njutn- lajbnicova formula

I. ПРИМЈЕНА, ПОЧЕТАК ПРИМЈЕНЕ, ПОЈАМ И ДЕФИНИЦИЈА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА

Појам одређеног интеграла мотивисано је, прије свега, израчунавањем површине фигуре ограничене кривом, али и рјешавањем низа проблема из области математике, физике и других наука.

Под појмом криволинијског трапеза подразумјевамо фигуру

ограничену графиком непрекидне, ненегативне функције ,

- осом и правама , (сл.1.)

y

x

(сл.1.)

1

Сегмент [ ] подјелимо тачкама , таквим да је

на n-подсегмената и њихове дужине

означавамо са

Усваком подсегменту одаберемо

произвољно тачку , формирамо производе и суму

.

Суму називамо интегрална сума функције за

узету подјелу сегмената [ ] и изабране тачке .Интегрална сума има значење збира површина правоугаоника, са

страницама и , .

Интегрална сума је приближне вриједности површине криволинијског трапеза коју желимо дефинисати, утолико приближнија уколико су дужине подсегмената мање.

Кажемо да је број гранична вриједност интегралне суме када максимум подсегмената тежи нули, ако за свако >0 постоји >0,

такав да је за сваку подјелу за коју је max < и за сваки избор тачака

испуњено <Тада пишемо

Овако дефинисан број сматрамо површином криволинијског трапеза.

2

Проблем одређивања дужине пута при помјенљивој брзини.

При праволиниском кретању промјенљиве брзине , треба одредити дужину пута који пређе тачка М у временском интервалу

.

Подјелимо интервал на подинтервала

, чије су дужине

Брзину кретања тачке М на малим подинтервалима

сматраћемо константом и једнаком , гдје је .

Пут који пређе тачка М за вријеме износи приближно

.

Сбирањем дужине путева на свим подинтервалима, добијемо

приближну вриједност дужине пута на цијелом интервалу ,

.

Тражену дужину пређеног пута, дефинишемо као граничну вриједност интегралне суме, када , дакле,

.

3

II. ДЕФИНИЦИЈА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА

Нека је ограничена функција на интервалу ,

.Тачкама подјелимо сегменте на

подсегменте и њихове дужине означимо са

У сваком посегменту , , одаберемо произвољно

тачку и формирамо производе .

Суму

називамо интегрална сума функције на сегменту . Она

зависи од подјеле сегмената и одабраних тачака .Кажемо да је гранична вриједност интегралне суме када

, ако за сваки >0 постоји >0 такав да је за сваку

интегралну суму за коју је и сваки избор тачака

.Граничну вриједност интегралне суме , ако она постоји,

називамо одређеним интегралом функције на сегменту и означавамо са

.

Дакле,

Број називамо доњом, а број горњом границом одређеног нтеграла.

Сегмент се зове област интеграције.

За функцију кажемо да је интеграбилна сегменту ако постоји њен одређени интеграл на том сегменту.

4

Потребан услов за постојање одређеног интеграла функције сегменту јесте ограниченост те функције на сегменту .

Ако није ограничена на , тада није ограничена бар на једном

па се појединим избором тачака сабирак може

учинити произвољно велики, а тиме и одговарајућа интегрална сума. Да је ограниченост функције само потребан услов за њену

интеграбилност, потврђује примјер.Функција

ако је рационалан број

ако је ирационалан број

је ограничена на , , за ирационално њена интегрална

сума је , а за рационално , што

показује да ова функција није интеграбилна.У вези интеграбилних функција се изводи без доказа следећа

тврђења.

1. Свака непрекидна функција је интеграбилна на

.

2. Монотона и ограничена функција је интеграбилна

на .

3. Ограничена функција са коначним бројем тачака

прекида је интеграбилна на .

Примјер: Израчунати

Рјешење:

5

Функција испуњава услове интеграбилности на одјељку

, тако да постоји. Одсјечак подјелимо на једнаких

дијелова тачкама гдје је .

За тачке узимамо десне крајеве подјељака и саставимо интегралну суму.

Како је

биће

па је

тј.

III. СВОЈСТВА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА

Став 1.6

Ако је функција интеграбилна на сегменту тада је и

функција , гдје је произвољна константа, такође интеграбилна и важи једнакост

Став 2. Ако су функције и интеграбилне на сегменту ,

тада је интеграбилна и функција и важи једнакост

.

Став 3. Ако је функција интеграбилна на сегментима , и

, гдје је , тада је

.

Став 4.Ако су функције и интеграбилне на сегменту и

ако је тада је

Став 5. Ако је функција интеграбилна на сегменту и ако је

тада је

7

Ако је непрекидна функција релација важи само

када је за свако . Иначе је увјек

Став 6. Ако је функција интеграбилна на сегменту тада је

, ако је парна функција

, ако је непарна функција

Став 7. Ако је , онда је и =0, па је

Став 8. Ако је и интеграбилна на сегменту , тада је

IV. ЊУТН - ЛАЈБНИЦОВА ФОРМУЛА

8

Израчунавање интеграла по дефиницији је компликован посао, па зато треба тражитилакши пут његовог израчунавања, а то нам омогућава такозвана Њутн-Лајбницова формула, која даје везу између одређеног и неодређеног интеграла.

Теорема:

Нека је непрекидна на и нека је F произвољна

примитивна функција функције .Тада важи:

(1)

Доказ:

Нека је . (2)

Тада је . Дакле, је једна од примитивних функција

функције , па се може писати . (3)

Ако у релацији (2) ставимо , имамо . С друге стране, из

(3) слиједи , па је . За , из (3) имамо

.

Са друге стране према деф. је

Дакле важи да је

Ако у Њутн-Лајбницову формулу

9

ставимо , тј. за горњу границу узмемо независно промјењиву ,

добићемо ,

одкле је .

Ово је веза одређеног интеграла и примитивне функције .

Ову теорему открили су енглески математичар и физичар Исак Њутн (1643 -1727) и њемачки математичар и филозоф Готфрид Вилхем Лајбниц (1646 – 1716) независно један од другог, у другој половини 17. вијека. То је најважнија формула интегралног рачуна. Зато се осим Њутн-Лајбницове често назива основном теоремом интегралног рачуна,

а једнакост , основним правилом интегралног

рачуна или Њутн-Лајбницовом формулом.Ова теорема успоставља везу између одређеног и неодређеног

интеграла . Дакле, да бисмо израчунали одређени интеграл функције на одјељку , довољно је да нађемо једну, било коју, њену примитивну функцију и да израчунамо прираштај функције на сегменту . Тако се израчунавање одређеног интеграла своди на налажење примитивне функције, а то је еквивалентно налажењу неодређеног интеграла.

Тако се израчунавање одређеног интеграла своди на налажење примитивне функције, а то је еквивалентно налажењу одређеног интеграла.

Примјер :

10

1. Израчунати одређен интеграл.

Примјеном Њутн- Лајбницове формуле израчунати следеће одређене интеграле!

2.

3.

4.

11

V. MЕТОДЕ ИНТЕГРАЦИЈЕ КОД ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА

Њутн- Лајбницова теорема пружа могућност да се при рачунању одређеног интегралапримјењују методе метод интеграције у фази налажења одговарајућег неодређеног интеграла. Међутим, погодније је да се метод интеграције примјењује директно на одређене интеграле, а Њутн- Лајбницова теорема омогућује да се на једноставан начин изведу потребне формуле.

1. Метода замјене

Теорема: Нека је функција непрекидна на сегменту .

Ако су испуњени следећи услови :функција има непрекидан извод на сегменту гдје

су и рјешења једначина и , тако да је и

и

тада важи једнакост

Формула представља формулу за замјену промјенљиве под знаком одређеног интеграла.

Доказ: Нека је функција било која примитивна функција

функције на сегменту , тј. . Тада је према

Њутн- Лајбницовој формули

На сегменту гдје је , посматраћемо функцију дефинисану са и .

12

Одредићемо извод ове сложене функције

Из релације слиједи да је функција примитивна

функција функције на сегменту . Према Њутн-

Лајбницовој формули, коју примјењујемо на ,

гдје је непрекидна функција на сегменту , добија се

.

Према условима и и , предходна једнакост постаје

.

Из и слиједи

Приликом примјењивања формуле функцију треба

одабрати тако да нови интеграл на десној страни једнакости буде једноставнији за израчунавање. Границе и новог интеграла су коријени једначина и , тј. и . Свака од ових једначина може имати више коријена. За доњу границу може се узети било који коријен једначине , а за горњу границу новог интеграла може се узети било који коријен једначине . При том треба водити рачуна да услови и формулисани у теореми буду испуњени.

Ако је монотона функција на сегменту услов увијек је испуњен. Стога, у пракси, најпогодније је приликом коришћења формуле ову замјену вршити помоћу монотоне функције .

Примјер1.

13

Израчунати .

Ставићемо , па је , . Нове границе одређујемо из услова , , тј. , па је

.

Примјер2.

Израчунати .

Примјер3.

Израчунати .

2. Метода парцијалне интеграције

14

Теорема: Ако функције и имају непрекидне

сегменте , тада важи једнакост

Доказ: На сегменту имамо

Функција је, дакле, примитивна функција непрекидне функције . Према Њутн- Лајбницовој формули имамо

.

С обзиром да постоје интеграли

и ,

тада на основу особине монотоности одређеног интеграла добијамо

,

тј.

.

Ако ставимо и , добија се образац

.

Примјер1.

15

Израчунати .

Ставићемо да је и , одакле је и .

16

VI. ЗАДАЦИ:

1. Израчунати одређени интеграл .

17

2. Израчунати одређени интеграл .

18

3. Израчунати одређени интеграл .

19

20

VII. ЛИТЕРАТУРА

Др Невенка Скакић и др Ратко Краварушић, Математика 1, Економски факултет, Бања Лука, 2000

Др Ковина Ракочевић, Математика, "Савремена администрација", Београд, 1980

Др Душан Белајчић, Диференцијални и интегрални рачун, Научна књига, Београд, 1992

Мр Вене Т. Богославов, Збирка ријешених задатака из математике 4, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 2004

21

VIII. САДРЖАЈ

I. ПРИМЈЕНА, ПОЧЕТАК ПРИМЈЕНЕ, ПОЈАМ И ДЕФИНИЦИЈА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА..............................................................................................................................................1

II. ДЕФИНИЦИЈА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА.....................................................................4

III. СВОЈСТВА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА.............................................................................7

IV. ЊУТН - ЛАЈБНИЦОВА ФОРМУЛА....................................................................................9

V. MЕТОДЕ ИНТЕГРАЦИЈЕ КОД ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА..........................................12

1. Метода замјене.........................................................................................................................122. Метода парцијалне интеграције...........................................................................................15

VI. ЗАДАЦИ:...................................................................................................................................17

VII. ЛИТЕРАТУРА...........................................................................................................................21

VIII. САДРЖАЈ..............................................................................................................................22

22

ЗАДАЦИ:

4. Израчунати одређени интеграл .

23

5. Израчунати одређени интеграл .

24

6. Израчунати одређени интеграл .

25

26

IX. ЛИТЕРАТУРА

Др Невенка Скакић и др Ратко Краварушић, Математика 1, Економски факултет, Бања Лука, 2000

Др Ковина Ракочевић, Математика, "Савремена администрација", Београд, 1980

Др Душан Белајчић, Диференцијални и интегрални рачун, Научна књига, Београд, 1992

Мр Вене Т. Богославов, Збирка ријешених задатака из математике 4, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 2004

27