miss ri matematički modeli realnih sustava - mehanika ... · pdf filemiss_ri matematički...
Post on 05-Feb-2018
230 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 1
y ' f (u )
∆y ' k @∆u
MATEMATIČKI MODELI REALNIH SUSTAVA
MEHANIKA FLUIDA
Elementi procesa protoka fluida:
S spremnici
S crpke
S ventili
S cijevi
Zakonitosti:
S Bernoulijeva jednadžba - ravnoteža tlakova
S jednadžba dinamičke ravnoteže tlakova u cjevovodu
S jednadžba dinamičke ravnoteže (mase ili volumena) fluida u spremniku
S karakteristike crpki i ventila
Sustavi su opisani NELINEARNIM diferencijalnim jednadžbama.
Za opis prijenosnom funkcijom ili linearnim jednadžbama varijabli stanja sustav je
potrebno linearizirati.
Linearizacija nelinearnih jednadžbi
Nelinearna jednadžba:
Pretvaranje u linearnu
jednadžbu oblika:
gdje je:
k - koeficijent linearizacije
Metode linearizacije:S metoda perturbacija
S primjena Taylorova
reda
Metoda perturbacija zasniva se na uvođenju malih promjena nezavisne varijable
oko radne točke (∆u) i izražavanje promjena zavisne varijable (∆y) pomoću njih
uz zanemarenje viših potencija od ∆u.
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 2
y(u) ' f (u0) %
1
1!/00
Mf(u)
Muu'u
0
(u&u0) %
1
2!/000
M2f(u)
Mu 2u'u
0
(u&u0)2
%1
3!/000
M3f(u)
Mu 3u'u
0
(u&u0)3
% ...
∆y ' /00Mf(u)
Muu'u
0
∆u
y ' k @u
k ' /00Mf(u)
Muu'u
0
Primjena Taylorova reda zasniva se na razvoju nelinearne funkcije u Taylorov red
oko radne točke (u0, y0) i zanemarenju viših članova reda.
Razvoj funkcije f(u) u Taylorov red oko radne točke (u0, y0):
y0=f(u0)
∆y=y-y0
∆u=u-u0
Zanemarenjem viših potencija od ∆u dobije se linearni oblik jednadžbe:
Translacijom koordinatnog sustava u radnu točku, relativne promjene oko radne
točke postaju apsolutne promjene oko radne točke: ∆y-y, ∆u-u.
Linearni oblik jednadžbe:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 3
y ' f (u1,u
2)
y(u) ' f (u10
,u20
) %1
1!/000
Mf(u1,u
2)
Mu1 u
1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10) % /000
Mf(u1,u
2)
Mu2 u
1'u
10
u2'u
20
(u2&u
20) %
%1
2!/0000
M2f(u
1,u
2)
Mu2
1 u1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10)2
% 2 /0000M
2f(u1,u
2)
Mu1Mu
2 u1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10) (u
2&u
20) %
% /0000M
2f(u1,u
2)
Mu2
2 u1'u
10
u2'u
20
(u2&u
20)2
%
1
3!/0000
M3f(u
1,u
2)
Mu3
1 u1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10)3
% 3 /0000M
3f(u1,u
2)
Mu2
1 Mu2 u
1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10)2 (u
2&u
20) %
% 3 /0000M
3f(u1,u
2)
Mu1Mu
2
2 u1'u
10
u2'u
20
(u1&u
10)(u
2&u
20)2
% /0000M
3f(u1,u
2)
Mu3
2 u1'u
10
u2'u
20
(u2&u
20)3
% ...
∆y ' /000Mf(u1,u2)
Mu1 u1'u
10
u2'u
20
∆u1 % /000Mf(u1,u2)
Mu2 u1'u
10
u2'u
20
∆u2
y ' k1u
1% k
2u
2
k1' /000
Mf(u1,u
2)
Mu1 u
1'u
10
u2'u
20
k2' /000
Mf(u1,u
2)
Mu2 u
1'u
10
u2'u
20
Linearizacija jednadžbe dvije varijable:
Taylorov red:
y0=f(u10,u20)
∆y=y-y0
∆u1=u1-u10
∆u2=u2-u20
Zanemarenjem viših potencija od ∆u dobije se linearni oblik jednadžbe:
Translacijom koordinatnog sustava u radnu točku, relativne promjene oko radne
točke postaju apsolutne promjene oko radne točke: ∆y-y, ∆u-u.
Linearni oblik jednadžbe:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 4
Pu % Hρg &ρv 2
2& Pi ' 0
Q ' Av
A 'd
2
2
π
Q ' A2
ρPu & Pi % Hρg
Bernoulijeva jednadžba
Suma hidrostatskog i
dinamičkog tlaka je
konstantna.
Ukoliko je masa fluida
zanemariva, vrijedi:
Pu - ulazni tlak
Pi - izlazni tlak
g - grafitacijska konstanta
v - brzina tekućine u cijevi
H - razlika visine početka i kraja cijevi
ρ - gustoća fluida
Odnos brzine tekućine u cijevi i protoka:
gdje su:
A - površina poprečnog presjeka cijevi
d - promjer cijevi
Iz Bernoulijeve jednadžbe i jednadžbe odnosa brzine i protoka fluida dobije se izraz
za protok fluida:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 5
Ajm
Pm 'd
dtmv
jm
Pm' P
u& P
i% Hρg &
ρv 2
2m ' ρV
v 'Q
A
A Pu& P
i% Hρg &
ρ
2
Q
A
2
' ρVd
dt
Q
A
V ' Al
0Q 'A
ρ lP
u& P
i% Hρg &
ρ
2
Q
A
2
0Q 'A
ρ lP
u& P
i% Hρg &
8ρ
π2@
1
d 4@Q 2
0Q 'A
ρ lPu & Pi % Hρg & K @Q 2
K '8ρ
π2@
1
d 4
Uzimanje u obzir mase fluida - diferencijalna jednadžba ravnoteže količinegibanja.Svođenjem sustava na koncentrirane parametre, možemo poći od zakonitosti za
kruta tijela kod kojih je promjena količine gibanja jednaka sumi sila.
Sile koje djeluju na masu tekućine u cijevi odgovaraju umnošku površine poprečnog
presjeka cijevi i sume tlakova.
gdje su:
m - masa tekućine u cijevi
V - volumen tekućine u cijevi.
Iz jednadžbe dinamičke ravnoteže proizlazi:
Uzimajući da je:
jednadžba dinamičke ravnoteže poprima oblik:
Kod realnih sustava koeficijent K osim o promjeru cijevi ovisi i o omjeru njene duljine
i promjera i kvaliteti površine cijevi, pa je iskustveno određeno:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 6
K '8ρ
π2@
1
d 4@λ
l
d' λ
8ρ
π2
l
d 5
dV
dt' j
i
Qi
Q ' kcω
Q ' kv @x @ ∆P
λ - konstanta ovisna o vrsti materijala i tipu površine cijevi, a za čelične
cijevi iznosi 0.02136.
Jednadžba dinamičke ravnoteže volumena fluida u spremniku
CrpkeS Izvori tlaka ili protoka
S nelinearne karakteristike
S zbog pojednostavljenja opisa, centrifugalne crpke ćemo opisivati linearnim
izrazom (koji vrijedi samo u ograničenom radnom režimu):
gdje je:
kc - koeficijent crpke, [m3/rad],
ω - brzina vrtnje crpke, [rad/s].
VentiliS Izazivaju pad tlaka zbog protoka tekućine, ovisno o otvoru
S pad tlaka određen dinamičkim tlakom koji je proporcionalan s kvadratom
brzine tekućine
S oblik sedla ventila određuje statičku karakteristiku protoka u ovisnosti o
otvoru ventila
S linearni ventili imaju linearnu karakteristiku ovisnosti protoka o otvoru
ventila i mogu se opisati jednadžbom:
gdje su:
kv - konstanta ventila ,m 3
ms bar
x - otvor ventila, [m],
∆P - razlika tlakova na ulazu i izlazu ventila, [bar].
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 7
dV
dt' Qu & Qi ' A
dh
dt
Qu ' x @Kv @ Pu
X(s) ' GM
(s)U(s)
U(s) ' GR(s) ε(s)
ε(t) ' ur(t) & u
q(t)
Primjer:Odredite matematički model sustava regulacije izlaznog protoka tekućine prema slici
uz zanemarenje inercije tekućine, ako je površina horizontalnog presjeka rezervoara
A=20m2, koeficijent ventila Kv=0.5 , prijenosna funkcija pozicijski reguliranog motora
koji zakreće ventil GM. Ulazni tlak (nadtlak prema atmosferskom tlaku) Pu=10 bar, a
površina poprečnog presjeka izlazne cijevi Ac=250cm2. Prijenosna funkcija mjernog
člana izlaznog protoka je Kpv=1 V min/m3.
Prijenosna funkcija motora i regulatora određena je izrazom:
GR ' KR 1 %1
TIs,
V
V
GM
(s) '
KM
TM
s % 1,
Pri projektiranju modela potrebno je
uvažiti slijedeće pretpostavke:
strujanje je laminarno,
prigušnica za mjerenje
izlaznog protoka ne utječe
na izlazni protok, brzina tekućine u
rezervoaru je zanemariva prema
brzini tekućine u cijevima.
Ostale procesne veličine su:
Ur=7+2 S(t-4000s) [V],
TM=0.2 s,
TI=0.5 s,
KM=15 cm/V
KR= [V/V]1@10&4
Jednadžba kontinuiteta:
Ulazni protok (određen karakteristikom ventila)
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 8
Uq(t) ' K
pvQ
i(t)
Q i ' Ac 2gH
Simulacijska shema sustava
1
q_uq_u0
K_v
Ventil
sqrt(u(1))
Fcn
2
x
1
p_u
ul_ventil
qi(t)=?
Iz Bernoulieve jednadžbe uz iste iznose tlakova na ulazu u rezervoar i na izlazu iz
cijevi dobije se:
Nelinearna shema sustava:
Simulacijska shema za Matlab:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 9
Rezervoar
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
t [s]
Qu
Qi
Odziv sustava:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
Qi0'
Ur0
Kpv
' 0.1167m 3
s
Qu0
' Qi0'
Ur0
Kpv
' 0.1167m 3
s
Pu0
'10bar (zadano)
X0'
Qu0
Kv Pu0
' 4.4272cm
Razina:
Linearizacija:
Radna točka:
Stacionarno stanje u kojem sustav najduže radi:
(u ovom zadatku određeno s uro
=7 V)
uro=7 V
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 11
H0'
Qi0
Ac
21
2g' 1.11 m
qu' k
qxx % k
qppu
kqx
' /000MQ
u
Mxx'X
0, p
u'P
u0
' Kv
Pu0
' 0.0264m
3
cms
kqp ' /000MQu
Mpu x'X0, p
u'P
u0
' X0 Kv
1
2 Pu0
'
Qu0
2Pu0
' 0.058m
3
s@
1
bar
qi' k
ih
ki' /000
MQi
MHH'H
0
' Ac
2g1
2 H0
'
Qi0
2H0
' 0.0526m
2
s
Linearizacija nelinearnih jednadžbi:
Qu(s) ' k
qxX(s) % k
qpP
u(s)
X(s) ' GM
(s)U(s) U(s) ' GR(s) ε(s) ε(s) ' U
r(s) & U
q(s)
Uq(s) ' K
pvQ
i(s) Q
i(s) ' k
iH(s) s @H(s) '
1
AQu(s) & Qi(s)
Qi(s)
Ur(s)
' ?U
q(s)
Ur(s)
' ?
AH @s ' kqx@G
M@G
R@ε % k
qp@P
u& k
i@H
(As % ki) @H ' k
qx@G
M@G
R@ (U
R& K
pv@Q
i) % k
qp@P
u
( As % ki% k
qx@G
M@G
R@K
pv@k
i) @H ' k
qx@G
M@G
R@U
R% k
qp@P
u
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 12
H(s) '
k11
(Tis%1)
a31
s 3% a
21s 2
% a11
s % a01
Ur(s) %
kqp
(TM
s%1)Tis
a31
s 3% a
21s 2
% a11
s % a01
Pu(s)
k11 ' kqxKMKR,
a31'AT
MTi
a21 ' kiTMT i%ATi
a11
' kqx
KM
KR
Kpv
kiTi%k
iTi
a01 ' kqxKMKRKpvki
H(s) '
k1(T
is%1)
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Ur(s) %
k2s(T
Ms%1)
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Pu(s)
k1 '
kqxKMKR
ATMT i
' 1.9764e&005m
Vs3
k2'
kqp
ATM
' 1.4583e&003m
s2@bar
a2 '
k i
A%
1
TM
' 5.0026s &1
a1'
ki
ATM
(kqx
KM
KR
Kpv%1) ' 1.3170e&002s &2
a0 '
kqxKMKRKpvki
ATMTi
' 6.2321e&005s &3
Uq(s) '
kiK
pvk
1(T
is%1)
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Ur(s) %
kiK
pvk
2s(T
Ms%1)
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Pu(s)
Uq(s) '
b11
s%b10
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Ur(s) %
b22
s 2% b
21s
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Pu(s)
b11 ' kiKpvk1Ti ' 3.1160e&005s &2 b10 ' kiKpvk1 ' a0 ' 6.2321e&005s &3
b22 ' kiKpvk2TM ' 9.1969e&004V
s @barb21 ' kiKpvk2 ' 4.5984e&003
V
s2@bar
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 13
G1(s) ' /000Uq(s)
Ur(s)Pu'0
'
b11s%b10
s 3% a2s 2
% a1 s % a0
G2(s) ' /000Uq(s)
Pu(s)U
r'0
'
b22 s 2% b21s
s 3% a2s 2
% a1 s % a0
-200
-150
-100
-50
0
50
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-200
-100
0
100
Frequency (rad/sec)
Bode Diagrams
G1
G2
Prijenosne funkcije (zatvorenog kruga):
Bodeov dijagram:
Prijenosne funkcije otvorenog kruga:
Gz(s) '
G0(s)
1 % G0(s)
///'> G0(s) '
Gz(s)
1 & Gz(s)
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 14
-300
-200
-100
0
100
10-5
10-3
100
103
-200
-100
0
100
Frequency (rad/sec)
Bode Diagrams
G10
G20
, G10
(s) '
b11
s%b10
s 3%a
2s 2
%(a1&b
11)s%a
0&b
10
G20
'
s(b22
s%b21
)
s 3%(a
2&b
22)s 2
%(a1&b
21)s%a
0
Bodeov dijagram:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 15
Y(s) '
bns n
% bn&1
s n&1% ... % b
1s % b
0
s n% a
n&1s n&1
% ... % a1s % a
0
U(s)
Z(s) '1
s n% an&1s
n&1% ... % a1 s % a0
U(s)
Y(s) ' (bns n
% bn&1
s n&1% ... % b
1s % b
0)Z(s)
z (n)' &a
0z & a
10z & ... & a
n&1z (n&1)
% u
x1' z
0x1 ' x2 ' 0z
0x2' x
3' z̈
!
0xn&1 ' xn ' z (n&1)
0xn' z (n)
' &a0z & a
10z & ... & a
n&1z (n&1)
% u
0x1
0x2
0x3
!
0xn&1
0xn
'
0 1 0 0 þ 0 0
0 0 1 0 þ 0 0
0 0 0 1 þ 0 0
! " !
0 0 0 0 þ 0 1
&a0 &a1 &a2 &a3 þ &an&2 &an&1
x1
x2
x3
!
xn&1
xn
%
0
0
0
!
0
1
u
y ' bnz (n)
% bn&1
z (n&1)% ... % b
10z % b
0z '
' bn 0xn % bn&1xn % ... % b1 x2 % b0x1 '
' bn(&a
n&1xn& a
n&2xn&1
& ... & a1x
2& a
0x
1% u) %
% bn&1xn % ... % b1 x2 % b0x1 '
Prostor stanja:
Opća prijenosna funkcija:
Rastavljanje na dvije prijenosne funkcije:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 16
y ' b0&bna0 b1&bna1 b2&bna2 ... bn&1&bnan&1
x1
x2
x3
!
xn
% bnu
Y(s) '
bns n
% bn&1
s n&1% ... % b
1s % b
0
s n% a
n&1s n&1
% ... % a1s % a
0
U(s)
0x1
0x2
0x3
!
0xn&1
0xn
'
0 1 0 0 þ 0 0
0 0 1 0 þ 0 0
0 0 0 1 þ 0 0
! " !
0 0 0 0 þ 0 1
&a0 &a1 &a2 &a3 þ &an&2 &an&1
x1
x2
x3
!
xn&1
xn
%
β1
β2
β3
!
βn&1
βn
u
y ' 1 0 0 ... 0
x1
x2
x3
!
xn
% β0u
0x ' Ax % βu
y ' cx % β0u
G(s) 'Y(s)
U(s)' c(sI & A)&1β % β
0
Upravljivi oblik varijabli stanja:
Oblik matrice A ostaje isti, a mijenja se oblik matrice b.
Traži se opis sustava u obliku:
Zapis se iz prostora stanja pretvara u prijenosnu funkciju:
Izjednačavanjem koeficijenata uz odgovarajuće potencije varijable s, dobije se
sustav od n+1 jednadžbi:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 17
bn' β
0
bn&1 ' β0an&1 % β1
bn&1
' β0an&2
% β1an&1
% β2
!
b0 ' β0a0 % β1a1 % ... % βn&1an&1 % βn
bn
bn&1
bn&2
!
b0
'
1 0 0 þ 0
an&1 1 0 þ 0
an&2
an&1
1 þ 0
! " !
a0 a1 a2 þ 1
β0
β1
β2
!
βn
Uq(s) '
b11
s%b10
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Ur(s) %
b22
s 2% b
21s
s 3% a
2s 2
% a1s % a
0
Pu(s)
Uq(s) ' G1(s)Ur(s) % G2(s)Pu(s)
A '
0 1 0
0 0 1
&a0 &a1 &a2
C ' 1 0 0
0
0
b11
b10
'
1 0 0 0
a2 1 0 0
a1
a2
1 0
a0 a1 a2 1
β01
β11
β21
β31
β01
β11
β21
β31
'
0
0
b11
&a2(b
11%b
10
Matrični oblik zapisa jednadžbe:
Prikaz zadanog sustava u prostoru stanja:
Prikaz u upravljivom obliku:
Računanje koeficijenata β za prvu prijenosnu funkciju:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 18
0
b22
b21
0
'
1 0 0 0
a2 1 0 0
a1
a2
1 0
a0 a1 a2 1
β02
β12
β22
β32
β02
β12
β22
β32
'
0
b22
b21&a
2b
22
(a2
2&a1)b22&a2 b21
0x1
0x2
0x3
'
0 1 0
0 0 1
&a0
&a1
&a2
x1
x2
x3
%
β11 β12
β21
β22
β31 β32
ur
pu
uq' 1 0 0
x1
x2
x3
% β01
β02
ur
pu
0x1
0x2
0x3
'
0 1 0
0 0 1
&a0
&a1
&a2
x1
x2
x3
%
0 b22
b11
b21&a
2b
22
b10&a2 b11 (a2
2&a1)b22&a2 b21
ur
pu
uq' 1 0 0
x1
x2
x3
% 0 0ur
pu
Računanje koeficijenata β za prvu prijenosnu funkciju:
Zadani sustav u prostoru stanja ima oblik:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 19
0x1
0x2
0x3
'
0 1 0
0 0 1
&6.2321e&005 &1.3170e&002 &5.0026
x1
x2
x3
%
%
0 9.1969e&004
3.1160e&005 &2.4166e&006
&9.3563e&005 &2.2308e&008
ur
pu
uq' 1 0 0
x1
x2
x3
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 20
dE
dt' j
i
Hi
dE
dt'
d
dt(ρVcT) ' ρcV
dT
dt% ρcT
dV
dt
TOPLINSKI PROCESI
Elementi toplinskih sustava:
S izvori topline
S uređaji za prijenos topline
Zakonitosti:
S jednadžbe dinamičke ravnoteže promjene toplinske energije u spremniku
S jednadžbe toplinskih tokova
Načini prijenosa topline:
S vođenje (kruta tijela)
S prijenos (tekućine)
S zračenje
Jednadžba dinamičke ravnoteže toplinske energije
gdje su:
E=mc h - toplinska energija sadržana u materiji mase m s
toplinskim kapacitetom C i temeperature h,
H - toplinski tok
Kod fluida promjenu energije možemo izraziti pomoću promjene temperature i
promjene volumena:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 21
H ' α @A @(∆h)
Toplinski tokovi
Vođenje topline:
gdje su:
H - toplinski tok, [W],
A - površina okomita na toplinski tok, [m2],
∆h - razlika temperature na početku i kraju toplinskog toka, [K],
α - koeficijent prijelaza topline, [W/(m2K)].
Prijenos topline strujanjem tekućine:
H ' ρ @c @h @Q
gdje su:
ρ - gustoća tekućine, [kg/m3],
c - toplinski kapacitet, [J/(kg K)],
Q - volumni protok tekućine, [m3/s],
h - temperatura tekućine, [K].
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 22
Primjer:
Odredite matematički model miješanja dviju tekućina istih fizikalnih svojstava i
različitih temperatura, ako je miješanje tekućina u rezervoaru idealno.
U sustavu postoje toplinski gubici kroz stjenke rezervoara i otvorenu gornju
površinu rezervoara, dok su gubici topline u cijevima zanemarivi. Kod modeliranja
sustava potrebno je uzeti u obzir da stjenke rezervoara imaju toplinski kapacitet i
pretpostaviti da u stjenkama rezervoara ne postoji gradijent temperature. Osim toga
potrebno je pretpostaviti da je zbog opstrujavanja zraka temperatura zraka uz
stjenke rezervoara i površinu tekućine nepromjenjiva.
Tlak na ulazu u cijevi predstavlja nadtlak prema atmosferskom tlaku, a gubici u
cijevima su zanemarivi (tj. tlak na ulazu u cijev se može uzeti kao pad tlaka na
ventilu).
Kod projektiranja modela
sustava potrebno je uvažiti
slijedeće pretpostavke:
strujanje je laminarno, prigušnica
za mjerenje izlaznog protoka ne
utječe na izlazni protok, brzina
tekućine u rezervoaru je zanemariva prema
brzini tekućine u cijevima. Dozvoljeno je
zanemariti utjecaj inercije tekućine.
Zadane su sve procesne veličine:
S dimenzije rezervoara i cijevi:
S Du - promjer šireg dijela rezervoara
S Hu - ukupna visina rezervoara
S Ac - površina poprečnog presjeka izlazne cijevi
S ds - debljina stjenke rezervoara
S karakteristike ventila
S Kv1, Kv2 - konstante linearnih regulacijskih ventila
S fizikalne karakteristike sustava:
S ρv - gustoća tekućine
S ms - masa rezervoara
S toplinske karakteristike sustava:
S cv - toplinski kapacitet tekućine
S cs - toplinski kapacitet stjenke rezervoara
S αvs - koeficijent prijelaza topline između tekućine i materijala stjenke
S αsz - koeficijent prijelaza topline između materijala stjenke i zraka
S αvs - koeficijent prijelaza topline između tekućine zraka
S ulazne varijable:
S Pu1, Pu2 - ulazni tlakovi,
S X1, X2 - otvori ulaznih ventila
S hu1, hu2 - temperature ulaznih tekućina
S hz - temperatura zraka uz površinu tekućine i stjenke
rezervoara.
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 23
Qu1 ' X1@Kv1@ Pu1
Qu2 ' X2@Kv2@ Pu2
Qi ' Ac 2gH
R
H'
Ru
Hu
'D
2HU
R 'D
2hu
H
V ' mH
0
A(h)dH ' mH
0
R 2(H)πdH '
'
D2
u
4H2
u
π
H
0
H 2dH '
D2
u
4H2
u
πH 3
3
Ev' m
v@c
v@h
v' V @ρ
v@c
v@h
v
dEv
dt' ρ
vcvhv
dV
dt% ρ
vcvV
dhv
dt
Jednadžbe protoka
Jednadžba kontinuiteta (dinamičke ravnoteže volumena tekućine):
Izlazni protok
Ovisnost volumena o razini tekućine:
Toplinska energija:Voda u rezervoaru:
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 24
dEv
dt' H
u1% H
u2& H
i& H
vs& H
vz
dEs
dt' H
vs& H
sz
Hvs
' αvs@A
vs@ (h
v& h
s)
gdje su:
hv - temperatura vode, [K],
cv - toplinski kapacitet vode, [J/(kg K)],
V - volumen vode
Stjenka rezervoara:
Jednadžbe toplinske ravnoteže:
Voda
Stjenka
gdje su:
Hu1 - toplinski tok ulazne vode u prvoj grani,
Hu2 - toplinski tok ulazne vode u drugoj grani,
Hi - toplinski tok izlazne vode
Hvs - toplinski tok između vode u rezervoaru i stjenke rezervoara,
Hvz - toplinski tok između vode u rezervoaru i zraka iznad rezervoara
Hsz - toplinski tok između stjenke rezervoara i zraka.
Toplinski tokoviUlazni i izlazni
H
u1' ρ
v@c
v@h
u1@Q
U1,
Hu2 ' ρv @cv @hu2 @QU2
Hi' ρ
v@c
v@h
v@Q
i
Toplinski tok iz vode prema stjenci rezervoara
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 25
Avs
' Rπs, R '
Ru
Hu
@H
s ' R 2% H 2
' H @Du
2Hu
2
% 1
Hvs ' αvs @π @Du
2Hu
@Du
2Hu
2
% 1 @H 2(hv & hs)
Hvz
' αvz@A
vz(h
v& h
z)
Avz
' R 2π '
Du
2Hu
2
π @H 2
Hvz
' αvz
Du
2Hu
2
π @H 2 (hv& h
z)
Hsz
' αsz@A
sz(h
s& h
z)
Asz
' Asz1
% Asz2
Toplinski tok iz vode prema zraku
Toplinski tok stjenke prema zraku
gdje je:
Asz - površina vanjske stjenke rezervoara + površina unutarnje stjenke
rezervoara do površine vode (zbog male debljine stjenke prema visini i
radijusu zanemaruje se površina gornjeg ruba stjenke, a ukupna
unutarnja i vanjska površina se mogu uzeti da su jednake).
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 26
Asz1 ' Ruπsu ' Ruπ R2
u % H2
u '
'
Du
2π
Du
2
2
% H2
u
Asz2
Ñ Asz1
& Avs
Asz
Ñ 2Asz1
& Avs
'Duπ
Du
2
2
% H2
u & πD
u
2Hu
Du
2Hu
2
% 1 @H 2
' Duπ
Du
2Hu
2
% 1 Hu&
H 2
2Hu
Hsz Ñ αsz
Duπ
2Hu
Du
2Hu
2
% 1 2H2
u & H 2@ hs & hz
MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 27
Pu1
x1
Pu2
x2
Kv1
Kv2
x
x
Qu1
Qu2
I12H
u
2
Du
2 π++
x/y
H 2g Ac
- Qi
x
ρv c
v xh
u2
ρv c
v xh
u1H
u1
Hu2
dEs/dt
x
ρv c
v
1/(ρv c
v)
+
-
Ih
v
xρv c
v
Hi
-+
+
Hi
x
H2
αvsπD
u
2Hu
Du
2
4Hu
2 + 1H
vs
-
+
- hs
αvzπD
u
2
4Hu
2
x
H2
-
hv
hv
hz
-
Hvz
hz
I
xy
x1/3
1/(ms c
s)
hs
Hvs +
+
-
+ H2
+
αvsπD
u
2Hu
Du
2
4Hu
2 + 1
Hsz
-
2Hu
2
x
-
V
Nelinearna shema sustava
top related