paperina mi ha detto che il nostro rapporto è relativo. ma relativo a che? i numeri interi relativi

Paperina mi ha detto che il

nostro rapporto è RELATIVO. Ma RELATIVO a che?

I numeri interi

relativi

Spero che Paperino non stia dormendo come

al solito! Se scopro che è così

mi sentirà e saranno NUMERI!

Insieme N

I numeri Naturali N sono tutti i numeri interi positivi cioè l’insieme N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . ,+∞} in cui si possono eseguire le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza.

N, ,+∞ zzz … zzz … tutto questo … mi fa venire il mal di zzz … testa …

Ci penserò domani …

I numeri Interi Relativi sono tutti i numeri interi, positivi e negativi, preceduti dal segno + o -, che vanno da -∞ a +∞ essendo infiniti e che permettono di eseguire sempre anche la sottrazione.

Z={ . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . .}

Se cadi, con un sol boccone, farò una SOTTRAZIONE di … Titti! Questa per me

è un’operazione sempre possibile!

I numeri relativi Z sono numeri interi preceduti dal segno + o dal segno - .

I numeri Z sono usati per indicare le temperature sopra o sotto zero, per i conti bancari in attivo o passivo, per le date avanti o dopo Cristo, per le altitudini sotto o sul livello del mare, ecc..

Che te ne pare? Faccio delle piroette tanto

perfette da elevare la mia ALTITUDINE di … 3 METRI

SOPRA AL CIELO.

Resta sempre

l’incredibile Pippo!

I numeri Razionali Q, sono tutti i numeri, positivi e negativi, scritti come rapporto fra due numeri interi con il secondo diverso da zero. I numeri Q sono tutte le frazioni, tutti i numeri interi, i decimali limitati e gli illimitati periodici. Nell’insieme dei numeri razionali, oltre all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla potenza, con tali numeri, si può eseguire anche la divisione. Un numero decimale ILLIMITATO NON PERIODICO, che non può essere trasformato in frazione,

si dice NUMERO IRRAZIONALE. Ne sono esempi il π =3,141592654... oppure il numero di Nepero e =2,09691... .

R+

I+Q+

ZN

Bravo zzz chi ci

capisce zzz qualcosa …

I numeri N e i relativi interi Z appartengono ai numeri Q e ne sono sottoinsiemi.

I numeri razionali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri razionali positivi che si indica con Q+.

I numeri razionali preceduti dal segno – formano l’insieme dei numeri razionali negativi che si indica con Q-.

I due insiemi Q+ e Q- formano l’insieme dei numeri razionali che si indica con Q.

Adesso basta! Sono stanco! Sta per cominciare la partita! Se non ti decidi a funzionare

ogni mia RAZIONALITÀ scomparirà e tutto il mio temperamento NEGATIVO

eliminerà ogni mia POSITIVITÀ!

I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri interi positivi che si indica con Z+.

I numeri naturali preceduti dal segno meno formano l’insieme dei numeri interi negativi che si indica con Z-.

I due insieme Z+ e Z- costituiscono l’insieme dei numeri interi relativi che si indica con Z.

Un numero privo di segno è sempre positivo. Il numero 0 (zero) appartiene a Z ed è privo di segno.

L’unica Z che

conosco è quella di

… ZORRO!

Consideriamo due semirette di origine O a cui facciamo corrispondere il numero 0. Verso destra posizioneremo i numeri positivi e verso sinistra i numeri negativi. Fissiamo l’unità di misura e troviamo le immagini dei numeri sulla retta. A è immagine di -4, B di -3, C di -2, D di -1, O di 0, F di +1, G di +2, H di +3, I di +4.

Sei davvero magnifica! Nessuna danzatrice HA I NUMERI CHE HAI TU sia a

destra che a sinistra!

Si dice valore assoluto (o modulo o intensità) di un numero, e si indica col simbolo x , x stesso se x è un numero positivo o nullo, - x se x è un numero negativo.

X = valore assoluto di x

X = x se x ≥ 0

X =-x se x < 0

Ho capito. È

molto semplice

!

Uhm … Devo

riflettere molto

attentamente!

Ogni numero positivo è maggiore di tutti i negativi, per cui fra due numeri discordi è sempre maggiore il positivo.

Lo zero è minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i negativi.

Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello con maggiore valore assoluto.

Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello con minore valore assoluto.

numeri negativi - numeri positivi +

Il valore diminuisce Il valore aumenta

Posso ballare con te? Starò alla tua

sinistra, così NON POTRÒ MAI SUPERARTI!

+4

+3

+2

+1

0-4 -3 -2 -1

ADDIZIONE

Per addizionare due numeri relativi basta contare, dopo il primo, le unità del secondo, verso destra se il numero da addizionare è positivo, verso sinistra se è negativo.

(+ 6) + (+ 3) = +9

Infatti, partendo da + 6 contando verso destra

tre unità, si arriva a + 9.

(+ 6) + (+ 3) = +9

0 +6

+9

+3

u

Io vado a destra ...

Io vado a sinistra

…

Io sono troppo stanca e

resto ferma!

(- 4) + (- 6) = - 10

Partiamo da – 4 e contiamo verso sinistra sei unità fino al numero – 10.

(- 4) + (- 6) = - 10 u

+-

0-4-10

-6

Pinocchio! Aspettami! Sono stanco! Ti stai allontanando

troppo dal punto di partenza! Non da quella parte! Finirai in … un

mare di GUAI!

(+ 6) + (- 2) = + 4

Partiamo da + 6 e andiamo indietro di due unità fino a + 4.

(+ 6) + (- 2 ) = + 4

0 +6

-2

+4

- +

u

Devo assolutamente aiutare questo povero

gattino a liberarsi. Domani spiegherò alla

maestra che non ho proprio avuto tempo per fare i compiti sui

numeri relativi!

(- 7) + (+ 2) = - 5

Partiamo da – 7 e spostiamoci verso destra di due unità fino a – 5.

(- 7) + (+ 2) = - 5

-7 -5 0

u

+2+-

Quel fannullone di Paperino mi sentirà! Gli avevo chiesto

di farmi la spesa e non lo perdonerò se non sarà qui

entro cinque minuti!

Mi sembrava … zzz di aver promesso qualcosa

zzz a Paperina … Chissà … Spero che una buona zzz

dormita mi faccia ricordare …

La somma di due numeri concordi è un numero concorde ad essi che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti.

(+ 5) + (+ 3) = + 8 (- 2) + ( - 4) = - 6

La somma di due numeri discordi è un numero concorde all’addendo che ha maggior valore assoluto e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

(- 5) + ( + 7) = + 2 (+ 4) + (- 11)= - 7

Sommando due numeri opposti si ottiene zero.

(- 10) + (+10) = 0Ma gli opposti

non si annullano? Che storia è che si

attraggono? Che gran confusione!

Differenza

La differenza fra due numeri interi relativi si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo.

(+ 10) - ( + 7) = +10-7=+ 3

(+ 11) - ( - 4) = +11+4= 15

(- 4) - (+ 3) = -4 -3 = - 7

(- 5) - (- 3) = -5 +3= - 2

Il mio tesoruccio da grande capirà

subito la DIFFERENZA tra me e le

altre mamme!

L’addizione algebrica è la successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si dice somma algebrica.

Le parentesi possono essere eliminate trascrivendo il secondo numero con lo stesso segno nell’addizione e con segno opposto nella sottrazione.

(+ 8) + (- 2) = + 8 – 2 = + 6

(+ 12) - (- 7) = + 12 + 7 = + 19

Clarabella dice che la sua casa è più

splendente della mia e che è un vero

gioiello. Secondo me tutto è RELATIVO. Penso che non sia

tutt’oro quello che riluce!

Per l’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e associativa per cui si possono addizionare prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri negativi e quindi addizionare i due numeri relativi ottenuti.

(+ 5) - (+ 4) - (- 2) + (+ 10) + (-3) =

+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10Non vedo l’ora

di “ASSOCIARE” le nostre vite!

Moltiplicazione

Per moltiplicare due numeri relativi si devono moltiplicare i loro valori assoluti, mentre il segno sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i due numeri sono discordi. Il segno di moltiplicazione si può anche omettere.

(+ 7) ∙ (+ 3) = +21

( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 + 7 = + 21

(- 5) ∙ ( + 4) = -20

(- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20

( + 3) ∙ ( - 5) = - 15

( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15

Vorrei tanto poter

“MOLTIPLICARE” le mie vacanze!

Per il prodotto di due numeri relativi è utile anche la regola dei segni.

x + -

+ + -

- - +

+·+ = +

+·- = -

-·+ = -

-·- = +

Tabella dei segni

Aspetto il principe

azzurro! Sarà un SEGNO del

destino …

(+ 6) (+ 3) = +18

( + 7) (+ 5) = +35

(- 15) (+ 4) = -60

(- 5) (+ 4) (+2) = -40

(+ 7) (- 5) (-3) = +105

(- 3) ( - 5) (- 2) ( - 4) = -120

Che gran fatica far capire la

moltiplicazione ai nipotini! Non c’è

peggior sordo di chi non vuol sentire!

DIVISIONE

Per dividere due numeri relativi (con il secondo diverso da 0) si devono dividere i loro valori assoluti. Il segno sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i due numeri sono discordi.(+15) : (+3) = +5 (+16) : (-2) = -8

(-21) : (-7) = +3 (-56) : (+8) = -7

Non sopporto di essere lontana

da Topolino! Non possiamo stare DIVISI

neanche per un minuto!

Non vedevo l’ora di partire!

Per calcolare il quoziente di due numeri relativi si può usare la regola dei segni.

+:+ = +

+:- = -

-:+ = -

-:- = +

Ho sempre sognato di girare il

mondo e non di farlo girare sulla mia mano! Avrei

voluto lasciare un SEGNO del mio

passaggio in ogni paese visitato!

Riassumendo …

Uffa …Ancora non

basta!

Povera me! Non si

smentisce mai!

Sbrigati Paperino! È importante conoscere i

numeri relativi!

Il NUMERO RELATIVO

è formato daparte numerica che

è detta valore assoluto o modulo

segno positivo (+) o negativo (-)

Paperino non sa che,

nonostante tutto, il mio

amore per lui è … ASSOLUTO!

NUMERI RELATIVIConcordi: stesso segnoDiscordi: segno diversoOpposti: discordi con uguale valore assoluto

Su una retta orientata il numero più a destra è più grande.

Il tuo numero è davvero grande!

Certo! Sono il più

grande, perché sto a destra!

POTENZE DI NUMERI RELATIVI

Potenze con

esponente dispari

Potenze con

esponente pariIl risultato è

sempre positivoIl risultato può

essere positivo o negativo

Esponente pari

Sono davvero una POTENZA nel

ballo!

Esponente dispari

Il risultato è positivo se la base

è positiva è negativo se la base è negativa

POTENZE di NUMERI RELATIVI

Le regole matematiche

sono necessarie anche nella

vita quotidiana …

Uffa! Non me ne

importa un bel niente!

Il prodotto di due o più potenze con uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

(-2)3 x (-2)4 = (-2)3+4 = (-2)7

Il quoziente di due potenze con uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

(-4)6 : (-4)5 = (-4)6-5 = (-5)1 = -5

Potenze con uguale base con moltiplicazione e divisione

Minnie ha detto che sono ancora in

tempo per una divisione … Ma che avrà voluto

dire?

Il prodotto di due o più potenze che hanno uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

(-2)3 x (+3)3 = [(-2) x (+3)]3 = =(-6)3

Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

(+6)4 : (-2)4 = [(+6) : (-2)]4 = =(-3)4

Potenze con uguale esponente con moltiplicazione e divisione

Uguale base, uguale esponente, non ci ho capito niente! Chi mi potrebbe aiutare a fare i compiti?

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

[(-2)3 ]2 = (-2)3x2=(-2)6

Potenze di potenze

Spero che sia tanto

grande da comprarmi il diamante per

il nostro fidanzament

o!Caro, qual è la POTENZA del tuo amore per

me?

RADICE DI NUMERI RELATIVI

Indice pari

111212

3814

2646

2 4

La radice con indice pari di un numero negativo non esiste perché moltiplicando tra loro due, quattro, sei, ecc. numeri negativi si ottiene sempre un numero positivo.

Indice dispari283

115

283

115 SE IL RADICANDO È POSITIVO

IL RISULTATO È POSITIVO,

SE IL RADICANDO È NEGATIVO IL RISULTATO È NEGATIVO

Non essere triste, in classe penserò io a

suggerirti la lezione!

Evviva! È finita la presentazione!

Finalmente mi sento felice! Ehi! Tu che sei un

mago, perché non fai SPARIRE TUTTE LE

SCUOLE DEL MONDO?

Spero di non diventare mai come

mio fratello!

Vedo nella mia sfera che fare

sparire le scuole è una

magia impossibile!

Ciao!