origami v matematike

ORIGAMI V MATEMATIKE

RNDr. Marta Mlynarčíková

Gymnázium P. O. Hviezdoslava, Kežmarok

Origami technika v matematike• V matematike, na rozdiel od fyziky, chémie a biológie, je oveľa

menej príležitostí naozaj uchopiť do rúk nejaký objekt a urobiť reálny experiment.

• Origami technika nám poskytuje takú možnosť - priamku, bod, úsečku, uhol, trojuholník, mnohouholník a ďalšie útvary, pojmy a vzťahy medzi nimi môžeme modelovať prekladaním papiera.

• K modelovaniu geometrických situácií prekladaním papiera nepotrebujeme žiadne zvláštne pomôcky. Stačia nám voľné listy papiera, prípadne ceruzka a nožnice.

• Origami modely rôznych telies ukazujú peknú symetriu a prepojenie umenia s matematikou.

Moje aktivity

• Origami je mojou dlhoročnou individuálnou záľubou.• Dva školské roky som na našej škole viedla záujmový krúžok

origami.• Najaktívnejšie členky krúžku pod mojim vedením dosiahli

v SOČ s prácami o origami výborné umiestnenia – v šk. roku 2011/2012 – 1. miesto v krajskom aj celoštátnom kole v odbore Problematika voľného času – práca ORIGAMI,

v šk. roku 2012/2013 - 1. miesto v krajskom kole v odbore Matematika a fyzika – práca MATEMATIKA A ORIGAMI• Niektoré aktivity s origami technikou som aj prakticky

vyskúšala na vyučovacích hodinách matematiky.

Origami – tradičné umenie verzus moderná veda

Počítačová simulácia nafúknutého airbagu.prevzaté z http://web.iitd.ac.in/~achawla/femesh.htm

Prierez cievy čiastočne zablokovanej usadeninami a spriechodnenej implantovaním stentu prevzaté z http://www.heartsite.com/html/stent.html

Nábytok v tvare orgiami skladačiek - prevzaté zhttp://www.novinky.cz/bydleni/tipy-a-trendy/215638-nabytek-podle-pravidel-skladanky-origami-pusobi-lehce-a-krehce.html

Matematické princípy origami

• Axiómy origami

Obrázky prevzaté z http://origami.webz.cz/matematika/pdf/axiomy.pdf

Dvoj–zafarbiteľnosť záhybového vzoru Počítanie záhybov hora a údolie

Počítanie uhlov okolo vrcholuSchémy prijateľných usporiadaní vrstiev

Obrázky prevzaté z http://www.ted.com/talks/lang/en/robert_lang_folds_way_new_origami.html

H-U =2

Výpočty súvisiace s veľkosťou origami kocky

xx

a

aaxxx

a

.35,04

.2

.83,2.2.244

222

a - dĺžka hrany kocky x - dĺžka strany papierového štvorca potrebného na poskladanie jedného modulu

Origami v školskej matematike

• Origami bolo zahrnuté aj do učebných osnov na základných školách vo viacerých krajinách sveta. Používa sa na hodinách výtvarnej výchovy, matematiky, geometrie ako zábavný spôsob výučby.

• Origami cibrí trpezlivosť, matematické myslenie, geometrické schopnosti, zlepšuje jemnú motoriku.

• Existujú testy, ktoré ukázali, že po skladaní origami vnímajú študenti lepšie geometrické súvislosti v matematike.

Ukážky z pracovných listovZÁKLADNÉ PRVKY A VLASTNOSTI TROJUHOLNÍKA

Ťažnice a stredné priečky Súčet vnútorných uhlov v trojuholníku

PYTAGOROVA VETA

baba

babaS

..2

2

..4

22

22

bac

bacS

..2

2

..4

2

2

222222 .2..2 cbaabcbaba animácie

ZHODNÉ ZOBRAZENIA

Úloha 2:Daný je trojuholník ABC a jeho vnútorný bod M. Zostrojte úsečku XY tak, že body X, Y ležia na hranici trojuholníka ABC a bod M je stredom úsečky XY.

Úloha 6 c):Daná je hracia biliardová plocha (obdĺžnik KLMN) a poloha dvoch biliardových gulí (body A,B). Nájdite dráhu biliardovej gule tak, aby po odraze od dvoch susedných mantinelov trafila guľu B.

ZHODNÉ A PODOBNÉ TROJUHOLNÍKY

Úloha 4: Kristína je majiteľkou začínajúcej malej firmy na výrobu apredaj geometrických materiálov. Chce sa s vami poradiť o novom produkte – papieri na skladanie rovnoramenných trojuholníkov. Povie vám: "Chcem predať papier, ktorý vytvára 2 rovnoramenné trojuholníky, ktoré sú navzájom zhodné. To znamená, že keď preložíš papier tak, že bod A sa dostane do bodu C, trojuholníky EDC a FGC by mali byť nielen zhodné ale aj rovnoramenné. Nie všetky obdĺžnikové papiere sú na to vhodné, preto potrebujem vašu pomoc. Pomôžte mi nájsť 3 rôzne veľkosti obdĺžnikového papiera, ktoré budú vytvárať páry navzájom zhodných rovnoramenných trojuholníkov."

xCFEAEC

bCBDA

aGFCGABDC

aaaaxab

axxaaEDC

.41,221.2.

2.: 222

Vyhovujúce formáty sú napríklad: 12,3 cm x 29,7 cm, 8,7 cm x 21 cm , 3,7 cm x 9 cm.

Pravidelné mnohosteny• Pravidelný mnohosten nazývaný aj platónske teleso je taký konvexný

mnohosten, ktorého všetky steny sú zhodné pravidelné mnohouholníky. Pre pravidelné mnohosteny platí, že z každého vrcholu vychádza rovnaký počet hrán a v každom vrchole sa stretáva rovnaký počet stien. Týmto telesám môžeme vpísať aj opísať guľovú plochu, pričom obe guľové plochy majú spoločný stred.

• Existuje práve päť pravidelných mnohostenov.

• Všetky pravidelné mnohosteny sa dajú poskladať z papiera – sú vytvorené z modulov ale na ich spájanie nepotrebujeme lepidlo. Návody na skladanie sú v spomínaných prácach SOČ.

Video návod na origami modely všetkých pravidelných mnohostenov

Návody na skladanie mnohostenov

Obrázkový návod na jednoduchú kocku

Návod pomocou diagramovna vodnú bombu

Video návod na pravidelný dvadsaťsten

Na YouTube a iných webových stránkachje množstvo origami návodov.

návodnávod

Vlastné modely pravidelných mnohostenov

návodnávod

návod

návod

návod

návod-2návod-1

návodnávod

návodnávodnávod návod

návod návod

Návod-2Návod-1

návod

Modely zložitejších telies

návod

návodnávod

návodnávod

návodnávodnávod-1

návod

návodnávodnávod

návod

návod

návod

návodnávod

Na hodine matematiky

Videonahrávky zaujímavých prednášok

• LANG, Robert : The math and magic of origami, Flapping Birds and Space Telescopes. Prednáška 2008. Dostupné z

http://www.ted.com/talks/lang/eng/robert_lang_folds_way_new_origami.html www.ted.com/talks/lang/sk/robert_lang_folds_way_new_origami.html Videonahrávka prednášky o využití origami v rôznych oblastiach vedy a techniky• TOM HULL ON EDUCATION WITH ORIGAMIhttp://www.youtube.com/watch?v=aJ7OUaQEbOk - 1. časťhttp://www.youtube.com/watch?v=0efAq4gOwVI – 2. časťVideonahrávka prednášky o využití origami vo vyučovaní • MATH ENCOUNTERS - THE GEOMETRY OF ORIGAMI - ERIK DEMAINE (FULL WORKSHOP)

http://www.youtube.com/watch?v=DHVjPxZLviAVideonahrávka z workshopu • MATH ENCOUNTERS - THE GEOMETRY OF ORIGAMI - ERIK DEMAINEhttp://www.youtube.com/watch?v=oUnNkHGXefA – 1. časťhttp://www.youtube.com/watch?v=2CDQFvDAZCw – 2. časťhttp://www.youtube.com/watch?v=HqYiysiNAsk – 3. časťhttp://www.youtube.com/watch?v=864SK_iMeyQ – 4. časťVideonahrávka prednášky o geometrii a origami

ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ

A PRÍPADNÝM ZÁUJEMCOMPRAJEM VEĽA

PEKNÝCH ZÁŽITKOV S ORIGAMI DOMA AJ V ŠKOLE.

Marta Mlynarčíková Kontakt: mmlynarcikova@gmail.com