notas de quantica-01
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Capítulo 1
Problemas que deram origem à MQ
Alguns problemas que deram origem à Mecânica Quântica:
Radiação do corpo negro
Efeito fotoelétrico
Radiação eletromagnética dos átomos
Calor específico dos sólidos
1 Radiação do corpo negroFormas do calor se propagar
O calor pode se propagar num meio estacionário de duas
maneiras distintas:
Condução. Depende da temperatura do meio
onde ocorre a propagação (gradiente de temperatura).
Radiação. É um fenômeno que ocorre
independentemente da temperatura do meio. Exemplo:
raios solares através de uma lente convergente feita de
gelo. Os mecanismos aqui são muito mais complexos do
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 1
que aqueles relativos à condução.
Radiação eletromagnética
Algumas definições importantes
Emissão. Refere-se à ”criação” ou aparecimento de um
térmico. De acordo com conservação de energia, a emissão de
radiação sempre acontece às custas da transformação de
outras formas de energia (e.g., energia térmica, química,
elétrica, etc). Logo, somente partículas materiais, e não volumes
ou superfícies geométicas, podem emitir radiação
Absorção. Refere-se à “destruição” ou desaparecimento
um
raio térmico. Da mesma forma como na emissão, só pode
ocorrer em partículas materiais.
Corpo negro. Termo devido a Kirchhoff, refere-se a um
que tem a propriedade de permitir a entrada de todos os raios
térmicos incidentes sobre sua superfície e, uma vez em seu
interior, de impendir a saída dessa radiação por qualquer ponto
da superfície.
Resultados experimentais
todos os corpos emitem radiação eletromagnética quando
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aquecidos;
à medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da
coloração vermelha para o branco;
a baixa temperatura, a radiação está na região do
infravermelho e, por isso, é uma radiação invisível;
mesmo um corpo, que está a uma temperatura mais baixa
que a do meio ambiente, continua a irradiar.
Primeira questão: por que um corpo não se esfria até o zero
absoluto?
A resposta a esta questão pode ser construída com base nos
trabalhos de vários pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:
Teoria de troca de Prevost
1809 – Teoria de Troca de Prevost
”Existe um intercâmbio permanente de calor entre os corpos
vizinhos, cada um irradiando como se os outros não estivessem
presentes; no equilíbrio, cada um absorve exatamente a
quantidade de calor que emite.”
Leis de Kirchhoff
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 3
1859 – Lei de Kirchhoff
”A razão entre a emitância e absortância de um corpo só
depende da frequência da radiação e da temperatura do corpo,
e é independente da sua natureza.”
Definições
Emitância (E). É a energia emitida por um corpo com
frequências no intervalo e d por unidade de tempo e por
unidade de área.
Absortância (A). É a fração da energia incidente, dentro do
intervalo de frequência e d, que é absorvida pelo corpo.
Demonstração da Lei de Kirchhoff
1) Absorção pela placa 2 (emitido pela placa 1)
•••
Placa 1S, Eν, Aν
ΑνEνS (1-aν)
aνEνS (1-aν)(1-Aν)
aνEνS EνS
EνS - aνEνS = EνS (1-aν)
EνS (1-aν) (1-Aν)
Placa 2S, eν, aν
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Balanço de absorção de energia (placa 2) noprocesso 12:
A21
1 a parcela
aES
2 a parcela
aES1 a1 A
3 a parcela
aES1 a21 A2
Escrevendo k 1 a1 A 1 e substituindo na expressão
acima, encontra-se
A21 aES aESk aESk2
aES 1 k k2
aES1 k
onde usamos o resultado da soma de uma PG com razão
q k 1.
1) Absorção pela placa 2 (emitido pela placa 2)
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 5
•••
Placa 1S, Eν, Aν
ΑνeνS (1-aν)(1-Aν)
eνaνS (1-Aν)
ΑνeνS eνS
eνS - AνeνS = eνS (1-Αν)
eνS (1-aν) (1-Aν)
Placa 2S, eν, aν
eνS (1-aν) (1-Aν)2
EνS (1-aν) (1-Aν)2
Balanço de absorção de energia (placa 2) noprocesso 22:
A22 aeS 1 A aeS 1 a 1 A2 . . . aeS 1 a21 A3
aeS 1 A 1 k k2
aeS 1 A1 k
Aplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:
tida pela placa 2radiação total emi-
eS
radiação total absorvida pela placa 2
radiação emitida pela placa 1
aES1 k
radiação emitida pela placa 2
ae1 AS1 k
Simplificando esta expressão, encontramos
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e1 kS aE ae1 A
ou
e1 1 a1 A aE ae1 A
que pode ser reescrita como
eA aE EA
ea
Este resultado nos diz que a relação EAé a mesma para todos
os corpos e, portanto, independente da natureza destes,
dependendo apenas da frequência e da temperatura T.
Podemos então dizer que
EA
f,T
onde f é uma função universal de e T.
1860 - Teorema da Cavidade de Kirchhoff
Conceito de corpo negro (A 1). A partir daí, concluiu
função de distribuição de radiação f,T de qualquer corpo é
igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto é
E f,T poder emissivo de um corpo negro
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 7
Aí reside o grande interesse no estudo do corpo negro. A
determinação do poder emissivo desse corpo tornou-se então o
centro das pesquisas sobre a radiação. A partir desse resultado,
Kirchhoff estabeleceu também a relação entre a radiação
emitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por
exemplo), através do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz
que
”A radiação dentro de uma cavidade isotérmica àtemperatura T é do mesmo tipo que a emitida por umcorpo negro. ”
Cálculo da função universal f,T. Por este teorema
tornou-se possível calcular a função universal f,T, através do
poder emissivo de uma cavidade. Seja
u,T a densidade da energia com frequência entre e
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d emitida
S área do orifício da cavidade.
V cScos volume cilíndrico
u,TVd energia contida no volume
d4 u,TcScosd energia emitida pelo orifício num
ângulo sólido d
Integrando d sendd, uma vez que a energia não
depende da direção, encontra-se
0
/2 cos sind4
0
2d 1
4
Logo, a energia total emitida pelo orifício por unidade de tempo
com frequência no intervalo entre (, d é
c4 S u,T d
A relação cavidade corpo negro nos permite portanto calcular
a emitância de um corpo negro, igualando-se as energia emitida
por esse corpo e aquela emitida pela cavidade. Assim
ESd S f,Td c4 S u,T d
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 9
Então:
f,T c4 u,T
Lei de Stefan-Boltzman
1879 – Lei de Stefan
As experiências de Tyndall quantidade total de radiação
emitida por um fio de platina, aquecido a 1473 K era 11,7 vezes
aquela emitida pelo mesmo fio a uma temperatura de 798 K.
Stefan
1473798
4 11,609
Assim, Stefan concluiu que a energia total emitida sob forma de
radiação é proporcional à quarta potencia da temperatura do
corpo, T4, isto é,
uT T4
que ficou conhecida como Lei de Stefan.
1884 – Boltzman
Boltzman dá sustentação teórica à lei de Stefan, com base nas
leis da termodinâmica. De fato, partindo da equação de estado
para a radiação, p u3 , e usando as duas primeiras leis da
termodinâmica, isto é
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dQ dU pdV,
dQ TdS U uV
que podem ser reescritos como
TdS dU pdV
Como
dU duV Vdu udV TdS Vdu p udV Vdu 43 udV
Ou seja,
dS VT du
4u3T dV
onde S Su,V. Como dS é um diferencial exato, podemos
escrevê-lo na forma
dS Su V
du SV u
dV
ou
dS Mdu NdV
de onde obtém-se que
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 11
M Su VT ,
N SV 4u
3T
Como dS é um diferencial exato, podemos escrever
V M
u N
ou
V
VT
u4u
3Tu
o que nos leva a
1T 4
3T 4u
3T2dTdu
e daí
dudT 4u
T
Integrando esta equação, Boltzman encontrou o resultado
obtido por Stefan, isto é,
u T4
Para T 0, u0 0. ( 7,061 1015 erg/cm3 K4. Devemos
notar que esta relação não leva em conta a distribuição
espectral da radiação, isto é, não depende de uma frequência
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em particular.
Leis de Wien
1893 – Lei do deslocamento de Wien
Ponto principal redução da dependência da densidade de
energia com e T, para uma dependência em relação a um
único argumento, /T. Ou seja,
u,T 3f/T
1896 – Forma empírica de Wien
Forma empírica da função f :
f/T Ce T
que concordava com a função distribuição para grandes valores
de /T, obtendo da lei do deslocamento a distribuição de
densidades de energia
u,T C3e T
que evidentemente era válida apenas no limite /T .
Lei de Rayleigh-Jeans
1900 – Rayleigh-Jeans
A partir da lei da equipartição (clássica) da energia dos modos
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 13
normais da radiação eletromagnética no intervalo de frequência
, d, Rayleigh-Jeans obtiveram a distribuição de energia na
forma
u,T 82
c3 kBT.
Comparando-se este resultado com a lei de deslocamente de
Wien, obtem-se a função de distribuição espectral de
Rayleigh-Jeans:
f/T 8c3/T
kB 8c3kBT
que concordava com os resultados experimentais apenas no
limite /T 0. Para a obtenção desta lei, Rayleigh-Jeans
basearam-se na lei clássica da equipartição e cujo
procedimento descreveremos a seguir.
Lei clássica da equipartição de energia. Todo sistema,cuja energia total pode ser expressa como a soma das energias
em cada grau de liberdade e, se a energia cinética de cada grau
de liberdade é proporcional ao quadrado do momento
correspondente àquele grau de liberdade, então o valor médio
da energia cinética, por grau de liberdade, estando o sistema à
temperatura T, é igual a K 12 kBT.
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Energia da radiação. Como a energia da radiação pode ser
escrita na forma
E i1
f
ipi2 iqi2 iKi Ui
onde qi e pi são coordenadas normais que descrevem o estado
do campo eletromagnético, a lei da equipartição nos assegura
que
Es Ks Us kBT
Em outras palavras, cada modo normal de vibração possui uma
energia total igual a kBT. Portanto, para conhecermos a
densidade de energia u,T no intervalo de frequência
, d precisamos conhecer quantos modos normais de
vibração existem neste intervalo. Chamando este número de
Z, tem-se que
u,T Z E ZkBT
Assim, para conhecermos a densidade de energia para cada
frequência numa determinada teperatura, precisamos da
densidade dos modos normais de vibração para aquela
frequência. Para tornar o cálculo mais ameno, consideraremos
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 15
em primeiro lugar o caso de uma corda vibrante e a seguir
faremos a generalização para o caso da radiação.
Cálculo de Z:
Corda vibrante
Neste caso, o comprimento de onda, como já sabemos, é dado
por
2L, 2L2 , 2L
3 ,
ou na forma compacta, por
n 2Ln , n 1,2,3
A frequência correspondente é obtida através da relação
n vn
n v2L ,
onde v é a velocidade de propagação da onda no meio, no caso
a corda. Chamando de , uma constante que mede a diferença
entre duas frequências consecutivas, isto é,
n1 n v2L
então o número de oscilações com frequências no intervalo
, pode ser facilmente calculada, dividindo o intervalo de
frequência pela diferença entre quaisquer duas frequências
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do intervalo, isto é:
Z 2L
v
Devemos observar que, em uma dimensão, n 1 corresponde
ao número de nodos da vibração.
Radiação numa cavidade
Para uma cavidade cúbica de aresta L , cujas paredes são
refletores ideais, temos
nxnynz nx2 ny2 nz2 c2L
Construimos uma rede cúbica uniforme, onde cada ponto
corresponde a uma frequência permitida. O número de
frequências permitidas entre , d é igual ao número de
pontos da rede entre as esferas de raio r e r dr, onde
r nx2 ny2 nz2 2Lc
Assim, o número de pontos é igual ao volume do primeiro
quadrante da casca esférica de raios r e r dr,que é igual a
18 4r
2dr r2dr2 ,
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 17
isto é,
Zd 2
4L2
c2 2 2Lc d 4L3
c3 2d
Considerando os dois estados de polarização independentes,
tem-se Z 2Z, isto é
Zd 8L3
c3 2d
A energia total, por unidade de frequência é dada por
Ud Z d kBT
8L3
c3 2kBTd
e por unidade de volume
UL3 d
UV d ud
8c3
2kBTd
donde resulta,
u,T 8c3
2kBT
Comparando-se este resultado com a lei de deslocamento de
Wien, encontra-se finalmente
f/T 8c3
kB/T
que é a função de distribuição de Rayleigh-Jeans, válida apenas
no limite de T 0.
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Lei de Planck
1900 – Lei da radiação de Planck
Até então a dificuldade residia na forma da função f/T, da lei
de deslocamento de Wien, dada por
u,T 3f/T
As formas propostas por Wien
f/T Ce/T, válida para /T 1
e por Rayleigh-Jeans
f/T 8c3
kB/T , válida para /T 1
não tinham validade para todo o espectro. Uma nova função foi
obtida por Planck, como uma interpolação dessas duas, cuja
base teórica introduziu a noção de quantum de energia:
f/T 8c3 kB
1e/T 1
obtendo daí
u,T 8hc3
3
eh/kBT 1
onde kB h é a constante de Planck. A densidade de energia
total da radiação do copo negro é obtida, integrando-se u,T
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 19
sobre todas as frequências, entre 0 e :
uT 0
u,Td
Fazendo x hkBT
,obtem-se
uT 8kB4
c3h3 0
x3dxex 1 T4, fórmula de Stefan
Para obter seu resultado, Planck introduziu um postulado que,
não só era novo, como também discordava dos conceitos até
então inabalados da física clássica. Com a palavra, o próprio
Max Planck:
”(...) Se E for considerada como uma grandeza que pode ser
indefinidamente divisível, então a redistribuição pode ser feita
de número infinito de modos. Nós, ao contrário (e este é o ponto
mais importante de todo o cáculo) consideraremos E como uma
grandeza composta de um número bem determinado de partes
iguais finitas, e para isso usaremos a constante da natureza
h 5,55 1027 ergs. ”.
Este postulado de Planck hoje pode ser enunciado da seguinte
maneira:
”Qualquer entidade física, cuja única coordenada efetuaoscilações harmônicas simples (isto é, que seja uma
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função senoidal do tempo) somente pode ter uma energiatotal que satisfaça a relação: nh, n 1,2,3 ,onde é frequência de oscilação, e h 6,63 1027 ergs.”
Aplicação do Postulado à Radiação. Vejamos
como Planck aplicou este postulado ao caso da radiação.
Incialmente devemos lembrar que as ondas eletromagnéticas
possuem uma coordenada no sentido admitido no postulado,
que as descreve instantaneamente, que é a amplitude, e esta
varia senoidalmente com o tempo. Logo, a radiação é uma
entidade a que devemos aplicar o postulado de Planck, para se
determinar como a energia se distribui entre os graus de
liberdade. Usando a distribuição de Boltzmann em um sistema
em equilíbrio à temperatura T :
P ekBT
ekBT
A energia média de cada modo normal será então:
E
P
onde nh, segundo o postulado. Logo:
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 21
E n nh enh/kBT
n enh/kBT
O problema agora é calcular estas somas. Antes, devemos
notar que:
n
nh enh/kBT dd 1
kBTn
enh/kBT
Vamos chamar de 1kBT
e o h. Assim:
n
no eno dd n
eno
Resta-nos então calcular a soma:
n0
eno 1 eo e2o e3o
Podemos identificá-la como uma PG de razão q eo 1.
Então, o resultado da soma será:
n0
eno 11 eo
eoeo 1
A soma no numerador daquela equação pode ser facilmente
calculada, notando-se que
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n
no eno dd n
eno ddeoeo 1
e assim,
n
no eno oeoeo 12
Portanto:
E n no e
no
n eno
oeoeo 12
eoeo 1
oeo 1
Voltando às variáveis iniciais, encontramos:
E heh/kBT 1
podendo ser reescrita como:
E h/kBTeh/kBT 1
kBT
que difere da lei clássica da equipartição por um fator
h/kBTeh/kBT 1
,
isto é, EPlanck ECássico. Para encontrarmos a densidade
de energia, precisamos multiplicar a energia média pelo número
Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 23
de graus de liberdade no intervalo entre e d, que
definimos como Zd. Como no caso de Rayleigh-Jeans para
este cálculo não usamos considerações de energia, podemos
considerá-lo como correto. A deficiência ali fica por conta da lei
da equipartição clássica. Fazendo assim, encontramos
finalmente:
u,Td EZd 82
c3h/kBTeh/kBT 1
kBTd
que resulta na lei de deslocamento de Wien,
u,T 3f/T
onde a função f daí obtida toma a forma
f/T 8c3
h/kBTeh/kBT 1
kB/T
que é a função de distribuição de Planck.
Podemos observar que esta função de Planck difere daquela
proposta por Wien, pelo mesmo fator pelo qual diferem as leis
de equipartição clássica e de Planck, isto é,
fPlanck/T fWien/T
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