nivelaci on presencial 2018 departamento de matem aticas
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Nivelacion Presencial 2018Departamento de MatematicasEcuaciones de Primer y Segundo Grado
Giglia Calabrese H., Maura Alvarez D., Erika Riveros M., Pilar Rivera A.
Marıa Gatica N., Vanessa Garcıa M., Daniza Rojas C., Dalia Escalier S.
Alicia Alarcon H., Rodrigo Martınez P.,Alberto Ramırez F., Mario Rojas P.
Universidad de Antofagasta
Marzo 2018
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
Una ecuacion es una igualdad matematica entre dos expresiones enla que hay una o mas cantidades literales llamadas incognitas.
El termino ecuacion puede parecer extrano y lejano, sin embargo,las ecuaciones estan mas cerca de nosotros de lo que imaginamos,por ejemplo:
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
Una ecuacion es una igualdad matematica entre dos expresiones enla que hay una o mas cantidades literales llamadas incognitas.
El termino ecuacion puede parecer extrano y lejano, sin embargo,las ecuaciones estan mas cerca de nosotros de lo que imaginamos,por ejemplo:
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
El problema de Mafalda tambien es una ecuacion.
Las ecuaciones se encuentran estrechamente relacionadas conel Algebra.
Los arabes introdujeron este termino para referirse a toda unaserie de metodos estandarizados que permitıan resolverproblemas para determinar el valor de una cantidad o unamagnitud cumpliendo ciertas condiciones.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
El problema de Mafalda tambien es una ecuacion.
Las ecuaciones se encuentran estrechamente relacionadas conel Algebra.
Los arabes introdujeron este termino para referirse a toda unaserie de metodos estandarizados que permitıan resolverproblemas para determinar el valor de una cantidad o unamagnitud cumpliendo ciertas condiciones.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion
El problema de Mafalda tambien es una ecuacion.
Las ecuaciones se encuentran estrechamente relacionadas conel Algebra.
Los arabes introdujeron este termino para referirse a toda unaserie de metodos estandarizados que permitıan resolverproblemas para determinar el valor de una cantidad o unamagnitud cumpliendo ciertas condiciones.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Definicion
Una ecuacion es una igualdad matematica entre dosexpresiones en la que hay una o mas cantidades literalesllamadas incognitas.
Una ecuacion es una igualdad en la cual hay terminosconocidos y terminos desconocidos. El termino desconocido sellama incognita y se representa generalmente por las ultimasletras del abecedario: x , y o z , aunque puede utilizarsecualquiera otra letra.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Definicion
Una ecuacion es una igualdad matematica entre dosexpresiones en la que hay una o mas cantidades literalesllamadas incognitas.
Una ecuacion es una igualdad en la cual hay terminosconocidos y terminos desconocidos. El termino desconocido sellama incognita y se representa generalmente por las ultimasletras del abecedario: x , y o z , aunque puede utilizarsecualquiera otra letra.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Importante
Solucion de una ecuacion:
Es un valor de la variable (incognita) que hace valida laigualdad
Resolver una ecuacion:
Es determinar todos los valores posibles de la variable quesatisfacen la igualdad planteada.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Importante
Solucion de una ecuacion:
Es un valor de la variable (incognita) que hace valida laigualdad
Resolver una ecuacion:
Es determinar todos los valores posibles de la variable quesatisfacen la igualdad planteada.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Clasificacion de una Ecuacion
Se clasifican segun su grado. Como vamos a resolver ecuaciones deuna sola variable el grado de una ecuacion lo marca el termino demayor grado.
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal:
3x − 1 = 4− x
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica:
x2 − 1 = 4− x
Ecuacion de Tercer Grado o Ecuacion Cubica:
x2 − 1 = 4x − x3
Ecuacion de n-esimo grado o Ecuacion Polinomica:
x5 = 4x − x2
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Clasificacion de una Ecuacion
Se clasifican segun su grado. Como vamos a resolver ecuaciones deuna sola variable el grado de una ecuacion lo marca el termino demayor grado.
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal:
3x − 1 = 4− x
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica:
x2 − 1 = 4− x
Ecuacion de Tercer Grado o Ecuacion Cubica:
x2 − 1 = 4x − x3
Ecuacion de n-esimo grado o Ecuacion Polinomica:
x5 = 4x − x2
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Clasificacion de una Ecuacion
Se clasifican segun su grado. Como vamos a resolver ecuaciones deuna sola variable el grado de una ecuacion lo marca el termino demayor grado.
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal:
3x − 1 = 4− x
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica:
x2 − 1 = 4− x
Ecuacion de Tercer Grado o Ecuacion Cubica:
x2 − 1 = 4x − x3
Ecuacion de n-esimo grado o Ecuacion Polinomica:
x5 = 4x − x2
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Clasificacion de una Ecuacion
Se clasifican segun su grado. Como vamos a resolver ecuaciones deuna sola variable el grado de una ecuacion lo marca el termino demayor grado.
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal:
3x − 1 = 4− x
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica:
x2 − 1 = 4− x
Ecuacion de Tercer Grado o Ecuacion Cubica:
x2 − 1 = 4x − x3
Ecuacion de n-esimo grado o Ecuacion Polinomica:
x5 = 4x − x2
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.
Reducirlas a la forma ax + b = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion sera un solo valor para x .
Se pueden presentar
de forma simple y parentesis.
con fracciones.
con productos y/o binomios.
con letras (ecuaciones literales).
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)
Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis
3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)
3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)
3x − 2x = 0
x = 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
Comprobacion
A fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
De forma simple y parentesis
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x + 1 = 3− (2− 2x)
3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))
1 = 3− 2
1 = 1
Por tanto x = 0 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
Solucion3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineal3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2Solucion
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
6 · 3x
2+ 6 · 2x
3= 6 · 1 + 3x
2multiplicar por el m.c.m que es 6
3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar
9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)
4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)
x =3
4
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
Comprobacion
A fin de comprobar la solucion se sustituye x por 34 en la ecuacion
y se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
2
3x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
2
3
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)
9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Fracciones
ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3
4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.
3x
2+
2x
3=
1 + 3x
23x
2+
2x
3=
1
2+
3x
23
2
(3
4
)+
2
3
(3
4
)=
1
2+
3
2
(3
4
)9
8+
1
2=
1
2+
9
8
Por tanto x = 34 es el valor correcto.
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
con productos y/o binomios
Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion
2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]
2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores
2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes
2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos
1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)
− x + 1 + 2x = −6 sumamos
x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)
x = −7
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Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
Soluciona− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con letras (Ecuaciones Literales)
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion lineala− x
a− b − x
b=
2(a− b)
abSolucion
a− x
a− b − x
b=
2(a− b)
ab
ab · a− x
a− ab · b − x
b= ab · 2(a− b)
abmultiplicar por el m.c.d que es ab
b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos
ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos
x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x
x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Otras Ecuaciones
Ecuaciones Racionales
Tienen la forma de fraccion, con la incognita en eldenominador.
Ecuaciones Irracionales
Tienen la forma de raız, con la incognita en la cantidadsub-radical
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Otras Ecuaciones
Ecuaciones Racionales
Tienen la forma de fraccion, con la incognita en eldenominador.
Ecuaciones Irracionales
Tienen la forma de raız, con la incognita en la cantidadsub-radical
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
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Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
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Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Racionales
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion2
x + 1=
x
x − 1− 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
2
x + 1· (x2 − 1) =
x
x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)
2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos
2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos
2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)
x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)
x = 3
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2
Resolver la ecuacion30
x + 5+
5 + 4x
x + 5= 5
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)
30
x + 5· (x + 5) +
5 + 4x
x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)
30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos
30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos
4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)
− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)
− x = −10
x = 10
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Irracionales
Ejemplo 1Resolver la ecuacion
√x − 1 = 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
√x − 1 = 1
(√x − 1)2 = 12 elevamos al cuadrado
x − 1 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-1)
x = 2
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Ecuaciones
Con Ecuaciones Irracionales
Ejemplo 1Resolver la ecuacion
√x − 1 = 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
√x − 1 = 1
(√x − 1)2 = 12 elevamos al cuadrado
x − 1 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-1)
x = 2
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Ecuaciones
Con Ecuaciones Irracionales
Ejemplo 1Resolver la ecuacion
√x − 1 = 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
√x − 1 = 1
(√x − 1)2 = 12 elevamos al cuadrado
x − 1 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-1)
x = 2
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Con Ecuaciones Irracionales
Ejemplo 1Resolver la ecuacion
√x − 1 = 1
Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)
√x − 1 = 1
(√x − 1)2 = 12 elevamos al cuadrado
x − 1 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-1)
x = 2
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Ecuaciones
Aplicacion de las Ecuaciones
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Ecuaciones
Ejercicio
Sea x un numero cualquiera. Escriba las siguientes expresionesmediante lenguaje algebraico.
N◦ Expresion Escrita Expresion Algebraica
1.- El doble de x 2x
2.- El triple de x 3x
3.- El cuadruple de x 4x
4.- La mitad de x 12x
5.- Un tercio de x 13x
6.- Tres cuartos de x 34x
7.- El 80 % de x 80100x = 0,8x
8.- El 25 % de x 25100x = 0,25x
9.- El cosecutivo o sucesor de x (x ∈ Z) x + 1
10.- El anterior o antecesor de x (x ∈ Z) x − 1
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Ecuaciones
Ejercicio
Sea x un numero cualquiera. Escriba las siguientes expresionesmediante lenguaje algebraico.
N◦ Expresion Escrita Expresion Algebraica
11.- El resultado de sumar un numero a cinco 5 + x
12.- La suma de algun numero y once x + 11
13.- El resultado de restar a nueve a algun numero 9− x
14.- Siete por algun numero 7x
15.- Dos veces la suma de un numero mas cuatro 2(x + 4)
16.- Un numero y su raız cuadrada x ,√x
17.- Dos numeros, uno y el triple del otro x , 3x
18.- Tres numeros proporcionales a 2,3 y 4. 2x , 3x , 4x
19.- Tres numeros inversamente proporcionales 12x , 1
3x ,14x
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Ecuaciones
Ejercicio
Escriba las siguientes ecuaciones con una incognita.
N◦ Expresion Escrita Expresion Algebraica
1.- La suma de tres numeros consecutivos es veinte. x + (x + 1) + (x + 2) = 20
2.- La suma de dos numeros impares consecutivos es 18. (2x + 1) + (2x + 3) = 18
3.- La suma de tres numeros pares consecutivos es 26. 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 26
4.- Un numero mas su septima parte es 18. x + 17x = 18
5.- La suma de dos numeros consecutivos es 16. x + (x + 1) = 16
6.- La suma de tres numeros consecutivos es 20. x + (x + 1) + (x + 2) = 20
7.- La suma de cuatro numeros consecutivos es 42. x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 42
8.- La suma de tres multiplos de tres consecutivos es 84. 3x + 3(x + 1) + 3(x + 2) = 84
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Ecuaciones
Ejemplo
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Ecuaciones
Solucion
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Ecuaciones
Solucion de problemas mediante el uso de ecuaciones lineales
El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuacion nosiempre es facil y para lograr cierta aptitud se requiere una practicaconsiderable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:
1 Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quedeperfectamente clara la situacion que plantea.
2 Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto lasconocidas como las desconocidas.
3 Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla mediante unaletra, generalmente x . Despues, expresar las otras cantidadesdesconocidas en terminos de esta letra.
4 Buscar en el problema los datos que indiquen que cantidades oque combinaciones de estas son iguales.
5 Formular la ecuacion, igualando las cantidades o combinacionesapropiadas encontradas en el paso anterior.
6 Resolver la ecuacion obtenida y comprobar la solucion.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.
Solucion:
i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,x : Variable que indica el numero de anos.
2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.por tanto, tendremos que
42 + x = 3(10 + x)
.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.Solucion:
i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,
x : Variable que indica el numero de anos.
2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.por tanto, tendremos que
42 + x = 3(10 + x)
.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.Solucion:
i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,x : Variable que indica el numero de anos.
2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.por tanto, tendremos que
42 + x = 3(10 + x)
.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.Solucion:
i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,x : Variable que indica el numero de anos.
2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.
por tanto, tendremos que
42 + x = 3(10 + x)
.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.Solucion:
i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,x : Variable que indica el numero de anos.
2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.por tanto, tendremos que
42 + x = 3(10 + x)
.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
42 + x = 3(10 + x)
42 + x = 30 + 3x
2x = 12
x = 6
Luego, Tienen que pasar 6 anos para que Pedrotenga el triple de la edad de su hijo.
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Ecuaciones
Ejemplo 1
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
42 + x = 3(10 + x)
42 + x = 30 + 3x
2x = 12
x = 6
Luego, Tienen que pasar 6 anos para que Pedrotenga el triple de la edad de su hijo.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.
Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,
x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:
i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.
2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
6x .
Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1
3de la obra, y en x dıas tendra hecho 1
3x .
Si Juan hace x6
y Paco x3
, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,
x
6+
x
3= 1
.
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Ecuaciones
Ejemplo 2
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
x
6+
x
3= 1
x + 2x
6= 1
3x = 6
x = 2
Luego, entre los dos tardan 2 dıas completos.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ejemplo 2
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
x
6+
x
3= 1
x + 2x
6= 1
3x = 6
x = 2
Luego, entre los dos tardan 2 dıas completos.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ejemplo 2
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
x
6+
x
3= 1
x + 2x
6= 1
3x = 6
x = 2
Luego, entre los dos tardan 2 dıas completos.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica
Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es2.
Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0
Para obtener solucion, despejar la variable x .
La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .
Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.
Usando la factorizacion de binomios.
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0
1 Despejar x de la forma:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
2 Existen dos soluciones reales para x , si
b2 − 4ac > 0
3 Existe una solucion real para x , si
b2 − 4ac = 0
4 NO existe solucion real para x , si
b2 − 4ac < 0
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0
Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego
x =−(−5)±
√(−5)2 − 4(3)(2)
2(3)
x =5±√
25− 24
6
x =5± 1
6
x1 =5 + 1
6⇒ x1 = 1,
x2 =5− 1
6⇒ x2 =
2
3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion
3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)
3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69
3x2 − 30x + 75 = 0
x =−(−30)±
√(−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
x =30±
√900− 900
6
x =30± 0
6
x =30
6⇒ x = 5,
Por tanto, la solucion es x = 5.
Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0
Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x =−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(7)
2(1)
x =4±√
16− 28
2
x =4±√−12
2
Por tanto, el sistema no tiene solucion.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion
(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27
25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27
− x2 − 7x − 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x =−(7)±
√(7)2 − 4(1)(6)
2(1)
x =−7±
√49− 24
2
x =−7± 5
2
x1 =−7 + 5
2⇒ x1 = −1,
x2 =−7− 5
2⇒ x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
19
4.
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Ecuaciones
Ecuacion de Segundo Grado
Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1
4(x − 4) + 2
5(x − 5) = 1
5(x2 − 53)
Solucion
1
4(x − 4) +
2
5(x − 5) =
1
5(x2 − 53) · (20)
5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)
− 4x2 + 13x + 152 = 0
4x2 − 13x − 152 = 0
x =−(−13)±
√(−13)2 − 4(4)(−152)
2(4)
x =13±
√169 + 2432
8
x =13± 51
8
x1 =13 + 51
8⇒ x1 = 8,
x2 =13− 51
8⇒ x2 = −
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4.
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Ecuaciones
Usando la Factorizacion de Binomios
Si en la ecuacion ax2 + bx + c = 0, a = 1, resolvemos como unproducto de binomios, es decir, encontramos dos numeros quemultiplicados den como resultado c y sumados den b.
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Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0
Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
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Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
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Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
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Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
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Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.
Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ejemplo 1
Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego
x2 + 3x − 18 = 0
(x + 6)(x − 3) = 0
x + 6 = 0 ⇒ x = −6,
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.
Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera.
Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.
sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.
suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:
i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.
2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion
(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452
4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452
8x2 + 8x − 448 = 0
x2 + x − 56 = 0
(x − 7)(x + 8) = 0
x − 7 = 0 ⇒ x = 7,
x + 8 = 0 ⇒ x = −8.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.
Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.
Por tanto, el problema tiene dos soluciones: 14 y 16 yademas -16 y -14.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.
Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.
Por tanto, el problema tiene dos soluciones: 14 y 16 yademas -16 y -14.
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Ecuaciones
Ejemplo de Aplicacion
Solucion:
4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.
Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.
Por tanto, el problema tiene dos soluciones: 14 y 16 yademas -16 y -14.
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