mÉtodos cuantitativos y simulaciÓn lÍneas de espera dr. salvador garcía l
Post on 25-Jan-2016
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN
LÍNEAS DE ESPERA
Dr. Salvador García L.
Dr. Salvador García L. 2
LÍNEAS DE ESPERA
La formación de líneas de espera es un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda por un servicio excede la capacidad para proveer ese servicio.
Proveer demasiado servicio involucra costos excesivos. No proveer suficiente servicio causa largas líneas de espera.
Dr. Salvador García L. 3
LÍNEAS DE ESPERA
El tiempo de espera excesivo es costoso.
El objetivo primordial es lograr un balance económico entre el costo de servicio, y el costo asociado con la espera de ese servicio.
Dr. Salvador García L. 4
LÍNEAS DE ESPERA
Los modelos de líneas de espera no resuelven directamente el problema; sin embargo, proporcionan información vital para la toma de decisiones, al predecir varias características de la línea de espera.
Dr. Salvador García L. 5
ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA
Dr. Salvador García L. 6
ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA
Dr. Salvador García L. 7
ESTRUCTURA BÁSICA
Dr. Salvador García L. 8
ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA
Dr. Salvador García L. 9
MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA
UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR (% DE TIEMPO QUE ESTÁ OCUPADO)
LONGITUD DE LINEA DE ESPERA Lq
TIEMPO PROMEDIO DE ESPERA Wq
Dr. Salvador García L. 10
PARÁMETROS DE ENTRADA
RAZÓN DE LLEGADA DE CLIENTES
RAZÓN DE SERVICIO
NÚMERO YARREGLO DE LOS SERVIDORES
Dr. Salvador García L. 11
EJEMPLOS DE SISTEMAS
SISTEMA CLIENTES SERVIDOR
Taller Camiones Mecánico
Hospital Pacientes Enfermeras
Aeropuerto Aviones Pista
Computadora Programas CPU
Dr. Salvador García L. 12
SÍMBOLOS UTILIZADOS
TIEMPOS INTERR-ARRIBOS
M D Ek G
TIEMPO SERVICIO
M D Ek G
NÚMERO SERVIDORES
1,2,... 1,2,.. 1,2,... 1,2,...
CAPACIDAD SISTEMA
1,2,... 1,2,... 1,2,... 1,2,...
COMPORTAMIENTO
ABANDO-NAR (BALKING)
RENEGAR JOCKEY
DISCIPLINA FILA
FIFO LIFO SIRO PRI
Dr. Salvador García L. 13
NOTACIÓN KENDALL(arrival process/service process/num. servers/system capacity/population size)
EJEMPLOS (M/M/1// ) = (M/M/1) (M/D/3/5/5) (G/M/1) (G/G/3)
Dr. Salvador García L. 14
SISTEMA (M/M/1)
Proceso de arribo aleatorio con una distribución Poisson con razón de llegada clientes/unidad de tiempo.
Un sólo servidor con razón de servicio y tiempo de servicio aleatorio con una distribución Exponencial con media de 1/.
Dr. Salvador García L. 15
SISTEMA (M/M/1)
Si un cliente llega y el servidor no está ocupado, entonces es atendido inmediatamente. En caso contrario, el cliente pasa a formar una fila de capacidad infinita.
El flujo de clientes a través del sistema (fila+servidor) es un proceso estocástico: {Nt: t0}, Nt =Num. de clientes al tiempo t
Dr. Salvador García L. 16
SISTEMA (M/M/1)
Probabilidad de tener n clientes en el sistema en el estado estable (t ):
N = num. de clientes en sistema en estado estable. N es una variable aleatoria con una función de masa de probabilidad
}{lim nNPP ttn
,...},{ 10 PP
Dr. Salvador García L. 17
SISTEMA (M/M/1)
El objetivo es derivar una expresión para
Esta derivación se realiza en dos etapas: Obtener un sistema de ecuaciones
definiendo las probabilidades Resolver el sistema
,...2,1,0 nPn
,...},{ 10 PP
Dr. Salvador García L. 18
SISTEMA (M/M/1)
DIAGRAMA DE ESTADO
CONDICIÓN DE BALANCE: RAZÓN DE LLEGADA =RAZÓN DE SALIDA
0 1 2 3
Dr. Salvador García L. 19
SISTEMA (M/M/1)
Nodo 0:
Nodo 1:
En general:
0101 PPPP
0
2
121120 Pμ
λP
μ
λ P μPλPμPλP
0PPn
n
Dr. Salvador García L. 20
SISTEMA (M/M/1)
Intensidad de Tráfico: Expresión para Po:
nn
n
n
n
n
n
PP
P
PP P
)1( 1
1 ,1
1 ;
1
1 1
0
0
0
0
00
000
Dr. Salvador García L. 21
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO
Un operador de un pequeño elevador de grano tiene una sola plataforma de descarga. Los arribos de camiones durante la temporada forman un proceso de Poisson con tasa media de llegadas de 4/hr. Debido a la diferencia de carga de los camiones, el tiempo que cada camión pasa en la plataforma es aproximado por una variable aleatoria Exponencial con media de 14 min. Asumiendo que los sitios de estacionamiento son ilimitados, el sistema M/M/1 describe la línea de espera que se forma.
Dr. Salvador García L. 22
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO
Parámetros:
933.0
/cam 2857.4min/14
min/60
min/14
1
min/141
/cam 4
hrcam
hr
cam
camhr
Dr. Salvador García L. 23
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO
Probabilidad de que la plataforma esté vacía:
Porcentaje de tiempo que la plataforma está ocupada:
Probabilidad de 3 camiones esperando:
0667010 .ρP
%3.939330 .ρ
05.0)06670()933.0()( 40
44 .PρP
Dr. Salvador García L. 24
SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD
Número promedio de clientes en sistema:
1)1(
1)1()1(
)1(][
21
1
00
n
nn
nL
nnPNEL
Dr. Salvador García L. 25
SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD
Número promedio de clientes en fila:
1)1(
1)1()1(
)1(][
2
22
1
12
0
1
01
nq
nnq
nL
nnPNEL
Dr. Salvador García L. 26
SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD
Varianza del Número de clientes en sistema:
Varianza del Número de clientes en fila:
2)1()(
NVar
2
22
)1(
)1()(
qNVar
Dr. Salvador García L. 27
SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD
Tiempo Promedio en el sistema:
Tiempo Promedio en Fila:
2)(
1)(
WVar
LW
2
2
)(
2)(
q WVarL
W
Dr. Salvador García L. 28
SISTEMA (M/M/1)EJEMPLO
Para el problema del elevador de grano: Número Promedio de camiones en el sistema:
Número Promedio en Fila:
8.19)1(
)( 141 2
NVarL
4.14)1(
)1()( 1.13
1 2
222
qq NVarL
Dr. Salvador García L. 29
SISTEMA (M/M/1)EJEMPLO
Tiempo promedio en el sistema:
Tiempo Promedio en Fila:
hrWVarhrL
W 5.3)( 5.3
mhrWVarmhrL
W qq
q 293)( 163
Dr. Salvador García L. 30
SISTEMA (M/M/c)LÍNEA DE ESPERA
MULTICANAL
Sistema con c servidores idénticos, cada uno con razón de servicio
qqq
c
c cn
LW
LWLL
cLPL
c
PcLP
cc
cn
Pc
)/(
1
)()/(
)1(!
)/()(
!/
!/
1
0
1
0
0
Dr. Salvador García L. 31
SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO
Una máquina copiadora es operada en una oficina. Los trabajos requeridos varían en calidad y extensión y son modelados por un proceso Poisson con razón media de servicio de 10/hr. Los requerimientos de servicio mantienen una razón promedio de llegadas de 5/hr.
Ocasionalmente se forma una línea de espera, lo que ha cuestionado el uso de 2 copiadoras. Los datos son los siguientes:
Dr. Salvador García L. 32
SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO
Si el tiempo de una secretaria es valorado en $3.50/hr, convendría tener 2 copiadoras como la actual o una sola copiadora grande?
Tipo de copiadora Razón de servicio Costo/día
Std (actual) 10 5
Más grande 15 10
Dr. Salvador García L. 33
SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO
Costo/día = Renta + Costo tiempo perdido.
1 copiadora actual:
1 copiadora grande:
díahrWdíahrCosto
hrW
/33$5$sec)/5.3sec)($)(/8(
2.01
0.55/10
díahrWdíahrCosto
hrW
/24$10$sec)/5.3sec)($)(/8(
1.01
Dr. Salvador García L. 34
SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO
2 copiadoras como la actual:
hrL
W
cLPL
c
PcLP
P
cc
cn
P
c
c cn
107.0
533.01
)()/( 0.1
0.25)-2(1
(1/4)(0.6)
)1(!
)/()(
6.0
)520/(20()2/1)(2/1()2/1(1
1
!/
!/
1
0
0
21
0
0
Dr. Salvador García L. 35
SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO
Costo/día de 2 copiadoras como la actual:
1 copiadora grande es ligeramente una mejor opción.
díahrWdíahrCosto /98.24$)5)($2(sec)/5.3sec)($)(/8(
Dr. Salvador García L. 36
SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA
Sistema con 1 servidor y capacidad finita.
qeq
N
NN
N
n
n
WLN
NN
L
N
P
12
1)1)(1(
))1(1(
11
1
11
)1(
1
1
1
Dr. Salvador García L. 37
SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA
La intensidad de tráfico puede ser igual a 1 sin que la fila llegue a infinito, ya que la capacidad es sólo N.
01 )1(
1
PP
WWL
W
eeNe
qe
Dr. Salvador García L. 38
SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA
Una sala de belleza es atendida por una sola persona y tiene un total de 10 asientos. Los tiempos entre llegadas están exponencialmente distribuidos y un promedio de 20 clientes potenciales por hora arriban a la sala. Aquellos clientes que encuentran la sala llena, no entran. La persona que atiende la sala tarda en promedio 12 min para cortar el pelo del cliente. Los tiempos están exponencialmente distribuidos.
Dr. Salvador García L. 39
SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA
En promedio, cuántos cortes de pelo se completan en una hora?
hrPPP
PhrN
Ne
N
/5)1( 75.04
41
41
1
1 4 ,/5 ,20 ,10
010
10
1110
Dr. Salvador García L. 40
SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA
En promedio, cuánto tiempo pasa en la sala de belleza un cliente que entra?
hrλ
LW
L
e
93.1
9.67)41)(41(
)]4(10)4(111[411
1110
Dr. Salvador García L. 41
SISTEMA (M/G/1)
Considere un sistema con llegadas de acuerdo a una distribución de Poisson con parámetro . El tiempo de servicio puede tener cualquier distribución de probabilidad con media y varianza conocidas.
1
)1(2 1
222
0
q
WWL
WLL
LP
Dr. Salvador García L. 42
SISTEMA (M/G/1)EJEMPLO
Máquinas de un proceso de manufactura se descomponen aleatoriamente requiriendo servicio mecánico. Se asume que las fallas ocurren de acuerdo a una distribución Poisson con razón de 1.5/hr. Observaciones a lo largo de varios meses muestran que los tiempos de reparación por parte de un mecánico, tienen una media de 30 min con una desviación std de 20 min.
Dr. Salvador García L. 43
SISTEMA (M/G/1)EJEMPLO
Calcular el número promedio de máquinas en reparación.
maqLL
L
q
q
375.2
625.1)1(2
0.75 2
1.5
222
top related