noções de probabilidade
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A EXPLORAÇÃO DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS
COMO UMA NOVA METODOLOGIA PARA O ENSINO
DA MATEMÁTICA
NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE
ICD – INSTITUTO DA CULTURA E DESENVOLVIMENTO
CAMPO MOURÃO
ABRIL- 2010
PROFESSOR: JOÃO ALESSANDRO•EMAIL/MSN: jalmat@hotmail.com•GMAIL/GOOGLE TALK: jalmat.utfpr@gmail.com•TWITTER: www.twitter.com/jalmat • ORKUT: http://www.orkut.com.br/Main#Profile?uid=16471219565289082570
PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
• A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar
ou testar).
• Informalmente, provável é uma das muitas palavras
utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo
também substituída por algumas palavras como “sorte”,
“risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do
contexto.
PROBABILIDADE2.Conceitos essenciais:1.1 Espaço Amostral
Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será chamado espaço amostral da experiência.
PROBABILIDADE 1.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 1: Lançamento de uma moeda: Existem dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”}
PROBABILIDADE1.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 2: Lançamento de um dado:Existe 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
PROBABILIDADE1.2 Evento
Chama-se evento qualquer subconjunto A do espaço amostral S.
A está contido em S.
PROBABILIDADE1.2 Evento (continuação)
A está contido em S.
Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5}
PROBABILIDADE1.2.1 Evento Impossível:
O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento; o conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.
Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível.
{ } φ ou
6} 5, 4, 3, 2, {1, S
===
AA
PROBABILIDADE1.2.2 Evento Certo:
O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.
Exemplo: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo.
6} 5, 4, 3, 2, {1,
6} 5, 4, 3, 2, {1, S
==
A
PROBABILIDADE1.2.3 Eventos Complementares:
– A.S = A que tal A evento ao
S, amostral espaço num A evento um de
arcomplement evento de se-Chama
Exemplo:No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”.
6} 4, {2, =A
5} 3, 1, { =A
PROBABILIDADE1.2.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:
vazio) conjunto a igual B e A :se-(lê
B A quando
exclusivos mutuamente são B e A eventos Dois
φ=∩
Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par.
B: Sair número ímpar.
versa.-vice e ímpar número um sair
como há não par número um sair se Pois
B A φ=∩
PROBABILIDADE2. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula:
)(
)()(
Sn
AnAP =
S evento do elementos de número o é n(S)
Aevento do elementos de número o é n(A)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é)(
:
AP
Onde
Exercícios
Probabilidade de um Evento
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:
a) A: um número primo.
Resolução:
A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.
n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,)(
)(
)()(
50502
1
6
3===
=
ouAP
Sn
AnAP
b) B: um número múltiplo de 3.
Resolução:
B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.
n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,,)(
)(
)()(
3333303
1
6
2===
=
ouAP
Sn
BnBP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:
2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
Resolução:
A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S.
n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 18
%,...,)(
)(
)()(
333333303
1
18
6 ===
=
ouAP
Sn
AnAP
Observação: Este
exercícioestá resolvido
de forma incorreta na apostila!!!
PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula:
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é B) P(A
B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)
B ou A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (
:
∩
∪AP
Onde
Dica esperta: Em problemas de “soma de
probabilidades”sempre
encontramos a palavra OU.
Exercícios
SOMA DE PROBABILIDADES
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:
amostral. espaço do elementos de número )(
A.evento do elementos de número o é 3 n(A)
S. retirados pares números os são 6} 4, 2, { A
:par número um retirado ser : Aevento o Sendo
P(A). Calculando :1 Passo
:partes por fazer Vamos
:Resolução
oéSn 6==
=
2
1
6
3 ==
=
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
2
1=)(AP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
amostral. espaço do elementos de número )(
B. evento do elementos de número o é 2 n(B)
S. de retirados 3 de múltiplos números os são 6} 3, { B
:3 de múltiplo número um retirado ser :B evento o Sendo
P(B). Calculando :2 Passo
oéSn 6==
=
3
1
6
2 ==
=
)(
)(
)()(
BP
Sn
BnBP
3
1=)(BP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
amostral. espaço do elementos de número )(
B. Aevento do elementos de número o é 1 B)n(A
S. de retirado 3 de múltiplo e par número o é 6} { B A
:3 de múltiplo e par número um retirado ser :B A evento o Sendo
B). P(A Calculando :3 Passo
oéSn 6=∩=∩
=∩
∩∩
6
1=∩
∩=∩
)(
)(
)()(
BAP
Sn
BAnBAP
6
1=∩ )( BAP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
B). P(A Calculando :(FINAL) 4 Passo ∪
6
13
1
=∩
=
=
)(
)(
2
1 P(A)
:
BAP
BP
Sendo
%,...,)(
)(
:temos operações as
fazendo e resdenominado dos mmc o tirando
)(
)()()()(
:adesprobabilid das soma a Calculando
6766666603
2
6
46
123
6
1
3
1
2
1
===∪
−+=∪
−+=∪
∩−+=∪
ouBAP
BAP
BAP
BAPBPAPBAP
PROBABILIDADE2.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:
Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:
)/()()( ABPxAPBAP =∩
Aevento o
ocorrido tendo B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B/A)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)
B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (
:
∩AP
Onde
Dica esperta: Em problemas
de “multiplicação de
probabilidades”sempre
encontramos a vogal E, escrita
ou subentendida.
Exercício
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.
Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.
A.evento do elementos de número o é 6 n(A)
S. de retiradas serem de possíveis amarelas bolas as são amarelas} bolas 6 { A
amarela bola uma retirado ser : Aevento o Sendo
amostral. espaço do elementos de número )(
brancas} bolas 9 amarelas, bolas {6 S
P(A). Calculando :1 Passo
:partes por fazer Vamos
:Resolução
==
==
oéSn 15
5
2
15
6==
=
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
5
2=)(AP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10
A.evento do elementos de número o é 9 n(B/A)
S. de retiradas serem de possíveis brancas bolas as são brancas} bolas 9 { B/A
amostral. espaço do elementos de número )(
amarela! bola uma retirada foi pois
,modificado foi amostral espaço o , brancas} bolas 9 amarelas, bolas {5 S
:iaConsequênc
amarela. 1ª a
retirada tendo branca, bola 2ª a retirar :B/A evento o Sendo
P(B/A). Calculando :2 Passo
==
=
=
oéSn 14
14
9=
=
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
14
9=)/( ABP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10 B). P(A Calculando :(FINAL) 3 Passo ∩
14
9=
=
)/(
5
2 P(A)
:
ABP
Sendo
%,,)(
:
)(
)(
)/()()(
:adesprobabilid das
çãomultiplica a Calculando
71252571035
9
70
1814
9
5
2
==∩
=∩
=∩
=∩
ouBAP
temosfraçãoandoSimplifica
BAP
xBAP
ABPxAPBAP
LEMBRETEESTA APRESENTAÇÃO ESTÁ NO
EMAIL DO CURSO:•SITE: www.hotmail.com•LOGIN: icd_cursos@hotmail.com•SENHA: caixa2010
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