−⎛ ⎞⎜⎜⎜ −⎝ ⎠
�$�
! .
� ,
� �
⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠
(�
� ,
� �
! .
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2�
� �
� ,
! .
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�0�
−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜⎝ ⎠
� ,
� �
! �
*� $���������� ������ ����
0�;�
*
,
(
)
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
������;�
"(
5 �
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
�����������1�;�
,
� !
)
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#����!0�;��=�1�������������� ��(��)��5�������������������������������
�� *��*��1������7* $� *��7*��1������*
(� *��*��71������7* 2� *��7*��71������7*
0� *��7*��1������7*
Uji Kompetensi
����������������������������� ����86
,� 4��������
��;�
" ! 1
3 , *
. * >
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� �;�
3 ! *
. � "
1 1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2�� ����� ���� ������������ ���� ����� ������������
�� .��!5������*, $� 3"��31������,1
(� 1�����������* 2� 31��3"������,1
0� 3"��,1������31
3� $���������� �������� ����
5 �
1 3" ! *
� � � !
" ! � "
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠
:�����������!������"��� ���� �������� �����������������������
�� ,��7"��7*������7� $� ,��7"��*������7�
(� ,��7"��*������� 2� ,��"��*�������
0� ,��7"��*�������
1� #�����,�;�
� .
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������-�;�
! *
, 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� ����,,�7�!-������������
��
� 5
. "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
$�
� 5
. "
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
(�
� 5
. "
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
2�
� 5
. "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
� 5
. "
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5� 4���������� ���� � �������� ���� �� ��� ��� !� P � !� ���������������
���� ������� ����������
����A� � �������� ������� ���������� ����# ���������
�� 6� 8��;�
���
�$� � �;� �
(� 6� 8���;�
���
��2� 6�
��8���;��
0� 6��8���;�
−��
�
�
>� #����������������� ���� ���� ������������
− ⎛ ⎞= ⎜
⎝ ⎠�
! �
" !
�
������ ����� �;�*�������������
��
5 *
�! 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$�
5 *
�! 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
(�
5 *
�! 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2�
5 *
�! 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
0�
5 *
�! 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 87
�.� $���������� �������� �����
� ,
! ! �
( ( (
( ( (
+ −=
−
:�����(� ������������ �������������������������
�� (��;�7���������(
!�;�" $� (
��;����������(
!�;�7"
(� (��;�7���������(
!�;�7" 2� (
��;����������(
!�;�"
0� (��;�7!��������(
!�;�"
��� �$���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� ������
������(��)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
�!� $���������� ������;�
"
,
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
��#������;� ��������������(�����)
�����������������������
�� *�����7! $� 7!�����*
(� "�����, 2� 7*�����7*
0� *�����*
�"� $���������������� ����������� �
(�=�)�;�5
!(�7�)�;��
:�����(�����)��� ���������� ����������� ��������������������
�� ,�����" $� 7,�����7"
(� "�����, 2� 7"�����7,
0� 7"�����,
�*� $���������� �������� �������!(�7�)�7�,�;�.������
!��"(�7�)�7�1�;�.���/������� ��
�� �������� �����������������������
�� 6!��8 $� 67!�7�8
(� 67!��8 2� 6!�"8
0� 6!�7�8
�,� :���������� ��� ������;�
! !
� "
�
� �
+⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� ��������� ����������� ������������
�� 7!������" $� 7�������*
(� !������7" 2� �������7*
0� �������*
{
����������������������������� ����88
� ��� ��������������$���������������������%&�������������������������'
�������� ���� �����!
�3� �� (� �����%������� ���������� ��� ��� ���!� P �!���������
6��=� 8!�≠��!
�=�!� �=� !
�� (� ������ � ���������� ���������� ������������������� �����
6��=� 8!�;��
!�=�!� �=�
!
�1� $���������������� ����������� �
!(�=�")�;�"
"(�=�,)�;�*
�� : ��������������� ������ ����� � ������������������ �������� ����
�� ������������� �������� ���� �������������������� ���� ���� ����
�5� $���������� ������;�
3 !
" "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&��������
�� � %� ����
��
�� 6� 8��
�� ����
��
�>� @���������F����������!�������������� ����������������������@����������
,����������������!���������������������F����������"���������������
"�����������4� ������������������� � �-�"3.�...�..�����-�!1.�...�..�
�� ���������������� ������ ����� ��� ���� ���������������
�� : ��������������� ����������� � �������� ������������������ ���
������ ����
%� &��������� ����� ������������������������������
!.� �����(������������������������ ������������ #���� ��������������������
�� ������������-�".�...�..��#���������������������(�������� �������������
���� ������-��,�...�..�� ���������� ����� ������������� �������� � �����
-�!��,..�..�
�� (���������������������������� �����������
�� $�����������������%� ������ ������������������������� �����������
������������� ������ ����
%� (� ���������� ������������������������ �������(������������?
�� ��� �����������������������������!.���������� ����".��������������!,���
����������������,������������ ���#����� ����� ������ �� ����� ���-�1�...�..�
-��.�...�..�� -�"�...�..�� ���� -��,..�..�� ����������� ��������� ���� �����
��� �������������� ����� ������� � ����������������������� ������
!� ��������������� ������������� ����������������.�...��� �����������������
�� ��������������������������� ������������������� � ��������������� ���
������������������������������������"��������� %���������������������������
������ ��� ���-�!.�...�..��������Q)A� ��� ���-�,.�...�..������������ ���� �Q)A
��� ���-��..�...�..��(� ������ %��� ������ ��������������������������������
���� �������������-�",.�...�...�..?
{
Soal Analisis
������� ��� ������� 89
���9���
:�� ����������������������������������������������������� &������ ������������������������������������������������������������
/���� ���L)) 4��� ��A���� ���4�� ���
/������ ����������������������������������������������������� ������ �����6����8
/������� ����� ����������������������������� ������� �������
&����� ���4���������� � ������������������� ������� �������
�� ���������������������������
�� ����� ����� "� $���� � �����
!� (���� %������ *� /����� �������� ���
�� ����� ���-�
�� (�������������� ������ �� ���� ��*������,�������
!� ������������������������������������������ ���������������� ��������
������ ��������
"� H������������%� ����������������� �������� ��������������������������
���� �������� ���� ��� � ��������0���������������%� �������������������
����������������������� ������������������ ������
*� #������� ���� �������� ������ � ������ ������� ������ �� 6���������� ���
�� �����8������� ��������������&�������� � ���������� ������������� �����
� ����������6��������8��/��������������������������� ��������� �����
�� ��������
�� 4�������� (� ������ ����� ������ ���������� ���� )� ������ ����� �����
�� �������������������������������� ������� ����������� ����
!� : ������������ ����������� �������������������� ����4���������������
�� �������� �������������� ��&��������(�����)����������������������� �
�� ����
"� &�������� � ���������������� �������������������������������� ������������
������������� �
Aktivitas Proyek
:�'���������-��
�������:���2���� ������.���'#���
/������
/�����
<�'��
����������������������������� ����90
�����"������ �������������������������
4������������� ������..1����� ��������� ����B����C�� ���������� ������������
�� � �����)����� ����� ��������� �����������H��������!��"��������!3�������� ���
� ������ ��$��������<��� �� ����� ���6������������ ������8����������� ���� �������
�� �������B����C���������>��>������3��/��������>��>����������3��������������������
�� ����
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
��'������������ ����� ���� �������������� ����� ������� ���
���������������
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
�������� ������ ������������������������� ����������
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� !
" *�
+����� ��
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� !
" *
�;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
*3 1*
*> 33
�
/� ����*3�� 1*�� *>������33� ������ �� ��������� ���� ����� ���� ������� ��� �������
�� ��������������� ���� ������� �������!3������� �����*3��1*��*>������33�����������
����������!3� �������� ����� ���������������� ������ �� !3�� ������� �����������
����� ��������������*3��1*��*>������33������������!.��!!��!"�������*��/����!.��!!��!"�
�����*��������������������� ����������.�=>�
#���������� ������..1������� ��������6�� �����8�C.�=>C� ����� ��� ��C����C��A� ��
�������������� ����� ���������������� ���� ���������������������� ������
� ����� ��������������������������������� ��
���� ����%���������������� �������� �������C����C�
Teka-Teki Matematika
?�������4�������4������������� 91
� ��� �����������������������������������(&�������������� ��������� ����������
�����!�"������������ � � � �������!
�� A� �������� ��� �����������������6.��.8�����65�.8������������
�� *)�;�,(�=�*. $� ,)�;�*(�7�*.
(� *)�;�7,(�=�*. 2� ,)�;�7*(�=�*.
0� *)�;�,(�7�*.
!� &�������������� ���"(�7�*)�;��.�����(�=�)�;�5������������
�� 63�!8 $� 6!�38
(� 673�!8 2� 673�7!8
0� 67!�38
"� (���������� � ����������� ������� ����������� ���������� ���������������� �
"(�=�!)�≤�".��!(�=�")�≤�".��(�≥�.������)�≥�.��� �������������� � ������ $� ������� ������������
(� ��������� 2� ��������
0� ��������
*� (�� ��� ���� ����� ���� ����
��;�
� ! " �
, , * !
" 1 ! *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�� ���� $� ���
(� ���� 2� ���������
0� ���������
,� 2����� ������ ������������� ������"���������!�������� �������������������������
�� * $� 1
(� � 2� ,
0� 3
3� #��������������� ������;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����#8(7�;�"(!�=�,(�7�!������#8�7������������
��
!� 3
> �5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$�
!* !*
�3 �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(�
3 !.
*. !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
2�
3 !.
*. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
!* �3
!* �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Latihan Ulangan Umum Semester 1
����������������������������� ����92
1� ��� ������������������������!� �������������� ����������������������� ��������
�������� ��������������������� ���������� )���������� ))��'������������
���������� ����������������)������ ���!����������������))������ ���.�!,��
'������������� ������ ��� ���������������� )� ����� �������������������� ))
����� ���.�,���/���������)��� ������".����������������))��� �������!���#���
�������������� ���������������������� ������ ��� ������������ �
�� �, $� ".
(� !* 2� *5
0� !3
5� 4�� ���� ����������� �� ������������� ������ ����� �� �������� ����,� ���������
������������������������ �;�,���,��#���������� �� ��������� ������ ���� ���
�� ����������� � �������� ��������� ����# ���������
�� �������
���� ���
(� ��������������������������� ������� ��������������
0� #���������� ����������������������������
����� ���
$� 4�� ������������������� ����
2� #�������� ����������� ����� ��� �����������$���������� �����������$
>� #�������� ������ ��� ���" P "��������6�8�;�,�������������� �����66!�8��8�������������
�� �. $�
�
*,
(� *. 2�
�
*.
0� *,
�.� $���������� ������;�
� .
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� .
� *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
����������������� ������ � ���! P !��(���
���;� �������� �����������������
��
� �
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
$�
� .
� *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(�
� �
! !
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2�
� �
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
� �
! !
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
?�������4�������4������������� 93
��� $�� �� ������� �� � ����� ���� ��0� ������� ��� ����� ����� ���������� �
��� ����������������� ��������������� �
�� ��(�=���)�≤�* $� ��(�=���)�≥�*��(�=�!)�≥�* ��(�=�!)�≥�*��(�7�!)�≤�7* ��(�7�!)�≤�7*!(�7���)�≥�* !(�7���)�≤�*
(� ��(�=���)�≤�* 2� ��(�=���)�≤�*��(�=�!)�≥�* ��(�=�!)�≥�*��(�7�!)�≥�* ��(�7�!)�≥�7*!(�7���)�≤�* !(�7���)�≤�*
0� ��(�=���)�≤�*��(�=�!)�≤�*��(�7�!)�≤�7*!(�7���)�≤�*
�!� #��������������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! �
1
5 ) (
( )
− +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��� �����;�! ������
������5�������������
�� �. $� "
(� 5 2� !
0� ,
�"� :����������������������������#8(+)7�;�!(�=�,)���������������� ��������������
�� ���������������� ��(�=�)�≤��!��(�=�!)�≤��3��(�≥�.������)�≥�.�������������� �! $� *.
(� !* 2� ,!
0� "3
�*� �#��������������� ������;�
,
, "
� �
�
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �;�
>
1 *
�−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ������6�8�;����6 8�����������
�������������
�� "������* $� 7*������,
(� 7"������* 2� "������7,
0� "������7*
@
�
*
!
. ! �������*
6*�*8
����������������������������� ����94
�,� #�������� �������� ���6���;��8�������� � �������� ��������� ����# ���������
�� ������������ �� $� 7����������� ��
(� 6��=���8���������� �� 2� ������ ������� �
0� 6��7���8���������� ��
�3� :�����(�����)� �������������� ������� �������� #8(+)7� ;� ,(� =� *)��������� �
���������� ����������������� ������������"(�=�)�≤��,��(�=� �)�≤�>�� �(�≥�.�����)�≥�.�������������� "5 $� "3
(� *, 2� !,
0� 3.
�1� :����� ����� ������� #8(+)7� ;� 5(� =� 3)� ����� ��� �� ��� ��������� �����
�� ���������������� ��!(�=�)�≥�".��(�=�!)�≥�!*��(�≥�.������)�≥�.�������������� �>! $� �"!
(� �5. 2� 1!
0� �*!
�5� $���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� �������������(�
)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
�>� $����������;�
"
,
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� #������;� ��������������(�����)�������
�����������������
�� *�����7! $� 7!�����*
(� "�����, 2� 7*�����7*
0� *�����*
!.� $���������������� ����������� �
(�=�)�;��5
!(�7�)�;��
:�����(�����)��� ���������� ����������� ��������������������
�� ,�����" $� 7,�����7"
(� "�����, 2� 7"�����7,
0� 7"�����,
!�� $���������� �������� �������!(�7�)�7�,�;�.������
!��"(�7�)�7�1�;�.��/������� ����� �����
�� �����������������������
�� 6!��8 $� 67!�7�8
(� 67!��8 2� 6!�"8
0� 6!�7�8
{
?�������4�������4������������� 95
!!� :���������� ��� ������;�
! !
� "
�
� �
+⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� ��������� ����������� ������������
�� 7!������" $� 7�������*
(� !������7" 2� �������7*
0� �������*
!"� #������ ����
� ! "
* , 3
1 5 >
�
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
���������6!�8�;������
�� !*. $� 1!.
(� *5. 2� ��>!.
0� 7!*.
!*� :���������� ��� �������� ������ ��������� ����������� ������������
3 . .
. �
. * !
�
� �
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� !������3 $� 7!������73
(� 7!������3 2� 7!��!�������3
0� !������73
!,� $���������� �������� �����
� ,
! ! �
( ( (
( ( (
+ −=
−
:�����N� ������������ �������������������������
�� (��;�7���������(
!�;�" $� (
��;����������(
!�;�7"
(� (��;�7���������(
!�;�7" 2� (
��;����������(
!�;�"
0� (��;�7!��������(
!�;�"
!3� $���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� �������������(�
)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
!1� A� �������B(����A� ����C��� ������� !� ����������� ����� ������������ ������ �
�������������� ���������������� ���������� )���������� ))��'���������
���������� �����������)������ ���!�����������������))������ ���.�!,���'����
����� ������ ��� ����������� )� ����� ����� ���������������� ))� ����� ���.�,
��������(���� )� �� ������".� ���������������� ))� �� �������!� �������� #���������
����� ���������������������� ������ ��� �������� ���� �
�� �, $� ".
(� !* 2� !3
0� !5
����������������������������� ����96
!5� ������������������ ������������������������� ��������������O�������
���������������� ������ ��".������������������ ��������� ������ ��!*���������'����
��������������� �� ������ �� ������ !��%�� �������������� �����������
��������������
!��4��������������
������������������������!��������O�������������
������!��������O�������������� ��4��������������!�����������������������!�������
O�������� �������������� �������O�������� ������ ��+� ���������� ��������� �����
-�5�...�..��� ��������� �����������������!�������-�,�...�..��� �����(��� � �
��� �������� ����� ���������� ����� ���� �� ������ ��� ����������O��� ����
�� �������� �����������������
�� -�3.�...�.. $� -�>3�...�..
(� -�1,�...�.. 2� -�>"�...�..
0� -��!.�...�..
!>� ����������������� ������ ���������������������������� ��"..����������
���������������������� ���������� ������������� ������� ������������
3.�������������������������������������������� �����������!.�����A����������
�� ��������������������� ������ ������� �� �!�...�����(���� ������������ ������
��������� ������ ���������� -�5..�...�..� ���� ������ ������ ������ ������
-�,..�...�..������ ��� ��� ����������������������� ������ �� ������ ���
���� �������������������� ������ ��� �������� ���� �
�� -��>,�...�...�.. $� -�!*.�...�...�..
(� -��3.�...�...�.. 2� -�"..�...�...�..
0� -��,.�...�...�..
".� $���������������� ����������� �������������� ������
, "
3 *
( ) &
( ) '
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ����������� ���������� ����������� ����������������
���
6 * " 8
!
( & '= − + �����
�
6 3 , 8
!
) & '= − +
(��
6* " 8
!
( & '= − ������
6 3 , 8
!
) & '= − +
0�
�
6* " 8
!
( & '= − �����
�
63 , 8
!
) & '= +
$��
6* " 8
!
( & '= + �����
�
6 3 , 8
!
) & '= − +
2��
6* " 8
!
( & '= + ������
63 , 8
!
) & '= +
?�������4�������4������������� 97
� ��� �������������(�����������������������)&�������������������������'�������
���� �����!
"�� #���� #8(+)7� ;� "(� =� *)������8(+)7� ;� *(� =� ")� �� ���(��)� ������������������������ ���
�������������������������������������������������� ���������#�����������
������������ �������� ����������� ����� ��� �����
�� !(�=�")�≤��!��(�=�3)�≤��!��(�≥�.��)�≥�.�� ,(�=�!)�≤��.��!(�=�,)�≤�!.��(�≥�.��)�≥�.
"!� $���������������� ����������� �
"(�=�,)�;�"
!(�=�*)�;�*
�� : ������� �������� ������ ����� � ������������������ �������� ����
�� ������������� �������� ���� �������������������� ���� ���� ����
""� $���������� �������;�
, *
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" ,
* ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&��������
�� � �� ����
��
�� 6� 8�
�� ����
��
%� ���
�
"*� H������� ���� �� � �������..�!��H���� ���� ���������� ����������� �.�
!����
����������������!.�!��$�� ���� �� ��� �������������������������������� �
5������ �����#������ ����� �� ��������������������������������������-�"�...�..
����-�,�...�..������������� ��� ���������������������������� ����� ��
��� � ���� ���� ��������������������� ��������� ����������������
�� ������
",� ��� ������������������������������ ���������� �� ����������� ����������� �
�� �������� ������������������ ������� ������� �������� ������������������
�����������4��A������=����������������������������!*��!!������"3������������
������� �������$���������������,�����-����� ������������������� ��������������
������������,��������������� ������������4��A������=�������������������
!���������������������������������������������������-��������������� �����������
4��A������=������������������� �����������!���������+� �����������������������,
����-�������������������-�5�...�..������-�3�...�..��&����������� ������
����������� �������������� ����������� ���� %�����
"3� �������-�OE�������:������� �������� ����� #�������� ���������������� �� �����
������1,�� #�������� ��������������-�OE������ ��������� ����:�����������*,�
������������������� ��������������:�����������,.�
�� (���������������������������� �����������
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ������ ����
%� (� ����������������������� �����������-�OE�������:����?
{
����������������������������� ����98
"1� ��� ������������������������������������������������#��������������!�������"
�������������������������������� ������ � �-����...�..�� #�������������� �
������*��������������!������������������ ������ � �-��!�,..�..�� ���������
����� ���������� "� ������ !� �������� ���� !� ������������� ���� � ������ �
-��,�,..�..�
�� (�������������������� ������ �� ������� ��� ����� ����� ������� �����
�� ������ ����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ����
%� (� ������� ����������������������������������������������?
"5� �����������������2�� ������������������ ������������ #���� ���������������
����� �� ������ ������-�!�...�...�..�� #���� ������������������������ �����
-���,..�...�..�������������������������������������2�� ��������-���...�...�..�
�� (���������������������������� ������������������������������� �����
����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ����
%� (� ��������������������������������������������2�� �?
">� $��������
��;�
" *
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &����������������� ������������������������� �������7������� ������� ��
�� &����������������� ������ ������������������ ������� 7��� ���������� ��
���� ��
*.� &��������������(�����)� ����������������������������� #8(+)7�;�,(�=�*)�����
��� ������������ ����������������� ������������"(�=�)�≤��,���(�=��)�≤�>��(�≥�.�����)�≥�.�
�������� ��� ���������������� 99
BARISAN DANDERET���
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� �� ���� ������������� ������������
�� ���������� ������������ ��������� ������� ������� ��� � ����������������� ��
�� � ������� ����������������� �������� ����� �� ���������������� ���
� ��������������������������� �� �������� ����� �� ���������������� ��� ���
����!�� ������
�������������������
"��������������������������������������������������� �������� ���������
����� ����� ��� � ������ "���� �������� � ���� ����������������� � ����� �����
�� ��������������� ������������������������������������ �������� ������ ��
���� ����� � ����� ������� ������#����� �� ���������� ������ ������������������
�� ��������� �������������������������� �������������� ����������������������
�������������� �� ���� ������������� ����������������� ��!�����!��
�� ����������� ���� ���������� ����� ����������� �������� �������������������������
� ������������������������������������������������� ��������� ���
�����������������������������!�� ������������������ ����
Pengantar������������������������������
������������� !� �"�����#$$�%�������100
$������������������������� ������� �� ��������� ������������������ ���� ����
���������� �� �� ����� ��� ����� ����� �� ����� ���� �� ���� �� ����� � ��������� �� ��
� �������������� ������� ���������� ����� �������� ����������� �������� ������������
������� ��������������������������� ��������������������������� ���� ��������
������� �� ���� ����������� ���������� ������� ��������� ��������������� ���
���� ��� ��!�����!������
3.1 Pengertian Barisan dan Deret��������������� ����� ������������������������������������������� ��� ���
�������� ������������������������������������������������������������ �� ������� �
������ ����� ���� �� ����������� ����� ����� ����� ����� ������ %�������� �� ������ ����
�� �� ����������������������������� ���������������� �
&������� ������ ����� ����� �� ��������������� �������� ��������������� ����
���������� ��������������������������������� � ������ ���������������� �
��� ������������� ��� ������ ������������� ������������� ���� �������
������ ��� ��������������� ���������'�� ���� ��� �����������������������
��������������������������������� ��� ��� ��� �� ������� "�������� ���������� �
��� � ����������������������������������������#����� ��� ������������
��� �������������������(����� ���������������)���������� �������&�������������
�� ������������������������ ��������������������������������������
�&�������������� ���� ������������ ������ !�������������������� ���������
��������������������� ( )� � ������� ������������������������������ *������+
�� ������������������ ���� ( )� �
����� � �
,������������������������������������������������!�������������� �
������������������������������������� �����������������������������
�� ��� �
&������ ����� ������ �� ����� ��������� ���� ������ �������� ��������� ���� ����
������������ ������ ����� �������"�������� ���������������������������������!�����
�� �� !���������
���� ������ �������������!������������� ����������������� �����
( )f ⋅ ��� →� � �&�����������'�(�)� ��*��
$����� ��-����→����*�+�)� �⋅���.���-�(��)����→����*�+�-� �⋅���.���-�/��)� ��→����* +�)� �⋅� �*���-��0�
��)����→����*�+�)����*���
"�������������-������� �������������������������������������!�������'�(&��'�(&��' (&������'�(&����
�����������������(��/���0��������* ��.��+��������$����������������������������������!�������'�(&
�'�(&��' (&�����&��'�(&��������� �������������������������������&��
�&��
&�����&��
����������������������������
������ ������������� �������� ������$������� �������� �����������������#������
��������������-�(�������������������
��-�/���������� ��������
�-��0�������������������������
�
-� ��.���
�������� ��� ���������������� 101
1� ���������� ����������������������� ���� �������� ������ ���� �� �����
�� 2�������� ���������������!�� ����� ����������� ������������� ��������
���������� ������� �������� ������� �������� ��������� ����� */�� ���� �3�� �4�� � �� ���+
�������� ������������������������������*(��.� +�������������� �����*������(��5�����+
�������� ���������������������������������6��
�
�� 2������������������������������������ ���������������������� ���� ��������
����������������������� �����* ��3��/��4�����+��������������������������*��+���������
�
-����.��������������������������������*���.��+�
� 2����������������������������� �������������� ��������������������*��.��+
�������������������!�������� ����������� ������������������������������� ����
���������7������������� ���������*��+���������
��-�����
��-���������
�.��-��
��.��
���������
��≥����"������������������������ ������!�� ��� �����7�����������������������������
�������*��������� ��3�����+��&�������������������������������������� �������������
����� ������� ����� ������� ������������ ������� ������� �� ���� ���������
������������
8� ������������� ������ ������ �������!��������������������������!�����
�������������������� �����
����� � �
&����� ������*��+�����*+
�+���������������������������������*�
�+�-�*+
�+��������
��)�+
�
���������������������������
$������� ���������������*��+��������������� �������������� �����������
�� ���� ���������������*��+�
���.��
��.��
�.�����.��
��.����
����� � �
"����*��+�� ��������������� �������������� ����������������
���.��
��.��
�.�����.��
��.����
���������������������� ���%�������������������������������� ���� ����������������
���-��
��.��
��.��
�.�����.��
�
�������� ������������������� ��������� ���� ���
$��������������� ������� ����������� ��� ��������������� ����� ���
���� ��������� ������������ ����������� ���
!����� � � �
"�������� ���������������������������
� � �
�� � � � �
� �
� �
�������������������������� ��������� ��������������������*���������+������
�
��� ����������������� ������������������������� ����������
������������� !� �"�����#$$�%�������102
� � �
�
� �
+ + + + +� �
�������������� �������������������������������������
�
������ ���������������
�� ����������
���-�
� � �
�
� �
+ + + +�
"������������� ����������� �������������3�������
�
�3
������������3������������ ���
������
��3�-�
� � �
�
� �3
+ + + +�
�
!����� � � �
"�������� ����� ������������������ ��� 6��� ��� 6��� ��� 6��� ���� �� ����� ����������������� ���
� ��������� �������������������.�*6�+�.���.�*6�+�.���.�*6�+�.�������������������� ������
�������������������������������������������������6�������������������������������
�� ����������0����������������������������������
�
!����� � � �
1�������� ����� ����� ����� �� �� ������� �� ����� ��������� ����� �� ����� ����� �������
��������� ��������������
�� 3��/��4����� �����������0���00��9 �������� � �
� � �
� ( )
�
:������������
�� 1���� ������� ���������� �� �� ����� �� ������ ���������� � �� �3�� ���������� ���
�������������������������-����.� �
�� 1���� ����� �� �������� ������ �� ����� �� ������ ������ ��000�� �0�000�� �00�000�
���������� �����������������������������-��0
��6���
�� 1����������� ���������������� ������� ������������
� � �
� �
5 �0 �������������� ���
�������������������������-�
�
���
�
!����� � � "
1�������������������� ������ ���� ������������������� ���������������� ���������
�� ���-� ��.�� ��������
��-��
��6�� ��������
��-��*��.��+
:������������
�� &�����������-� ��.������������ ����
���-� *�+�.���-�(���
��-� *�+�.���-�/�������
�-� * +�.���-��0�
�� &������������-��
��6������������ ����
���-�*�+
��6���-�0���
��-�*�+
��6���-� �������
�-�* +
��6���-�5�
�� &������������-��*��.��+���������� ����
���-��*��.��+�-�����
��-��*��.��+�-�)�������
�-� * �.��+�-����
�
�������� ��� ���������������� 103
!����� � � #
;���������������� ���������� ��������������-��
��6����
�� 1�������� ����� ������� �������
�� %��������(5�� ���������������������� ���<
:������������
�� &������������-��
��6������������� ����
���-�*�+
��6��*�+�-���6���-���
���-�*�+
��6��*�+�-�(�6�(�-��0
� �-�* +
��6��* +�-�4�6�)�-��
�� &�����������-�(5���� � ����
��6����-�(5�������
��6����6�(5�-�0��&�������� ����!���� ��
���� ����*��.�5+�*��6�)+�-�0��=����� � ������-�65��������-�)��8� ��������������������������
�������� ������-�)�
"�����(5���������������)�
�
�� 1�������������������� ���������� ���� ���������������� ����� ����
�� 3���3���3�� 3����� �� ��� ��3��5���������
�� �30����3���00��/3����� �� ���(��4���3�����
�� ���6������6������ !� ������(��5���)�����
�� 1�������������������� ���������� ���� �����7����������� ����� ����
�� ��3��5��� ����� �� 3���0���3���3�����
�� 0�������������� �� ���/��4���)�����
�� ���6���0��6������ !� 63��3��0��3�����
� 1�������� ���������������� ���� ������� ���������
�� )�������)��������� �� ���3���0���/�����
�� 0�����)��������� ��
� � � �
� � � �
� ( 5 �)
�
�� (��5�������)����� !� 0�����0��������
(� &���������� ������������ �����������������������-��
��.����.���
�� 1������������� ������� �������
�� %���������00�� ���������������������� ������ ���� ������� �����<
3� &���������� ������������ �����������������������-�
��6���
�� 1������������� ������� �������
�� %���������( �� ���������������������� ������ ���� ������� �����<
)� &� ���� ��������������������� ���������������� ������������������������
�0�������
���
�� ���-�(��.� �� �
��-��
�.�
�� ���-�3��6� �� �
��-�
�
�
�
�� ���-��
��6� � !� �
��-�
* �+
�
�
�
−
Latihan 3.1
������������� !� �"�����#$$�%�������104
/� &���������� ������������ �����������������������-���
�����)��
�� 1������������� ������� �������
�� ���������� ��������������������<
�� 1�������������
�������
3��*=�������
��-��
��.��
��.��
�.�����.��
�+
5� &���������� ������������ �����������������������-��
����6� ��
�� 1������������� ������� �������
�� 2������������ ������� ����������������������<
�� 1�������������
�������
3�
4� &����������������������������� ������������������,-.���� ������������������
���������������00��� ���� �������������������������������������������
�
�
�
��
�
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠8���������������������������00�������� ����
�0� >������������� ������������������,-.���������������������� �����
�
� �
�
∈⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
������������������������������������������������������≥������ �����-��≤�0�000��
3.2 Barisan Aritmetika&������� ������� ���������� ��������������������� ������� ����������� ���
���� ���������������������� ��������������������!�����!�������������������
����������������� ������ ��������
����� � "
�������� ����������
����
���������
���������������������������������������������
��6��
��-
� �6��
��-��
(�6��
�-�����-��
��6��
����-������������������������������������������*�+��� ���� ����
� ���������� � �����-����6��
����
&������������������� ������ ���������������� ��������������������������
������� �������������� �� ����������������� � ����� �������%� ������ �������� �� ���
�������������������������%� ������������� ��������� ������������ ������ �������
������ ������������������ ������ ��������
!����� � � �
%� ��������(��)��5������� ��������� ������ ���������� �������6��
��-��
�6��
��-��
(�6��
�-����
������������ ���-����6��
��-���� �%� �������3����0����3����0�� ���� � ������ ��������� ����
� ������������������������-���0�6���3�-�63���1��������� ���������0�����0�������������� ������
�� ������ ���������� ���� ����6��
��-�6���������������������
�6��
��-�����&����������
�� ������������(��/������������������� ������ ���������� ��������6��
��-��������������������
� �6��
��-���
�
�������� ��� ���������������� 105
%� ���� ������!������������������������-��������������������� ���������� ����
� ���������������������� ��������
���-��
���-����.��
� �-����.���
�(�-���.� �
��
���������-���.�*�6�+�
���������������������������-���.�*���+����8� �������-��
����������������������������
������
���-��
��.�*��6��+�
������������������������� ����������������������������������!�����!������������
������� ������ ������������ ��������������������������� ������������������������
�������*���.��+����������������������������������������������������������������������
����������������
���-��
��.���-��
��.����-�
�
�*�
��.��
���.��+
���������� ����� ������� �������� ����������� ������� �������������� ����������
���������������������������������������������������������������� ������������
���.��
���-��
��.��
���6���-�9�-��
��.��
��.��
%� ������������� ��������� �������������������������������� ������ �������
��������������������� ����������������
!����� � � �
1����������������3���� ���� ������ ���������6 �����3��4�������
:������������
&� ���� ������ ����������������� ����������������#������-���-�6 ���������-���6�*6 +�-
(�����������3������������������������������ �����
�30�-��
��.�*3��6��+�(�-�6 �.��00�-��4/
�
!����� � � �
&��� ����� ������ �� ����� � ��������� ��)�� ��0�� ��(�� ���� �� � ����� ����� ��� �� �����
� �������������������<
:������������
&� ���� �������������� ������������������-���)���������-���0�6���)�-�6)���"������������
���-�0����������� ����
����������-�0 ⇔����
��.�*�6�+��-�0
⇔�����)�.�*�6�+*6)+�-�0
⇔ ��)�6�)��.�)�-�0⇔ )��-�� �
⇔ ��-�� �
)
�-���
"��������������������������������������������-�0�
�
������������� !� �"�����#$$�%�������106
!����� � � "
&� �� �������� ������ �������������������� ��������������������������#���3� -� �5�
���-��(������������������ ��� ��������)��1�������������������������� ������� ������
:������������
8� ���� ������� �������� ������������ ������� �������������� �����������������
*���.��+����������������� ��� ���������������������������������.��
�-���.��������������
�������������������������������-���.��������������������� ��������������������
��.�������-��)
���.�������-��5�?
���������������������������������������������������������������6� ������������-�6�
&��� �������-������������������� ����3�-��5������� �������.�(��-��5����������������(��-��5
6������������-�(���8��������� �����.����-��(�������� �������.�(��-��(����������-� ���"�����������
������� ���� ������� ��������������@� �.���-�/�������� ������� ������������
���)���0���(���5�������)
�
!����� � � #
&�������� ��#�� ����� ����������������� ����� ������� ������ �� ������ �� ����
� ���������"���������������������� �������������(������������������((0��1�������
������������������ ����
:������������
2���������������������������������������6��&��&���.���
&� �����������������
*�+ *��6��+�.���.�*��.��+ -��( ⇔��� � -��(
⇔������ -�5
*��+ *��6��+�*�+�*��.��+ -�((0 ⇔����*���6��
�+ �-�((0
⇔ 5�*)(�6���+ �-�((0
⇔ )(�6��� �-�33
⇔ ���6�4 �-�0
⇔ *��6� +*��.� + �-�0⇔�����-� ����������-�6
$��������-�5���������-� ������ ������ ������ ��������3��5�����������
$��������-�5���������-�6 ������ ������ ������ ������������5��3�������
�
:����A����� ���3��������������������������������������������������������.��������.����
��������� �������������������������� ��������������������������6���������.���*�������
������������������������+������������������������������������������� �����������
-��/������0����������������������������������������� ������������������ ���������
&� ������������������������ �����#�����������������������������&������������ ����
� ��������������� ���������-���.�����&�������� �����������������������������������������+�
���������� ������ �������� ������� ����� ���.���-� ��.�+� *%��������������������
������������+�
Tugas Kelompok
�������� ��� ���������������� 107
�� ������������������� ������� ���������� ��������� ������ �������������������*�� ����
����������+�
�� ��� ��3��/����� �� ���0�����0�����
�� (��/���0��� ����� �� ���(��4���)�����
�� 30��(0�� 0���0����� !� 63��6��� ��/�����
�� 1��������������� ���� ������ ���������� ����� ����
�� (��4���(���4����� �� /3���00����3���30�����
�� 65��63��6��������� ��
� �
� � � 0�
( � (
�
�� 3�����6 ��6/����� !� ������� ���(������
� 1�������� ������������������� ���� ������ ����������������������������������
(� 1�����������������0��������������3��� ���������������� ������ ���������� �����
�� /���0��� ���)����� ��
� �
0� � � �
( � (
�
�� 63��6 ��6��������� �� ���3���/���4������
�� �3���0��3��0����� !� ��.�1����.� 1����.�31����.�/1�����
3� &� �� �������� ����� � ����������������� ��#�� ��������5� ������ �3����� ����������
������(3��1��������������� ��������������� ���� ������� �����������������������
������� ��������
)� &� �� �������� ����� � ����������������� ��#�� ��������3� ������ ������ ���������0
����������1�����������������0��� ���� ������ ���������� ������
/� &�������� ��#�� ����� ����������������� ����� ������� ������ �� ������ �� ����
� ���������"���������������������� ������������)0������������������/�300��1�������
������������������ ����
5� ��������3��� ���������� ������ ���������������)������������������� ������������
����1��������������������������0��� ���� ������� ������
4� 1��������-����������������������������� ������������� �������� ������ ��������
�� -�6����-�.��������3- �� �-��.���� -
��6��������3-
��6�-�.�
�� -�6���� -�.��������(-�6
�0� &������������ ������ ��������������������-� ���
��-�5/�������
)�.��
/�-� 4��1������������
*�+����������30�
3.3 Deret Aritmetika&�������������� ���������� ������������������������� ���� ����������� ���
������������������� ������ ���������:����������������������������� ���� �������
������� ����������������������� ������������&������� ���� ������������� ����
����� �� �� �������� ��� � ��������� �������� ����� �������������� ������� ����
�� ��������
Latihan 3.2
������������� !� �"�����#$$�%�������108
����� � #
"���������
����
��������
�������� ��������� ������ ����������������������
��.��
��.��
�.���������
.����.���������������� ���� ���������"���������������� ���� ����� �����������������
����������������
��-��
��.��
��.��
�.�����.��
��
"����������� ��������-�������������� ���� ���� ���������� ��������-��
��6��
������
����������������������������
�����-���������������������.����.�������������.����.������������.�������.���.�*�6�+����.����.�*�6�+�
���� �����-����.*�6�+����.����.�*�6�+���.����.�*�6 +���.������.���.���������������.���
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� � .
����-�����.�*���+��.����.�*���+��.����.�*���+��.�������.����.�*���+��.����.�*�6�+�
�������-����B���.�*�6�+�C
"����
���-� { }* �+
�
�
� � � �+ + − �����������-� { }
�
��
�
� �+
&�������� ������ ��������������������� ����
�����-��
��.��
��.��
�.�����.��
����.��
�
�����-��
��.��
��.��
�.�����.��
���
"������������������������#�
���6��
����-��
�
!����� � � �
1�����������������)��������������)��� ���� ���� ���������� �����
�3�.�5�.����.��(�.����
:������������
&� ���� ���� ���������� �����������������#����-�3����-�5�6�3�-� ��������-��)���������
���� ������)�-���.�*�)��+��-�3�.��3* +�-�3�.�/3�-�50�
����������
��)�-� { }� �)
�)
�
� �+ �-�� *3�.�50+�-�� *53+�-����03
�
!����� � � �
1���������������������������������������� ��30�����300������������������)�
:������������
%������������������� �������������3(��)0��))��/���������(4���(45�
"������������������������������-�3(�.�)0�.�))�.�/��.�����.�(4��.�(45�
&� ���� ������������ ����������� ���������-�3(�����-�(45�������������-�)0�6�3(�-�)�
&� ������������� -��� .� *�6�+������� ����(45�-� 3(�.� *�6�+)������)�� -� (30�� �������
�����������������������-�/3�
"����
�/3�-�
/3
*3( (45+
�
+ �-�/3*�/)+�-��0�/00
�
�������� ��� ���������������� 109
!����� � � �
&������������ ��� � �������������������#�� �������� � ���������� ����� ����
���3��������/������� 0��1��������������0������������� ����
:������������
&� ��������������������� ������������
������������ �-��� ⇔��������.����-��� ⇔���������.��(����-�(�
������������3�.��
/�-� 0 ⇔�����*��.�(�+�.�*��.�)�+�-� 0����⇔ ����.��0��-� 0���6
���������6)��-�������������-�6�
����������������� ������.����-�����������-����.�(�-��3�
"����������������������� ����������
��0�-�*�0+B�3�.��3�.�*�0�6��+*6�+C�-�3*30�6��5+�-�3* �+�-��)0
�
!����� � � "
�� A� ��������������������������� ���������00������������������4�
�� A� �������������������������������� ���������00������������������������4�
:������������
�� %�������������������������� ���������00������������������4�������
4���5���/��������44
%����������������� �������������� ����� � ������������ �����������������
��������������� ���� ���������&������������������������-�4����-�4���������-�44�
���������� ����� �� ��� ��D�������� ����� ������� �� ��������������������
����������������
:� ���������#��
����-��44����⇔ ��.�*��6��+���-�44
⇔ 4�.�*��6��+4�-�44 ⇔ ����������������4���-�44 ⇔ ��������������-���
"���������������������������� ���������00������������������4����������
���������������������������� ������������������ ��������� ����
����-� { }��
4 44
�
+ �-�*��+*3(+�-�34(
"��������� ����4�.��5�.��/�.�����.�44�-�34(�
�� "������������������������������� ���������00������������������������4�������
���-�*��.� �.�(�.�����.�44+�6�*4�.��5�.��/�.�����.�44+
8����������������������������*�+���#��
4�.��5�.��/�.�����.�44�-�34(
���� �������������� .� � .� (� .� ���� .� 44� -���� :� ���������#�� ������� �� �����
� ��������� ���� ���������������������� �������������������������� ��� �44�
"������ ���� ����� ������������
����� -��
�
���*��.��
�+
-��
�
��⋅�45�*��.�44+
-��*(4+�*�0�+
-��(�4(4
"������������������������������������� ���������00������������������������4�������
���-�*��.� �.�(�.�����.�44+�6�*4�.��5�.��/�.�����.�44+�-�(�4(4�6�34(�-�(� 33
�
������������� !� �"�����#$$�%�������110
�����
�� ������������ ����������� ���� ��������� �������!����������� ��� ������������
������� ����������� ���� ��������� �������!���������� ����� �����E��� ���������
������������ ���������� �����
�������-����.�*�6�+�
-�����.�*�6�+ � �������!����������� ��� ���
���
�������-���B�
��.��
�C
������-���B��.����.�*�6�+C
������-������.�*�6�+� � �������!���������� ����� ���
�� ��������������������� ����� ����������� ������� !������ ����� ��� ��������
�� ����� ����� ��������� ������ ��������
����$
8� ��������������� �������!����������� ��� ���������������������������������
������������-����.�1�������
��6���-��*��6��+�.�1��������������
��6��
��6���-����"��������������������
������� � ����� ������ ���������������� =��� �� � ���� �� ������� ��������� ��
� �����������������������-���
�
� ������������������������ �������!���������� ����� ����������������������
���������������������� �������� ��������� ���� ��������
����$
8� �������� �������!���������� ����� ��������������������������������������
������������������������������������
���-���
��.�1���������������
��6���-��*��6��+
��.�1*��6��+��-��*�
��6����.��+�.�1��6�1
����������
���6��
��6���-���
��.�1��6���
��.�����6���6�1��.�1��-�����.�*1�6��+
:���������6��
����-��
��
"��������� �������!����������� ��� ����������� ���� ���������������������������
�������������#���� ������� ��������� ��� � ��������
�
�� 2������������ ��������� ���� ���������� ���� ����� ��������<
�� ��.���.� �.���� �� ��.���.���.���.����
�� ���.��
��.�
��.���� �� ��.�
�
(�.�
�
��.�
(�.����
�� ��.�3�.�5�.���� !� ��.�*6�+�.���.�*6�+�.����
�� 1�������� �������������� ���� ���������� ����� ����
�� ��.� �.�3�.�/�.�����.�(� �� /��(�����6������ �������0�����
�� 3�.��0�.��3�.��0�.�����.�/3 �� 5��� ���5��� ����� �������������
�� 64��6)��6 ��0�� �������� 0 !� ��.���.� �.�(����� ������ 0�����
Latihan 3.3
�������� ��� ���������������� 111
� 1�������������������������������
�� ��.���.� �.�����.���-���0 �� ��.��*6�+�.���.�*6�+�.�����.�*6�+��6��
�-�0
�� ��.�(�.�)�.�����.����-���0 �� 3�.��0�.��3�.��0�.�����.�3��-��50
(� &� �� �������� ��� � �������������������#�� ������� �������������)�� ��������(�
���� ���������)0�
�� 1������������������ ������� ���� ��� � �������� �� ������
�� 1�������� ����� �� ��� ����
�� 1�����������������3�
3� �� %��������!�� ����������������������������� ����� ���00�����300�
�� "������������������������ ������������������������������� ��� ���������<
�� 1��������������� ������ ����� ������
�� 1��������������� ����� ������
�� 1��������������� ��� ��� ����� ������
!� 1������������������ ������� ��� �� ������
�� 1�������� ����������������������� �� ������
)� A� ���� ������� ��
�� ������������������ ���00�������000������������������5
�� ������������������ ���00�������000������������������������5
�� ������������������ ���00�������000����������������������������3
/� &� ���������� ���� ���������������������-��
��.�����E��������
�� ������� ������ ���� ��� �� �����
�� ������� ���� ��� �� �����
�� ������������ ���� ����� �����
�� ���������0��� ���� ����� �����
5� ��� ��������#��� ������� ����� �� ������;�300�000�00� �� � ���������� ������� �����
���������������������������� �;�3�000�00������������������� �����1�������������
�� ����������������������������������������������� ������ ������������������
�������� ������� ��� �� ������
4� �������� ��������� ���������000���������� ���������������� ����������������
�� ����������������� ���������� ������ � �00� ��������� �����E������������ ���
� ���������������������0��������������������������������������� ������������
�0� ����� �� ������
�0� ������ �� ������� ����F������ ������� 3�000� ����� ����F���� ����� ����� �� ����
:� ������� �� ������ ������� ����������������� ������ ������� ������ � 300������
8������� ��������� �������������� �����������<
3.4 Barisan Geometri%� �������������� ����� � ��������������������� ����� ����� ������� ����
��������� ����� ��������������������� ���������� ��
����� � " �
%� ����� ����� �� ������ �� ����� ��������� ����� ���� �� ���� ����� �� � ����
�������� �������%����&� �������'�������������������������
������������� !� �"�����#$$�%�������112
"������ ����������
����
���������
�������� ��������� ���������� ��������� �����
� (
� � �
�
�
� � � �
� � � � −
= = = = =� � �(����������
8��������� ���� ����������������������� * ����+��� ���� ��� ����� �� �� ������� ����
���������������������������������
"����������� ���������� ���� �������� �������������������������� �����������
����������� ����
���-���-���
0
�����������-���⋅��
� ⇒ �
��-���⋅���-����
��������� �-���⋅��
� ⇒ �
�-���⋅����-����
���������(�-���⋅��
⇒ �
(�-���⋅�����-���
���������������� ������
"������������������� ���������� ��������
��������������
��9�����
��������
%����������������������� ���� ���������� ��������
���-���
���
�������
������-�����������
�����-�� ����
�����-��������� ���
!����� � " �
&��� ������� ���������� ���(��5���)��������1�������� �����*�+�������������5�*�5+�
:������������
;�����*�+�-��
�
�
�
�-����������������������5��*�5+�-�(�*�+
/�-�(*��5+�-�3���
�
!����� � " �
&����������#�������������� ���������� ���������� �����������-�3�@��
�����1�������
������� ���� ���������� ������������������������������������/�
:������������
8� �������-�3�@��
��6���������
��6���-�3�@��
��6��������������� �����*�+�-�
−�
�
�
�
�
�-���
������� ������ ���� �����������������-����-�3�@��
��6���-�3�@���-�3��������������������/��� �
�� ���������� �� ���� ������
�/�-���2��
/�6���-�3�@��
)�-3*)(+�-� �0
�
!����� � " �
&� �� �������� ���������� �������������#�����������������������
�
����������
�� �������������(��1�������� ����������� ����� �� ������
:������������
&�����������-���-�(������
(�-�
�
����������������
�-�
�
�������(�
�-�
�
��
�������� ��� ���������������� 113
"������ �-�
�
5��������-�
�
����%� ���������� ������������������������(��������
�
��������
�
!����� � " "
1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ���"���
���������������� �� ������ �������5���������� ����� �������������� �� ������ ������3���
1�������� �������������� �� ������
:������������
2�������������������������� �� ������ ������
�
��������
&� ��������������������� ����
��
�
���������-�3�����⇔ �� ��-�3��
⇔���� ��-�5
⇔�������-�5
��
�
��.����.����-��5����� ⇔�
5
��.�5�.�5��-��5
⇔���5�.�5��.�5���-��5�
⇔���5���6��0��.�5�-�0
⇔�������6�3��.���-�0
⇔���*���6��+*��6��+�-�0
⇔ ��-�
�
���������-��
$�������-�5�������-�
�
������� �������������������� ������������
�)��5��(
$�������-�5�������-�������� �������������������� ������������
(��5���)
�
!�����$
:� ���������#�������A����� �(�(�����������������������������������������
���#������������� ��� ����������� ��������������������������������� ����
��������������� ������ ������������������������� ����������������������
�
��������
&���������������������������� �����#���������������������������.���������
�� ���������� ��������� ��������-��.�*%�������������������
��-�
�
���+�
������������� !� �"�����#$$�%�������114
!����� � " #
1������������������� ������������6� ����6�����������.����������������������� ������ �
�� ���������� ��
:������������
%����������6 ����6������������.������������� ���������� ��������
��������������������*��6��+��-�*��6� +*���.��+�� ⇔����
��6����.���-���
��6�3��6�
⇔������6� ��6�(�-�0
⇔���*��.��+*��6�(+�-�0
⇔�����-�6���������-�(
$�������-�6������� ������ ���������� ���6(��6���6��������
$�������-�(������ ������ ���������� ������ ��4�������
�
!����� � " )
�������� ������������������� ������ ���������000�������� ����������������
�� ������� �� ���������������� ���������� ������ � �3G�� %� ������ ���������
� ��������� ��������� �������������������3<
:������������
: �������������� ����-���000������
: ������������������������*��000�.��3G����000+�-���000 �
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: �������������������������
��000�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000� �
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�-����000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�-���000
��
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: �������������������������
��000
��
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000
��
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-����000
��
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
-����000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: ������������������������
��000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-����000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
-����000
(�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠%���������� ��������� ��������� ���������������������� ���������� ���������
�� �����
��000����000�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000
��
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000
�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000
(�
�
(
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�����
�
�������� ��� ���������������� 115
�� 1������������������ ��������� ���������� ���� ���� ������� �����
�� ���(��5���)����� �� ���
�
���
�
(��
�
5�����
�� ��� ��3��/����� �� 6������6���������
�� ��000���00���0�������� !� ��� � � ��(�� ( � �����
�� 1�������� ��������� ���������������� ���� ���������� ���� ���������
�� ��5��)(�� ����)����� �� ��6)������6�(�����
�� ���6������6������ �� �0���00����000���0�000�����
�� ������
�
���
�
(����� !� � �� � ��4 � ���/ � �����
� 1�������� ������� ����� ���������� ���������0��� �� �� ���������� �� ��������������
������������ ���������������� ���������
�� ���-�
��� �
��-�3
6�
�� ���-�3�⋅����6�� �� �
��-��0
��6��
�� ���-�*6�+
�!� �
��-�
�
�
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(� 1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ���"���
��������������������������) ��������������������������/�5��1�������������������������
�� ������
3� 1��������������-���� ����������������-�.�(�� -�.� ������/-�.����� ������������������� ���
�� ���������� ���������� �����������������������������0��� ���� ������� ������
)� &�������� ��#��������������������� =�������������� ������000� ������ ��0� �����
������� �������������� =��������� �� ����� G��%� ������������������������
=��������������������0�0<
/� ������ ��������� ������ � ;���000�000�00������������ ������ �0G� ������� �����
%� ���������� ���� ��������� �� ������ ��������0� ����<
5� �������� ������������ ������� ������ ������� ��������� ��000������ �� ����
������� ������� ������� �� ������������������ ������ ������� ������ ��0G��:���
���������� �������� ������� �� ������������� ������� �� ������ �� �00�����
�� ���<
3.5 Deret Geometri���� ����������� ��� � ������������ ������ �����������������������������
���������� ������ �����������!�������������� �������� ��������� ����
����� � # �
"���������
����
���������
�������� ��������� ���������� �����������������������
��.
���.��
�.�����.��
��.��������������� �������� ��
Latihan 3.4
������������� !� �"�����#$$�%�������116
8� ������������������ ���������� ����������������������������������������
��������
������������������������������������� �������� ���������������������
��.����.�����.���
�.�����.���
��6���.����
"���������������������� ������ �������� ���������������������������� ���
���������������
���-�
*� +
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
�������H��
����
���-�
* �+
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
�������I��
�������
��
��������������������� ���
� ���������� ���
� ��� ����
� ������ �����
;���� ����������� ������� ���� �� ���������������� �������� �� �� �������
�� �����
��
-����.����.�����.���
�.�����.���
����.���
���
���
-�����������.�����.���
�.�����.���
����.���
����.���
�
6666666666666666666666666666666666666666� � 6
���6���
�-��� ���������������6���
�
*���+��
-���*��6���+
"����
���-�
*� +
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
�������������������������������� �����(�
*� +
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
������������������6������� ����
���-�
* �+
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
!����� � # �
1����������0��� ���� �������� ��� ��)�������(�������
:������������
&� ��������������������� ������#�����-� ����� �������-����"�����0�������� ������ �
�� �������������
��0�-�
�0 *� �+
� �
−− �-� *��0�(�6��+�-� �0)4
�
!����� � # �
1������������������ ��������� ���������� ��� ����� �������� �����������)3�
"������������������������������3�� ����������������������������� ������
:������������
2���������������������������� �������������&���&������&����������#�����-��3�������.
���.�����-�)3���������������.���
��-�30�������-�
�3
����������������
�3
��.��3��-�30������
��.�� ��-��0�
�������� ��� ���������������� 117
"��������� ������ ������� ���6��0��.� �-�0������* ��6��+*��6� +�-�0��=����� � ������-�
������
��-� �
$�������-�
������� ������ ���������� ����(3���3��3�
$�������-� ������ ������ ���������� ���3���3��(3�
�
!����� � # �
"������������� ���������� ������������-�3
��6���
�� 1�����������#���� ��� �� ������� ��������� �������� ��
�� 1��������������� ����� ������������������3�
:������������
�� &� �� ������������ ������#��
���-�3
��6������������
��6���-�3
��6���6��
&� �������������-��
��6��
��6�������� ����
���-�*3
��6��+�6�*3
��6���6��+�-�3
��6�3
��6���-�3
��6��*3�6��+�-�(�@�3
��6��
����������
−−
⋅=⋅ �
�
( 3
( 3
�
�
�
�
�
�
-�3
8� ����
�
�
�
�
� −�� ���������������������������������� ����� ������� ��������� ��
����� ��
�� ������� ���� ���-�(�@�3
0�-�(�@���-�(�
;����� ����-�
�
�
�
�
� −�-�3�
��������3� �3�-���
3�6���-�(�@�3
(�-�(�@�)�3�-���300�
�
!����� � # "
1����������#����������������������������������������� �;���00�000�00��%������ �����
��� ����������������� ��G���������������:������� �����������0���������������
��������%� ����������������� �����<
:������������
$���������������� ��������� ����������
��-��00�000�.��G�@��00�000
-��00�000�*��.�0�0�+
-��00�000�*��0�+
$���������������� �������������������
��-��00�000�*��0�+.��G�@��00�000�*��0�+
-��00�000�*��0�+�*��.�0�0�+
-��00�000�*��0��.���0��+
&�������� ���� �������� ������#������������������� ����������������������
��0-���00�000�*��0��.���0�
��.���0�
�.���0�
(�.�����.���0�
�0+
:� ���������#������������0��.���0���.���0�
�.�����.���0�
�0��� ��������� �������� �
�������������� �������-������� ��������-���0��
������������� !� �"�����#$$�%�������118
Tugas Mandiri
����������
������0-���00�000�
�0��0�*��0� �+
��0� �
−−
-���00�000� ⋅�����)5/�3(� *�������!�� �������������===+
-� �����)�5/��3(
"��������������������������� �����������0�������;�����)�5/��3(�
�
&���������������������������������������.�������,-.���� ������� �������������
�������������������A����� �3�(�����������#���������������� ����������
�� 1������������������ ��������� �������� ����� ���� ����� �����
�� ��.� �.�4�.����.���� �� ��.�*6�+�.���.�*6�+�.����
�� (�.�5�.��)�.� ��.���� �� ��.���.� �.�(�.����
�� �0�.��00�.���000�.��0�000�.���� !� ��.�
�
��.�
�
(�.�
�
5�.����
�� 1�������� ������������������0��� ���� �������� ���� ���������
�� )(�.��)�.�(�.���.���� �� ��.�
�
(��.�
�
�).�
�
)(�.����
�� ��6� �.�4�6��/�.���� �� ��0��.���0����.���0�
�.����
�� 3�.�3��.�3
�.�3
(�.���� !� ��.�� � �.�(�.�( � �.����
� ������� ���������������������� ���������� �������� ��������5������4��1������������
���5����������5�������� ������ ���� ����� ������
(� ��������(�������������4��� ���������� �������� ��������65������3)��1������������
�� ����� ������������������������������������� ������ ���� ����� ������
3� &� �� �������� �������� �������������#�� ��������� ������� ����������������
����������������� ����������4 ��1����������������5����������5�������� ����
)� &����������#���������������� ������ ���������� ������������-��
��6���
�� %����������#���� ��� �� ������� ��������� �������� ��
�� %� ������������� ����� ������������������5��� ����� ������
/� 1����������#����������E�������������������������������� �;��00�000�00��%������ �����
��� ����������������� � G���������������:������� ����������5������������E����
��������%� ����������������E������� �����<
5� �������� ������������ ������� ������ ������� ��������� ��000������ �� ����
������� ����� �� ������� �� �������������� ���� ����� � ������� ������ � �0G�
%� ������������� ��������� ��������� ������������0� ������� ���<
Latihan 3.5
�������� ��� ���������������� 119
3.6 Deret Geometri Konvergen:� ��������������� ��������� ������� ���������� �� �� ����� ����
�� ������(��5����� � (��������
�
������
�� ��64���/��65������ (� �00��6�0�����
�
�0
− �����
� %� �����*�+��������� ���������������������������� ���� ������� ������������
����� �
� %� �����*�+��������� �����*6 +�*�������������� �� ����������� +���������������
�������� �� ������������ ����� �� ������ ����������������� �
� %� �����* +��������� �����
�
����������������������� ���� ������� ������������
������
� %� ����� *(+��������� �����
�
�0
− �� �������������� �� ����� ������
�
�0�� �������
�������������� �������������� ������� ��������������������
%� �����*�+������� �����*�+������������������������������������������� ��������
�������*������ ���������� �� ����� * +� ���� *(+� ����������������� ������������
������������� �����������������*������&� �� ������������ ���� ������ �����������
�������������#����� ��� ���������� ��� ��������� ��������F� ��������������
�������� �� ��������� ����������������
&� ���� ��������F� ��������������������� ������F� �����:������ ������F� ����
����� ����� ����� ������������������ ������� ��� �� �������#�����������������
��������������������� ����������� ��������� �������� ���� �����
��.� �
� � � �
� ( 5 ��−+ + + + +� �
&� ���������������������� �������-������� ��������-�
�
���"������������� ������ �
�� �������������
���-�
�
� �
�
�
�
�
�⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−
�-��
� �
�
�⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
&����������#��
��
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�
�
���
��
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�
�
(��
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�
�
5�������
�
�
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������������������������
������� ����������� ������������� ��
�
�
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������0�������������� �����������������
&� �������� �������������������������������*������&� ������ ��������������������
�������������#���������� �������� �������������������������F� ����������J�J�H��
������≠�0��"������ �������� ��������������������F� ��������������
�∞��-��
�
�−
������������� !� �"�����#$$�%�������120
!����� � ) �
E��������������� ���� �������� ����������F� ������ �����
�� �)�.�5�.�(�.���.���� ������� �6����.�
( 5
4
− +�
:������������
�� &� ���� �������������� ����������������-��)�������-�
�
��H���
"������������ ���� �������� �������������� ������������
�∞��-��
�
�− �-�
�)
�
�
�
−�-� �
�� &� ���� �������������� ����������������#����-� �������-��
− �
"������������ ���� �������� �������������� ������������
�∞��-� �
�
�− �-�
4
� 3�
=⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
�
!����� � ) �
������� ������ �� �������� �������� �� ���������������� ����� �������������
������ �����������������)��A� ���� ������������������ ������������ �������� �
������������ ������
:������������
&���������∞�-� �
�
�− �-�)����������-� �������������� ������������
�
� �− �-�)����⇔ )�6�)��-�
⇔ ��)��-�
⇔ ����-��
�
"����� ������� ���� �������� �� ���������� �� ������ ������
�
��� ������������ �������
�����������������
�.�
��.�
(�.�
5�.����
�
!����� � ) �
;���������������� ���� �������� �����������-� �
�
�− ��1������������ ���������������
������J�∞�����J�H��0�00��
�������� ��� ���������������� 121
:������������
&� ��������� �����������������-����-���������
��-�
�
������������� ����������������-�
�
�
������������� ��������� ����
�∞�-� �
�
�− �-�
�
�
�
−�-�
�
���
���-�
�� �
*� +
���
�
�� �
�
⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎝ ⎠=− −
��-��
�
�
� �
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ����
J��∞�6���J�-�
�
�6�
�
�
� �
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�-��
�
�
� �−⋅
���
��������������������������������J�∞�6���J�H��0�00� �����⇔ �
�
� �−⋅ �H�
�
��000
⇔ �
�
�− �H�
�
300
⇔ ��6��
�I�300
⇔ ��6���I�3*�� ���� 3�-��( �����
)�-�/�4+
⇔ ��I�)
"��������� ��������� �J�∞�����J�H��0�00��������)�
�
�� 1��������������� ���� �������� �������������� �������������F� ����������������
��F� ����
�� ��.���.�
�
��+�
�
(�+���� �� �)�6�5�.�(�6���.����
�� ��000�.��00�.��0�.���.���� �� �0�.��0��.��0
�.��0
(�.����
�� �.�4�.��/�.�5��.���� !� ��.�� � �.�(�.�( � �.����
�� E���������∞��� ���� �������� �� ������������ �����*��������+������� ���������������
���������������
�� )�.� �.�
��+�
(�+���� �� 4�6� �.���6�
�
.����
�� ��0��.�*��0�+��.�*��0�+
�.�*��0�+
(�.���� �� ��.���.�
�
.�
�
4�.�
�
�/�.����
�� �03�.��0
(�.��0
�.��0
��.���� !� 0�.��3�.�
�
/
�
�+�
(
�.����
Latihan 3.6
������������� !� �"�����#$$�%�������122
� ;���������������� ���������� �������� ������������-� �
�
3�+ ��1��������������� ����
�������������������������������� ���� �������� ���� ������
(� �������� �������� �� ��������������������������� ������ � �� -�
(����� ����� ���
�� ��������������������)��1��������������� ���������� �������� ���� ������
3� �������� �������� ��������������������������� ����5��������������3���������
1�������� �������������������������� ���� �������� ���� ������
)� ;���������������� ���� �������� �����������-� �
(�− ��1������������ ���������������
������J�∞�����J�H�0�00��
/� ����������������������� ������������� ���������������������������������� �����
�������������������
(��������������������������������������� �������%� ������� ��
�� �������������������� �� �������������� ����<
5� &��������������� �����������������5������������ �����������������������������
������������ ������ ����� �� ����� �� ����� 8�������� ������� �� ����� ������� ������
������������ ������������ ������ ����� �� ����� ������� ������� ���� ������� %� �����
����������������� ����������������<
3.7 Notasi Sigma&���������� ���� ���������� �� ������������ ������������ �� ���� ���
�������������������������������������������������������� ���0�������������������
�� ������������������������������
��.���.� �.�(�.�3�.�)�.�/�.�5�.�4�.��0
"������������������������������������ ��������������� ������������������������������
���������������������������������������������� �������������������00����������
����������������� ����� ������ �!���������� ������� �������$����� ������ ���� ��������
����������������������������������������������������������K���L���������������������
����� ��������������� ��������00��������������� ������� �������������� ��������
�������
��.���.� �.�����.��00
&�������� ����������������������0������������������������ �������������������
��.� �.�3�.�/�.�4�.����.�� �.��3�.��/�.��4
�����������������������
��.� �.�3�.�����.��4
�������� ����������������� ���� ��������� ����� �������� ������������������
�����������������
��.�(�.�)�.�����.��*��6��+�.���
A� �� ��������������������� ���������������� ���� �� ��������� �������������
����������������������������K���L�����������������������������������������������
������1���������������������������� �������K∑L��D������ ����� �������� �!
���� �,�������� ���� �������������K��L������� ������ ������1����� �����������
������������������� ��������� ������������� �������������������!������
�������� ��� ���������������� 123
8����������������������������������������� �����������!�������� �����
�
�
�
�
�
=∑ �-��
��.��
��.��
�.�����.��
�
�������������������K����������������-�����������-��L�
����������������������������������
���������������������� ���
���������������������� ��� ��������������������������������������!
!�����$
�� =�������� ���������������������������� ������������������ ��� �����
����������*������������ �������� �����������+�
�� ������������������������������������������������� �������������
����������� ������� ���������� ���� ������� �� ���� �� ��� ������
�� ��� �
"�������������������������������������������������-�������������������������������
�
�
�
�
�
=∑ �-���.���.���.�����.���-���
&���� ��� ����� ����� ����� �� ��������������� ������� ����� ������� �����
���������������������������������
� �
�
�
� �= + + + +∑ �
!����� � , �
'������������������������������ ������ ���������������� �����
�� ���.��
��.��
�.�����.��
�00���������.��
��.��
�.��
(�.��
3�.�����.��
�3
�� ��.����.���.���.���.���.���.�� ���������0��.���0���.���0�
�.�����.���0�
�0
:������������
�� ���������� �� �� ���������� �� ������ ���������� ��������� ���� ��� ���� ������
�� ��� ��������00�� "����
���.��
��.��
�.�����.��
�00�-�
=∑�00
�
�
�
�
�� ������������ �������������� ������������������������ �������������������� ���
������5��"����
��.����.���.���.���.���.���.���-�
=∑5
�
�
�
�� ���������� �� �� ���������� �� ������ ������ ���� ��������� ���� ��� ���� ������
�� ��� ��������3��"����
��.����.��
�.��
(�.��
3�.�����.��
�3�-�
=∑�3
�
�
�
�
������������� !� �"�����#$$�%�������124
�� ������������ ������������ �� ��������������0���� ��������� ����������� ������
�� ��� ��������0��"����
��0��.���0���.���0�
�.�����.���0�
�0�-�
=∑�0
�
*��0�+�
�
�
!����� � , �
1���������������������� ������������������������������������
��
3
�
*3 +
�
�
=+∑ �������
/
�
�
�
�=∑ �������
�0
�
�
��0��
�=∑
:������������
��
3
�
*3 +
�
�
=+∑ -��M3*�+�.� N�.�M3*�+�.� N�.�M3* +�.� N�.�M3*(+�.� N�.�M3*3+�.� N
-��5�.�� �.��5�.�� �.��5
��
/
�
�
�
�=∑ -�
� ( 3 ) /
� � � � � �
+ + + + +
��
�0
�
�
��0��
�=∑ -�
� �0
� � � �
��0� ��0� ��0� ��0�
+ + + +�
�
$��������������� ������ ������ ���������� �� ��� �������� ������� ���
������������� ����"������ ������� ��������� ���� ������������� ����������
������� ����������
���-� ( )
��
�
� �+
�������������������������� ������ ���� ���� �������� �� ������������� ���������
�� �� �� ��� ����� ������������� ������� ������� ��������� ��� ����� ������� ���
�������������� �������������
���-�
*� +
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
���������-�
* �+
� �
�
�� �
�
�
− ≠−
�������������������������� ����������� ������� ������� ���� �������� ���� ������
��� ������������ ������� ��������� �������� ��������������������F� ��������
�����������������������������
�∞�-��
�
�−
!����� � , �
1���������������������� �������������������������������������������������
��������
��
3�
�
* �+
�
�
=+∑ ��
3�
�
�
�
−
=∑
��
�3
�
*� �+
�
�
=+∑ ��
�
�
��
�
∞
=∑
�������� ��� ���������������� 125
:������������
��
3�
�
* �+
�
�
=+∑ �-���.�3�.��0�.��/�.��)�-�)0
��
�3
�
*� �+
�
�
=+∑ �-� �.�3�.�/�.�����.�3�
"����������� ��������� ���� ���������������������� ����-� �������-����������
�����-��3�������������� ��� �-�3������������������������� ������������
��3�-� ( )�3
3� �3 �/
�
+ = ⋅ -�)/3
��
3�
�
�
�
−
=∑ �-� �.�
��.�
�.�
(
"����������� ��������� �������� �����������-� ����-� ��������-�(��������������
������� �� ������ ������
�4�-��
( * �+
�
−− �-��
⋅ 50
�
�-���0
��
�
�
��
�
∞
=∑ �-�
�
� � �
� � �
+ + +�
"����������� ��������� �������� ���������������������-�
�
��������-�
�
����������
����������������� ���� �������� ������������
�∞�-��
�
�−�-�
�
�
��
�
−�-��
�
!����� � , "
E��������
��
�0
��
�
=∑ �������
�0�
��
�
=∑ �������
�0
��
�
=∑
:������������
��
�0
��
�
=∑ �-�
�0*�0 �+
�
+�-�33
��
�0�
��
�
=∑ �-�
�0*�0 �+*�0 �+
)
+ +�-� 53
��
�0
��
�
=∑ �-�
�0
��
�
=∑ �6��
�-�
��0*�0 �+
�
+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
�6���-� �0�3�6���-� �0�(
�
������������� !� �"�����#$$�%�������126
Latihan 3.7
&������ ���������� ��#�� ��� ���� ���������� �� ��!��� ����� �����������
������������������� ����� ������� ��!��� ����� ���� � ���������� ������������� ��!���
��!���
��
� �
� �
� �
� �
�� � �
= ==∑ ∑ �������
� � �
* +
� � �
� � � �
� � �
� � � �
= = =+ = +∑ ∑ ∑
�� '�������� ��������� �������������������������
�� ��.���.� �.�����.�44 �� ��6�(�.�)�6�5�.�����6��00
�� ��.� �.�3�.�����.�44 �� . ��.�.
3�.�.
/�.�����.�.
/4
�� ��.�
�
��.�
�
�.�����.�
�
30!� �*-
�+�.��*-
�+�.��*-
+�.�����.��*-
�0+
�� '��������������� ������� ������������������������������������������ ��������
����� �������������
a.3
�
*� �+
�
�
=−∑ d.
)�
�
* �+ � �
�
−
=−∑
b.)
�
�
* �+
�
�
=+∑ e. 3
�
*� 0�0�+3
3=+∑
c.3
�
�
�
��
=
=∑
+f.
)
�
�
3
�
�
−=∑
� ����������� ����� ����� ����� ������� ��������� ��� � ����������� �������� ��� ����
�� �������������������������������������� ���� ����� ������
a. �0
�
* �+
�
�
=−∑ d.
�0
�
�
�
�=∑
b.5
�
�
3�
�
−
=∑ e. �
�
3�
�
∞+
=∑
c. ��
*� +
�
�
=−∑ f.
�0
�
*��0 +3
3=∑
(� &������������������ �����������������������������������#��
��
�
�
�
�
=∑ �-���.���.� �.�����.���-�
* �+
�
� �+
��
�
�
�
�
=∑ �-��
�.��
�.�
�.�9�.��
�-��
�* �+
�
� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
���
0
*� +
� �
�
��� �
�
� �
�� � �� �� �� �
�=
−= + + + + = ≠∑−
�
�������� ��� ���������������� 127
3� E��������
��
�0
�
* +
�
� �
=−∑
��
�00
�
*� +
�
�
=−∑
��
�0
�
* �+*� +
�
� �
=+ +∑
��
�0 �
�
* � +
�
� �
=−∑
3.8 Pembuktian dengan Induksi Matematika:���� ������� ���� ����� ����������������� ��� ���������� ������� ���
��������� ����� �� ����� ������� ���� ���� ��� ��������� ����� �� ��������� ������
�������� ��������������������� �����������
��
�
�
�
�
=∑ �-���.���.� �.�����.���-�
* �+
�
� �+
���
�
�
�
�
=∑ �-��
��.��
��.�
��.�����.��
��-�
* �+*� �+
)
� � �+ +
�
�
�
�
�
=∑ �-��
�.��
�.�
�.�����.��
�-��
�* �+
�
� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
$����� ���� ��������������� �������� ����������� ���������������� �����
�����������������������#�� ���� ������������ �������������������-��
������.���������������������������#�������B��C�� ��������� ������� �������
�������������������
*�+ ��� �������� ������������
*��+ ������ ������������������������� ����
��.��
��������������� ������������ ����������������������������
���� ���� ����� ����� ����������� � ������ �������� ��������� �����
���������� ����*�+��$������������������������������������������������ ��������
������
��.��
��.�
��.�����.��
��-�
* �+*� �+
)
� � �+ +
8������ ���������#��
�����
��-�
�*� �+*� �+
)
+ +
� ��������� ����������������� �
���� �����������������#������ ��������� ������������ �� ���������� �����
�����
��.��
��.�
��.�����.��
��-�
* �+*� �+
)
� � �+ +
������������� !� �"�����#$$�%�������128
Latihan 3.8
&������������ �����������������������������#����
��.������������ ��:� ���������#��
������.��
��.�
��.�����.��
���.�*��.��+
���-��
* �+*� �+
)
� � �+ +�.�*��.��+
�
��-��*��.��+�
�� ) )
)
� � �+ + +
��-��*��.��+�
�� / )
)
� �+ +
��-��
* �+* �+*� +
)
� � �+ + +
"��������.� �
� ��������� �������������������������������� ������ �����������������
�����������������������#����� �������� ������������ ������� �������������
�������
�� &������������������ �����������������������������������#��
�� ��.�(�.�)�.�����.�����-���*��.��+ �� � �.��
�.�
�.�����.��
��-��
�* �+
�
� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
�� ��.� �.�3�.�����.�*���6��+��-����
�� ��.����.��
�.�����.��
���-���*�
��6��+
�� ��.���.� �.�����.����-��
* �+
�
� �+!� ��.����.���
��.�����.���
���-��
*� +
�
�� �
�
−−
����≠��
�� &������������������ �����������������������������������#��
�� ���6�����������������5�����������������������������
�� 3���6����������������� �����������������������������
�� ��*��.��+�*��.��+��������������)�����������������������������
�� ���*��.��+
���������������(�����������������������������
�� (��6����������������50�����������������������������
� &������������������ �����������������������������������#��
��
�
�
*� �+*� �+ � �
�
�
�
� � �==∑
− + +��
�
�
* �+* �+ �
�
�
�
� � �==∑
− + +
��
�
*3 +
*3 �+
�
�
�
� �
�
=
+− =∑
(� &������������������ �����������������������������������#��
��
� �� �
� �
−−
�-������.��
�����.��
�� ���.�����.���
����.��
���
��
� � � �� �� �
� �
+ +++
�-�����6��
������.��
�������.�����.���
�����.��
��
��
����
����
�αα �-�����α�.����� α�.�����3α�.�����.�����*���6��+�α�
�������� ��� ���������������� 129
3� &������������������ �����������������������������������#��
�� ���≥�������������������������������
�� ���≥��������������������������������
�� ��≥����.��������������������������������
3.9 Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri&���������������������������������� ������ ������������������������
��� ��� �������������������������� ������ ���� ��������������� �������� ��
-����������� �
��� ������ ������������� ���������� ���������� ������;�500�000�00��� �������
������������������������������������������������ �;��0�000�00��1���������������� ��
����������������������������������������������������� ���������������
�� ����� ��� ���<
:��������
:������������ �� �� ������� ��������� ������ ���������������
������� ����� ��-����� -��500�000
���� ����������������-����� -���0�000
���������� ���� ����������������� ����������
500�000�.�5�0�000�.�5�0�000�.�����.540�000
���
��0�-��
�0
�*��@�500�000�.�*�0�6��+��0�000+�-��3*��)00�000�.�40�000+�-��5�(30�000
"����� ����� ����������� �� �� �� ������ ����� ������� ������ �� ���� �����
;�5�(30�000�00�
-����������� ��
:���� �#��� ����� �003�� 1���� ���� : ���#���������� ����� ��� ����� ������
;��0�000�000�00�� ������� �����1��������: ���#��������������������0G��� �� ����
��������� �� ��� ����������� �� ������ ������������� ��������� �� ��� ��%� ���
���� �������������1��������: ���#�������������0�3<
:��������
8���� ���������������������������� ������� ��� � ������������������ �������� �
���������������������������� ������$���������������� �� ��� � ���� ���������������
������ ������� �����
� / � ����� 0������ ��� �����.������
&������������������� ��� ���������� ������������� ��������������
������������ ����� ���� ��#��� ����� �������� ��#��� �� � ������ ���������
1� ���������� ���� ��������� ������������ ����������������� �����������
�������� ����������������������:���E�����������������������:������
������ �;���000�000�00��8�����������������������������������#��������
������:���E������������� ����������������� �;��00�000�00��%� ��������
� ���������������:���E������ ��������������������������������������0
������ �� ���<� 1����� :���E����� � ��������������� �������� ���� ��
��������������� �;���000�000�00�.�;��00�000�00�.�;��00�000�00�.�;��00�000�00
.�����.�;��00�000�00�*�������;��00�000�00�����������0�����+�
������������� !� �"�����#$$�%�������130
��������������������������������������������
������000�000�.�
�0
�
�00�000
�=∑ ���-���000�000�.��0�@��00�000
�������������������������������������������������-���000�000�.���000�000
�������������������������������������������������-���000�000
:� ���������������������������������� ��������������������������������
��������"���������������������������������������������������������� ����
������� �������#����� �������� �� ������ ����� ���� ���� ������� ���� ���
�������������������� ���������� ������=���,�������������������������
����������� �;���000�000�00��������������������,���������������������������
�G��� ������������������ ��� ��������������������������������������������
�� ��� ��%� �������� ��������������,�������������������������� ���<
�� ��������������������������� ������������������
��000�000�.��G�@���000�000�-���000�000�*��.��G+
�� ��������������������������� ������������������
��000�000�*��.��G+�.��G�@���000�000�*��.��G+�-���000�000�*��.��G+�
� ������� ������������������� ������������������
��000�000�*��.��G+��.��G�@���000�000�*��.��G+
��-���000�000�*��.��G+
� �
�0� ��������0�������� ����������� ������������������
��000�000�*��.��G+4�.��G�@���000�000�*��.��G+
4�-���000�000�*��.��G+
�0
:� �������������� ������ �������������� ��������������������
"����� ������������������������� ��������������� ����� �����������������
�������� ����� ������� �������#����� ��������� �� ��� ������������ ����
������������������������������������
� .�����������.�����0������
%� ������������� ����� ��������������������������������� ����
����������������������� ��������������"����������������� ����
��������������� ����������������������������G������������������
�+ ���������������������� ������������������
��.��00
�
���-��� �
�00
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�+ ���������������������� ������������������
������ �
�00
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.�
�00
�
�� �
�00
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-�� � �
�00 �00
� �
�⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
-��
�
�
�00
�
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ������� �������������� ������������������
���
� �
� �
�00 �00 �00
� � �
� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
-��
�
� �
�00 �00
� �
�⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
-��
�
�00
�
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� ��� ���������������� 131
��� �������������������������� ������������������
���-� �
�00
��
�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
"����������������-��00
�
���������� �����������������������������
���-���*��.��+
�
$������� ��������*��.� �+��������������������!�� � ���� �����������!�� �=
������� �������������!�� �������� "����������������!�� � ���� ��������
������������������� �� ������ ����� ��������� �������������� ���������
�����������������!�� �����������������������������������������������������
�����%� ������������� ������������� ��������������� ��������������
�� �������������
!����� � / �
����������������� �;�(�000�000�00������������������������������
3G������� ������� ������ ������ %� ������ ���� ��������� ���� ������
�0� ����<
:��������
&� ������� �� �����������������#��
� -�;�(�000�000�00
� -��3G����������������
� -���0�*�� �����0������-��0��� ����������+
!����� ������������!�� � ���� ���
2�������������0������*-��0��� ����������+�������
����������0
-��(�000�000�*��.�0�03+�0
⇔ �������0-������(�000�000�.��0�����*��03+
⇔ �������0-��)�.�����(�.��0�*0�0���+ � *�������!�� � ���� ���+
⇔ �������0-��)�.�0�)0���.�0�(�(0
⇔ �������0-��/�0�)�
⇔ ���0
-� ��0�)�4�(00�3 � *�������!�� � �������� ���+
"��������� �����������������0� �����������;��0�)�0�000�00�
!������ ������������!�� ������
2�������������0������*-��0��� ����������+�������
��0����-��(�000�000�*��.�0�03+
�0
����������-��(�000�000�*��03+�0
����������-��(�000�000�*��)3 �4//�+ *�������!�� ������+
����������-���0�)� ��40�5(
"���������� ������������� ����������������0�������������
;��0�)� ��40�5(�
�
������������� !� �"�����#$$�%�������132
!����� � / �
����������� ������ �;���000�000�00������������ ������ � ����� ������
�������������������3G������� ������� �������� ������%� �����������
��� �������� �����<
:������������
&� ������� �� �����������������#��
� - ;���000�000�00
� - 3G����������������
� -�
�) �*�� ���� ������ �������-�
�
�) ��� ����������+
&����������������)��� �������������������������������������!�� �������
���������������
�
�
������������������������������
2������� ������������� ������*)��� ����������+�������
�)
-����000�000�*��.�0�03+)
-����000�000�*��03+)
-� ���000�000� *�� (0043)(+ *�������!�� ������+
-���� (0�043�)(
2������� ������������� ������ �������*�
�) ��� ����������+�������
�
�)
� -���)�.�
�
�
�@�3G�@��)
-���� (0�043�)(�.�*0�3+*0�03+*�� (0�043�)(+
-���� (0�043�)(�.� �30�� 4�
-� ��� / �345�0 �
"������������ ������������� ������ �������������;��� / �345�0 ��
�
!�����$
"��������������������������������������� ��������������G���
�� ������������ ���������� �������#�������������� *�� .� �+��� ����
��������������0�H���H��������
���*��
-�����*��
�@��G�@���
-�����*��.���@��G+
-���*��.��G+��*��.���@��G+
������������� ������G�-� ������������ �� ��� � �����������������
*��.��+��� �����������������
��������*��
�-��*��.��+��*��.���@��+
� .�����������1��������
&� ������������� -��*�� .� �+
��� ����� ��������� ��� ���
������ ��������
�������������� ��������� ������ ��������������� ��� "����� ����� ����������
�#��� ��������� ���� ������� �������#����� �� ��������������� ������ ���
����������������� ��� ������������������������ ��
�������� ��� ���������������� 133
%� ����� �������� ������������� ���������������� ������ ��������������
!����� � / �
�������������������� ����;���000�000�00����������������������� ������
������� �������3������������ �����������;���300�000�00��%� �����
���� �������������� ������<
:������������
&� ������� �� �����������������#��
� -� �;���000�000�00
� -��3
�3
-� �;���300�000�00
&� �� ��������-��*��.��+
������� ����
��300�000��-����000�000�*��.��+3�⇔ �*��.��+
3�-�
��300�000
��000�000
���������⇔ �*��.��+3�-�
3
(
⇔ �3�����*��.��+ -������3�6�����(
⇔ �3�����*��.��+ -��0�)440�6�0�)0��
⇔ �3�����*��.��+ -��0�04)4
⇔ �����*��.��+ -��0�0�4(
⇔ �*��.��+ -����0()
⇔ �� -��0�0()
"��������� ��� �����������������������(�)G��� �������
�
� .�����2����1�����.������������
"�������� ����������������� ���
���-���*��.��+
��������������������������
�������������"��������������������������������������������������� ���
���� �������� ������������� �������������������� �� �������� �������������
������� ����������� ��������������������������� ����!�� �������
!����� � / "
&������ ���� ������������ ;���000�000�00�������� ;� �)30�000�00
����������� ��������G������)������<
:������������
&� ������� �� �����������������#��
� -� �;���000�000�00
��
-� �;� �)30�000�00
� -���G
&� �� ��������-��*��.��+
������� ����
�)30�000�-����000�000�*��.��G+��⇔ �*��.��G+
���-��
�)30�000
��000�000��-����5�30
������������� !� �"�����#$$�%�������134
"������������������!�� �������������������� 0�H���H� ���"������-� 0������
� 0
-����000�000�*��.��G+ 0
-� ���000�000� *��5�� )�35+
-�� �)���/� ��)
:������������������ -�;� �)30�000�00�� "��������������������;��/��/)�5(
��������������������� �����������������2��������������������-�� ������
�����������-�� ��-� �)���/� ��) ⋅�
�00 �50
-
�-��/��/)�5(
������������ ����-�-�)3�*����������+
"������������� ���������������� ������ 0� ������ ���������)3�� �� ����
�3������)3�� ��
�
� .�����3���0��
&� �� �������-��*��.��+
������������������
���������������������������
�������������� ����������#�����������������������������
���-��
( )�
�
�
�
�+
&���������������� ��������������� �������� ������������������� ���
��������������������������������� �����������$�����������������������������
���� ����������������������4���������� �����
������������������������
��������� �������� ����������������������������������������������������
������"����� ������������������������ ����������������������
4��-� ( )�
�
�
�+����������4
��-�
( )�
��
�
�+
&������
( )�
���+
����������� �������������������� ����������������������������
��������������!�� �������
%� ����� ���� ���� ����� ������ ��������������������������� ������ �����
�������� ����� ���� � ��������� ����� ������� ���� ������� �������
���������
!����� � / #
A� ���� ������ ������ ������ �������� ������ � ;���000�000�00� ����� � ��
������ � ������� 3� �������������� ��������� ���� ����������� ������ 3G
������� ����<
:������������
&� ������� �� �����������������#��
����-��;���000�000�00
���������������-��3G
��������������-��3
�������������� �������������� �� ������������
����������������������������������������������������4����-��
( )�
��
�
�+
�������� ��� ���������������� 135
-��3
�
��000�000
��03
-� ���000�000� @�0�/5 3�)�/
-��/5 �3�)��/
"����������� �������� ���������� ������ �;���000�000�00������� ���������
3��������������������;�/5 �3�)��/�
�
� / � �����
,���� �������� ������� ������ ������ ����� ������ ��� ���� �
�� ��������������������� �������������������������� ���������������������
��������������E��� ���� �� � ��� �������� �� �� �� ����������������� ������ ������
������������������������������������������������������� �������������
����������� ��������&���� ������� ��������� ����� ����� ������������
��������������$�������� ����������� ������������������������ ������������
�� ����� ����
!����� � / )
:������� ������ �;���000�000�00� ������������������� ������������ �������
�������� �� ���������� � ����� ����� ����������� �������������������
������(G��� � ������1������������ ���� ������������� �� ������
:������������
2������������ ������������������ ��"���������������
�� �������������
������������� ��������
��000�000�*��0(+�6�
�� �������������
������������� ��������
B��000�000*��0(+�6� C�*��0(+�6� �-���000�000�*��0(+��6� *��0(+�6�
�� ����������� �
������������� ��������
�����������B��000�000�*��0(+��6� *��0(+�6��C�*��0(+�6�
�����������-���000�000�*��0(+ �6� *��0(+
��6� *��0(+�6�
�� �����������(�
������������� ��������
�����������B��000�000�*��0(+ �6� *��0(+
��6� *��0(+�6� C�*��0(+�6�
�����������-���000�000�*��0(+(�6� *��0(+
�6� *��0(+
��6� *��0(+�6�
�� �����������3�
������������� ��������
B��000�000�*��0(+(�6� *��0(+
�6� *��0(+
��6� *��0(+�6� C�*��0(+�6�
-���000�000�*��0(+3�6� *��0(+
(�6� *��0(+
�6� *��0(+
��6� *��0(+�6�
:���� ����� �������� ���3��������� ����� ������� �������� ������������� ���
������������"��������� ������������
��000�000�*��0(+3�6� *��0(+
(�6� *��0(+
�6� *��0(+
��6� *��0(+�6� �-�0
⇔ ���000�000�*��0(+3�-� *��0(+
(�.� *��0(+
�.� *��0(+
��.� *��0(+�.�
������������� !� �"�����#$$�%�������136
⇔ ���000�000�-�
( ) ( ) ( ) ( )� ( 3
� � � � �
��0( ��0( ��0( ��0( ��0(
⎧ ⎫⎪ ⎪+ + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
⇔ ���000�000�-�
( )3
�
�
��0(�
�
=∑
⇔ � �-�
( )3
�
�
��000�000
�
��0(�
�=∑
⇔ � �-���000�000�*0���()�/��+ *�������!�� ������+
⇔ � �-���(�)�/���
"����� ���� ������������ ������;���(�)�/����
�
&��������� �������A����� �4�)������ ������������� ������ ���
������������� �� ���� ���� �������� ������ ��������� � ��������� ����
�������"������������������ ���������������������������������������������������
�� ���� ������ � ������� ����� �� ����� ������ ������� ����� ������ ����
���� ���������������G�-������������ ������������������
�-�
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�=∑
+
!����� � / ,
�������������� ������ �;���000�000�00���������������5� ��������� ����� ����
�������������� �� ���������� � ������� �� �������������� 1�������� ����
������������������������������������ �����(G��� ������
:������������
&� ��������� ���������������
�����-��;���000�000�00
��������-��0�0(
�������-��5
%��� ������������ ������
-��
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�=∑
+
-��
( )5
�
�
��000�000
�
��0(�
�=∑
-� ���000�000� *0��(53�/5 + *�������!�� ������+
-� ��4/�033�))
"����� ���� ������������ ������;��4/�033�))�
�
�������� ��� ���������������� 137
���� ��� ������������������� �#��� ������� ������������������������� ����
�� �������������������������������������������� ����������8� ���
���� ����������������������������������������� ���� �����������������
&��������������� ������ ��� ����������� ����� �������� ������ ����� ���
���� ��������������������������������������������:����� �������������
����������������������������������������������������������������������
������������� ��:� ���������� ���������������������� �� ������
���������������<
%� ����� �������� ����� �� ������ �� ���� �������������� ������� ��������
2������������ ���������������������������� ������������ ���� �������������
������� �������-��G��"��������������������������������-���������������������������
�����-������������������������������� �-��
���������� �����������
�� :������� �����������*��������������+�
�-����.���������������������-���6��
�
�� :������� �����������
�-����.��*��6���+�������������������-���6��
��6��
�
� :������� ��������� �
�-�� �.��*��6��
��6��
�+������������������-���6��
��6��
��6��
���� ���� ������
&� ���� �������� ������������������� ������������
����������.����-��
��.��*��6��
�+�⇔ ��
��.����-��
��.����6���
�
⇔ ����-��
���6���
�
⇔ ����-��
��.���
�
⇔ ����-��
�*��.��+
���
�������������.��*��6��
�+�-��
�.��*��6��
��6��
�+�⇔ ��
��.����6���
��-��
�.����6���
��6���
�
⇔ ����-��
�6���
�
⇔ �� �-��
��.���
�
⇔ �� �-��
�*��.��+
⇔ �� �-��
�*��.��+�*��.��+������� �����
��-��
�*��.��+
⇔ �� �-��
�*��.��+
��
&������ �� �� �� ���������� ���� ��� ���������� ��#�� ������������
����������������
���-��
��6���*��.��+���������������
��-��
�*��.��+���6��
!����� � / 4
����� ������������ �������� ����� ������ � ;���000�000�00� ����� ����
������������������������� ������������������ ���������� � ������� ������
���� �������������������������������� ����� G��������������1��������
�� ���� ���� �������
�� ���� ��������������������������������������4
�� ���� ���� ������������� ������������������4
������������� !� �"�����#$$�%�������138
:������������
�� &� ��������� ���������������
���-��;���000�000�00
������-��0�0
�����-�����
%��� ���������������� ����������� �����������
� ����-��
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�=∑
+
��������-��
( )��
�
�
��000�000
�
� 0�0 �
�=∑
+
���������-����000�000�*0��00()�04+
���������-���00�()��04
"����� ���� ������������ ������;��00�()��04�
�� %�������������������� ����������
������������������-�� G�O���000�000�-� 0�000
:�������������������������������� ����������
��������-�� �6��
�
�����-���00�()��04�6� 0�000
�����-��/0�()��04
���������������������������������������������4�������
����4���-���
��*��.��+
46�
�����-��/0�()��04�*��0 +5
�����-��/0�()��04�*���))//005+
�����-��54��34��/
"��������� ������������������������������4�������;�54��34��/�
�� $��������� ���������������������������������4������ �����������������
�����������������������0��:���������� ������������������������0� ���
������������������� �������������������0��"������������������� ����� ��
���� ���������������������������������0�
��0��-���
��*��.��+
�06�
�������-��/0�()��04�*��0 +4
�������-��/0�()��04�*�� 0(// �5+
�������-��4��4 /�03
��0��-�� �6��
�0
�������-���00�()��04�6�4��4 /�03
�������-��5�3�3�0(
%����������������������0�*��0+��������������� ���������������������������
���4������������
��0�������-�� G�@�����
�������-��
�00
��0
�����������-��
�00
5�3�3�0(
�������� ��� ���������������� 139
�����������-��5�3�3�0(
�����������-���5(��)5
"������������������������������������4�������;��5(��)5�00�
�
�� A� ������������� ������������������ �;���000�000�00�����������������������������
�����������#������0���������������� ���������������)G��� ������
�� 2�����;�3�000�000�00����������������������� ��������������� � ������ ������
�0�������������� �������������;�/�300�000�00��%� ������ �����������������<
� ����������������������������������3������������������������������������
)G��� ��������������� "��������� �� �������������;����30�000�00���� ����������
�#�����<
(� 2������������������ ����������� ������3� �������������������������
� G���
�����������������������������������������������������������(G��� �����������
)� ��������� ��������� �� ������������� �;�/�3� �400�00��%� ���������� �����
�#���������������� �� �����<
3� ������������ ������ �;��3�000�000�00��������������(G����������������������������
E������������ ���� ������������������
)� �������������� ������ �;��3�000�000�00� ������������ � ������� �������� �������
%��� ���� �������������;���0�000�00��%� ������ ������������ ����������� �� ����� ����
������������� ����������� G��� �����<
/� �������������� ������ �;��0�000�000�00� ����������������������0� �������� �������
���������� ���������� � ������� �� ������ ������������������ ����� 3G��� � �����
1������������ � ����������������������������������������� ������������5�
�� %� ���������&� ���� �������
�� :���� �����%� ������ �������
%� ����������
����
���������������� ������ ���������������� �������-��
��6��
��6������
������ ������� ��������� �������� �������������� ��������� ����� �� �� �� ����
�� ������
�� ;��������������%� ������ �������
"������� �������������� �������� �����������������������������������
���-���.�*��6��+�
Latihan 3.9
Rangkuman
������������� !� �"�����#$$�%�������140
�� &� ���� �������
"���������
����
������� ��������� ������ ��������������
��.��
��.��
�.��������������� ��
� ���������"������� �������������� �������� ��������������������� ������
�������������� ���������
( )[ ]� �
�
�
� � �+ −
�� %� ���������&� ���>���� �
�� :���� �����%� �����>���� �
%� ����������
����
���������������� ���������� ���������� �������-�
�
�
�
�
� −�����������
������������������������ ������������ �� ��������� ������� �� �� ���������� �
�� ������
�� ;��������������%� �����>���� �
"������� �������������� �������� ������� ����������������������������
���-���
��6��
�� &� ���>���� �
"���������
����
������� ��������� ���������� ��������
��.��
��.���
�.���������������� ��
����� ���"������� �������������� �������� ������� �������������� ������
�������������� ��������
( )−=
−
�
�
�
�
� �
�
�
�� &� �������� �����������
��� ��������� �������� ���������������F� ���������J�J�H��������������
������
�
�
�
�∞ =
−
� '����������
� �
�
���
�
��
�
� � � �
== + + +∑
(� ��!�����!���'������ ����
��
�
�
�
.
=∑ �-��.
��
�
�
�
�
��
=∑ �-�
�
�
�
�
� �
=∑
�� ( )�
�
�
�
� +�
=+∑ �-�
� �
� �
� �
� �
� +
= =+∑ ∑
�������� ��� ���������������� 141
Math Info
3� : ������ =�������2��������
2������������ ����� ������ �� ����������� ������ ������� ��������� ��������$����
���������������� ����� ���������� �������������������������������������
�� �����
�� &����������������� ���������-���
��� &���������� ��������������� ���������-������������������������� ���������
�
���� ���������-���.���
%���������������������������������� �������������
���� �� ������3�5���� 2��6�� ��������� 0�7����
.�������� 8������ ��� 2�������� �������
������������� ���������� �������1�������!����7
� �������� ������ ������������ �������!�����
����� ������ �������������F� ������� ��������9���
:�������������������� ��!�����!��� �� �� �� ��� !�����
������������������ ������ ������� ����������� ����
������� ��� �� �� ���� �������������� �� ����� ������
����� ���� ���� �� �� �������������� ��� ���� ����� ��
������� �� ����:��������� ������ ��� ���� �����
������������ �� ���� =�� ���� ������������ �������
��F������� ����� ����������� �����������������
�������������������������������������������
���������������� ���� ����
��������5��"����6����������
���� ����������%��������
������������� !� �"�����#$$�%�������142
�� ������ �������� �� ����� ��������������� �� ��� � � �� ��
� ������� ������ ��������� ���� �
�� &�������� ���������������� ���������� �����������7��-���
�.�3����������)��� �
�� ������� ���������������� �
�� �� &� �3
%� �/ P� 0
A� �5
�� "������������ ������ ������������������������ ���������-�3������������-�6 �
������������5��� ���� ������ ���������� �����������������
�� 6�) &� 6�0
%� 6�( P� 6/
A� 6��
� &���������� ������ ���������������73�-�� �����7
�0�-� ��'������������ ���
����������� ���� ������ ���������� ���������������� �
�� (�����6 &� 6 �����(
%� 6(����� P� �����6(
A� (�����
(� &���������� ������ ��������������� ������� ������� ���������������� -
���6������������5��� ���� ������� �����������������
�� �0 &� 5
%� � P� ((
A� 3�
3� &���������� ������ ���������������75�-�3�����7
�-�6�0��'������������ ���
�� ������� ���������������� �
�� 6�5 &� 6��
%� 6�/ P� 6�0
A� 6�)
)� 1����������������������� ������ �������������������������������������
����������������������� �������������)5����������������� ������������� ����
�������������� �����������������
�� �0 &� 3
%� 5 P�
A� )
/� "���� ������� ���������� ���������� �������� �������������)�������(5)�����
������� ������ ������� ���������������� �
�� ) &�
%� 3 P� �
A� (
Uji Kompetensi
�������� ��� ���������������� 143
5� 1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ��
"���������������������� ��������������������������������������������� �����
��)�������������������� ���� ���������� �����������������
�� 4 &�
%� ) P� �
A� (
4� 1����������������6� ����6�����������.������������������������ ������ �������
�� ���������� ���"��������������� ������ ���� ������� ���������������� �
�� 5� &� ���
%� 4 P� �5�
A� �
�0� ��������#������������������������������������������������������ �����
�������������%������� ������������;��0�000�00��������������;����000�00
�������������;��(�000�00������ � ���� ������� "���� �������������� ��������0
�����������������������������
�� ;��5�000�00 &� ;��50�000�00
%� ;� 5�000�00 P� ;� 50�000�00
A� ;��40�000�00
��� "���������������#��-0��-
���-
���������-
����������������������������� F���M���N�������
��� �����-�-0�H�-
��H�-
��H�����H�-
��-���������������� �� ( )�
�
�
� �
�
- - −=
−∑ ������������
�� ��.�� &� ��6��
%� � P� ��6��
A� �
��� '������� ���� ����
�
�
�
�
∞
=∑ �-�
�
� � �
���
+ + + ������������
��
�
&� �
%�
�
�P�
A�
�
� � ������ �� ������� ������� ������������� ����������� ����� ����
�� ������ ������� ��000�������������������� ������� ������� �� �����
��������� � ���������� ������ � �0G�� %��������� � ������� �� ������
�� ��������������������0�������������������������������
�� ��000�O�*���+�0
&� ��000�O�*���+4
%� ��000�O�*��0�+�0
P� �0�000
A� ��000�0
�(� &���������� �������� �����.�*�-�6�3+�.�*�-�6�3+��.������
'�����-��������������� ��� ����� ���������F� ���������������
�� ��H�-�H� &� (�H�-�H�)
%� ��H�-�H�� P� 6 �H�-�H�6�
A� 6)�H�-�H�6(
������������� !� �"�����#$$�%�������144
�3� 2����������� �;��00�000�000�00�����F��������������������� ������������
������ �5G��� �������'�������� �������� ��������������0������������ � ���
�����
�� *�00�000�000�O���05+4
&� *�00�000�000�O���05+�0
%� �00�000�000�O�*��05+4
P� �00�000�000�O�*��05+�0
A� �00�000�000�O�*��05+��
�� ������ ������� � �� ����� ������!"���� ����� �� �� �#
� �� �� �� ��� ��
�)� ������������������ ������������ �����7��-�3�
�.� �
��.����6�(��>������������
��������������������������,-.�������������������
�� �������������������������00��� ���� ������� �����
�� ������00� ������� ������ ���� ����� �� �����
�/� &���������� ������ ���������������������� ��������������������0������
6�)��1��������
�� ��������������������� ���� ������� �����
�� ������� ������� ������ ���� ����� �� �����
�5� 1��������������� �� ��������� �����
�� ( )�0�
�
� 3
�
� �
=+ +∑ �� ( ) ( )
�0
�
�
� �
�
8 - 8 - −=
⎡ ⎤−∑ ⎣ ⎦
�4� �����������F��������������������� �;��00�000�000�00�������������������
����������� ������������������� "����������������� ����������
������ ��0G��� ��������� ���������� ��������������0�����<
�0� :������������������ ������ �;�30�000�000�00���� �������������������
���������������������������������� ������������� 0�����������������������
�� ��������������� ��������������
�� G ��� �������
�� 1������������ ��������� �������������
�� 1������������ ������ �������0�
�� %������ ������ ������������ ��� �� �����������������������������
�������������������������.�������,-.���
�� 2������ �������������,����� ������ �;��00�000�00��2������ ������ �����
����������������������������������;��0�000�00�����������������������
�G��� � �������� �� ����� ������������ %� ���� ����� ������ ����������� ���
��������������� �����<
�� ������3��������� �� ����� ���� ��������������8����&������ ��������� ��
����� ��� :���� ����� �� ��� � �����������������(� ������ ���������� ����
������� ��������������� ������������
(� � ������%� ������ �������������
8����&�����������������(<
Soal Analisis
�������� ��� ���������������� 145
���*���
'�� ����������������������������������������������������� 1������ ������������������������������������������������������������
8���� ���Q== 2��� ��:���� ���%� ���������&� ��
8������ ����������������������������������������������������� ������ �����*���+
8������� ���2������������������������������� ������ �������
1����� ���2���������� ���������������� ������ �������
� ����� �������� 7���������
�� 1���� �!������������������5/3�� (� �������������
�� 2��� �� 3� %���� �������
� >������
� !����9����
�� %��������������������� �� ���� ��(������3����#��
�� 1��������������������������0��������������������������� ������ ��������
� ������������������������������������������ ������ ���� ���� ��������
(� :� �������������� ����� �����������0����������� ���� �������� ������� ���
�� �� �� ����� � ��������
3� $������������������� �������������������������������� ������������� �
! �����
�� &� ��������� ��������������� ������������� ���� ������ ���������������<
�� %� ���������������������������0���������<
Aktivitas Proyek
������������� !� �"�����#$$�%�������146
������ 1������.���
:� ����������� ������#�� ����
%��� ������� ��������������������� ������� �����������������*����.��1����+��� ����� �
�� �������� �������4����� ������� ������������������������������������������������
��� ����� ���� ���� ������������������������������3�
$����� ���� � ������ ������ �� ���������������������������� ����� ���������
������������ ����� �������� �����������������&�������� ������� �������� �����������
����������� ������� ��������%���������������������������������������������������������
�������������������������������� ����������"���������� ������������������� �������
���������������������������������&����������������� ������ ���������*��-�����
-�������������������������+�
�
��-�
�
����*��.��
�+
"��������*��.��
�+������������������� ������������� ���
���������� ������� �������������
8� ���������������������� ��������������� �����������������������������������������
�
�����
����
( )� ���
�
� �
�
+�-� ( )��
�
�
� �+
&������ ���� ������������������������� ����� ������������ ��� �� ��� ����
��� ������� ��������� ���������������������������� ������� ��������������������
�� ���������������������������� �����������������
���� ������������������������ ������� �������� �����(��� �����
5�������������������)
���������3���������/
(���������4����������
�) ���������
����������0 �����5
�4
�����������3 ������
Teka-Teki Matematika
9�������7�������7�������������5 147
�� ������ �������� �� ����� ������$"������� �� ��� � � �� ��� ����
��� ������ ������ ��� ���� �
�� &���������� ��������������� �����
� � � �
� � � � ���
� 3 �0 �/
;���������������� ���� ������� �����������������
��
�
��+ &� �
�
�� −
%�
�
�+ P� �
�
� +
A� �
�
�� +
�� ;���������������� ���� ������6���(��65���)�����������������
�� *6�+�
&� *�+�
%� *6�+��6��
P� 6��
A� *�+6�
� &�������� ���������������� ���������� �����������7��-� �
�.�3�����������0��� �
�� ������� ���������������� �
�� �� &� �3
%� �/ P� 3
A� �5
(� "������������ ������ ������������������������ ���������������-�5������������
��-� ������������������� ���� ������ ���������� �����������������
�� (� &� �0
%� ) P� �5
A�
3� &���������� ������ ���������������73�-�� �����7
�0�-� ��'������������ �������
������� ���� ������ ���������� ���������������� �
�� (�����6 &� 6 �����(
%� 6(����� P� �����6(
A� (�����
)� &���������� ������ ����������������������������� ����������������-� �
��6���
��������5��� ���� ������� �����������������
�� �0 &� 5
%� � P� ((
A� )
Latihan Ulangan Umum Semester 2
������������� !� �"�����#$$�%�������148
/� &���������� ������ �����������������������/�������(�����������������������5�
������� ��������������� ���� ������� �����������������
�� 63����� &� 6 ������)
%� 6������ P� 6 5�����)
A� �����6�
5� ������������ ���� �������� ������������������������������������������"�����
��I��00�
���������������������������������������������
�� ) &� 4
%� / P� �0
A� 5
4� $�������������������������������6� ����6�����������.����������������������� ���
�� ���� ���������� ���������������� ���� ���������� ���� �����������������
�� 6� &� 5�
%� ( P� �(
A� 4
�0� ������������������������ �%��������������� �������������������������
%������������
�� ��������� ������$� �%�������� ���������������������
�� (0 &� �3
%� 3 P� �0
A� 0
��� &� ���������� ������ �������������������������(�������/��������������0������
�3�����������3��� ������ �����������������������
�� ( &� /
%� (0 P� )
A� 4
��� "������������� ������������ ���� �����������������-��
��6��������������0��� �
�� ����� �����������������
�� �3 &� )
%� �) P� 50
A� �/
� � ���������� ������ ��������� ������������������ ������ �� ����� � ��������� "���� ����
� �������(0������������������������������ ���������������������
�� 5 &� �(
%� �) P� �
A� �0
�(� :���������(�.�/�.��0�.������.��3�����������������������������������������������
�� ( )/
0
�
�
�
=+∑ &� ( )
5
�
�
�
�
=+∑
%� ( )5
0
�
�
�
=+∑ P� ( )
/
0
(
�
�
=−∑
A� ( )/
0
3 �
�
�
=+∑
9�������7�������7�������������5 149
�3� "������-�-0�H�-
��H�-
��H�����H�-
��-���������������� �� ( )�
�
�
� �
�
- - −=
−∑ ������������
�� ��.�� &� ��6��
%� ��6�� P� �
A� �
�)� '������� �� ( )�
�
�
�
�
=−∑ ������������
�� �* ����+ &� * ��6��+
%�
( ) �
�
� �−P�
�
�
�−
A� �*��.��+
�/� "�������������
�
�
�
�
=∑ �-�-�����
�
�
3
�
=∑ �-�/������ ( )
�
�
�
�
� �
=−∑ �-������
�� �-�6�/ &� -�6�/
%� �-�6��/ P� ��-�6��/
A� -�6��/
�5� ����������������� ��� �������������������������������������� ����������������
������ ��G��� ������������������������������3����������� �������� ����������
������������
�� 3� &� �0�
%� )� P� ���
A� 5�
�4� %������������������ �;���000�000�00�����������������������������������G
�� �������� ����������������������;���000�000�00���� ����� �����������������
�������������� ��G��� ��������������������������� � ���������%���� � ���� � ��������
����
�� ��������� ��� � &� ������������� �
%� ���������� P�
�
�
�����
A� ������
�0� '������� ���� ����� � �
� ���
4 �/
+ + + + ������������
��
�
&� �
%�
�
�P�
�
A�
�
������������� !� �"�����#$$�%�������150
��� "������ ����*6�+�.���.�*6�+�.���.�����.�*6�+�������������
�� ��������������� &� ����������������
%� 6��������������� P� 6����������������
A� 0���������������
��� "���� ( )��
3
� 3
�
�
=−∑ ����������������������#�����������������������������
�� ( )5
�
� �
�
�
=−∑ &� ( )
/
�
� �
�
�
=−∑
%� ( )5
�
�
�
�
=−∑ P� ( )
/
�
�
�
�
=−∑
A� ( )/
�
�
�
�
=−∑
� � �������� ��������� ������� ��000� ��������� ��������� ������� �����������
������� ������� �� ���������������� ���������� ������ � �00� ������� �� ����
%���������� ���������������������0���������������������� ���
�� ��000 &� ��500
%� ���00 P� �000
A� ��(00
�(� 1����������#����������;�RS����������������������� ������ �;��00�000�00��%���
�� ��������� ����������������� ������ � �G���������������:������� ������
���5������������;�RS����������%��� ������;�RS�������������
�� ;���)�3/��00 &� ;���4�/ /�00
%� ;���0�5�)�00 P� ;�� (� ��00
A� ;���3�� ��00
�3� 1��������������������������� ���������� ������������������ 0��"��������
�� �������������������������������������������������������������(0�����
������������������ �����������������
�� �0�� 0������40 &� 6�0��(0��������0
%� �0��30������/0 P� 6�0��(0�������00
A� 6�0��30������40
�)� 1���� ����������������������� ���������� �� ����� �������� ������� ����
���������)����������3��� ������� �����������������
�� (� &� 5(
%� (5 P� 4)
A� /�
�/� "���������������#��-0��-
���-
��� ���� ��-
�� ������ ����������������� ���� F��� M���N�������
��� �����-�-0�H�-
��H�-
��H�����H�-
��-����'������� �� ( ) ( )�
�
�
�
�
�
� - � - −=
⎡ ⎤−∑ ⎣ ⎦ ������������
�� �*�+�.��*�+ &� �*�+�6��*�+
%� �*�+ P� �*�+�6��*�+
A� �*�+
9�������7�������7�������������5 151
�5� '������� ���� ����
�
�
/�
�
∞
=∑ �-�
�
� � �
���
/ / /
+ + + �������������
��
�
/&� �
%�
�
)P� /
A�
)
/
�4� &���������� �������� �����.�*3-�6�(+�.�*3-�6�(+��.������
'�����-��������������� ��� ����� ���������F� ���������������
��
�
3
-< < &� ��H�-�H�
%�
�
3
-− < < P� �H�-�H�3
A�
0
3
-< <
0� 2����������� �;��00�000�000�00�����F��������������������� �������������������
3G��� �������'�������� �������� ��������������������������������� �����
�� *�00�000�000�O���03+��
&� *�00�000�000�O���05+��
%� �00�000�000�O�*��03+��
P� �00�000�000�O�*��05+��
A� �00�000�000�O�*��03+�
�� ������ ������$�� �� ����� ������%"���� ����� �� �� �#� �� �
� �� ��� ��
�� "������������� ������������ ���� ������������������-���
��6����1��������
�� ����������������
�� ������� ����� �� �����
�� ��������(��� ����� �� �����
�� "���������������������������� �������� ������������"�����
��-��30���
��.���-��)0�����
���.��
�-��)3����������� ������� ����� ������
� "���������������� ������ ���� ������������������������������������������50�
"���������������� ���� ������������������!�����������
�� ������� ���
�� ����
�� ������0�������� ������ ��� �� �����
(� E���������������� ��
��
3
3
�
� ��
�=−∑
+
��
=∑
− +
��0�0
�
�
�� � �
������������� !� �"�����#$$�%�������152
3� &����������������������������������������������#��
4��6��
��������������/�����������������������������
)� 2������;�30�000�000�00����������������������� ��������������� �������������
�0������������� �������������;�)0�000�000�00��%� ������ �����������������<
/� %���������F��������������� ������ � ;��00�000�000�00� ��� ������ ����� ����
������������������������������"����������������� �����������������
5G��� ��������� ���������� ���������������������<
5� %����������������������� �;��3�000�000�00��������������������������������
��������������� ���������� ������� ������ )�������� ������������������ �������
������� ��������������/3�G��� �������
�� 1������������ ��������� �������������
�� 1������������ ������ �������0�
�� %������ ������ ������������ ��� �� ������������������������������ ��������
����������������.�������,-.���
4� �������������������� �;��3�000�000�00������������� ���������������� �������
%��� ���� ����� ��������;�3�5�000�00��%� ������ ������������ ����������� �� ����
������������������ �������������/3�G��� �����<
(0� �������������������� �;�30�000�000�00����������������������(5�����������������
���������� ���������� ����������������������������������� �����5G��� ������
1������������ � ����������������������������������������� ���������������
������������ 153
������������ �������������� ��� �����������������������������������������
������������ ����������������������������������������� �����
������������� ������������ ��������� �������������!����""��
�#����"#��������� �$������%��������!�"� ������&&����������� ������� ���������#�����'�����
(��#����������)#*�+���,�-�����.#�������
/#-���##���#�������������������001����� ����������� ��������������� ������������������
�� � �� ������� ������� ������ ����������� ����� �� � ������+��"�/#-������
�#������������2 �����"��/���00�����!� "�����!������ �����"�3������� �����"��#��4��'#�����
��#����,�+���"#��4���#�����"���
���.��"��������1���� ������ �$������ ������������4��'#�������(����#����
. 5���.#+����"�����&������������������ �"��%��#$��!*�$��
Daftar Pustaka
��������������%��������&���'�(� ��154
)������ 155
+������� ����#��� � +����������"�#- ����� +#��� ��� � �#���������"� �#��-� ������
� 6� � ���"� +#� � ����� �#+�"��� $������� 7�� &�� ��� ���� ���
#� -���� +������� ����#�����#�"��� +#��� 7�
+������� "#�#��� � +����������"�#- ����� ������ ��� �-#�+�����"������"� �#��-
������� � 6� � ���"� +#� � ����� �#+�"��� $������� ��� �� � �
�� �� ����#� -����+�������"#�#���� �#�"��� ������ �
�#�#� � 8 ���� � 6� ������ � �� �+�������
�#�#�� ����#��� � 8 ���� � 6� � ����� � �� � � +������� ����#����� �#+�"��
$���������9� �9���9������
�#�#�� "#�#��� � 8 ����� 6� ������� �� �+�������"#�#������#+�"���$������
��9�7�9���9��1�9������
�#�#�� ������""� � �#�#�����"������#- ������ ������:+��������� ���
���""�;�� �#+�"��� $�������
� � �
� ���
� 7 �
+ + + + � �
�#�#�� ��'#�"#� � �#�#�� ���"� 8 ����������� :#� -����+����"��� �#���� �#+�"��
$�������
� � �
� ���
� � �
+ + + + �#� -�����#�#�� ���"���'#�"#��#6
��
�#�#�� ��'#�"#� � �#�#�� ���"� ����� #- ����� 8 ����� �#+�"��� $������
� � �
� ���
� 7 �
+ + + + ��
��- ���� -#��#�#����� � ��- ���� ���"�# ��� �# �� -#��#�#������ -#������
��� � -#�����������
����� � � � ����+����"��6+����"������"�#+#�� �-#��#"��-��8��"
�������-����#�"��� ������ � �"�+����� ��� � � �"� �#"��
������ +���� � ���������"� �#����������� ��� �+�����
���������"���� � ������ ���"� #����6#����� ��� � ��� ���"����� ������� ������
����
������ ��� � ���������"� �#����������� ��� �����
Glosarium
��������������%��������&���'�(� ��156
������ ��#������ � ������ ���"� �# �� #����� ��� ���"����� ���� ������� �� ���
�#�������� �����<������ ��#������� ����������� �#�"��� �� ���
+#���=������>���>���� �� ��#���-�������-#��#"����
��������� � ������ ���"� �# �� #�������� ������� ���� ���� ����������
�#�"���0�����+#���=�����9�0�>���>�0�9��� �� ��#���-��������
���"��������� �����#�"��� 0�
������ �#"���"�� ���� � ���������"��# ��#��������+�5������"����� ����#� -���
+����"�������
������ �#"���"�� +�5�� � ���������"� �# ��#�������� ��������"����� ����#� -���
+����"�������
������ ���" ��� � ������ ���"��#�#��������� �����#�"�������
������ ������" ��� � ������ ���"��#�#��������� ����� �����#�"�������
������ ��'#�� � ��'#����������� ������������� �����(� ���"�##� ��� ��=��
�(�>���>�(���#�"��������������������#�������
��#����#���� � � �� � ����#� -#������� ��� � -#�������������#����
���"�#� -���� �#-�#�#������ ����� =#��#��� #��� -��
������
������� ��"� � ������� ���"� #�"" ����� � � =� ? ����� ∑�� #� -���
-#��#�#������� � ������ -#�8 ������ ���"�-��8��"�
���� � ����������������� �#�"��� +�������� +������� ���
+������������ ���������+#��������@� �
-��"��� ���#�� � � �� �$������� �#���#����"���" ����� �� �#��#�#�����
-#���������� ���"� �#����� �#�"��� �-�������� :��������
��� ���������;������ = �"��� � 8 ���:�+8#��=;� �#�����-�= �"��6
= �"��� #������ ���"� ����
����#� -#������� ���#�� � - ��������� +#+#��-��-#������� ���#��� ���"�#+#��
#��� ���
����#�-#����������� ���#�� � - ���� ����� +#+#��-�� -#����������� ���#��� ���"
#+#�� � ��� � #��� ���
����� � � �� �+#���������"���-����� ���#�"���+����"��� �#���
� � +�"���� ����� +������� ���"� ��-������� ��#�� ��� 3� �� A� ���
+�"����������#�#�����"���-���������#��3�9�A�
�����-��#������ � �����-��#��������� ������������� ����� ���"���+#�� �����
#� ����� �# �� +������� #�8���� ���������� +��
�#��#+ ��
� ��� 157
�
����#���� � ���� �00�� �0��� �0 �� �0&�� �01�� �0��� �0��� ��0�� ����� ����� ��&�� �� �� ��&�� ����� �7��� ����� ��7�� �� �� ��1�
����� ����� � 0�� � ��� � ��� � �
�
+������� � ���� �00�� �0��� �0��� �07�� �0��� �0 �� �0&�� �01�� �0��� �0��� ��0�� ����� ��7�� ����� �� �� ��&�� ��1�� ��0�� ����� ����
�7��� ����� ����� ����� �� �� ��&�� ��1�� ����� � 0�� � ��� � 7
+������� ����#���� � �00�� �0��� �0 �� �0&�� �01�� �0��� �0��� ��0�� ����� ��&�� �7��� ����� ����� ����� ��&�� ��1�� ����� � 0
+������� +����"��� �#��� � �00�� �0�
+������� "#�#���� � �00�� ����� ��7�� ����� �� �� ��&�� ��1�� ��0�� ����� ����� �� �� � 0�� � �
+���������� �"� � �0�
+#��� � ��� �0��� �0 �� �01�� �0��� �0��� ��0�� ����� ����� ��&�� ����� ����� ����� ��&�� ��1�� ����� � 0�� � 7
�
�#�#�� � ���� �00�� �0��� �0��� �0��� �0��� �0��� ��0�� ����� ����� ��&�� ��1�� ����� ����� ��0�� ����� ����� ��7�� ����� �� �� ��&�
��1�� ����� �7��� ����� ����� ��7�� �� �� ��&�� ��1�� ����� � 0�� � ��� � ��� � 7
�#�#�� ����#���� � ���� �00�� �0��� �0��� ��0�� ����� ����� ��&�� �� �� ��&�� ����� �7��� ����� ����� ��1�� � 0�� � 7
�#�#�� "#�#���� � ���� �00�� ����� ��&�� ��1�� ����� ����� ��0�� ����� ����� ��7�� ����� ��&�� ��1�� ����� �7��� ����� �� �� ��&�
� 0�� � 7
�#�#�� ��� ���""�� � �0��� �0��� ����� ��7
�#�#������ � 77�� 7��� ��� ��� &0�� &��� &��� 17�� 1��� 1 �� 11�� 1��� 1��� �0�� ���� ���� ���� �1�� ��
��'#�"#�� � ��0�� ���
������ � �
A
#�##�� � 7 �� 7&�� 71�� 7��� �0�� ���� �7�� ���� � �� ���� 0�� ��� ��� 7�� ��� &0�� &��� &��� ���� � �� ��
#����� � 7 �� ���� 0�� ���� �7�� �&
�
= �"��� � ��� &�� 1�� ��� ��� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� �&�� �1�� ���� ���� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� ���� 70�� ��� �7�� ���� �1�� ���� �00�
�0��� ��0�� ����� ��7
= �"��� #������ � �
�
"����� �#����� � ��� �0�� ���� �7�� ���� � �� ��
�
��� �����#����� � �00�� ����� ����� �70�� ��7�� � �
��'#��� � 77�� 7��� &��� &7�� &��� & �� &&�� &1�� &��� &��� 10�� 1��� �7�� �&�� ���� ���� ���� �1�� ��
��'#��������� � 77�� 7��� &��� &7�� &��� & �� &&�� &��� 10�� 1��� �7�� ���� �1
�
��'#�"#�� � ��0�� ����� ����� ��&�� ����� �� �� � 7
Indeks
��������������%��������&���'�(� ��158
������ � 77�� 7��� 7 �� 7&�� 71�� 7��� 7��� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� �&�� �1�� ���� ���� 0�� ��� ��� 7�� ��� �� &�� 1�� ��� ��
&0�� &��� &��� &7�� &��� & �� &&�� &1�� &��� &��� 10�� 1��� 1��� 11�� ���� �7�� ���� � �� �&�� �1�� ���� ���� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� �1�
��
���������"����� � 7��� �0�� ��
������ ��#������� � 7��� �0�� ���� ���� ��� &�� 1�� &��� &��� ��
���������� � �0�� ���� ���� � �� ���� ��� &��� ��
������������" ���� � ��� &�
������ �#"���"�� ����� � 7��� ���� �7
������ �#"���"�� +�5��� � 7��� ���� �7
������ ���" ���� � ��� &��� �1�� �
��#����#����� � ��� ��� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� �&�� �1�� �7�� � �� ���� 7��� 1&�� 1��� ���� ���� ���� ���� �1�� ���� ��
B
������ � ��� &�� 1�� ��� ��� �0�� ���� ���� ���� �&�� ���� ���� �0�� ���� ���� �7�� ���� � �� ���� 70�� 7��� 7&�� 71�� 7��� �1�� ���� 1�� ��� ��� &��
&1�� 1��� � �� �&�� �1�� ���� �7�� ���� � �� �1�� ���� �00�� ��&�� ��0�� ����� �� �� �7��� �7 �� �7&�� �71�� ����� ����� �� �� ��&�
��1�� ����� � 0�� � ��� � ��� � 7
��������� � � &�� 1�� ��� ��� �0�� ���� �&�� ���� �0�� ���� ���� ���� 70�� �7�� �1
��������� � � &�� 1�� ��� ��� �0�� ���� ���� �0�� ���� ���� 70�� ���� �1
�������-�� � ����&���0���
������� ��"�� � �00�� ��7�� ����� �� �� ��&�� ��1�� ����� �7��� ����� � 0
����� � 7��� 7 �� 7&�� 71�� 7��� 7��� �0�� ���� �7�� ���� � �� �&�� ��� 7�� 1�� ��� ��� &0�� &��� 11�� ���� �7
�
-#������� ���#��� � ��� 7�� 1�� �0�� ���� 77�� 7��� �� &��� 10�� 1��� 1��� 17�� 1��� 1 �� 1&�� 11�� 1��� 1��� �0�� ���� ���� �7�� �1�� ���
���� �&�� �1�� ��
-#����������� ���#��� � ��� ��� 7�� ��� �� &�� 1�� ��� ��� �0�� ���� ���� � �� �&�� �1�� ���� ���� ���� �7�� � �� �1�� ���� ���� 70�� ���
�7�� ���� �1
-��"��� ���#��� � ��� ��� �0�� ���� �7�� ���� � �� �1�� ���� �7�� � �� �&�� 7�
�
������ � ����� ��7�� �� �� ��&�� ��1�� ����� ����� ��0�� ����� ��7�� ��&�� ��1�� ����� ����� � 7
��"�� � �00�� ��7�� ����� �� �� ��&�� ��1�� ����� �7��� ����� � 0
���" ���� � ��� &��� �1�� �
����#�-#������� ���#��� � ��� 1�� 77�� 7��� �� &��� 10�� 1��� 1��� 17�� 1��� 1 �� 1&�� 11�� 1��� 1��� �0�� ���� ���� �7�� �1�� ���
���� �&�� �1�� ��
� �#6�� � ���� �00�� �0��� �0��� �07�� �0��� �0 �� �01�� ��0�� ����� ��7�� �� �� ��&�� ����� ��7�� ����� �� �� ��&�� ����� ����
����� ��&�� ��1�� ����� � 0�� � 7
�
�����-��#� � 7��� ���� ���� �7
�
���������� � 7
�� �� � ���� �&�� 7��� 7 �� �1�� �7��� �7
������� 159
�������������������C�����
Lampiran
��������������%��������&���'�(� ��160
�������������������C�����
������� 161
�������������������C�����
��������������%��������&���'�(� ��162
������������� �C�
������� 163
������������� �C�
��������������%��������&���'�(� ��164
������������� �C�
������� 165
�������������������ΣΣΣΣΣ�D��C� E��F�ΣΣΣΣΣ�D��C!E����ΣΣΣΣΣ�D��C! E����ΣΣΣΣΣ�D��C"E����ΣΣΣΣΣ�D��C" E�
#�������#$�������%��
�
��������������%��������&���'�(� ��166
�������������������ΣΣΣΣΣ�D��&E��F�ΣΣΣΣΣ�D��C& E����ΣΣΣΣΣ�D��C E����ΣΣΣΣΣ�D��C E����ΣΣΣΣΣ�D��C'E�
#�������#$�������%��
�
� "� 167
��� � �
�����������$��
�G�����($�$�)�
�� ������ ��� �
�� / &� � ��� �
�� � 1� , ��� /
7� , �� ! �7� !
�� ! �� / ��� �
� � �0� , � � �
�� �����
�1� ����������+��� +�*� ������� �0� ���
+�������� �� � �0�� �#���"��� -#�6
��-����� ��� ���� ������
B-��0�000�00�
��� ��������� ����B-�7&�000�00�
��� � !
�����)
�G�����($�$�)�
�� ������ ��� �
�� � &� , ��� /
�� / 1� ! ��� ,
7� � �� / �7� �
�� � �� ! ��� ,
� / �0� � � � /
�� �����
�1� ��
� 7
7
*
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�>�
7
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+�
*
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�>�
7 7
7 � �
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�>�
7
�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������*�>�7�������>�C��
��� �� .���#�-#������� ���#���
:�;�� *�9����>�7&0�000
:��;�7*�9�7��>��10�000
+� �#�������������
�
7 7
*
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�>�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7&�000
�1�000
$� �#��#�#���������
*
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�>�
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 � 7&�000�
7 �1�000�
�>�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
&�000
7�000
������ ���"�� +��#�� B-&�000�00� ���
���"��+����B-7�000�00�
����*���������������� $�$)�$���
�G�����($�$�)�
�� ������ ��� �
�� � ��� ! ��� ,
�� � ��� � ��� /
7� � �7� / �7� !
�� � ��� , ��� �
� / � � ! � � �
&� , �&� � �&� /
1� , �1� / �1� !
�� / ��� / ��� !
�� ! ��� , ��� �
�0� / �0� ! 70� �
�� �����
7�� �� ������ ����� �������� �:&�0;� >� ��
��������������� ���������:0�0;�>�0�
+� ����������� ���������:&�0;� >� ��
��������������� ���������:0�0;�>�0�
Kunci Matematika XIIBahasa SMA
��������������%��������&���'�(� ��168
77� �� �(�>�
7� �
�� 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+� :�(;��>�
7� ��
� 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$� (���
��>�
7� ��
� 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �C��(
C��>�
7� ���
�0 7
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
#� (C���
C��>�
7 � �
�� 7�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
7 � ��������� ����B-�7&�000�00�
71� �� <��#����#�����
:�;����*�9�7��9�+�>����000
:��;��*�9����9��+�>���� 00
:���;�7*�9����9��+�>�� � 00
+� �#��#�#������
*�>��� 00
��>���000
+�>�7�000
$� ���"�� �� + � B-�� 00�00�� ���"�� �
-#�����B-��000�00���������"����+��-���
B-7�000�00�
7�� �� ���������"������C���- ������'#���������
��≠���������≠� �+� ���������"������C��������- ������'#��
���������>������ ���>� �
��� � "
����)���#����$�$�
�G�����($�$�)�
�� ������ ��� �
�� � &� � ��� !
�� � 1� ! ��� �
7� / �� � �7� /
�� ! �� / ��� �
� , �0� , � � �
�� �����
�1� �� �#������>�C7������ �#6 ��� �>����C�7 �
+� � ���� � � �-#�����
� �>� ( )� 7
�
−
��� �#��������� �#�#���� �0� ��� �� ������
B- ���1�������00�
����*���������������� $�$)�$��!
�G�����($�$�)�
�� ������ ��� �
�� , ��� � ��� !
�� � ��� , ��� ,
7� ! �7� / �7� /
�� � ��� / ��� �
� / � � / � � �
&� ! �&� � �&� �
1� / �1� � �1� !
�� � ��� ! ��� �
�� / ��� � ��� �
�0� ! �0� ! 70� �
�� �����
7�� �� . �#6 �� �>�� �C�7�
+� �#������>���
$� . �#6�����>��7�
77� �� . �-#��������>�1�
+� �#������>�7�
$� � �����0� � �-#��������0� >� �0 �
7 � :�; 4�� � �>�����-#���#����C���>�1���+��
��+�"��1�
������-#���������+#���� �� � � >� ��
:��; /���""�-� -#��������� +#���� ��
�>����+#������+#��� �
��C��
���+�����+�"��1
.#���8 ����� ��+ ����� -#��������
+#���� �� � � >� �� 9� ��� �#�������
+��5��
��9��
�C���9��
>���D���C���D��
>�1�D���9���D��
�C���D��
>�1�D���9���D�:�
�C��
;
��:��+�����+�"��1;
71� �#��������� �#�#���� ��� ��� �� ������
B-� ����1�0���00�
7�� E��� -��8���� ����"� �� ������
�0�+ ����
169
��������������%��������&���'�(� ��170
UNTUK SEKOLAH MENENGAH ATAS DAN MADRASAH ALIYAH KELAS XII
PROGRAM ILMU BAHASA
MATEMATIKA
UN
TU
K S
EK
OLA
H M
EN
EN
GA
H A
TA
S D
AN
MA
DR
AS
AH
ALIY
AH
KE
LA
S X
II
PR
OG
RA
M IL
MU
BA
HA
SA
M
AT
EM
AT
IKA
Wahana
MATEMATIKAPROGRAM ILMU BAHASA PROGRAM ILMU BAHASA
3
Matematika menurut sifatnya merupakan ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu, maka sebagai ratu matematika mempunyai struktur yang sistematis dan logis tidak dapat dipengaruhi oleh ilmu yang lain, sedangkan sebagai pelayan matematika menyediakan alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada ilmu-ilmu yang lain. Buku ini ditekankan pada cara berpikir sistematis dan logis, di samping menyajikan aplikasinya pada kehidupan sehari-hari. Dengan karakteristik ini diharapkan setelah mempelajari buku ini siswa dapat berpikir secara sistematis dan logis untuk mengambil kesimpulan.
Buku ini disusun sesuai dengan kurikulum yang berlaku dan dengan harapan dapat mengembangkan keragaman potensi, minat, kecerdasan intelektual, emosional, spritual, dan kinestetik siswa secara optimal sesuai dengan tingkat perkembangan siswa tersebut. Beberapa keunggulan buku matematika ini adalah sebagai berikut.1. Materi disajikan secara sederhana, sistematis, inspiratif, dan realistis. Siswa diajak
berpikir logis dan melihat aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari.2. Untuk mempermudah pemahaman konsep materi, buku ini dilengkapi dengan c o n t o h
soal dan penyelesaian. Selain itu, soal-soal pelatihan disajikan dalam berbagai bentuk untuk meningkatkan kemampuan daya pikir, analisis, komunikasi, dan kreativitas.
3. Buku ini dilengkapi dengan math info dan teka-teki matematika.Dengan demikian diharapkan dapat membangkitkan rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika.
4. Buku ini disusun dengan memenuhi kaidah-kaidah tipografi, tata letak, dan pewarnaan yang memenuhi standar “Human Computer Interactive”. Hal ini dimaksudkan untuk merangsang minat dalam membaca dan mempelajari materi.
Buku matematika ini peduli dengan proses pendidikan yang dapat diterima dengan baik oleh semua kelompok siswa; kelompok normal (novice), kelompok sedang (intermediate), dan kelompok tinggi (advance). Buku ini berusaha menjadi sarana penunjang yang baik demi kemajuan pendidikan Indonesia.
ISBN 978-979-068-854-4 (no jilid lengkap)ISBN 978-979-068-857-5
Buku ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) dan telahdinyatakan layak sebagai buku teks pelajaran berdasarkan Peraturan MenteriPendidikan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 tanggal 11 Desember 2008 tentangPenetapan Buku Teks Pelajaran yang Memenuhi Syarat Kelayakan untuk Digu-nakan dalam Proses pembelajaran.
Harga Eceran Tertinggi (HET) Rp9.672,-
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
Diunduh dari BSE.Mahoni.com
top related