pengantar program linier

PEMROGRAMAN LINIER

Pertemuan 2

Pengantar Program Linier (PL)

Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu pola tertentu dalam memodelkan suatu masalah Program Linier (PL).

Untuk menyelesaikan masalah PL, selalu ditentukan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi batasan.

Bentuk umum dari model PL Fungsi tujuan : Memaksimumkan (Meminimumkan) Fungsi batasan :

untuk semua i = 1, 2, …, m semua Xj > 0

Keterangan :Xj = Kegiatan j, di mana j = 1, 2, …., n Z = nilai dari fungsi tujuanCj = parameter per unit kegiatanbi = jumlah sumber daya i (i = 1, 2, …, m), aij = banyaknya sumber daya i yang dikonsumsi oleh

kegiatan j

n

jjj XCZ

1

ijij bXa ),,(

Asumsi Model Program Linier Linierity

Yaitu fungsi tujuan dan semua fungsi batasan merupakan fungsi linier dari variabel-variabel keputusan.

AdditivityYaitu tidak ada penyesuaian pada perhitungan variabel keputusan yang disebabkan karena terjadinya interaksi.

DivisibilityYaitu nilai solusi yang diperoleh untuk Xj merupakan variabel kontinu.

DeterministicYaitu semua parameter model (Cj, aij, dan bj) diasumsikan diketahui dengan kepastian (certainty).

Istilah-Istilah dalam Program Linier Solution : jawaban akhir dari suatu masalah PL. Feasible solution : penyelesaian yang memenuhi

(tidak melanggar) batasan-batasan yang ada. No-feasible solution : tidak ada penyelesaian yang

feasible (tidak ada penyelesaian yang memenuhi batasan-batasan yang ada).

Optimal solution : feasible solution yang mempunyai nilai tujuan yang optimal atau terbaik.

Multiple optimal solution : terdapat beberapa alternatif solusi optimal dalam satu masalah.

No- optimal solution : tejadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal.

Setelah membuat model matematis dari masalah program linier, maka langkah berikutnya adalah pemecahan model untuk pengambilan keputusan, yaitu dengan menggunakan :Metode grafikMetode simpleks

METODE GRAFIK

PendahuluanMasalah program linier yang dapat

diselesaikan dengan metode grafik hanya terbatas pada masalah yang mempunyai 2 variabel keputusan, karena dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik.

Model dengan 3 variabel keputusan akan memerlukan penggambaran dalam 3 dimensi grafik, di mana prosesnya akan sangat sulit.

Sedangkan model dengan 4 atau lebih variabel keputusan tidak dapat dibuat grafik sama sekali.

Tahapan Yang Dilakukan Dalam Metode Grafik

1. Menentukan fungsi tujuan dan fungsi batasan dalam bentuk matematis.

2. Gambarkan masing-masing garis fungsi batasan pada dua dimensi grafik (sistem sumbu koordinat).

3. Tentukan daerah feasible-nya, yaitu himpunan semua titik yang memenuhi batasan.

4. Tentukan penyelesaian feasible-nya, yaitu satu titik pada daerah feasible yang mengakibatkan harga Z optimal.

Contoh 1:

Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2

Fungsi batasan : X1 + 2 X2 < 40

4 X1 + 3 X2 < 120

X1 , X2 > 0

X1 X2 SOLUSI

0 20 Z = (4).(0) + (5).(20) = 100

30 0 Z = (4).(30) + (5).( 0) = 120

24 8 Z = (4).(24) + (5).(8) = 136

Dari hasil di atas terlihat bahwa nilai maksimum dari Z adalah 136. Sehingga solusi optimal adalah X1 = 24 , X2 = 8 , dan Z = 136.

Contoh 2 :

Fungsi tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2

Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 > 16

X1 + 3 X2 > 24

X1 , X2 > 0

Contoh 3 :

Fungsi tujuan : Maks Z = 5 X1 + X2

Fungsi batasan : 3 X1 + 4 X2 = 24

X1 < 6

X1 + 3 X2 < 12

X1 , X2 > 0

Solusi Metode Grafik Untuk Kasus Khusus :Solusi Optimal Banyak Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X1 + 2 X2

Fungsi batasan : 6 X1 + 4 X2 < 240

X1 + X2 < 50

X1 , X2 > 0

Tanpa Solusi Feasible Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X1 + 2 X2

Fungsi batasan : 6 X1 + 4 X2 < 240

X1 + X2 < 50X1 > 30X2 > 20 X1 , X2 > 0

Solusi Tidak Terbatas Fungsi tujuan : Maks Z = 2 X1 - X2

Fungsi batasan : X1 - X2 < 1

2 X1 + X2 > 6

X1 , X2 > 0

METODE SIMPLEKS

Pendahuluan

Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan.

Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain.

Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang sebelum solusi optimal diperoleh

Penyelesaian Dengan Metode Simpleks

Syarat :Model program linier ( Canonical

form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan ”bentuk baku” (standard form).

Ciri-ciri dari bentuk baku model program linier

Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan non-negatif.

Semua variabel keputusan non-negatif.Fungsi tujuan dapat memaksimumkan

maupun meminimumkan

dapat dituliskan :

Fungsi tujuan : Maks / Min Z = CX

Fungsi pembatas : AX = b

X > 0

Perlu diperhatikan :

Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.

Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan :

Fungsi Pembatas Suatu fungsi pembatas yang mempunyai

tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable (variabel pengurang).

Fungsi Tujuan Dengan adanya slack variable pada fungsi

pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini.

Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

Contoh 1 :

Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2

Fungsi pembatas : X1 + 2 X2 < 404 X1 + 3 X2 < 120

X1 , X2 > 0Rubahlah menjadi bentuk standar.

Untuk merubah menjadi bentuk standar, maka harus menambahkan slack variable, menjadi :

X1 + 2 X2 < 40 X1 + 2 X2 + S1 = 404 X1 + 3 X2 < 120 4 X1 + 3 X2 + S2 = 120

Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :

Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S2

Contoh 2 :

Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X1 + 30 X2 +20 X3

Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 484 X1 + 2 X2 < 20

2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8 X2 < 5 X1 , X2 , X3 > 0

dengan menambahkan slack variable, menjadi :8 X1 + 6 X2 + X3 < 48 8 X1 + 6 X2 + X3 + S1 = 484 X1 + 2 X2 < 20 4 X1 + 2 X2 + S2 = 202 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8

2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 + S3 = 8X2 < 5 X2 + S4 = 5

Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :

Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S2 + + 0 S3 + 0 S4

Contoh 3 :

Fungsi tujuan : Min Z = 2 X1 - 3 X2

Fungsi pembatas : X1 + X2 < 4X1 - X2 < 6X1 , X2 > 0

dengan menambahkan slack variable, menjadi:X1 + X2 < 4 X1 + X2 + S1 = 4X1 - X2 < 6 X1 - X2 + S2 = 6

Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :Min Z = 2 X1 - 3 X2 + 0 S1 + 0 S2

Metode dan Tabel Simpleks

Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks dibutuhkan matriks A yang berisi variabel basis dan variabel non-basis.

pada contoh 1, diperoleh matriks A yaitu:

10340121

Variabel basis adalah S1 dan S2, sedangkan variabel non-basis adalah variabel X1 dan variabel X2

Matriks basis biasanya dinyatakan dengan BFS (Basis Feasible Solution), dan dituliskan dengan matriks B ( matriks identitas) yaitu :

1001

Tabel Simpleks

Langkah-langkah penyelesaian dalam metode simpleks adalah dengan menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks.

Tabel ini mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah

Langkah-langkah metode simpleks

Mengubah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan.

Membentuk tabel awal untuk solusi feasible dasar pada titik orijin dan menghitung nilai-nilai baris zj dan cj – zj.

Contoh bentuk tabel simpleks

cj Variabel 4 5 0 0Basis Kuantita

sX1 X2 S1 S2

0 S1 40 1 2 1 0

0 S2 120 4 3 0 1

zj 0 0 0 0 0cj - zj 4 5 0 0

Langkah-langkah metode simpleks

Menentukan kolom pivot (kolom pemutar) dengan cara memilih kolom yang memiliki nilai positif terbesar pada baris cj – zj. Kolom pivot ini digunakan untuk menentukan variabel non-basis yang akan masuk ke dalam variabel basis.

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel 4 5 0 0Basis Kuantita

sX1 X2 S1 S2

0 S1 40 1 2 1 0

0 S2 120 4 3 0 1

zj 0 0 0 0 0cj - zj 4 5 0 0

Menentukan baris pivot (baris pemutar) dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pivot, kemudian memilih baris dengan hasil bagi yang non-negatif terkecil. Baris pivot ini digunakan untuk menentukan variabel basis yang akan keluar dari variabel basis.

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0 KuanTitas

Basis Kuantitas

X1 X2 S1 S2 /kol pivot

0 S1 40 1 2 1 0 40/2 = 20

0 S2 120 4 3 0 1 120/3=40

zj 0 0 0 0 0cj - zj 4 5 0 0

Perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot diperoleh nilai pivot.

Mengubah nilai baris pivot yang baru dengan cara :

pivotnilailamapivotbarisnilai

barupivotbarisnilai

Sehingga pada tabel baru, nilai pivot menjadi 1.

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0

Basis KuanTitas

X1 X2 S1 S2

5 X2 40/2 1/2 2/2 1/2 0/2

zjcj - zj

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0

Basis KuanTitas

X1 X2 S1 S2

5 X2 20 1/2 1 1/2 0

zjcj - zj

Menghitung nilai baris lainnya dengan cara :

nberhubungaygbarutabelpivotbarisnilai

nberhubungaygpivotkolomkoef

lamatabelbarisnilai

barutabelbarisnilai

Menghitung baris-baris zj dan cj – zj. Menentukan apakah solusi telah optimal dengan cara mengecek baris cj – zj. Jika nilai cj – zj adalah nol atau negatif, maka solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, maka kembali ke langkah c dan mengulangi kembali langkah-langkah selanjutnya.

kolom nilai baris –| koefisien kol * nilai | lama | pemutar baris| =nilai akhir | yg berhubungan |

Kuantitas 120 - (3 X 20 ) = 60X1 4 - (3 X 1/2 ) = 5/2X2 3 - (3 X 1 ) = 0S1 0 - (3 X 1/2 ) = - 3/2S2 1 - (3 X 0 ) = 1

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0 KuanTitas

Basis KuanTitas

X1 X2 S1 S2 /kol pivot

5 X2 20 1/2 1 1/2 0 40

0 S2 60 5/2 0 -3/2 1 24

zj 100 5/2 5 5/2 0cj - zj 3/2 0 -5/2 0

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0 KuanTitas

Basis KuanTitas

X1 X2 S1 S2 /kol pivot

4 X1 24 1 0 -0.6 0.4 24

zjcj - zj

Langkah-langkah metode simpleks

cj Variabel

4 5 0 0 KuanTitas

Basis KuanTitas

X1 X2 S1 S2 /kol pivot

5 X2 8 0 1 0.8 -0.24 X1 24 1 0 -0.6 0.4

zj 136 4 5 1.6 0.6cj - zj 0 0 -1.6 -0.6

Contoh 1:

Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2

Fungsi pembatas : X1 + 2 X2 < 404 X1 + 3 X2 < 120X1 , X2 > 0

Selesaikan dengan metode simpleks

Contoh 2:

Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3

Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 484 X1 + 2 X2 < 202 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8X2 < 5X1 , X2 , X3 > 0Selesaikan dengan metode simpleks

(Meminimalkan Z, dengan batasan >)

(Masalah Batasan Campuran)

Metode Simpleks (Big-M)

Aturan yang dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian:

BatasanPenyesuaian fungsi

batasanKoefisien fungsi tujuan

Maksimisasi Minimisasi

< Tambah slack variabel

0 0

= Tambah artificial variabel

-M M

> Kurang slack variabel

0 0

Dan tambah artificial variabel

-M M

Contoh 3:

Fungsi tujuan : Min Z = 6X1 + 3 X2

Fungsi pembatas : 2 X1 + 4X2 > 164 X1 + 3 X2 > 24X1 , X2 > 0Selesaikan dengan metode simpleks

Contoh 4:

Fungsi tujuan : Maks Z = 400 X1 + 200 X2

Fungsi pembatas : X1 + X2 = 302 X1 + 8 X2 > 80X1 < 20X1 , X2 > 0Selesaikan dengan metode simpleks