metode routh hurwitz

Bab – VAnalisis Respon Transient

8.1. Respon Transient :Adalah keluaran (respon) sistem kontrol yang mengalami “gejala peralihan” sebelum mencapai keadaan tunak (Steady State).Masukan dapat merupakan sinyal uji tertentu (sinyal uji standar).

Contoh :Sistem Orde Dua dengan masukan fungsi “Unit Step”

SistemKp

R(t)

C(t)

1

Kp

0 0

R(t) C(t)

tss1 tss2

t t

Unit Step input Step response

Transient (td) Steady state

Transient :Gejala peralihan yang terjadi selama waktu tunda (time delay) td.

Steady State :Keadaan mantap yang dicapai pada saat (time steady state) tss.

8.2. Sinyal Uji Standar :Adalah sinyal uji tertentu yang modelnya diketahui/ditentukan (deterministic), sebagai masukan sistem yang responnya akan diuji.

Contoh 1 :Step Function :

y(t) = 0 untuk t<0= 1 untuk t>0

y(t)

0

1

Unit Step function

Contoh 2 :Ramp (Velocity) Function :

y(t) = t

Ramp function

0

t

t

Contoh 3 :Acceleration Function :

y(t) = t Acceleration function

y(t)

y(t)

t

2

0

Contoh 4 :Impulse Function :

y(t) = ∫∂(t)

Impulse function

y(t)

t

0

Contoh 5 :Sinusoida Function :

y(t) = A Sin (ωt ± θ )

y(t)

t

0

Sinusoida functionA

y(t)

t

0

Random SignalContoh 6 :

Random Signal :

y(t) = fungsi stochastic

8.3. Sistem orde satu :

Signal input : Unit step r(t) = 1 R(s) = 1/s

+

-

1

τs

1

τs+1≡R(s) R(s)C(s) C(s)

R(s)

C(s)=

1

τs+1

C(s) = 1

τs+11s

Expansi Partial:C(s) =1s -

1

τs+1

Transformasi Laplace Balik:C(t) = 1 - e-t/T

t

0 4TT

1

0,632

C(t)±(5-10)% Steady State Error

Steady StateTransient

C(t)=1-e -t/T

Signal input : Unit ramp r(t) = t R(s) =

+

-

1

τs

1

τs+1≡R(s) R(s)C(s) C(s)

R(s)

C(s)=

1

τs+1

C(s) = 1

τs+11s

Expansi Partial:C(s) =1s

- T

τs+1

Transformasi Laplace Balik:C(t) = t – T + e-t/T

t

0 T

C(t)

Steady State Error

Steady StateTransient

1s2

2

T

s+

2

2T

C(t)=t-T+e-t/T

Signal input : Unit impulse r(t) = ∂(t) R(s) = 1

+

-

1

τs

1

τs+1≡R(s) R(s)C(s) C(s)

R(s)

C(s)=

1

τs+1

C(s) = 1

τs+1

1T

Transformasi Laplace Balik:

C(t) = -t/T

t

0 T

C(t)

Steady StateTransient

4T

C(t)=1/T e-t/T

e

8.4. Sistem orde dua :

Fungsi Alih (Transfer Function) Orde Dua

Pada sistem Mekanik:

G(s) = R(s)

C(s)=

K

Js + Fs + K2

Bentuk umum :

Untuk :

R(s)

C(s)=

ωn

s + 2ζωns + ωn2 2

2

ωn2

=J

K2ζωn = 2J

J

F= maka

+

- s(s+ 2ζωn) R(s) C(s)ωn

2E(s)

8.5. Response Sistem orde dua :

Signal input : Unit step r(t) = 1 R(s) = 1/s

R(s)

C(s)=

ωn

(s+ζωn+jωd )(s+ζωn-jωd)

2

ωd = ωn√1- ζ 2dimana : frekuensi natural (teredam)

C(s)=ωn

(s + 2ζωns + ωn )s2 2

2

=s + 2ζωns + ωn

2 2

1s

-s + 2ζωn

=(s +ζωn )+ ωd 2

1s

-s + ζωn

2 -(s +ζωn )+ ωd 2

ζωn2

℮ -ζωnt1 - (cos ωdt +=c(t) sin ωdt)ζ

√1- ζ2

Berbagai kasus pada sistem orde 2:1. Redaman kurang (under damped) : 0 < ζ <12. Redaman Kritis (critical damped) : ζ =13. Redaman Lebih (over damped : ζ > 1

Step response sistem orde dua, untuk beberapa variasi damping factor ζ

Gambaran umum step response sistem orde dua

Point penting response sistem orde dua, untuk masukan fungsi step

td = Waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah nilai yang diinginkan pertama kali.

tr = Waktu yang diperlukan untuk naik : (10%-90% overdamped, 0% -100% underdamped)

tp = Waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak overshoot (lewatan maksimum).

Mp = Persentase overshoot (lewatan maksimum).

Karakteristik response sistem orde dua, untuk masukan fungsi step

8.6. Sistem orde tinggi :

Fungsi Alih :

R(s)

C(s)=

G(s)

1 + G(s)H(s)

+

-

R(s) C(s)G(s)

H(s)

R(s)

C(s)=

b s +m

0b s +

m-1

1 m-1b s + b m. . . +n

0a s +

n-1

1 n-1a s + a n. . . +a s +

R(s)

C(s)=

(s + z )1 m(s + z )

2(s + z ). . .K

(s + p )1 m(s + p )

2(s + p ). . .

y(t)

t

y(t)

t

Bila diberi masukan unit step function

C(s)=as + ∑

n

i=1

as + p

i

i

C(s)=K Π

s

m

i=1(s + z )

i

Πq

j=1(s + p )

jΠk=1

(s + 2ζ ω s + ω )k

r

k k

22

Dengan metode pecahan partial menghasilkan:

C(s)=as + ∑

q

j=1 s + pj

j

a∑

r

k=1

kb (s+ζ ω ) + c ω √1-ζ +

s + 2ζ ω s + ω 2 2

k k k

k k k k k

2

Dengan inverse transformasi Laplace didapat:

c(t ) = a +∑q

j=1ja ℮

-pjt

+ ∑r

k=1

b ℮-ζkωkt

k k k

2

cos ω √1-ζ t +∑r

k=1

c ℮-ζkωkt

k k k

2

sin ω √1-ζ t

8.7. Analisis Kestabilan :

Pada bidang kompleks, s = σ + jωjω

σ

σ

0

Daerah kestabilan

ζ > 0,4

ts > 4/σ

A B C

A

B C

Stable Quasi Stable Unstable

Disturbance (F)

FFF

Sistem Stable : bila semua pole loop tertutup terletak disebelah kiri sumbu

imaginer.

Daerah Kestabilan : A = Stabil

B = Kuasi stabil C = Tidak stabil

R(s)

C(s)=

b s +m

0b s +

m-1

1 m-1b s + b m. . . +n

0a s +

n-1

1 n-1a s + a n. . . +a s +

8.8. Kriteria Kestabilan Routh

A(s)

B(s)=

Langkah analisis Routh:

1. Nyatakan polinomial A(s) sebagai berikut :

n

0a s +

n-1

1 n-1a s + a n. . . +a s + = 0

2. Syarat perlu semua koefisien harus ada dan bertanda positip.

3. Jika syarat perlu (langkah 2) dipenuhi, buatlah tabel Routh.

4. Pada tabel yang telah disusun perhatikan kolom pertama.

5. Syarat perlu dan cukup dipenuhi bila semua koefisien pada kolom pertama bertanda positip atau tidak ada perubahan tanda, maka sistem stabil.

Tabel Routh:

sn a0 a2 a4 a6 . . .

sn-1 a1 a3 a5 a7 . . .

sn-2 b1 b2 b3 b4 . . .

sn-3 c1 c2 c3 c4 . . .

sn-3 d1 d2 d3 d4. . .

. . . .

. . . .

. . . .

s2 e1 e2

s11

f

s01

g

b1 =a1 a2 - a0 a3

a1

2 =a1 a4 - a0 a5

a1

b

. . .

3 = 1 6 0 7

a1

ba a a a

c1 =b1 a3 - a1 b2

b1

2 =b1 a3 - a1 b3

b1

c

. . .

3 = 1 7 1 4

b1

cb a a b

d1 =c1 b2 - b1 c2

c1

2 =c1 b3 - b1 c3

cd

. . .1

Banyaknya perubahan tanda pada kolom I = banyaknya akar (pole) pada bagian nyata positip di bidang kompleks, menyebabkan sistem tidak stabil

Contoh 1:

3

0a s +

2

1 2a s +a 3a s + = 0

s3 a0 a2

s2 a1 a3

s1

s0 a3

a1 a2 - a0 a3

a1

Pada kolom I, agar sistem stabil :

a1 a2 - a0 a3

a1> 0

Jadi bila 1 a2 > a0 a3a , semua akar berada pada

sumbu nyata negatip, sistem stabil.

Contoh 2:

a. Tentukan harga K pada polinomial dibawah agar sistem stabil.

42s +

3 K s + 4s + 5s + = 02

b. Bila K = 3 berapa banyak pole yang menyebabkan sistem tidak stabil.

Solusi:

42s +

3 K s + 4s + 5s + = 02

s4 1 K

s3 2 4

s2

s1 4 -

K - 2

5

0

5 0

10K-2

0

s0 5

s4 1 3

s3 2 4

s2

s1

1

5

0

5 0

0

s0 5

-6

Untuk K = 3, pada kolom I terjadi dua kaliperubahan tanda koefisien, atau terdapat 2akar (pole) pada sumbu nyata positip sehingga sistem tidak stabil.

Tentukan K sedemikian rupa sehingga,

semua koefisien pada kolom I bertanda positip, atau semua akar terletak disebelah kiri sumbu imajiner maka sistem stabil.

a.

b.

1x

2x

TRANSIENT-RESPONSE ANALYSIS DENGAN MATLAB

Untuk mempercepat plotting response sistem order tinggidapat digunakan program MATLAB, misalkan pada Fungsi Alih sistem orde 2 dengan pembilang (num) dan penyebut (den) sbb:

Penulisan data num dan den pada program MATLAB:

atau

• Perintah untuk plotting step response (bila num dan den pada Transfer Function diketahui) :

t, perintah untuk plotting waktu step response

• Untuk model sistem kontrol yang dinyatakan dalam bentuk state-space (bila matrik A, B, C dan D diketahui) :

• Cara lain untuk menuliskan perintah step response yaitu dgn dengan sys(step) sbb:

atau

Contoh:

• Suatu model sistem kontrol yang dinyatakan dalam bentuk state-space sbb :

Bentuk umum persamaan Matrik State-space:

MATLAB untuk Sistem orde dua

Secara umum sistem orde dua dapat dinyatakan sbb:

Contoh 1 :

Program MATLAB untuk unit step response:

Unit step response dari G(s) :

MATLAB untuk Sistem orde dua

Contoh 2 :

Unit step respons untuk beberapa nilai faktor redaman:

Program MATLAB untuk unit step response:

Unit step response G(s) dua dimensi:

Unit step response G(s) tiga dimensi:

MATLAB untuk Sistem orde dua

Contoh 3 :

Menentukan parameter transient misalnya, rise time, peak time, maximum overshoot dan settling time, pada unit step responseSistem orde dua:

Program MATLAB untuk unit step response:

Unit step response dari sistem orde dua G(s) :

Point penting response sistem orde dua, untuk masukan fungsi step

td = Waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah nilai yang diinginkan pertama kali.

tr = Waktu yang diperlukan untuk naik : (10%-90% overdamped, 0% -100% underdamped)

tp = Waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak overshoot (lewatan maksimum).

Mp = Persentase overshoot (lewatan maksimum).