modelos de transporte
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Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: método de la esquina método de la esquina
noroestenoroeste
M. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos FaríasFarías
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Problemas de transporteProblemas de transporte
Surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que Surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.transportar.
Se presenta al planear la distribución de bienes y servicios Se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda.ubicaciones de la demanda.
La cantidad de los bienes disponibles en cada localización La cantidad de los bienes disponibles en cada localización de su ministro (origen) es limitada, y la cantidad de los de su ministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida.demanda (destino) es conocida.
El objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes El objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos.desde los orígenes hasta los destinos.
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Dentro de la amplia gama de problemas de programación Dentro de la amplia gama de problemas de programación lineal se encuentran los problemas de transporte, los lineal se encuentran los problemas de transporte, los cuales poseen características particulares. cuales poseen características particulares.
En este caso específico de problemas, es necesario En este caso específico de problemas, es necesario determinar la ruta más eficiente para hacer llegar determinar la ruta más eficiente para hacer llegar productos o materiales desde puntos alternativos de productos o materiales desde puntos alternativos de origen hasta diferentes puntos de destino, cumpliendo las origen hasta diferentes puntos de destino, cumpliendo las restricciones específicas de oferta y demanda y con base restricciones específicas de oferta y demanda y con base en la estructura de costos de las rutas de transporte.en la estructura de costos de las rutas de transporte.
Las diversas técnicas para abordar el problema de Las diversas técnicas para abordar el problema de transporte requieren de una tabla de transporte, dicha transporte requieren de una tabla de transporte, dicha tabla en su forma estándar registra todos los elementos tabla en su forma estándar registra todos los elementos esenciales del problema de transporte que estamos esenciales del problema de transporte que estamos solucionando: costos de transporte; puntos de origen y solucionando: costos de transporte; puntos de origen y destino, cantidades de oferta y demanda; tal y como se destino, cantidades de oferta y demanda; tal y como se muestra a continuación:muestra a continuación:
4En la tabla anterior la demanda (33) es igual a la oferta (33), lo cual significa que el problema está balanceado y ello facilita la búsqueda de la solución.
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Definición del problemaDefinición del problema
* Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Stiene una capacidad de producción Sii
*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda D*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Djj
*Objetivo:*Objetivo:
Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino destino
cumpliendo con las restricciones de los lugares de cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.origen.
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Caso I. Caso I. Oferta igual a demandaOferta igual a demanda
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EJEMPLO 1EJEMPLO 1
Farmacéutica CarltonFarmacéutica Carlton
Problema de transporteProblema de transporte
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Farmacéutica CarltonFarmacéutica Carlton
La farmacéutica Carlton abastece de La farmacéutica Carlton abastece de medicamentos y otros suministros médicos.medicamentos y otros suministros médicos.
Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro.Greensboro.
Tiene cuatro centros de distribución en: Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis y Richmond.Boston, Atlanta, St Louis y Richmond.
La gerencia de Carlton desea realizar el La gerencia de Carlton desea realizar el transporte de sus productos de la manera más transporte de sus productos de la manera más económica posible.económica posible.
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DatosDatos
Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.
SupuestosSupuestos
* El costo de transporte por unidad es constante* El costo de transporte por unidad es constante
* Todos los transportes ocurren simultáneamente.* Todos los transportes ocurren simultáneamente.
* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destinode origen y el de destino
* La oferta total es igual a la demanda total.* La oferta total es igual a la demanda total.
HaciaDesde Boston Richmond Atlanta St. Louis Oferta Cleveland $35 30 40 32 1200 Detroit 37 40 42 25 1000 Greensboro 40 15 20 28 800Demanda 1100 400 750 750
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SOLUCIÓNSOLUCIÓN
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RED QUE RED QUE REPRESENTAREPRESENTA
EL PROBLEMAEL PROBLEMA Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
Destinos
Origenes
Cleveland
Detroit
Greensboro
S1=1200
S2=1000
S3= 800
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750
37
40
42
32
35
40
30
25
3515
20
28
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Modelo matemáticoModelo matemático* La estructura del modelo es la siguiente:* La estructura del modelo es la siguiente:
Minimizar <Costo total de transporte>Minimizar <Costo total de transporte>
sujeto a :sujeto a :
cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábricafábrica
cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora.distribuidora.
* Variables de decisión:* Variables de decisión:
XXij ij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora jdistribuidora j
donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)
j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)(St,Louis)
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Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750
Restricciones de la Oferta
Cleveland S1=1200
X11
X12
X13
X14
Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200
DetroitS2=1000
X21
X22
X23
X24
Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000
GreensboroS3= 800
X31
X32
X33
X34
Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800
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El modelo matemático completoEl modelo matemático completo
Restriccione de la oferta:X11+ X12+ X13+ X14 1200
X21+ X22+ X23+ X24 1000X31+ X32+ X33+ X34 800
Restricciones de la demanda:X11+ X21+ X31 1000
X12+ X22+ X32 400X13+ X23+ X33 750
X14+ X24+ X34 750
Todos los Xij mayores que cero
===
====
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Solución optima obtenida a través de ExcelSolución optima obtenida a través de Excel
FARMACUETICA CARLTON
COSTOS UNITARIOSBOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS OFERTAS
CLEVELAND 35,00$ 30,00$ 40,00$ 32,00$ 1200DETROIT 37,00$ 40,00$ 42,00$ 25,00$ 1000GREENSBORO 40,00$ 15,00$ 20,00$ 28,00$ 800
DEMANDAS 1100 400 750 750
ALTERNATIVAS DE TRANSPORTEBOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS TOTAL
CLEVELAND 850 350 0 0 1200DETROIT 250 0 0 750 1000GREENSBORO 0 50 750 0 800
TOTAL 1100 400 750 750 COSTO TOTAL = 84000
16Rango Optim
o
Análisis de Sensibilidad por WINQSBAnálisis de Sensibilidad por WINQSB
Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada.
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Rango de factibilidad
Precio sombra de la distribuidora - el costo de mandar una unidad más por la distribuidora.
Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.
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Interpretación de los resultados del Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad.análisis de sensibilidad.
* Reducción de Costos: * Reducción de Costos:
- La cantidad a transportar que reduce el - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad costo por unidad entrega la ruta más entrega la ruta más económicamente atractiva.económicamente atractiva.
- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asíincurriendo así en el costo que ello significa, en el costo que ello significa, por cada carga transportada , por cada carga transportada , el costo total el costo total aumentara en una cantidad igual a la aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha.reducción del costo hecha.
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* Precios Sombra:* Precios Sombra:
- Para las plantas el precio sombra - Para las plantas el precio sombra de transporte de transporte corresponde al costo corresponde al costo de cada unidad disponible en la de cada unidad disponible en la planta.planta.
- Para las distribuidoras, el precio - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad corresponde al costo de cada unidad extra demandada por extra demandada por la distribuidora.la distribuidora.
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LA REGLA DE LA ESQUINA LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE NOROESTE
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Esta regla nos permite encontrar Esta regla nos permite encontrar una solución factible básica una solución factible básica inicial (SFBI), una vez que inicial (SFBI), una vez que tengamos el problema de tengamos el problema de transporte “balanceado” o transporte “balanceado” o equilibrado, es decir que el equilibrado, es decir que el total de ofertas iguales al total total de ofertas iguales al total de demandas.de demandas.
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PROCEDIMIENTOPROCEDIMIENTO
Iniciar la asignación en el renglón 1 y Iniciar la asignación en el renglón 1 y columna 1 (esquina noroeste) y formar columna 1 (esquina noroeste) y formar una base asignando cantidades a las una base asignando cantidades a las rutas, de forma tal que se agoten las rutas, de forma tal que se agoten las existencias de la fabrica y se satisfaga existencias de la fabrica y se satisfaga la demanda de los mercados. la demanda de los mercados.
Así entonces, la asignación inicia en la Así entonces, la asignación inicia en la casilla X11 (esquina noroeste) y si lo casilla X11 (esquina noroeste) y si lo fábrica 1 no agotó su oferta continuara fábrica 1 no agotó su oferta continuara en la casilla X12 y así sucesivamente. en la casilla X12 y así sucesivamente.
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En el caso de que el total de la En el caso de que el total de la oferta de la fabrica 1 no haya sido oferta de la fabrica 1 no haya sido suficiente para cubrir la demanda suficiente para cubrir la demanda del mercado 1, completar con la del mercado 1, completar con la oferta de la fabrica 2, que es la oferta de la fabrica 2, que es la casilla X21 y si no se agotó la oferta casilla X21 y si no se agotó la oferta pasar a la casilla X22 y así continuar pasar a la casilla X22 y así continuar hasta concluir el proceso de hasta concluir el proceso de asignación.asignación.
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Con la forma anterior se conseguirá Con la forma anterior se conseguirá la siguiente solución básica factible la siguiente solución básica factible inicial:inicial:
x11
15
x12
15
x13 x14 30
x21 x22
5
x23
31
x24
9
45
x31 x32 x33 x34
50
50
x41 x42 x43 x44
25
25
15 20 31 84
25
Supuestos del método:Supuestos del método:
1.1. Asignamos lo más que podamos a la Asignamos lo más que podamos a la variable x11 que ocupa la posición variable x11 que ocupa la posición noroeste de la tabla.noroeste de la tabla.
2.2. La oferta es igual a la demanda.La oferta es igual a la demanda.3.3. El proceso de asignar a la variable el El proceso de asignar a la variable el
mínimo valor entre oferta y demanda mínimo valor entre oferta y demanda disponibles se repite hasta que toda la disponibles se repite hasta que toda la oferta y demanda totales sean satisfechas.oferta y demanda totales sean satisfechas.
4.4. Genera una solución factible básica inicial.Genera una solución factible básica inicial.5.5. Las celdas en blanco corresponden a Las celdas en blanco corresponden a
variables no básicas y sus valores son cero.variables no básicas y sus valores son cero.6.6. Se obtienen variables básicas en las celdas Se obtienen variables básicas en las celdas
con asignación.con asignación.
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EJEMPLO 1EJEMPLO 1
27
x11 x12 x13 x14 30
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
15 20 31 84
Encontrar la ruta de costo mínimo para el Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste.el método de la esquina noroeste.
28
X11
15
x12 x13 x14 30 15
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
20 31 84
29
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
205
31 84
30
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
x23 x24 45 40
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
31 84
31
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24 45 40 9
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
84
32
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
8475
33
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 X34
50
50 0
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
847525
34
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 X34
50
50 0
x41 x42 x43 X44
25
25 0
150
2050
310
8475250
35
EJEMPLO 2EJEMPLO 2
36
37
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
38
39
U
=+1-5+2-4=-6
40
41
42
Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: método de costo método de costo
mínimo y de Vogelmínimo y de Vogel
M. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos FaríasFarías
44
45
Método de costo Método de costo mínimomínimo
46
Métodos de Costo Métodos de Costo mínimo:mínimo:
– de la matrizde la matriz– por columnapor columna– por filapor fila
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Costo mínimo de la matrizCosto mínimo de la matriz: Consiste en : Consiste en seleccionar en cada etapa aquella seleccionar en cada etapa aquella variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo para todos los i, j.para todos los i, j.
Costo mínimo por columnaCosto mínimo por columna: Comenzando : Comenzando con la columna de la izquierda, con la columna de la izquierda, seleccionamos aquella variable de menor seleccionamos aquella variable de menor costo.costo.
Costo mínimo por filaCosto mínimo por fila: Comenzando por la : Comenzando por la primera fila, seleccionamos xij como la primera fila, seleccionamos xij como la variable correspondiente que tenga variable correspondiente que tenga menor costo.menor costo.
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Este es un procedimiento que aventaja a Este es un procedimiento que aventaja a la regla de la esquina noroeste en la la regla de la esquina noroeste en la búsqueda de la solución óptima. búsqueda de la solución óptima.
Aquí emplearemos la misma técnica Aquí emplearemos la misma técnica básica de agotar alternativamente ya sea básica de agotar alternativamente ya sea la oferta de las fábricas o la demanda de la oferta de las fábricas o la demanda de los mercados, pero modifica el requisito de los mercados, pero modifica el requisito de proceder geográficamente desde la proceder geográficamente desde la esquina superior izquierda. esquina superior izquierda.
En lugar de lo anterior, la asignación En lugar de lo anterior, la asignación corresponde a la casilla de menor costo de corresponde a la casilla de menor costo de la tabla de transporte. la tabla de transporte.
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Si esta asignación satisface el requisito de Si esta asignación satisface el requisito de demanda de un mercado, se sigue demanda de un mercado, se sigue adelante con el costo más bajo siguiente adelante con el costo más bajo siguiente en el mismo renglón y agotando, de ser en el mismo renglón y agotando, de ser posible, las existencias de la fabrica en posible, las existencias de la fabrica en cuestión.cuestión.
El procedimiento agota de la misma El procedimiento agota de la misma manera la oferta de las fábricas y la manera la oferta de las fábricas y la demanda de los mercados, inspeccionando demanda de los mercados, inspeccionando siempre los costos a fin de encontrar la siempre los costos a fin de encontrar la casilla siguiente para una asignación en el casilla siguiente para una asignación en el renglón o la columna de que se trata.renglón o la columna de que se trata.
50
EJEMPLO 1EJEMPLO 1
Método de costo mínimoMétodo de costo mínimo
51Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo
52
Costo mínimo de la Costo mínimo de la matrizmatriz
53
2500 0
3500
54
2500 0
3500
2000 4000
0
55
2500 0
3500
2000 4000
0
4000
0
1000
56
2500 0
35002500
2000 4000
0
4000
0
1000 0
1000
57
2500 0
35002500
2000 40002500
0
4000
0
1000 0
1000
1500
0
58
2500 0
35002500 0
2000 40002500 0
0
4000
0
1000 0
1000
1500
0
2500
59
Costo mínimo por filaCosto mínimo por fila
60
4000
0
1000
61
2000
4000
0
1000
0
4000
62
2000
4000
0
1000
0
4000
2500 0
3500
63
2000
4000
0
10000
0
4000
2500 0
35002500
1000
64
2000
4000
0
10000
0
40002500
2500 0
35002500
1000
1500
0
65
2000
4000
0
10000
0
40002500
0
2500 0
35002500
0
1000
1500
0
2500
66
Costo mínimo por Costo mínimo por columnacolumna
67
2500 0
3500
68
2500 0
3500
4000
0
1000
69
2500 0
3500
4000
0
1000
2000 4000
0
70
2500 0
3500
4000
0
1000
2000 40002500
0
1500
0
71
2500 0
35002500
4000
0
10000
2000 40002500
0
1500
0
1000
72
2500 0
35002500
0
4000
0
10000
2000 40002500
0
0
1500
0
1000
2500
Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: Problemas de Problemas de
asignaciónasignaciónM. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos
FaríasFarías
74
EJEMPLO 1EJEMPLO 1
El profesor MichellEl profesor Michell
Problema de asignaciónProblema de asignación
75
Solución mediante el método Solución mediante el método HúngaroHúngaro
Problema:Problema:El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:
CapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 96 99 105 108 96 99 105 108
MaríaMaría 116 116 109 107 96 109 107 96
JackelineJackeline 120 102 113 111 120 102 113 111
EdithEdith 114 114 105 118 115 105 118 115
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Restricciones del MétodoRestricciones del Método
* Solo problemas de minimización.* Solo problemas de minimización.
* Número de personas a asignar m es igual al número de * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m.lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignación por persona y una persona por * Una asignación por persona y una persona por asignaciónasignación
Matriz de CostosMatriz de CostosCapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 96 99 105 108 96 99 105 108
MaríaMaría 116 116 109 107 96 109 107 96
JackelineJackeline 120 102 113 111 120 102 113 111
EdithEdith 114 114 105 118 115 105 118 115
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Restar el Menor valor de cada filaRestar el Menor valor de cada filaCapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 0 3 9 12 0 3 9 12
MaríaMaría 20 13 11 0 20 13 11 0
JackelineJackeline 18 0 11 9 18 0 11 9
EdithEdith 9 9 0 13 10 0 13 10
Restar el menor valor de cada columna en la Restar el menor valor de cada columna en la matriz anteriormatriz anterior
CapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 0 3 0 12 0 3 0 12
MaríaMaría 20 13 2 0 20 13 2 0
JackelineJackeline 18 0 2 9 18 0 2 9
EdithEdith 9 9 0 4 10 0 4 10
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Trazar el mínimo número de líneas que cubran los Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
CapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 0 3 0 12 0 3 0 12
MaríaMaría 20 13 2 0 20 13 2 0
JackelineJackeline 18 0 2 9 18 0 2 9
EdithEdith 9 9 0 4 10 0 4 10
Si el número de líneas es igual al número de filas Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las números no rayados y sumarlo en las intersecciones.intersecciones.
Para este caso corresponde al valor 2Para este caso corresponde al valor 2
79
CapítulosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16
JuanaJuana 0 5 0 14 0 5 0 14
MaríaMaría 18 13 0 0 18 13 0 0
JackelineJackeline 16 0 0 9 16 0 0 9
EdithEdith 7 7 0 2 10 0 2 10
Se obtuvo la asignación óptima.Se obtuvo la asignación óptima. Las asignaciones corresponde a los valores Las asignaciones corresponde a los valores
donde existen 0donde existen 0Juana Cap. 13Juana Cap. 13
María Cap. 16María Cap. 16
Jackeline Cap. 15Jackeline Cap. 15
Edith Cap. 14Edith Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
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