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OSCAR CORONADO MATUTTI
INSTABILIDADE DE TAYLOR-COUETTE EM
ESCOAMENTOS DE FLUIDOS VISCOPLASTICOS
Dissertacao apresentada ao Departamento de EngenhariaMecanica da PUC-Rio como parte dos requisitos para aobtencao do tıtulo de Mestre em Engenharia Mecanica.
Orientadores: Prof. Marcio da Silveira Carvalho
Prof. Paulo Roberto de Souza Mendes
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA
PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DO RIO DE JANEIRO
Rio de Janeiro, 25 de julho de 2002.
Todo o mundo sabe compadecer o sofrimento de
um amigo, mas e preciso ter uma alma realmente
bonita para se apreciar o sucesso de um amigo.
Oscar Wilde
AGRADECIMENTOS
Meus agradecimentos
- a minha famılia pelo incentivo, apoio e paciencia durante meus anos de estudo.
- ao professor Marcio da Silveira Carvalho, meu orientador, pela amizade, apoio e
confianca depositada.
- ao professor Paulo Roberto de Souza Mendes, meu orientador, pelo apoio e confianca
depositada.
- a Alberto Coronado, meu irmao, pela ajuda e conselhos.
- a Patrıcia Manoel, pelo apoio e companhia.
- a CAPES e ao governo brasileiro pela oportunidade de desenvolvimento desta tese.
- a todos meus amigos pela confianca.
Instabilidade de Taylor-Couette em Escoamentos de Fluidos Viscoplasticos
Oscar Coronado Matutti
Resumo
A superposicao de um escoamento circular de Couette e um fluxo com gradiente de
pressao axial, atraves de um espaco anular ocorre em muitas aplicacoes praticas, tais
como: reatores quımicos catalıticos, filtros, extratores lıquido-lıquido, mancais e o fluxo
de retorno de lamas de perfuracao entre a coluna de perfuracao rotatoria e a formacao
rochosa na perfuracao de pocos produtores de petroleo e gas. As linhas de corrente curva-
das do fluxo circular de Couette podem causar uma instabilidade centrıfuga que produz
vortices toroidais, conhecidos como vortices de Taylor. A presenca destes vortices muda
as caracterısticas hidrodinamicas e a transferencia de calor no processo. Em consequencia,
e muito importante ser capaz de prever o aparecimento da instabilidade. A maioria das
analises numericas e experimentais disponıveis na literatura sao para fluidos Newtonianos
e viscoelasticos (solucoes polimericas). Neste trabalho, o efeito das propriedades visco-
plasticas de suspensoes de altas concentracoes neste tipo de escoamento e nas condicoes
crıticas para o aparecimento de vortices sao determinadas teoricamente atraves da solucao
das equacoes de conservacao. As equacoes diferenciais foram integradas pelo metodo de
elementos finitos-Galerkin e o sistema de equacoes algebricas nao lineares resultante foi
resolvido pelo metodo de Newton.
Palavra(s) Chave(s): cilindros concentricos, fluido viscoplastico, instabilidade de Tay-
lor, metodo dos elementos finitos, modelo de Carreau-Yasuda.
Taylor-Couette Instability in Viscoplastic Fluid Flow
Oscar Coronado Matutti
Abstract
The superposition of a circular Couette flow and a pressure-driven axial flow in an
annulus occurs in many practical applications, such as catalytic chemical reactors, filtra-
tion devices, liquid-liquid extractors, journal bearings, and the return flow of drilling mud
between the rotating drill string and the stationary wall in oil and gas well drilling. The
curved streamlines of the circular Couette flow can cause a centrifugal instability leading
to toroidal vortices, well known as Taylor vortices. The presence of these vortices changes
the hydrodynamic and heat transfer characteristics of the process. Therefore, it is very
important to be able to predict the onset of instability. Most of the available theoreti-
cal and experimental analyses are for Newtonian and viscoelastic (polymeric solutions)
liquids. In this work, the effect of the viscoplastic properties of high concentration sus-
pensions on the onset of the Taylor vortices are determined theoretically by solving the
conservation equations and searching the critical conditions. The differential equations
were solved by the Galerkin / finite element method and the resulting set of non-linear
algebraic equations, by Newton’s method.
Key-words: concentric cylinders, viscoplastic fluid, Taylor instability, finite element
method, Carreau-Yasuda model
Sumario
Lista de Figuras VII
Lista de Tabelas X
Lista de Sımbolos XI
1 Introducao 1
1.1 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Descricao da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Modelo teorico 10
2.1 Configuracao geometrica e parametros relevantes ao problema . . . . . . . 11
2.1.1 Descricao da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Parametros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Equacoes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Formulacao da Equacao de Conservacao da Quantidade de Movi-
mento e Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Solucao pelo Metodo de Resıduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Resıduo da equacao de conservacao da quantidade de movimento . 17
2.3.2 Resıduo da equacao da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Definicao da malha e graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.4 Funcoes base no sistema de coordenadas local . . . . . . . . . . . . 21
2.3.5 Metodo de Newton, para a solucao do sistema de equacoes nao lineares 23
2.3.6 Montagem do vetor Resıduo elementar Relem e da matriz Jacobiana
elementar Jelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Equacao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
IV
SUMARIO V
2.4.1 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Fluido Newtoniano Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Metodologia para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗ e descricao
da geometria a estudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Diagrama de fase dos estados de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Descricao da tatica usada para achar o numero de Taylor crıtico Ta∗ 32
2.5.3 Geometria estudada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Validacao dos resultados numericos 35
3.1 Validacao para o caso de fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Validacao do perfil da velocidade azimutal Vθ com a sua solucao
analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Validacao do numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de
raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Validacao para o caso de fluidos nao Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Apresentacao dos resultados 40
4.1 Resultados para fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Comparacao do perfil analıtico da velocidade azimutal Vθ com o
perfil numerico entre vortices e no medio de vortices . . . . . . . . . 41
4.1.2 Dependencia do numero de Taylor crıtico Ta∗ com relacao a razao
de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3 Dependencia da velocidade azimutal crıtica V ∗θ com relacao ao raio
interno ri para varias razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Resultados para fluidos nao Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Dependencia da funcao viscosidade η em relacao a taxa de cisa-
lhamento γ, para diferentes ındices de potencia n em um fluido
viscoplastico caracterizado pelo modelo de Carreau-Yasuda . . . . . 45
4.2.2 Influencia dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico
Ta∗ para diferentes razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Influencia dos parametros reologicos e geometricos na obtencao do
numero de Taylor crıtico Ta∗, para diferentes viscosidade a altas
taxas de cisalhamento η∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
SUMARIO VI
4.2.4 Comparacao do numero de Taylor crıtico calculado com a viscosida-
de η0, com o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod calculado
com uma viscosidade caraterıstica ηc . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.5 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η e sobre o
numero de Taylor crıtico Ta∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Evolucao da formacao dos vortices com relacao ao incremento do numero
de Taylor Ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Conclusoes e Recomendacoes 61
5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Lista de Figuras
1.1 Esquema do processo de perfuracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Relacao entre Re e Ta segundo Kaye & Elgar (1957) . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Padrao de fluxo (a) Vortices de Taylor (b) Vortices helicoidais . . . . . . . 7
2.1 Configuracao geometrica para um escoamento de Taylor-Couette . . . . . . 11
2.2 Geometria do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Condicao de parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Numeracao de nos e graus de liberdade para cada elemento bi-quadratico . 20
2.6 Sistema de coordenadas elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Funcao base φ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Funcao base φ9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Chute inicial para os diferentes tecnicas de Continuacao . . . . . . . . . . . 25
2.10 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.11 Modelo de carreau-Yasuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.12 Esquema do diagrama de fase dos estados de fluxos entre dois cilindros
concentricos giratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.13 Procedimento grafico para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗,
considerando a trajetoria de solucao para um fluido Newtoniano com uma
razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 Configuracao geometrica no plano r-z, para um escoamento atraves do
espaco anular formado entre dois cilindros concentricos giratorios . . . . . 34
3.1 Comparacao das solucoes analıticas e numericas do perfil de velocidade
azimutal Vθ, numa posicao z = L/2 = 7.5 cm para uma razao de raio
Π = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
VII
LISTA DE FIGURAS VIII
3.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π. Comparacao
com trabalhos experimentais existentes na literatura . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Comparacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, com resultados existentes
na literatura, considerando um pequeno espaco anular Π = 0.95 e uma
viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s . . . . . . . . 39
4.1 Perfil analıtico e perfil numerico da velocidade azimutal Vθ entre vortices e
no medio de vortices, razao de raio Π = 0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ para fluidos Newtonianos em funcao da razao
de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Velocidade azimutal critica V ∗θ em funcao do raio interno ri, para varias
razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Modelo de Carreau-Yasuda, viscosidade η vs. taxa de cisalhamento γ para
η0 = 0.04 g/cm s, η∞ = 0.001 g/cm s, λ = 0.1 s−1 e a = 2 . . . . . . . . . . 45
4.5 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas de
cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.6. 47
4.6 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas de
cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.8. 48
4.7 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas de
cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.9. 49
4.8 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas de
cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π =
0.95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.9 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentes
ındices de potencia n, η∞ = 0.01 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.10 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentes
ındices de potencia n, η∞ = 0.001 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.11 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentes
ındices de potencia n, η∞ = 0.0001 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.12 Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod
em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.95 . . . . . . . . . . . 54
4.13 Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod
em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.9 . . . . . . . . . . . 55
4.14 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η, Π = 0.95 . . . . 56
LISTA DE FIGURAS IX
4.15 Influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗,
Π = 0.95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.16 Evolucao da formacao dos vortices em estados antes do inıcio da instabili-
dade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . 59
4.17 Evolucao da formacao dos vortices em estados depois do inıcio da instabi-
lidade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . 60
Lista de Tabelas
4.1 Dimensoes e numeros de Taylor crıticos Ta∗ dos diferentes casos estudados 41
4.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ para os diferentes casos estudados . . . . . . 46
X
Lista de Sımbolos
r Componente radial em coordenadas cilındricasθ Componente azimutal em coordenadas cilındricasz Componente axial em coordenadas cilındricasL Comprimento (cm)d Distancia do espaco anular (cm)φi Funcao teste para o campo de velocidadeχi Funcao teste para o campo de pressao
n Indice de potencia do modelo de Carreau-Yasudaa Parametro adimensional do modelo de Carreau-Yasudap Pressaori Raio do cilindro interno (cm)r0 Raio do cilindro externo (cm)γ Taxa de cisalhamento (1/s)γc Taxa de cisalhamento caraterıstica (1/s)ωin Velocidade angular do cilindro interno (rad/s)ωex Velocidade angular do cilindro externo (rad/s)w Velocidade axial media do fluido (cm/s)u = Vr Velocidade na direcao radial (cm/s)v = Vz Velocidade na direcao axial (cm/s)w = Vθ Velocidade na direcao azimutal (cm/s)
Vetores e matrizes
u Campo de velocidadesJ Matriz Jacobiana globalJelem Matriz Jacobiana elementarT Tensor de tensoesS Tensor de tensoes viscosasD Tensor taxa de deformacaog Vetor gravidadeW Vetor funcao peso
XI
LISTA DE SIMBOLOS XII
C Vetor que contem os graus de liberdadeR Vetor resıduo globalRelem Vetor resıduo elementarn e t Vetores unitarios normal e tangencial a uma superfıcie
Propriedades fısicas
ρ Densidade (g/cm3)η Viscosidade absoluta (g/cm s)ν Viscosidade cinematica (cm2/ s)η0 Viscosidade a baixas taxas de cisalhamento (g/cm s)η∞ Viscosidade a altas taxas de cisalhamento (g/cm s)
Numeros adimensionais
Fg Fator de correcao geometricoRe Numero de ReynoldsRe∗ Numero de Reynolds crıticoTa Numero de TaylorTa∗ Numero de Taylor crıticoTamod Numero de Taylor modificadoTa∗mod Numero de Taylor crıtico modificadoTaL Numero de Taylor definido por Lockett et al. [24]∆β Parametro nao Newtoniano definido por Lockett et al. [24]Υ Razao de aspectoΠ Razao de raioµ Razao de velocidade azimutal dos cilindros
Letras gregas
β Coeficiente de deslizamentoτ Componente do tensor de tensoes Tλ Constante do tempo do modelo de Carreau-Yasudaξ, η Coordenadas locaisΩ Dominio do fluidoΓ Lımites do dominio do fluidoκ Numero de onda axialα Numero de onda azimutal
Capıtulo 1
Introducao
O processo de perfuracao de pocos produtores de petroleo apresenta grandes desafios
tecnologicos para a industria de petroleo. Durante este processo, fluido de perfuracao
e bombeado pela parte interna da broca, e retorna atraves do pequeno espaco anular
formado entre a broca e a formacao rochosa do poco. O esquema deste processo e mostrado
na Fig.1.1.
As principais finalidades do fluido de perfuracao sao de arrefecer a broca, carrear o
cascalho proveniente do processo de perfuracao e estabilizar o poco contra o colapso das
paredes da formacao rochosa.
As propriedades fısicas destes fluidos, controladas atraves de suas composicoes, devem
ser projetadas para um desempenho otimo destas funcoes. A densidade deve ser tal que
a pressao hidrostatica desenvolvida seja suficiente para estabilizar o poco. A viscosidade
deve variar com a taxa de deformacao de forma que a mesma seja alta a baixas taxas
de deformacao para garantir um bom carreamento de cascalhos e baixa a altas taxas de
deformacao para diminuir a perda de carga do sistema e consequentemente a potencia de
bombeamento. Este comportamento da viscosidade caracteriza um fluido viscoplastico e
torna a analise do escoamento de lamas de perfuracao mais complexa.
Um importante aspecto no processo de perfuracao e determinar a vazao do fluido de
perfuracao e consequentemente a potencia de bombeamento necessaria. Para determinar
estes parametros e necessario determinar o padrao de escoamento no espaco anular en-
tre a coluna giratoria da broca e o poco. Neste tipo de escoamento pode ocorrer uma
instabilidade hidrodinamica caracterizada pelo aparecimento de vortices toroidais. Esta
instabilidade e conhecida como instabilidade de Taylor-Couette e pode alterar profun-
damente a perda de carga do escoamento, a tensao cisalhante na parede do poco e a
1
Capıtulo 1. Introducao 2
Figura 1.1: Esquema do processo de perfuracao
capacidade de carreamento de cascalho.
Os valores dos parametros em que o escoamento torna-se instavel sao bem conhecidos
no caso de fluidos Newtonianos e espaco anular estreito. Porem, estes valores crıticos sao
alterados devido ao comportamento nao Newtoniano do fluido. No caso do escoamento
de lamas de perfuracao, a influencia das propriedades viscoplasticas na instabilidade deve
ser determinada para um projeto otimo do processo de perfuracao.
A superposicao do fluxo circular de Couette e o fluxo originado por um gradiente de
pressao axial sobre o espaco anular, tem tambem outras aplicacoes na engenharia, tais
como: sistemas de refrigeracao, filtros, extratores lıquido-lıquido, entre outros. O apare-
cimento da instabilidade de Taylor tambem influencia o desempenho destes processos.
Capıtulo 1. Introducao 3
1.1 Revisao Bibliografica
Diversos estudos da instabilidade de Taylor-Couette, principalmente para o caso par-
ticular de fluidos Newtonianos, foram desenvolvidos e apresentados na literatura.
No campo experimental, houve um grande avanco com o desenvolvimento do metodo
Laser Doppler Velocimetry (LDV), que permite medir o campo de velocidades do fluido
com grande precisao. Lueptow et al.[25] observaram ate 12 diferentes tipos de regimes de
escoamento entre dois cilindros girantes.
No campo teorico, o uso de ferramentas como os elementos finitos, o desenvolvimento
dos metodos numericos, aliados ao avanco dos computadores, contribuiram para a solucao
de problemas cada vez mais complexos, sobretudo em tempos cada vez menores e com
melhor precisao.
Nos artigos pioneiros sobre esse assunto, os estudos limitaram-se ao caso de fluidos
Newtonianos (Taylor [38], Diprima [10], Gravas & Martin [19], Andereck et al.[1], entre
outros). Com o passar do tempo, observou-se que a maioria dos fluidos presentes nas
diversas atividades industriais e na vida diaria apresentam um comportamento nao New-
toniano. Este comportamento tem um impacto significativo sobre o aparecimento dos
vortices toroidais.
Situacoes mais complexas como fluxo axial imposto no espaco anular (Diprima [10],
Gravas & Martin [19], Graham [18], entre outros), casos onde nao existe simetria axial
(Ng & Turner [29], Takeuchi & Jankowski [37], Lee [23], entre outros), excentricidade
dos cilindros (Escudier et al.[16], Dris & Shaqfeh [12],[13], Chawda [8], entre outros) e
estados transientes, foram estudados recentemente. Uma revisao cronologica foi feita,
apresentando os principais trabalhos de pesquisa.
Os primeiros trabalhos referentes ao estudo do escoamento atraves de um espaco anular
formado entre cilindros concentricos datam de inıcios do seculo XX. Estes estudos foram
inicialmente realizados para medir a viscosidade da agua. Couette 1 realizou experiencias
onde o cilindro interno foi mantido fixo, enquanto o externo foi rodado. Ele concluiu
que o momento de arrasto que o fluido exerce sobre o cilindro interno e proporcional
a velocidade do cilindro externo, isto ate um certo valor da velocidade. Acima desta
velocidade crıtica, o crescimento do arrasto torna-se nao linear com a velocidade. Esta
mudanca de comportamento foi atribuıda a mudanca de padrao de escoamento entre os
1E mencionado no trabalho de Taylor [38].
Capıtulo 1. Introducao 4
cilindros.
Mallock 2 encontrou os mesmos resultados que Couette, so que em seu estudo, o cilindro
interno foi rodado e o externo mantido fixo. Neste caso, ele encontrou instabilidade para
todas as velocidades do cilindro interno.
Taylor [38] foi o primeiro a realizar estudo tanto teorico como experimental do proble-
ma. Os resultados apresentados estao completamente em desacordo como os resultados
experimentais de Couette & Mallock. Taylor [38] atribuiu estas diferencas a detalhes de
fabricacao das bancadas de testes de Couette & Mallock, que segundo ele, apresentavam
muitas falhas. No caso onde o cilindro interno e mantido fixo e o cilindro externo rodado,
Taylor [38] encontrou que o escoamento azimutal e estavel ate a elevadas velocidades do
cilindro externo. No caso em que o cilindro interno foi rodado e o externo mantido fixo,
o movimento foi estavel somente a baixas velocidades do cilindro interno. Acima de uma
velocidade crıtica, o movimento torna-se instavel, isto e, recirculacoes aparecem e o es-
coamento deixa de ser puramente azimutal. Taylor [38] tambem estudou o caso onde os
dois cilindros foram rodados tanto na mesma direcao como em direcoes opostas.
Diprima [10] foi o primeiro a estudar o problema com fluxo axial atraves da secao
anular. Ele analisou teoricamente a instabilidade do fluido, quando este e submetido a
um gradiente de pressao axial e os cilindros estao rodando na mesma direcao. Segundo
Kaye & Elgar (1957) 3, existem 4 regioes, mostradas na Fig.(1.2), que sao caracterizadas
pelo aparecimento de vortices. O eixo horizontal representa o numero de Taylor Ta
(associado a rotacao dos cilindros) e o eixo vertical representa o numero de Reynolds Re
(associado a velocidade axial do fluido). Diprima [10] analisou o caso para baixos numeros
de Reynolds e espacamentos entre cilindros pequenos, ou seja, ele conseguiu obter so a
parte inferior da linha que divide a zona de escoamento laminar com a zona de escoamento
laminar com vortices mostrado da Fig.1.2.
Chung & Astill [29] foram os primeiros a estudar o problema de estabilidade conside-
rando um disturbio sem simetria axial. Segundo eles a analise precisa de dois numeros de
onda, o usual numero de onda axial κ, que representa a periodicidade axial do disturbio
e o numero de onda azimutal α, que representa a variacao tangencial da perturbacao.
Gravas & Martin [19], estudaram experimentalmente o problema buscando achar o
numero de Taylor crıtico, Ta∗, para o qual os vortices aparecem. Os experimentos foram
2E mencionado no trabalho de Taylor [38].3E mencionado no trabalho de Diprima [10]
Capıtulo 1. Introducao 5
Ta
Re
Escoamento
turbulento
Escoamento
laminar com
vórtices
Escoamento
laminar
Escoamento
turbulento
com vórtices
Figura 1.2: Relacao entre Re e Ta segundo Kaye & Elgar (1957)
feitos considerando razoes de raio Π = ri/r0 = 0.9, 0.81 e 0.58, e numeros de Reynolds
Re que variam entre 86 e 2000. Os resultados que eles obtiveram estao de acordo com as
previsoes numericas presentes na literatura ate aquele momento.
Um estudo numerico e experimental considerando um gradiente de pressao axial e
uma rotacao independente dos cilindros foi realizado por Takeuchi & Jankowski [37]. Eles
assumiram uma perturbacao tridimensional para razoes de rotacao µ 4 de 0, 0.2 e -0.5 e
numero de Reynolds Re > 100. Os resultados numericos para µ ≥ 0 e baixos numeros de
Reynolds estao de acordo com os experimentais, enquanto que os resultados para µ < 0
foram aceitaveis, seguindo a mesma tendencia em ambos casos.
De acordo com Chung & Astill [29], Takeuchi & Jankowski [37] assumiram que o
disturbio tem uma estrutura de vortice toroidal ou uma forma espiral dependendo do
numero de onda azimutal α e o numero de Reynolds Re. O caso α = 0 corresponde ao
caso de vortices toroidais.
Ng & Turner [29], estudaram numericamente a estabilidade de um fluxo espiral entre
cilindros concentricos giratorios, considerando para isto os efeitos de disturbios com si-
metria axial, assim como, os casos sem simetria axial. A perturbacao com simetria axial
ocorre quando nao existe fluxo axial Re = 0. Para o estudo da estabilidade, sobre o fluxo
4µ = ωex/ωin e a relacao entre a velocidade azimutal do cilindro externo ωex e a velocidade azimutaldo cilindro interno ωin
Capıtulo 1. Introducao 6
primario foi superimposta uma perturbacao infinitesimal sem considerar simetria axial,
como e mostrado na eq.(1.1). V e W representam a solucao do escoamento espiral em
regime permanente, κ o numero de onda na direcao z e α (inteiro) o numero de onda na
direcao θ. α = 0 representa o caso de perturbacao com simetria axial. Para resolver o
problema de auto-valor, utilizou-se o metodo de matriz composta.
[ur, uθ, uz] = [0, V,W ] + [u′(r), v′(r), w′(r)]ei(κz+αθ−st) (1.1)
Em pesquisas anteriores a esta, foram somente considerados disturbios com simetria
axial, que sao validos para baixos numeros de Reynolds, Re. Segundo Ng & Turner
[29], para numeros de Reynolds medios e altos, as perturbacoes sem simetria axial sao
predominates. Os estudos de Ng & Turner [29] consideraram o cilindro externo fixo com
uma razao de raio Π = 0.95. O numero de Reynolds foi variado de 0 ate 7700. Os
resultados para baixos numeros de Reynolds, foram comparados com dados de pesquisas
anteriores, enquanto que os resultados para altos numeros de Reynolds, nao puderam ser
comparados.
Andereck et al.[1], encontraram uma grande variedade de regimes de fluxo, que foram
distinguidos pela sua simetria em rotacao e reflexao, seus numeros de onda axial e azimutal
e pela frequencia de rotacao das ondas viajando na direcao azimutal. A transicao entre
os estados foi determinada como funcao dos numeros de Reynolds 5 dos cilindros interno
e externo para uma razao de raio Π = 0.883 e uma razao de aspecto Γ = L/d = 20 ate 48.
Foram encontrados 18 padroes de escoamentos distintos sem fluxo axial. Os resultados
numericos que eles obtiveram nao puderam ser comparados com resultados analıticos, ja
que nao existia bibliografia a respeito.
Dependendo da aceleracao do cilindro interno, podem-se observar varios tipos de ins-
tabilidades. Azuma et al.[2] estudaram tres modos diferentes: o modo primario onde o
cilindro interno e acelerado gradualmente 6, o modo secundario normal onde o cilindro
interno e acelerado bruscamente 7, e o modo secundario anomalo 8. Uma analise 3 − D
5Neste caso particular relacionado com a velocidade de rotacao dos cilindros.6O cilindro interno e acelerado desde o repouso ate uma velocidade equivalente a um numero de
Reynolds Re = 500 num tempo de 20 segundos.7O cilindro interno e acelerado desde o repouso ate uma velocidade equivalente a um numero de
Reynolds Re = 500 num tempo de 3.33 segundos.8O cilindro interno e acelerado com a mesma aceleracao que o modo secundario normal, so que neste
Capıtulo 1. Introducao 7
foi necessaria para detectar os efeitos causados pelo modo secundario. No modo primario
eles observaram a aparicao de 2 vortices, enquanto que, no modo secundario a aparicao
de 4 vortices, que foi atribuıda as bifurcacoes das equacoes de Navier-Stokes.
Quando escoamento axial e imposto, os vortices sao toroidais a baixos numeros de
Reynolds e tornam-se helicoidais a elevados numeros de Reynolds (Fig.1.3). Em todos os
casos, o fluxo axial estabiliza o fluxo circular de Couette, de forma que o aparecimento de
vortices de Taylor ocorre a numeros de Taylor maiores que para um fluxo sem escoamento
axial. Porem a transicao de escoamento laminar a escoamento turbulento e desestabilizada
pelo escoamento circular de Couette, segundo Lueptow et al.[25].
win win
(a) (b)
Figura 1.3: Padrao de fluxo (a) Vortices de Taylor (b) Vortices helicoidais
Lueptow et al.[25] estudaram os diferentes tipos de regimes para um escoamento circu-
lar de Couette com fluxo axial imposto num espaco anular. Para seu estudo consideraram
uma razao de raio Π = 0.848, com o numero de Reynolds variando de 0 ate 37 e o numero
de Taylor variando de 0 ate 2900. Encontraram ate 12 regimes de escoamento diferentes,
que foram representados num mapa de Numero de Taylor vs Numero de Reynolds.
caso o numero de Reynolds final foi Re = 150.
Capıtulo 1. Introducao 8
Como foi mencionado anteriormente, uma das aplicacoes importantes do estudo do
escoamento em espacos anulares e o escoamento de lamas de perfuracao nos processos
de perfuracao de pocos produtores de petroleo. As lamas sao em sua maioria suspensoes
coloidais e possuem um comportamento viscoplastico. O seu comportamento nao Newto-
niano pode ser caracterizado pelo modelo de Herschel-Bulkley ou pelo modelo de Carreau
(Lockett et al.[24]).
Lockett et al.[24] utilizaram o metodo dos elementos finitos para determinar o primeiro
ponto de bifurcacao para fluidos inelasticos. Foram consideradas razoes de raio Π = 0.95
e 0.5, que representam pequenos e grandes espacos anulares respectivamente. Em seu
estudo, nao foi considerado fluxo axial imposto.
A analise numerica da estabilidade de um fluxo espiral entre cilindros concentricos,
para baixos numeros de Reynolds Re e pequenos espacos anulares foi realizada por Lee
[23]. Ele encontrou uma relacao entre o numero de Reynolds crıtico Re∗ e o numero de
Taylor crıtico Ta∗, dada pela eq.(1.2).
Ta∗ ≈ 1715 + 4.5[
(Re∗)2 − 0.037|Re∗|3]
(1.2)
Para |Re∗| ≤ 12
1.2 Descricao da tese
Pretende-se resolver pelo metodo de elementos finitos as equacoes de conservacao da
quantidade de movimento e massa para fluidos incompressıveis, em coordenadas cilındricas
e supondo simetria axial9. O fluido em estudo esta escoando em um espaco anular formado
entre dois cilindros10, onde o cilindro interno esta girando a uma dada velocidade angular
e o externo e mantido fixo. Neste trabalho nao e considerado fluxo axial.
Numa primeira parte, o estudo e feito para fluidos Newtonianos, cujos resultados
sao usados para validar o nosso programa e a metodologia de determinacao do numero de
Taylor crıtico para o aparecimento de vortices toroidais , atraves da comparacao com dados
existentes na literatura para varias razoes de raio Π. No caso de fluidos nao Newtonianos,
9Os campos de velocidade e pressao a resolver nao dependem da coordenada azimutal.10O espaco anular e quantificado pela razao de raio Π = ri/r0, no presente trabalho foram usados
varias razoes de raio que cobrem a maioria das possibilidades desde pequenos a grandes espacos anulares.
Capıtulo 1. Introducao 9
o modelo usado para descrever o comportamento mecanico de um fluido viscoplastico e
o modelo de Carreau-Yasuda. Nao foram encontrados resultados na literatura para este
modelo, mas os resultados obtidos apresentaram uma boa concordancia com os resultados
dos modelos de Bingham e Power law apresentados no trabalho de Lockett et al.[24].
Nosso objetivo e determinar o inıcio da instabilidade de um escoamento azimutal em
um espaco anular, ou seja, as condicoes nas quais comecam a aparecer os vortices de
Taylor. As condicoes crıticas sao determinadas sem a solucao de um problema de auto-
valor, que geralmente apresentam um alto custo computacional.
No Capıtulo 2, definem-se as variaveis e parametros adimensionais relevantes ao pro-
blema, as equacoes governantes com suas respectivas restricoes e condicoes de contorno, e
por ultimo, a metodologia de solucao pelo metodo dos resıduos ponderados (Formulacao
de Galerkin).
Para a solucao do problema, implementam-se no programa Computacional Fluid Dy-
namics (CFD), as equacoes em coordenadas cilındricas para um espaco tridimensional,
assim como o modelo de Carreau-Yasuda para a obtencao da viscosidade no caso de fluidos
nao Newtonianos.
No Capıtulo 3, sao apresentados os testes de validacao do programa e da metodolo-
gia usada, para garantir que os resultados obtidos sao coerentes. Sempre que possıvel,
os resultados obtidos com o programa sao comparados com solucoes analıticas, ou com
resultados numericos e experimentais existentes na literatura.
No Capıtulo 4, sao apresentados os resultados, numa primeira parte para fluidos New-
tonianos e depois para fluidos nao Newtonianos, com suas respectivas discussoes.
No Capıtulo 5, sao apresentados as conclusoes e as sugestoes para trabalhos futuros.
Capıtulo 2
Modelo teorico
Neste capıtulo, apresenta-se a formulacao matematica para descrever o escoamento em
espacos anulares com rotacao do cilindro interno, i.e. as equacoes de conservacao da quan-
tidade de movimento e massa para fluidos incompressıveis, assim como, o procedimento
numerico utilizado para a solucao das mesmas.
Para a solucao do problema, considera-se um espaco tridimensional, no sistema de
coordenadas cilındricas. Tambem assume-se um escoamento com simetria axial, ou seja, as
variaveis serao independentes da direcao azimutal e regime permanente, onde as variaveis
nao mudam com o tempo.
O que se pretende e achar os campos de velocidade e pressao e o padrao do escoamento
para os diferentes parametros geometricos e condicoes de operacao.
O sistema de equacoes diferenciais foi integrado pelo metodo dos elementos finitos.
A solucao numerica do sistema de equacoes algebricas nao lineares resultante da dis-
cretizacao, foi obtida pelo metodo de Newton. A solucao do sistema de equacoes lineares
em cada iteracao do metodo de Newton, foi obtida pelo metodo frontal.
No presente estudo, considerou-se o escoamento de fluidos Newtoniano e nao Newto-
niano. No caso de fluidos nao newtoniano, utilizou-se o modelo de Carreau-Yasuda, que
e o que melhor caracteriza o comportamento reologico das lamas de perfuracao.
Por ultimo, discute-se o diagrama de fase dos estados de fluxo, a tatica usada para
achar o numero de Taylor crıtico Ta∗ e descreve-se a geometria estudada.
10
Capıtulo 2. Modelo teorico 11
2.1 Configuracao geometrica e parametros relevantes
ao problema
O que se pretende no presente trabalho e analisar a estabilidade do escoamento pu-
ramente azimutal entre dois cilindros concentricos giratorios, onde o cilindro interno esta
girando a uma velocidade angular constante ωin e o externo permanece fixo, como e mos-
trado na Fig.2.1. A analise e feita em coordenadas cilındricas e sao apenas considerados
padroes de escoamento com simetria axial, i.e. todas as variaveis sao supostas indepen-
dentes da coordenada azimutal.
r0
ri
v=VZ
w=Vq
u=Vr
r
win
d
L
Figura 2.1: Configuracao geometrica para um escoamento de Taylor-Couette
As variaveis usadas para descrever a geometria e os campos de velocidade em coorde-
nadas cilındricas, mostradas na Fig.2.1, sao as seguintes:
r: Coordenada radial
ri: Raio interno (cm)
r0: Raio externo (cm)
d: Espaco anular (cm)
Capıtulo 2. Modelo teorico 12
L: Comprimento (cm)
ωin: Velocidade angular do cilindro interno ( rad/s)
u = Vr: Velocidade radial (cm/s)
v = Vz: Velocidade axial (cm/s)
w = Vθ: Velocidade azimutal (cm/s)
2.1.1 Descricao da geometria
A geometria sera dividida em 3 regioes, uma central, que vai ser afetada pela velocidade
azimutal do cilindro interno, e as outras duas onde vai-se considerar a velocidade dos
dois cilindros igual a zero. O objetivo das duas regioes (de cima e de baixo) e reduzir
a influencia das condicoes de contorno impostas nas paredes superior e inferior, como
mostrado na Fig.2.2.
A regioes 1 e 3 foram divididas em 8x10 (N o elementos na direcao radial* N o elementos
na direcao axial) elementos. A regiao 2 foi dividida em 8x40 elementos, e e a regiao de
interesse.
2.1.2 Parametros adimensionais
Os parametros adimensionais relevantes ao problema sao:
Razao de raio
Π =rir0
(2.1)
Razao de aspecto
Υ =L
d(2.2)
Numero de Taylor: Relacionado com a velocidade azimutal do fluido
Ta =ρriωind
η(2.3)
onde:
ρ: Densidade do fluido
η: Viscosidade do fluido
Capıtulo 2. Modelo teorico 13
ri
r0
3
2
1
Parede
fixa
Parede
fixa
Parede
móvel
Parede
fixa
Parede
fixa
Parede
fixa
win
d
Figura 2.2: Geometria do problema
2.2 Equacoes governantes
2.2.1 Formulacao da Equacao de Conservacao da Quantidade deMovimento e Massa
Na formulacao do problema, adotaram-se as seguintes hipoteses simplificadoras:
1. Regime permanente.
2. Fluido incompressıvel.
3. Escoamento tridimenisonal, com simetria axial
Capıtulo 2. Modelo teorico 14
As equacoes de conservacao, escritas em sua forma vetorial, sao mostradas nas eqs.(2.4)
e (2.5).
a. Equacao de conservacao da quantidade de movimento
ρu.∇u = ∇.T (2.4)
Onde, T e o tensor de tensoes, u o vetor campo de velocidade e ∇u o gradiente do
vetor campo de velocidade.
b. Equacao da continuidade (Conservacao de massa)
∇.u = 0 (2.5)
2.2.2 Condicoes de contorno
Nos limites do domınio do fluido, pode-se considerar uma condicao de contorno de
parede, onde assume-se que a velocidade do fluido e a mesma que a velocidade dos limites.
A condicao de parede e uma condicao de contorno essencial, que fisicamente, implica as
seguintes condicoes:
- Impermeabilidade
Garante que nao havera fluxo a traves dos limites do domınio.
u.n = U.n sobre Γ (2.6)
- Nao-deslizamento
Garante o nao deslizamento do fluido com relacao aos limites do domınio.
u.t = U.t sobre Γ (2.7)
Capıtulo 2. Modelo teorico 15
nt
u
U
W
G
Figura 2.3: Condicao de parede
Onde:
U : Velocidade da parede.
u : Velocidade do fluido.
Ω : Domınio do fluido.
Γ : Limites do domınio do fluido.
n : Vetor normal a superfıcie.
t : Vetor tangencial a superfıcie.
A Fig.2.4, mostra as condicoes de contorno a serem aplicadas na geometria em estudo.
Como pode-se observar, na maioria das fronteiras dos elementos e considerado a condicao
de parede, exceto nas fronteiras entre elementos.
Tem-se somente um unico lado em movimento, que pertence a regiao 2. Este lado
corresponde a parede do cilindro interno, que esta girando na direcao azimutal a uma
velocidade azimutal w = ωinri.
Nas quinas das regioes existem duas possibilidades para aplicacao da condicao de con-
torno, que correspondem aos lados adjacentes. O numero 1 indica que vai ser considerada
a condicao de contorno do lado, enquanto que, o numero 0 indica que a condicao de
contorno do lado nao vai ser considerada na esquina.
Capıtulo 2. Modelo teorico 16
ri
r0
3
2
1
win
1
1
1
1
1
1 1
1
1
10
0
0000
0
0 0
00
00
0
u=0
v=0
w=0
u=0
v=0
w=0
u=0
v=0
w=0
u=0
v=0
w=0
u=0
v=0
w=0
u=0
v=0
w=win ir
Condição
de contorno
artificial
Condição
de contorno
artificial
Condição
de parede
Condição
de parede
Condição
de parede
Condição
de parede
Condição
de parede
Condição
de parede
Figura 2.4: Condicoes de contorno
Capıtulo 2. Modelo teorico 17
2.3 Solucao pelo Metodo de Resıduos Ponderados
Ometodo dos resıduos ponderados e um metodo geral para obter solucoes aproximadas
de equacoes diferenciais que nao podem ser resolvidas analiticamente.
A solucao desconhecida e expandida como uma combinacao linear de funcoes base. Os
coeficientes da expansao representam as incognitas do problema.
Existem diferentes metodos dentro do metodo dos Resıduos Ponderados, que sao di-
ferenciados pelas funcoes base / peso escolhidas. No metodo de Galerkin, usado neste
trabalho, as funcoes base sao iguais as funcoes peso. Este metodo foi desenvolvido pelo
engenheiro russo Galerkin em 1915 (Gresho, P.M.[20]).
As equacoes diferenciais (2.4) e (2.5) sao integradas pelo metodo dos Resıduos Ponde-
rados / Elementos Finitos. As eqs. (2.8), (2.9), (2.10) e (2.11), representam a expansao
dos campos aproximados:
u =n∑
j=1
(Ujφj) (2.8)
v =n∑
j=1
(Vjφj) (2.9)
w =n∑
j=1
(Wjφj) (2.10)
p =m∑
j=1
(Pjχj) (2.11)
Onde φj e χj, sao as funcoes base e Uj, Vj, Wj e Pj os coeficientes que representam as
incognitas do problema.
2.3.1 Resıduo da equacao de conservacao da quantidade de mo-vimento
O resıduo ponderado associado a equacao de conservacao da quantidade de movimento
e escrito como:
Rm =
∫
∀
ρu.∇u−∇.T− ρg.Wd∀ = 0 (2.12)
W e a funcao peso vetorial.
Capıtulo 2. Modelo teorico 18
O termo ∇.T contem segundas derivadas dos campos de velocidade. Para diminuir
as restricoes nas funcoes base usadas para expandir o campo de velocidade, as segundas
derivadas devem ser eliminadas da formulacao atraves da seguinte igualdade:
T : ∇W = ∇.(T.W)− (∇.T).W (2.13)
Substituindo a eq.(2.13) na eq.(2.12) e usando o teorema de Gauss, chega-se a eq.(2.14),
onde a integral da direita representa as condicoes de contorno.
Rm =
∫
Ω
ρ(u.∇u).W +T : ∇W − ρg.WrdΩ−∫
Γ
(n.T).WrdΓ (2.14)
A forma escalar da eq.(2.14) e apresentada a seguir. A hipotese de simetria axial ja
esta embutida nos termos apresentados.
Vetor velocidade u
u =
vwu
(2.15)
Gradiente do vetor velocidade ∇u
∇u =
∂v
∂z
∂w
∂z
∂u
∂z
0u
r−wr
∂v
∂r
∂w
∂r
∂u
∂r
(2.16)
Tensor de tensoes T
T =
Tzz Tzθ Tzr
Tθz Tθθ Tθr
Trz Trθ Trr
(2.17)
Capıtulo 2. Modelo teorico 19
Para o caso de um fluido Newtoniano generalizado, o tensor de tensoes T, e dado pela
eq.(2.18), onde η e a funcao viscosidade.
T = −pI+ η(∇u+∇Tu) (2.18)
Substituindo as Eqs. (2.15) e (2.16) na Eq.(2.18), o tensor de tensoes T, fica:
T =
−p+ 2η∂v
∂zη∂w
∂zη(∂u
∂z+∂v
∂r)
η∂w
∂z−p+ 2η
u
rη(∂w
∂r− w
r)
η(∂u
∂z+∂v
∂r) η(
∂w
∂r− w
r) −p+ 2η
∂u
∂r
(2.19)
A funcao W pode ser escrita em termos de seus componentes W = [W1,W2,W3],
cada um deles associado a uma direcao. A eq.(2.14) em coordenadas cilındricas, pode ser
decomposta em 3 resıduos correspondentes a cada direcao, mostrados nas eqs.(2.20),(2.21)
e (2.22).
Rimr =
∫
Ω
ρ
(
v∂u
∂z− w2
r+ u
∂u
∂r
)
φi +∂φi∂z
τrz +φirτθθ +
∂φi∂r
τrr − ρgφi
rdΩ
−∫
Γ
frφirdΓ i = 1, ..n (2.20)
Rimθ =
∫
Ω
ρ
(
v∂w
∂z+wu
r+ u
∂w
∂r
)
φi +∂φi∂z
τθz −φirτrθ +
∂φi∂r
τθr
rdΩ
−∫
Γ
fθφirdΓ i = 1, ..n (2.21)
Rimz =
∫
Ω
ρ
(
v∂v
∂z+ u
∂v
∂r
)
φi +∂φi∂z
τzz +φirτzr
rdΩ
−∫
Γ
fzφirdΓ i = 1, ..n (2.22)
Capıtulo 2. Modelo teorico 20
2.3.2 Resıduo da equacao da continuidade
A equacao da continuidade e uma equacao escalar, entao so precisa de uma funcao
peso escalar χ. O resıduo associado a equacao da continuidade e dado pela eq.(2.23).
Rc =
∫
Ω
(∇.u)χirdΩ (2.23)
Que em coordenadas cilındricas fica:
Ric =
∫
Ω
(
u
r+∂u
∂r+∂v
∂z
)
χirdΩ i = 1, ..m (2.24)
2.3.3 Definicao da malha e graus de liberdade
A malha usada e composta por elementos bi-quadraticos de 9 nos; cada no possui 3
graus de liberdade correspondentes aos campos de velocidade, enquanto que o campo de
pressao, com 3 graus de liberdade por elemento, e armazenado em um unico no central,
como mostra a Fig.2.5.
1
8
5 2
6
4 7
9
3
V
w
u
1
1
1
V
w
u
7
7
7
V
w
u
9
9
9
P
P
P
1
2
3V
w
u
8
8
8
V
w
u
5
5
5
V
w
u
2
2
2
V
w
u
6
6
6
V
w
u
3
3
3
V
w
u
4
4
4
Figura 2.5: Numeracao de nos e graus de liberdade para cada elemento bi-quadratico
O numero de graus de liberdade por elemento e igual a 30, dos quais 27 correspondem
ao campo de velocidade e 3 ao campo de pressao.
Capıtulo 2. Modelo teorico 21
2.3.4 Funcoes base no sistema de coordenadas local
Na Fig.2.6, mostra-se o sistema de coordenadas local ξ − η, onde −1 ≤ ξ ≤ 1 e
−1 ≤ η ≤ 1 e cuja origem esta localizada no no 9.
1
8
5 2
6
4 7
9
3
x
h
(1,1)
(1,-1)(-1,-1)
(-1,1)
Figura 2.6: Sistema de coordenadas elementar
As funcoes base para o campo de velocidade correspondentes a um elemento bi-
quadratico de 9 nos, sao mostradas a seguir:
φ1(ξ, η) =ξ(ξ − 1)η(η − 1)
4
φ2(ξ, η) =ξ(ξ + 1)η(η − 1)
4
φ3(ξ, η) =ξ(ξ + 1)η(η + 1)
4
φ4(ξ, η) =ξ(ξ − 1)η(η + 1)
4
φ5(ξ, η) =(1− ξ2)η(η − 1)
2
φ6(ξ, η) =ξ(ξ + 1)(1− η2)
2
φ7(ξ, η) =(1− ξ2)η(η + 1)
2
Capıtulo 2. Modelo teorico 22
φ8(ξ, η) =ξ(ξ − 1)(1− η2)
2
φ9(ξ, η) = (1− ξ2)(1− η2)
As funcoes base sao tais que φi = 1 no no i, e zero nos outros nos, como mostrado nas
Figs. 2.7 e 2.8, que ilustram as funcoes φ2 e φ9 respectivamente. Os coeficientes Uj, Vj e
Wj das eqs.(2.8), (2.9) e (2.10), representam as velocidades u e v em cada no j.
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
0
1
−0.5
0
0.5
1
η
ξ
φ2
Figura 2.7: Funcao base φ2
As funcoes base para o campo de pressao no sistema de coordenadas local mostradas
na Fig.2.5, sao :
χ1(ξ, η) = 1
χ2(ξ, η) = η
χ3(ξ, η) = ξ
Capıtulo 2. Modelo teorico 23
−1−0.5
00.5
1 −1
−0.5
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ηξ
φ9
Figura 2.8: Funcao base φ9
Os coeficientes que representam os graus de liberdade sao definidos como:
P1 = p(ξ = 0, η = 0)
P2 =dp
dη
P3 =dp
dξ
2.3.5 Metodo de Newton, para a solucao do sistema de equacoesnao lineares
Para resolver o sistema de equacoes nao lineares, utilizou-se o metodo de Newton, que
implica resolver em cada iteracao a expressao dada pela eq.(2.25).
J∆C = −R(C) (2.25)
Onde J representa a matriz Jacobiana global, obtida atraves da montagem das matri-
zes Jacobianas elementares Jelem, definidas na eq.(2.27). C e o vetor que contem o valor
das variaveis que representam os graus de liberdade do problema, e R e o vetor resıduo
Capıtulo 2. Modelo teorico 24
global, obtido atraves da montagem dos vetores resıduos elementares Relem, definidos na
eq.(2.26) .
O novo valor de C depois de cada iteracao e achado da expressao C(iter) = C(iter−1) +
∆C. O chute inicial C(0) deve ser escolhido de tal forma que a solucao aproximada nao
esteja muito afastada da solucao exata. O sistema linear de equacoes resultantes de cada
iteracao do metodo de Newton e resolvido usando o metodo frontal.
O metodo de Newton converge quadraticamente quando o resıduo tende a zero. Porem,
o raio de convergencia do metodo de Newton e menor do que o de outros metodos itera-
tivos. Por isto, e necessario usar tecnicas para que o chute inicial esteja o mais proximo
possıvel da solucao. Estas tecnicas sao conhecidas como tecnicas de continuacao.
De acordo com o procedimento escolhido, podem ser de:
• Ordem zero: O chute inicial e tomado da solucao anterior, ou seja, x(0)(αi+1) =
x(αi), onde α e um parametro do problema, que para nosso caso pode representar
o numero de Taylor ou o numero de Reynolds.
• Primeira Ordem: O chute inicial e obtido usando o valor da derivada da solucao
anterior em relacao ao parametro α, com o qual, chega-se a uma melhor aproxi-
macao.
Uma comparacao destes procedimentos de continuacao e ilustrada na Fig.2.9, onde
pode-se ver que a tecnica de continuacao de primeira ordem fornece o chute inicial muito
mais perto da solucao exata que a tecnica de ordem zero.
O erro permitido para cada iteracao do metodo de Newton, que e dado pela soma dos
modulos do vetor resıduo global, |R|, com o modulo do vetor formado pela diferenca das
ultimas duas solucoes, |∆C|, e dado por :
Erro = |R|+ |∆C| ≤ 1.10−6
Capıtulo 2. Modelo teorico 25
Curva de
soluções
Continuação de
primeira ordem
Continuação
de ordem zero
aa1
a0
X(a0)
X(a1)
X
Figura 2.9: Chute inicial para os diferentes tecnicas de Continuacao
2.3.6 Montagem do vetor Resıduo elementar Relem e da matrizJacobiana elementar Jelem
O vetor Resıduo elementar Relem, mostrado na eq.(2.26), contem os resıduos das
equacoes de conservacao da quantidade de movimento e continuidade, dadas pelas eqs.(2.20),
(2.21), (2.22) e (2.24) e tem uma dimensao de 30 ∗ 1.
Relem =
[Rmz]9∗1[Rmθ]9∗1[Rmr]9∗1[Rmc]3∗1
30∗1
(2.26)
A matriz Jacobiana elementar Jelem, vai conter as derivadas dos resıduos associados
as equacoes de conservacao de quantidade de movimento e a equacao de continuidade em
relacao as incognitas do problema. A matriz Jacobiana elementar Jelem, que tem uma
dimensao de 30 ∗ 30, e definida pela eq.(2.27).
Capıtulo 2. Modelo teorico 26
Jelem =
[
∂Rmz
∂Vj
]
9∗9
[
∂Rmz
∂Wj
]
9∗9
[
∂Rmz
∂Uj
]
9∗9
[
∂Rmz
∂Pj
]
9∗3
[
∂Rmθ
∂Vj
]
9∗9
[
∂Rmθ
∂Wj
]
9∗9
[
∂Rmθ
∂Uj
]
9∗9
[
∂Rmθ
∂Pj
]
9∗3
[
∂Rmr
∂Vj
]
9∗9
[
∂Rmr
∂Wj
]
9∗9
[
∂Rmr
∂Uj
]
9∗9
[
∂Rmr
∂Pj
]
9∗3
[
∂Rc
∂Vj
]
3∗9
[
∂Rc
∂Wj
]
3∗9
[
∂Rc
∂Uj
]
3∗9
[
∂Rc
∂Pj
]
3∗3
30∗30
(2.27)
Os elementos das 3 primeiras linhas correspondem as derivadas dos resıduos das
equacoes de conservacao da quantidade de movimento, eqs.(2.20), (2.21) e (2.22). As
expressoes para derivadas em relacao a cada grau de liberdade sao apresentadas a seguir:
Derivadas do resıduo Rmr
∂Rimr
∂Uj=
∫
Ω
ρφi
(
v∂φj∂z
+ φj∂u
∂r+ u
∂φj∂r
)
+∂φi∂z
∂τrz∂Uj
+φir
∂τθθ∂Uj
+∂φi∂r
∂τrr∂Uj
r|J |dΩ
∂Rimr
∂Vj=
∫
Ω
ρφi
(
φj∂u
∂z
)
+∂φi∂z
∂τrz∂Vj
+φir
∂τθθ∂Vj
+∂φi∂r
∂τrr∂Vj
r|J |dΩ
∂Rimr
∂Wj
=
∫
Ω
ρφi
(
−φj2w
r
)
+∂φi∂z
∂τrz∂Wj
+φir
∂τθθ∂Wj
+∂φi∂r
∂τrr∂Wj
r|J |dΩ
∂Rimr
∂Pj=
∫
Ω
∂φi∂z
∂τrz∂Pj
+φir
∂τθθ∂Pj
+∂φi∂r
∂τrr∂Pj
r|J |dΩ
Derivadas do resıduo Rmθ
∂Rimθ
∂Uj=
∫
Ω
ρφi
(
w
rφj + φj
∂w
∂r
)
+∂φi∂z
∂τθz∂Uj− φi
r
∂τrθ∂Uj
+∂φi∂r
∂τθr∂Uj
r|J |dΩ
∂Rimθ
∂Vj=
∫
Ω
ρφi
(
φj∂w
∂z
)
+∂φi∂z
∂τθz∂Vj− φi
r
∂τrθ∂Vj
+∂φi∂r
∂τθr∂Vj
r|J |dΩ
Capıtulo 2. Modelo teorico 27
∂Rimθ
∂Wj
=
∫
Ω
ρφi
(
v∂φj∂z
+ φju
r+ u
∂φj∂r
)
+∂φi∂z
∂τθz∂Wj
− φir
∂τrθ∂Wj
+∂φi∂r
∂τθr∂Wj
r|J |dΩ
∂Rimθ
∂Pj=
∫
Ω
∂φi∂z
∂τθz∂Pj− φi
r
∂τrθ∂Pj
+∂φi∂r
∂τθr∂Pj
r|J |dΩ
Derivadas do resıduo Rmz
∂Rimz
∂Uj=
∫
Ω
ρφi
(
φj∂v
∂r
)
+∂φi∂z
∂τzz∂Uj
− ∂φi∂r
∂τzr∂Uj
r|J |dΩ
∂Rimz
∂Vj=
∫
Ω
ρφi
(
φj∂v
∂z+ v
∂φj∂z
+ u∂φj∂r
)
+∂φi∂z
∂τzz∂Vj
+∂φi∂r
∂τzr∂Vj
r|J |dΩ
∂Rimz
∂Wj
=
∫
Ω
∂φi∂z
∂τzz∂Wj
+∂φi∂r
∂τzr∂Wj
r|J |dΩ
∂Rimz
∂Pj=
∫
Ω
∂φi∂z
∂τzz∂Pj
+∂φi∂r
∂τzr∂Pj
r|J |dΩ
A ultima linha corresponde aos resıduos da equacao da continuidade, definida na
eq.(2.24), que derivada respeito aos graus de liberdade fica:
∂Ric
∂Uj=
∫
Ω
φjr
+∂φj∂r
χir|J |dΩ
∂Ric
∂Vj=
∫
Ω
∂φj∂z
χir|J |dΩ
∂Ric
∂Wj
= 0
∂Ric
∂Pj= 0
Onde Ω e o domınio no sistema de coordenadas local; i.e. dΩ = dξdη e que |J | e o
determinante do Jacobiano da transformacao entre os sistemas de coordenadas global e
local.
Capıtulo 2. Modelo teorico 28
2.4 Equacao Constitutiva
A viscosidade η, apresentada na eq.(2.18) e uma funcao que depende da taxa de cisa-
lhamento. Existem diferentes modelos constitutivos para caracterizar o comportamento
da funcao viscosidade, a escolha depende do fluido de trabalho e do intervalo da taxa de
cisalhamento a qual o fluido vai ser submetido.
2.4.1 Fluido Newtoniano
Neste caso a viscosidade do fluido permanece constante para qualquer taxa de ci-
salhamento, como e mostrado na Fig.2.10. Este comportamento aproximado pode ser
observado em fluidos de pequenas moleculas que estao presentes nossa vida diaria, e tem
uma analise simples. O tensor das tensoes viscosas S e uma funcao linear do tensor taxa
de deformacao 2D, e e dado pela eq.(2.28).
S = η 2D (2.28)
h(g)
h
g
Figura 2.10: Fluido Newtoniano
2.4.2 Fluido Newtoniano Generalizado
Para o caso de fluidos Newtonianos generalizados, o tensor de tensoes viscosas S e
uma funcao nao linear do tensor taxa de deformacao 2D, e e dado pela eq.(2.29).
Capıtulo 2. Modelo teorico 29
S = η(γ)2D (2.29)
Quando a viscosidade decresce com a taxa de cisalhamento γ, e conveniente usar o
modelo de Carreau-Yasuda, cujo comportamento e mostrado na Fig.2.11 e definido na
eq.(2.30). Este modelo representa bem o comportamento de fluidos viscoplasticos. Foi
escolhido para o presente trabalho, ja que o comportamento mecanico do fluido em estudo,
as lamas de perfuracao (solucoes polimericas), pode ser classificados como viscoplasticos.
η − η∞η0 − η∞
= [1 + (λγ)a]n−1
a (2.30)
Onde:
η : Viscosidade do fluido .
η0 : Viscosidade a baixas taxas de cisalhamento .
η∞ : Viscosidade a altas taxas de cisalhamento.
λ : Constante de tempo.
n : Indice de potencia .
a : Parametro adimensional de Carreau.
Como pode-se ver, este modelo tem 5 parametros que vao caracterizar o fluido em
estudo: η0, η∞, λ, n e a . No presente trabalho vai-se estudar a influencia dos parametros
η∞, n e λ sobre a viscosidade e o numero de Taylor crıtico.
A taxa de cisalhamento γ, pode ser calculada da eq.(2.31), Bird et al.[3] (p.170-171).
γ =√2 trD2 (2.31)
Onde D e o tensor taxa de deformacao e trD2 e o traco da matriz D2, que em
coordenadas cilındricas fica :
trD2 =
[
(
∂v
∂z
)2
+(u
r
)2
+
(
∂u
∂r
)2]
+1
2
[
(
∂w
∂z
)2
+
(
∂u
∂z+∂v
∂r
)2
+
(
∂w
∂r− w
r
)2]
Capıtulo 2. Modelo teorico 30
h0
h(g)
g
h¥
Figura 2.11: Modelo de carreau-Yasuda
2.5 Metodologia para a obtencao do numero de Tay-
lor crıtico Ta∗ e descricao da geometria a estudar
A metodologia para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗, assim como a des-
cricao da geometria, que sao apresentadas aqui, e a mesma para o caso Newtoniano, como
para o caso nao Newtoniano.
2.5.1 Diagrama de fase dos estados de fluxo
O diagrama de fase correspondente aos estados de fluxos entre dois cilindros concentricos
giratorios e mostrado na Fig.2.12, onde o escoamento e caracterizado pela norma do campo
de velocidades na direcao axial, ‖Vz‖, e e uma funcao do numero de Taylor Ta.
As linhas contınuas grossas representam a trajetoria da solucao sem considerar os
efeitos de extremidade, i.e. cilindros de comprimento infinito. A linha contınua representa
estados de fluxo estaveis e a linha pontilhada corresponde aos estados de fluxo instaveis. A
linha mais fina representa a trajetoria da solucao considerando os efeitos de extremidade.
As solucoes obtidas neste trabalho devem seguir uma trajetoria semelhante a este ultimo
caso.
Capıtulo 2. Modelo teorico 31
Ta
IIVzII
Trajetória da solução comefeitos de contorno
Ponto de bifurcação
Ta*
Figura 2.12: Esquema do diagrama de fase dos estados de fluxos entre dois cilindrosconcentricos giratorios
Os estados de fluxo com ‖Vz‖ = 0 correspondem aos escoamentos puramente azi-
mutais, e nao apresentam vortices. Para baixos numeros de Taylor, estes estados sao
estaveis. Para numero de Taylor Ta = Ta∗ ocorre uma bifurcacao (inıcio do aparecimen-
to dos vortices). Para numeros de Taylor Ta > Ta∗, o escoamento estavel passa a ser
caracterizado pela presenca de vortices toroidais (‖Vz‖ 6= 0) e o escoamento puramente
azimutal e instavel (linha pontilhada grossa).
Dados experimentais demostram que depois do ponto de bifurcacao, o escoamento ain-
da pode ser considerado como um escoamento laminar com vortices, onde a simetria axial
e mantida. Se continuamos elevando o numero de Taylor, acima do ponto de bifurcacao,
ou seja, para um Ta À Ta∗, chega-se num ponto onde o escoamento deixa de ter uma
estrutura de vortices laminar e passa a ser turbulento, neste caso, o escoamento perde sua
simetria axial e sua analise torna-se mais complicada, nao sendo objeto de estudo neste
Capıtulo 2. Modelo teorico 32
trabalho.
O caso de um escoamento com gradiente de pressao axial imposto, pode ser tratado
como um escoamento com simetria axial, nos casos onde sao considerados baixos numeros
de Reynolds, Re, e pequenos espacos anulares (Π→ 1), como foi assumido na analise de
Diprima [10] e Lee [23].
O procedimento usual para determinar teoricamente o numero de Taylor crıtico para
o aparecimento dos vortices toroidais requer a solucao de um problema de auto-valor. A
solucao deste problema e, na maioria dos casos, complexa e computacionalmente cara.
2.5.2 Descricao da tatica usada para achar o numero de Taylorcrıtico Ta∗
A tatica usada para achar o numero de Taylor crıtico considera a construcao da tra-
jetoria de solucao, caracterizada pela razao entre o somatorio dos valores absolutos das
componentes do campo de velocidade na direcao axial e o somatorio dos valores absolu-
tos das componentes do campo de velocidade na direcao azimutal, ‖Vz‖/‖Vθ‖, em funcao
do numero de Taylor Ta. O campo de velocidades e obtido da solucao das equacoes de
conservacao da quantidade do movimento e continuidade para um escoamento atraves
do espaco anular formado entre dois cilindros concentricos giratorios, considerando para
isso, um escoamento em regime permanente e com simetria axial. O que pretende-se e
encontrar uma curva semelhante a curva com linha fina, mostrada na Fig.2.12.
Na trajetoria de solucao obtida, tracam-se duas retas, uma delas tangente a regiao sem
recirculacao e a outra tangente ao inıcio da regiao com recirculacao. Pela intersecao destas
retas, traca-se uma reta vertical, cuja intersecao com o eixo do numero de Taylor Ta, vai
representar o numero de Taylor crıtico. Este procedimento e mostrado graficamente na
Fig.2.13. Como pode-se observar nesta figura, na regiao sem recirculacao, o valor de
‖Vz‖/‖Vθ‖ nao e zero como deveria, isso e porque a solucao e afetada pelos efeitos de
extremidade, como ja foi mencionado.
O caso particular mostrado na Fig.2.13, representa a trajetoria de solucao considerando
um fluido Newtoniano com uma razao de raio Π = 0.8. Neste caso o numero de Taylor
crıtico obtido graficamente foi Ta∗ = 90. Uma curva similar a esta foi construıda para
cada caso, e o procedimento para achar o numero de Taylor crıtico, foi o mesmo para
todos os casos estudados.
Este procedimento evita a solucao do problema de auto-valor e como sera mostrado,
Capıtulo 2. Modelo teorico 33
obtem o numero de Taylor crıtico com boa precisao.
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Número de Taylor (Ta)
IIV
zII
/IIV
qII Ta*= 90
Figura 2.13: Procedimento grafico para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗,considerando a trajetoria de solucao para um fluido Newtoniano com uma razao de raioΠ = 0.8
2.5.3 Geometria estudada
A geometria a estudar no plano r-z e mostrado na Fig.2.14. Pelo fato de se tratar
de um escoamento com simetria axial, a solucao nao depende da componente na direcao
azimutal, ou seja, do angulo θ. A linha correspondente a ri, representa a parede do cilindro
interno, enquanto que, a linha correspondente a r0, representa a parede do cilindro externo.
Com o objetivo de reduzir a influencia das condicoes de contorno impostas nos limites
superior e inferior da geometria em estudo, esta foi dividida em tres regioes. A regiao
central (2), com um comprimento L, que e a regiao de interesse, onde a parede interna
esta girando a uma velocidade angular ωin. Nas regioes (1) e (3), cada uma de elas com
um comprimento L/4, a parede interna e mantida fixa.
Capıtulo 2. Modelo teorico 34
L/4
L
L/4
d
ri
r0
rz
3
2
1
Figura 2.14: Configuracao geometrica no plano r-z, para um escoamento atraves do espacoanular formado entre dois cilindros concentricos giratorios
Capıtulo 3
Validacao dos resultados numericos
No capıtulo anterior, mostraram-se os conceitos basicos para a obtencao da solucao
de um escoamento atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros concentricos,
onde o interno esta girando a uma velocidade angular arbitraria. Analisou-se o inıcio da
instabilidade do escoamento puramente azimutal sem considerar fluxo axial. Este tipo de
instabilidade e conhecido como instabilidade de Taylor-Couette, que manifesta-se com a
aparicao de vortices toroidais. Foram estudados os casos para fluidos Newtonianos, e nao
Newtonianos (viscoplastico).
O presente trabalho obtem resultados numericos dos campos de velocidade e pressao,
obtidos pelo programaComputational Fluid Dynamics (CFD), que foi implementado
para o estudo do presente problema. Muitas vezes para ter certeza de que a implementacao
foi feita sem erros, e preciso validar o programa comparando suas previsoes com solucoes
analıticas ou resultados existentes na literatura, toda vez que possıvel.
E isso o que se pretende no presente capıtulo. Para o caso de fluidos Newtonianos,
os resultados obtidos apresentam uma excelente aproximacao com dados experimentais
existentes na literatura. No caso de fluidos nao Newtonianos, nao existe bibliografia rela-
cionada ao modelo de Carreau-Yasuda estudado no presente trabalho, mas os resultados
foram comparados com outros modelos. Novamente, os resultados obtidos aqui reprodu-
zem casos apresentados na literatura.
35
Capıtulo 3. Validacao dos resultados numericos 36
3.1 Validacao para o caso de fluidos Newtonianos
A literatura, no caso particular de fluidos Newtonianos, apresenta varios trabalhos
teoricos e experimentais.
3.1.1 Validacao do perfil da velocidade azimutal Vθ com a suasolucao analıtica
No caso de um escoamento atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros
concentricos que estao girando a uma dada velocidade angular, o perfil da velocidade
azimutal Vθ analıtico, sem a presenca de vortices, e dado pela eq.(3.1). Para chegar a
eq.(3.1), tem-se que resolver a equacao de Navier-Stokes na direccao azimutal θ, consi-
derando fluxo estavel com simetria axial, e as condicoes de contorno Vθ(r1) = ωinri e
Vθ(r0) = 0 (Lee [23]).
Vθ = Ar +B
r(3.1)
Nesta equacao, A e B sao constantes que dependem dos raios e das velocidades an-
gulares dos cilindros interno e externo. Em nosso caso em particular, o cilindro externo
permanece fixo, quer dizer, sua velocidade angular e igual a zero. Entao as constantes
ficam:
A =r2i ωinr2i − r20
B =r2iωin
1− r2i /r20
Na Fig.3.1, mostra-se o perfil analıtico da velocidade azimutal Vθ, e os resultados
numericos obtidos no presente trabalho. Como pode-se observar os resultados estao em
completa concordancia, apresentando uma excelente aproximacao.
Para os resultados apresentados na Fig.3.1, foi considerada uma razao de raios Π = 0.8,
com um raio interno ri = 6 cm. Os resultados numericos correspondem a uma posicao
z = L/2 = 7.5 cm e uma velocidade azimutal do cilindro interno Vθ = 1.6 cm/s. O
numero de Taylor para estas condicoes e Ta = 60, que esta abaixo do numero de Taylor
crıtico Ta∗ = 90 para esta razao de raio, isto para garantir o escoamento azimutal, sem
vortices, na comparacao das duas solucoes.
Capıtulo 3. Validacao dos resultados numericos 37
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(r-ri) /(r0-ri)
vq
/w
inr i
Numérico
Analítico
winri
vq
r
Figura 3.1: Comparacao das solucoes analıticas e numericas do perfil de velocidade azi-mutal Vθ, numa posicao z = L/2 = 7.5 cm para uma razao de raio Π = 0.8
3.1.2 Validacao do numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao darazao de raio Π
No caso Newtoniano, os resultados numericos para a obtencao do numero de Taylor
crıtico Ta∗ para diferentes razoes de raio Π, foram comparados com resultados expe-
rimentais obtidos por diferentes investigadores e que sao apresentados no trabalho de
Lueptow et al. [25]. Na Fig.3.2, mostram-se estes resultados, podendo-se observar uma
boa aproximacao dos resultados em comparacao.
3.2 Validacao para o caso de fluidos nao Newtonianos
Como foi mencionado anteriormente, nao existe bibliografia relacionada ao modelo
de Carreau-Yasuda, mas os resultados obtidos no presente trabalho foram validados com
outros modelos apresentados no trabalho de Lockett et al. [24].
Somente com o objetivo de validar nossos resultados, vamos definir alguns parametros
Capıtulo 3. Validacao dos resultados numericos 38
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Razão de raio (P)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
Presente trabalho
Dados experimentaisapresentados na literatura
Figura 3.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π. Comparacaocom trabalhos experimentais existentes na literatura
que sao apresentados no trabalho de Lockett et al. [24], assim como, dar outra definicao
ao numero de Taylor.
O parametro ∆β, que e usado para comparar os resultados e definido pela eq.(3.2). O
valor no caso do modelo de Carreau-Yasuda, e dado na eq.(3.3). Cabe notar que no caso
de fluidos viscoplasticos este valor e negativo. O caso para ∆β = 0, corresponde a fluidos
Newtonianos.
∆β =d ln η(γ)
d ln γ(3.2)
d ln ηCYd ln γ
=e[ln γ+lnλ] a
e[ln γ+lnλ] a + 1(n− 1) (3.3)
Tambem precisamos definir um novo numero de Taylor TaL, definido na eq.(3.4),
sempre lembrando que este so vai ser usado nesta parte de validacao. Por ultimo, definimos
o fator de correcao geometrico Fg que e mostrado na eq.(3.5).
Capıtulo 3. Validacao dos resultados numericos 39
TaL =ρ2ω2inrid
3
η2(3.4)
Fg =2Π
(1 + Π)[
1− 1.5 (1−Π)(1+Π)
] (3.5)
A validacao foi feita para um pequeno espaco anular Π = 0.95, entao o fator de correcao
geometrico ficou Fg = 1.0133. Para a validacao do presente trabalho foi considerado
constante a viscosidade para altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s (10−4Pa s).
Como pode-se observar na Fig.3.3, os resultados do presente trabalho, dentro do inter-
valo ∆β = 0 → −0.4 estudado, estao de acordo com os resultados de Tanner (Primeiro
ordem) e Lockett (Fluido de Bingham e Power law), apresentados no trabalho de Lockett
et al. [24].
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
Parâmetro não Newtoniano (Db)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*L).
Fg
Presente trabalho
Tanner
Lockett (Fluido de Bingham)
Lockett ( Power law)
Figura 3.3: Comparacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, com resultados existentes naliteratura, considerando um pequeno espaco anular Π = 0.95 e uma viscosidade a altastaxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s
Capıtulo 4
Apresentacao dos resultados
Como ja foi mencionado anteriormente, os resultados aqui apresentados, correspondem
ao estudo numerico do escoamento entre dois cilindros concentricos, onde o cilindro interno
esta girando com uma velocidade angular ωin, e o cilindro externo e mantido fixo. Para
o estudo, considerou-se regime permanente com simetria axial e condicoes de contorno
descritas no capıtulo 2.
Este capıtulo apresenta os resultados para fluidos Newtonianos e nao Newtonianos,
e por ultimo, mostra-se a evolucao da formacao dos vortices a medida que o numero de
Taylor Ta aumenta.
Os resultados, aqui apresentados, foram obtidos pelo programaComputational Fluid
Dynamics (CFD), que foi mencionado no capıtulo 1, e estao em completa concordancia
com os resultados analıticos, assim como numericos e experimentais existentes na litera-
tura, como foi mostrado no capıtulo 3.
40
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 41
4.1 Resultados para fluidos Newtonianos
Uma viscosidade cinematica ν = 0.04 cm2/s, foi considerada para o estudo do escoa-
mento de um fluido Newtoniano pelo espaco anular formado entre dois cilindros concentricos
giratorios.
Foram estudadas 17 geometrias diferentes, cujas principais dimensoes e numeros de
Taylor crıticos Ta∗, sao mostradas na Tabela 4.1. Para todos os casos foi considerada
uma razao de aspecto Γ = L/d = 10.
Tabela 4.1: Dimensoes e numeros de Taylor crıticos Ta∗ dos diferentes casos estudadosΠ ri (cm) r0 − ri = d (cm) L (cm) Taylor crıtico (Ta∗)
Caso 1 0.4 4 6.000 60.000 65.0Caso 2 0.4 6 9.000 90.000 65.0Caso 3 0.4 8 12.000 120.000 65.0Caso 4 0.4 10 15.000 150.000 64.8
Caso 5 0.6 4 2.667 26.667 67.5Caso 6 0.6 6 4.000 40.000 67.6Caso 7 0.6 8 5.333 53.333 67.5Caso 8 0.6 10 6.667 66.667 67.5
Caso 9 0.8 4 1.000 10.000 90.0Caso 10 0.8 6 1.500 15.000 90.0Caso 11 0.8 8 2.000 20.000 90.0Caso 12 0.8 10 2.500 25.000 90.0
Caso 13 0.9 4 0.444 4.444 125.0Caso 14 0.9 6 0.667 6.667 125.0Caso 15 0.9 8 0.889 8.889 125.0Caso 16 0.9 10 1.111 11.111 124.8.0
Caso 17 0.95 6 0.316 3.158 177.0
Uma primeira conclusao importante que pode-se observar na Tabela 4.1, e que para
uma mesma razao de raio Π, o numero de Taylor crıtico Ta∗, nao depende do raio interno
ri, isso e valido tanto para pequenos como para grandes espacos anulares.
4.1.1 Comparacao do perfil analıtico da velocidade azimutal Vθcom o perfil numerico entre vortices e no medio de vortices
Uma comparacao do perfil da velocidade azimutal analıtica (sem a presenca de vortices),
definida na eq.(3.1), com o perfil numerico entre vortices e no meio dos vortices, para uma
razao de raio Π = 0.6 e um numero de Taylor Ta = 80.1 (maior que o numero de Taylor
crıtico para esta geometria apresentada na Tabela 4.1), e mostrada na Fig.4.1.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 42
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
(r-ri) /(r0-ri)
vq/
winr i
1
2
Sem vortices
1
2
Ta=80.1
P=0.6
ri=4 cm
Figura 4.1: Perfil analıtico e perfil numerico da velocidade azimutal Vθ entre vortices e nomedio de vortices, razao de raio Π = 0.6
Como pode-se observar na Fig.4.1, a derivada do perfil da velocidade azimutal consi-
derando a presenca de vortices, e maior que a do perfil sem considerar o aparecimento dos
vortices. Consequentemente, a tensao cisalhante da direcao azimutal e maior quando os
vortices estao presentes. Este aumento implica em um incremento na potencia necessaria
para fazer girar o cilindro interno. O perfil da velocidade azimutal Vθ entre vortices, foi
mais afetado que o perfil da velocidade azimutal Vθ no meio do vortice.
4.1.2 Dependencia do numero de Taylor crıtico Ta∗ com relacaoa razao de raio Π
Dos resultados mostrados na Fig.4.2, pode-se observar que o numero de Taylor crıtico,
Ta∗, aumenta com o aumento da razao de raio Π. Grandes espacos anulares levam
a numero de Taylor crıtico pequenos, e para espacos anulares pequenos, correspondem
numero de Taylor crıtico grandes. Tambem pode-se observar que para razoes de raio
Π < 0.6, ocorre uma pequena variacao no numero de Taylor crıtico, e Ta∗ → 65 quando
Π→ 0.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 43
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Razão de raio (P)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
Figura 4.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ para fluidos Newtonianos em funcao da razaode raio Π
4.1.3 Dependencia da velocidade azimutal crıtica V ∗θ com re-
lacao ao raio interno ri para varias razoes de raio Π
A velocidade crıtica para o inıcio da instabilidade, quer dizer para o aparecimento
dos vortices toroidais, aumenta a medida que o espaco anular entre os cilindros diminui
(Π→ 1).
Tambem pode-se observar que para uma mesma razao de raio Π, a velocidade azimutal
crıtica V ∗θ do cilindro interno decresce com o aumento do raio interno ri. Os comporta-
mentos descritos anteriormente podem ser facilmente deduzidos da definicao do numero
de Ta = Vθd/ν, e sao mostrados na Fig.4.3.
4.2 Resultados para fluidos nao Newtonianos
Uma coisa que nao e muitas vezes considerada nos calculos de engenharia e o compor-
tamento nao Newtoniano dos fluidos, ja que isto pode significar um importante aumento
na complexidade do tratamento do problema em estudo, e que em alguns casos nao sao
justificados.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 44
rr: Razão de raio
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Raio interno ri (cm)
Ve
loc
ida
de
azim
uta
lc
riti
ca
Vq(c
m/s
) P=0.4
P=0.6
P=0.8
P=0.9
Figura 4.3: Velocidade azimutal critica V ∗θ em funcao do raio interno ri, para varias razoes
de raio Π
Em nosso caso particular, que e o estudo da instabilidade de lamas de perfuracao
atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros concentricos, este comporta-
mento pode ser muito importante dependendo das taxas de cisalhamento γ a que esta
submetida o fluido. As lamas de perfuracao podem ser consideradas como fluidos vis-
coplasticos. O modelo de Carreau-Yasuda definido na eq.(2.30), foi o escolhido para
representar o comportamento mecanico do fluido.
Os casos estudados neste trabalho, consideraram como constantes a viscosidade a
baixas taxas de cisalhamento η0 = 0.04 g/cm s (0.004 Pa s), a constante de tempo λ =
0.1 s−1 e o parametro adimensional a = 2. A viscosidade a altas taxas de cisalhamento
η∞ e o ındice de potencia n, foram variados nos diferentes casos analisados.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 45
O procedimento usado para calcular o numero de Taylor crıtico Ta∗, foi o mesmo que
para o caso Newtoniano, mostrado na Fig.2.13.
4.2.1 Dependencia da funcao viscosidade η em relacao a taxade cisalhamento γ, para diferentes ındices de potencia n
em um fluido viscoplastico caracterizado pelo modelo deCarreau-Yasuda
Como ja e conhecido, no caso de fluidos viscoplasticos, a viscosidade decresce com o
aumento da taxa de cisalhamento γ. A Fig.4.4, mostra o comportamento de um fluido nao
Newtoniano caracterizado pelo modelo de Carreau-Yasuda, onde foi mantida constante a
viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s, alem dos parametros que ja
foram definidos anteriormente como constantes.
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.1 1 10 100 1000 10000 100000
Taxa de cisalhamento, g (1/s)
Vis
co
sid
ad
e,
h(g
r/
cm
2s
)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Figura 4.4: Modelo de Carreau-Yasuda, viscosidade η vs. taxa de cisalhamento γ paraη0 = 0.04 g/cm s, η∞ = 0.001 g/cm s, λ = 0.1 s−1 e a = 2
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 46
Na Fig.4.4, pode-se observar que a viscosidade η tem um comportamento Newtoniano
ate uma taxa de cisalhamento γ ≈ 2 s−1, a partir da qual comeca a decrescer de acordo
ao ındice de potencia n. Quando o ındice de potencia n → 1, a viscosidade tende a
ter um comportamento Newtoniano, enquanto que, se diminuımos o ındice de potencia,
aumentamos o comportamento nao Newtoniano do fluido.
4.2.2 Influencia dos parametros reologicos sobre o numero deTaylor crıtico Ta∗ para diferentes razoes de raio Π
Para o caso de fluidos nao Newtonianos, os diferentes casos estudados para a obtencao
do numero de Taylor crıtico Ta∗, sao mostrados na Tabela 4.2, onde foram variadas os
parametros reologicos, correspondentes ao modelo de Carreau-Yasuda, para razoes de raio
Π = 0.95 , 0.9 , 0.8 , 0.6 , e 0.4.
Tabela 4.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ para os diferentes casos estudadoscaso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9
η0 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04η∞ 0.01 0.01 0.01 0.001 0.001 0.001 0.0001 0.0001 0.0001λ 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1n 0.9 0.8 0.6 0.9 0.8 0.6 0.9 0.8 0.6a 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ta∗, Π = 0.4 65 65 65 65 65 65 65 65 65Ta∗, Π = 0.6 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5Ta∗, Π = 0.8 89.8 89.7 89.5 89.6 89.4 88.8 89.6 89.4 88.8Ta∗, Π = 0.9 119.5 115.0 108.2 118.2 113.1 104.8 117.0 112.4 103.6Ta∗, Π = 0.95 150.5 132.8 108.5 144.0 123.0 93.5 143.0 120.5 91.0
Na Fig.4.5, pode-se observar que o numero de Taylor crıtico Ta∗, para uma razao de
raio Π = 0.6, coincide praticamente com o numero de Taylor crıtico Ta∗ para o caso
de um fluido Newtoniano. O mesmo acontece para uma razao de raio Π = 0.4. Isto
deve-se ao fato que a taxa de cisalhamento caraterıstica γc = ωinri/d, em ambos casos
e muito baixa. Para o caso de Π = 0.4, a taxa de cisalhamento caraterıstica varia entre
γc = 0.012 → 0.072, enquanto que para Π = 0.6, a taxa de cisalhamento caraterıstica
varia entre γc = 0.061 → 0.379. Estes valores estao muito abaixo da taxa de cisalhamento
na qual o fluido comeca a ter um comportamento nao Newtoniano, que e mostrado na
Fig.4.4, ou seja, os escoamentos com baixas razoes de raio razoes Π, tendem a ter um
comportamento quase Newtoniano.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 47
66.0
66.2
66.4
66.6
66.8
67.0
67.2
67.4
67.6
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1
Visc. a elevadas taxas de cisalhamento (h¥)
Nú
mero
de
Taylo
rcrí
tico
(Ta*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newt
Figura 4.5: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas decisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.6.
Na Fig.4.6, para uma razao de raio Π = 0.8, pode-se observar o aparecimento da
influencia das propriedades viscoplasticas do fluido sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.
Neste caso a taxa de cisalhamento caraterıstica varia de γc = 0.576 → 3.601, o qual,
comeca a ter estados depois do inıcio da queda da viscosidade correspondente a uma taxa
de cisalhamento γ ≈ 2 s−1, como e mostrado na Fig.4.4. Neste caso a influencia ainda
e pequena, a maxima variacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, em comparacao ao caso
Newtoniano e de 1.3%, que corresponde ao caso com ındice de potencia n = 0.6. Tambem
pode-se observar que para o mesmo ındice de potencia n, o numero de Taylor crıtico Ta∗
decresce, quando decresce a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞, como esperado.
A influencia deste parametro sera estuda com mais detalhe depois.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 48
88.0
88.5
89.0
89.5
90.0
90.5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Visc. a elevadas taxas de cisalhamento (h¥)
Nú
mero
de
Taylo
rcrí
tico
(Ta*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newt
Figura 4.6: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas decisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.8.
Na Fig.4.7, para uma razao de raio Π = 0.9, pode-se ver que ja existe uma influencia
consideravel dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico. A taxa de
cisalhamento caraterıstica varia de γc ≈ 4.043 → 25.312, que correspondem a pontos
acima do inıcio da queda da viscosidade. Isto faz que exista uma diferenca maxima
entre o numero de Taylor crıtico do caso viscoplastico comparado ao caso Newtoniano de
aproximadamente 17.2%.
O ultimo caso estudado corresponde a uma razao de raio Π = 0.95, que e mostrado
na Fig.4.8. Neste caso a taxa de cisalhamento caraterıstica e de γc ≈ 71 s−1. A influencia
dos parametros reologicos e maior nesta situacao. Pode-se encontrar uma diferenca entre
o numero de Taylor crıtico do caso viscoplastico, comparado ao caso Newtoniano de ate
51.4%.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 49
100
105
110
115
120
125
130
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Visc. a elevadas taxas de cisalhamento (h¥)
Nú
mero
de
Taylo
rcrí
tico
(Ta*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newt
Figura 4.7: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas decisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.9.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 50
80
100
120
140
160
180
200
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Visc. a elevadas taxas de cisalhamento (h¥)
Nú
mero
de
Taylo
rcrí
tico
(Ta*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newt
Figura 4.8: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas decisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.95.
4.2.3 Influencia dos parametros reologicos e geometricos na ob-tencao do numero de Taylor crıtico Ta∗, para diferentesviscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞
Como ja foi analisado anteriormente, a taxa de cisalhamento γ para baixas razoes de
raio Π sao muito pequenas. Nestes casos o fluido se comporta aproximadamente como um
fluido Newtoniano. O numero de Taylor crıtico, em funcao da razao de raio Π, mantendo-
se constante a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞, sao mostradas nas Figs. 4.9,
4.10 e 4.11.
Para grandes espacos anulares, ou seja, para razoes de raio Π < 0.8, o comportamento
viscoplastico do fluido nao afeta o numero de Taylor crıtico, que neste caso coincide
exatamente com o caso Newtoniano. A medida que a razao de raio aumenta (Π > 0.8),
quer dizer, diminuindo o espaco anular, o numero de Taylor crıtico comeca a ficar cada
vez menor que o caso Newtoniano. Isto porque, nestas geometrias, a taxa de cisalhamento
γ tem uma maior influencia sobre a viscosidade que comeca a decrescer.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 51
Outra coisa que pode-se notar e que para baixos ındices de potencia n = 0.6, o numero
de Taylor crıtico Ta∗ tem um comportamento ascendente com relacao a razao de raio Π,
isso ate Π = 0.9, a partir da qual comeca a decrescer. A explicacao pode-se encontrar
na Fig.4.4, onde como pode-se ver, para um ındice de potencia n = 0.6, a viscosidade
decresce em uma razao maior que nos outros casos, isto faz que o numero de Taylor crıtico
decresca na mesma proporcao que a viscosidade.
A queda do numero de Taylor crıtico, comparado ao caso Newtoniano e mais acen-
tuada, quanto menor e a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞. Para η∞ =
0.01 g/cm s, tem-se uma queda de 39%, enquanto que, para η∞ = 0.0001 g/cm s, tem-se
uma queda de ate 49%.
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Razão de raio (P)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newtoniano
Figura 4.9: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentesındices de potencia n, η∞ = 0.01 g/cm s
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 52
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Razão de raio (P)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newtoniano
Figura 4.10: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentesındices de potencia n, η∞ = 0.001 g/cm s
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Razão de raio (P)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
n=0.9
n=0.8
n=0.6
Newtoniano
Figura 4.11: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentesındices de potencia n, η∞ = 0.0001 g/cm s
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 53
4.2.4 Comparacao do numero de Taylor crıtico calculado com aviscosidade η0, com o numero de Taylor crıtico modificadoTa∗mod calculado com uma viscosidade caraterıstica ηc
No caso de fluidos nao Newtonianos, dependendo da geometria e dos parametros re-
ologicos, a viscosidade usada para calcular o numero de Taylor, pode depender fortemente
da taxa de cisalhamento γ. Ate agora, para o calculo do numero de Taylor foi usada a
viscosidade a baixas taxas de cisalhamento η0, o qual, nem sempre e o mais apropriado.
Em alguns casos e preciso definir uma viscosidade caraterıstica ηc = ηc(γc), que e funcao
da taxa de cisalhamento caraterıstica γc, e que para o caso de dois cilindros concentricos,
onde o cilindro interno esta girando a uma velocidade angular constante ωin, pode ser
definido pela eq.(4.1).
γc =ωinrid
(4.1)
Para o calculo da viscosidade caraterıstica, utilizou-se o modelo de Carreau-Yasuda,
que foi definido na eq.(2.30). Entao o novo numero de Taylor modificado Tamod foi
calculado pela eq.(4.2).
Tamod ≡ρωinrid
ηc(γc)(4.2)
A influencia da viscosidade caraterıstica ηc, sobre o numero de Taylor, pode ser ob-
servada nas Figs. 4.12 e 4.13, que apresentam a influencia do ındice de potencia n sobre
o numero de Taylor crıtico Ta∗ e o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod. Para o
caso com n = 1, i.e, fluido Newtoniano, Ta∗ = Ta∗mod. As figuras tambem apresentam o
efeito da viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞.
Os casos correspondentes a pequenos espacos anulares sao os que apresentam maiores
taxas de cisalhamento γ, e a influencia da viscosidade caraterıstica ηc sobre o numero
de Taylor e maior que nos casos para grandes espacos anulares onde γ e pequeno. A
influencia da taxas de cisalhamento γ sobre a viscosidade, foi mostrado na Fig.4.4.
Na Fig.4.12, mostra-se o caso para uma razao de raio Π = 0.95. O numero de Taylor
crıtico modificado Ta∗mod apresenta uma diferenca comparado ao Newtoniano de ate 12%,
enquanto que, o Ta∗ apresenta uma diferenca de ate 50%.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 54
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Índice de potência (n)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
* )
h¥=0.01
h¥=0.001
h¥=0.0001
Ta*mod
Ta*
Newtoniano
Figura 4.12: Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod
em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.95
Na Fig.4.13, para uma razao de raio Π = 0.9, podem-se observar as mesmas tendencias
que o caso anterior, so que agora as diferencas com relacao ao caso Newtoniano sao
menores. No caso do Ta∗mod a diferenca em relacao ao caso Newtoniano e de ate 6.5%,
enquanto que, o Ta∗ apresenta uma diferenca de ate 17%. Conforme vai-se diminuindo a
razao de raio Π, esta diferenca fica cada vez menor, isto porque a taxa de cisalhamento γ
fica muito pequena, e o fluido comeca a se comportar como um fluido Newtoniano.
4.2.5 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η
e sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗
O efeito da constante de tempo do fluido λ foi estudado, para uma razao de raio
Π = 0.95, mantendo-se constante o ındice de potencia n = 0.8, a viscosidade a baixas
taxas de cisalhamento η0 = 0.04 g/cm s, a viscosidade a altas taxas de cisalhamento
η∞ = 0.0001 g/cm s e o parametro adimensional a = 2.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 55
100
105
110
115
120
125
130
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Índice de potência (n)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
h¥=0.01
h¥=0.001
h¥=0.0001
Ta*mod
NewtonianoTa*
Figura 4.13: Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod
em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.9
Como pode-se observar na Fig.4.14, a queda da viscosidade η para os maiores valores
da constante de tempo λ, ocorre a taxas de cisalhamento menores, λ = 0 corresponde ao
caso de fluido Newtoniano.
Na Fig.4.15, mostra-se a influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor
crıtico Ta∗ e o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod. Foram estudados os casos para
λ = 0.015, 0.05, 0.1 e 0.2. Para os maiores valores da constante de tempo λ, correspondem
menores valores do numero de Taylor crıtico. Isto deve-se ao fato da queda da viscosidade
neste caso ocorrer em menores taxas de cisalhamento. Quando a constante de tempo
λ → 0, a queda da viscosidade ocorre a elevadas taxas de cisalhamento γ → ∞, ate
atingir o caso Newtoniano, onde a viscosidade permanece constante.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 56
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Taxa de cisalhamento, g (1/s)
Vis
co
sid
ad
e,
h(g
r/
cm
2s
)
l=0.2
l=0.1
l=0.05
l-0.015
l
Figura 4.14: Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η, Π = 0.95
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Constante de tempo (l)
Nú
me
rod
eTa
ylo
rc
ríti
co
(Ta
*)
Ta*
Ta*mod
Figura 4.15: Influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗,Π = 0.95
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 57
Mais uma vez, pode-se ver a importancia de trabalhar com o numero de Taylor crıtico
modificado Ta∗mod, quando trata-se de pequenos espacos anulares Π → 1. Neste caso, a
diferenca entre o numero de Taylor crıtico Ta∗ em relacao ao Ta∗ do caso Newtoniano,
chega ate 39%, enquanto que, no caso do numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod, esta
diferenca chega somente ate 6%.
4.3 Evolucao da formacao dos vortices com relacao
ao incremento do numero de Taylor Ta
Quando o numero de Taylor e suficientemente baixo Ta < Ta∗, o escoamento predo-
minante e o escoamento circular de Couette, que e o originado pela rotacao do cilindro
interno. Este estado sem recirculacoes toroidais, persiste ate o ponto de bifurcacao, que
corresponde ao estado onde Ta = Ta∗.
Quando o numero de Taylor Ta = Ta∗, o escoamento de Couette passa a ser instavel
e a configuracao estavel apresenta vortices toroidais. Cabe mencionar que o escoamento
ainda continua sendo um escoamento laminar, porem agora com vortices. O aumento do
numero de Taylor acarreta no aumento da intensidade dos vortices. Para estados que
correspondem a Ta >> Ta∗, existe um ponto onde o escoamento nao e mais laminar.
A aparicao dos vortices para um fluido Newtoniano, que esta escoando pelo espaco
anular formado entre dois cilindros concentricos e mostrado nas Figs .4.16 e 4.17. Podem-
se observar estados que correspondem a diferentes numeros de Taylor Ta, antes e depois
do ponto de bifurcacao. Foi considerado uma razao de raio Π = 0.8, com um raio interno
ri = 6 cm. Neste caso, como ja foi apresentado na Tabela 4.1, o numero de Taylor crıtico
e Ta∗ = 90.
A Fig.4.16, corresponde a estados antes do inıcio da aparicao dos vortices (inıcio
da instabilidade do escoamento puramente azimutal ou escoamento de Couette), onde
o numero de Taylor Ta < Ta∗ = 90. Quando Ta = 37.5, o escoamento nao apresenta
formacao de vortices ja que ainda esta longe do ponto de bifurcacao, ou seja, o escoamento
e predominantemente circular. As recirculacoes estao presentes somente em z = 0 e
z = L, onde existe uma descontinuidade da velocidade azimutal do cilindro interno. Para
Ta = 88.1, que corresponde a um estado muito proximo do ponto de bifurcacao, pode-se
observar a aparicao de uma estrutura que vai dar origem aos vortices, mas que ainda e
muito fraca.
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 58
Os estados que correspondem ao inıcio da aparicao dos vortices e depois da sua for-
macao, Ta ≥ Ta∗ = 90, sao mostrados na Fig.4.17. Quando Ta = Ta∗ = 90, os vortices
comecam a aparecer. A partir deste ponto, conforme vai-se incrementando o numero de
Taylor, os vortices aumentam em intensidade. No caso quando Ta = 100.5, os vortices
estao completamente formados, e pode-se observar a formacao de 10 vortices com um
comprimento aproximado de h = 1.49 cm. A relacao h/d = 0.993, esta de acordo com
medicoes experimentais, Taylor [38].
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 59
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 000 STREAMLINES
6 8 10 12r (cm)
0
5
10
15
20
STR0.04720.04040.03370.02700.02020.01350.00760.0000
-0.0067-0.0135-0.0202-0.0270-0.0337-0.0404-0.0472
z=L
Ta=37.5
z=0
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 002 STREAMLINES
6 8 10 12r (cm)
0
5
10
15
20
STR0.32780.28090.23410.18730.14050.09360.04680.0000
-0.0936-0.1405-0.1873-0.2341-0.2809-0.3278
z=L
Ta=88.1
z=0
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 002 STREAMLINES
Figura 4.16: Evolucao da formacao dos vortices em estados antes do inıcio da instabilidadedo escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8
Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 60
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 003 STREAMLINES
6 8 10 12r (cm)
0
5
10
15
20
STR0.34890.29900.24920.19930.14950.09970.04980.02500.00520.0000
-0.0498-0.0997-0.1495-0.1993-0.2492-0.2990-0.3489
z=L
Ta=90.0
z=0
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 018 STREAMLINES
6 8 10 12r (cm)
0
5
10
15
20
STR0.49620.42530.35440.28350.21270.14180.07090.0000
-0.0709-0.1418-0.2127-0.2835-0.3544-0.4253-0.4962
z=L
Ta=100.5
z=0
(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 018 STREAMLINES
Figura 4.17: Evolucao da formacao dos vortices em estados depois do inıcio da instabili-dade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8
Capıtulo 5
Conclusoes e Recomendacoes
O estudo da estabilidade de um escoamento de Taylor-Couette esta sendo atualmente
motivo de muitas investigacoes, tanto no campo numerico quanto experimental. Grande
parte da literatura existente, refere-se ao estudo de fluidos Newtonianos. Neste trabalho
deu-se mais enfase ao estudo de fluidos nao Newtoniano.
O inıcio da instabilidade do escoamento de Couette, caracterizada pelo aparecimento
de vortices toroidais no espaco anular, pode afetar o padrao do escoamento, e consequen-
temente os processos de transporte de calor e massa.
Este tipo de escoamento pode ser encontrado em muitas aplicacoes de engenharia, tais
como: sistemas de refrigeracao, sistemas de lubricacao, filtros, extractores lıquido-lıquido,
entre outros. Nossa atencao foi centrada no estudo das lamas de perfuracao, que estao
escoando pelo espaco anular formado entre a coluna giratoria de perfuracao e a formacao
rochosa, que sao encontrados no processo de perfuracao de pocos produtores de petroleo
e gas.
Os testes de validacao, aos quais foram submetidas os resultados deste trabalho, apre-
sentaram uma boa aproximacao em relacao a solucoes analıticas e aos resultados de pes-
quisas existentes na literatura.
Neste trabalho tentou-se cobrir a maioria das geometrias possıveis, desde pequenos ate
grandes espacos anulares Π = 0.4, 0.6, 0.8, 0.9 e 0.95, onde para cada caso, estudou-se a
influencia dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.
Para a solucao do problema, assumiu-se um escoamento tri-dimensional com simetria
axial. O sistema de equacoes diferenciais foi solucionado pelo metodo de elementos finitos
e o sistema de equacoes algebricas nao lineares resultantes, pelo metodo de Newton.
Como resultado do trabalho comentado, pode-se chegar as seguintes conclusoes e pro-
61
Capıtulo 5. Conclusoes e Recomendacoes 62
postas para trabalhos futuros.
5.1 Conclusoes
Para o caso de fluidos Newtonianos.
• Para uma mesma razao de raio Π, o numero de Taylor crıtico Ta∗, nao depende do
raio do cilindro interno ri, isto e valido para pequenos, assim como, para grandes
espacos anulares.
• A derivada da velocidade azimutal na parede aumenta apos o aparecimento dos
vortices toroidais. Este fenomeno pode alterar a potencia necessaria para fazer
girar o cilindro interno.
• O numero de Taylor crıtico Ta∗ aumenta quando aumenta a razao de raio Π. Peque-
nos espacos anulares correspondem a Ta∗ altos, enquanto que, para grandes espacos
anulares, correspondem Ta∗ baixos.
Para o caso de fluidos nao Newtonianos.
• Para grandes espacos anulares Π < 0.8, a influencia dos parametros reologicos sobre
o numero de Taylor crıtico Ta∗ e quase imperceptıvel, isto porque as taxas de
cisalhamento nestes caso sao muito baixas.
• Como esperado, o numero de Taylor crıtico Ta∗, decresce quando decresce o ındice
de potencia n, onde n = 1 representa o caso Newtoniano, e e o caso com maior Ta∗.
• Para pequenos espacos anulares Π → 1, e mais conveniente definir o numero de
Taylor Ta em funcao da viscosidade calculada para uma taxa de cisalhamento ca-
raterıstica γc, em lugar da viscosidade a baixas taxas de cisalhamento η0.
• A definicao de um numero de Taylor crıtico Ta∗ baseado na viscosidade carac-
terıstica permite usar, para calculos estimados, o numero de Taylor crıtico para
fluidos Newtonianos.
Capıtulo 5. Conclusoes e Recomendacoes 63
5.2 Trabalhos Futuros
Com base na experiencia obtida neste trabalho, propoem-se os seguintes trabalhos:
• Realizacao da analise tri-dimensional do problema, para assim, estudar casos on-
de nao existe mais simetria axial, isto vai permitir resolver o problema com um
gradiente de pressao axial imposto, para elevados numeros de Reynolds Re, e que
sao caracterizados por apresentar um padrao de fluxo de vortices helicoidais, nao
tratados neste trabalho.
• Estudar a influencia da excentricidade dos cilindros sobre o perfil de velocidade
azimutal e sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.
Referencias Bibliograficas
[1] Andereck, C.D., Liu, S.S., Swinney, H.L. Flow regimes in a circular Couette
system with independently rotating cylinders
Journal of Fluid Mechanics (1986), vol. 164, pp. 155-183.
[2] Azuma, H., Ogawara, K., Iida, S. Unsteady 3-Dimensional calculation of the flow
between concentric rotating cylinders
JSME International Journal Series II 35: (2)165-173 May 1992.
[3] Bird, R.B., Armstrong, R.C. Dynamics of Polymeric Liquids
Volume 1 - Fluid Mechanics (1987).
[4] Bird, R.B., Stewart, W.E., Lightfoot, E.N. Transport Phenomena
Department of Chemical Engineering - University of Wisconsin - Madison, Wisconsin
(1960).
[5] Bittleston, S.H., Hassager, O. Flow of viscoplastic fluids in a rotating concentric
annulus
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 42 (1992) 19-36.
[6] Chandrasekhar, S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability
Dover Publications, inc. New York (1961).
[7] Chapman, S.J. Fortran 90/95
McGraw-Hill International Editions (1998).
[8] Chawda, A., Avgousti, M. Stability of viscoelastic flow between eccentric rotating
cylinders
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 63 (1996) 97-120.
64
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 65
[9] Chung, K.C., Astill, K.N. Hydrodynamic intability of viscous-flow between rota-
ting coaxial cylinders with fully developed axial-flow
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 81 (1977) 641-655.
[10] Diprima, R.C. The stability of a viscous fluid between rotating cylinders with an
axial flow
Journal of Fluid Mechanics 9: (4) 621-631 1960.
[11] Drazin, P.G., Reid W.H Hydrodynamic stability
Cambridge University Press (1999).
[12] Dris, I., Shaqfeh, E.S.G. Experimental and theoretical observations of elastic
instabilities in eccentric cylinder flows: local versus global instability
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 80 (1998) 1-58.
[13] Dris, I., Shaqfeh, E.S.G. On purely elsatic instabilities in eccentric cylinder flows
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 56 (1995) 349-360.
[14] Dris, I., Shaqfeh, E.S.G. Flow of a viscoelastic fluid between eccentric cylinders:
impact on flow stability
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 80 (1998) 59-87.
[15] Escudier, M.P., Gouldson, I.W. Concentric annular flow with centerbody rota-
tion of a Newtonian and shear-thinning liquid
International Journal of Heat and Fluid Flow 16 (1995) 156-162.
[16] Escudier, M.P., Gouldson, I.W., Oliveira, P.J., Pinho, F.T. Effects of
inner cylinders rotation on laminar flow of a Newtonian fluid through an eccentric
annulus
International Journal of Heat and Fluid Flow 21 (2000) 92-103.
[17] Golub, G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations
The Johns Hopkins University Press (1996).
[18] Graham, M.D. Effect of axial flow on viscoelastic Taylor-Couette instability
Journal of Fluid Mechanics (1998), vol. 360, pp. 341-374.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 66
[19] Gravas, N., Martin, B.W. Instability of viscous axial flow in annuli having a
rotating inner cylinder
Journal of Fluid Mechanics (1978), vol. 86, part 2, pp. 385-394.
[20] Gresho, P.M. Some interesting issues in incompressible fluids dynamics, both in
the continuum and in numerical simulation
Advances in Applied Mechanics 28: 45-140 1992.
[21] Khellaf, K., Lauriat, G. Numerical study of heat transfer in a non-Newtonian
Carreau-fluid between rotating concentric vertical cylinders
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 89 (2000) 45-61.
[22] Koga, J.K., Koschmieder, E.L. Taylor vortices in short fluid columns
Physics of Fluids A - Fluid Dynamics 1: (9) 1475-1478 SEP 1989.
[23] Lee, M.H. The stability of spiral flow between coaxial cylinders
Computers and Mathematics with Applications 41 (2001) 289-300.
[24] Lockett, T.J., Richardson, S.M., Worraker, W.J. The stability of inelastic
non-Newtonian fluids in Couette flow between concentric cylinders: a finite-element
study
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 43 (1992) 165-177.
[25] Lueptow, R.M., Docter, A., Min, K. Stability of axial flow in an annulus with
a rotating inner cylinder
Physics of Fluids A - Fluid Dynamics 4: (11) 2446-2455 Nov 1992.
[26] Marcus, P.S. Simulation of Taylor-Couette flow. part1. Numerical methods and
comparison with experiment
Journal of Fluid Mechanics (1984), vol. 146, pp. 45-64.
[27] Marcus, P.S. Simulation of Taylor-Couette flow .part2. Numerical results for wavy-
vortex flow with one travelling wave
Journal of Fluid Mechanics (1984), vol. 146, pp. 65-113.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 67
[28] Muller, S.J., Shaqfeh, E.S.G., Larson, R.G. Experimental studies of the onset
of oscillatory instability in viscoelastic Taylor-Couette flow
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 46 (1993) 315-330.
[29] Ng, B.S., Turner, E.R. On the linear stability of spiral flow between rotating
cylinders
Proceedings of the Royal Society of London Series A, 382: (1782) 83-102 1982
[30] Nouri, J.M., Whitelaw, J.H. Flow of Newtonian and non-Newtonian fluids in
an eccentric annulus with rotation of the inner cylinder
International Journal of Heat and Fluid Flow 18: 236-246, 1997.
[31] Ramanan, V.V., Kumar, K.A., Graham, M.D. Stability of viscoelastic shear
flows subjected to steady or oscillatory transverse flow
Journal of Fluid Mechanics (1999), vol. 379, pp. 255-277.
[32] Sad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems
Manchester University Press Series in Algorithms and Architectures for Advanced
Scientific Computing (1991).
[33] Sinevic, V., Kuboi, R., Nienow, A.W. Power numbers, Taylor numbers and
Taylor vortices in viscous Newtonian and non-Newtonian fluids
Chemical Engineering Science, vol. 41, N o 11, pp. 2923-2986, 1986
[34] Slattery, J.C. Advanced Trasport Phenomena - Momentum, Energy, and Mass
Transfer in Continua
McGraw-Hill Book Company (1996).
[35] Smith, M.D., Armstrong, R.C., Sureshkumar, R. Finite element analysis of
stability of two-dimensional viscoelastic flows to three-dimensional perturbations
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 93 (2000) 203-244.
[36] Sobolık, V., Izrar, B., Lusseyran, F., Skali, S. Interaction between the Ek-
man layer and the Couette-Taylor instability
International Journal of Heat and Mass Transfer 43 (2000) 4381-4393.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 68
[37] Takeuchy, D.I., Jankowski, D.F. A numerical and experimental investigation
of the stability of spiral Poiseuille flow
Journal of Fluid Mechanics (1981), vol. 102, pp. 101-126.
[38] Taylor, G.I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders
Proceedings of the Royal Society of London VIII (1922), 289-345.
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