modelagem com variáveis binárias - icmc - instituto de ciências matemáticas e...
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Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas.
=
ocorrenãoeventoose0
ocorreeventoose1x
Decisão sobre uma atitude (fazer ou não fazer, comprar ou não comprar...).
Custo fixo (um exemplo)
A produção de um item implica em um custo fixo, por exemplo, de preparação da máquina .
Nos modelos de produção dados anteriormente tínhamos:xj=Quantidade produzida de um item.
Para o item j, a função custo, designada por cj(xj) ,traduz os custos incorridos quando se produzem xj itens do tipo j.
(não linear devido a descontinuidade no ponto x=0). Como Modelar de forma linear?
Seja uma variável binária yj, tal que yj vale 1 se xj>0 e yj vale 0 caso contrário
>
=cc
xsey
jj
0
01
jj cxsyK +=
Como associar x e y ?Considerando M um limite superior para a produção do item (xj) podemos escrever:
jj Myx ≤
Considere uma situação em que, se o produto 1 é fabricado, então o produto 2 também deve ser fabricado. Sejam
1x =quantidade produzida do item 1.
2x =quantidade produzida do item 2.
As condições são expressas por:
Podemos ter a condição de que 1 1y = implica que 2 0x > . Isto é obtido por meio
da desigualdade 2 1x ny≥ , onde n é o limitante para a produção do item 2
Suponha que quatro itens podem ser produzidos em uma máquina denotada por k,e se o item 1 é produzido na máquina k,
então os outros itens:2, 3 e 4 não podem ser processados em k e são processados em outras máquinas.
então se 1 1kx = implica que 2 3 4 0k k kx x x= = = .
Como as variáveis são binárias, pode-se expressar esta condição como:
1 0kx > então 2 3 4 0k k kx x x+ + ≤ , ou 2 3 4 0k k kx x x− − − ≥ .
Seja a desigualdade 1( , , ) 0nf x x ≤L
Definindo:
1 se f 0
0y
cc
≤=
Podemos expressar esta implicação como:
1( , , ) (1 )nf x x M y≤ −L
Onde M é um número grande. Note que se y=0, a restrição é desativada, isto é,
1( , , )nf x xL pode assumir qualquer valor até seu limite superior M.
Considere as desigualdades:
1( , , ) 0nf x x ≤L (4)
e
1( , , ) 0ng x x ≤L (5)
Deseja-se que somente uma das desigualdades esteja ativada.
Definindo
1 se f 0
0 g 0y
se
≤= ≤
Isto pode ser representando por:
1( , , ) (1 )nf x x M y≤ −L
1( , , )ng x x My≤L
O acréscimo de um número M grande do ladodireito das restrições faz com que a restriçãoseja transladada paralelamente no quadrante superior. As linhas pontilhadas indicam a translação mínima das duas retas de forma
que somente uma das restrições seja ativada.
yxx
yxx
M
xxxx
xxxx
12010052
)1(1208024
120}100,120max{
2005210052
200248024
21
21
2121
2121
+≤+−+≤+
===+→=+
=+→=+
Suponha que existam cinco tipos de investimento financeiro e seja xj a variável binária de decisão tal que
1 se o investimento j é selecionad
0jo
xcc
=
Considere as seguintes restrições e situações: 1) No máximo três investimentos são selecionados
1 2 3 4 5 3x x x x x+ + + + ≤ 2) Exatamente um investimento é selecionado
1 2 3 4 5 1x x x x x+ + + + = 3) O investimento 1 ou o investimento 2 é selecionado
1 2 1x x+ ≥ 4) Se o investimento 2 é selecionado, então o investimento 1 é selecionado
2 1x x≤ 5) Se os investimentos 2, 3 ou 4 são selecionados, então o investimento 1 é selecionado. Duas formas:
2 1x x≤
3 1x x≤
4 1x x≤ ou
2 3 4 13x x x x+ + ≤
Relaxação linear???
}4,1,10,3{ 14321 L=≤≤≤++= ixxxxxX i
}4,1,10,,,{ 1413122 L=≤≤≤≤≤= ixxxxxxxX i
2
11432
12
satisfazemnão mas
satisfazem3
1,
4
1,
2
1pois
X
Xxxxx
XX
====
⊂
12 relaçãoempreferido XX
Considere o problema de localização de armazéns cujo objetivo é escolher os armazéns que devem ser instalados para servir um conjunto de clientes.Neste modelo existem uma capacidade associada a cada local possível e uma procura associada a cada cliente. A procura dos clientes associados a um certo armazém não pode exceder a sua capacidade. O objetivo do problema é ainda satisfazer os pedidos a um custo global mínimo, que envolve os custos mensais da renda dos armazénse os custos de transporte da mercadoria entre os armazéns e os clientes.
Considere 4 possíveis armazéns (A,B,C e D) com capacidades de 35, 28, 22 e 28 respectivamente e com as rendas mensais indicadas na tabela. Existe um conjunto de 5 clientes (a,b,c,d, e e) que representam as procuras de 14, 12, 10, 12 e 8, respectivamente. Os custos de transporte unitários entre cada possível armazém e cada cliente são indicados na tabela.
Exemplo
� Formule um modelo de programação inteira que lhe permita determinar qual o conjunto ótimo de armazéns a selecionar. Considere as variáveis a quantidade a ser transportada do armazém i até o cliente j. As variáveis binárias assumem o valor 1 se o armazém i é selecionado e 0, caso contrário. Para o problema é necessário respeitar as seguintes restrições:
� Dos locais C e D, exatamente 1 deve ser selecionado
� A seleção do local A ou do local B implica na exclusão do local C.
� A seleção do local A ou do local B implica a seleção do local D
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