mekanika teknik 2 statika dan kegunaannya-[-ebooklopers.blogspot.com]
Post on 17-Jan-2016
330 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Qmr
,-i
/'1\JV)YJV
PENERBIT KANISIUS
.fi z-
7*,'4-
BALOK TERUSANKONSTBUKSI PORTAL STATIS TIOAK TERTENTUPERUBAHAN BENTUK EIASTIS'GARIS PENGARUH
MEKANIKATEKNIK 2
STATIKASKEGUNAANNYA
lr. HEINZ FRICI(
!r
it
PERBAIKANBUKU RUSAK
{trH. l9e7 11995
Mekanika Teknik - Statika dan Kegunaannya 202801 8
O Kanisius 1979
PENERBIT KANISIUS (Anggota IKAPI)Jl. Cempaka 9, Deresan, Yogyakarta 55281Telepon (0274) 88783, Teleks 25243, Fax (0274) 63349Kotak Pos 1125Nk, Yogyakarta 55011
Cetakan perlama 1979Cetakan kedua 1981
Cetakan ketiga 1982CetakanCetakanCetakanCetakanCetakanCetakan
ISBN 979-413-345-0
Hak Cipta dilindungi Undang-undang.Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuktermasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Dicetak oleh Percetakan Kanisius Yogyakarta
1e88 MILIKISHO PERPUSTAKAA..I DAERAH
1991 J {W q, Til\{U;{
dan dengan cara apa pun,
Kata pengantarJilid kedua buku llmu mekanika teknik * statika dan kegunaannya ini mencakup se-
buah Pengantar ke dalam Metode perhitungan sistim statis tidak tertentu dan sebuah
bab tentang garis pengaruh. Lampirannya dengan jumlah tabel-tabel yang cukup luasjuga dapat mengisi kekosongan dalam bidang ini di pasaran buku statika. Di sampingitu tabel-tabel itu akan berguna sekali dalam praktek. Buku ini ditutup dengan daftarkependekan, daftar istilah penting dan pustaka.Atas dasar kenyataan, bahwa di lndonesia nilai ukuran-ukuran seperti kg, kgi cm2. t,tm dsb. masih berlaku, maka tidak digunakan nilai ukuran-ukuran yang baru seperti N
(Newton), KN (Kilonewton) dan MN (Meganewton). Untuk kebutuhan konversi dapatdigunakan petunjuk berikut:Gaya-gaya : dasarnyaialahkN (kilonewton) : 1'000 N :0.001 MN
Beban : kN/m dan kN/m2Momen : kNmTegangan : N/mm2Dasar-dadbr Newton dihasilkan dari Fisika, yang menentukan kecepatan jatuh g :9.80665 rirls2. Diatifrkan dalam bidang pembangunan, yang men{hitung dengan
faktor keamanan yang besar. maka 9: 10.0 m/s2 boleh dikatakan cukup teliti.
Untuk konversi dapat dikatakan, bahwa:1kg:1kP=t0N
atau 1t : 1Mp : 10kN : 0.01 MN dsb.Ucapan banyak terima kasih saya sampaikan pertama-tama kepdda VEB-Verlag f0rBauwesen di Berlin, Jerman Timur, yang telah menyerahkan dengan cuma-cumacopyright bab 8. (Perubahan bentuk elastis) dan 9.'(Garis pengaruhl, serta B.G.Teubner Verlag di Stuttgart, Jerman Barat. Kemudian pengajar statika saya, lr. AdamMagyar'di Z0rich, Swis, yang telah memperkenalkan kepada saya rahasia-rahasia
statika pada tahun 1962-65, Wakil Pimpinan Pendidikan lndustri Kayu Atas (PIKA)
Semarang, Sdr. l. Susmadi, sebagai korektor bahasa lndonesia dan lr. Mlodzik dari
Biro lnsinyur Fietz + Leuthold AG di ZUrich, Swis, yang telah rnenyediakan dirimeneliti semua rumus dan menghitung kembali contoh-contoh.Perlu ditambahkan di sini, bahwa baik dalam pemelihan bahan maupun dalam su-
sunan kepustakaan diusahakan selengkap mungkin. Semoga buku ini akan berman-faat sekali bagi para mahasiswa dan para arsitek dalam praktek dan mendapatkansambutan seperti yang saya harapkan dan yang memberikan kekuatan kepada saya
untuk menyelesaikan tugas ini. Kebahagiaan akan memenuhi hati saya menerima im-
balan jasa itu.
I
Kami menantikan saran dan usul ke arah perbaikan, yang pasti akan timbul setelahpenggunaan buku ini, dengan tangan terbuka dan senang hati. Terbitan pertama inidimungkinkan oleh subsidi yang kami terima dari Liechtenstein Development, Vaduz,Principality of Liechtenstein.
Semarang, Maret 1978
lr. Heinz Frick
lsi buku: Jilid l, halaman:
Pengetahuan dasar tentang statika
1. 1 Pengetahuan dasar1. 1. 1 Pembangunan pada konstruksi batang dan rangka
batang1. 1. 2 Beban pada konstruksi batang dan rangka batang1. 1.3 Tumpuan pada konstruksi batang dan rangka
batang1. 1. 4 Sifat-sifat bahan bangunan
1. 2 Gaya1. 3 Mengumpulkan dan membagi gaya dalam satu bidang
1. 3. 1 Ukuran dan jurusan pada gaya
1. 3. 2 Gaya-gaya dengan titik tangkap bersama1. 3. 3 Poligon batang tarik"l. 3. 4 Pembagian satu gaya R pada tiga garis kerja
1. 4 Momen1: 4. 1 Momen satu gaya1. 4. 2 Momenkumpulangaya1. 4. 3 Gayaganda1. 4. 4 Pindahan sejajar dari satu gaya
1. 5 Syarat-syarat keseimbangan1. 6 Penggunaan syarat-syarat keseimbangan pada perhitungan
konstruksi batang dan rangka batang1. 6. 1 Perhitungan reaksi pada tumpuan1. 6. 2 Gaya dalam1. 6. 3 Pdrjanjian tanda
llmu inersia dan ketahanan
2. :l Besaran-besaran lintang2. 1. 1 Titik berat pada bidang t'.'
2. 1. 2 Momen lembam dan momen sentrifugal pada
bidang
1. 13
13
't4
16
17
19
2021
21
232632353535373838
2.
40NB44
46
M46
49505255
2.2.2.
1. 3 Momen lemban pada sistim koordinat berpindah1. 4 Momen lembam pada sistim koordinat terputar'1. 5 Lingkaran Mohr
tv
2. 2 Tegangan normal2. 2. 1 Ketentuan keseimbangan2. 2. 2 Ketentuan perubahan bentuk2. 2. 3 Hubungan antara masing-masing tegangan2. 2. 4 Garis sumbu nol2. 2. 5 Gaya tekarr dan gaya tarik2. 2. 6 Momen lentur2. 2. 7 Momen tahanan2. 2. 8 Besaran inti
2, 3 Tegangan geser
2. 3. 1 Tegangan geser oleh gaya lintang2. 3. 2 Tegangan geser oleh gaya torsi
2. 4 Fegangan-tegangan2. 4. 1 Tegangan linear2. 4. 2 Tegangan dalam bidang
2. 5. Penggunaan dan keamanan2. 5. 1 Keamanan2. 5. 2 Beban yang berulang-ulang2. 5. 3 Teori-teorititik patah
2. 6 Tekukan2. 6. 1 Macam-macam tekukan2. 6. 2 Contoh-contoh2. 6. 3 Tekukan pada topang ganda
2.7 fekukanex-sentris2. 7. 1 Tiang terbengkok2. 7. 2 Tiang yang tertekan ex-sentris2. 7. 3 Tiang dengan beban lintang
2. 8 Perhitungan lendutan dan garis elastis2. 8. 1 Pengetahuan dasar2. 8. 2 Syarat Mohr2. 8. 3 Penentuan lendutan menurut Mohr secara grafis2. 8. 4 Contoh-contoh
Kontruksi batang
3. 1 Pengetahuan dasar3. 2 Balok tunggal
3. 2. 1 Balok tunggal dengan satu gaya
3. 2. 2 Balok tunggal dengan beberapa gaya
3. 2. 3 Balok tunggal dengan beban merata3. 2. 4 Balok tunggal dengan beban merata terbatas
5757596061
63636465696972737376797979B1
81
81
868791
91
93959696969798
101
101
103
103
105
108
110
4.4.
115
117
120120121
121
121
122
123123127
129134134134143152153
153
158
160
160
161
168
1764.
3. 2. 5 Balok tunggal dengan beban segitiga 113
3. 2. 6 Balok tunggal dengan macam-macam beban dangaya
3. 2. 7 Contoh-contoh3. 3 Konsole
3. 3. .1 Konsole dengan satu gaya pada ujung yang bebas
3. 3. 2 Konsole dengan beberapa gaya
3. 3. 3 Konsole dengan beban merata3. 3. 4 Konsole dengan gaya horisontal3. 3. 5 Konsole dengan macam-macam beban dan gaya
3. 4 Balok tunggal dengan konsole3. 4. 1 Balok tunggal dengan satu konsole3. 4. 2 Balok tunggal dengan dua konsole3. 4. 3 Contoh-contoh
3. 5 Balok tunggal bersudut3. 5. 1 Pengetahuan dasar3. 5. 2 Balok tunggal bersudut siku3. 5. 3 Balok tunggal bersudut miring3. 5. 4 Balok tunggal dengan lengkungan miring
3. 6 Balok rusuk Gerber3. 6. 1 Pengetahuan dasar dan kemungkinan-kemungkinan
pemasangan engsel pada Balok rusuk Gerber
3. 6. 2 Contoh-contoh3. 7 Konstruksi portal tiga ruas dan konstruksi busur tiga ruas
3. 7. 1 Pengetahuan dasar3. 7. 2 Konstruksi portal tiga ruas3. 7. 3 Konstruksibusurtiga ruas
Konstruksi rangka batang (vakwerk) V1 Pengetahuan dasar 176
2 Pembangunan konstruksi rangka batang 178
4. 2. 1 Ketentuan statis 178
4. 2. 2 Kestabilan konstruksirangka batang 180
4. 2. 3 Pembangunan dan bentuk konstruksi rangka batang 181
4. 3 Penentuan gaya-gaya batang 183
4. 3. 1 Perhitungan gaya batang menurut Cremona 183
4. 3. 2 Perhitungan gaya batang menurut Cullmann 185
4. 3. 3 PerhitungangayabatangmenurutA. Ritter 186
4. 4 Tambahan pengetahuan tentang konstruksi rangka batang
belah ketupat dan konstruksi rangka batang berbentuk K 188
4. 5 Contoh-contoh 190
3.
vil
2035. Perhitungan alat-aiat sambungan
5. 1 Alat-alat sambungan baja5. 1. 1 Sambungan keling dan baut pada konstruksi baja5. 1. 2 Sambungan las5. 1. 3 Contohsambungan-sambunganbaja
5. 2 Alat-alat sambungan kayu5. 2. 1 Gigitunggal5.2.2 Paku5. 2. 3 Baut dan baut pasak khusus5. 2. 4 Pasak cincin, bulldog connector dan plat paku5. 2. 5 Konstruksi berlapis majemuk dengan perekat5. 2. 6 Contoh sambungan-sambungan kayu
6. 5. 6 Balok terusan dengan ujung pada engsel 2906. 5. 7 Persiapan cara distribusimomen 2926. 5. 8 Cara distribusi momen menurut Cross 2926. 5. I Contoh-contoh 293
7. Konstruksi portal statis tidak tertentu 304
7. 1 Konstruksi portaldengan titik simpulyang kaku 3047. 1.'l Pengetahuandasar 3047. 1. 2 Cara distribusi momen menurut Cross 3047. 1. 3 Contoh-contoh 305
7. 2 Kontruksi portal dengan titik simpulyang goyah 3227. 2. 1 Penurunan tumpuan pada balok terjepit 3227. 2. 2 Pengaruh atas titik simpul yang goyah 3247. 2.3 Contoh-contoh 3267. 2. 4 Konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul
203203207212226226227230235239241
253
2532532il2622U265265266270271
27427427527728228628628728728
6.
Jilid ll, Halaman:
Balok terusan
6. 1 Balok terjepit6. 1. 1 Pengetahuan dasar6. 1. 2 Gaya-gaya pada balok terjepit6. 1. 3 Lendutan6. 1. 4 Balokterjepitsebelah
6. 2 Balok terjepit elastis6. 2. 1 Pengetahuan dasar6. 2. 2 Sistim titik potong6. 2. 3 Jarak penting pada titik potong6. 2. 4 Macam-macamjepitan
6. 3 Sistim titik potong pada balok terusan6. 3. 1 Pengetahuan dasar6. 3. 2 Menentukan titik potong6. 3. 3 Gaya-gaya pada balok terusan
6. 4 Persamaan tiga momen (Clapeyron)6. 5 Sistim Cross pada balok terusan
6. 5. 1 Pengetahuan dasar6. 5. 2 Perjanjian tanda pada sistim Cros6. 5. 3 Momenjepitan6. 5. 4 Momen pada titik simpul6. 5. 5 Momen jepitan dan momen distribusi yang disalur-
kan
8. 1 Pengetahuan dasar 3428. 2 Teoriter,tang kerja virtual 343
8. 2. 'l Kerja virtual 3438. 2. 2 Persamaan kerja pada konstruksibatang 3458. 2. 3 Persamaan kerja pada konstruksirangka batang 3508. 2. 4 Hasil pOng-integral-an pada kerja virtual 351
8. 3 Syarat-syarat brikatan pada perubahan bentuk elastis 3548. 3. 1 Syarat Betti 3il8. 3. 2 Syarat Maxwell 3558. 3. 3 Syarat Castigliano 3568. 3. 4 Syarat Mohr 3578. 3. 5 Ringkasan 358
8. 4 Contoh-contoh 3598. 4. 1 Pergeseran dan'perputaran pada konstruksi batang 3598. 4. 2 Pergeseran pada konstruksi rangka batang 369
8. 5 Garis elastis pada konstruksi batang 3728" 5. 1 Pengetahuan dasar 3728. 5. 2 Penentuan bobot-beban W 3728. 5. 3 Penentuan garis elastis dengan bobot beban W pada
yang goyah
8. Perubahan bentuk elastis
82
u2
374
ixvil
289 konstruksi batang
8. 6 Garis elastis pada konstruksi rangka batang8. 6. 1 Pengetahuan dasar8. 6. 2 Penentuan garis elastis dengan bobot beban W pada
konstruksi rangka batangRingkasanContoh
Garis pengaruh
9. 1 Pengetahuan dasar dan penggunaan garis pengaruh
9. 1. 1 Pengetahuan dasar9. 1. 2 Penentuan garis pengaruh
9. 1. 3 Penggunaangarispengaruh9. 1. 4 Ringkasan
9. 2 Garis pengaruh pada balok tunggal9. 2. 1 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan9. 2. 2 Garis pengaruh pada gaya lintang9. 2. 3 Garis pengaruh pada momen lentur9. 2. 4 Beban yang tidak langsung9. 2. 5 Garis pqngaruh pada lendutan9. 2. 6 Ringkasan9. 2. 7 Contoh-contoh
3 Garis pengaruh pada konsole, pada balok tunggal dengankonsole dan pada balok rusuk Gerber9. 3. 1 Garis-pengaruh pada konsole9. 3. 2 Garis pengaruh pada balok tunggaldengan konsole
9. 3. 3 Garis pengaruh pada balok rusuk Gerber9. 3. 4 Ringkasan9. 3. 5 Contoh-contoh
4 Garis pengaruh pada busur tiga ruas9. 4: 1 Perhitungan dengan beban yang tetap9. 4. 2 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan9. 4. 3 Garis pengaruh pada momen lentur9. 4. 4 Garis pengaruh pada gaya normal dan gaya lintang9. 4. 5 Ringkasan9. 4. 6 Contoh,
5 Garis pengaruh pada konstruksi rangka batang9. 5. 1 Pengetahuan dasar9. 5. 2 Konstruksi rangka batang dengan tepi sejajar9. 5. 3 Konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak
sejajar
379379
379384384
437rB8
4949
450
452452
9.
9.
9.
9. 5. 4 Ringkasan9. 5. 5 Contoh-contoh
6 Garis pengaruh pada balok terusanPengetahuan dasar 9.6.1
6. 2 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis ber-lebih
6. 3 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lenturdan gaya lintang
9. 6. 4 Penentuan garis.garis pengaruh secara grafis
Lampiran
l. 1 Rumus-rumus yang pentingl. 1. 1 Rumus-rumusyang penting pada bab: Pengetahuan
dasarl. 1. 2 Rumus-rumus yang penting pada bab: llmu inersia
dan ketahananl. 1. 3 Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi
batangl. 1. 4 Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi
rangka batangl. 1. 5 ,lumus-rumus yang penting pada bab: Perhitungan
alat-alat sambunganl. 1. 6 Rumus-rumus yang penting pada bab: Balok
terusanl. 1. 7 Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi
portal statis tidak tertentul. 1. 8 Rumus-rumus yang penting pada bab: Perubahan
bentuk elastisl. 1. I Rumus-rumus yang penting pada bab: Garis peng-
aru h
l. 2 Tabel-tabell. 2. 1 Penentuan titik berat pada bidang yang datarl. 2. 2 Penentuan momen lembam dan momen tahananl. 2. 3 Nilai-nilaibahan baja profill. 2. 4 Nilai-nilaibalok kayu segiempatl. 2. 5 Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk baja
ST 37l. 2. 6 Faktor tekuk yang diperkenankan untuk kayu kelas
I s/d lV
8.6.38.6.4
9.389389389390391
393393393394395396398399399
4062106
407
409410411
415415411418419421
421
424424425
429
459
459
459
459
461
462
462
462
4U
464
I
9.
9.
9.
465467
467
470472484
87
/l88
xi
l. 2. 7 Penentuan tegangan o maksimal dan lendutan fmaksimal pada konstruksi batang
l. 2. I Penentuan momen dan reaksi tumpuan pada balokrusuk Gerber
l. 2. I Nilai-nilai alat sambungan besi seperti keling, bautdan las
l. 2.10 Nilai-nilai alat sambungan kayu seperti paku, baut,baut pasak khusus, pasak cincin, bulldog connectordan pelat paku
l. 2.11 Penentuan momen jepitan pada balok terjepit danpada balok terjepit sebelah
t.
t.
2.12 Penentuan bagian beban pada syarat persamaantiga momen menurut Clapeyron
2.13 Penentuan momen dan reaksi tumpuan pada balokterusan
l. 2.'14 Hasil peng-integral-an pada kerja virtualDaftar kependekanDaftar istilah pentingPustaka
rtg3
494
496
t.
t.t.
345
499
505
509
512516518520
xI
6. Balok terusan
6. 1. Balok teriepit
6. 1.1. Pengetahuan dasar
Jepitan pada suatu balok terjadi kalau sudut putar tumpuan o dan B lebihkecil daripada balok tunggal garis elastis mengubah lengkungan makin keras pen-jepitan makin lebih dekat pada pertengahan balok terjepit.Jepitan maximal terjadi kalau sudut o dan l) : 6.Oleh karena balok terjepit merupakan tiga kali statis tidak tertentu, maka kita tidakdapat berhasil menggunakan syarat-syarat perseimbangan.Yang sebetulnya harus kita cari ialah:
M,; Mrdan H
Gambar6. 1. 1. a.
Pada umumnya gaya H boleh dihapuskan, jikalau digunakan sistim tumpuan jepitanseperti berikut, tinggallah perhitungan M, dan Mr.
Gambar6. 1. 1. b.
253
6.1.2. Gaya-gaya pada balok terjepitKita memilih suatu sistim dasar yang serupa dengan sistim yang kita
punyai, kita terapkan untuk balok terjepit dengan panjang (lebar bentang) / kitamemilih satu balok tunggal dengan lebar bentang /.Pada sistim dasar ini kita pasang semua gaya dan beban yang ada dengan tam-bahan momen M, dan Mr.Dengan menentukan sudut putar tumpuan (pada contoh ini a = D : 0l kita bisamenentukan syarat-syarat elastis dan selanjutnya dengan superposisi perhitunganstatika dengan menggunakan persamaan elastis.
Mr
/
Perubahan bentukpada sistim dasar:oleh gaya dan bebanaJ 0o sudut putartumpuan
olehM,:1dti A1 sudut putartumpuan
\----..-
\ pt,-1t'oleh M, : 1
a2; ll2putar tumpuan
Gambar 6. 'l. 2. a.
Dengan superposisi bagian-bagian dari sudut putar tumpuan kita mendapat persa-maan elastis seperti berikut:
e : eo * M.,.a, -f Mr.a,A=0"+M.,.A1 +M2.A2
254
(6.1)
(6:4. )
255
(6.2.)
Pada contoh di atas dengan sudut putar tumpuan o : [] : o momen jepitan M ,; M,menjadi:
t, b-asl'[]r-$-AdoztYtt-w
rvr: b-3-t-:-a-F^ ^ 'at'P2- Pl'02
Mz:(0 - llol ' at - la - ool' At
or' Dz - 0t' az
y1. : !t-!tl-o-:t' or' 0z - At' az
(6.3. )
Cara.perhitungan sudut putar tumpuan:
Cara paling mudah untuk mencari sudut putar tumpuan ialah dengan membebanisistim dasar dengan diagram (bidang) momen yang direduksikan dengan faktort/E. t.
a., dan B,
( Sistim dasar
A
Diagram momen
Bidang momen yangdibebani
Gambar 6. 1. 2. b.
'l
['
Iat: 3Er
0r:#
I
ardan l),
lJz =I
3EtI
6Eta2 =
(6.5.)
Hasil tentang ai 0i az; 02
A1
0,
= []t
= az
Dengan hasil ini kita bisa mengisi persamaan elastis. Maka:
i|,
E
I
I
t.l
I
I
l'lil
Untuk mencari M,dan Mryang sebenarnya kita hanya harus mencari ao dan Bo.
Mencari ao dan fi6.
Sebagai dasar dapat dikatakan, bahwa oo dan Bo bisa didapat dengan membebanisistim dasar dengan M,diagram (bidang) momen yang direduksikan dengan faktorI / E.tl.
Contoh beban merata:
Sistim dasar
Diagram momen
Bidang momen yangdibebani
Gambar6. 1.2. d.
oo = Ao = Ra = Rrdari bidang momen yang dibebani
Diagram momen
tsidang momen yangdibebani
Gambar 6. 1 . 2. c.
(6.6.)
u, = ltzo - fit - eos - Bryf .4t
rv, = ltzB - at - tztt, - "d) .Tt
Dan pada contoh dengan o : [] : o - M,; Mrmenjadi:
Mr= -t2os-fist +Mz= -(2Bs-asl'+
Ra=Re:+ i t#t do= ao=f,
Sekarang momen jepitan M, dan M, dapat dihitung:
M,=-P#,-#;lT',$.7.1
(6.9.)
(6.10. )
257:-"-:':- -r:i-rl
',J irr '$i.r,
iifl.Anl
,'l
i
I
Ir
I
Mr=Mzkarena sistim symetris
Mt= Mz= -qi'z
,t
l
256
(6.8.)
t: P
4,
,r4
4z
=4./vP' lffi
Contoh gaya PusaSistim dasar
Dlagram momen
Bidang momen yangdibebani
Gambar 6. 1. 2. e.
(6.11.)
(6.12. )
P.aao: [Jo: E.l- P.a0o:fi0: Z.f t(a+c)
a
z', +P.aE.t
(6.13. )
(6.14. )
dan untuk M, = Mz
m,=-lz lfi u+c) - lfi o*a) 2EtI
- P'aMt: Mz (a + c)
I
- -a-P'l l-qo-Po- 4El 4
dan untuk Mt = Mz
M,= -1, +# - P. l' | 2El16Et '' t
P.12oo= fio: 16El
Mt= Mz= - +
P. l116El
Contoh dengan beberapa gaya:
Sistim dasar
Diagrap momen
Bidang momen yangdibebani
Gambar6. 1.2. g.
Mencari bidang M menurut bab. 3. 2.2. Mekanika teknik - Statika dan keguna-annya jilid l"Selanjutnya dibebani sistim dasar dengan bidang M"yang dibagi dengan f . /.Selanjutnya menentukan reaksi tumpuan ao dan Bo.
Menentukan diagram momen dan diagram gaya lintang
Untuk memungkinkan gambaran diagram momen kita menggarBbar diagrammomen Mr, diagram momen jepitasn M, dan M, dan selanjutnya semua disuper-posisi. Hasil sekarang menjadi momen dari balok terjepit.
Contoh dua gaYa Yang simetris:
Sistim dasar
Diagram momen
Bidang momen Yangdibebani
Gamb'ar 6. 1. 2. f .
288 259
Harus memperhatikan tanda (+,-) dari M, dan Mr. Biasanya gaya lintang yanglebih besar harus berada pada tumpuan dengan momen jepitan yang lebih besar.Dengan rumus tentang gaya lintang bisa juga ditentukan reaksi tumpuan sepertiberikut:
H, ll
Momen pada titik x adalah:
(6.15. )
(perhatikan tanda ( +, -) pada momen M, dan Mrl
Sistim dasar
Diagram momenoleh Mo
Diagram momen olehMt
Diagram momen olehM2
Rt: Rao
Contoh-contoh:Balok terjepit dengan beban merataDiagram momen:
Re: Ran + n'll tM' (6.17. )
q.l?1Tq. lt2lGambar 6. 'l . 2. k
L!,I
A
AdtiiltY Bt,,
t/2tlt
Diagram momenyang disuperposisi
Gambar6. l.2. h.
Untuk menggambar di-agranr gaya lintang kitatambah On dari sistimdasar dengan M, - M,
tGambar 6. 1. 2. i.
1
--t z Mol
Balok terjepit dengan gayaDiagram.momen:
A : Qokarena M, - Mt = A
Ra: Ra: RAo: R1n
pusat
(6.18.)
p.lTP. IT
Rumus untuk menentukan O
260
a:ao+ryiM' :+
Gambar6. 1.2. I
A= Aokarena Mr- Mt:0
Rt: Re = RAo: Rao
I x
I
I
\I
l+I
uX',lr(
--/1l'1, . I'l
N rttllHl
Momen, gaya lintang, tumpuan:
q- 12MF-r, =
24
i*', IM=Mo+Mr.
Momen, gaya lintang, tumpuan:
MFmar: !*
(6.16. ).Mol
(6.19)
261
d 1.3. Lendutan
Perhitungan lendutan pada balok teriepit didapat dengan superposisi dari
lendutan-lendutan pada sistim dasar:
Gaya-gaya dan beban pada sistim dasar
memperlakukan lerrdutan sebesar . .
Jepitan atau momen jepitan pada sistimdasar memperlakukan lendutan sebesar
Lendutan pada balok terjepit adalah
superposisi lfo- f^l
Contoh beban merata:
Re=Ra=+#
ilo ro: Ratt - 1l't -
5 q'ln'o- 384: E.l
. g.12- 12. E-l
dt2tt
a , *.-,e (6.20.)
fo
., f
Contoh gaya pusat:
- p'P p'P?= 4' 4aEt ilEl
Re= Ro:+*fo = Ra,* * #,, 5 q'lo'": 3f4'E.r- q-Pt:-'m 12'E'l
P. I8ft
, _ P'P'- 192Et
l' _ q'lo8 96.8/
Gambar6. 1.3. b.
16.?21
l2
Iq. lo
%.El6. 1.4. Balok terjepit sebelah
Seperti pada balok terjepit, kita pilih juga satu sistim dasar, yaitu baloktunggal.
Gambar6. 1.4. a.
Pada sistim dasar ini kita pasang semua gaya dan beban yang ada dengan tam-bahan M,.Kita menentukan selanjutnya, bahwa sudut putar tumpuan o = 0.
Syarat-syaratelastis: q= eo+ M,.a,, = 0 :
Mr=-00A1
Mr = q-:o
A7
Gambar6. 1.3. a'
- 5q.lo 4g'lor= 'naE - 3tqr| = , - Q' lo' 38/.-Et
(6.21. )
(kalau a = 0)
(kalau a ) 0)
(6.23.)
$.24.1
262 263
Contoh beban merata:
Gambar6. 1,4. b.
Mo*r. -.
Mri ao=
q. 12
8
q. It
6.2. Balok terjepit elastis
6.2. t. Pengetahuan dasar
Gambar 6. 2. 1 . a.
Suatu ujung balok pada umumnya terjepit elastis jikahu sudut putar tergantungpada besarnya momen jepitan.o:= -rr'Mradalah jephan elastis pada tumpuan sebelah kiri. e, adalah ukuranjepitan pada tumpuan sebelah kiri dan sudut pada tumpuan yaryg terpotong daribalok terjepit pada momen M r = - 1.
ll = - e7' M2adalahjepitan elastis pada tumpuan sebelah kanan.e 2 adalah ukuran jepitan pada tumpuan sebelah kanan.a = - €l,' Mr dan B = - ez' Mz adalah syarat-syarat elastis pada baloil< terjepitelastis. Atas rfasar ini kita juga bisa menggunakan sebagian dari persamaan elastisyang sudah ditentukan pada bab 6. 1. Balok terjepit.catatan: persamaan elastis hanya boleh digunakan untuk konstruksi balok di atastiang yang kaku dan bukan di atas tiang yang goyah atau tumpuan yang bisamengalami penurunan.Persamaan elastis yang baru adalah:
a : ao * M1' a1 * M2' a2= - et' Mr
0 = Ao + Mt' At + Mz' flz= - Ez. Mz
atau:
as * M1(a, * e1) * M2' o2 = Q
0o+Mr'0r+Mrlfi2+ql=0
Atas dasar persamaan elastis ini kita bisa mencari momen jepitan M, dan M,menurut rumus berikut:
Mt= fio'az- o61fi, + e
(a1 * e1) (82+ e2l - o2
24.E1
Ior=__TEl_
o.13 3ElMr=-zlr--t - t
E,="#lr:3r---;-ll'*'= * |
lltInAo
l6.Tt.l
Gaya lintang:
M,_M,A = ao+ --T-'
A=Ao+
A:Oo+\l
(6.25)
(6.26. )
Hanya pada tumpuan dengan
momen M -- 0.
g.l8
MI
Reaksi pada tumpuan:
Ra = Reol- #,^= + +
,^=Y
rr:3#
2U
(6.28.)(6. 29.)
265
Mz= ao' Dt - Be (a1 + e1)
(a1 * e1) lB, + erl - az' Dt( 6.29. )
6.2.2. Sistim titik potong
Kita memilih satu balok terjepit sebelah tanpa gaya dan tanpa beban,hanya dengan momen sebelah tumpuan sendi. Atas dasar ini balok akanmelengkung dan kita bisa menggambar diagram momen.
Mr. llt + Mrlp, + er) = O
alau, M'=- DtMt fiz* ez
menurut Gambar 6.2.2.b.:
M2 -_
bMr l-b
atau: A' - b
lJt* tz l-b
Gambar 6.2.2.b.
b: Dt'lB1+p2+e2
Dengan perhitungan ini kita mempelajari bahwa: Jarak titik potong a.dan b tidakbergantung pada besarnya momen M,dan Mr.Dengan menggunakan pengetahuan ini kita bisa mencari M,dan Mrseperti berikut:
I -aar + et= o, -Z-
t_blt2+Ez: llt t
\ ,, Dengan persamaan elastis atas
\ n, dasar ao : o kita boleh ber-' katat
M{a1 *ql+Mr'qz=0
atau: #: -;i,
?
Gambar6.2.2. a.
dan selanlutnya:
az =l-ar+Er l-a
o, : b-Az*ez l-b
(6.31.l
Oleh karena diagram momen adalah satu garis lurus, kita bisa menghitung tempattitik potong J. Boleh dikatakan jarak a untuk titik potong J adalah suatu per-bandingan dengan momen M,dan Mr'.
M2 l-a
Menurut rumus (6.29. ) kita boleh menghitung M1 dan M2*bagai;
Mt= Ao'a'b-ao'a(l-b)a2'd'l
i6,32.)
Mz= a 'a'B-lJo(l*a)bo2' d' I
Kalau kita menarik garis siku-siku dengan balok pada titik potong J dan titik potongK (garis titik potong). garis titik potong itu menentukan momen titik potong sebesarM,dan M*. Keuntungan pada M,dan Mradalah bahwa mereka dapat dihitung lebihmudah daripada M, dan Mz dan pada bagian besar M, dan Mrbisa juga ditentukansecara grafis:
atau:
dan selanjutnya:
a:a2l-a qr+ Er
a.' Iot+ a2+ e1
(6.30 )
Pada bagian kanan kita bisa menggunakan perhitungan yang sama dengan hasilseperti berikut:(K menjadi titik potong sebelah kanan dengan jarak bl
266 267
,,1
I r'I
---] o"**,u .2.2.c.Mi=Mr'+.urIM*= Mt 1* *, Lf
Atau dengan bantuan rumus (6. 32. ) hasilnya M ,dan M rseperti berkut:
Mt=-'r'ooI az
(6.33.)
Hasil ini berdasarkan pada konstruksi sederhana yang dinamakan garis bersilangdan potongan garis bersilang:
^ =M,tK'M,.tatau: K't- ''' -
a
dan selanjutnya:
b -MxIKao.la2a
K':-'o I x=--oa2l0t
aI
(6.34.)
Dengan pengetahuan tentang titik potong dan garis bersilang dan pada balokdengan momen lembam / tetap kita bisa menentukan garis penutup pada segaladiagram momen pada balok terjepit dan balok terusan secara grafis.
Untuk balok dengan momen lembam / yang tetap adalah beberapa hubungan yangmemudahkan perhitungan jarak titik potong dan momen titik potong sepertiberikut:
268
M*=-+ x
Jarak titik potong untuk / tetap menurut rumus (6' 30.) dan (6. 31. ):
az'Id1 + aZ+ t1
M, = -a---!o ='loz
Iaet
I6fl+ t1
6' a' E' l' an
ta
Bukti dari gambar:
Mi :,q.t2 J82
I'= t. "fb= ,*ry
Mi: y!#ry
Mx:-y!+ru
o'a'ltvt, -- ' I
I-+3Et
(6.35.)
(6.36.)
q'a'l
c'b'l
Momen pada titik potong untuk / tetap menurut rumus (6. 33. )
Mt
Contoh beban merata:
at
Gambar 6. 2. 2. d.
I
t--
(sama juga untuk M*)
269
M,- _a_:u'.t-! p.c/!j c')' l2 6.l.El
Qo
Mi: - p.u."J--!!L-!' ,r=' ttBukti dari gambar:
Contoh gaya P dengan jarak c dan c':
I
6-E.l
.\.-.\.
_ P.b ,:_J!l_9)
a =u.K'I
garis penutup
Gambar 6. 2. 2. e.
Y!- tK' i+c'
Mi :u(l:"')Mo 12
P.c.c'
6.2.3. Jarak penting pada titik potong
Jarak titik potong pada balok ter.iepit kaku:
Mi= P'a
olehkarenaa : 0 - El = €2 :'0
az'l | ^_ llr'ta= ' I b:at+q2 I fir+Az
(6.37.)
bagi / tetap ,
270
lt1_
3.E.t ' 6.E.t
Gambar 6. 2. 3. a.
d- :b (6.38.)
271
Jarak titik potong pada balok tunggal:
oz' I (6.39.)a1+d2+81
I@
Gambar 6. 2. 3. b.
6. 2. 4. Macam-macam iepitanPada suatu titik simpul kita bisa menerangkan persoalan:
Gambar 6. 2. 4. a.
Batang 1 yang dihubungkan dengan kaku pada batang-batang2s/d 4 menerimamomen M.Kejadian ini menimbulkan dua pertanyaan:1. Bagaimasna besarnya bagian momen M padabatang-batang2s/ d 4.?2. Berapa besarnya ukuran jepitan batang 1 terhadap batang-batang2s/d4?Di bawah akibat momen M semua batang-batang memutar dengan sudut a karenahubungannya yang kaku. Kita mengambil salah satu batang, umpamanya batang 2,
dan memperhatikan kejadian itu dengan teliti:Andaikata sudut putar a - E' M' alau dengan kata lain, sudut putar a adalahperbandingan dengan bagian momen pada batang 2. Ukuran jepitan e ' adalah sudutpada ujung atas 2 atas momen M' : 1.
Pendapat ini bisa digunakan juga pada batang-batang lainnya. Ukuran jepitanmenentukan daya pencegah terhadap putaran oleh momen pada batang 1.
Ukuran dan besarnya ukuran jepitan pada hal ini hanya tergantung pada momenlembam /, modul elastis E dan macam tumpuan pada ujung bawah. Atas dasar inimaka disebut ukuran jepitan sendiri.Kebalikan dengan ukuran jepitan pada batang 1 yang hanya tergantung pada
momen lembam /, modul elastis Edan macam tumpuan pada ujung bawah batang-batang 2 sld 4, dan bukan pada momen lembam / dan modul elastis Fsendiri. Atasdasar ini maka disebut ukuran jepitan asing.
4
11,
flGambar 6. 2. 4. b.
b' pada ujung bawah sebagai jepitan yang kaku berlaku persamaan elastis berikut:
El=01-:= i t2=g01+ a2
hh02 = 6Ej ; at = lEi dan selanjutnya:
c. pada ujung bawah sebagai engsel berlaku persamaan erastis berikut:
E2: a E1 = a1 dan selanjutnya: G.42.)
2. Titik potong pada ujung bawah yang sudah diketahui:a. pada ujung bawah sebagaijepitan elastis berlaku persamaan elastis berikut:
Gambar 6. 2. 4. c.
272
Perhitungan ukuran jepitan sendiri
l. Jqitan pada ujung bwah yang sudah diketahui:a- pada ujung bawah sebagaijepitan elastis berhku p€rsamaan elastis berikut:
a=My|ar*M2'a2 1.
fr = Mt'h + Mz'h= -,82.M2 2.
dari2 : Mt' h = - M2lE2 + lt2)
diisi dalam 1. :
o:Mt'ot-Mt.A'az'llz+q
o.2q = at - ---: _al +E2untukMl=1' a=E7
0.r : oz
Dz= ot
(6.,!0.)
\ ,o=00+Mr'0t+Mz'[]z
' )n'=l i.o=o (karenatirjakacia
beban)
aMz: -1;Mr= t - ra.ner: -fi
Az= 0,': dan selanjutnya:
lal,, : 3 Et
* t_i Alt dan selanjutnya:
I 2b -3a' 6El t-a
(6.43.)
(6.44.)
llihat juga rumus {6. 42.)l
(6.45)
273
Iatt
I3Et ',
b. pada ujung bawah sebgai jepitan yang kaku berlakrr persamaan elastis berikut:
et.= oz-f;.a,It
3
o - h .o -
ht'2'3El,Pr-6El
4' 3Et
Ih3htt= 3Er- t'aCtt- -3
dan selaniutnya: ,, =-!-llihat juga rumus (6. 41 . )l ' 4 E I
c. pada ujung bawah sebagai engsel berlaku persamaan elastis berikut:
h l0 hrt':3'r-l,n'u6,1
Perhitungan ukuran jepitan asing dan pembagian momen pada titik simpul
Persamaan momen pada titik simpul adalah:
M : M'+ M" + M"'(11
oleh karena semua berputar dengan sudut a, maka dapat dikatakan:
a = M.Er= M'.e': M".e":M".t"' l2l
M'=!!--!' ; M":AL'E.
hasil ini dimasukan ke dalam (1):
M=M.\ *u '-,', *M +,LI,L
1
E1
t'L 'tEt =E'L T
1_1_1- 1
€1 t t t
Hasil ini melihatkan, bahwa kebalikan ukuran iepntan asing ialah jumlah kebalikanukuran jepitan sendiri.Kita tadi sudah melihat bahwa M' : M' il t' dan M' = M' 4/ e"Bisa dikatakan bagian momsn M', M" dsb. bisa ditentukan dengan momen yangdikalikan dengan satu perbandingan. Perbandingan ini kita tentukan dengan pr
( koef isien distribusi).Artinya: ukuran jepitan asing pada batang yang dibebani dibandingkan denganukuran jepitan sendiri pada batang yang tidak dibebani.Pada dua batang selalu ada dua perbandingan 1r (koefisien distribusi), denganmemperhatikan batang yang mana yang dibebani. Sebagai keterangan, koefisiendistribusi p selalu diberi tanda panah seperti terlihat pada contoh berikut.
Contoh perhitungan koefisien distribusi ir.
rt= + (batanglyangdibebani)
F,: ? (batang 2yang'1 dibebani)t1pr+= q
,x: dsb.
Gambar6.2.4. d.
Dengan rumus yang tadi (6.45.) digunakan untuk menghitung ukuran jepitanasing, kita bisa menentukan p hanya dengan menggunakan ukuran jepitan sendiriseperti terlihat pada rumus berikut:
_ Ez' El E3a 1 : ------ .- lt2 :
-
E2l L3 E2* E3
6. 3. Sistim titik potong pada balok terusan
6. 3. 1. Pengetahuan dasarSistim atau konstruksi balok terusan terjadi kalau suatu balok lurus
menumpu tiga kali atau lebih. Balok terusan di atas tumpuan itu boleh berputarbebas akan tetapi tumpuan itu menjadi kaku, dengan maksud agar tidak bisa turunatau naik tempatnya. Lihat juga bab7.2.'l . (penurunan tumpuan pada balokterjepit). Pada konstruksi bangunan rumah syarat atau ketentuan ini biasanya bolehdigunakan.
274
E3
E1
Gambar6.3. 1. a.
Sebagai sistim dasar kita memi!ih beberapa balok tunggal dengan momen tumpuanyang disuperposisi pada sistim dasar.Persamaan elastis dengan pengertian bahwa garis elastis berjalan harmonis,adalah:
[]:-o' A':-o"
Atas dasar pengetahuan ini kita langsung bisa menentukan sebagai persamaan
elastis syarat persamaan tiga momen (lihat bab. 6. 4.)secara analitis atau bisa jugamenggunakan cara graf is.
Gambar6.3. 1. b.
Kita memikirkan balok terusan hanya menerima beban pada satu bagian antara duatumpuan sebagai balok terjepit elastis dengan:
a:*tr.M, D:*cz.MzSekarang semua bagian balok terusan sebelah kiri dari bagian yang kitamemperhatikan adalah suatu sistim yang terjepit sebelah kiri dengan momensebelah kanan seperti dibicarakan pada bab 6. 1. 4. (balok terjepit sebelah).Titik momen nol ada pada titik potong J"Pada bagian balok terusan yang sebelah kanan dari bagian yang kitamemperhatikan adalah suatu sistim yang terjepit sebelah kanan dengan momensebelah kiri dan titik momen nol ada pada titk potong K.Dengan cara ini ditentukan bagian per bagian dari balok terusan yang diper-hitungkan. Sesudah ditentukan semua diagram momen pada semua bagian balokterusan tinggal disuperposisi saja.
6. 3.2. Menentukan tatik potong
Penentuan secara analitis:
Ukuran iarak a dan b untuk titik potong J dan K pada balok denganmomen lembam / tetap, telah kita tentukdn pada bab 6. 2. 2. dan 6. 2. 3.
275
Rumus-rumq5nya ialah seperti berikut:
1 . pada balok yang terjepit elastis:
pada balok yang terjepit elastis:
l' lebar bentang dari bagianYan9 diperhatikan
/ lebar bentang bagian kiridari l'
l' lebar bentang dari bagianYanO diperhatikan
/ lebar bentang bagian kanandari l'
d-
t*+tz--:rl
r3. +1r- *bl
6 E l't15+ l
b:3+ 6El'ez
I
2. pada balok terjepit: d=b=
3. pada balok tunggal dengan tumpuan yang bebas pada putaran: ? - jJ
Ukuran jarak a'dan b' untuk titik potong berikutnya J' dan K'pada balok denganmomen lembam /tetap, kita menentukan atas dasar rumus (6.30.) rumus-rumusberikut:
Gambar 6. 3. 2. a.
I3
1.
( 6.46. )
276Gambar6" 3.3. a.
277
I
pada balok terjepit:
l'I
3+1,5V z+t,slb'=
3. pada balok tunggal dengan tumpuan yang bebas pada putaran:
; b= f,*'i ,* 7ra'=
(6.47.)
(6.2t8.)
Penentuan secara graf is:
Cara grafis hanya boleh dilakukan pada balok dengan momen lembam / tetap.
6.3.3. Gaya-gaya dan momen pada balok terusan
Contoh 1:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.3.3. a.) dengan beban merata8.5 t/m ditentukan momen-momen dan diagram masing-masing momen dengansuperposisinya.
N C-D
Contoh 2:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.3.3.c.) dengan beban merata g =5.2.t/m dan gaya-gaya Pt : 15.0 t dan Pz = 20.0 r ditentukan motnen-momendengan masing-masing diagram momen dan superposisinya dan diagram gaya
lintang dan reaksi pada masing-masing tumpuan.
diagram momen gaYa P,
Gambar 6.3.3.d
iagram momen
disuperposisi
;5op
I
tF.uo'
ol;t
,'T = 5.'z Llm
Gambar 6.3.3.c
a-3.o I h,'-;1rca = 5.6<. I U= 2.9.
B
Es
rl
Diapram momen beban
penutup masing-ma
- -\-
\t "2 2-o
279
diagram momen beban
-+
diagram momen beban
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan secara grafis:
Gambar situasi (dibagi sebagai 3 balok tunggal) O : resultante g pada masing-masing bagian.
Gambar gaya (1 cm : 10 t)
Gambar 6.3.3.f .
Menentukan diagram gaya lintang:Dengan bantuan masing-masing reaksi tumpuan, kita dengan mudah bisa
menggambar diagram gaya lintang seperti berikut:
*--/
-BiBt
Q, !s.2a I l?' trot qr' 26'ot Qr' 16.4 €
280
Gambar 6.3.3.e Gambar 6.3.3.9.
6. 4. Syarat persamaan tiga momen (Clapeyron).
Kita perhatikan dua bagian I dan l'yang berturut-turut pada suatu balokterusan:
142 11j Gambar 6. 4. a
Persamaan elastis yang berlaku pada tiap-tiap tumpuan adalah:
D=Ao+Mt'pr+M2.02
o' = qo' * Mz' .ar' + Mr'ar'
dan oleh fi + a' : 0 kemudian kita dapat:
Mr'At + Mr(Jr+ o1'l + M.'at' * Do * a6' = Q
Pada persamaan elastis ini ada tiga nilai yang belum diketahui, yaitu tiga momenpada tiga tumpuan yang berturut-turut. Oleh karena itu persamaan elastis ini bolehdinamakan persamaan tiga momen atau dalil tiga momen, ditemukan olehClapeyron pada tahun 1857.Persamaan tiga momen ini berlaku untuk semua kemungkinan seperti momenlembam / tidak tetap, macam-macam gaya dan beban dan macam-macam lebarbentang (l dan l'tidak sama).Pada balok terusan dengan / tetap, dan dengan menggunakan nilai sudut putartumpuan o dan B yang sudah diketahui dapat kita tentukan:
M,. +H * M/+ * #, * *,.*-: * oo' - fio
atau pada balok terusan dengan momen lembam / tidak tetap:
w' + + 2Mz. rr. l+ r lt+ M,t'+ : - 6Eoo' ? - u*, ?Kita melihat, bahwa perbandingan momen lembam harus ditentukan demikianrupa, sehingga /" menjadi momen lembam suatu bagian sembarang pada balokterusan ini dan / menjadi momen lembam bagian balok terusan yang lain masing-masing.Dalam persamaan tiga momen ini bagian kanan menjadi bagian beban oleh karenahanya bagian ini yang mengalami perubahan oleh beban pada balok terusan.
282
llr
Untuk memudahkankependekan berikut:
perhitungan, maka biasanya digunakan kependekan-
6ESeoagar f 'ao
6Esebagai , ' lJ,
I
n
lc
4
sebagai l.+
sebagai , +Persamaan tiga momen menurut Clapeyron kemudian kita tentukan sebagai:
M1l" + 2M2(le + /[,) + M34 = -8' l" - 9'4
Bagian beban E dan ,8 ini pada umumnya dapat kita tentukan menurut tabel
l.2. 12. Tabel-tabel untuk menentukan bagian beban pada syarat persamaan tiga
momen, pada lampiran.
Bagian beban pada beberapa balok terusan yang sering timbul:
l. Balok terusan dengan beban merata:
Gambar6.4. b.
(6.49.)
q' 13
ao: Do= Zq.etdan kemudian dapat kita tentukan bagian beban sebagai:
e =sF"6=#n =+0,=+2. Balok terusan dengan gaYa Pusat:
P P
\-1JLtz I V.
\-!t"
I
t!/,I
tI
IlGambar 6. 4. c.
283
P. 12oo: Ilo= lAf t
t: f,.e'. r dan
dan kemudian
r:* -P.1.
3. Balok terusan dengan satu gaya sembarang:
P
P_t, Jb
\-a E
t
t I
c
Gambar6.4. d.
,o= ffi a + rt dan o'o=l-3-!' b'
dan kemudian dapat kita tentukan bagian beban
n = Y .., = l" i:r'o' ft, + t,)
* : T'0" - ''1r'b r, + a)
+ l'l
sebagai:
4. Balok terusan dengan bentuk beban yang lain bisa dilihat pada tabel l. 2. 12.pada lampiran
Contoh:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.4. e.) dengan beban merata q =6. 5 t/m ditentukan momen tumpuan I dengan bantuan syarat persamaan tigamomen menurut Clapeyron. Selanjutnya kita menentukan tumpuan masing-masinguntuk menggambar diagram gaya lintang. (Momen lembam / tetap).
284
Gambar 6. 4. e.
285
Menerrtukan mcxren:
o' 12 6.5. 4.22Mor=Li= , :14.3tm
o' 12 6.5 . 5.32M*=-;= , :22.8tm
M, + Mtl + ZMrll+l'l + Mrl'Ir+-l0 4.2+5.3 0
!i,t
09.50
2.M2-t951
Diagram momen:
:-lnt-s,t'\q#q' 12 , g" l'2 ,,44
Jyf+.2 _. 6.5r5'3', s.a
: 362.3
Momen tumpuan B lMzl - MB = - 19.0 tm
Gambar 6. 4. f.
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan:
^ q ' I MB 6.5' 4.2 19.0RA =t_i=-__, _n= e.2t
^ q' I MB 6.5'4.2 19.0 r
^ q' l' MB 6.5' 5.3 19.0 IRBkun"n =f + -t = ', * S: = 20.8 t
^ q't' ue :6.5:! _ I: = 13,6 tHs=2-r:2-53:'
Rs = Re*iri * RBk"rrn = 18'2 + 20'8 = 39'0 t
Dengan bantuan reaksi tumpuan masing-masing kita bisa menggambar diagramgaya lintang seperti berikut:
Gambar 6. 4. g.
Pada tempat gaya lintang menjadi nol {x1 dan x2) kita bisa menentukan momenmaximal Mrldan Mr, menurut rumus (6.26.)
,, : Ro = :+ : + 1.42m; Mxr = y = Y' q 6.5 'r'xt - 2q - 13.0+ 6.5 tm
+ 14.2 tmR^ 13.6x, =
- - -:-- : + Z.O9m; MxZ ='q6.5
R",2q
13.62
13.0
6. 5. Sistim Cross pada balok terusan
6. 5. 1. Pengetahuan dasar
Jikalau pada suatu balok terjepit elastis kita mengetahui nilai momenjepitan. Kita dengan mudah bisa menghitung gaya-gaya yang timbul, menurutrumus (6. 15.) dan (6.16.) misalnya:
M= Mo+Mt-l**r-1
. Mr-M,L1: tl^-i-
-
"tPadahal jepitan kaku momen jepitan dapat dihitung dengan cepat atau dapat di-ambil dari tabel-tabel (lihat lampiran 9.2.6.).Sistim Cross menggunakan keuntungan ini dengan ketentuan. bahwa pada suatubalok terusan yang semua bagian-bagian berada dalam keadaan terjepit kakusebelah-menyebelah. Momen jepitan yang akan timbul pada tumpuan-tumpuanpada umumnya bukan menjadi nol, melainkan timbul suatu momen jepitan padatiap jepitan yang ditentukan. Dengan sistim Cross kita sekarang melepaskan satudemi satu jepitan dan momen jepitan yang timbul akan disalurkan pada balokterusan.Cara ini dapat dilakukan sampai pada tiap-tiap titik simpul atau tumpuan momenjepitan menjadi nol, atau hampir nol (distribusi momen).
286
6.5.2. Perjanjian tanda pada sistam Cross
Perjanjian tanda pada sistim Cross hanya digunakan untuk melakukandistribusi momen. Pada semua perhitungan dan penentuan yang lain kita meng-gunakan perjanjian tanda yang sudah diketahui dan yang ditentukan pada bab1.6.3.Perjanjian tanda pada sistim Cross adalah:
Momen jepitan adalah positif ( + ) jikalau momen jepitan akan berputarpada suatu titik simpul searah jarum jam, dan menjadi negatif (-)jikalauakan berputar berlawanan arah jarum jam.
Misalnya:# trLffi * [\
- Gambar 6.5.2.a.
Dengan menggunakan perjanjian tanda pada sistim Cross ini, pada balok terusanmisalnya momen pada satu tumpuan sebelah kiri dan sebelah kanan tidak mem-punyai tanda yang sama, melainkan mereka bertanda ( + ) dan (- ). Oleh karena itucara distribusi momen baru mungkin kalau jumlah momen suatu titik simpul men-jadi nol.Akan tetapi untuk menentukan diagram momen misalnya. kita harus melakukanperjanjian tanda dari bab 1.6.3.
6.5.3. Momen jepitanPada balok terusan dengan lembam /tetap dan dengan beban sembarang
momen jepitan boleh ditentukan seperti berikut:
Mt: -l2ao-lrrrT'
Mz: -(2Ao-.rrT'2a7
Sesudah sudut putar tumpuan oo dan fi,, ditentukan, momen jepitan pada balok ter-jepit kaku bisa dihitung atau diambil pada tabel-tabel {lihat lampiran 9.2.6.).
.6.5.4. Momen pada titik simpul
Jikalau kita menjumlahkan semua momen jepitan pada suatu titik simpul.jumlah momen jepitan tidak menjadi nol. melainkan jumlah itu menjadi resultantemomen jepitan (momen residu). Selanjutnya kita melepaskan titik simpul yang kitaperhatikan dengan jepitan kaku pada titik simpul sekeliling. Sebagai keseimhanganpada titik simpul yang kita perhatikan kita pasang sekarang salu momen distribusidengan nilai yang sama dengan resultante momen jepitan tetapi dengan tanda ( + )
atau (-)terbalik. Oleh akibat ini momen distribusi (M,ratau M) titik simpul akanberputar dengan sudut o seperti sudah ditentukan pada bab 6.2.4. (macam-macamjepitan).
hlnMq
et
tt ilt
l, l,Gambar 6.5.4.a
Pada bab macam-macam jepitan itu kita tentukan ukuran jepitan e' sebagai sudutputar a dengan momen M = 1 pada ujung batang itu. Oleh karena pada titik simpulyang kita perhatikan semua batang berputar dengan sudut a yang sama. kita bisamenulis:
a : Mt.tt -* Mz.tz = Ms.4........ : Mn.en
dan sebagai persamaaan momen pada titik simpul itu:
M : Mr + M2 + M, + ............ M,
selanjutnya:
Mr: Mr: €-t'. t.z
atau:
111 ',r
-: .........-€1 €2 €3 En
Ukuran jepitan c, s/d e, pada momen lembam / yang tetap.dan dengan ujung balok
terjepit menjadi'
ln
4Eln
288
/] il1f
atau:
Mr: M2: Ms:............ Mn: !+t oF,'' ' 4El! ,............4Eb"tt lt lz l, ' ""' ' ln
ketentuan ini boleh diperpendek lagi dengan 4 E dengan penentuan /< sebagai angkakekakuan batang seperti berikut
l, - u ln
h=x' t:r' (6.50.)
boleh kita katakan:
Mr: M2: M, = ........ 1y1n =
atau:
Mt:M'*r,r,:M *i Mz=r'bu, *,:* bu
bagi batang 1, dan
(6.51.)
yaitu: momen distribusi Ml atau M dapat membagi batang masing-masing menurutperbandingan angka kekakuan batang.Sebagai koefisien distribusi p pada titik simpul yang kita perhatikan kita boluhberkata:
k1t,|=Et
ur= 2 bagibatang2dsb.>k
6.5.5. Momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkanMomen Mn yang berada sebagai bagian momen distribusi pada batang n
pada titik sinrpul yang kita perhatikan sebagai 'lepas' menyalurkan Momen /1,7',
kepada ujung batang, yang dijepit kaku.Sebagai koefisien induksi y kita menentukan perbandingan antara momen distribusiyang disalurkan dan dengan momen distribusi pada batang n.
{6.52.}
Gambar6.5.5.a.
289
Pada umumnya M', bolehsebela h ) seperti berikut:
diperhitungkan menurut bab 6.1.4. (balok terjepit
M'n: - 30a1
jikalau momen lembam I tetap pada baloknya:
Mn'loo= 6Er ; q1:
dengan hasil seperti berikut:
*;:t ,,
3Ei
(6.53. )
perlu diperhatikan, bahwa tanda ( + , - ) adalah sa'ma untuk M, dan M'n.Hasil ini juga bisa kita cari dengan menggunakan metode atau sistim titik potongdengan jarak titik potong a = l/3 seperti ditentukan pada batang yang terjepit kakusebelah dan dengan momen lembam /tetap (lihat juga bab6.2.3.).Momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan harus diperhatikan nantikalau kita akan menentukan nromen jepitan pada titik simpul berikutnya.
6.5.6. Batang dengan engsel pada ujungnya
Gambar 6.5.6. a
Kalau kita melihat batang AB yang disambung kaku pada titik B danpunya tumpuan rol atau engsel pada u.lung,4 perhitungan dapat dimudahkan sekalikalau kita tidak memakai cara balok terjepit, melainkan langsung menggunakanketentuan tentang momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan, tentangangka kekakuan batang dan tentang koefisien induksi.
M e nentu ka n momen jepita n :
Pada umumnya digunakan pengetahuan rumus (6.23.)
M.:- lto' fi,
290
Gambar 6.5.6.b
291
lZIr N
I Hr Hrh
Akan tetapi momen jepitan pada balok terjepit sebelah bisa juga dihitungmenggunakarr ketentuan tentang balok terjepit, misalnya:
dengan
Gambar 6"5.5.c
Ms:Mr+0.5Ml(6.M.)
Ma: M, + 0.5 M2
Harus diperhatikan, bahwa Ml dan M2mendapat tanda ( + , -, ) yang sama. Momenlepitan ini sekarang bisa beraksi pada titik sirnpul.
Angka kekakuan k':
Pada distribusi momen kita harus memperhatikan juga perobahan angka kekakuanbatang (k1 pada batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah:
ukuran jepitan pada tumpuan rol menjadi: €r :
ukuran jepitan pada jepitan menjadi: ,' : 01, ,
Pada bab 6.5.4. (Momen pada titik simpul), rurnus (6.50.) kita menentukan semua
4Et
Dengan cara itu kita memudahkan perhitungan angka kekakuan batang k. Tetapiuntuk batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah kita harusmemperhatikan perbandingan Ildengan X' yang menjadi 3i4. (angka kekakuanbatang k').Pada perhitungan angka kekakuan batang k' kita harus menghitung kali 0,7buntuk mendapat k'pada batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah:
k' : 0.75 'I
-7 (6.55.)
I*r
Gambar 6.5.6.d.
Oleh karena tumpuan ro{ atau engsel tidak bisa menyalurkan momen apa pun koefi-sien induksi y menjadi nol.
(6.56.)
6.5.7. Persiapan cara distribusi momen
l. Menentukan nilai-nilai bagi batang masing-masing:
.... pada tbptiap batang
pada tiaptiap titik simpul
.... pada tiap-tiap batang
Semua nilai ini kita isi pada gambar (lihat contoh-contoh bab 6.5.9.).Perbedaan antara sistim titik potong dengan cara distribusi momen menurut Crossadalah, bahwa dengan sistim Cross bisa digunakan momen lembam / yang berbedapada tiap-tiap bagian balok terusan.
2. Menentukan momen jepitan:
Kita menentukan momen jepitan pada balok terjepit atau balok terjepit sebelahpada tiap-tiap bagian balok terusan yang dibebani dan mengisi hasil juga bersama
tanda ( + , - ) pada gambar (iihat contoh-contoh pada bab 6.5.9. )
6. 5. 8. Cara distribusi momen menurut Cross
Cara distribusi momen mulai dengan resultante momen jepitan (momen
residu) terbesar. Selanjutnya momen distribusi yang sama besarnya denganresultante momen jepitan tetapi dengan tanda (+,-) terbalik disalurkan pada
batang-batang yang dihubungkan pada titik simpul itu, dan kepada titik simpulberikutnya. Momen yang disalurkan harus diperhatikan pada perhitung€n momendistribusi pada titik simpul berikutnya menurut koefisien induksi. Dengan meng-gunakan begitu persiapan pada titik simpul itu pada permulaan tidak seimbang danharus dikoreksi dengan perobahan momen distribusi sampai perhitungan ini cukupteliti. (Jikalau dihitung dengan tm sampai satu angka sesudah koma).Momen pada ujung batang masing-masing sekarang boleh digunakan untuk meng-gambar diagram momen dengan perhatian pada perjanjian tanda yang lama (lihat
bab 1.6.3.).
292
6.5.9. Contoh-contoh
Contoh 1:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.5.9.a.) dengan &ban merara I t/mdan dengan momen lembam / yang tetap, ditentukan momen-mornen maximalpada tumpuan dan pada bagian masing-masing. (oleh karena nilai I jikalau momen
lembam / tetap, tidak penting, karena sebenarnya hanya perbandingan, kita boleh
menggunakan nilai / = 1.)
Q. l+/m
Gambar 6.5.9.a
kn
ln
ln
ln
:kn2k
I
0.?08 .0.75 -0.t56 0. r39
I
0.167 . 07s *0.1?5
IK
Y
k{x
0.
0.529
-2.88@ -0.76
+4.32
-0.68-4.32-0.34+0.08
+ 4.50
+0.6
95
0.471
0.
o.527
G4
0.473
+0.M o
293
Perhitungan momen jepitan Mo:(lihat juga pada tabel-tabel bab 9.2.6.)
Perhitungan momen Mmax BC pada bidang 8C:kita boleh menggunakan rumus yang baru seperti berikut:
AMcxi,i : AMc'Fz': * 0.16'0.527: + 0.08tm lf,Mckunun : AMc'j"r: ='f 0.16'0.473: +0.8&tm | +0'16tm
Perhitungan momen Mmax AB pada bidang l8:menurut rumus (6.26.) kita boleh menentukan Mmax AB = Raz/2 g dengan reaksitumpuan Rapada tumpuan rol atau engsel, dan menurut rumus (6.17.)kita menen-tukan R4 itu sebagai:
R" :q-'-t *tvtq-:1i-1f - ljq:+1.641IlA"7--l__-{-43_-
,*", o, : H'
(6.57)
di dalam rumus ini, masing-masing bagian berarti:Rc : Reaksi pada tumpuan dengan momen jepitan yang terkecilMc : Momen jepitan yang terkecil
beban merata
Menurut rumus (6.17.) kita bisa menentukan reaksi tumpuan Ba
RB
Rau = + 3.6t
3.66 + 4.58: +3.6 = +4.06t
MmaxBC= * *Ma=ry - 3.66: +4.satm
Contoh 2:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.5.9'b. ), lihat juga contoh 'l pada bab
6.3.3. kita menggunakan cara distribusi momgn menurut Cross, kemudian kita
menentukan semua reaksi pada masing-masing tumpuan untuk menggambar
diagram gaya lintang dan menentukan maximsl pada masing-masing bidang.
q : total 8.5tm
Gambar 6.5.9.b
-0M.u,: 1t _ *,
Momen A
Momen Bp;r;
g:_!' = _8
q't: : _ !'L2'12 12
Momen B6nrn
: - 2.88 tm
: - 4.32 tm
: - 4.32 tm
Momen 9k"run : --
Momen Cp;r;
Momen Cku,run = -
Momen D
Distribusi rnomen menurut Cross:
O LMa
@ ttMc : -4.66 + 4.50: -0.16tm
1.642.)
Perhitungan momen MmaxcD pada bidang CD.'menurut perhitungan momen Mmax Co kita tentukan:
'r .6.0,
8-* 4.50 tm
: Reo *A4t- !,
I
t. 7.2=2M,: M,
I
= q.l2
RB : Rao*
= -- 2.88 -r 4.32: .+ 1.44tm
AMa *i,i : t:tfie ' Fi,= - 1.44'0.529 : - 0.76 tmLMB krnun : LMa pz = - 1.44' 0.471 : - 0.68 tm |-t.*,-
: + 1.34tm
k= I7
1
(k')0.167
1
0.167
1
0.500
1
(k') 0.150
:k =k
Y: rtk
0.667
RD
Mmax CD
294
2.242--{
=,;' -ry= T-T:1224'- ryp'
2q
lc = 5,00 mlz : 6.0O m
: + 2"50 tm
0.500 0.500 0.250 0.750 0.769 231
295
0.57 *4.37 *
0.12 *0.20 *
+ 2.83
- 9.12 -+ 23.4 -
1.6i *0.98 -0.73 *0.14 *0.18 *
- 21.25 25.50 - 25.W
3.92 * + 7.95
+ 1.14
- 2.18
+ 0.55
+ 0.25
- 0.10
+ 0.06
- 2.83
- 18.25
+ 11.92
- 9.17
+ 1.72
+ 26.56
- 5.48
Momen C6r",
Momen Dpru,
_ g.l' =
12
2.83tm
8
- 26.ffitm
8.5-2.0'12
2,!5 @Momen 017 MomenC : -2.83tm
g.12 8.5 . 5.02+ 0.4
1
@ * o.2o
Perhitungan momen jepitan Mo:(lihat juga pada tabel-tabel bab 9. 2. 6.)
+ 0.37
-- 0.28
+ 0.09
0.11 Momen E = 0
Distribusi momen menurut Cross:
o
@
LMo
aMo *iri
LMD kurun :
aMc
LMc riri
LMc kunun :
LMo
LMo *iri
LMD kurr, =
LMc
aMc xi,
LMc k"nrn :
aMa aB kiri
LMa'P
dsb. "....
+26.56-2.83= +23.73tm
LMo'rr: - 23.73.0.769: - 18.25tm
LMo'y= *23.73.0.231 : -5.8tm
- 25.50 - 6.29 : - 31.79 tm
LMo' u : + 31.79'0.750 : + 23.4tm
LM"'tr: +31 .790.250: +7.95tm
+ 11.92tm
LMo' y- -'11.92.0.769 : - 9.17 tm
LMo. t, = - 'l 1 .52 .A.231 : - 2.75 tm
- 4.58 tm
LMc'y = +4.58.0.750= +3.4tmLM"' t, : + 4.58. 0.250 = + 1.14 tm
*21 .25 + 29-99: + 8.74tm
La. t, = - 8.74. 0.500 : * 4.37 tm
- 8.74. 0.500 = - 4.37 tm
- 23.73 tm
+ 31.79 tm
- 11.92 tm
+ 4.58 tm
- 8.74tm
Momen/ 0
MomenB*i,i--+=-!.5#g
= - 21.25tm
Momen Bkanan: - t#: --9'5#g'
= - 25.fi tmMomen C*;;= MomenB = -25.50tm
o
@
@
296 297
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan:
RA
R e *iri
R B k"nun
R c *iri
Rckrru,
RD uri
R D kur*
RE
= q' l' Ab - 19.13 - 5.76 = 13.371211
: 9-!-L + M| = 19.13 + 5.76 = 24.Bgt2t
- Q'lz *ryt-Mc : zs.il+ 1"35 = 26.851211
- Q.tz _ ryE--itc : 25.s0 - 1.3b :24.1st2 l,
- Q.lt *ryL--n4, : a.n + o.1o = 8.60t- 2 ' lz
- Q.lr _ Mc - Mo = B.Eg - 0.10 = 8.60 t2 lJ
Q.lq MD ^+ ---:: = t1 .24 + 2.93 : 24.1.812 lo
* Q'lq -
YL : 2r.2s,, 2.93 : 18.32 t2 lo
tI
II
I
51.741
32.75t
32.58 t
Dengan hasil ini kita menggambar diagram gaya lintang:
298
Gambar6.5.9. c Gambar 5.5.9.e.
299
Menentukan momen maximal pada rnasing-masing bagian balok:
MntaxAts:*=+10.521m
MmaxDE= *
=+19'74tm
R"t*as - -; = 1,57 m)
R.(xpo=-' = 2.'l6m)q
R1^MmaxBC - i - Mc : 34.31 - 17.80 = + 16.51tm
MmaxcD : rf, *Ma :+ 4.18 - 17.60: + 13.45tm
Dengan hasil ini kita bisa menggambar diagram momen:
Gambar 6. 5. 9. d
-fte Us
+
Pada contoh 2 ini kita perlu memperhatikan dengan khusus momen maximal pada
tumpuan I yang dengon -25.85 tm jauh lehih besar daripada momen terbesarberikutnya (bidang DE, + 19.74 tm.) Kemungkinan untuk mengawasi kejadian initergantung pada bahan bangunan yang dipilih:
1. Konstruksi beton bertulang:
Pada konstruksi beton bertulang ada dua kemungkinan:a. dengan merendahkan ketinggian puncak momen pada tumpuan I jikalau tiang
beton bertulang yang menjadi tumpuan I cukup lebar, kita boleh mengguna-kan rumus berikut:
ms-4LAt2
*, =Li * hlt ln4
Ms':Ms*
(6.58. )
Perhitungan momen jepitan Mo:
Momen A, A'
Momen Bp;,;
Momen B'p11
Momen 8.Kanan
Momen C1;
P'a.b= --t, (t1al=
_ g'1212
= Momen Bsrnu,
:0_q_' l'
8
15'3.6.282.e+ ' to =
Momen B*i,i - *45.08tm
5.2. 6.42
l- : -26.62 tm
- 18.46 tm
= -10.83 tm
Momen C6r*
Momen C'kr*n
* g' 12 5.2. 7.02_ ___t =__/__=
_ ._P.a.bz_ 20.3.4,12 -- 7^0, =
--21 .23 tm
- 19.59 tm
- t10.82 tm
302
Momen C6n.n
303
Momen D
Momen D'
Momen D
Distribusi momen menurut Cross:
@ LMe 45.08 + 10.83 ..
AMakiri - LMs.y- +34.2s
AMBkur", = LMe U=*34.25
= Momen Ckurun = -21.23 tmP' a2' b 20.32 . 4- t, :-- LU =-l1.5qj!
: - 35.92 tm
_ 34.?q u0.369: + l2.Mtnr
0.63 1 = +21.61 tm+ 34.25 tm
@ aMc
aMc xirt
'LM, rrrun
@ aMa
aM a xiri
aM I krnun
+
+
-0.02+40.82= - +o.agll
AMc'y - *40.80'0.583 = -23.79tmAMc y =-40.80.0.417- +17.01 tm
= - 1'l .90 rm
tMe.p = + 11.90.0.369 =
AMe s = + 11.90.0.631 =
.. 40.80 tm
4.39 tnr )
| + 11.90tm7.51 tm
dsb...... ......Menggambar diagram momen dan diagaram gaya rintang bisa rihat pada contoh 2bab 6.3.3. (gaya-gaya dan momen pada balok terusan).
7. Konstruksi Portal statis tidaktertentu
7.1. Konstruksi portal dengan titik simpul yangkaku
7. 1. 1. Pengetahuan dasar
sistim cross yang digunakan untuk perhitungan statika pada balok
terusan pada bab 6 juga dapat digunakan untuk menentukan momen pada sudut
pada konstruksi porral, jikalau titik simpul tidak bisa bergerak, walaupun boleh
memutar.Titik simpul atau titik sudut pada konstruksi portal menjadi kaku (tidak bisa
bergerak), iikalau misalnya konstruksi portal itu bisa menyalurkan gaya horisontal
kepadalotengbetonatausuaianginhorisontaldankepadadindingbangunanyangkaku. Akan tstapi hafrls dikatakan bahwa pada banyak konstruksi portal titik sim-
pul tidak boleh dinilai sebagai kaku.Misalnya pada konstruksi portal dua ruas dengan
gaya Fo (lihat gambar 7.1- 1. a. sebelah kanan) titik
simpul (titik sudut) dengan pasti akan bergerak di
bawah gaya Fo. Soal-soal seperti itu kita namakan
konstruksi porial dengan titik simpul yang goyah
(lihat bab 7. 2.).
GambarT' 1' 'l ' a'
Pada perhitungan momen pada sudut portal pengaruh atas gaya normal dan gaya
lintang boleh pada prakteknya dihapuskan'
Perhitungan konstruksi portal menurut cross boleh digunakan hanya pada
konstruksi portal dengan momen lembam / pada masing-masing batang meniadi
tetap.
7.1.2. Cara distribusi momen menurut Gross
DenganmenggunakansistimCrosspadakonstruksiportalkitabisamenentukan momen piaa suout-sudut. Dengan momen itu kita akan bisa
menentukan reaksi tumpuan, momen pada batang-batang,'gaya normal dan gaya
lintang.MenurutCrosskitatentukansemuatitiksimpulsebagaikakudandenganbegitu,batangmasing.masingmenjadibalokterjepit.Sepertipadabalokterusankita
304
Fo
selanjutnya melepaskan satu per satu titik simpul sampai semua momen pada satu
titik simpul menjadi seimbang. atau boleh dikatakan resultantenya menjadi nol.
Semua batang harus dihitung sebagai balok terjepit atau terjepit sebelah. Selama
pada satu titik simpul resultante momen belum menjadi nol kita harus memasang
satu momen distribusi seperti pada balok terusan.
Perhitungan momen boleh digunakan menurut urutan berikut:
1. Perhitungan momen iepitan pada ujung kiri dan kanan batang masing-masing
sebagai balok terjepit atau balok terjepit sebelah'
2. Menentukan resultante momen jepitan lLMl pada titik simpul masing-masing'
3. Membagi momen distribusi menurut angka kekakuan batang pada batang
masing-masing4. Menyalurkan momen jepitan (momen residu) menurut koefisien induksi (zt) ke
titik simpul berikutnya.5. Menentukan resultante momen jepitan (AlV) pada titik simpul berikut dan
seterusnYa menurut 2' s/d 4'Memperhatikan perjanjian tanda ( + , - ) pada sistim Cross seperti dibicarakan pada
bab 6. 5. 2.
7.1.3. Contoh-contohcontoh 1: Konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku, lihat Gambar 7. 1. 3. a.
berikut.Dicari: Mirmen-momen pada tumpuan. titik simpul dan pada batang, reaksi tum-
puan-tumpuan dan diagram gaya normal dan gaya lintang'2
6
Momen lembam /:batangl -3\*batang2 - 4 |batang3 - 4 +batang4 - 5 +batang3 - 6 +
B, H,l=-='12/ = 686'6O0 cma
I = 416'000cma/ = 160'000cma
= 67'500 cm{
Gambar 7. 1. 3. a.
305
batano4 - 7 IuatanJ5 - 8l- | = 312'5oo4cm4
Angka kekakuan batang k:batangl-3 *,, Ibatangz-4 krn Ibatang3 - 4 k..batang4 - 5 ko.,batang3 - 6 kr"
i::ffi;_; I [ ]Koefisien distribusi p:Titik simpul3:
67',500= 400 = 1€i8.75 cm 3
= 981 cm3
= 832 cm3= 320.cm3
= 625 cm3
koefisien distribusip :
batang 3-l -, g.,:
batang 3.-4 -, yrn:
batang 3-6 -. pr3_u:
koefisien distribusip :
batang 4-3 ..,r4_3:
batang 4-2 -, yo_r=
batang 4-5 -, po_u:
batang 4-7 -, po., = .
koefisien distribusi p:
[ratang 5-4 -, p5-o=
batang 5-8 -,g5"=
Mq,s-
Ms,c=
_q'l'=12
4.0 .7.02---=;- : -16.3[ttm=tz
- 1G33 tcm
- 1633 tcm
5.0 . 5.02- 12 = -10'40tm=
- 104O tcm
1O4O tcm
Distribusi momen menurut Cross:
Mq.s :
-6+1t.J0t
k,_r
L"
Lr.u
rkg
\n
kn-s
ko-z
:&
Titik simpul 5:
k4€
Lr{
:lq
= 168.75 cm3
= . 981 cm3
= 320 cm3
- 1'465.75 cm3
cm3
168.75 cm3
832 cm3
625 cm3
= 2'606.75 cm3
168.75
rq6e7s981
1469.75320
raogTs
rFs
981
zooo.Ts168.75
zooo7s832
2606j5625
zoooTs
= 0.1'15
= 0.667
= 0.218
= 1.0(X)
= 0.376
= 0.065
= 0.319
= 0.240
GamLrar 7. 1. 3. b.
:H:]I;H
H:tlffiiq+369+17:_3.L{!9Jeooo
'I . Kita mulai dengan distribusi momen pada titik simpul dengan resultante momenjepitan aM yang terbesar, pada contoh I ini, dengan titik simpul 3. Resurtante
Tomen jepitan LMrpada titik simpul 3 ini nrenjadi + 1,633.tcm, yang akan
dibagi sebagai momen distribusi kepada batang 1 _ 3, batang 3 _ 4 danbatang 3 - 6 menurut koefisien distribusi g:
AM3= + 1633tcm.
(5) ooTitik simpul4:
k3. = Sl**l**NBlBgs
I I l**:r+lt{l+tt++t
eoo
r.10a
-+8+ /65
f;td.6- 3t)+l17
t:iid-19-t7E
F]LLlt
= &12 cm3
= 625 cm3
832u57625
&r = 1.000
= 0.570
= 0.€01457
&sAM31 .. - 1633 0. 115 : - 188tcmLMro- -- 15i!3.ttE7 - -108gtcmAMs'= -1633.0,218= - 356tcm
l - ^M.=-1633tcmJ
Perhitungan momen jepitan:
q = 4tlm
p1.,_*9_!,
-'Y'3'4=-12=
#Mqs=M?.q="
r2733+ lliZL2261
f-T7jd1
_t9- tE8
-35/,
-,:-=1l-196 I
306
= 1'457 cm3 = I.000
307
Momen distribusi ini .akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yangberikut menurut koefisien induksi y:
kepadatitiksimpul 1:- 188.0.5= - 94tcmkepada titik simpul4 : - 1089 . 0.5 : - 545 tcmkepadatitiksimpul6 : - 356. 0.5 : - 178tcm
2. AMq = - 1633 - 545 + 10210 = - 1138tcmLMq,s = + 1138' 0,376 = + 428tcmAMq,z= + 1138'0,065 = + 74tcmLMq,s = + 1138' 0,319 = + 363tcmAMqt = + 1138'0,240 = + 273tcm
- AMq = * 1138rtcm
Momen distribusi ini akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yangberikut menurut koefisien induksi y:
kepada titik simpul 3 '. + 428. 0.5 : + 214 tcmkepada titik simpul 2 : + 74 .0.5 : + 37 tcmkepadatitiksimpul 5:+ 363.0.5 = + 182tcmkepada titik simpul 7 : + 273. 0.5 = + 137 tcm
3. AM5 - - 1040 + 182: - 858tcm )LMs,o: +858.0,57: +489tcm lLMs,= +858.0,43: +369tcm t
- L Mu = + 858tcm
Momen distribusi ini akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang ber-ikut menurut koefisien induksi y:
kepadatitiksimpul4 : + 489. 0.5 : + 245tcmkepadatitiksimpul 8: + 369.0.5: + 185tcm
4. Distribusi momen sekarang mulai lagi pada titik simpul dengan resultantemomen jepitan yang terbesar. pada contoh 1 ini, pada titik simpul 4:
LMA: + 245tcmLM^.s: -- 245 .0,376 : - 92 tcmAMo.z= *245.0,065: - 16tcmAMq,s : * 245.0,319 : - 78tcmAMo., : * 245. 0,240 : - 59tcm
Momen distribusi ini akan di5alurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang ber-ikut menurut koefisien induksi y:
kepada titik simpul 3: - 92. 0.5 : - 46 tcmkepada titik simpul 2: - 16. 0.5 = - 8 tcmkepada titiksimpul5 : - 78. 0.5 = - 39tcmkepada titik simpulT : - 59 . 0.5 : - 30 tcm
tI
I - ^M4= -245tcm
I
308
+1,98 Mpn
309
5. Disitribusi momen berikut dilakukan pada titik simpul 3 dengan AM, : 1 214
- 216 : + 168 tcm dsb. sampai distribusi momen kesepuluh (sampai semuaresultante momen jepitan pada titik simpul masing-masing menjadi nol).
Menggambar diagram momen :
Pertama kita tentukan tanda (+,-) dari momen-momen yang baru diteniukandengan sistim Cross.
Momen pada batang-batang yang horisontal adalah positif ( + )jikalau adagaya tarik pada sisi bawah dari batang horisontal itu, dan menjadi negatif(- ) sebaliknya.Momen pada batang-batang yang berdiri adalah posisif (+ ) jikalau adagaya tarik pada sisi dalam (pada portal) atau sisi kanan (pada tiang tengah)dari batang vertikal itu, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya.
Atas dasar perjanjian tanda (+,-! ini kita boleh menentukan tanda-tanda momenseperti berikut:
Pada titik simpul 3:batang3-4=-6.02tmbatang3-1: +2.O8tmbatang3-6= -3.96tmPada titik simpul4:batang4-3*-18.82tmbatang4-2= - 0.61 tmbatang4-5=-15.95tmbatang4-7 = + 2.26tm
-1,04
Gambar 7. 1 . 3. c.
Pada titik simpul 5:batang5 - 4 : - 3.83tmbatangS*8: -3.83tm
Padatumpuanl = -1.04tmPddatumpuan2: - 1.30tmPadatumpuan6: + 1.98tmPadatumpuanT = - 1.13tmPadatumpuanS: + 1.92tm
3,04
2992
(Penentuan momen maksimal pada bidang masing-masing lihat selanjutnya
sesudah penentuan reaksi tumpuan dengan gambarT. 1. 3. h.).
Menentukan gaya lintang (O):
Oleh momen iepitan pada ujung-ujung batang dan bebanan pada batang itu kita
bisa menentukan ukuran gaya lintang menurut rumus (6. 16.) berikut:
M".M
dengan Oo : Gaya lintang oleh beban pada sistim dasar (balok tunggal)
Untuk menerangkan momen pada ujung batang masing-masing untuk perhitungan
gaya lintang kita gambar sistim statis dari portal tsb. dengan ukuran dan jurusan
momen:
OO)
. GambarT. 1.3. d.
Untuk perhitungan gaya lintang pada batang yang vertikal dan yang tanpa beban
kita hanya perlu menentukan reaksi pada tumpuan dengan hasil berikut:
Hasil digambar pada sistim statis dari portal tsb:
PrQm 2s=1.1s GambarT. .l.3. e.
Dengan menentukan tanda ( + , - ) dari gaya lintang seperti berikut. kita bisa meng-gambar diagram gaya lintang.
Gaya lintang pada batang yang horisontal adalah positif ( + ) jikalaubatang sebelah kiri dari satu potongan sembarang akan naik ke atas, danmenjadi negatif (- ) sebaliknya.Gaya lintang pada batang yang berdiri adalah posisif (+ ) jikalau baloksebelah bawah dari satu potongan sembarang akan bergerak ke kiri, danmenjadi negatif ( - ) sebaliknya.
Pada gambar diagram gaya lintang kita perhatikan ketentuan-ketentuan berikut:Pada batang yang horisontal gaya lintang yang positif ( + ) cligambar sebelah atasdari batang itu, dan yang negatif (- ) sebaliknya. Pada batang yang berdiri gaya lin-tang yang positif ( + ) digambar pada sisi luar (pada portal) atau sisi kiri (pada tiangtengah) dari batang vertikal itu, dan yang negatif ( - ) sebaliknya.
Rs,q=-14.92+5,0'5,0 =
^.,u=H#&=1,le*86 = 1,19t*
,0,, =ulii4:0,68t*R7 = 0,68t*
,r.r=E*W=1,15t*
Rs = 1,15t -
10,08 tl
II
II
II
AsA= - 10'08t
..".Os,0-Oo=-1,191
""'Ql-Q7=+0'68t
_ 1,M + 2,08: 0.78t *4,0
= 0.78tt
:0,23t-
= 0,23t *
4,0.7,0 6,02 - 18,82- 2' 7,0
Rq,s=-12,17+4,0'7,0
- 5,0 ' 5,0 15,95 -'3,83x+s= 2 - 5,0
310
Reaksi pada tumPUan:
R1
R?,.r
R2
Rq,z
Rs,t
II
II
12,17 t t
15,83 t t
14.92 t I
Gaya lintang:
.....O1 :Os,r:-0,78t
...C,2:O.q,z- -0,231
Q,+ = + 12,17t
O+,s = - 15'831
Q,s = + 14,921
311
a78I
l0tt q68 1,15 Gambar 7. 1 . 3. f .
Gaya pengikat horisontal pada titik simpul (Fr):
Konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku pada contoh 1 ini menjadi kaku
oleh pengikatan horisontal pada titik simpul 3.
Reaksi tumpuan horisontal {Fr} adalah:
o,nt A23+- + + +b uett q8 u,f
ZH = 0 = - 161*0,78 + 1,'19 + 0,23 - 0,68 - 1,15
Fs= 1,42-2,61 = - 1,19t(gayatekan)
Menentukan gaya normal (lV):
Pada konstruksi portal seperti pada contoh 1 ini gaya normal bisa ditentukansesudah gaya lintang ditentukan.Menurut gambar 7, 1. 3. e. dan perhitungan reaksi tumpuan pada titik simpul 3 kita
bisa menentukan pada bdtang-batang yang horisontal:
Nr.o - Q,'78- 1.,19 - 1,19 = - l,60tNo.s= - 1,60-0,23+0,68: -1,15t
dan pada batang-batang vang berdiri:
Ns.o= -12,17tNet= - 15,&3- 14,92= -30,75tN s.a = - 10,08 t
Gaya normal diperhitungkan gaya tarik sebagai positif (+ ) dan gaya tekansebagai negatif (-).
Pada gambar diagram gaya normal kita perhatikan ketentuan-ketentuan berikut:Pada batang yang horisontal gaya normal yang positif (+ ) digambar sebelah bawah
dari batang itu, dan yang negatif (- ) sebaliknya.Pada batang yang berdiri gaya normal yang positif (+ ) digambar pada sisi dalam(pada portal) atau sisi kanan (pada tiang tengah) dari batang vertikal itu, dan yang
negatif (- ) sebaliknya.
312
Gambar 7. 1. 3. g.
Menentukan reaksi-reaksi tumpuanrDengan ketentuan momen-momen jepitan, gaya lintang dan gaya normal dan gayapengikat horisOntal pada titik simpul 3 sebetulnya semua 14 reaksj tumpuan sudahdiperhitungkan.Reaksi tumpuan tsb. adalah:
padatumpuanl: R,n = - 0.78 1
M1 1.O4tmpada tumpuan 2: Rrn = + 0.23 t
M2 = - 0'30tmpadatumPuan6: F. = + 1.19tpadatumpuano: nru = - 12.17t
8'n = $ 1'19tMo = $ 1'98tm
padatumpuanT: R* = -30.75tR-ln = - 0'68 1
M7 1.'13 tmpadatumpuanS: 8ru = - 10.08t
8rn 1.15 tMB = + 1'92tm
Pemeriksaan m€nurllt syarat-syarat perseimbangan :
2V = 4,0.7,0 + 5,0. 5,0 - 12,17 -30,75 - 10,08 = 28 + 25- 52,0 = 02H = *0,78 + 0,23 + 1,19 + 1,19*0,68- 1.15 = -2,61 + 2,61 = 0
Reaksi pada tiap-tiap tumpuan:
GambarT. 1.3. h.
Menentukan momen maximal lMrdan M*l:Momen maximal bisa ditentukan seperti pada
balok terusan pada rumus (6. 57):
t&'tm
t!fr
313
rumus (6.57.)i M^r,
yaitu: Mx
Momen lembam /:
'batangl-2 - /:
batang2 - 3 / =
batang3 - 4 l:
3t4
: 't6,00 dma = 16O(XX) cma
= 182,@dma = 1822000cma
: 10,72dma = 10710 cma
R-2
i--Mc12.172
Z.q.O-6.02:+12.5tm
*#-3.&l- + 6.32tm
Ukuran x dan xr dapat ditentukan pada tempat gaya lintang menjadi nol:
A, 12.17-4.0'x:0
or' = -10;G . t'-; t 6 =,.:],",",2eemdaritianstensah)
M,,
x dan x,dapat diukur dari tumpuan dengan reaksi iumpuan verfikal yang terkecil(lihat gambar 7. 1. 3. h. dan diagram momen 7. 1. 3. c. ).
Contoh 2: Konstruksi portal dua ruas. Dengan suai angin konstruksi menjadi kakupada titik simpul (sudut). Menentukan momen jepitan untuk beban konstruksi atap(loteng) dan untuk beban horisontal oleh tekanan angin.
Gambar 7. 1. 3. i.
1e_l{'12
34it4'12
3,0:ry'12
Angka kekakuan batang f:
batans't -2' ki,r= 1 !]- = 3 lgp = 240cm34h,45O0
batang3 - 4 t ki," = 1 -b'!- =g' 1073P : 201 cm34hr4m
batans2-3* k;r=+ = #=?fficnfKoefisien distribusi p :
titik simpul 2:
kr,z : 24O cm3
kz.r = 2'?fscm3
Ekz = 2'520 cm3
titik simpul 3:
kr.r = 2,2&) cm3
ke,r = 2OI cm3
Ik, : 2'431 "* '
koefisien distrilcusi p:
batang 1 - 2- ur,., =ffi=0.095
batang 2-3*ur.r:ffi:qSZPz = 1'000
koefisien distribusi p:
batang 2 - 3* nr., :#=0.920
batans3-4*r.,.=ffi=o-.P
&s: 1'000
Perhitungan momen jepitan:momen jepitan oleh beban merata (konstruksi atap) g : 4.0 t/m
M,: M,: - # : -i# : -21,33tm
Distribusi momen menurut Cross: (diperhitungkan seperti biasa)
1.r71l;m;-5@
oooo@@6 Ed66rbNr6brcoi**lJo]:BEESIPTF\I I IISII *1'1*,1* ,l* ,l* 'l*,lL!
-296
_lJ---J-ttrT7d
GambarT. 1.3. k.
lEllrotq qts *rs qrsqETl{t t\Eh6N5tqsts.15il I I tNNN+tqrI rll+ rl+ rl+ rl+ rl+ rl+eocooe
315
Menggambar diagram momen:dengan memperhatikan perjanjian tanda kita bisa menggambar diagram momenoleh beban merata (konstruksi atap) o = 4.0 tl m seperti berikut:
Gambar7.1.3.1.
Perhitungan jepitan momen jepitan:momen jepitan oleh beban (tekanan) adgin w = 1.2t/ m
^ -375(l)+ 36-
+--2r--2.l-d291
Gambar 7. 1. 3. m.Menggambar diagram momen:dengan memperhatikan perjanjian tanda kita bisa menggambar diagram momenoleh beban (tekanan) angin w = 1 .2t/ m seperti berikut:
M2= -ry{ = -12y = _3,75tm
=11-J-E,!J
Distribusi momen menurut Cross:
Gambar7.1.3. n.
-316 317
Pada permulaan contoh 2 ini kita menentukan bahwa konstruksi portal dua ruas iniboleh dihitung dengan titik simpul sebagai kaku oleh konstruksi suai angin.Sekarang kita harus memeriksa, apakah suai angin betul cukup kuat untukmenerima gaya horisontal oleh tekanan angin.
Menentukan gaya lintang (O):
Untuk perhitungan gaya lintang pada.batang yang vertikal kita hanya perlu menen-tukan reaksi horisonlal pada tumpuan masing-masing.
ZMz= o = Rn's.oo + 12'!t * m"
= + 3.66 1
-01
=42
=+0'431
) =Q2's
Rtt = -*(1!_!g + M2l =-3,0+ tf = * z,ut
- 1.2'5.02 0+3.29xzl= z - s.o
^ Mz- Mz - 3,29 - 0,18n2'3=- 8po =- 8po
Rs,z = + 0.43t
^ Mz 0,1RRe,q: - ?, = -rn = -o,ost IfiqA= -o.ost I
= o,,o
Gaya pengikat horisontal pada titik simgul2lF):Dengan memperhatikan catatan di bawah gambar 7. 1.3. n. reaksi gaya pengikathorisontal F, harus disalurkan oleh suai angin: (pada perhitungan kita memilihjurusan F, dari kirl ke kanan)
Fz: R2,., * Be,o = - 3,66 1- 0.05 1 = - 3.71 t
Tanda minus (-) menentukan bahwa pilihan jurusan F, dari kiri ke kanansebetulnya salah, dan F, berjurusan dari kanan ke xiri, yaitu gaya tarik.
Menentukan gaya normal (y't/):
N,,r= Or,r= +0.213tNs.a= -Qz,s: -0.43tNz,s:Fz*O2,,= -3.71 + 3.66=-0.05tMenentukan reaksi-reaksi tumpuan:reaksi tumpuan masing-masing oleh tekanan angin (w) adalah:padatumpuanl: R,* = -2.!llR'u = -0'43tpada tumpuan 2 : F, = - 3.71t (oleh suai angin)padatumpuan4: Rou = +0.€t
Ro* = -0'05t
Menentukan momen maximal dsb. menurut contoh. 1.
Contoh 3:Konstruksi portal bertingkat menurut garnbar 7. 1. 3. o. Dengan pertolongan gayapengikat horisontal Fo, dan d,, kita bisa menentukan sistiminisebagai kaku.
Dicari: Momen-momen menurut Cross.
tot tot
q=\0t'/n3p0
Fot+25/35
For4 -25/65
2s/45
2s/60 6
25/t 0 I
as
Gambar 7. 1. 3. o.
Momen lembam /:. 25.653
25' 603lz,z: ls,a= a =450000crd
25 - 353
25.46
/a,z = 189600 cma
/s,s : 260000 crna
Angka kekakuan batang k:
batang4-5 + ko,u I : s7?W :953cmsbatangl-2 kr,, t - 600
batang2 - 3danbatang5 - 6 kr,rdanks,o:900cmsbatang 1 - 4 dan batang 3 - 6 k,.o dan k..u -- 298 cm3
batang2-5 kz_s=444cm3batang4-7 ko,:474cnfbatangS-8 ks.s =650cm3
batango-e ,'o, : i 1_ffi = 25ocm3
318
Koefbien distdrusi p:titik simpul 1:
kr-, = 963 crnlkr. = fficrna
Ek, = 1'251 "rP
titik oimpul2:
L-, = 9tB cnfl9:. : 900 cnft-. = 444cm3
z\= 2'an cms
titik simpul3:krz = g(Dcnf
L. - 2S crfzh = l'198crrP
titk simpul4:kr, fficnfkr, = 953 cnfkt, = 474crr?
Ik = 1'725"*r
titik simpul 5:
It" = 953 cnr3
La - 444cnf|!* = 900crYfq" = 651 cnf:\ = 2'e+z cnf
titik simpul6:ku = So"tL, = Ecrnrk'u-e = 250 cnr3
:\ = 1',r148 cnf
koefisien distribwi p:
batans2- 1 - yz.t= # = o.oto
batans2-3 + ,".r= ffi:0.$2batans2-s * ,r,u=#-iJg
'+2 = 1'000
ko€f isien distribusi,r :
batang3 -2 + r.,r= ffi -o'^t
koefisien distribusi p:
batangl -2 - r1,2=
batangl -4 - 111,4=
batang3 - 6 +
batang 5 - 6
batang 5 - 8
9531251
2S1%1:rr
= 0.762
=_0!s= l.(trO
:_ j!1s
= l.(trO
MF3.6: iiss
:re
koef isien distribusi p:
batans4-1 - p4.1 =#=0.173
batans4._S - Fr,s = # = 0.552
batans4 -7' ret = ffi =-!.ns
'+4 = 1'([0
koefisien dbtribusi p:
batanss -4 + rr.o= # =0.32i!
batanss -2 + ,r.r= # =o.ru,
- F5,6= # =0.** P5,8=ffi=o.u
IPs = l'GD
koefisien distribusi p:
batans6-5 + ,.,u= # -O.V2
batang6*3 + r.,.= ffi =0.Z)6
batans6-9 4 ,r,r=ffi =-o.y:+t6 = 1'000
319
Perhitungan momen jepitan:
Mt,t= Mz,t= -4r!gj!{eu = - 12,otm
Mz) = M\t= -'o'H#'* (5,0 - 1,0) = - 8,ootm
Mt,s = - 1o'o 'l-Lq' 5'0'?
-
Ms,n = -
15,0 . 6.08
15,0' 6.0
= - 18,19 tm
= - 12,64 tm
Ms,a= M,s= -18'oo- 5'oo=
- 1l,25tm
Distribusi momen menurut Cross:
@o@sxE$Br**NINqtn$ti * ,l * rl* .l[*]
oo@TIT]T]B
-303:rra+21-,l-12d
Enil,-o+12-291-t 52
-463=-0-1l-4731
+180;Ti|_Jlft-rTit
GTBa-l
-1-10+210+00
+175
@l-uitr*qrqqslsll
*lB*ilLl r +l+ + r
oolEll'9sEle*lPll I +l rLltr+ rl+ rl+ r
@oo
I
Gambar 7. 1 . 3. p.
Atas dasar perjanjian tanda ( +, - ) bagi momen-momen kita dapat menentukantanda-tanda momen seperti berikut:padatrtiksimpul 1: batangl-2 \
batangl-4 tpada titiksimpul2 : batang2 - 1
batang2 - 3batang 2 - 5
320
= - 4.28 tm
- 13.95tm= - 12.57 tm= + 1.38 tm
+78+8+41;t0+lfiia
o@ooo Pl
--\
pada titik simpul3 : batang 3 - 2batang 3 - 6
padatitiksimpul 4: batang4- 1
batang 4 - 5batang 4 - 7
pada titiksimpul5 : batang 5 - 4batang 5 - 6batang 5 - 2
batang 5 - Ipadatitik simpul6 : batang6 * 5
batang 6 - 3batang 6 - 9
pada tumpuan 7: = + 2.37 tmpada tumpuan 8: = - 0.26 tm
Menggambar diagram momen :
It: 2.48tm
= + 4.37 tm= - 9.10tm= * 4.73 tm= - 16.61 tm= 'l 5.14 tm= - 0.95 tm= + 0.52 tm= - 4.55 tm= + 2.80 tm
1.75 tm
321
7"2. Konsiruksi portal dengan titiksimpul yang goyah
7.2.1. Penurunan tumpuan pada balok terjepitJikalau pada satu balok terjepit satu tumpuan mulai turun vertikal ke
bawah, penurunan tumpuan itu mengakibatkan momen jepitan pada dua tumpuanjepitan yang mempunyai ukuran dan tanda (+,-) yang sama sebelah kiri dansebelah kanan. Besarnya ukuran tergantung pada ukuran penurunan tumpuan d(yang selanjutnya dinamakan sebagai koefisien pergoyangan) dan pada angkakekakuan batang. Pada balok terjepit dengan momen lembam / tetap, momenjepitan (Mn) menjadi:
Mix= +6+d =u*',0 r dsn.k: l/l (7.1.1
dan pada balok terjepit sebelah momen jepitan (M,rl menjadi:
3E. l.dMi*: + 1t
4E'd--tk' dgn. k' = 0.2.t3t
4l
Sesudah momen jepitan (M,rl oleh ukuran penurunan tumpuan d pada balok terjepitditentukan, kita selanjutnya bisa mencari momen masing-masing pada balokterusan misalnya atau konstruksi portal menurut sistim Cross.
Gambar balok terjepitdengan penurunan tumpuan
Gambar7.2. 1. a
Gambar balok teriepit sebelah L +Hi*
dengan penurunan tumpuan rol
Gambar7.2. 1. b.
Contoh: Pada balok terusan dari beton bertulang tumpuan 8 mengalamipenurunan tumpuan sebesar 3 cm oleh karena pondasi di bawah tiang itu tidakcukup kuat. (E : 210'000 kg/cm2).Dicari: Momen koreksi pergoyangan lM,rl yang timbul oleh penurunan tumpuan Iitu.
322
Momen lembam /-'
batang 1 -- 2dan batang2 - 3
Angka kekakuan batang k'.'
batangl-2 k'tz:
batang2 - 3 k'z-r--
Koefisien distribusi:titik simpul 2:
k'r-t = 825 cm3
ki-: = 1'100 crn3
Ik, : 1'925.'n'
koefisien distribusi:
batangl -2 Ft.z*
batang2 - 3 Fz,t=
Gambar 7. 2. 1. c.
= A,4fr3
=__qtr
- 1,000
, ='u;:" : ffi000 cm{
: 825 cm3
: 1100 cmr
3 880000
4 800
3 880000
?' 600
825
1925
1 100
1925
Zp,
Perhitungan momen koreksi pergoyangan (M4):
Mi*z,t = !:f*! k,t.z : 4-?1#ryj B2s = 2600000 kscm = 26,00 tm
Mikz,t:Ll-! k,z-t : 1'219009'3 1r00 - 4620000kscm = 46,2tm
Distribusi rnomeft menurut Cros6:
Contoh ini memperlihatkan dengan Mix = - 34.65 tm suatu tegangan yang tihggisekali pada sistim statis tidak tertentu oleh suatu turunan tumpuan yang agak kecil.
+ | l+0,42s | Ek.ts2s I a2y 0.572
323
,/
7.2.2. Berpengaruh atas titik simpul yang goyahSeperti berulang kali ditentukan sistim cross sampai sekarang hanya
boleh dilakukan kalau titik simpul pada waktu mendistribusi momen menjadi kaku.Ketentuan ini pada banyak hal tidak betul. Tanpa misalnya loteng dari beton ber-tulang atau konstruksi suai angin yang khusus, hampir semua konstruksi portalmenjadi goyah.
contoh: Konstruksi portal yang terjepit. Untuk memudahkan perhitungan ini kitatentukan, bahwa angka kekakuan batang k : 1 untuk semua batang. Atas dasaritu, koefisien distribusi F : o.s untuk semua batang. Harus diperhatikan, bahwakoefisien induksijuga menjadi y : 0.5 seperti biasa.
Gambar7.2.2. a
Perhitungan momen jepitan :
Mt,z : -
Mt,z : *
P' a' bz
t?
P' a2' b
t,
12,0:?,9_-:,0' _ _ 8 64 t_9,0,
,3t;_9.4=_5,76tm
Distribusi momen menurut Cross:
ocoeBBlagRe**tm6+R I ldl* ' + r+ r+ rll il
324
Gamt:ar7.2.2.tt
325
Momen jepitan Mopada konstruksi portal yang terjepit dan dengan titik simpul yangkaku adalah:
Mo.r: * 2.69tmMo., -* * 5.38 tmMo,z = - 4.22tmMo,t- * 2.11tm
Momen jepitan dengan tanda (index) Mo menentukan, bahwa momen jepitan ituditentukan pada konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku. lni hanya mungkinoleh gaya Fyang menerima gaya horisontal pada batang 2 - 3.
Suatu gaya pengikat horisontal (F) menjadi positif (+ ) jikalau jurusannyake kanan, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya.
Untuk menerangkan momen jepitan pada tiap-tiap ujung batang pada perhitungangaya pengikat horisontal (fl kita menggambar sistim konstruksi portal yang rer.jepitdengan masing-masing momen.
Gambar-l .2.2. c
Perhitungan gaya pengikat horisontal F0:
Gaya pengikat horisontal Fo = gaya lintang A.,., * ArA
ZMt = Q = Qr,z' 4,0 + Msj + Ms,2
At.z: -114(Mo,j+ Ms,2l: -114 (2,69 + 5,38) = -2,02rZM4 = 0 = O:,q' 4,0 - Mo,s - Mo,q
As,q: 1/4(MsB + Mo,ql = 114A,22 + 2,11r,: 1.58t
Fo= -2,02+1,58: -0,44tAtas dasar perhitungan ini kita lihat, bahwa gaya pengikat (Fo)jurusannya ke kiri.Tanpa gaya pengikat horisontal (Fo) konstruksi portal yang terjepit bergerak kekanan dan perlu diperhitungkan lagi sebagai konstruksi portal dengan titik simpulyang goyah dengan koefisien pergoyangan d. Koefisien pergoyangan d mengaki-batkan momen jepitan M,* sebagai tambahan bagi momen jepitan Mo yang bisa kitatentukan dengan cara distribusi momen menurut Cross. t
Jalan lain sebotulnya lebih berguna. Kita memilih suatu koefisien pergoyangan J(ukuran bergerak) dan menentukan momen jepitan M;p menurul bab 7. 2. 1. Olehmomen jepitan Mp pada batang vertikal kita mendapat suatu gaya pengikathorisontal F;1
Oleh karena gaya pengikat horisontal Fo pada konstruksi portal dengan titik simpulyang goyah harus menjadi nol kita memilih koefisien pergoyangan J {ukuranbergerak ) begitu, supaya :
Fo-i'F*=O atau n=- F9
Fik(7.3.)
Selanjutnya momen jepitan Mp oleh kcefisien pergoyangandengan fektor oengikaf g. Momen jepitan Makhirnya menjadi
d harus dikalikan
M : Mo + F' Alli* v.4.t
Lebih mudah lagi momen jepitan M bisa kita tentukan jikalau kha tidak memilihkoef isien pergoyangan J, rtelainkan langsung memilih momen jepitan /1,f1.
7.2.3. Contoh-contohContoh 1: Konstruksi portal vang terjepit, lihat gambar 1.2.2. a. mengalamipergerakan sebesar d (koefisien pergoyangan). Pergerakan d menjadikan momenMp.1 ,2danM;p43sebesar + Stmpadabatang 1-2dan mornen M,y1,1 danMp3.4sebesar "+ 5 tm pada hratang 3-4.
Gambar 7. 2. 3. a
Distribusi momen (Ma) menurut Cross:
Hasil momen Mipadalah:Mi*.t = -4.0tmMi*.2 : +3.0rmMi*,s = -3.0tmMi*.q = + 4.0tm
326
Gambar 7 2.3. b Gambar 7. 2. 3. d
321
Perhitungan gaya pengikat horisontal (F;1i;
3,00tm 400 tmr\1l- IJ-i- J*
!00 tm 400 tm
M : Mo + i' M, = Mo* 0,126 tmMt: Mo,t+ y'Mr,, : + 2,69 -0,126'4,0Mz: Mo,z+i'Mt,z: - 5,38+0,126'3,0Mz: Mo,z+y'Mt,t - - 4,22-0,126'3.0Ma : Mo,o + y' Mr,o = + 2,11 + 0,126' 4,0
2M.r:0
Fik' 4,0 + 3,0 + 4,0 + 3,0 + 4,0 = 0
- 3,0+4,0+3,0+40 = 3.5tt* = q,o
Gambar 7. 2. 3. c.
(F" lihat pada gambar 7 .2.2. d.l
: + 2,'l9tm: - 5.00 tm: - 4,60tm: + 2,6'l tm
menurut rumus (7. 3.) kita boleh menentukan I dengan:
t,: . # :0,126
menurut rumus (7. 4.) kita boleh menentukan momen jepitan M seprti berikut (Mo
lihat di bawah gambar 7. 2.2. b.l:
Contoh 2: Konstruksi portal yang terjepit seperti pada contoh 1, tetapi dibebanioleh gaya horisontal P = 3.0 t pada tiang 1-2.Angka kekakuan batang * = 1 untuk semua batang. Atas dasar ini koefisiendistribusi g = 0.5 untuk semua batang.
Perhitungan momen jepitan :
M, " : M,. = - P' h
= -3-.9_-4'088Distribusi momen menurut Cross:
s .. b,i<-';',i -l:
= - 1,Stm
t5a
t5-
"a:a
Perhitungan gaya pengikat horisontal (Fo):
A7 tm A2 tm
co
P 3t
I 4\J1,9tm
lMro-g
Fo'4,0 + 3,0.2,0 + 0,7 - 1,9 + 0,2 + 0,1 :06,0-0,7+1.9-0.2-0.1
" 4,0
Hasil momen jepitan Mo adalah:Mo.r = - 1.9tmMo.z = -0.7tmMo,r = +0'2tmMo,a : - 0.1tm
Gambar 7. 2. 3- e.
Gambar 7. 2. 3. f
iI
sa-+'
I
I
sN'
5S
Js- _.tQl tm
Perhitungan momen lMipl seperti pada contoh 1 oleh d-:
Mrk,l -. 4.0 rmMir.,z : +3.0tmMtr,r : -3.0tmMit,q : +4'0tm
Perhitungan gaya pengikat horisontal (Fa)seperti pada contoh 'l : F;1 = 3.51.
Menurut rumus (7. 3. ) kita boleh menentukan ! dengan:
Fo + y. F,k - 1,275 + t1 3,5 = 0
Menurut rumus (7. 4. ) kita boleh menentukan momen jepitan M seperli berikut:
M - Mo + 0,364 Ml
F=1ff =0,3M
Mt = - 1,9 + 0,364(-4,0) = - 1,9 * 1,456 =Mz : - 0,7 + 0,364'3,0 : * 0,7 + 1,092M,= +0,2+0,364(-3"01 = -0,892tmMn: - 0,1 +0,364.4,0 = + 1,356tm
328
- 3,356 tm+ 0,392 tm
Catatan: Pada contoh 1 dan 2 momen Mp oleh pergerakan d (koefisien per-goyarrgan) adalah simetris (panjangnya dan momen lembam yang sama pada dua
kaki konstruksi portal, batang 1-2 dan batang 3-4) oleh karena itu angka kekakuanbatang k1.2dan k3-a menjadi sama juga.
Tetapi misalnya pada contoh konstruksi portal dua ruas dengan tumpuan berengselatau terjepit menurut gambar 7.2.3 g. dan h. momen M;pberlainan pada batang1-2dan batang 3-4.
Gambar7.2.3. g. Gambar7.2.3. h.
Menurut rumus (7. 1.) kita boleh menentukan momen jepitan Mpseperti berikut:(lihat gambar 7. 2. 3. h)
pada batang 1 _ztn - M* t = 6!:!Ld :61' &:d -d = y+!f!-"tK't ht' hr 6 E' kt
pada batang 3-4 Ul * Mi*,, =6!.!r.d _6E.kr-d A utu_h,
h,, h, 6E.k,
oleh karena d parla titik simpul 2 dan d pada titik simpul 3 harus sama. kita bolehmenulis:
Yu h, = Y-t&t:L
6E.kt 68.k,
Atas dasar pengetahuan ini, kita bisa menentukan perbandingan antara Mik,l(momen jepitan sebelah kiri) dan M6., (momen jepitan sebelah kanan) sepertiberikut:
(7.5.)
pada konstruksi portal dengan dua ruas dengan tumpuan berengsel lihat pada gam-
bar7.2.3. g. kita menentukan:
(7.6. )
Jikalau pada konstruksi portal dua ruas satu kaki tertumpu engsel dan kaki keduaterjepit seperti pada gambar 7.2. 3. i. berikut, kita menentukan momen jepitan M;p
oleh pergerakan d (koefisien pergoyangan) menurut rumus berikut:
Gambar 7. 2. 3. g.
W-kr.k,Mi*., ht ' h,
w=ki.k"Mi*,, ht h,
329
Gambar7.2.3. i.
nrenurut rumus (7. 1.) dan (7. 2.) momen jepitan M;1 adalah:
pada batang 1 -2Ul
padabatang3-4(r)
- Mi*.r = 6+?d : 9!#j - a = Ua.t!,
- Mi*., - 4+d - 4 E' !"' d * a = Ut*t!,,
oleh karena pada titik simpul 2 dan d pada tkik simpul 3 d harus sama kita bisamenentukan perbandingan antara rnomen jepitan M;p1dan M;p,rseperti berikut:
w:3kt.2k,'Mi*,, hr ' h, 17.7.t
contoh 3: Pada contoh 2 (konstruksi portal dua ruas) lihat gambar 7. 1. 3. i. kitatidak mencari gaya pengikat horisontal Fpada konstruksi portal dengan titik simpulyang kaku, melainkan dihitung sebagai konstruksi portal dengan titik simpul yanggoyah.
Garflbar 7.2" 3. k. Gambar 7. 2. 3. l.
Ukuran konstruksi portal, beban merata, tekanan angin, angka-angka kekakuanbatang dan koefislen distribusi dsb. diambil dari contoh 2, bab7. 1.3.
Momen Mo adalah: -Mo.z: - 3.75tmMo.s = - 3. 13 tm (lihat gambar 7.3.2. l.l
Gaya pengikat horisontal Fobagibeban merata:
_ 3,75 3,13Fa:-. _-_ * - =-0,75+0,78=+0,03t" 5,0 4,0
330
Ql3tm
I'li_l*
ss
iJ
3,75 tm
T
q=40t/m
Garnbar 7.2"3. k
(
fl
Gaya pengikat horisontal Fo* bagi tekanan angin sudah ditentukan di muka dengani:2 .,. 3.71 t.
Seka!'i:in;J kita memilih suatu pergerakan d (koetisien pergoyangan) yang meng-akibatkan satu momen Mi*,2 = 10 tm. Jikalau titik simpul 2 bergerak oleh M7r,2
sebesar d, ritik simpul 3 bergerakjuga sebesar d; menurut rumus (7. 6.) kita bolehmenentukan:
uu : {}.L. !il : 2Q . 201 _ o,€Mi*,, hr,z hr,o 500 ' 400 0,503
kemudian:Mi*.r= *,*,, o#:
1o,o '# : 'to,zt6tm
Distribusi momen Mik menurut Cross:
9.37 tmc '^'i*- ( .\_
7 GambarT" 2.3. m. Gambar7.2.3. n.
Momen M,radalah: Mix.z: + 9.37tmM*.s:-9.87tm
Gaya pengikat horisontal F,1 oleh momen Mik:
Fx : +ffi . ffi = 1,874 + 2,47 = 4,s4t
Menurut rumus (7. 3.) kita bisa menentukan rl:
u -- - F./Ft^
0.03,t=- 4,U =-0,0069=0
Oleh karena r: (hampir) nol pergoyangan pada konstruksi porta{ dua ruas ini ka-rena beban merata (konstruksi atap) boleh dikata.kan tidak ada.Akan tetapi pergogyangan ada oleh beban (tekanan) angin. Menurtrt rumus (7. 3.)kita blsa menentukan pr:
- (-3.7)u=- 454 ==+0,85
+1000-01+26+5
ffi
gBTtm
r'i'r__l
(IIII:Ii:FiFTlT) (--) (+, rN
3['1
Momen Mo sudah ditentukan pada gambar 7. 1. 3. m. dan 7. 1. 3. n. dengan:
Mo,z= -3,29tmMo,t = + 0,18tm
Menurut rumus (7. 4. ) kita bisa menentukan momen M2dan M, seperti berikut:
M = Mo+ l'MixMt= -3,29+ 9.37'0,85: -3,29 + 7,96: + 4,67tmMt: + 0.18-9,87'0.85: +0,18-8,39= -8,21tm
Perhatikan perobahan besar bagi momen ini kalau dibandingkan dengan momenModari portal dua ruas dengan titik simpul yang kaku.Menggambar diagram momen-(Mo + y.Mll oleh tekanan angin:
Gambar 7. 2.3. o
7.2.4. Konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul yanggoyah
Sistim perhitungan pada konstruksi portal dengan titik simpul yang goyahmenjadi lebih sulit jikalau ada beberapa gaya pengikat horisontal (Fo). Misalnyapada konstruksi portat bertingkat pertama kita menggerakkan tingkat satu dengankoefisien pergoyangan d-1. Selanjutnya kita memperhatikan tingkat satu sebagaikaku dan menggerakkan tingkat dua dengan koefisien pergoyangan J,, dsb. Padaprakteknya kita mulai perhitungan pada tingkat teratas dan menurun tingkat demitingkat ke bawah.
332
Nb+
FI
E'tr.t
Ft,o t lrt' Ft,, + w' Ft,z : 0
Ftt., * irr ' Ftt.. + ttz' Ftt,z: 0
iil l;-'1,- I',l*- 11- ,u *
437 tm q95 2,80
Gambar7.2.4. d.
4, /J+,.\-Fto 14
J,._?,37 tm
Gambar7.2.4. a. Gambar 7 . 2. 4. b.
Dengan memperhatikan perhitungan secara ini, kita boleh memenuhi rumus (7.3.)dan rumus (7. 4. ) seperti berikut:
(7.8. )
(7.9.)
dengan faktor pergoyangan I-r1 dan p, kita boleh menentukan M seperti berikut:
M = Mo + yi Mt + yz'Mz (7.10.)
Contoh: Pada contoh 3, konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul yang kaku,Iihat gambar 7. 1. 3. o., kita tidak mempunyai lagi gaya pengikat horisontal Fo.1 danFo,11 melainkan suatu tekanan angin W, ..- 1.5 t dan Wo: 3.5 t.Ukuran portal, beban merata dsb., angka kekakuan batang dan koefisien distribusimasing-masing diambil juga pada contoh 3 bab 7. 1. 3. Gambar situasi dan gambardengan momen masing-masing diperingatkan sebelah bawah:
428 7.38 2,483,00 -
w7
lt< |
oc)<!)'
iW+..l+t3,5 t
oit'
I
J--
a52 1,75t,ls- lo
l,* l'*0,26
Gambar7.2.4. e.
I
Gambar7.2.4. c
5,00,
333
Gaya pengikat horisontal F1,o dan Fs1.o oleh gaya dan beban yang vertikal menjadi:F;1,o oleh momen jepitan dari batang 1-4,2-5 dan 3-6 menurut Gamhrar 7.2. 4. d.
Fu,o - 4,28 * 4,37 + 1,8 + 0,95 + 2*9t 39 -3,00--:*- -,-- = *0,vl7t
Fq,o oleh momen jepitan dari batang 4-7 ,5-B dan 6-9 menurut gambar 7 .2. 4. e.
Fr,o: + 0,347 + - 4,73 - 2,37 + 0,52 + 0,26 + 1,15= - 0,796 t
4,00
Gaya pengikat horisontal Fyyl,o dan F1ry11,o oleh gaya (tekanan) angin. Oleh karenatekanan angin W, dan Wo membebani konstruksi portal ini pada titik simpul 'l dan 4,tekanan angin tidak mengakibatkan momen pada konstruksi portal ini, Gayapengikat horisontal F,,ry1,o dan F1ry'1.o menjadi sama dengan WrdanWo.
Fwrr,u : - 1,5t F*,, : - 3,5t
Perhitungan rnomen M1 dan Mnoleh pergerakan (koefisien pergoyangan) d, dan d,,
sembarang:Atas penentuan koefisien pergoyangan d1 yang sembarang bagi tingkat satu padakonstruksi portal bertingkat ini, kita juga harus mencari koefisien pergoyangan ,11
untuk tingkat dua untuk menentukan momen Mldan Mupada akhirnya.Setindak demi setindak kita bisa menghitung seperti berikut:
Penentuan momen Mil:Koefisien pergoyangan d', sembarang pada titik simpul 1 rnengakibatkan padabatang 1-4 suatu momen M6,rdan Mi*,. : + '10 tm.Menurut rumus (7. S.)tita boleh menghitung:
Mir.r-&;-.lu-Mix., hz,s hr,o
oleh karena h2 5 soma dengan hj_4 kita menentukan:
W -- kz s -M, . = M.1.. !-]-LMiu,, - kr,.o
tvtik'2 - 'vt*'r k*
Menurut contoh 3 pada bab 7 . 1 . 3. angka kekakuan batang kr-r : 298 dan kr-, =zlzl.t[, s6l66jrr16ya kita menentu kan
Mi*,r: Mix,, = 10.0. 444/298 : 14,90 tm
Oleh karena angka kekakUan batang 3-6 sama dengan batang 1-4 kita boleh menen-tukan, bahwa Mi*,. = M;1,6 juga menjadi 10 tm seperti juga Mip,rdan M;p.0.
334 335
Distribusi momen M11 menurut Cross:
o(9o eo@sRtB;t*lislll+ rl+lLIl
*l3gP-llplrlt +r I+lLrl
Ganl-_-J-9 I- l2t-83+1000
lEllt*ro+iGlHll lNq+6lA[ I l+NLlllr+ll+lt r
CIo@
Garnbar 7. 2. 4. f.
Atas dasar distribusi momen menurut Cross momen-momen Mn rneniadi:
@-96
pada titik simpul 1: batang 1 - 2lbatang 1 - 4l
pada titik simpul2: batang 2 - 1
batang 2 - 3batang 2 - 5
pada titik simpul3: batang 3 2 \batans3-6t
pada titik simpul 4: batang 4 - 1
batang 4 - 5batang 4 - 7
pada titik simpul 5: batang 5 - 4
batang 5 - 2batang 5 - 6batang 5 - 8
pada titik simpul 6: batang 6 - 5batang 6 - 3batang 6 - 9
7.54tm
6.37 tm6.13 tm
12.50 tm
7.34tm
7.78tm5.72 tm2.06 tm5.17 tm
12.6'l tm5.30 tm2.14tm6.19 tm7.49 tm1.30 tm
+
+
++
,rLLo @oo+26-
-v
\r6a\ad'
rumpuan 7: : + 1.03tm
rumpuan 8: : + 1'07 tm
, oengikat horisontal Fx,2dan F1,2oleh My:Gay'"'
-41 12.5 734 2,06
4'li-\-\2- l,
.rnin 12,61 7,49 {u-1,03 tnt
-n67.2.4.9-G|f'-
2,14 1,30
i\- tr
J,* I,*1,07
Gambar 7. 2. 4. h.
.rrrut gambar 7 .2.4. g. gaya pengikat horisontal F11,2 meniadi:lle"-
'l ,il + 7J8 + 12,fi + \2,61 + 7,34 + 7,49 _ .a A.r +
z - lg'az t
Ft,, 3'oo
-140nurut gambar7. 2. 4. h. gaya F1,2menjadi:
dlt'
- 2.06 - 1.03 - 2,14 - 1,07 *.]13! = _ 20,31-.--18,42*ffil
^ooilan momen Mi.
p0r'l-1sn pergoyangan d1 sembarang pada titik simpul 4 mengakibatkanyoe"no4_7 pada titik simpul 4 dan 7 suatu momen Mi*,a - M*.7 - + '10 tm.
bat'',irtrumus (7. 5.) dan rumus (7. 7.) kita boleh menghitung:t\,lEI'"
tril,b, M,r.o ,*,
:1o,oo ' H : 13,8 tm
,o,oo ?:ffi= 3.5tm
pada
2 k6.g
3 kq.t
Distribusi momen M7 menurut Cross:
@eo* ctr do cJls-lNq t$l+|lr.lrqt+l
o@esr-:t**li{l+1 I r1+ rll +t
+1380
- t!!il5+7
E@+2:.-T+6-txtt
[*]l**1.:lesislBl. l.,i-Tlrle@oo
[.r r;al
Gambar7.2.4. i
Atas dasar distribusi momen menurut Cross. momen-momen Ml meniad|.padatitiksimpul 1: batangl -2\= _ 0.57tm
batang 1 - 4tpada titik simpul 2: batang 2 - 1 = + 0.46 tm
batang2-3 = - 0.25tmbatang2-5 = - 0.71tm
pada titik simpul 3: batang 3 - 2 I = * 0. 17 tmbatang 3 - 6,
padatitiksimpul4: batang4-1 - + 1.35tmbatang4-5 - + 6.35tmbatang4-7 - + 7.70tm
pada titik simpul 5: batang 5 - 4 = - 5.84 tmbatang5-2 = + l.60tmbatangS-6 = + 3.94tmbatang5-8 = + 11.38rm
pada titik simpul 6: batang 6 .. 5 = - 2.fXl tmbatang6-3 = - 0.35tmbatang6-9 = * 3.18tm
337
padapada
tumpuan 7: : 8.85 tmtumpuan 8: : 12.59 trn
Gaya pengikat horisontal F11.1 clan F1,1 oleh Mp
Gambar7.2.4. k. GambarT' 2.4. l.
menurut gambar 7. 2. 4. k. gaya pengikat horisontal F11,1 menjadi:
a,57 - 0,71 - 0,17 - 1,35 - 1,60 - 0,35 . Eo .: r.CO i, il.t - 3,00
dan menurut gambar 7. 2.4.1. gaya F;.1 menjadi:
FLr= +1,8+ 7,70 + 11,38 + 3.18 + 8,85 + 12,59= + 12,51 t
4,m
Penentuan faktor pergoyangan tr1 dan 1t2i
Faktor-faktor pergoyangan 1,lt dan p2 bisa diperhitungkan dengan penggunaan
rumus (7.8.)dan rumus (7.9.)seperti berikut:
057 Q7t An
tt;- ri- t,
,1,* *lr- ,]r.-l,J|tm 1,60 0,35
Ft,o + ltr' Ft,, + irr' Ft,z :O
Ftt,o + lrr ' Flt,, + lrz' Ft,z: O
a) dengan hasil pada gaya dan beban vertkal:
- 0,796 + lL'12,51 + lz' l- 20,3) : 0
- 0,U7 + lrr'(- 1,58) + lz'18,42:0b) dengan hasil pada gaya (tekanan) angin:
- 3,5 + itt'12,51 + yz'(- 20,3) : 0
- 'l ,5 + lr''(- 1,58) + ttz'18.42: O
Fr = 0,1094
lz= 0,0282
t\: O,479
b:0,123Momen-momen oleh beban vertikal sebetulnya bisa ditentukan menurut
17. 10.1 seperti berikut:
M = Mo+ ltt'Mr + iz' Mt
Momen Mo diambil pada contoh 3 di bawah gambar 7. 1. 3. p.
338
Mornen pada titik simpul 1:
bratang 1-2 =- 4,28+0,1094'(*batang 1*4:* 4,28 +0,1094'(-
Momen pada titik simpul2:batang 2*1 = -13.95+0,'1094'(+batang 2 * 3 = - 12,57 + 0,i094' {-batang 2*5 - + 1,38 + 0,1094'(-
Momen pada titik simpul3:batang 3-2 : - 2,48 +0,1094'{+batang 3-6 = - 2,M +0,'1094'(+
Momen pada titik simpul 4:
batang 4*1 : + 4,37 +0,1C8)4'("r-batang 4--5 = - 9.10 + 0,1094'(+batang 4-7 = - 4,73+ 0,1094'(+
Momen pada titik simPul 5:
batang 5*4 = * 16,61 + 0.1094'(-batang 5 -- 2 = -- 0,95 + 0,1094'( +batang 5-O : -15,14 +0,1094'(+batang 5-8 : + 0,52 + 0,1094'(+
Momen pada titik simpul6:batang 6-5 : - 4,55 + 0,1094't-batang 6-3 : + 2,80 + 0,1094'(-'batang 6--9 : - 1,75 + 0,1094' (-
Momen pada tunrpuan 7:lVl.r ,= + 2,37 + 0,1094. (*
Momen pada tumpuan 8:
0,57) +0,0282'(+ 7,54l=0,57) +0,0282'(+ 7,541 -
4,',r3 tm4,13 tm
0,46) + 0,0282'(- 6,37) =0,25) + 0,0282'( + 6,131 =0,71) + 0,A282 '(+ 12,501 =
0,17) + A,0282'(- 7.34) "=
0,17) + A,0282'l-- 7,&l =
'1,35) + 0,0282 ' (- 7,78) =6,35) + 0,0282' (+ 5,721 =7.7 l .+ 0.0282' { - 2.06i =
- 14.08 tm* 12,43tm+'l ,65tm
- 2,67 tm
- 2,67 tm
+ 4,30 tm
- 8,24 tnt
- 3,95 tm
5,84) + 0,0282' (- 5,171 = * 17,40 tm1,6 ) +" a,0282 '(-- 12,61) = - 1,13tm3,9'4) + 0,0282' (+ 5.30) = * 14,56tm
'11,38) + 0,0282 ' (-. 2,14) = + 1,70 tm
2,83) + 0,0282 '{- 6,19} = - 5,03tm0,35) +0,0282'lt'7,491 =+ 2,97tm3,18) +0,0282'(+ 1,30)=- 2,06tm
8,85) +0,0282.{+ 1"03} = + 1,43tm
Me: * 0,26+ 0,1094. (* 12,59) + A,0282.1+ 1,07) = - 1.61tm
339
Gambar diagram momen oleh gaya dan beban vertkal:
_ Gambar7.2.4.m.
Momen-momen oleh tekanan angin yang sebetulnya bisa ditentukan juga menurutrumus (7. 10). perlu hanya diperhatikan. bahwa Mo : O.
Momen pada titik simpul 1 :
batang 1-2 =0,479'l- 0,57) + 0,123'l + 7,5a1 = + 0,65tmbatangl-4=+0.62tm
Momen pada titik simpul 2:batang2-1=0,479 '(+ 0,46) + 0,123'l+ 6,37) = -0,56tmbatang2-3:0,479 '(-0,25) + 0,123'(+ 6,13) = + 0.63tmbatang 2 - 5 = 0,479' l- 0,711 + 0,123' (- 12,50) = + 1,20 tm
Momen pada titik simpul 3:batang 3 - 2: 0,479'l+ 0,171 + 0,123'l- 7,231 : - 0,82 tmbatang 3-6 : -0,73tm
340
sr'6
Ir;ii
t\lo3's{'
Momen pada titik simpul 4:batang4-1:0,479'l+ 1,35) + 0,123.1* 7,781 = -0,31 tmbatang4- 5 = 0,479.(+ 6.35) +lO,tZS.l+ 5.721 = + 3,74tmbatang4-7:0,479'(+ 7,70t. +0,123.(- 2,06) = +3.2t4tm
Momen pada titik simpul 5:batang 5 - 4 = 0,479' (- 5,84)batang 5 - 2: 0,479 . (+ 1,6 )
batang 5 - 6 : 0,479 . (+ 3,94)batang 5 - 8 = 0.479' (+ 11,38)
Momen pada titik simpul 6:batang 6 - 5 = 0,479 . l- 2,831batang 6 - 3 = 0,479 . l- 0,35)batang 6 - I = 0,479 . (- 3,18)
Momen pada tumpuan 7:
Mz = 0,479 (- 8,85) + 0,123 ' (+ 1,03) :
Momen pada tumpuan 8:Ma : 0,479 . (_ j2,S9t + 0,123 . (+ 1,07) =
Gambar diagram momen oleh gaya (tekanan) angin:(o(o
?+r,20
+ o,'t23 . (- 5,17) =+ 0,123 . (- 12,61 ) =+ 0,123 . (+ 5,3 ) :+ 0.123 l- 2,141 =
+ 0,123 . (- 6,19) :+ 0,123 . l+ 7,491 =+ 0,123 . (+ '1.3 ) =
- 3,42 tm
- 0,78 tm+ z,il tm+ 5.18 tm
- 2,"12 tm+ 0,75 tm
- 1,S tm
- 4,10 tm
- 5,89 tm
Gambar7.2.4. n.
341
8. Perubahan bentuk elastis
8.1. Pengetahuan dasar
Pada bab 2. (llmu inersia dan ketahanan) sudah ada beberapa ketentuandan rumus tentong perubahan bentuk. Dengan pengetahuan itu, terutama bab 2. 3.2. (Gaya torsi) dan 2. 8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis), kita bisa
menghitung lendutan dan putaran pada konstruksi batang dengan garis sumbuyang lurus. Pada perhitungan perubahan bentuk untuk konstruksi rangka batangdan untuk konstruksi derrgan sistim statis tidak tertentu kita dalam bab ini mencarimetode-metocje untuk menentukan perubahan bentuk pada konstruksi-konstruksidalam bidang. Selanjutnya kita terutama memperhatikan perubahan bentuk elastis,sedang hubung6n hubungan teoretis hanya ditrerikan sedikit saja, menurut ke-oerluan dan secara umunl.Teori-teori tentang perubahan bentuk elastis yang lebih luas dan lebih dalam mem-br.rtuhkan keluasan studi/mata kuliah jurusan arsitektur.Berikut daftar perubahan bentuk dalam alasan yang bisa mengakibatkannya:
Pada konstruksi batang dan rangka batang momen torsi tidak timbul, karena ituselanjutnya kita membatasi diri pada pembicaraan tentang pemutaran. Juga padabab 2. (llrnu inersia dan ketahanan), kita telah mempelajari, bahwa pengaruh gayalintang pada lebar bentang dan ukuran balok yang biasa, pada umumnya kecilsekali. Karona itu selanjutnya kita juga mernbatasi diri pada pembicaraan tentanghal itu dalam buku ini. Fada umumnya kita hanya memperhatikan gaya normal,momen lentur dan perbedaan suhu untuk menentukan perubahan bentuk, danterutarna yang harus diperhatikan ialah lendutan.
342
Gaya normalperubahan suhu seragam
Momen lenturGaya lintangSuhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi ba-wah pada suatu konstruksi batang
Dengan pengetahuan yang ada sampai sekarang kita hanya bisa menentukan len-
dutan pada balok tunggal menurut bab 2.8. (Perhitungan lendutan dan garis
elastis). Untuk perhitungan lendutan pada konstruksi rangka batang misalnya
belum ada pengetahuan dasar.Pada bab-bab berikut kita menentukan cara untuk memperhitungkan perubahan
bentuk elastis tidak hanya pada konstruksi batang dan rangka batang melainkanjuga perubahan titik simpul pada tiap jurusan sembarang'.
8.2. Teoritentang keria virtual
8.2.1. Kerja virtual
Asas tentang kerja virtual ditemukan oleh Lagrange pada tahun 1788.
Tetapi harus dikatakan, bahwa pada prinsipnya kerja virtual sudah diketahui lebih
dahulu. Mengenai asas kerja virtual kita mengakui bahwa ini bukan satu ketenttlan
atau perjanjian, oleh karena dalam beberapa hal asas ini tidak mungkin dibuktikan.Akan tetapi dari penggunaan dan pengalaman kebenaran asas tentang kerja virtual
sebetulnya sudah cukup dibuktikan. Ada beberapa buku ilmu mekanika teknik yang
menerangkan seluruh Statika atas dasar asas tentang kerja virtual, kebalikan
dengan misalnya buku ini, yang menerangkan dasar-dasar statika atas jajaran
(belah ketupat) gaya-gaya.Selanjutnya penerangan mengenai asas kerja virtual langsung mulai pada
konstruksi batang dan rangka batang dalam bidang. oleh karena bagi kita dalam
buku ini yang penting ialah prakteknya. Oleh karena itu asas tentang kerja virtualpada suatu titik atau suatu benda dalam ruang kita terbatas.Kata 'virtual' dari bahasa latin = virtus : kemungkinan, kemampuan, mengan-dung maksud, bahwa pergeseran/pergerakan dalam jurusan sembarang harus
mungkin. akan tetapi hubungan antara bagian-bagian konstruksi batang atau
rangka batang tidak boleh terusakkan.
Sebagai keterangan kita membayangkan suatu konstruksi batang atau rangka
batang dikenai gaya-gaya P1 dan momen-momen M1.
Gaya-gnya dan momen-momen ini menjadi satu kumpulan yang seimbang. Kita
boleh rnengntakan:
Dalam rumus ini ry menjadi jarak siku-siku dari gaya Ppdan suatu titik kutub sem-
barang. Perubahan bentuk pada konstruksi batang atau rangka batang mengaki-
batkan pergeseran d dan perputaran (p, pergeseran titik simpul k yang bertepatan
dengan jurusan gaya-gaya P1 disebtltkan sebagai d1.
Selanjutnya kita membayangkan beban konstruksi batang atau rangka batang oleh
suatu kumpulan gaya virtual. Untuk gaya-gaya virtual dan momen-momen virtual
ini kita boleh juga mengatakan:
trr-o tr*r* t*r=o
343
itrrrr * |Mx: O
Selanjutnya kita menyebutkan sernua g6ya, mom€n, ukuran atau nilai yangberhubungan dengan kumpulan gaya virtual dengan garis melintang di atas huruf-nya. oleh kumpulan gaya virtual titik simpul k mengalami suatu pergeseran virtuald1. Tergantung pada bentuk dan cara konstruksi batang atau rangka batang danmenurut besarnya kumpulan gaya virtual, pergeseran virtual bisa amat kecil.Batasan ini sebetulnya suatu keharusan supaya jurusan gaya-gaya p1 tidak meng-alami perubahan.Pada gambar (8.2. 1. a.) berikut kita melihat suatu titik simpul k pada suatukonstruksi batang atau rangka batang dikenai gaya-gaya p1 (resultante). olehbeban kumpulan gaya virtual titik simpul k mengalami pergeseran ke k-. Karenapenggeseran lurus v1 menjadi amat kecil kita juga boleh mengatakan, bahwa peng-geseran itu menjadi satu sektor lingkaran dengan jari-jari ek, atau dengan kata-katalain, tiap pergeseran yang amat kecil boleh juga ditentukan sebagai suatu putaran Opada suatu titik kutub O.
, Gambar8.2.1.a.Pada persarnaan keseimbangan di atas titik kutub masih sembarang.Pada gambar 8.2. 1. a. dipilih titik kutub O dan boleh dikatakan:
tr : so<p
d1-vlcosW
&: qrcosV
6] = p^a*cos V= r*tp
{rrk= =q
hasil-hasil ini bisa diiskan pada rumus ZM * 0 tadi, maka rerdapat rumus (8. l.):n2Ppi 1+1
n\Mptp = g1
Menurut ketentuan ilmu alam suatu hasil kali di bawah satu angka jumlah r adalahsuatu kerja. Oleh karena kerja ini diakibatkan oleh suatu kumpulan gaya virtual kitamenamakan kerja ini kerja virtual.
344
4F* = o
(8.1.1
\
Jikalau gaya virtual dan pergeseran berjurusan sama atau momen virtualdan perputaran jurusannya sama, kerja virtual menjadi positif (+ ) jikalaukrorlawanan menjadi negatif (-).
Rumus (8. I.) menentukan, bahwa jumlah semua kerja virtual menjadi nol, ataudengan kata-kata lain:
Jikalau suatu konstruksi batang atau rangka batang yang menerimabeban. gaya dan momen menjadi seimbang, seharusnya jumlah pergeser-an oleh kerja virtual yang amat kecil (jumlah gaya virtual dan jumlahmomen virtual) menjadi nol.
Antara gaya-gaya P1 dan momen-momen Mkyang diterima oleh konstruksi batangatau rangka batang, dan gaya virtual P1 dan momen virtual Mptidak ada hubungan.Hanya dasar-dasarnya yang sama yang menentukan bahwa jumlahnya harus seim-bang.Giliran ini boleh juga dibalik, sehingga pertama kumpulan kerja virtual meng,enaikonstruksi batang atau rangka batang, dan pergeseran diakibatkan oleh kumpulangaya Ppdan momen M1. Ketentuannya tidak diubah, dan hasilnya seperti berkut:
iPkdk + lMr*=s (8.2.)
Rumus (8. 2.) boleh digunakan untuk menentukan konponen perubahan bentukoleh suatu kejadian perubahan bentuk yang tertentu dan oleh suatu kefadianperubahan bentuk sembarang. lsi rumus ini dinamakan sebagai asas kerja virtual.Rumus ini menjadi dasar $erhitungan-perhitungan perubahan bentuk pada sistimstatis tidak tertentu.Sebagai kebalikan dari dasar itu kita bisa mengatakan selanjutnya:
Jikalau pada suatu pergeseran virtual sembarang pada suatu konstruksibatang atau rangka batang jumlah semua pekerjaan dan junrlah semuagaya menjadi nol, gaya-gaya itu berarti dalam keseimbangan.
8.2.2. Persamaan keria pada konstruksibatangPandangan-pandangan dari bab 8. 2. 1. yang umum kita lanjltkan pada
konstruksi batang. Pada bab 8.2.'l . ditentukan, bahwa jumlah gaya dalam dangaya luar seimbang. Juga pada konstruksi batang jumlah kerja virtual harus men-jadi nol. lni berarti, bahwa kerja virtual luar 4, menjadi sama dengan kerfa virtualdahmA;.
345
selalriutnya kita perhatikan kerja virtual luar. sampai pada saat ini belum ada keten-tuan apa pun bagi gaya virtual baik banyaknya maupun ukurannya. sebetutnyasrr€ttu gaya Fatau yang berhubungan dengan satu mo{yleR &ddengan reaksi-reaksitumpuannya sudah mencukupi untuk penentuan nihi beban virtual. pada umurn-nya dianggap F = 1.0 atau M = 1.0 maka kita katakan:
Aa = t,Oa* + ZCc: Ai dengan Pk = 1,0
Aa = f,O,px + ZCc: Ao, dengan Mk : 1,0
Nilai dpada penentuan ini meniadi reaksi tumpuan oleh beban virtual dan c meniadipergeaeran tumpuan pada arah (jurusan) reaksi tumpuan. Penentuan ini b&h iugadirrbah dengan hail berkut:
1,0 dk : 41- 2Cc 1,4 qk = Ai - tCc
Pergeseran pada titik simpul k sebetulnya adalah kerja virtual dalam, dikurangidengan kerja virtual tumpuannya. Kemudian kita harus menentukan kerja virtualdalam. oleh karena kerja virtual luar menjadi hasil kali gaya virtual luar dan peng-geseran yang sebenarnya. Atas dasar ini boleh kita katakan, bahwa kerja virtualdalam seharusnya hasil kali beban virtual dan perubahan bentik yang sebenarnya.Selanjutnya kita menentukan kerja virtual dalam oleh pengaruh masing-masing.
1. Gaya normal
Perubahan memanjang pada suatu batang oleh gaya normal dapat ditentukandengan:
As=
Baiklah kita meneliti rumus ini obh karena mernilng mungkin gaya normal (rv) atauluas batang (F) tidak menjadi tetap pada selr.rruh paniang (s) dari batarlg itu, rnakakita menulis:
kerja virtual dalam obh gaya normal bobh kita tentukan sebagai berikur:
NEF'
a": Joa" : I !, o'
o,r= f 8rro,
346
(8. 3.)
(8.6.)
347
2. lVlomen lentur
Oleh pembebanan dengan momen lentur maka batang akan melengkung.Perubanan J:entuk oleh sudut putar rp pada garis elastis boleh ditentukan sepertiberikut:
!=A.].Y.'rq--M ,^- (A:,J"'-i - Et 'G--E/ oan q--)
3. Perubahan suhu seragam (t"l
Perubahan paniangnya batang oleh perubahan suhu seragam adalah:
t'As - 4/ss atau: As - J or'rds
M-dsEI
keria virtual dalam oleh momen lentur boleh kita tentukan sebagai berikut:
(8.4.)
kerfa virtual dalam oleh perubahan suhuberkut:
seragam boleh kita tentukan sebagai
(8.5.)
4. Suhu yang berbeda.pada sisi atas dan sisi bawah pada konstruksibetang (Atl
Oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi bawah maka batang akanmelengkung. Perubahan bentuk oleh sudut putar p pada garis elastis boleh diten-tukan sebagai berikut:
kerja virtual dalam oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi bawah boleh kitatentukan sebagai berikut:
rAo,: J rly'a,tds
a,o,= { nff a'
1 ="_4f
1 _ d<p (o.Atp h'a ds dan q= ) , d"
rMM) -pT o"Aiw =
5. Gaya lintang
Walaupun kita menentukan atas dasar bab 8. 1., bahwa pengaruh gaya lintangterlalu kecil dan boleh diabaikan, kita menentukan selanjutnya kerja virtual dalam.Pergeseran pada garis sumbu oleh gaya lintang adalah:
(xAw= ) * ds
kerja virtual dalam oleh gaya lintang boleh kita tentukan sebagai berikur:
t,odr= I#a"+ J !, o,: I# a"-- f N,s,a,+ J u ff a,->cc
a,o-Jffa"
tAfhsdsI, F, E,
Gatx
(8.7.)
Dengan begitu kita sudah mengetahui masing-masing bagian dari kerja virtualdalam. Persamaan kerja pada konstruksi batang dibaca seperti berikut:
(8.8.)
Sebetulnya faktor. 'l .O pada sebelah kiri boleh dihapuskan oleh karena tidak adapengaruh atas hasil persamaan kerja ini, walaupun kita tidak boleh lupa, bahwafaktor il6 sebelah kiri menjadi kerja virtual luar.Pada persamaan kerja pada konstruksi batang ini masing-masing bagian berarti:M, N, Q Momen. gaya normal. gaya lintang pada titik x oleh beban yang
sebenarnyaM, N, A Momen, gaya normal, gaya lintang pada titik x oleh beban virtual Fp
= 1.O atau M* = 1.Q pada titik ke arah d1 atau dengan sudut p1d Reaksi tumpuan oleh beban virtualc Pergeseran sebenarnya dari titik tumpuan dalam jurusan reaksi tum-
puan (pada umumnya menjadi nol)Perubahan suhu seragamPerbedaan suhu antara sisi atas dan sisi bawah pada suatu batangTinggi balok (batang)Panjangnya balok (batang)Sebagian dari batang yang amat kecilMomen lqpbam, iuas batang dan modul elastis pada batangModul pergeseran (lihat bab 2. 3. 1.)1 /oC angka penguluran suhufaktor koreksi (kappa) bagi gaya lintang, oleh karena gaya lintangsebetulnya tidak tetap pada tingginya bentuk batang. Nilai tergantungpada bentuk (m,isalnya bagi bentuk segiempat sejajar x = 1.2)
348
Dengan bantuan rumus (8.8.)kita bisa menentukan pergeseran d* pada suatu titikk pada satu konstruksi batang di bawah pengaruh momen lentur, gaya normal,gaya lintang dan perubahan suhu. Selanjutnya kita menentukan masing-masingdiagram gaya lintang, gaya normal dan momen oleh beban sebenarnya (dasar) danselanjutnya kita tentukan diagram masing-masing tsb. oleh gaya virtual Fr = 1.0.Pada waktu itu gaya virtual F1 = 1.0 bekerja pada titik dan jurusan pergeseran d1yang dicari.Jikalau kita mencari perputaran 91 garis sumbu batang pada titik k kita juga bolehmenggunakan rumus (8.8.). Sekarang hanya kita pasang momen virtual ilr = l.gpada titik dan jurusan putaran yang dicari. Bagi beban ini kita menentukan diagrammasing-masing tersebut.Momen, gaya normal dan gaya lintang berhubungan dengan suatu bagian batangyang amat kecil (ds) pada suatu titik sembaran S. M, N, Q dan il, y'rl, O menentukannilai-nilai pada titik x pada suatu konstruksi batang. Pada perhitungan integralfungsi-fungsi pada tiap-tiap gaya harus dikalikan sebelum diintegralkan. Penginte-gralan berhubungan dengan seluruh panjangnya konstruksi batang. Pengintegralanitu mula-mula kita rasa agak sulit. Akan tetapi pada pembebanan yang biasa timbul,kita mempunyai tabel-tabel yang sudah diintegralkan pada lampiran l. 2. dan peng-gunaannya dapat diterangkan pada bab 8. 2. 4. (Hasil pengintegralan pada kerjavirtual).Persamaan kerja pada konstruksi batang (8. 8. ) diisi semua kemungkinanpembebanan pada konstruksi batang dalam bidang. Suatu perubahan tumpuantidak terjadi selalu, dan pengaruh pada .suatu perubahan suhu biasanyadiperhitungkan terpisah. Pengaruh pada gaya normal dan gaya lintang, sepertisudah dikatakan pada bab 8. 1. (Pengetahuan dasar) blasanya boleh diabaikan.Atas dasar ini, selanjutnya tinggallah suatu rumus yang jauh lebih sederhana:
f uart1,Odk: ) :; a"
Jikalau kita perhatikan momen lembam / yang tidak tetap, kita isikan suatu per-bandingan momen lembam l./ I ke dalam rumus yang tadi seperti pada syarat per-samaan tiga momen (Clapeyron) (6. zl9.) atau pada bab 2. 8. (Perhitungan lendutandan garis elastis) dan menghasilkan:
ftl,oEtcau: )uula" {8.9.}
Biasanya digunakan hanya persamaan kerja pada konstruksi batang ini untukmenentukan pergeseran pada konstruksi batang. Pada bab8.4. 1. (Pergeseran danperputaran pada konstruksi batang) kita mendapatkan beberapa contoh yangmenggunakan persamaan kerja pada konstruksi batang (8. 8) dan (8: 9.).
8.2.3. Persamaan kerja pada konstruksi rangka batang
Atas dasar pengetahuan persamaan kerja pada konstruksi batang kitabisa dengan mudah menentukan persamaan kerja pada konstruksi rangka batang.Pada konstrukei rangka batang tidak ada momen lentur dan gaya lintang. Gaya nor-mal, pada konstruksi rangka batang ditentukan sebagai gaya batang S dan .S men-jadi tetap pada seluruh panjangnya batang s, dan oleh karena itu tidak perlu lagimenghitung dengan integral. Selanjutnya cukup jikalau dihitung dengan I (jumlah)batang dan beban.Maka persamaan kerja pada konstruksi rangka batang dibaca sebagai berikut:
Loa* =:H " + :s-a,rp- Ic"
_ _E1,OEFc6k: ).SS ;: s
(8. 10.)
Pada persamaan kerja pada konstruksi rangka batang ini masing-masing bagianberarti:S gaya normal pada batang vang sebenarnya5 gaya normal pada batang oleh beban virtual P1 = I.0 pada titik simpul t pada
jurusan pergeseran d1
s panjangnya batang masing-masingBagien-bagian yang lain sama seperti pada bab 8. 2.. 2. Persamaan kerja pa(akonstruksi batang (8. 8.). Oleh karena sekarang kita memperhatikan konstruksirangka batang kita lmrus mengawasi, bahwa gaya virtual P : 1.0 tidak bekerja lagipada suatu titik k sembarang, melainkan pada suatu titik simpul *.Untuk menentukan pergeseran dp, kita pertama-tama dengan bantuan Cremonaatau Cullmann-Ritter mencari gaya batang S masing-masing yang se[enarnya.Selanjutnya sekali lagi untuk mencari gaya batang S masing-masing oleh gaya vir-tual P: 1.0 pada titik simpul k, yaitu pada titik simpul yang akan kita cari perge-serannya d1. Kemudian kita meng-superposisikan-kan dua hasil ini pada batangmasing-masing.Seperti sudah ditentukan pada bab 8. 2. 2. (Persamaan kerja pada konstruksibatang) kita boleh menyederhanakan persamaan kerja pada konstruksi rangkabatang (8. 10.) Eeperti berikut:
(8. 11.)
Pada bab 8. 4.2. (Pergeseran pada konstruksi rangka batang) kita mendapat con-toh yang menggunakan persamaan kerla pada konstruksi rangka batang (8. 10.)dan(8. 11.).
350
8.2.4. Hasil pengintegralan pada keria virtualPertama kita menghitrng pergeseran dengan bantuan persamaan kerja
pada konstruksi batang pada suatu contoh sederhana. Kita akan menentukan len-dutan pada pertengahan suatu balok tunggal dengan momen lembam / tetap danbeban merata S. (lihat gambar 8. 2. 4. a.l .
Pada contoh ini kita mendapat momen lentur dan gaya lintang, yang pada contohini kita abaikan. oleh karena pada contoh ini tidak ada perubahan suhu ataupenurunan tumpuan kita boleh menggunakan persamaan kerja pada konstruksibatang {8. 9.). Gaya virtual P = 1.0 kita tempatkan pada tempat dan jurusanpergeseran yang dicari.
Contoh:Beban yang sebenarnyadengan bidang momen M
Bebanvirtual P= t.Odengan bidang momen lk?
W WGambar 8. 2. 4. a
oleh q: M, - g!2, * *.
*,Garnbar 8. 2. 4. b.
oler,F =1,0, fr, - ]rl* -ull
t/2
Etd:2[(qrr- *,) la^4
t/2
Et6 = * ! (* - *,1 a, = *1, € - iL;
oleh karena batang pada contoh ini menjadi lurus dengan morlen lembom / tetapkita boleh mengatakan, bahwa ds = dx dan kemudian I = lcdan l"/t - 1.
Et6=*('rz-"1 :# denoan 6 =5 3!:-- wEt
Hasil ini sudah kita ketahui dari bab 2. 8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis)hanya penentuannya dengan cara ini lebih sulit. Akan tetapi hasil ini boleh kita ubahlagi seperti berikut:
Etd-*r,= fr+[r="unrr351
rPerhitungan f./.d pasti akan lebih sederhana lagi jikalau kita m€ngetahui nilai c. Mdan M menjadi ukuran momen maximal yang sebenarnya dan oleh beban virtual F: 1.0. c menentukan bentuk-bentuk dari tiap-tiap bidang (diagram) momen yangakan dikalikan.Selanjutnya kita menentukan beberapa persamasn untuk kombinasi b€ntuk bidangmomen masing-masing. Ordinat-ordinat bagi bidang momefl kemudian ditentukandengan i dan k dengan s sebagai panjangnya batang. Pada persamaan berikut kitalitrat, bahwa E/.d,1 meniadi sama dengan integral JMi M* ds oleh bidang momenM;dan Mppda paniangnya batang s.
1. Trapesium * bidang sembarang:
,,ffi]ilIflffiflur
Etdip=)Utr*o,:0
Gambar 8. 2. 4. c.
Mi=itf .,;is ss
*lr*'** gf un*a,00
lntegral pada rumus ini berarti momen pada bidang motren M1 dibandingkan pada
ordinat sisi kanan fi) dan ordinat sisi kiri (77i. Selanjutnya dapat kita katakan:
El6ik= !liry,+ iryll
2. Trapesium - trapesium:
(8. 12.)
Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadianke 1.:
. Etdik= |t1t,"3"***o]") *f tlr,"{"*a
] *, f"tEl6ik = | Wr*, + irk, + i2& + 2i2k2l
El6ik= f t,;fr*,+k2) + irlkr+2k)l
352
Gambar8.2.4. d
(8.13.)
353
3. Trapesium - bidang segiempat:Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadianke2dengan kt - k2 -- k.
Eldik - Ul
{r,a* + ir3kl
Etr);p:)t,,*,.t*, 1c=1 (8. 14.)
Gambar 8. 2. 4. e.
4. Bidang segiempat - segiempat:Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejaCianke 3 dengan i1 = i2 = i.
Eld,r = ;11" c= l (8. 15. )
k,'k
Gambar 8. 2. 4. f.
5. Bidang segitiga - segiempat:Kejadian, ini merupakan suatu kelanjutan clari kejadianke3dengan i7 = il6nir: Q
.''flffilffirm**,,-,
tt,:,r:Iifs 1c:1 (8. 16.)*rt
Gambar8.2.4. g
FUI''ilGAST. A.
t9,.'7 I i*98
6. Bidang segitiga - segitiga searah:Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadianke2 dengan it = i: iz - O; kt : k dan kz : O
*'fill.llllmffirrrrTn,, ,-,
.:+ (8.17.)
Etr\;1,=fuz**ot
GambarB.2.4. h.
7. Bidang segitiga * segitiga berlawanan:Keladian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadianke2dengan it = i;iz: O;kr: Odan kz= k
Et(tik=f,t**oi
(8. 18. )
Gambar 8. 2. 4. i.
Pada semua kemungkinan yang lain bisa digunakan tabel-tabel 1.2. 14. (Tabel-tabelhasil pengintegralan pada kerja virtual) pada lampiran buku ini. Biasanya hanyadikerjakan dengan menggunakan tabel-tabel itu. Harus dipe;hatikan, bahwa tabel-tabel itu hanya boleh digunakan jikalau momen lembam / tetap. Contoh-contohpada bab 8.4. 1. (Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang) menerang-kan penggunaan tabel-tabel itu.
8.3. Syarat-syarat berikatan pada perubahanbentuk elastis
8.3. 1. Syarat dari BettiBetti menentukan pada tahun 1872 tentang ikatan pada perubahan
bentuk elastis:Kita perhatikan hasil kerja virtual dalam oleh suatu gaya normal N, gaya lintang Odan momen M dengan gaya-gaya virtual oleh Pyang menjadi N; A dan ili. Menurutrumus (8.3.); (8.4.)dan (8.7.)kita boleh berkata:
354
1c= 6
rns,r : ! *s
tu,r : ! i*so
o,: JN * i'r r I, u o *, - In , o;,
Pada rumus (8. 'l .)dan (8.2.Ikita tentukan, bahwa giliran kumpulan gaya s,),renar-nya dan kumpulan gaya virtual boleh juga bolak-balik sehingga kita jugla bolehberkata:
A, I*r 4u.rJ oo q'GF* jrn4r,jikalau kita memperbandingkan rumus,47 dengan rumus 4; kita boleh menentukan,bahwa A, : A,.Kerja virtual luar pada ,'{ menjadi A" = Z P.J (lihat juga rumus (8. 1. )) ctan kerja luarpada,4i menjadi Aa : >P.a ttifratluga rumus (8. 2.)).Dengan ini syarat Sefti berbunyi:
Jumlah kerja virtual oleh gaya F pada pergeseran d oleh P menjadi sarnadengan jumlah gaya P pada pergeseran J oleh gaya virtual P.
'P.d:>P,F(8.19. )
Syarat ini juga boleh digunakan jikalau tidak ada gaya P dan gaya virtual P,
melainkan momen M dan momen virtual M. Pergeseran d dapat diganti dengansudut putaran rp dan Jdengan 9.
8. 3. 2. Syaratdari MaxwellMaxwell menentukan pada tahun '1864 tentang keterikatan pada per-
ubahan bentuk elastis sesuatu yang sebetulnya menjadi suatu kelanjutan dari syaratdari Betti.Jikalau kita menentukan, bahwa:
d1o menjadi pergeseran titik k pada jurusan gaya Pp ,= 1.0 oleh beban yangsebenarnya.
dri menjadi pergeseran titik k pada jurusan gaya Pp: 1.0 oleh gaya Pi : 1.0pada titik L
dir menjadi pergeseran titik i pada jurusan gaya P; = 1.0 oleh gaya P1 : 1.0pada titik k.
dsb. . ....Selanjutnya bidang momen yang akan diintegralkan mendapat indizes yang samaseperti d, maka misalnya:
rM M,rl , I - " dsIX J EI
ataurM, M,\*o: ) -ff dt
355
rPada rumus ini bagian masing-masing berarti:
Mi = bidang momen oleh gaya P : 1.0 pada titik iMr : bidang momen oleh gaya P : 1.0 pada titik kMo : bidang momen oleh beban yang sebenarnya
Untuk menentukan d,1 kita mencari bidang momen oleh gaya pr : 1.0 dan olehgaya virtual Pi = 1.0 Selanjutnya diintegralkan.Untuk menentukan misalnya d1; bidang momen yang harus kita cari sebetulnyasama jalannya seperti tadi (gaya Pi : 1.0 dan gaya virtual e* : 1.91Kemudian seharusnya hasil masing-masing menjadi sama, atau dengan kata-katalain syarat dari Maxwellberbunyi:
Pergeseran suatu titik i oleh gaya P : 1.0 pada titik k menjadi samadengan pergeseran titik k oleh gaya P : 1.0 pada titik i.
(8. 20)
Syarat ini boleh dilakukan pada konstruksi batang maupun konstruksi rangkabatang.
8. 3. 3. Syarat dari CastiglianoSyarat yang ditentukan Castigliano pada tahun 1879 tentang perubahan
bentuk elastis sebetulnya bisa berguna pada konstruksi batang dan konstruksirangka batang tetapi syarat dari castigliano jauh lebih rumit daripada sistim yanglain yang lebih mudah dan merupakan kelanjutan pada praktek.
(t)Pada suatu balok tunggal dengan gaya P; kitatambahkan beban dengan suatu kumpulangaya P1 s/d Pr. Kita boleh mengsuper-posisikan dua beban ini untuk menerimajumlah kerjaluar A,.
lr+tr)
Atau dengan bentuk lain,4, menjadi:Aa,=Ar+A1 +Alt.
356
k-it--f::-Gambar8.3.3. a. s/d c.
(8. 23. )
357
Sebagai fungsi dari Pi kita tentukan:
. 1^. 1 PiAr:iPi6ir:Z c
dan A1x = Pld1n
(kerja pada jurusan pergeseran)
(kerja tidak pada jurusan pergeseran)
(i) = derivasi)
kemudianlo?
A": i a* *o, 1P;,\,,1
dengan memperhatikan, bahwa P;tidak terganrung dari Ax boleh kita tentukan:
JAa _ P
OPi ; *o *'lill =rl/l +{J/tt:t\i'
dengan hasil yang menjadi syarat dari Castigliano:
0A. 1AilPi aP,
8.21.t
8. 3.4. Syarat dari MohrSyarat yang ditemukan Mohr pada tahun 1868 menentukan perubahan
bentuk. oleh karena mudah digunakan, syarat Mohr pada umumnya paling disukai.Penggunaannya terbatas pada balok tunggal.
lf ..-# * Atas dasar lengkungan k pada suatu balok boleh kita tentukan:
*:1=a
__y:_ ..,,,,11 + y'z1t1z r 8.22.t
potongan balok
Gambar 8. 3. 4. a.
Oleh karena itu kita selanjutnya boleh menentukan untuk suatuyang melengkung menurut gambar 8. 3. 4. a.:
ds = 1161q= jy
Persamaan pada garis elastis kemudian terbaca:
dq'l ,,M,ir=;=Y =- rt
a
Selaniutnya kita menentukan hubungan-hubungan seperti berikut:rM-Mo+)Odx,
dMr,1, -o o' )odx'
d2Mtl
0x'
Jikalau kita menrbandingkan persamaan (8. 23.)bahwa mereka beiarti berkeluarga.
8.24.)
dan (8. 24"1 kita bisa melihat,
,l '\ MI - dalldx' Ll
d2M;;- q
(, x'
Persamaan ini menjadi dasar syarat Mohr yang bisa selanjutnya digunakan secaragrafis atau secara analitis seperti sudah diterangkan pada bab 2. 8. (perhitunganlendutan dan garis elastis).
8.3. 5. Ringkasan
1. Asas tentang kerja virtual menentukan: Jikalau suatu konstruksi batang ataurangka batang yang dibebani, ada dalam keadaan seimbang (termasuk reaksi
pada tumpuan masing-masing) dan konstruksi ini rnenerima suatu pergeseran olehsuatu kumpulan gaya virtual, kita boleh mengatakan, bahwa jumlah kerja virtualoleh gaya itu menjadi nol.Jikalau kita membalik urutan ini, kita mendapat asas tentang kerja virtual. Asas inimenjadi dasar untuk perhitungan perubahan bentuk.2" Pergeseran pada suatu titik pada suatu konstruksi batang atau rangka batang
dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kerja dengan menggunakansatu gaya vitual Pp: 1.0 atau satu momen Mr : 1.0. Kerja virtual luar ini menjadisama dengan kerja virtual dalam, dikurangi oleh pergeseran reaksi tumpuan yangbiasanya menjadi nol.3. Ferhitungan kerja virtual dalam pada konstruksi batang bisa dilakukan pada
umumnya dengan menggunakan tabel-tabel tentang hasil peng-integral-an dimana bentuk-bentuk dan kombinasi-kombinasi yang sering timbul sudah diten-tukan sebagai nilai integral JW,Wods.
JW,Wrds menunjuk bahwa tabel-tabel tentang hasil peng-integral-an tidak hanyaberlaku untuk bidang (diagram) momen, melainkan juga untuk bidang gaya normaldan gaya lintang, walaupun biasanya pengaruh pada gaya lintang dan gaya normalboleh dihapuskan.oleh karena itu pada umumnya pada tabel-tabel hasil peng-integral-an digunakannilai integral I M;Mrds.Pada batang atau bagian batang yang diperhatikan seharusnya momen lembam /
358359
tetap. Jikalau tidak. kita boleh menggunakan suatu momen lembam dengan per-bandingan l"/1.4. Pada konstruksi rangka batang persamaan kerja menjadi suatu jumlah, dan oleh
karena itu penggunaannya tidak mengalami kesulitan.5. Syarat dari Maxwell menentukan, bahwa pergeseran dp suatu titik i oleh gaya P: 1.0 pada titik k menjadi sama dengan pergeseran dki titik k oleh gaya P : 1.0pada titik /.
8. 4. Contoh-contoh
8.4.1. Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang
Dasar perhitungan adalah rumus (8.8.) dan yang dipersingkat (8.9.).Rumus (8. 8.) kita tambah dengan perbandingan momen lembam /. dan tiap-tiapbagian dengan perbandingan luas batang F" seperti berikut:
1,oEt"dr = I *n j o, * t J -* | o, * ff,j.oo';*+ rr"l J No,t,as * I n -f as-:cc ]
(8.25.)
Dengan rumus (8.25.) ini kita bisa menentukan d* dengan memperhatikan segalapengaruh dan kemungkinan. Menurut keperluan, kita juga bisa menggunakanbagian masing-masing dari rumus (8.25.)ini.Dalam perhitungan kita perhatikan hal-hal sebagai berikut:1. Menentukan sistim statis, gaya dan beban dengan diagram momen (M"1, gaya
normal (/U.) dan gaya lintang (O,i.2. Menentukan momen lembam / (jikalau belum tentu kita memilih suatu momen
lembam taksiran) atau menentukan perbandingan momen lembam padamasing-masing batang.
3. Jikalau perlu menentukan panjangnya batang s. atau /" dengan perbandinganmomen lembam /" seperti ditentukan pada syarat persamaan tiga momen(ClaPeYron) lc : l' lc/1.
4. Menentukan pergeseran dan perputaran yang akan dicari dan memasang gayavirtual P = 1.0 atau momen vitual M = 1.0 pada tempatnya.
5. Menentukan diagram momen M, dan jikalau perlu juga diagram gaya normal rV
dan gaya lintang O.
6. Memperhitungkan pergeseran atau perputaran dengan rumus (8. 25.) dandengan bantuan tabel-tabel hasil pengintegralan pada kerja virtual pada lam-pian 1.2. 14.
I
Contoh 1: Pada konstruksi portal duagambar Lrerikut) dicari:
ruas dengan momen lembam / tetap (lihat
300'000 cma200 cm2
2'1OO tlcm2
Gambar 8. 4- 1 . a
1. Pergeseran tumpuan b oleh beban angin w : 1.0 t/m dengan memperhatikanpengaruh momen lentur.
2. Pergeseran titik simpul (sudut) c oleh beban angin w dengan memperhatikanpengaruh momen lentur dan gaya normal.
3. sudut perputaran garis elastis kaki a-c pada tumpuan a dengan perhatianpengaruh-pengaruh seperti pada titik 2.
Penyelesaian:Menurut ketentuan untuk perhitungan titik 1 s/d 6 kita sudah mengetahui titik 1,sistim statis. Titik 2 dan 3 tidak perlu diperhatikan oleh karena momen lembam I
sudah diketahui dan menjadi tetap. Akan tetapi kita harus menentukan diagrammomen Mo dan diagram gaya normal y'y'o menurut ketentuah pada bab 7. (Kons-truksi portal statis tidak tqrtentu) kita mendapat hasil berikut:
El t-E;Ew -1.0t/ n
diagram M(nilai dalam tm)
diagram y'V
(nilaidalam t)
46- 1,0 t
36C)
Gambar 8 4.1 b
361
Fertanyaan 1: Pada tempat dan jurusan d6 kita menempatkan gaya virtual Pdan menentukan diagram momen M berikut:
diagram M(nilai dalam t)
:P
= 1.0
IMS Gambar 8. 4. 1 . c.
Momen-momen digambarkan pada sisi yang menerima gaya tarik. Penentuan tan-da (+,-) sebetulnya tidak perlu, yang penting hanya penentuan ordinat masing-masing dan bentuk bidang (diagram) momen.Selanjutnya kita dapat menghitung dengan urutan kaki kiri, batang horisontal, kakikanan:
1l1,0 Et)t,o i24,0 6,0 ' 6,0 r
U 4,Ol2' 24,0' 6,0 ' 24,0'4,0 ' 8,0 . 6,0 '
2 -q,o 4,ot . 148,0.4,0 4.0
1,0 Ehbo
El(\ bo
tJbo
,\ tt
= 650,67 t2nrl
. 650,67 tmr650,67
2,1 . 101 . 3,0' 10-3
- 1,03 cm
- 0,0103 m
Pada perhitungan ini pada kaki kiri kita mengintegralkan segitiga-segitiga, padabatang horisontal trapesium-trapesium, dan pada kaki kanan parabol - segitiga.
Jikalau dua bidang (diagram) momen berada pada sisi batang yang sama,hasil pengintegralan menjadi positif ( + ), jikalau tidak hasilnya menjadinegatif ( - ).
Jikalau hasil pengintegralan men.jadi positif ( + ), maka jurusan gaya virtual P men-jadi sarna dengan jurusan rj.
Pada pertanyaan2: Pada tempat dan jurusan d. kita menempatkan gaya virtual P =1.0 dan menentukan diagrarn momen dan diagram gaya normal
P =10diagram M diagram rV
Tl,5 GambarS. 4. 1. d.
Kita menentukan pergeseran d. oleh tiap-tiap akibat tersendiri:a) pengaruh oleh momen lentur (lihat gambarS. 4. 1. b.dan d.):
11EldcM = i24,0
'6,0'6,0 + 6
4,0'6,02' 24,0 + 8,0) + 0
E16", :2gg + 224:5'l2tms
. 512d"M = 2."1 . .lO7 .35. ,,0-3 = 0,00814 m
dcrvr = 0,814 cm
b) pengaruh oleh gaya normal (lihat gambar8. 4. 'l . b. dan d.):
EFdcN = 1,0' 4,0' 1,5'6,0' : 0 - 1,0'4,0"1,5' 4,0
EFI"N = 36.0+24,0= 60,0tm
. 60,0d"N = ,j. ,pa:10,: o,ooo14m
,r"* - 0,014 cm
c) pergeseran d" diterima oleh superposisi:
r\ro: r\", + drN = 0,814 + 0,014 = 0,828cm
Dengan hasil ini kita sudah membuktikan, bahwa pengaruh pada pergeseran olehgaya normal biasanya begitu kecil maka kita boleh mengabaikan perhitungan.Pada pertanyaan 3: Pada tempat dan jurusan rpu kita tempatkan momen vitual M: 1.0 tm dan kita tentukan diagram momen dan diagram gaya normal
362
lu
diagram fr
Gambar 8. 4. 1 . e
diagram fi
kita menentukan perputaran <pa oleh tiap-tiap akibat tersendiri:a) pengaruh oleh momen lentur (lihat gambar 8. 4. 'l . b. dan e. ):
11Elq'uy = 224,0
'1,0 6,0 - 6 4,0.1,0.2 24,0 + 8,0) - 0
Elqupl = *72,0-37,3 - *i09,3tm
_ 109,3QaM '= ,-1_TO, :"0. rOa = 0,00174
b) pengaruh olch gaya normal (lihat gambar 8. 4. 1. b. dan e. ):
EFgpuu - -i,0' 4,0' 0,25' 6.0-1,0' 4,0' 0,25. 4,0,. -10,0t, 10,0
,paN =, 1 . 10?. ) o. 1,,,2= -0,00002
c) perputaran gs, diterima oleh superposisi:
(Pao : -0,00174-0,00002 - -0,00176
eao : -0,00176Pq = -0,'lo
Tanda negalif (-) menunjukkan, bahwa perputaran rpa berlaku terhadap jurusanmomen virtual M. Dengan hasil ini kita juga membuktikan, bahwa pengaruh padaperputaran oleh gaya normal biasanya begitu kecil, sehingga kita boleh mengabai-kan perhitungan.
Contoh 2: Pada rusuk 'Gerber' berikutnya dicari lendutan di tengah bagian balokyang tergantung antara engsel dan tumpuan C. Beban merata sebesar q = 1.0 tl m;nrodul elastis E = 2'100 t/cm2 dan laa : lec: 9'800 cma.
363
r
diagram momen Mo
Gambar8.4. 1. f
Penyelesaian:Diagram momen Mo sudah ditentukan pada gambar 8. 4. 1. f. Oleh karena denganmenggunakan tabel-tabel hasil pengintegralan kita dengan bidang momen Mo initidak dapat ditemukan, kita akan membagi diagram momen pada empat bebanandasar, yaitu: momen pada bagian balok yang tergantung, gaya pada engsel,momen pada konsole dan momen pada balok ,4 - I seperti berikut:
diagram momen oleh beban meratapada bagian balok yang tergantung
diagram momen oleh gaya yang tim-bul pada engsel
diagram momen oleh beban meratapada bagian konsole
diagram momen oleh beban meratapada bagian .4 - I
Gambar 8. 4. 1. g.
Untuk menentukan lendutan maksimal pada tengah-tengah bagian balok yang.
tergantung, kita memasang satu gaya virtual P = 1.0 pada tempat dan jurusan len-dutan yang dicari, dan menentukan diagram momen fr menurut gambar berikut:
diagram momen M
Gambar8.4. 1. h.
fi;tooo-4,*:.
364 365
Selanjutnya kita dapat menghitung (dalam urutan; bagian balok A-B - konsole
- bagian balok tergantung):
111El6mo : 0 +
a4,0. 1,0.5,0 + i2,0. 1,0.5,0 - T3,125. 1,0.5,0 + 0 +
f,r,0.'t,0.2,0 + o * ]z,o .1,0.4,0.f, +o+o+o
Eldmo =
s_vm| -
1
34'0.1'0.2'O +
11,78 tm3
11,78 . 105
z,t .ror.s3. to, = 0,572 cm
Contoh 2 ini menerangkan, bahwa pada diagram (bidang) momen agak rumit kitaboleh membagi diagram momen itu ke dalam beberapa diagram momen yang agaksederhana supaya kita bisa menggunakan tabel-tabel hasil pengintegralan pada ker-ja virtual {r1.2. 14.1.
1
Contoh3: Pada konstruksi portal berikutdengan dt : 12' 10-6Srd ;
/ = 150'000 cma; h : 70cm dan E = 2'100tlcm2 menurut gambarS. 4. f . i.
Gambar8.4. l. i.
Dicari:1. Pergeseran vertikal pada titik 1 oleh beban merata e : 1.0 t/m pada batang
2-b.2. Pergeseran vertikal pada titik 1 oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi
bawah pada batang 1 -2 dan 2-b oleh At = 20o.
Penyelesaian:Penentuan bidang (diagram) momen oleh beban merata dan oleh gaya virtual P:1.0 t pada titik 1 seperti berikut:
P=fit
Gambar8.4. 1. k.Pada pertanyaan 1:
Etdlo - - !n,s.4,0. 1o,o = - 166,7tm1
dro = - 166,7. 106
2,'t .10t. 150. 103= - 0.53 cm
Pada pertanyaan 2: Atas dasar rumus (8. 8.) dan rumus (8. 25.) kita dapat menen-tukan pergeseran oleh perbedaan suhu seperti berikut:
o,= Init":H Jno"lntegral ini menentukan bidang momen M oleh gaya virtual P.
, 12.10'6.20 'lot = O, Z4,O(10,4 + 4,0) : 0,0096m
drr = 0,96 cm
Hasil integral f Mlf ds menjadi positif (+ ) jikatau pembengkokan garis sumbu
oleh perbedaan suhu berjurusan sama dengan beban virtual P yang dipilih sem-barang, dan bagian konstruksi batang yang lebih panas adalah juga pada sisi yangmenerima beban virtual.
contoh 4: Pada konstruksi portal tiga ruas menurut gambar berikut dengan ssebagai tiang (batang) yang vertikal dan rg sebagai batang yang horisontal dengannilai-nilai berikut /n = 100'000 cma; /" = 120'000 cma; f = 2'1@ tlm2; hs: 50 cm;h" = 60 cm dan at = 12.10-6/grd.
t,ut ltoo
q
II
diagram momen Mo
366
Gambar 8. 4. l. l. Gambar8.4. 1. n.
367
dicari:1. Pergeseran vertikal pada engsel c oleh beban angin w.2. Pergeseran vertikal pada engsel c oleh perubahan suhu pada sisi atas batang
horisontal dengan tr : 40o dan pada sisi bawah tZ : 10".3. Perputaran garis sumbu pada tumpuan b oleh perubahan suhu seperti
diterangkan pada titik 2.
Penyelesaian:Penentuan bidang momen oleh beban angin w pada batang (kaki) kiri:
diagram M (tml
Gambar8.4. 1. m.
Untuk telitinya pengertian kita menggambar pada batang vertikal sebelah kiridiagram momen oleh beban angin w, dan diagram momen oleh reaksi tumpuan ayang horisontal sebelah kanan. Selanjutnya kita tentukan momen lembam perban-dingan seperti berikut:
4:L+=
l" = l"
Pada pertanyaan 1: Pada tempat dan jurusan d" kita menempatkan gaya virtual P:1.0 dan menentukan diagram momen, dan untuk penyelesaian pertanyaan 2 jugalangsung diagram gaya normal.
diagram momen M
1,,
th : tn k : u,o 1-3i1910,
= 7,2 m
5,0 m
diagram gaya normal ff(= tt
rSelanjutnya hasil pengintegralan menjadi:
11Et"6"s: 412,5.1,5.5,0 - 5 18,75.1,5.5,0
Elcdco = 23,4 -46,9 + 15,6 : -7,9tm3
1+-3
6,25. 1,5.5,0
6co = - 7,9 . 106 = - 0,0314 cm2,1 . 103 . 1.2. 10s
Oleh karena hasil menjadi negatif (-) maka kita ketahui, bahwa jurusan d"oter-hadapjurusan gaya virtual P, atau dengan kata lain, berjurusan dari bawah ke atas.Pada pertanyaan 2: Perubahan suhu itu kita bagi atas: a) Perubahan suhu seragamts : 10o dan b) Perbedaan suhu pada sisi atas dan sisi bawah batang sebesar At= 30o.Menurut rumus (8.25.)kita dapat menentukan:
a,= f No,t,arn I nrffa,Oleh karena perubahansuhu ini hanya dialami batangyang horisontal (R) kita dapatmenentukan bagi ts dan At masing-masing d",. dan d"41 berikut:
, f - a,Lt (*dcts : qt t" J ruAs dan 6rar: T ) Mds
lntegral ini menentukan diagram (bidang) momen M dan diagrarn gaya normal ly'oleh gaya virtual P(lihat juga gambar8.4. 1. n.).
dcrs : - 12' 10 9' 10'0,3'600 : - 0,02cm
, 12. 10 6.30 - 1 ._-dcLt = 22 150.300 : + 0,27 cm
d"t : -4,02 + 0,27 : + 0,25cm
Pada pertanyaan 3: Pada tempat dan putaran qpo kita memasang suatu momen vir-tual:M : 1.0 dan menentukan bidang (diagram) momen dan diagram gaya normal:
368
Gambar8.4. 1. o Gambar 8.4.2.a.
369
Oleh karena bidang momen pada batang yang horisontal sebelah kiri dan kanan dari
engsel meniadi sama besarnya dengran tanda (+,-) berlawarian, maka jumlah
bidsng momen itu meniadi nol. Selaniutnya kita hanya perlu memperhatikandiagram gaya normal untuk menentukan rp61"
qot : 12 ' 10-5' 10'0,10'600 : O,OO72
96.0 : 0,130
8.4.2. Fergeseran pada konstruksi rangka batang
Daaarnya pacJa perhiturrgan adalah rumus {8. 10.}dan rumus (8. 11.). Un-
tuk mencari hasilnya kita bekerja setapak demi setapak seperti berikut:1. Fenentuan paniangnya s dan luas batang Fbagi tiap-tiap batang. Pengurangan
luas bateng oteh lobang baut atau alat sambungan lain tidak usah diperhatikan.
2. Penentuan gaya batang masing-masirrg oleh beban sebenarnya dengan
meGggiunaka n cara Cremona atau Cu Jlman- R itter.3. Penentuan gaya batang Smasing-masing oleh beban virtual P * 1.0 denE;an
cara grafis (Cremona) atau analitis (Cultrnann-Bitter).
4. Mencari haeil dengon menggunakan persamaar'! kerja pada konstruk$i rangka
batang. Perhitungan oleh beban atau perutlahan suhu iebih baik dilaksanakan
masing-masing tersendiri.5. Menjumlal*an hasil pada semua batang pada konstruksi rangka hatang'
Perhiturygan ini pada umumnya dilalwanakan dengan beban dalam f dan ukuran
dalarn cm sebagai tabel seperti terlihat pada eontoh-contoh berikut. Pada
prakteknya persamaan kerja pada konstruksi rangka batang digunakan dalarn ben-
tuk berikut:
6d( : :SSi-
Contoh 1: Pada konstruksi rangka hatang berikutnya dicari pergeseran pada titiksinrpul m. Ukuran masing-masing batang terlihat pada tabel berikut. E -= 100'000
kg/cm2:
(8.26")
Penyelesaian:Pada titik simpul dan jurusan d- kita tempatkan suatu gaya virtual P = 1 ,0 sepertiterlihat pada gambar 8. 4.2. b. berikut.
Gambar8.6.4. b
Dengan mengunakan sistim Cremona atau Cullmann-Ritter kita menentukan gayabatang S oleh beban sebenarnya dan gaya batang S-oleh beban virtual, dan meng-isi hasilnya pada tabel berikut.Perlu diperhatikan, bahwa pada jumlahan batang 1 sld 4 bersifat ganda (kiri dankanan) maka batang 5 hanya timbul satu kali.
batang s F s/F s s SSs/F
Dlm. Icml lcm2l [1/cml (t) (t) (t/cml
I2.34>1....7211....45Edn
600
360360360
400
1m160
160
120
100
6,002,252,253"00
4,00
+ 4,5
- 5,4
- 3,6
- 1,8
+ 2,
+ 0,75
- 0,90* 0,90
-0
+ 1,0
20,2510,927,280,00
38,4576,908,00
84.90
. u,9d*o= ,Oa =0,85cm
Oleh karena tiap batang yang tidak punya gaya batang (batang nol) tidak ikut dalamperhitungan, kita bisa memudahkan perhitungan dengan menentukan pertamasemua batang nol.
Contoh 2: Pada konstruksi rangka batang berikutnya dicari penurunan titik simpul sdengan E - 2'100t/ cm2, a1: 12.10-6 grd'1 , F1 = Fz:24.6cm2, Ft: Fq: 38.4cm2, F7: 13.8 cm2, oleh:1. Gaya P = 10 t pada titik simpul s2. Perubahan suhu t : 20" pada batang 1 dan23. Pergeseran tumpuan a sebesar ca : 1.0 cm ke kanan
370
At- 15,0 tGambarB.4.2. c.
Penyelesaian:Padatitiksimpul sdan jurusandskitaternpatkansuatugayavirtual P = l.0sepertiterlihat pada gambar 8. 4.2. d. berikut.Pada beban ini batang 5 dan 6 menjadi batang nol, dan t = S dan .93 : fi:
Gambar8.4.2. d
Pada pertanyaan 1: kita gunakan tabel seperti berikut:
batang s F s/F s s SSs/F
lcml lcm2l [1/cm] (t) (t) (t/cm)
1,2
3,472....7
720600400
24,638,4'r3,8
29,315,629.0
+ 18,0
- 15,0
- 10.0
+ 1,8
- 1,5
- 1,0
950351
2901591
d",=ffi:o,76cmPada pertanyaan 2: Perubahan suhu hanya dialami batang 1 dan 2, dan oleh karenaitu persanraan kerja pada konstruksi rangka batang hanya perlu pada dua batangitu. Oleh karena batang'l dan2 nrempunyai beban Syang sama, perhitungan dr,kemudian menjadi:
d"1 : sa1f"s : 1,8-12. 10 6 .20 .720 = 0,31 cmFada pertanyaan 3: Pergeseran ca pada tumpuan a berjurusan ke kanan. Olehkarena reaksi tumpuan A6oleh beban virtual F - l.O berjurusan ke kiri, kerja virtualmenjadi negatif (* ):
An = 1,gr cu = 1,0cm
e, =- 1,5.1,0= -1,5tcmt,od. = ->Ci ds: + 1.5cm
371
8.5. Garis elastis pada konstruksi batang
8.5. 1. Pengetahuan dasar
Seperti telah dikatakan pada bab 2.8. (Perhitungan lendutan dan garls
elastis) pada bab ini tidak dikemukakan pengetahuan baru, melainkan bersifatmemperdalam pengetahuan yang sudah-sudah.Sebagai peringatan kita selanlutnya mengatasi setindak demi setindak penentuangaris elastis menurut syarat Mohr (lihat bab 2.8.2. dan 8. 3. 4.):
1. Penentuan reaksi tumpuan dan diagram momen oleh beban sebenarnya.2. Pembebanan konstruksi batang pada titik 1. dengan diagram (bidang) momen
itu yang dinegatifkan (-).3. Perhatikan perubahan momen lembam .dengan mempereduksikan diagram
momen yang sepadangnya.4. Pemotongan diagram momen itu ke dalam bagian-bagian. Garis batas diagram
momen yang lengkung dengan begitu dapat diluruskan pada bagian masing-masing. Penentuan titik berat pada bagian masing-masing.
5. Pembebanan konstruksi batang dengan gaya-gaya yang menjadi resultante-resultante pada bagian masing-masing diagram momen.
6. Penentuan reaksi tumpuan oleh bebanan titik 5. itu. Reaksi tumpuan ini menjadisudut putar tumpuan (o,p) dikalikan dengan F. /.
1. Penentuan diagram (bidang) momen oleh bebanan titik 5. itu. Garis batasdiagram momen sekarang menjadi garis elastis dikalikan dengan E /.
8. Penentuan momen maximal oleh bebanan titik 5. itu, pada tempat dengan gayalintangnya menjadi nol. Momen maksimal itu menjadi lendutan maksimaldikalikan dengn E /.
Penentuan garis elastis menurut syarat Mohr ini tidak rnenjadi sulit. Oleh karenapelrentuan secara analitis memerlukan banyak waktu, biasanya digunakan caragraf is.
Yang menjadi paling sulit pada perhitungan itu, yalah penentuan titik berat daribagian masing-masing dari bidang momen.Selaniutnya kita menentukan suatu persamaan yang mernungkinkan perhitungantsb. tanpa menentukan titik berat masing-masing bagian bidang momen dahulu.Dengan menggunakan persamaan yang baru ini, kita bisa memudahkan titik 3 s/d 5pada perhitungan garis elastis menurut syaral Mohr.
8. 5. 2. Penentuan bobot-beban W
Kita memperhatikan suatu balok tunggal yang dibebani oleh suatu dia-gram (bidang) momen seperti berikut:
372
Gambar 8. 5. 2. a
Suatu potongan sembarang, kita tontukan dengan k, potongan di samping kiri
dengan k-1 dan yang di samping kanan dengan k+1. Jarak k*1 sld k kita ten-
tukan dengan,{p dan jarak k sld k+ 1 dengan ,i1 * 7 dsb. Ukuran atau iarak bagiarr-
bagian diagram momen ini menjadi sembarang. Akan tetapi seharusnya momen
lembam / menjadi tetap pada satu bagian.
Ukuran dan luas pada bagian-bagian bidang momen ditentukan begitu, maka gaya
sebagai resultante bagian bidang momen tidak bekeria pada balok tunggal pacia
titik beratnya, melainkan pada tempat potongan, misalnya & k + 1 dsb'
Gambar8.5.2. b
Gaya-gaya ini ditentukan dengan E. lr. Wp. Nilainya ditentukan sebagai reaksi
tumpuan pada dua balok tunggal dengan lebar bentang,Il dan,l1* 7. Dengan gaya-
gaya E. l"' Wx ini kita membatasi lagi balok tunggal dari gambar 8. 5. 2. a. dan
mendapatkan garis elastis sebagai diagram momennya. Namanya bobot-beban WPerhitungan E. lc. Wk dilakukan dengan meratakan bagian bidang mon'len yang
sebenarnya melengkung. Kita mendapatkan trapesium yang bisa dibagi dalam dua
segitiga. Nilasi We ditentukan seperti berikut:
1 l^ 'lEl"Wp=rMrr^rii*
Et".wp = [ tr*r, + 2Ml li + QMp + M1,ar),\i ]1l
lrrr^r*, *i * irr.,^0,, il;1 t-2iM*),* i 5 *
18.27.1
dengan penentuan, bahwa:
l^
i dan trirt: LL,r,'l;q,,
aza:---\- r;<*- t'l t
f? -*i,--
ti:I*
?B ----
Pada tumpuan sebelah kiri dapat kita katakan, bahwa ,(
itu ,\1* 1 : ,tr. Bobot-beban Wo menjadi pada titik itu:= 0 dan ,l* : 0 dan karena
Elcwo =,\i6
12Mo + Mrl (8.28.)
Sebaliknya pada tumpuan sebelah kanan kita tentukan k = nl ,lr* r = o dan 11 =,1, dengan bobot-beban W,:
Etcwn- * rr,r+2Mnt
Jikalau misalnya semua bagian darimomen lembam / dari balok tunggalrumus (8. 27.) seperti berikut:
(8.29.)
suatu bidang momen sama lebarnya danmenjadi tetap kita bisa menyederhanakan
(8.30.)
Selanjutnya pada tumpuan kiri bobot-beban Wo menjadi:
Etwk : t rrr., + 4M* -+ Mk+lt
Etwo:IOmo*u,t
Etwn: tr*,,,+2M,)
(8. 3'r.)
dan kemudian pada tumpuan kanan bobot-beban W, menjadi:
(8. s2.)
8.5.3" Penentuan garis elastis dengan bobot beban W padakonstruksi batang
Pada bab 8.5.2. tadi kita rentukan persarnaan yang membantu kita padaperhitungan pembebanan oleh diagram mornen dengan gaya-gaya yang dikalikandengan E.l. Pada bab ini kita mencari jalan untuk menentukan garis elastis dengancara yang paling mudah. Kita ingat konstruksi diagram gaya lintang dan diagrammomen, dengan ketentuan seperti berikut:
374
diagram gaya lintang O
Au= Qu-i- Px.t
M*= Mx, + O1l1
Gambar8.5.3. a.
Persamaan kedua tentang diagram momen bisa kita tentukan juga dengn kata-kata
berikut:
Momen lenlur Mp pada suatu titik sembarang k pada suatu balok tunggal
menjadi sama dengan momen lentur M2-1 pada titik k-l sebelah kiri, di-
tambah dengan hasil kali gaya lintang Oft antara titik k dan titik k-ldengan jarak 11.
Contoh 1: Pada balok tunggal A-B berikutgunakan bobot-beban W. lo : 24'0O0 cma; l, =
dicari garis elastis dengan meng-4,W cma dan E = 2'100 t/ cm2.
20 t/m
Gambar8.5.3. b.
Penyelesaian:Beban merata dibagi sembarang seperti misalnya pada gambar berikut8.5.3' c.,
dan reaksi tumpuan Radan R6dapat ditentukan sebagai:
375
uo = i_ror,oo. 5,10. 7,6b = 7.65t
,, = #2,0. E,10 " 2,58 : 2,sEt
Gambar8.5.3. c.
Sebagai perbandingan momen lemban kita memilih /1 oleh karena /1 sudah beradapada bagian besar pada balok tunggal ini. Selanjutnya ditentukan:
lc:lt l: =rl1
t^
i-ltl1300
= 1,*524000
Pada perhitungan ini kita menggunakan suatu tabel seperti berikut. Baris 1 s/d 6
berisikan data-data dari beban yang sebenarnya. baris 7 s/d 1'l berisikan data-datauntuk penentuan bobot-beban W, baris '12 dan 13 brerisikan data-data yangdiperlukan untuk reaksi tumpuan R; dan fr6 yang rnenjadi sudut putar tu{tlFxren o,
B dikalikan dengan E.l dan baris 14 sld 17 berisikan data-data dari beban olehbobot-beban W"
376
8-lrl1l'
IIEecoaN
I
t\rlroo
1r'(otiI
l.l-Eo
Bobot-beban Wditentukan menurut rumus (8. 27.):
6 ElcWk : lMr-, + 2 Mkl lk + Q Mk + Mp11l ),iaa1
6 ElcWk: mk + nk
Elcwk = + npl
Misalnya pada titik 4:
6ElcW4: lMt+2M4ll'4+ (2M4+ Msli's: m4+ n4
mq : {'12,N + 2' 14,361.' 0.90 = 37,2tm2
na = 12' 14,36 + 14,50)'0,90 : 38,9tm2
1
ElcW4: 6137,2
+ 38,9) :12,7 1m2
Penentuan R a dan 196 seperti berikut:
1
Rr= +ElZW4;: Et">wi +
Ra = E l"LWi - Re = ElcZWi - E t">Wi I;
Hasil masing-masing boleh digambar seperti berikut sampai kita mendapat gariselastis:
*,-r
diagram momen lentur (tm)
bobot-beban W (tm2)
garis elastis (ukuran dalam cm)
378
8. 5.3. d.
379
8.6. Garis elastis pada konstruksirangka batang
8. 6. 1. Pengetahuan dasar
Pada konstruksi batang garis elastis menjadi garis surnbu batang yangmelengkung. Pada konstruksi rangka batang ketentuan ini tidak lagi benar, olehkarena perubahan bentuk berasal dari perubahan panjangnya batang masing-masing, dan pergeseran titik simpul masing-masing selanjutnya.Pada konstruksi rangka batang kita menentukan suatu garis elastis pada batangtepi bawah. Garis elastis ini tidak merupakan suatu garis melengkung, melainkansuatu poligon. Semua batang pada suatu konstruksi rangka batang harus tetapmenjadi lurus, karen mereka menerima gaya normal saja dan bukan momen lentur.Garis elastis pada suatu batang tepi menjadi tentu sesudah pergeseran masing-masing titik simpul rnenjadi tetap.Dengan diagram pergeseran Williot kita mengetahui secara grafis untuk menen-tukan pergeseran titik simpul pada konstruksi rangka batang, walaupun dalamrangka buku ini, kita tidak bisa mempelajari diagram pergeseran Williot tsb. di atas.Pada konstruksi rangka batang dengan hanya beberapa titik simpul dan bentuknyasimetris kita bisa menggunakan rumus jumlahan, yang akan diterangkan pada babini. Hanya jarrglan meremehkan keluasan kumpulan angka-angka.Pada konstruksi rangka batang dengan banyak titik simpul kita selanjutnya menen-tukan suatu perhitungan atas dasar perhitungan garis elastis pada konstruksibatang.
8.6.2. Penentuan garis elastis dengan bobot-beban W padakonstruksi rangka batang
Penentuan garis elastis pada konstruksi batang dilaksanakan denganbobot-beban W. Bobot-beban W itu yang dikalikan dengan E' / menjadi suatubagian dari diagram momen. Kita mengerti, bahwa kejadian ini tidak mungkin pada
konstruksi rangka batang, oleh karena pada konstruksi ini hanya tirnbul gaya nor-mal dan bukan momen lentur. Berdasarkan atas pengetahuan ini kita harus menen-tukan pertama bobot-beban W pada konstruksi rangka betang dengan rumus-rumus yang baru. Sesudah bobot-beban W ditentukan, baru kita boleh
menyelesaikasn perhitungan seperti pada konstruksi batang.Atau dengan kata-kata lain kita memilih suatu balok tunggal sebagai sistim dasar
dan membebani sistim dasar ini dengan bobot-beban W yang ditentukan secarabaru dan kemudian menggambar diagram momen yang menentukan garis elastiskonstruksi rangka batang itu.
Selanjutnye kltaraenentulan bobot-bebon W pada konstnlksi rangka bat4:
Gambar8.6.2. a.
Pada gambar 8 . 6.2. a. teb. di atas kha lihat suatu bagian konstruksi rangka batangdengan garis elastb pada batang tepi bawah. Garis elastis dapat ditentukan dengangambar poligon batang iarlk oleh bobot-beban W. Atas dasar pengertian konstruk-si grafis ini kita boleh menentukan perbandingan-perbandingan berikut:
€tk _ lk -lk*r_-ak"Fr-- l-- oki -o**'
dan selaniutnya:
a*: dx-6x-, dk+t: dk+r: 6**r- dp * bpal
Jikalau kita kemudian membandingkan segitiga yang diarsir pada gambar situasi
dan gambar gaya (lihat gambar 8.6.2. a.). Oleh karena semua tiga sisi meniadi se-
jajar kita boleh mengatakan segitiga-segitiga itu menjadi sebangun dan per-
bandingan dibaca seperti berikut:
bu-, W,:^*' : 't' dan b*+t: W*l*n, jikalauH = 1
Ak+t 17
Kita selaniutnya mengisi hasil a1; a1 11d6r1 bpl1 ke dalam rumus tsb. di atas
dengan tujuan menentukan hubungan antara bobot-beban Wdengnn ordinat garis
elastis:
380
l6p - 6p.) = {d,+r - d1) + Wrl**,tr**,11
d* - 6x-, dx-, - d*
T':-^i;;;-"**wk:6\y,-dq# (8.33.)
Pada rumus (8. 33.) ini hubungan antara bobot-beban W dengan orclinat garis
elastis sudah ada, walaupun rumu6 ini belum dapat digunakan untuk p€rhitungan
nilai bobot-beban Wp.
Selanjutnya kita mengubah rumus (8. 33. ) sebagai berkut:
d1, 6* . , dkn, dkwk:i - &-ln_rt,rn--wx : * lr or,+ ( * +
r**1,) a* -,r,**1,d**,
Rumus ini terdiri dari hasil kali faktornya yang meniadi pergmeran sebenarnYa.
Kalau kita mengetahui 1ii1 dan 1/11*1 sebagai beban virtual dengan haEilnya,
bahwa bobot-beban Wsebetulnya menjadi kerja virtual luar. Pada bab 8. 2. 2. lPer-
samaan kerja pada konstruksi batang) kita sudah menentukan, bahwa keria virtual
luar lA,l meniadi sama dengan keria virtual dalam (,4/.
Atas dasar pengetahuan ini kita boleh menentukan bobot-beban yy sebagai:
(8.34.)
Dalam rumus (8. 34.) ini As menjadi perubahan panisngnya batang s oleh bebon
yang sebenarnya. S menjadi gaya oleh beban virtual 1/i1 dan 1l)q*1. Padegnm-bar 8. 6. 2. b. kita melihat beban keria virtual yang harus kita pasang pada titik sim-
pul k untuk menentukan bobot-beban W. kita juga melihat, bahwa jurnlah beban
menjadi seimbang. Harus dikatakan di sini, bahwa beban virtual tidak selalu harus
menjadi P-: 1 .0 t.Gambar8.2.6. c.
381
I
I
Gambar 8. 2. 6. b
r?,-**,,
Oleh karena kumpulan beban virtual menjadi seimbang mereka tidak menyebabkanreaksi-reaksi tumpuan. Oleh karena itu hanya batang-batang antara titik simpulk- 1 dan k + I menerima beban S. Tanda I dalam rumus (8. 34. ) selanjutnya hanyaberisi bagian konstruksi rangka batang tsb. di atas. Jikalau kita pada kumpulangaya virtual menentukan dimensi sebagai (1/dimensi panjangnya) kita mendapatbobot-beban W tanpa dimensi.Bobot-beban W pada konstruksi rangka batang pada umumnya ditentukan menu-rut gambar 8. 2" 6. b. dan c. seperti berikut:Gaya virtual S menurut gambar 8. 2. 6. b.:
Op = Oo*, =. *' U*:U*+r:0hpcosy p
Dr= + rkr D*,t= * o**;,ur,:-* vr=o v*+t=**,
Gaya virtual S menurut gambar 8. 2. 6. c.:
U* = U**t Op:Qo*.'t=g,|
ht
^ h pcos <p p.1
Vqa:0 Vk=
Dqx*t: *
11lp lq**r
hpcostPpll
vqt*t -* o
Selanjutnya pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik (gambar 8.2.6. b.), kita boleh menentukan bobot-beban Wsebagai:
*r = -E*ru(ao1, + Ao111) * a**rodk
+ hk*,pk- Ldr*t
1
-;Avk1-i-Ayr,.tAk Ak+1
(8.35.)
dan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun (gambar 8. 2. 6.c. ), bobot-beban I4lmenjadi:
382
+ |tnur + Auk+r) - #-*rw.,Mr_ nr"#.,^dk+l + +,L)av*
Ak+1
(8.36.)
Dengan rumus (8.35.)dan rumus (8.36.)ini kita bisa menentukan bobot-beban Wpada konstruksi rangka batang. Harus diperhatikan tanda ( + , - ) pada perobahanpanjangnya As pada batang masing-masing.Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi atas dan bawah sejajar dan
masing-masing bagian dengan ukuran yang sama kita boleh menentukan:
y*:0 gt: tpr+1: q: konstanttetap)It:lr+t:,\=konstantht: h = konstant
GEmbar 8. 2. 6. d. GambarS. 2. 6. e.
Selanjutnya pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik (gambar 8.
2.6. d.), kita boleh menentukan bobot-beban Wsebagai:
(8.37. )
dan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun (gambar 8.2.6. e. ),
bobot-beban Wmeniadi:
wt: -|toor* Lo1,ai* fi-*tur+ Ad111) -]ror*, + avk+r)
*r = + tLup + ^uk+1t - fi*toru + adp,"1l * | or* (8.38. )
383
Ssudah kita menentdRafi bobot.beban W kita membebani suatu balok tunggal
sebagai rbJim dasar dengan bobot-beban Witu dan mendapat garis elastis dengan
orclinat yang di*alikan derqnn F.
8.6.3. Ringkastrt
1. Sebagai goris elastis pada konstruksi rangka batang pada umumnya kita
tentukan garis eta'stie pada batang tepi bavrmh. Garis elastis menjadi suatu
poligon bukan garis lengkung, oleh karena batang masing-masing tidak me-
bngd<ung, hanya berubah panjangnya. Oleh perubahan pada titik simpul ma-
sing-masing kita tentukan gario elastis itu.
2. Pada konstruksi rangka batang dengan beberapa titik simpul saja kita boleh
menggunakan rumus jumlahan yang berulang kali digunakan.
3. Pada konstruksi rangka batang dengan banyak titk simpul kita menentukan
gnrie elastis dengan bmntuan bobot-beban W.
4. Kita nnenentukan bobot-beban wmenurut rumus (8.35.) s/d rumus (8.38.).
Untuk itu kita memerlukan peru.lcahan panjangnya batang masing-masing oleh
beben yang sebenarnYa.5. Dengnn bobot-beban w kita membebani sistim dasar - suatu balok tunggal --
dan menerima garis elastis sebagai diagram rnomen'
8.6.4. Contoh
Pada ksnstruksi rangka batang berikut dengan beban yarq tentu dan
dengran E : 2'lC{Jllem2 harus ditentukan garis elastis menurut/dengan:1 . bantuan rumus iurnlahan2. bafiuanbobot-beban W
384
Gambar 8. 6. 4. a.
385
Penyelesaian:Pada pertanyaan 1: Karena sistim menjadi simetris kita hanya harus menentukanbeban pada batang masing-masing yang sebenarnya So dan beban oleh gaya vir-tual P = 1.0 pada titik simpul 1,2dan 3 pada batang masing-masing (51, 52 danse).Penentuan ini boleh dilakukan dengan empat kali menggunakan cara grafis(Cremonalatau cara analitis (Cullmann-Ritter). Oleh karena Oz = Ozdan O'2: g',dan U1 = Uzdan U's = U3,dan U'2 = U'lmempunyai gaya yang masing-masingsama, tabel 1 dijadikan satu batang dengan panjangnya s misalnya 02 + 03 dsb.a) Beban virtual P : 1 .O pada titik simul 1 (nilaiSl ):
Ukuran dan sebagainya seperti pada gambarS.6.4. a.
Gambar 8. 6. 4. b
Gambar 8. 6. 4. c.
c) Beban virtual P = 1.0 pada titik simpul 3 (nilai 53):
b) Beban virtual P = 1.0 pada titik simpul2 (nilai52):
II A';',- qtost
Gambar8.6.4. d.
Tabel 1:
Baris 1 s/d 4 berisikan data-data konstruksi rangka batang, baris 5 s/d 8 berisikangaya batang masing-masing oleh beban sebenarnya dan oleh beban virtual danbaris9s/d 1l menjadi hasil rumus jumlahan, yaitu SoSl s/F: E. d1 dan SoS2s/F: E.dzdan SoS3s/F = E.6t.
o
o
o
o
U
U
U
D
D3
D:
D
V"
V:
Jumlah 3775.2
I
5
5
3
5
0
5
0
2
2
0
tang s F s/Fgaya batang
E. d, E. 6, E' dtso sr s2 sr
lcm) lcn|) (cm tl It) (t) (t) Itl (t/cm) (t/cm) (t/cm)
2 3 4 5 6 7 I 9 10 l1
I 424 60,0 7,07 -26,7 -1,237,1,000
-0,701 + 233,0 + 188,5 + 133,
,o, 912 70,0 13,03 -29,6 -0.587 -1,370 -0.968 + 226,5 + 529,0 + 373,
io; 912 70,0 13.03 -29,6 -o,242*0,562
-0,968 + 93,2 + 217,0 + 373
I 424 60,0 7,07 -26.7 -0.177 -0,410 -o,707 + 33,4 + 77,3 + 133,
,U, 700 20,2 34,65 + 18,9 + 0.875 + 0,708 + 0.500 + 573.5 + 463.0 + 327,
,ui 1000 24.6 N,70 +28,8 + 0,333 +0,778 + 1,333 + 390,0 + 912,0 + 1563,
;U; 7N 20,2 34.65 + 18.9 +0.125 + 0,290 + 0,500 + 81,8 + 189,8 + 327,
s(n 12,63 39,65 + 12,9 -0,309 + 0.800 + 0.569 - 188.8 + 410,0 + 291,
673 9.67 70,00 + 0,54 + 0.332 + 0,772 -0.509 + 12,5 + 29,2 _ 19.
673 9,67 70.00 + 0,54 -0,128 -0,301 -0,509 4,8 11,4 - 19.
500 12,63 39,65 + 12,9 +0,141 + 0.328 + 0.569 + 72,1 + 167,7 + 291,
300 9.60 31.25 0,0 + 1,00 0,00 0,00 0 0 0
2 367 31,0 11 ,82 - 8,1 0,00 0.00 0,00 0 0 0
3 450 9.60 't6,90 0,0 0,00 0,00 1.000 0 0 0
7 367 31.0 11,U - 8,1 0,00 0,00 0,00 0 0 0
I 300 9,60 31,25 0,0 0.00 0,00 0.00 0 0 0
: + 1521.9 }3172 +
386 3Bl
Pergeseran vertikal pada titik simpul 1 s/d 3 menurut rumus jumlahan moniadi:
,i. : 1?J g:0,725cm' 2100
3172,1r].: =1.51 Cm' 2'too
,\- :34].2 = 1 8o cm' 21ffi
Pada pertanyaan 2'. Pada penentuan garis elastis dengan bobot-beban W kita
menentukan pertama perobahan paniangnya batang masing-masing As = So s/F.Karena itu kita tentukan gaya batang So oleh beban sebenarnya. Semua dihitungsebagai tabel pada tabel 2 yang berikut. Karena konstruksi rangka batang pada con-toh ini menjadi simetris kita hanya memperhatikan satu bagian saia.
Penentuan E. W1 dan E. W3 leriadilah dengan rumus (8. 36.) dan E. Wz denganrumus (8.35.). Sebagai pendahuluan kita menentukan beberapa nilai yang akandiperlukan.untuk menentukan E. W1 sl d E. W3:
= 0,00333
1
'l 1
i- 4rlo
1
1',|i,, " aOO
'l
= 0,00222
1
-- 0,0[,0472
: 0,00417
: 0,00367
= 0.00299
- 0.00276hrcosyl 300'0,707
11h, cos rp1 300 ' C),800
11h2cos tp, 367 '0,743
1',Iircot,4r, - 4so:0,743
h2cosy2 367'0,987
11hrcos rp2 367 ' 0,800
0.00341
Misalnya penentuan W, menurut rumus (8.35.):
11111' h2cosyt h2copq2 ' hrcosrpl ' )2 il
dan selanjutnya:
EW2 = -0,00276 (-385,0) + 0,00341 ' 512,0 + 0,00367 ' 37,9
EW, - +'l ,062+ 1,745+0,139 : 2,946t/cm'?
D
D
Tabel 2:
batang s F s EAs EW, Ewz Y2EW!
Dimensi Icm1 lcm2 Icml It/ cml It/ cm|l [t/ cm21 It/ cmzl
I 2 3 4 6 6 7 8
or 424 60,0 -26,7 - 188,8 + 0,88,
Orot 912 70,0 -29,6 -385.0 +1,62U,U, 700 20,2 + 18,9 + 655,0 +2,18 +1,n2
3 500 24,6 +28,8 + 586,0 +1,fi2500 12,6 + 12,9 +512,0 -2,135 + 1,745
2 673 9.6 + 0,* + 37,9 +0,139 -0,114I 300 9,6 0 0 0 0
2 367 31,0 - 8,1 - 95,8
3 450 9,6 0 0 0 0
tal + 0,953 + 2.946 + 1.188
Dengan bobot-beban W yang baru ditentukan pada tabel 2 kita akan membebanisistim dasar (balok tunggal) pada/dalam tabel 3. dan mendapat garis elastis denganpergeseran d pada titik simpul masing-masing.
Tabel 3:
k EW* i E.o E.O.l EM d
Dim. [t/ cmzl lcml . [t/ cm2l It/ cml [t/ cml Icm)
Sp. 1 2 3 4 5 6
a 0 0
1 0.953 1526,1 0,725
400 4,134 1653,6
2 2,9tt6 3179,7 1,51
500 1.188 594,0
3 2,376 3773,7 1,80
Hasil-hasil ini menjadi sama dengan hasil-hasil pada pertanyaan 1, walaupun pekeriaanpada pertanyaan 2 (dengan mengunakan bobot-beban Wl jauh lebih sederhanadaripada dengan penggunaan rumus jumlahan.
388
9. Garis pengaruh
9. 1. Pengetahuan dasar dan penggunaan garispengaruh
9. 1. 1. Pengetahuan dasar
Dengan ketentuan-ketentuan statika yang kila ketahui sampai sekarang,kita dapat menentukan reaksi tumpuan dan gaya batang pada. suatu konstruksibatang atau rangka batang dan kemudian menentukan ukuran batang, tegangan-tegangan yang timbul dan perubahan bentuk elastis. Penentuan-penentuan ini se-
lalu berdasarkan atas beban dan gaya yang tentu dengan nilai, jurusan dan titiktangkapnya. Pada beban merata kita memperhatikan berat sendiri beserta beban
berguna, yang walaupun bergerak dan tidak tetap, dihitung juga seperti bebantetap. Akan tetapi pada banyak konstruksi bangunan timbul beban bergerakmisalnya jembatan lalu lintas, jembatan kereta api, rel derek dsb. dengan titiktangkapnya yang selalu beralih-alih. Pada umumnya beban bergerak ini bekerja se-jajar anting dan pada bab ini kita hanya memperhatikan beban yang berjurusan seja-jaranting. Kemudian juga beban bergerak ini berjarak.tetap.Pada beban yang tetap (mati) walau gaya-gaya dalam suatu batang berubah. pada
tiap-tiap potongan tertentu ada juga gaya-gaya dalam tertentu. Pada beban yangbergerak nilai gaya dalam berubah pada tiap-tiap gerakan beban itu. Untuk me-nentukan ukuran-ukuran batang selanjutnya kita harus memperhatikan nilai reaksitumpuan dan gaya batang yang maksimal dan yang minimal pada potonganmming-masing. Untuk penentuan nilai-nilai maksimal dan minimal ini,kita meng-gunakan garis pengaruh'
Gambar g. 1. 1. a.
beban merata
-to.r t/h qr- t0.0 t /n
Garis pengaruh harus kita tentukan untuk semua nilai statika seperti reaksi tum-puan, gaya lintang atau lendutan pada suatu titik tertentu, dan menjadi suatu garis
dengan sifat khusus masing-masing. Penentuannya hanya menjadi satu bagian dari
7-gaya-gaya p
A00 ------+-- =32500 -
389
soal-soal yang timbul tetapi penggunaannya terletak pada penyelesaian yangmenentukan gaya-gaya dalam yang dicari.sebagai gaya-gaya P kita menentukan misalnya roda-roda suatu kereta api dsb.dan beban merata menjadi misalnya lalu lintas mobil dsb. seperti dilihat pada gam-bar 9. 1. I a. di atas.
9. 1.2. Penentuan garis pengaruh
Pada perhitungan statika pada suatu konstruksi batang atzu rangkabatang dengan gaya-gaya dan beban mati kita menentukan suatu potongan sem-barang untuk penentuan gaya-gaya dalam. Juga pada gaya-gaya dan beban yangbergerak kita harus tahu di mana potongan sembarang bermanfaat dan untuk gayadalam yang mana kita harus menentukan garis pengaruh. Dengan pengetahuan inikita dapat menentukan titik tangkap dari gaya atau beban yang kita perlukan padapenentuan gaya dalam yang maksimal dan yang minimal. walau nilai maksimal danminimal ini mungkin tidak menjadi nilai maksimal dan minimal pada batang yangdiperhatikan, nam!n menolong menentukan garis pengaruh dan titik tangkap yangbersangkutan.
Gambar 9.1.2.a.
untuk menentukan garis pengaruh kita menggulingkan suatu gaya p pada seluruhpanjangnya konstruksi batang dan menentukan pada tiap-tiap titik tangkappengaruhnya atas reaksi tumpuan atau gaya dalam.sebagai keterangan kita perhatikan gambar g. l. 2. a. di atas. Gaya p pada bagiankiri dari balok terusan itu menyebabkan reaksi tumpuan A yang positif (+ ). Reaksitumpuan 4 ini makin besar makin dekat gaya ppada tumpuan,4. Jikalau gaya pmisalnya bekerja pada bagian kanan, maka reaksi tumpuan.4 menjadi negatif (-).Nilai reaksi tumpuan A oleh gaya P yang bergerak kita tentukan sebagai ordinat 4pada titik tangkap masing-masing. Hubungannya dapat kita lihat pada gambar9. 1.2. a. Garis itu sebetulnya sudah menjadi suatu garis pengaruh pada reaksitumpuan 4.
390
P pada titik tangkap1,2dan3
t1r' A pada titik tangkap I112' A pada titik tangkap 211r' A pada titik tangkap 3
Untuk menentukan ordinat-ordinat 4 salah satu garis pengaruh kita meng-gulingkan suatu gaya P : 1 .0 (t) pada seluruh konstruksi batang.Pada titik tangkap masing-masing oleh gaya P = 1 .0 ini kita menentukanpengaruh atas nilai statika yang dicari dan menentukan hasil ini sebagaiordinat 4 di bawah titik tangkap itu. Ujung-ujung ordinat 4 masing-masingyang dihubungkan dengan suatu garis kita tentukan sebagai garispengaruh dan luasnya sebagai bidang pengaruh.
Catatan: Pada beberapa buku statika lain untuk kependekan ordinat garis pengaruhjuga digunakan I atau y.
Ordinat-ordinat pada suatu garis pengaruh dapat meniadi positif atau negatif.Selanjutnya kita menentukan, bahwa ordinat yang positif kita gambar ke bawah
dan ordinat yang negatif kita gambar ke atas dari suatu garis dasar dengan titikbatasan (n = 0) antaranya. Walaupun suatu garis pengaruh digambar pada seluruh
konstruksi batang, pengaruhnya tergantung hanya pada satu titik yang di-perhatikan (misalnya tumpuan ,4). Garis pengaruh meniadi terlepas/bebas darigaya-gaya atau beban yang bekerja pada konstruksi batang dan dapat juga diten-tukan tanpa memperhatikan beban yang bekerja pada konstruksi batang itu.
9. 1.3. Penggunaan garis pengaruh
Keterangan-keterangan berikut membicarakan satu gatis pengaruh pada
reaksi tumpuan sebagai contoh. Caranya sebenarnya dapat iugn dilakukan pada
garis-garis pengaruh yang lain.
Gambar 9. 1.3. a.
Suatu gaya P = 1 .0 (t) mengakibatkan pada tumpuan 4 suatu gaya (reaksi tum-puan) sebesar (1. 0) 4. Oleh karena itu, satu gaya sebesar Pmengakibatkan suatureaksi tumpuan sebesar P. 4 .
Jikalau pada konstruksi batang di atas bekerja suatu kumpulan gaya dengan n gaYa
P, tiap-tiap gaya P; mengakibatkan reaksi tumpuan Pi.ei.
Ordinat 4' A untuk gaya P'titik tangkap A' P1q1 * P242
1,0 pada+ Ptnt
391
Reaksi tumpuan dapat kita tentukan:
l=nRa = t Fini
i+1{9. 1.}
Sebagai penentuan reaksi tumpuan Fa dengan bantuan garis pengaruh kita dapatmenentukan: tiap=tiap gaya P1 harus dikalikan dengan ordinatnya 4i denganmemperhatikan tanda (+, -)kemudian hasil kali masing-masing dijumlahkan. Famaksimal kita dapatkan dengan memasang kumpulan gaya itu pada bagian dengonordinat garis pengaruh 4 yang positif, dan Ra minimal dengan memasang kumpulangqya itu pada bagian konstruksi batang dengan ordinat garis pengaruh 4 yangnegatif . Gambar garis pengaruh membantu kita dalam pencarian titik-titik yang pa-ling jelek dan yang paling ideal.
Nilai maksimal kita dapatkan dengan memasang gaya-gaya yang terbesarpada tempat dengan ordinat garis pengaruh 4 yang terbesar.
Jikalau kita atas dasar ketentuan ini belum dapat menentukan titik-titik tangkapkumpulan gaya, kita harus mendorong kumpulan gaya itu demikian rupa, eehinggagaya berikut bekerja pada titik dengan 4r"r.
d,
Gambar 9.1.3. b.
Beban merata akan kita bagi atas potongan dx yang kecil. sehingga beban itubekerja sebagai satu gaya P. Hasilnya dapat diringkaskan menurut rumus (9. 1.)dan gambar 9. 1. 3. b. di atas sebagai:
nnrrRa = ) Q dx 4 = s) n dx : eF(m.n)
mm
Nilai lntegral ini menjadi luasnya bidang pengaruh antara titik m dan titik n..
t9.2.t
Pada beban merata kita harus mengalikan ordinat g dari beban merata denganluasnya bidang pengaruh di bawah beban merata itu.Nilai maksimal juga kita dapatkan dengan memasang beban merata pada tempat,yang ordinat garis pengaruhnya 4 terbesar.
392
II
I
l
l
9. 1.4. Ringkasan
1. Garis pengaruh kita gunakan untuk penentuan nilai maksimal dan minimal padareaksi tr-rmpuan dan gaya dalam pada beban yang bergerak.Dengan mernperhatikan bentuk garis pengaruh dapat kita menentukan carapembebanan pada suatu konstruksi batang atau rangka batang supaya bebanitu mengakibatkan reaksi tumpuan atau gaya dalam yang maksirnal atau yangmimimal.Garis pengaruh dapat kita gambar dengan satu gaya P = 1 .0 (t) yang kita gu-lingkan pada seluruh panjangnya konstruksi batang atau rangka batang.Pada penggunaan garis pengaruh kita membebani hanya bagian-bagian denganordinat 4 yang positif atau yang negatif saja. Pada beban merata kita me-ngalikan beban dengan bidang pengaruh. Pada gaya atau kumpulan gaya kitamengalikan gaya masing-masing dengan ordinatnya 4 dan menjumlahkan hasilkali itu.Nilai maksimal kita dapatkan dengnn memasang gaya-gaya yang terbesar padgtempat, yang ordinat garis pengaruhnya 4 terbesar.
9.2. Garis pengaruh pada balok tunggal
9.2. 1. Garis pengaruh pada roaksitumpuan
Seperti telah dibicarakan pada bab 9. 'l . 2. garis pengaruh pada misalnyatumpuan .4 dapat kita tentukan dengan menggulingkan suatu gaya P = 1,0 (t) padaseluruh panjangnyo lebar bentang 1 pada balok tunggal yang diperhatikan. Padatumpuan A gaya P = 1,0 mengakibatkan suatu reaksi tumpuan sebesar I a = 1,0yang menentukan ordinat 4 garis pengaruh sebagai n = 1 ,0.' Jikalau gaya P = 1,0bekerja pada tumpuan I reaksi tumpuan pada tumpuan 4 menjadi nol (Ro = 91.
Oleh karena itu, ordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan I menjadi n : 0 juga.Jikalau gaya P: 1.0 bekerja pada titik tangkap sembarang dapat kita tentukanreaksi tumpuan 4 sebagai Fn = 1,0 . z'/l dengan ordinat 11 garis pengaruh sebagai
4 = z'/l' 1,0.
Hasil ini menjadi persamaan suatu garis lurus, dan berarti, bahwa kita b&h meng-hubungkan titik ordinat 4 = 1,0 pada tumpuan / dengan titik ordindt 4 = 0 padatumpuan I seperti terlihat pada gambar 9.2. 1. a. berikut:
DAIGaris pengaruh pada reaksi tumpuan ,4
Garispengarur",#
2.
3.
4.
--i
Gambar 9.2. 1. a
393
Jikalau kita ingin menggambar garis pengaruh pada reaksi tumpuan I kita dapatiordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan B sebagai 4 - 1,0 dan pada tumpuan.4sebagai 4= 0. Lihatjugagambar9.2. 1.a. di atas (Penggunaangarispengaruh).Maka pada penentuan reaksi tumpuan oleh kumpulan gaya yang tertentu, dan be-kerja pada bagian garis pengaruh dengan ordinat 4 besar kita dapat menentukan re-aksi tumpuan 4 sebagai jumlah gaya-gaya yang dikalikan dengan ordinat 4 masing-nrasing seperti juga terlihat pada gambar 9.2. 1. b. berikut:
Ra=2P;4i =2P1
Gambar9.2. 1. b.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan,4
9.2.2. Garis pengaruh pada gaya lintang
Gaya lintang sebetulnya jumlah semua gaya yang bekerja siku-siku padagaris sumbu batang (balok tunggal) sebelah kiri atau yang dalam hubungan yangsama sebelah kanan pada suatu potongan. Jikalau suatu gaya P : 1.0 bekerjasebelah kanan dari potongan c maka gaya lintang Q" = Ra.Oleh karena itu pada suatu gaya P = 1.0 yang bekerja antara potongan c dan tum-puan I garis pengaruh gaya lintang menjadi juga garis pengaruh reaksi tumpuan ,4.Jikalau gaya P = 1.0 bekerja sebelah kiri dari potongan c maka gaya lintang O" :RA - 1.0 = - Ra.Oleh karena itu pada suatu gaya P = 1.0 yang bekerja antaratumpuan ,4 dan potongan c garis pengaruh pada gaya lintang menjadi juga garispengaruh pada reaksi tumpuan 8 yang negatif . Lihat gambar 9 .2.2. a. berikut:
zi 'l
i : j >P,'i
Garis pengaruh pada
Garis pengaruh pada
gaya lintang O"
gaya lintang O7
Kita dapat menggambar garis pengaruh pada gaya lintang pada suatu potongansembarang dengan menentukan ordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan ,4 sebagai
n = 1,0 dan pada tumpuan I sebagai n : - 1,0.Hubungan vertikal antara dua garis ini dapat kita gambar pada potongan sem-barang.Penggunaan garis pengaruh pada gaya lintang kita lakukan dengan mengalikanbagian ordinat 4 yang positif dengan O dan bagian ordinat 4 yang negatif dengangaya lintang O.
9.2.3. Garis pengaruh pada momen lentur
Sudah kita ketahui, bahwa suatu gaya P = 1,0 pada suatu balok tunggalpada tumpuan masing-masing tidak rnengakibatkan suatu momen. dan karena ituordinat 4 garis pengaruh pada momen lentur pada tumpuan masing-masing men-jadia : g.
Jikalau kita memperhatikan suatu potongan c pada balok tunggal ini dan gaya P :1,0 bekerja pada titik potong c, maka gaya P = 1,0 mengakibatkan suatu momensebesar M : 1,0. x. x' /1.
Hasil ini berarti bahwa ordinat 4 pada garis pengaruh pada titik potong c juga men-jadi 4 : 1,0. x. x' /1. Jikalau gaya P = 1,0 bekerja di sebelah kanan potongan csembarang, maka momen itu menjadi M = R a. xdan ordinat 4 = R a.i. Hasil iniberarti, bahwa garis pengaruh ini menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan .4yang dikalikan dengan x, dan menjadi suatu garis lurus.Gaya P = 1.0 yang bekerja di sebelah kiri potongan c sembarang mengakibatkanmomen M = R6. r. dan ordinat n : Re. x,yang menjadi garis pengaruh padareaksi tumpuan I yang dikalikan dengan x ' . Lihat gambar 9. 2. 3, a. berikut:
Garis pengaruh pada momen /U
Gambar 9.2.3.a.
Kemudian kita dapat menentukan garis pengaruh pada momen lentur denganmenentukan ordinat 4 = x . x' /l padatitik c dan menghubungkan nilai ini dengantitik tumpuan A dan B.
---.-.il--J-j
395
Cara lain dapat iuga kita lakukan dengon nrenggenrbar ukuran x di banreh tunpuan,4 dan ukuran x' di bawah tumpuaR 8, hubungkan titik-titik ini dengan titik tum-puan yang di depan, dua garis lurus ini harus rnerptrn1lai tit& potoflg cli bawahpotongan cdan ordinatnya harus n - x. x'/1.
9.2.4. Beban yang tidak langsung
Pada banyak jenis konstrukei bangunan, terutama pada konstruksi jem-batan beban berguna diterinra oleh balok tunggal yang melintang dan yang dudukdi atas konstruksi batang utama. Kejadian ini kita namakan beban yang tidakhrqsung.
Beban yang tidak langsung
GarSar 9.2.4. a.
Suatu gaya P yang bekerja antara titik m-ldsrn titik rn rnengakilratkan @a titiksimgrl dengan konstruksi batang utama suatu beban sebesar:
P-', = P'T P-= P:
Pada penyelesaiannya gaya Psebenarnya harus menjadi sama dengan jurntah gayaP, dan P.-1 dan kita dapat menentukan:
h = P-:t4m-1 *Pm4m
h = Pfn,-.r*eln-c' c'14n-1 * T4-=4o*4u
Sebagai keterangan bisa dilihat gambar 9. 2. 4. b. berikut:
Gambar9.2.4. b
Ordinat 4 di bawah gaya P sebenarnya terdiri dari dua komponen 4o dan 4r.Nilainya ditentukan dengan garis hubungan ordinat garis pengaruh 4* dan 4._1 .
Hasil ini dapat kita tulis sebagai:
396
Pada beban yang tidak langsung garis pengaruh harus menjadi suatu garis
lurus.
Selanjutnya kita perhatikan satu balok tunggal dengan beban yang tidak langsungmenurut gambar 9.2. 4. c. berikut. Dicari: garis pengaruh pada tumpuan A, padagaya lintang O dan momen lentur M.
Gambar9.2.4. c
__-1
Garis pengaruh pada reaksitumpuan,4
Garis pengaruh pada gayalintang O,
isIL--
Garis pengaruh pada momenlentur M"
Kita dapat menggambar garis pengaruh masing-masing pada beban yang tidaklangsung seperti garis pengaruh biasa. Kemudian kita menggambar garis hubunganyang lurus antara ordinat 4 pada titik rn dan 4 pada titik rr-1, seperti terlihat pada
gambar 9. 2.4. c. di atas.Dengan menggunakan cara ini kita dapat melihat, bahwa pada garis pengaruh pada
reaksi tumpuan tidak ada perubahan. Pada garis pengaruh'pada gaya lintang kita
dapatkan suatu garis penghubung miring dan pada garis pengaruh pada momenlentur dapat kita potong titik puncak di bawah gaya P.
Pada penyelesaian penentuan ordinat-ordinat pada beban yang tidak langsungsebaiknya kita menghitung dengan perbandingan-perbandingan berikut.Pada beban merata yang tidak langsung garis pengaruh pada gaya lintang menjadiagak sulit karena titik n = 0 tidak sama dengan titik potong c.
Untuk memudahkan perhitungan kita menentukan luasnya bidang ( + , - ) fi dan F2
dari bidang pengaruh dan luasnya bidang pengaruh seluruhnya'F seperti berikut:
397
lhI
L
2-1I
Ihl
h lb-allb + ala+b
(9.4.)
(n : 1,0)
I.,Ft:-ln,t"+r,t
clic=hr:lhr+hrl
Gambar9.2.4. d.
h,:h!
a- " a+b
1 a2 a+b+c,! _-- -
2" I a+bF,- -!nll,""*ldan selanjutnya
-ha2_hb2l-:- F-:--' 2 a+b 't 2 a+b
h,=h1
cr
ha2-Z
"+b
(9. 3. )
b2*a2F=fi+Fz: hz a+b
F : Ft + Fr: Iw-ul
9.2.5. Garis pengaruh pada lendutanAtas dasar pengetahuan pada bab 2. 8. (perhitungan lendutan) dan bab 6.
1.3. (Lendutan) kita perhatikan suatu balok tunggal yang dibebani denganbeberapa gaya. Lendutan pada suatu titik 1 sembarang oleh beban yang sebenar-nya kita tentukan dengan kependekan d16.
suatu gaya P = 1.0 yang bekerja pada titik 1 mengakibatkan lendutan pada titik 1
sebesar d11 dan kemudian oleh gaya P1 lendutan pr . d.1.Suatu gaya P = 1.0 yang bekerja pada titik 2 mengakibatkan lendutan pada titik 1
sebesar d.12dan kemudian oleh gaya P2 lendutan pz. dn.Seterusnya kita mendapatkan lendutan Ps.d asld pr. 61n.
398
Dengan superposisi pengaruh masing-masing kita dapatkan:
drs: Pir + P2dD + Prdr, + ... + Pndrn
Atau menurut syarat dari Maxwell llihat bab 8. 3. 2. ) dapat kita tentukan:
dn: P.f... + Pr6r, + 13d31 + ... + Pndnl
Hasil ini berarti, bahwa d4menjadi lendutan atau dengan kata lain ordinat gariselastis pada titik 1,2,3, ....., n oleh gaya P : 1.0 pada titik 1. Ordinat garis elastisini kita kalikan dengan nilai gaya P sebenarnya. Jumlah hasil kali masing-masingmenjadi lendutan pada titik 1 oleh gaya q, P2, P3, . .. .. . . , Pn
Karena ketentuan ini menjadi sama dengan ketentuan garis pengaruh pada len-dutan, dapat kita tentukan:
Garis pengaruh pada lendutan titik k sembarang menjadi sama sepertigaris elastis oleh gaya P = 1 .0 pada titik rt sembarang.
9.2.6. Ringkasan
1. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4 mempunyai pada titik tumpuan 4ordinat I : 1.0 dan pada titik tumpuan I ordinat 4 : 0 dan menjadi suatu garislurus.
2. Garis pengaruh pada gaya lintang terdiri dari garis pengaruh pada reaksitumpuan A yang positif dan garis pengaruh pada reaksi tumpuan I yangnegatif dengan garis pengubung vertikal pada titik potong c. Garis pengaruhpada gaya lintang menjadi negatif pada bagian balok tunggal sebelah kiri danmenjadi positif pada bagian yang kanan.
3. Garis pengaruh pada momen lentur mempunyai nilai (ordinat) n = x . x'/l padatitik potong c dan ordinat n : 0 pada titik tumpuan A dan 8. Antara titik-titiktertentu ini garis pengaruh menjadi garis lurus.
4. Garis pengaruh pada beban yang tidak langsung harus menjadi garis lurus.5. Garis pengaruh pada lendutan pada titik k sembarang menjadi sama seperti
garis elastis oleh gaya P = 1.0 pada titik k sembarang.
9.2.7. Contoh-contohContoh 1: Pada gambar 9. 2. 7. 1. a. berikut kita melihat suatu balok tunggal (jem
batan) dengan suatu kumpulan gaya (kereta api). Jikalau dua kumpulan gaya itusatu per satu atau bersama bisa lewat jembatan ini, dapat kita tentukan denganbantuan garis pengaruh nilai-nilai seperti berikut:1. Reaksi tumpuan A maksimal2. Momen maksimal pada titik potong c dengan jarak x : 5.0 m
399
Contoh 2: Suatu balok tunggal {jembatan} dengan lebar bentang / = 25'00 mdengan balok melintang dengan jarak = 5.00 m dibebani secara tidak langsungoleh kumpulan gaya (kereta api) atau kumpulan gaya (gerbong). Berat sendiri'konstruksi batangini menjadi g=1.5tlm, lihatjugagambar9.2.7.2'a,berikut.Tempat kereta api dan gerbong menjadi sembarang. Nilai-nilai yang dicari:1. Reaksi tumpuan ,4 maksimal2. Momen maksimal pada titik potong c dengan iarak x = 10.0 m
3. Pada titik potong c itu ditentukan gaya lintang4. Gaya lintang yang maksimal dan yang minimal pada titik potong c'dengan
jarakx = 6.00m.
Penyelesaian:
1. Penentuan reaksi tumpuan ,A maksimal:
Roda pertama dari kumpulan gaya (kereta api) kita pasang tepat di atas tumpuan Adan kereta api kedua kita pasang sedekat mungkin (lihat gambar 9.2.7.2. b.l.Penyelesaian kita pisahkan atas berat sendiri (g) dan kumpulan gaya (P sepertiberikut:
1
Rnc: gF:1,521,0.25,0 = 18,75t
Rap = 10,0(1.00 + 0.94 + 0,88 + 0,88 + 0,82 + 0,76 + 0,70 + 0,46+ 0,210 + 0,34 + 0,28 + 0,22 + 0,161
Re p - 1A,0. 6,96 : 69,6 t
2. Penentuan momen maksimal pada titik potong c dengan x = 10.0 m:
Karena kita pasang kumpulan gaya demikian rupa, sehingga salah satu gaya Pbekerja pada titik potong c kita tidak usah memotong puncak garis pengaruh pada
momen lentur dan ordinat 4 pada titik potong c dengan jarak x = 10.0 m dapat kita
tentukan sebagai:
xx' 10,0.15,9_ = 6,00n= r : 2ro - =o'(ru
Selanjutnya kita pasang kumpulan gayd (kereta api) demikian rupa, sehinggabekerja pada titik potong c dengan jarak x = 10.0 m. Sebelah kanan kita tempatkansuatu kereta api lagi dan sebelah kirl suatu gerbong sedekat mungkin (lihat gambar
9.2.7.2. c. berikut) dan terdapat nilai-nilai seperti berikut:
1
Ms : 225,O.
6,0. 1,5 : 112,5tm
Mp= 10,0(0,60 + 1,il + 4,20 + 5,10 + 6,0 + 5,40+ 4,80 + 4,2O + 1,80 + 0,60)
Mp = 10,0 .35,40 = 354,0 tm
402
Karena kita tidak tahu apakah ini betul-betul men.iadi momen Mp maksimal, kita
harus juga memeriksa kemungkinan gerbong sebelah kiri dan sebelah kanan dari
kereta api itu (lihat gambar 9.2,7.2. d.) dan mendapatkan nilai yang sedikit lebih
tinggi dari nilai yang tadi:
Mp:10,0 (0,60 + 1,50 + 4,2o + 5,10 + 6.00 + 5.40 + 4,80+ 4,20 + 2,N + 1,80 + 0,20) : 10,0.36.20 = 362.0tm
3, Penentuan gaya lintang atas dasar beban tadi pada titik potong c dengan jarak
x = 10.0 m:
Karena titik potong c dengan jarak x : 10.0 m menjadi sama dengan titik tumpuanbalok melintang (tiap-tiap 5.0 m) kita hanya dapat menentukan gaya lintangsebelah kiri (/) dan sebelah. kanan(r) dari titik potong c itu. Karena garis pengaruhpada beban yang tidak langsung rnenjadi suatu ganis lurus, hasil gaya lintang pada
potongan kiri atau kanan dari titik potong c harus menjadi sama (lihat gambar 9. 2.
7.2. e. dan f . berikut). Pembebanan harus sama seperti ditentukan pada gambar L2.7.2. d"
Selanjutnya kita dapatkan hasil gaya lintang sebagai:
anr : t,s1) tl5,0 - 5,0) = 7,s t
as,= 1,5Tn o,o - 1o,o) = o
Qp1 = 1Q,Q(*0,04 - 0,10 + 0,12 + 0,36 + 0,60 + 0,54 + 0,48 + 0,42+ 0,24 + 0,18 + 0,021
Ap1: 10,0.2,82 = 28,2t
Oo, :10,0{- 0,04 - 0,10 - 0,28* 0,34 - 0,40 * 0,16 + 0.08 + 0,32+ 0,24 + 0,18 + 0,02)
Ao, = 10,4 {-- 0,48} = - 4,80 t
Gambar 9. 2.7.2. a.Gambar situasi
403
tso t50 150 t'o 150%tm_ -,150,t50,150 ts7 150
c)
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4
Garis pengaruh pada momenlentur M"
Garis pengaruh pada momenlentur M"
d)
Garis pengaruh pada gaya lintang O"7
404
----1
450 --.J:.1 - 100 -1
s)
Garis pengaruh pada gaya lintang 0",
Garis pengaruh pada gaya lintang A",-",
__ 2000
Garis pengaruh pada gaya linlang Q", -i, Gambar 9.2.1.2. f. s/d h.
4. Penentuan gaya lintang yang maksimal dan yang minimal pada titik potong c'dengan jarak x = 6.0 m:
Menurut gambar 9. 2.7.2. g. kita mendapatkan Q", -r, dengan memasang keretaapi dan satu gerbong pada bagian garis pengaruh yang positif. Kita mendapatkanhasil:
os : 1,sT tls,o - s,o) = 7,s t
Apmax = 10,0(0,36 + 0.@ + 0,54 + o.zl8 +o,42 + 0,36 + 0.18 +o,121
Apmax = 10,0.3,06 : 30.61
t50 t50
i--r-t0
h)
| _-r-l
---- l
Gambar9.2.7.2. b. s/d e.
405
Selanjutnya menurut gambar 9.2.7 .2. h. kita dapatkan Ar, -6 dengan memasangsebagian dari kereta api pada bagian garis pengaruh yang negatif. Kiu men-dapatkan hasil:
Qpmin = 10,0 (- 0,020 - 0,080 - 0,140 - 0,200)
= 10,0 (-0,440) = - 4,40 t
9.3. Garis pengaruh pada konsole, pada baloktunggal dengan konsole dan pada balokrusuk Gerber
9.3. 1. Garis pengaruh pada konsole
Penentuan garis pengaruh pada konsole sebenarnya tidak ada kesulitan-nya.Jikalau gaya P = 1.0 bekerja pada suatu titik sembarang reaksi tumpuan juga men-jadi Ra: 1.0, dan garis pengaruh pada $uatu titik sembarang juga harus mem-punyai ordinat n : 1.0 maka garis pengaruh ini menjadi suatu segiempat menurutgambar 9. 3. 1. b.
Gaya lintang hanya timbul jikalau P : I.0 bekerja pada ujung konsole yang bebas,yaitu pada gambar 9. 3. 1. a. sebelah kanan dari potongan sembarang z'. Gaya lin-tang selalu menjadi O = 1.0 tidak terikat pada titik tangkap gaya P: 1.0 selamatitik tangkap itu berada antara potongan yang kita perhatikan dan ujung konsoleyang bebas. Garis pengaruh pada gaya lintang juga menjadi suatu segiempat antarapotongan z'yang diperhatikan dan ujung konsole yang bebas, seperti terlihat padagarnbar9.3. 1. c.Garis pengaruh pada momen lentur hanya timbul jikalau gaya P = 'l .0 bekeria an-tara titik potong z'yang kita perhatikan dan ujung konsole yang bebas. Antara tum-puan dan titik potong z'orclinat n garis pengaruh menjadi n : 0. Dari titik potong z;ke kanan ordinat 4 tumbuh linear sampai gaya P = 1.0 bekerja pada titik ujung kon-sole yang bebas dan mengakibatkan suatu mornon sebeear M -= 1,0. z dengran or-dinat 4 : z, seperti terlihat pada gambar 9. 3. 1. d. berikut:
"--]-:ru-
Gambar9.3. 1. a. s/d d.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4
Garis pengraruh pada gaya lintaqg Or,
alA
-t-
406
-4,at
--1-)
Garis pengaruh pada momen lentw M,.407
Perlu diperhatkan, bahwa tempat tumpu'an menentukan tanda (+.-) garis
pengaruh pada gaya lintang domikian rupa, sehingga gaya lintang menjadi positif
iit.t", tr.puan konsole berada di sebelah kiri dan menjadi negatif jikalu tumpuan
konaole berada di sebelah kanan.
9.3.2. Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole
Jikalau pada suatu balok tunggal dengan konsole gaya P : 1'0 bergprak
antara tumpuan.4 dan 8, konsole itu tidak mempengaruhi bentuk garis pengaruh
atau dengan kata-kata lain: garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole an-
tara tumpuan A dan B harus sama seperti garis pengaruh pada balok tunggal.
Jikalau gaya F: 1.0 bergerak pada konsole yang sebelah kiri, reaksi tumpuan R1
akan.tumbuh linearsampai gaya P = 1.0 bekeria pada ujung konsoleyang bebas
dengan nilai:
a.+lRA: 1,0--! t-
Jikalau gaya P = 1.0 bergerak pada konsole yang sebelah kanan, reaksi tumpuan
86 akan tumbuh linear juga dan kita dapat menentukan pengaruh atas tumpuan llsebagai:
a.RA : - 1,0;
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4 berbentuk selanjutnya seperti terlihat pada
gambar 9. 3. 2. b. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan I kita dapatkan secara
kiasan (lihat gambar 9. 3' 2. c.).
Gayalintang-padatitikpotongcmenjadi samapadaP= l.0sebelahkiri dari titik
poiong c, dengan reaksi tumpuan RB yang negatif' Pada P : 1 '0 sebelah kanan
dari titik porong c sama dengan reaksi tumpuan Ba' Kejadian ini menentukan garis
pengaruh pada gaya lintang O" seperti terlihat pada gambar 9 '3'2"d' berikut'
Moien lentur pada titik potong c menjadi negatif jikalau gaya p : 1 .0 bekerja pada
salah satu konsole. Hasil atau ordinat 4 dapat kita tentukan sebagai:
M:-Rsx'=-
M: - R4x: -
Penentuan garis Pengaruh9. 3. 2, e, berikut:
pada konsole sebelah kiri, dan
pada konsole sebelah kanan.
pada momen lentur dapat kita lihat pada gambar
Ir?,
Gambar 9. 3. 2. a. s/d g.
Garis pengaruh padareaksi tumpuan 4
Garis pengaruh pada
reaksi tumpuan I
Garis pengaruh padagaya lintang Oc
Garis pengaruh padamomen lentur M"
Garis pengaruh padagaya lintang Qr, dan Q.r.,
Garis pengaruh padamomen lenlur Mz,dan Mz
Atas dasar gambar 9. 3.2. b. s/d e. dapat kita tentukan:
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momenfentur pada suatu potongan c antara tumpuan A dan B kita dapatkan de-ngan garis pengaruh pada balok tunggal yang diperpanjang lurus sampaiujung konsole masing-masing.
il',el
408409
Garis pengaruh oleh gaya P = 1.0 terhadap potongan z, atau 2,, sem-barang pada bagian konsole dapat kita tentukan seperti pada konsoleLriasa pada bab 9. 3. 1. (Garis pengaruh pada konsole).
9.3. 3. Garis pengaruh pada balok rusuk GerberPada penentuan garis pengaruh pada balok rusuk Gerber kita perhatikan
balok rusuk Gerber menurut gambar 9. 3. 3. a s/d h. berikut. perhitungan balokrusuk Gerber dengan beban yang tetap dapat dilakukan menurut bab 3. 6. (Balokrusuk Gerber).lngat, bahwa bagian balok yang bergantung (tumpuan A s/d engsel 91 ) padaperhitungan menjadi suatu balok tunggal. Ketentuan ini dapat kita lakukan jugapada penentuan garis pengaruh. Jikalau suatu gaya bekerja sebelah kanan dariengsel 91 maka gaya itu tidak berpengaruh atas tumpuan A, gaya lintang O maupunmomen lentur M.Kesimpulan: garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber yang bergantunghanya menerima pengaruh oleh gaya-gaya pada bagian yang bergantung itu. Lihatjuga gambar 9. 3. 3. a., c. dan d.Pada penentuan garis pengaruh bagian balok rusuk Gerber yang menjadi baloktunggal dengan konsole pada kedua ujung (antara engsel g 1 dan 92) kita perhatikandahulu bab 9. 3. 2. (Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole). Jikalaumisalnya gaya P: 'l .0 melewati engsel gt pada jurusan ke tumpuan A, makapengaruhnya atas tumpuan 8 makin lama makin kecil. Jikalau gaya p: 'l .0 bekerjapada tumpuan A gaya P itr: tidak mengakibatkan reaksi lagi pada bagian balokrusuk Gerber antara engsel-engsel g1 dan 92 maka ordinat garis pengaruh n : O.
Atas dasar kejadian ini dapat kita tentukan garis pengaruh pada bagian balok rusukGerber antara engsel-engsel 91 dan 92pada reaksi tumpuan RB, gaya lintang O2atau momen lentur M2, seperti pada balok tunggal dengan konsole. Kemudian dariujung konsole yang menjadi engsel 91 atau 92 kita hubungkan titik itu dengan titiktumpuan A atau D, masing-masing karena ordinat n = 0. Lihat juga gambar 9. 3. 3.b., e.,t., g. dan h. berikut.Pada balok rusuk Gerber dengan beban yang tidak langsung. ketentuan-ketentuandapat kita lihat pada bab 9. 2. 4. (Beban yang tidak langsung).Akhirnya dapat kita tentukan:
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momenlentur terdiri dari garis-garis yang lurus.Garis pengaruh pada semua tumpuan mendapat ordinat n : 0 dengankekecualian misalnya tumpuan A pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4dsb.Garis p,engaruh pada tiap-tiap titik engsel mengubah jurusan (titik engsel : titikpatahan garis pengaruh).
1.
2.
Gambar 9. 3. 3. a'
s/d h.
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan.4
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan I
Garis pengaruhpada gaya lin-tang O1
Garis pengaruhpada momenlentur M1
Garis pengaruhpada gaya iin-
tang A2
Garis pengaruhpada momenlentur M2
Garis pengaruhpada gaya lin-
tang O1
Garie pengnruhpada momenlentur M1
9.3.4. Ringkasan
1. Garis pengaruh pada konsole membentuk pada reaksi tumpuan dan pada gaya
lintang suatu persegi empat dan pada momen lentur suatu segitiga dengan titik
puncak di atas ujung konsole yang bebas dan titik ordinat4 = 0 pada potongan
yang diPerhatikan'
410
3 2.
4.
Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole pada reaksi tumpuan, padagaya lintang dan pada momen lentur pada suatu potongan sembarang antaradua tumpuan balok tunggal ini kita dapatkan dengan memperpanjangkan lurusgaris pengaruh pada balok tunggal sampai ujung konsole masing-masing.Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole pada reaksi tumpuan, padagaya lintang dan pada momen lentur pada suatu potongan sembarang pada
bagian konsole, dapat kita tentukan seperti pada konsole biasa.Garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber yang bergantung, dapat kitatentukan seperti pada balok tunggal biasa.Garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber di antara dua engsel, dapat kitatentukan seperti pada balok tunggal dengan konsole dan kemudian meng-hubungkan titik ujung garis pengaruh pada engsel dengan titik tumpuan berikutdengan ordinat 4 = 0 dengan garis lurus.Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momenlentur terdiri.dari garis-garis yang lurus (pada semua konstruksi batang yangstatis tertentu) dan selalu mengubah jurusan pada suatu titik engsel. Garispengaruh kemudian mendapatkan pada semua tumpuan ordinat 4 = 0 kecualipada tumpuan yang ditentukan dengan garis pengaruh pada reaksi tumpuanitu.
9.3.5. Contoh-contoh
Contoh 1: Pada suatu rel sebagai balok rusuk Gerber berjalan dua derek menurutgambar 9. 3. 5. a. berikut (tekanan derek dalam kurung menjadi beratnya dereksendiri). Dicari:
1. Reaksi tumpuan R4, Rsdan R62. Momen lentur pada pertengalun bagbn,4-B3. Momen lentur pada pertengahan bogian engsel grC4. Momen tumpuan M65. Gaya lintang pada tumpuan I
Gambar9.3.5. a.
Penyelesaian:
1. Penentuan reaksi tumpuan Ra, Rsdan Rg;
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan masing-masing yang maksimal dan yangminimal dapat dilihat pada gambar 9. 3. 5. b. berikut.
411
Pada tumpuan,4 kita dapatkan nilai maksimal dan minimal seperti tergambar padagambar9. 3. 5. b. sebagai:
RA*", = 10,0(1,075 + O,U2l + 14,0$,741 + 0,4751 :36,2tRA-i,: 10,0 (- 0,100 - 0,333) + 14,0 (-0,300 - 0,211) = - 11,51
Pada tumpuan I kita dapatkan nilai maksimal dengan memasang dua derek inipada tempat dengan ordinat 4 : maksimal dan kemudian dapat ditentukan:
RB-u* : 10,0 (1,000 + 1.233) + 14,0 (1,333 + 0,9fl7l = 54,7 tNilai minimal kita dapati dengan memasang derek pada bagian garis pengaruh yangnegatif karena pada derek kiri satu roda masih berdiri pada bagian garis pengaruhyang positif (lihat gambar 9. 3. 5. b. ), maka kita menentukan, bahwa derek itu men-jadi kosong (tidak bekerja) dan yang diperhatikan hanya berat sendiri. Nilai minimalselanjutnya menjadi:
RB -in = 5,0 (-0.075 + 0,158) + 14,0 (0,033 - 0,3221 : - 3,635 t
Pada tumpuan C kita hanya dapat menentukan nilai maksimal. karena tidak adapengaruh yang negatif dan yang bisa menentukan nilai minimql. Selanjutnya nilaimaksimal menjadi:
Rc-"r= 10,0Q,ilz + 0,876) + 14,0 (0,975 + 1,2421 : 46,2tRc-in=o
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan 4-r,
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan.4n.';n
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan 8-",
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan 8r;n
Garis pengaruhpada reaksi tum-puan Cr*
Gambar9.3.5. b.
4't2 413
2. Penentuan momen lentur pada pertengahan bagian A_ B:Kita menentukan ordinat 4 garis pengaruh pada titik potong di pertengahan bagian,4 - I sebagai:
xx' 6,0'6,0' I 12,0
Kemudian dapat kita gambar garis pengaruh seperti terlihat pada gambar 9. 3. 5. c.berikut. Nilai-nilai Mmax A_B dan M*;n 4-s kita dapat kita tentukan sebagai:
Mmax A_B : 10.0(1,000 +2,4ol0) + 14,0(3,000+ 1,4O0) : 95,6tm
Mmin A-B : 10,0(-0,600-2,000) + 14,0(-1,800-"t,2671: -69,0tm2W 2M t20 3m
Gambar9.5.3. c. Garis pengaruh pada momen lentur Mm6A-B
3. Penentuan momen lentur pada pertengahan bagian g-C..
Garis pengaruh dapat kita tentukan seperti pada titik 2. dan seperti terlihat padagambar 9. 5. 3. d. berikut. Pada penentu an M^lng-c kita mendorong satu derek kebagian kiri yang tidak mempengaruhi bagian g-i. Kemudian dapat kita tentukannilai M^rr*g dan M^inn-6 seperti berikut:
Mmax s*c = 10,0(1,0O0 +2,4001.+ 14,0(3,000+ 1,40/ll. = 95.6tmMmin s-c = 14,0(+0,150-1,450) = -18,2tm
Garis pengaruh pada momen lenlur M^.r4_s
Garis pengaruh pada momen lenturMmarg-c
Gambar 9. 3. 5. d.
Garis pengaruh padamomen lentur M.;nn_g
4. Penentuan momen tumpuan 8:
Kita menggambar garis pengaruh pada momen tumpuan I pada bagian konsoles€belah kanan dari tumpuan L Ujung konsole (engsel g) kita hubungkan dengangaris lurus dengan tumpuan C fi - O) dan sampai ujung konsole yang di sebelahkanan dari tumpuan C, seperti terlihat pada gambar 9. 3. 5. e. berikut. Nilai-nilaiM^r* gdan M,6n Bdapal kita tentukan sebagai:
MtmxB = 10,0(-1,200-4,m0) + 14,0(-3,600-2,533) = -137,8tmM.n a = 14,0(-0,100 + 0,967) = 12,15tm
5. Penontuan gaya lintang pada tumpuan 8..
Karena pada titik potong yang kita perhatikan (titik tumpuan 8) ada bekerja suatugaya (reaksi tumpuan 8); maka kita harus menggambar garis pengaruh pada gayalintang sebelah kiri (4 dan sebelah kanan (r) dari tumpuan-B itu seperti terlihat padagambar 9. 3. 5. f. dan 9., dan kemudian kita dapatkan nilai O.u, dan Or;n jugadengan nilai sebelah kiri (4 dan sebelah kanan (r) sebagai Amax Bt Amax B, Amin Btd6n O]n;n,sr seperti berikut:
Amin Bt = 10,6'0,4@-0,63A + 14,0(-0,733-l,m) = -34,6tAmax Br = 5,0(+0,075-0,158) + 14,0(-0,088+0,081) = +0,6t
Amax B, = 10,0(1,000+1,000) + 14,0(1,000+0,733) = +4,25tAmin Br = 14,01+0,025-0,242) = -3,04t
Garis pengaruh pada momentumpuan Mmax B
Garie pengaruh pada filornen tumpuan MminB
Gember 9. 3. 5. e.
414 4't5
Garis pengaruh pada gayalintang A^a* B,
Garis pengaruh pada
lintang Am6 Br
Gambar 9. 3. 5. f.
Gambar9.3.5. g.
9.4. Garis pengaruh pada busur tiga ruas
9. 4. 1. Perhitungan dengan beban yang tetap' Sebagai dasar pada penentuan konstruksi busur tiga ruas dengan beban
yang tetap kita perhatikan penentuan-penentuan bab 3. 7. 3. 2. (Konstruksi busurtiga ruas dengan gaya-gaya pada dua bagian busur), terutama penyelesaian secaraanalitis (lihat gambar 3.7 . 3. f . pada jilid satu buku ini).Atas dasar ketentuan-ketentuan itu dapat juga kita tentukan garis pengaruh pada
beban yang tetap.
Gambar9.4. 1. a.
Reaksi tumpuan R4 dan Rs dan kita bagi atas komponen 'horisontal' H'a dan H'sdan komponen vertikal, yaitu 8a, dan 86, menurut rumus berikut:
RAn : Ra, =
R4, dan R6, menentukan juga reaksi tumpuan pada sistim dasar, yaitu suatu baloktunggal dengan lebar bentang I seperti terlihat pada gambar 9. 4. 1. a. di atas.Kemudian komponen horisontal H menjadi:
H = Hn = He: H'4coso = H'Bcosa = ,,"o", ='fo
Dengan M* sebagaimomen lentur pada sistim dasar pada titik engsel g dan de-ngan fsebagai tingginya engsel dari garis penghubung tumpuan 4 dan tumpuan 8.Momen lentur pada potongan sembarang x dapat kita tentukan sebagai:
Mr: Mw- HY
Dengan M, sebagai momen pada titik x sembarang pada sistim dasar flihat jugagambar 9. 4. 1. a.).Pada penentuan gaya normal dan gaya lintang kita menggunakan rumus-rumusdan pengetahuan dari bab 3. 7. 3.2. dan menentukan pada potongan x sembarang:
I ze'",I re,u, orn
- N, = IVTsin <p + ZHlcostp
Ax - 2Vtcos <p - 2H1sin <p
(9.5.)
(9.6.)
416 417
Dangan v7 sebagni resultante semua gaya yang vertikal pada bagian konstruksibusur tiga ruas yang sebelah kiri dari potongan $crnbarang x. y menjadi positifiikalau berjurusan ke atas.Hl rneniadi resultante semua gaya yang horisontal pada bagian konstruksi busurtiga rllas yang sebelah kiri dari potongan sembarang x. l/ menjadi positif iikalau ber-jurusan ke kanan.Rurnus (9. 5.) dan rumus (9. 6.) hanya dapat digunakan pada konstruksri busur tigaruas dengan beban yang tetap.
9.4.2. Garie pengaruh pada reaksi tumpuanPada beban tetap reaksi tumpuan R4n dan ff6, menjadi sama pada
konstruksi busur tiga ruas dan pada sistim dasar (balok tunggal dengan lebar ben-tang = 0. Oleh karena itu garis pengaruh pada reaksi tumpuan )rang vertikal harusmenjadi sama $eperti pada garis pengaruh pada reaksi turnpuan pada balok tunggal(lihat garnbar 9. 4. 2. a. dan b. ).Komponen horisontal H pada beban yang tetap dapat kita tentukan tlengan rnorrenpada erqsel pada si$tim dasar, yang dibagi dengan tingginya titik puncak (cianengsel) f pada konstruksi busur tiga ruas. Garis pengaruh komponerr horisontal I/dapat kita gambar demikion rupa. sehingga kita gambar garis pengaruh padamomen lentur pada sistim dasar (lihat bab g. 2. 3.) dengafl ordinatnya rnasing- mas-ing dibagi dengan tingginya titik puncak f.OrO;nat garis &ngarr;4 pada engsel g kern"rudian menjadi: ,n : Jr.#-
(lihat.iuga ganrbar 9. 4. 2. c.).
Garnbar 9. 4. 2. a. s/tl c.
o' L-- ------]:=:"olsL--"''-Garis pengelruh padareaksi tumpuan rt?7,
Garis pengaruh padareaksi tumpuan frp,
Garis pengaruh olehkomponen horisontal H
Garis pengaruh pada
reaksi tumpuan 4
Garis pengaruh pada
reaksi tumpuan 8
Gambar 9. 4.2. d. dan e.
#toro
Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan .4 dan I dapat kemudian kita
lakukan dengan superposisi garis pengaruh pada reaksi tumpu?n Rqv atau Rs,
dengan garis pengaruh oleh komponen horisontal H seperti terlihat pada gambar 9.
4.2. d. dan e. di atas.Jikalau tumpuan A dan I tidak berada dalam satu dataran maka kita harus
memperhatikan pengaruh sudut a. Atau dengan kata-kata lain garis pengaruh oleh
komponen horisontal H harus dikalikan dengan tan a sebelum di-superposisi-kan
menurut gambar 9. 4.2. d. dan e. di atas.
9.4.3, Garis pengaruh pada momen lentur
Pada penentuan garis pengaruh pada momen lentur dengan beban tetap
kita perhatikan rumus berikut:
Mr: Mor- HY
seperti pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan, garis pengaruh pada momen
lentur terdiri dari suatu kombinasi dua garis pengaruh .yang sudah kita ketahui.
Garis pengaruh pertama ialah garis pengaruh pada momen lentur pada suatu titik
sembarang x pada sistim dasar (lihat juga bab 9. 2. 3. ) dengan ordinatnya:
xx'n: lgaris pengaruh kedua ialah garis pengaruh oleh komponen horisontal H yang
negatif dan yang dikalikan dengan ukuran y. Y ialah tingginya busur pada titik sem-
barang x ilihat gambar 9. 4. 3. a. berikut). ordinat 4s di bawah titik engsel I kemu-
dian menjadi:
lrl,n= tf Y
Jikalau kita men-superposisi-kan dua garis pengaruh ini kita dapatkan garis
pengaruh pada momen lentur seperti terlihat pada gambar 9. 4. 3. d. berikut
(bidang yang diarsir). Boleh juga menggambar garis pengaruh pada momen lentur
ini seperti terlihat pada gambar 9. 4. 3. e. berikut.
I
418
c)
Gambar9.4.3. a. s/d e.
Garis pengaruh pada momenlentur Mo,
Garis pengaruh oleh kompo-nen horisontal H yang dikali-kan dengan ukuran y
Garis pengaruh pada momenlentur M, yang di-superposisi-kan
Garis pengaruh pada momenlentur M, yang di-superposisi-kan
9.4.4. Garis pengaruh pada gaya normal'dan gaya Iantang
Kita memperhatikan rumus (9.5.) gaya normal pada titik x pada
konstruksi busur tiga ruas dengan beban tetap yang berbunyi:
- N, = IVTsin <p * ZHlcosQ
Karena sebenarnya Hr : H dapat kita tulis:
- Nr= (Ra*2P7)sinP + Hcosp
Menurut bab 9. 4. 2. dapatkita tentukan. bahwa
RA : Ra, + //tan a
dan kemudian:
- N, : (Ra, + Htana - ZP/sinq + H cosP
419
Pada rumus ini R4, - EPt meniadi gaya lintang Oq, pada suatu balok tunggaldengan lebar bentang = I oprda titik sembarang x:
- Nr= Osrsinrp + Htanasinrp + Hcostp
H- N, = Osrsin 9 * ;;;
(sino sin rr * cosa cosp)
* N. = Qorsing * , cos(P * o)
COs a(9.7.)
Penentuan gaya lintang atas dasar rumus (9. 6.) padakonstruksi hrsur tiga ruas dengan bebon tetap khasehingga:
Or=IYTcoeq-ZH1sin9
Ox = Oorcos q + Htanoc,osg - Hsinq
ox = oorcos. - *" (sin rp cos a - cos rp sin o)
a, = aorcosp -, sinlq - o),
cos a
Jikalau tumpuan A dan B berada dalam satu dataran, maka a = 0.Rurnus (9. 7.) dan rumus (9. 8.) dapat kita tulis seperti berikut:
- N, = Osrsinrp + Hcos<pQ, = Aorcosp - Hsinq
Gambar9.4.4. a. dan b.
\--------L- 1,
titik x ssmbararp padalakukan demikian ruia.
(9.8.)
Garis pengaruh pada gaya lin-tang Qo, yang dikalikandengan cos rp
ili
420421
-'l
Garis pengaruh oleh kompo-nen horisontal l/ yang dikali-kan dengan faktor sin (rp-o)
COs o
Garis pengaruh pada gaya lin-tang O, yang disuperposisi-kan
Garis pengaruh pada gaya lin-tang Oor yang dikalikan de-ngon sin <p
Garb pengaruh oleh kompo-nen horisontal H yang dikali-kan dengan f6119; coe(r+r'o)
cos o
Garis pengaruh @a gaya nor-mal fl, yang di-zuperposisi-kan
Gambar9. 4. 4. c. s/d g.
t
e)\E
f)
9.4.5. Ringkasan
Penentuan garis pengaruh pada konstruksi busur tiga ruas berdasarkanrumus-rumus penentuan reaksi tumpuan, !'nomen lentur, gaya norrnal dan gaya lin-tang pada konstruksi busur tiga ruas dengan beban tetap.Kita dapot menggambar garis pongaruh pada konstruksi busur tiga ruas selaludengan men-superposisi-kan dua komponen dengan garis pengaruhnya yangdikalikan dengan satu faktor.
9.4.6. Contoh
Suatu konstruksi busur tiga ruas yang berbentuk parabol menurut gambar9. 4. 6. a. berikut. Dengan bantuan garis pengaruh masing-masing kita cari: reaksitumpuan, momen lentur, gaya lintang dan gaya normal pada titik x oleh berat sen-diri gr = 1.0 1/mdanbobanq = 3.0t/m.
Gambar 9. 4. 6. a.
Penyelesaian:Penentuan nilai y dan rp menurut ilmu ukur:
t=12,@m f=4,00m x=3,00m x,=9,00m
11 = lr= 6,00m
menurut persamaan parabol dapat kita tentukan:
y = #,il - x) = \#3,0.s,0 = 3,oom
y' = # u -2x) = )# fi2n -2.3,0) = 0,667
tan(p = 0,667 p = 33,7o sin(p = 9,5,55 cosp = 0,832
Penentuan garis pengaruh masing-masing:
Gambar 9. 4. 6. b. dan c.
Garis pengaruh pada reaksitumpuan i9a dengan 4, : t,@
Garis pengaruh oleh komponenhorisontal H dengan
lrl, 6,0.6,0nc: -V =ffi:0,750Garis pengaruh pada momen lenturM, = Mo, - H.y pada x = 3.0 m
xx' 3,0.9,04ox: ,:6=2,250t.l.
ns = iv: 0,750.3,00 = 2,2fi
422 423
=
en'^s'
tGaris pengaruh pada gaYa lintang
A, = QorcosP - Hsinrp Padax : 3'00 m
oleh Osrcosrp * 4, = l,Ocosrp = 0,882
oleh Hsin e - rlg= 0,750'0,555 = 0,416
s\R E.'
5B.
Gambar9.4.6. d.
Gambar 9. 4. 6. e.
Garis pengaruh pada gaya normal
- N, = Osrsinrp + HcosrpPadax:3.0m
oleh Oo, sinp * nr: l,Osine = 0.555oleh Hcos q * Hg: 0,750.0,t1i]2 = 0,@4
Hasil oleh penentuan garis pengaruh:Pada reaksi tumpuan masing-masing:
1
RA-"r= T 1,0.12,0(1,0+3,0) =24,0t
H-a, = 0,75.12,0 (1,0 + 3,0) = 18,0t
Pada momen lentur:Titik dengan momen nol kita dapatkan pada titik 4.&) m dari tumpuan ,4 menurutgambar 9. 4. 6. c. di atas. Luasnya bidang momen yang negatif dan yang positif
selanjutnya meniadi:
1F1: ,4,ffi.125: +2,70
1
2
1r_ = z 7,2O.0,7W= _2,70
F =F++F =0Karena beban oleh berat sendiri selalu ada pada seluruh konstruksi busur tiga ruasyang pada contoh ini meniadi simetris dengan garis / -- 8 yang horisontal dapat kitatentukan: Ms = A.
iJntuk menentukan nilai batasan pada momen lentur oleh beban q kita membetranihanya bagian dengan bidang pongaruh yang positif atau yang negatff, yaitu:
Mpma' = + 2,70.3,00 = 8,10tmMpn* = - 2,70.3.00 = - 8,10tm
Pada gaya lintang:
Os=0
0,416.3,0.3,0 * 't,87 t
Ool-iri= *- 1,87 1
Pada gaya normal:
Ns = --1,0 r+ 12,0.0,6a4 -*a,o.o,rss * ]s,o.o+rorNs= - 1,0.5408 = -5,408t
Mrma = -- 3,0.5,rm = - 16,224t Nrr*o = O
N min= -21,53t
9. 5. Garis pengaruh pada konstruksi rangkabatang
9.5. f. Pengetahuan dasar
Tidak mungkin dalam bab ini kita memperhatikan sernua kemungkinanmengenai garis-garis pengaruh pada konstruksi rangka batang yang statis tertentu.(ita akan membatasi diri pada beberapa macam konstruksi rangka batang yangpsnting. Ketentuan-ketentuan pada konstruksi rangka batang itu iuga dapatdigunakan pada konstruksi rangka batang yang lain.Reaksi tumpuan pacia suatu konstruksi rangka batng biasa menjadi sama sepertipada suatu balok tunggal dengan lebar bentang yang sama. Oleh karena itu jugagaris pengaruh menjadi sanra dan kita mengabaikan konstruksi garis pengaruh padareaksi tumpuan pada konstruksi rangka batang selan.iutnya.Pada pener"ltuan garis pengaruh pada gaya batang kita menggunakan gmrsamaanpada beban yang tetap yang telah kita pelajari pada bab 4. 3. 3. (Ferhitungan gaya
424
Aon,,, = *
[rarang merurrut A. Ritter). Persamaan-petsarnaan itu memperlihatkan. bottwagayi, hdt,fitng dapat ditentukan dengan molnen lentur dan gaya lintang pada suatu
srstirn d{}s,ar (balok tunggal} dengan suatu faktor menurut bentuk korxstruksi rangkabatang rrnaring-masing. Karena itu garis pengaruh pada gaya batang {unpa faltor-faktor itu) biasanya meniadi sanxr saperti garis pengaruh pada ggya lintang dan
mornen lentur pada balok tunggal. Kadang-kadang garis perqaruh hanrs di-
sup6rp(,sisi-kan seperti pada konstruksi busur tiga rua$.
Pada dasar-dasar konstruksi rangka batang telah kita tentukan, bahwa gaya-gsy8
hanya dapar bekerja mda titik simpul masing-masing. Jikalau kernudian timbulgaya-gaya yang bekerja antara dua titik simpul, kita harus memperhatikanpengotahuan tentang beban yang tidak langsung {lihat bab 9. 2. 4. ).
Pada penentuan garis pengaruh pada konstrukai rangka baung harue kitapertrotikan batang tepi yang menerima beban. Pada umumnya batang topi itu ditan-dai dengan garis putus.
9.5.2. Konstruksi rangka batang dengon batang tepi ceisiar
Fersarnaan gaya batang pada konstruksi rangka batang dengan batangtepi seiajar menurut pengotahusn dacar A. Bitter (lihat bab 4. 3. 3.) dapat kita to{t-
tukan:Pada batang tepi atas (O) dan bawah (U):
(9.9.1
(9.10.)
ParJa batang diagonal (O):
aD - +'----:*--
Sln (p
Pada batang vertikal ( V):
V=l:PalauV=OatauV=tA (9. 1r. )
Garis pengaruh pada gaya batang tepi dapat i(ita gambat dengan penentuan gerispengaruh pada momen lentur lxda sistim dasar (balok tunggal) dengan ordinatnya
n yang dibagi atas ketinggian h konstruksi rangka batang itri (lihat iuga gambar
9. 5. 2. a. s/dc").
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal dapat kita gambat dengan penentuan
garis pengaruh pada gaya lintang pada sistim dasar dengan ordinatnya 4 yang
425
dibagi atas sin g (dengan 9 sebagai miringnya diagonal menurut gambar 9. 5.2. a.,d.dane.) 4 = l.0menjadi 4 = 1/sin<p.Garis pengaruh pada gaya batang vertikal tergantung pada cara pemasangandiagonal sebelah kiri dan sebelah kanan. Bisa garis pengaruh pada gaya batang ver-tikal seluas satu bagian sebelah kiri dan sebelah kanan dari titik simpul yangdiperhatikan, atau menjadi nol (lihat juga gambar 9. 5. 2. a. dan f.), atau garispengaruh pada gaya batang vertikal menjadi sama dengan garis pengaruh padagaya lintang (lihat juga gambar9. 5.2.5.,l. dan m. berikut).Sebagai keterangan kita perhatikan pertama suatu konstruksi rangka batangdengan batang tepi sejajar dengan diagonal yang turun naik seperti terlihat padagambar 9. 5. 2. a. berikut:
Gambar9.5.2.a.sldl.
Garis pengaruh padagaya batang tepi ba-wah U1
Garis pengaruh pada
gaya batang tepi atasA1
Garis pengaruh padagaya batang diagonalDp
Garis pengaruh padagaya batang diagonalDk*t
Garis pengaruh padagaya batang vertikalV*
Garis pengaruh pada gaya batang tepi dapat kita gambar rnenurut ketentuan tadi(lihat gambar 9. 5. 2. b. dan c.). Karena titik k yang kita perhatikan menjadi juga
suatu titik simpul, garis pengaruh menjadi suatu garis lurus sebelah kiri dan sebelahkanan dari titik k itu. Tanda (+,-) pada garis pengaruh pada gaya batang tepimenentukan juga tanda gaya patang masing-masing.
426
Pada garis pengaruh pada gaya batang diagonal kita pertama menentukan garispengaruh pada gaya lintang dengan ordinat n : 1/sin rp.
Dua titik ujung diagonal yang diperhatikan kita hubungkan dengan dua garispengaruh itu (lihat gambar 9. 5. 2. d. dan e. di atas), Pada penentuan garispengaruh pada konstruksi rangka batang dengan beban yang tidak langsung kitaperhatikan rumus (9. 3.)dan rumus (9, 4.). Tanda (+,-) pada garis pengaruh padagaya batang diagonal menentukan juga tanda gaya batang masing-masing.Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal kita pasang ordinat 4 =1.0 di bawah batang vertikal itu (lihat juga gambar 9. 5. 2. f. di atas). Jikalau gava p= 1.0 bekerja pada suatu titik simpul pada samping batang vertikal V1 yang kitaperhatikan, maka tidak ada gaya batang dan karena itu ordinat 4 = Q.
Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi bawah yang dibebani sepertimisalnya dapat dilihat pada gambar 9. 5. 2. a. di atas batang vertikal V6 dan Vp*1menjadi batang tanpa gsya (batang noll dan karena itu juga ordinat goris pengaruh4:0'Sebagei kamungkinan keduc klta perhatikan suatu kon8trukei rangka batangdengan diagonalnya naik (atau turun) semuanya, menurut gambar g. 5. 2. g.berikut:
/'fL,-.;E-,7 la#
-
Gambar9. 5.2. g. s/d l.
Garis pengaruh padagaya batang tepibawah V1
Garis pengaruh padagaya batang tepi atasO1
Garis pengaruh padagaya batang diagonalDp
Garis pengaruh padagaya batang vertikalVp dengan batangtepi bawah yang me-nerima beban ataupada V*-'r dengan ba-tang tepi atas yangmenerima beban
, //t
427
INo/
Gambor 9. 5. 2. m. e/d o
E.l
Garis pengaruh padagaya batang vertikalVp dengan batangtepi atas yang mene-rima beban atau pada
V1*1 dengan batangtepi bawah yang me-nerima beban
Garis pengaruh padagaya batang V**2dengan batang tepibawah yang mene-rima beban
Garis pengaruh padagaya batang vertikalVo dengan batangtepi atas Yang mene-rima beban
Penentuan garis pengaruh pada batang tepi dan pada gaya batang diagonal,rrerrurut gambar 9. 5. 2. h. s/d k. di atas tidak mengalarni kesulitan dan dapatdilakukan seperti pada contoh konstruksi rangka batang dengan diagonal yang
turun naik pada gambar 9. 5. 2. a. dsb.Penentuan garis pengaruh pada gaya baung vertikal harus seimbang dengan gaya
lintang Oseperti ditentukan pada rumus (9. 11.). Batang vertikal Vsekarang berdiripada suatu titik simpul yang fuga menerirna beban. Fada titik itu gaya lintang O iugamengubah nilainya. Timbul sekarang pertanyaan apakah pilai gaya lintang sebelah
kiri atau sebelah kanan dari tltik itu berpengaruh. Jawaban pertanyaan ini pada
konstruksi rangka batang dengan semua diagonal turun atau naik menjadi penting
setali dan hanya mungkin jikalau batang tepi yang menerima beban sudah diten-tukan.Pada penentuan kita perhatikan potongan l-l menurut A. Ritter seperti digambarpada gpmbor 9. 5. 2. g. di atas. Potongan l-l itu kena batang vertikal V1. Gaya lin-tsng yanq borpengaruh ada pada bagian yang potongannya l-l dikenai batang tepiyang mone.fona beban.Jikalau batang tefi yang menerima beban menjadi batang tepi bawah. maka garispongaruh pada gaya batang vertikal Vs dapat dilihat pada gambar 9. 5,2. 1. di atas.Garis penganrh ini menjadi sama dengan garis pengaruh pada gaya batang vertikalVpl pada batang tepi atas yang menerima beban.Pada keiadian yang berlawanan kita perhatikan gambar 9. 5. 2. m. Pada batang ver-tikal V1*2 yeng di tengah-tengah konstruksi rangka batang ini kita perhatikan
ketentuan-ketentuan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik
turun dan mendapat hsil seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2. n. Pendapatan yang
428
sama timbul pada u,iung masing-masinS pada konstruksi rangka batang ini yangdapat kita lihat pada gambar 9. 5. 2. a. di atas.Sebagai kemungkinan ketiga perhatikan suatu konstruksi rangka batang denganbatarrg tepi sejajar dan dengan diagonal saja seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2. p.
berikut:
tr-l-.-
Gambar 9. 5. 2. p. s/d s.
Garie perpnruh padagaya batang tepi ba-wah Up dengan pe-
ngaruh beban yang
tidak langsung
Garis pengaruh padagaya batang tepi atasQ*
D----, i;.,, *2[-]-----.__,!
I Garis pengaruh paoaV- fr I gaYa batang diagonal___J Dk
Pada penentuan garis pengaruh pada batang tepi bawah pada konstruksi rangkabatang ini harus diperhatikan pengaruh oleh beban yang tidak langsung, sepertidibicarakan pada bab 9.2."4. Atas dasar ketentuan itu garis pengaruh antara titiksirnpul k- 1 dan k + t harus menjadi garis lurus, seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2.q. di atas.Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang diagonal O1 kita jugamenghubungkan dengan garis lurus suatu bagian yang ada antara dua titik simpulpada batang tepi bawah. Karena itu garis pengaruh pada gaya batang diagonalDp* 1 menjadi sama dengan tanda ( +, - ) berlawanan.
9.5.3. Konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidakseiajar
Penentuan garis-garis pengaruh pada konstruksi rangka batang denganbatang tepi tidak sejajar berdasarkan atas persamaan-persamaan penentuan gaya
batang oleh beban yang vertikal dan yang tetap (mati).
Kemudian kita perhatikan suatu bagian konstruksi rangka batang dengan batangtepi tidak sejajar seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. a. berikut. tlagian konstruksirangka batang kita potong menurut potongan yang ditentukan dalam gambar 9. 5.
3. a. dan perhatikan bagian sebelah kiri potongan itu.
429
-r;-/ t.,
.MoMoM,ro ho cos[t ru
Mu
hu cosy
Gambar9.5.3. a
Kita tentukan gaya batang tepi dengan syarat keseimbangan 2M : 0 dan sebagai
titik kutub kita pilih titik potong dua gaya batang yang lain seperti telah ditentukanpada bab 4. 3. 3. Jumlah momen semua gaya luar selanjutnya kita tentukan sebagaiM dengan index , pada batang tepi atas dan dengan index , pada batang tepibawah.Kita dapat menentukan:
Mo-Uro:Q Mr+ Orr=g
rodan rrdapat kita tukar dengan:
ro = hocosA r,, = hucosy
kemudian persamaan pada gaya batang tepi dapat ditulis demikian rupa, sehingga:
(9.12. )
Jikalau kita sekarang membandingkan rumus (9. 12.) ini dengan rumus (9.9) kitamelihat, bahwa sebetulnya kita hanya mengganti ketinggian konstruksi rangkabatang h dengan jarak yang siku-siku r antara titik simpul (kutub) dan batang tepiberhadapan. Sebetulnya rumus (9, 9.) menjadi suatu bentuk khusus pada rumus (9.
12.)dengan A = 0,T - Odanr : h.
Atas dasar pengetahuan ini dapat kita tentukan, bahwa penentuan gaya batangtepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi yang sejajar dan dengan tepi yangtidak sejajar menjadi sama, hanya dengan memperhatikan jarak r yang menggan-tikan ketinggian konstruksi rangka batang h.Gaya batang diagonal dapat kita tentukan dengan syarat keseimbangan ZH : 0
dengan hasil seperti berikut:
Dcos<p+Ucosfi+Ocosy=Q
430 431
menurut rumus (9. 12.) dapat kita tentukan:
U cos0 --
dan kemudian kita dapatkan:
Dcosy +
- Rebr + Dr6r - Q
ocosy = -+ff o^"
Mo M,ho hu
o: i* (eo, - *l (9.13.)
Atas dasar rumus (9. 13.) kita lihat, bahwa garis pengaruh pada gaya batangdiagonal menjadi suatu superposisi atas dua garis pengaruh yang sudah diketahuiseperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. e. berikut.Karena penentuan dan gambaran garis pengaruh ini menjadi agak rumit, makadapat kita hitung gaya batang diagonal dengan cara lain juga.Kita memperhatikan gambar 9. 5. 3. b. berikut dengan potongan yang telah diten-tukan. Dengan titik potong i bagi dua batang tepi konstruksi rangka batang inisebagai titik kutub kita menentukan syarat keseimbangan ZM, : g.
Jikalau sekarang suatu gaya P: 1.0 membebani bagian konstruksi rangka batangyang sebelah kanan dari potongan kita dapat menentukan syarat keseimbanganpada bagian kiri (tanpa beban) konstruksi rangka batang ini sebagai:
-Raar:Pr ra*:O
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dppada bagian kanan konstruksi rangka
batang ini sebenarnya menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan RA yang
negatif dan yang dikalikan dengan a p/ r4p.
Jikalau gaya P: 1.0 membebani bagian konstruksi rangka batang yang sebelah
kiri potongan. maka kita dapat menentukan persamaan pada bagian kanan (tanpa
beban) dari konstruksi rangka batang ini sebagai:
D*: - RA+,dk
Dx: + RB -l!L
yang menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan RB Yang dikalikan denganbp/r6p, seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. f. berikut. Pada bagian beban yang
tidak langsung kita hubungkan garis pengaruh dengan suatu garis lurus.Konstruksi garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dp dapat diperiksa karenadua garis miring dari garis pengaruh harus mempunyai titik potong pada titik kutub idengan bukti seperti berikut:
dp bp: ak:
-:
Dkfa* fa*
Sedang pers{rmaan penentuan gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batangdengan batang tepi seiaiar berbeda menurut benruk diagonalnya maka penentuangaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengnn batang tepi tidak seja-jar menjadi lebih rumit lagi. Biasanya gaya batang vertikal hanya dapat ditentukandengan suatu potongan lingkaran, keliling tilik simpul yang diperhatikan, sepertiterlihat pada gambar 9. 5. 3. g. berikut. Persamaan percntuan gaya batang vertikalterdiri dari beberapa bagian yang berarti, bahwa garis pengaruhnya kita dapatkandengan superposisi.
Garis pengraruh padagplm batang tepi ba-wah U
Garis pengaruh padagaya batang tepi ataso
dua kemungkinanmenggambar garispengaruh pada gayabatang diagonal D
Gambar9. 5. 3. b. s/d f.
432
e)
l.hr'w1q
Dr
,a
Pada penentuan gaya batang yang vertikal, sebagai keterangan kita perhatikan per-tama suatu konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun naik rnenurutGambar 9. 5. 3. S. berikut:
i---#-\:-
v;t/'Gambar 9. 5. 3. g
Menurut persamaan keseimbangan IV = 0 dapat kita tentukan pada titik simpul kdengan suatu potongan lingkaran:
Vx - P* - U1 sin A* + U**rsin p1*, : 0
V*- Px* UlcosfltanDk + Upllcosfipartanpl*, : 0
Menurut rumus (9. 12.) dapat kita tentukan:
lJpcosBl = tuf lJp,,1cos{}pa, = +
(9. 14.)
Jikalau kita memperlakukan penyelesaian ini pada titik simpul t- / kita dapatkan:
- Vx., - P*-, - A*.rsin y1-, + Olsin 7* = g
Vkl + Pk-l f 01-1 CoS),1-1 - tan y1-1 - O1 cos yk tanyk = 0
o1-1 cosy/<.r = -- +*- Op cos yk : -!&'Lh*-, h*-,
vx = P* * $r"nB1- tang1,n1l
V*-, : - P*-, + # (tan 7u-, -- tan y1 ) (9. 15. )
Jikalau tidak ada gaya yang bekerja pada titik simpul yang kita perhatikan P = 0rumus (9. 14.)dan (9. 15.)menjadi rumus (9. 11.)jikalau batang tepi menjadi seja-jar, karena Dr = O, |x-r : 0,/t-r : 0 dan y1 = 0. Ketentuan ini mernbuktikan,
433
r
Menurut rumus (9. 12. ) dapat kita tentukan:
Ol,cosyp= - + t)p,1cosfi1,.r=+
okr,- ffru"yr *
&t rtanB1*t
+ vk: o
Jikalau batang tepi atas menerima beban, maka beban ,,0"* ,"rp"ngaruhi bagiankiri konstruksi rangka batang yang terpotong. Kemudian gaya lintang bagian kananitu o1 menggantikan o1* 1 . Persamaan gaya batang vertikal v1 kemudian dapat kitatentukan seperti berikut:
Batang tepi bawahyang menerima beban: V1 =
Batang tepi atas
- ak *, . + (tan y1 - tan B1., 1)
yang menerima beban: V* : - At +Mkhk
(tany1 - tanBl*1)
Jikalau kita memperhatikan selaniutnya suatu konstruksi rangka batang dengandiagonal berarah sesama seperti terlihat pada gambar g. S. 3. i. berikut dan denganbatang tepi bawah yang menerima beban, dapat kita tentukan:
434
bahwa garis pengaruh pada gaya batang vertikal betul-betul menjadi suatu super-posisi dari dua garis pengaruh yang sudah diketahui.
Jikalau kita perhatikan kemudian suatu konstruksi rangka batang dengan diagonalberarah sama seperti terlihat pada gambar g. s. 3. h. berikut dan dengan batangtepi bawah yang menerima beban, dapat kita tentukan:
kRA- Z Pp + opsinyp * Uk*rsinpl*, + Vk:O
1
A**, * Okcosy*tan yk * lJ*+tcospl*ltanpp*, + Vk: O
Gambar9.5.3. h.
(9. 16. )
R.q-lPx t A*nrsinyl*, + U1 sin Dr- V*
or - &o t6n ytr*1 * ff rrnr1x - vt : o
Batang tepi atasyang menerima beb,an: V1 =
Batang tepi bawahyang menerima beban: V1 =
* ak*,. + ftan Br -tan y111)
+ ok + ff Ur. fip * tany1,* 1l
=0
Gambar 9. 5. 3^ i.
Jikalau batang tepi atas menerima beban, maka kita harus memperhatikan gaya lin-tang 01*1 pada bagian kanan konstruksi rafigka batang yang terpotong. persa-
maan gaya batang vertikal V1 kemudian dapat kita tentukan seperti berikut:
Kemungkinan-kemungkinan superposisi garis pengaruh menurut rumus (9. .l4. ) s/d
rumus (9. 17.) dapat kita perhatikan pada gambar g. 5.3. k. berikut. Karenapenyelesaian pada gambar itu dapat dilakukan pada konstruksi rangka batangdengan batang tepi sejajar maupun tidak sejajar kita memilih sebagai sistim dasarsuatu balok tunggal seperti terlihat pada bagian atas gambar 9. 5. 3. k. berikut.
(9.17.)
Sistim dasar
Garis pengaruh padagaya batang vertikalV1 menurut rumus-rumus:
(9.14.)
(9. 15.1
-fftorD, iantt,.,1
435
r
---.*.--J
l\'tmy,.,1 i
(9. 16.1
dengan batang tepibawah yang meneri-ma beban
(9. 16.)dengan batang tepiatas yang menerimabeban
{9. 17.}dengan batang tepiatas yang menerimabeban
(9.17.)dengan batang tepibawah yang meneri-ma beban
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal pada konstruksi rangkabatang dengan batang tepi tidak sejajar dan dengan semua diagonal yang turunatau naik, dapat kita lakukan menurut pengetahuan A. Ritter seperti pada penen-tuan garis pengaruh pada gaya batang diagonal.Jikalau gaya P: 1.0 bekerja pada bagian kanan dari konstruksi rangka batangyang terpotong penentuan dapat kita lakukan pada bagian kiri yang tidak dibebani:
L**----Gambar9. 5.3. k.
- R4ap- V1 rv*:0
-RBbk+Vk rv*=0
V*:-R^+
Vt-- + Ro brfvk
Jikalau gaya P : 1.0 bekerja pada bagian kiri dari konstruksi rangka batang yangterpotong penentuan dapat kita lakukan pada bagian kanan yang tidak dibebani:
(9. 18. )
(9. 19.)
Itan 7, - tan Br-r)
{tdn lr\ - toh h.t) I
Sistim dasar
436
At,*
0,!EI
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal V1
dengan batang tepi bawah yang menerima
beban
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal V1
dengan batang tepi atas yang menerimabeban
Gambar91 5.3. 1.
Kita lihat, bahwa penentuan garis pengaruh pada goya batang vertikal menjadi
sebenarnya garis-garis pengaruh pada reaksi tumpuan masing-masing yang
dikalikan dengan faktor masing-masing. Harus diperhatikan ketentuan batang tepiyang mana yang menerima beban seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. 1. di atas'
9.5.4. Ringkasan
1. Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan pada konstruksi rangka batang
menjadi sama seperti pada balok tunggal dengan lebar bentang yang sama.
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang kita lakukan atas dasar penge-
tahuan penentuan gaya batang menurut A. Ritter dsb. yang kita dapatkan dari
garis pengaruh pada momen lentur dan piada gaya lintang pada bakck tunggal
dengan lebar bentang yang sama.Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi sejajar dapat kita tentukan:
Garis pengaruh pada gaya batang tepi kita dapatkan dengan membagi garis
pengaruh pada momen lentur dengan ordinatnya 4 oleh tingginya konstruksirangka batang h tsb. Garis pengaruh pada gaya batang diagonal kita dapatkan
dengan membagi garis pengaruh pada gaya lintang dengan ordinatnya 4 oleh
sin rp.
Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal kita harus
memperhatikan cara pemasangan diar cnal-diagonal. Pada konstruksi rangka
batang dengan diagonal yang naik turun batang vertikal menerima gaya vertikal
menerima gaya vertikal pada titik simpul. Pada konstruksi rangka batang
dengan diagonal semua naik atau semua turun batang vertikal menerima gaya
lintang pada bagian kiri atau kanan dengan tanda (+.-) berlawanan dengan
2.
3.
437
rdiagonal. Pada konstruksi rangka batang dengan diagonal saja kita harusmemperhatikan beban yang tidak langsung. Garis pengaruh menjadi suatu garislurus antara dua titik simpul.
4. Pada konstruksi rangka batang dengan tepi tidak sejajar dapat kita tentukan:Garis pengaruh pada gaya batang tepi kita dapatkan dengan membagi garispengaruh pada momen lentur dengan ordinatnya 4 dengan jarak r yang siku-siku antara titik simpul (kutub) dan batang tepi berhadapan. Garis pengaruhpada batang diagonal kita dapatkan dengan superposisi dua garis pengaruhyang sudah diketahui atau dengan bantuan penentuan gaya batang menurut A.Ritter.Penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal menjadi beraneka warnamenurut cara pemasangan diagonal-diagonal, menurut batang tepi yang manayang rnenerima beban dsb. Hanya pada konstruksi rangka batang dengandiagonalnya yang turun semua atau naik semua, dapat kita menggunakanpengetahuan penentuan gaya batang menurut A. Ritter.
9.5..5. Contoh-contohContoh 1: Pada suatu derek berkonstruksi rangka batang portal menurut gambar9. 5. 5. 1. a. berikut dicari garis-garis pengaruh pada gaya batang masing-masing.
Gambar 9. 5. 5. 1 . a.
Penyelesaian:Karena kita hanya memperhatikan gaya-gaya yang sejajar anting, reaksi tumpuanmasing-masing menjadi vertikal dan reaksi tumpuan H = O dan karena itu gayabatang D : Ojuga.
438
1. Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang tepi bawah (lihat gambar9. 5. 5. 'l . b. s/d e. berikut):
Batang Uldan U7 menjadi batang nol. Pada U2dan U3 momen pada tumpuan ,4yang berpengaruh. Garis pengaruh pada gaya batang Uq, Usdan U6 berdasarkanpada momen lentur pada sistim dasar pada titik simpul yang berhadapan. Jugapada batang Uc, Us dan U6 harus kita perhatikan pengetahuan tentang bebanyang tidak langsung.
batang Uz = Ut:
a14o: - , =n
xqX'q =lh
_:j = _2,000
batang Uo :
batang Ur:
x{'a
6.0.15.0= 1,428
21,0.3.0
4o = - 4a: - 1,428
h: 1,428ffi : o,zr+
batang Ur:
x{'a 12,0.9.0qe :-if =ffi =1,714
4o= -i,714f,-: -0,857
ry= 1,714#= 1,2tA
tto: -1,428#: -0,286
ns: 1,428H: 't,141
4ro= -1,714#: -0,571
n,=1.714#=1,142
th = #f,:f, = 0,8s8
4o= -0,*#= -0,286 4ro = - 0,858
439
b) Garis pengaruh pada gaya batang lJz = lJi
c) Garis pengaruh pada gaya batang Ua:
d) Garis pengaruh pada gaya batang Us:
e) Garis pengaruh pada gaya batang U6:
Gambar9.5. 5. l. b. s/d e.
?. Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang tepi atas (lihat gambar9. 5. 5. f. s/d l. berikut):
Pada batang O1 dan O2\ang berpengaruh adalah momen lentur pada titik simpul 1
pada konsole. Garis pengaruh pada gaya batang O3 s/d 06 berdasarkan padamomen lentur pada sistim dasar, dan batang O9 dan 01g kita perhatikan momenpada tumpuan 8.
batang Or:
3.0COSY =
440
/tot+ 1,o-= 0,95 r = hcosy:3,0.0.95 :2,85
441
n,.-ry:;*=1,0s2
batang O2:
n,=+=#=1.ooo
4r=0
4r=0
batang Ot = 0e:
4r=- *=-HH:-o,Bsebatang Os = Ao:
n!: - !#t = --9'0-'12'0 = -1.714'" lh 21,0.3,0
batang O7: O6:
4,= - # = -#f# = -t,4zl
batang Oe : O16:
n,n=f=*3 =t,*f ) Garis pengaruh pada gaya batang O1:
g) Garis pengaruh pada gaya batang 02:
rll
I
h) Garis pengaruh pada gaya batang 03 = Oa,:
Gambar9.5.5.1. f. s/d h.
i) Garis pengaruh pada gaya batang 05 = 06:
k) Garis pengaruh pada gaya batang Ot = Oe:
l) Garis pengaruh pada gaya batang O9 : O16:
I
Gambar9. 5. 5. l. i. s,/d L
3. Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang diagonal (lihat gambar9. 5. 5. 1. m. s/d s.):
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal D1 dapat kita tentukan menurut rumus(9. 13.) dan pada garis pengaruh pada gaya batang diagonal yang lain kitaperhatikan rumus (9. 10.). Pada batang diagonal D2dan D1s kita gunakan garispengaruh pada gaya lintang konsole dan pada batang diagonal yang lain garispengaruh pada gaya lintang pada balok tunggal.
batang D1:
o= 1 I M, -
Mo Icos(p '
hu ho '
1 = \raTi@-:1,2ocos g 3,0
karena mornen lentur Mo = 0 dapat kita tentukan:o=*+ ,,=*l H=M2
-1,20H=-1,200
m) Garis pengaruh pada gaya batang D7:
INl: _\lr \
n) Garis pengaruh pada gaya batang D2i
r____v
batang D2:
D = =:= = -l! = 1,414 4o: 4t = 1,414 4r : osrn (p stn g
Antara titik simpul 1 dan titik simpul 2 harus kita perhatikan beban yang tidaklangsung.
batang Dss/d Ds:Pada semua garis pengaruh pada gaya batang diagonal ini dapat kita tentukan:
1,04a = - 4r:;;; *- r/T: t,+t+ cp = 45o
,,:nol=1,414ffi=o,4o4
tto=*af=r,u+#=0,fr2
batang D1s:
1.04ro:--::-=-1,414 4g=0srn (p
sl:.1
R
Gambar9.5.5.1. m. s/d o.
443
o) Garis pengaruh pada gaya batang D3:
---;:r
L--
p) Garis pengaruh pada gaya batang -Dt = Dd
Gambr9. 5.5. 1. p. s/d s.
4. Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang vertikal (lihat gambar 9. 5.
5. 1. t. s/d w. berikut):
Gaya batang vertikal V l dan Vs menjadi sama dengan beban pada titik simpulnya.Gaya batang vertikal V3 menjadi sama dengn reaksi tumpuan,4. Batang vertikal l/2
menerima beban oleh batang tepi atas yang mengubah jurusannya pada titik sirnpull, tetapi batang vertikal Vas/d V7 menjadi batang nol.
batang t/1:
4o = 1,000 4r = 0
batang Y2:
menurut rumus (9. 15.) ' Vz = - Pr * ff ,ru"y, - tan y2).
444
e:lL
q) Garis pengaruh pada gaya batang - Do = Dl
r) Garis pengaruh pada gaya batang - Da = Ds:
Garis pengaruh pada gaya batang D1o:
Karena batang tepi atas tidak menerima beba'n, rnaka Pl
Iz=0danselanjutnYa:
vr= ffant, tanrr = $ = O,aSa
4o= - {f o.rea= -0,333 4r=o
= 0 dan kemudian iuga
batang Y3:
4a=-1,@0 4o= _r,mo#=_1,2{t
batang Y8:
41e = 1.000 4g=0
t) Garis pengaruh pada gaya tratang V 1:
u) Garis pengaruh pada gaya batang y2:
;[-->__ _?
v) Garis pengaruh pada gaya batang y3:
Gambar9.5.5. 1. t. s/d w"
Contoh 2: Pada suatu jembatan kereta api berkonstruksi rangka batang dengan
diagonal saja menurut gambar 9. 5. 5. 2. a. berikut, tentukanlah gayabatang u, odan D oteh berat sendiri S : 2-O t/m dan oleh kereta api seperti ditentukan pada
gambar 9. 1. 1. a. dan gambar 9. 5. 5. 2. b. dan c. Titik simpul pada batang tepi atas
berada pada suatu garis Parabol.
w) Garis pengaruh pada gaya batang V6:
M5
12 tt00 -4000
Gambar
Penyelesaian:
2. Penentuan garis pengaruh pada gaya batang U:
ht = ho x4x'o = 4,0 + ffi16,0.32,0
hq = 4,@ + 3,56 = 7.56 m
h,= xex'o - 16,0'32,0- th, 4a,0.7,fi- = 1'41
Karena pada batang u harus kita perhatikan pengaruh oleh beban yang tidaklangsung, maka kita tentukan:
nt: r,arffi= 1,058 n5= 1,41ffi='t,ztz
Selanjutnya kita harus mencari penempatan kereta api yang paling tidak mengun-tungkan sistimnya. Kita memilih jarak-jarak tsb. seperti terlihat pada gambar g. 5. 5.2. b. berikut.
-1 11Uo= 2,01 712,0. 1,058 + 8,0, fi,058 + i2i2t + ,28,0.1,232tUc = 2.0 (6,35 + 9,16 + 17,24t = 2,0.32,75: 65,6tUp : 12,5(0,352 + 0.49t + 0.635 + 0J76 + 0,917) + 5,2(9,16 + 17,241Up = 12,5.3,174 + 5,2. 26,4 = 39,6 + i37,2 = 176,8 t
9. 5. 5. 2. a.
Garis pengaruh pada gaya
Gambar9.5.5.2. b.
446
batang U ai=2,22
:14,4m bi : ai + I = 14,4 + €,0 + uE,0:62,4m
M7
2. Penentuan garis pengaruh pada gaya batang O:
hs : 7,56 + 12 (8,0 - 7,56) : 7,78m
cos/= -+=:- =0.904V 4.02 + 0.442
hz : ho * lt;!t rr*z: 4,0 +
ts = hs cos y : 7,78.O,W = 7,73 m
xi's n,0.28,04s=- rh =Asra?,n=-r'5r
1
og= -2,0 ,1,51 .48,0 = -72,5t
Op = - 12,5 |.0,302 + 0,423 + 0,W + 0,664 + 0,785)
11-5,2 18,02(0,905 + 1,51) +
,1,51.28,01
Or= -12,5.2,718 -5,2(9.66 +21,14l,: - 194,0t
Garis pengaruh pada gaya batang O Gambarg.5. S.2. c.
3. Penentuan garis pengaruh pada gaya batang D (lihat juga gambar9. 5. 5. 2. d. sld f. berikut):
Kita tentukan pertama titik potong batang tepi bawah dan batang tepi atas danjarak siku-siku titik potong itu ke batang diagonal D yang kita perhatikan.
a::ho= la1 +ll:h, di =hoA
hr- ho
4. 4.O
48fr, 8,0'210,0 : 6,22m
4,0.8,0
5.?0 t/m
Jarak 16 dapat kita tentukan dengan mudah karena dua segitiga yang di-arsir pada
gambar 9. 5. 5. 2. d. menjadi sebangun. Karena itu r4 rnenjadi 15.5 m. Ordinat-
ordinat 4 pada reaksi tumpuan masing-masing kemudian menjadi:
14'4 = o.g3o
15,5
_.=Il
Garis pengaruh pada gaya batang Dmin :
48
n,=*=W=4,02d;qo= a =
Penentuan penempatan kereta api yang paling tidak menguntungkan sistimnya
dapat kita lihat pada gaya batang D maksimal (gambar 9, 5. 5. 2' e. ) dan pada gaya
batang D minimal (gambar 9. 5. 5. 2. f . )
Ds = z,o( | o,sss ' 6.ao -:- } o,osz ' 41,60} - *26,84 t
Dpnnx = 12,5(0,067 + 0,201 + 0,335 + 0,1121 = +8,941
Dpmin = -12,51O,4g7 + 0,697 + 0,666 + 0,636 + 0,605)
1
-2,0 129,6'0,s74
Dpmin = -12,5'3,101 - 17,0 = -55,8t
e)
+.t?.5 t Garis pengaruh pada gaYa batang D-r,
9.6.
9.6. 1.
Garis pengaruh pada balok terusan
Pengetahuan dasar
Sampai saat ini kita hanya memperhatikan dan menentukan garispengaruh pada sistim statis tertentu. Sesudah kita ketahui beberapa ordinat 4 yangpenting, maka garis pengaruh sudah dapat digambar.Garis pengaruh pada sistim statis tidak tertentu menjadi bukan garis lurus, melain-kan garis bengkok. Penentuan ordinat-ordinat 4 pada urnumnya nremerlukanbanyak pekerjaan dan perhitungan sampai garis pengaruh itu dapat digambar.Pada gambar9.6. 1. a. berikut dapat dilihat garis-garis pengaruh pada suatu balokterusan. Kita melihat, bahwa terutama pada bagian balok terusan dengan nilai yangkita cari, bentuk garis pengaruh, walaupun melengkung, meniadi sebangun dengangaris-garis pengaruh pada balok tunggal. Oleh karena itu, pengetahuan garis-garispengaruh pada balok tunggal dapat membantu tanggapan kita pada penentuangaris pengaruh pada balok terqsan.
Gambar 9.6. 1. a.)n V7,. '////z 72. 77.D
Garis pengaruh r:'ada
reaksi tumpuan,4
Garis pengaruh padareaksi tumpuan B
Garis pengaruh padamomen lentur M pa-
da titik sembarang m
Garis pengaruh padagaya lintang O padatitik sembarang nGambar 9.5.5.2. d^ s/d f
449
Garis pengaruh pada
momen pada tumpu-anB
Karena penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan sering diperlukan
walaupun penentuan menjadi agak rurnit maka biasanya digunakan tabel-tabel.
Tabel-tabel itu pada balok terusan dengan jarak tumpuan masing-masing menjadi
sama dan dengan momen lembam / tetap ditentukan ordinat-ordinat 4 pada titik-
titik sepersepuluhan lebar bentang /. Tabel-tabel itu ditemukan oleh misalnya:
A n g e r- T ra m, Zel lerer, Ka pf erer atau K le i nl og el.
Penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan dengan beban tidak langsung
masih tetap berlaku seperti pada balok tunggal dsb., maka oleh itu garis-garis
pengaruh bukan lagi menjadi garis lengkung r'nelainkan gar'is poligon'penentuan garis-garis pengaruh pada balok tefusan dapat dilakukan secara analitis
atau secara grafis dengan bantuan sistim titik potong, lihat bab 6' 3'
Dalam rangka buku ini garis pengaruh pada balok terusan kita bicarakan hanya
pada prinsipnya dan tanpa contoh-cgntoh karena penyelesaian terlalu luas untuk
tujuan buku ini.
9.6.2. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis ber'
lebih
Garis-garispengaruhpadareaksitumpuan,momenlenturmaupungayalintang pada suitu sistim statis tidak tertentu berdasarkan pada garis pengaruh
pada reaksi tumpuan yang statis berlebih. Karena'itu pertama kita tentukan garis
pengaruh itu' ,k t"rrr"n terletak di atas lima tum-Sebagai keterangan kita perhatikan suatu balo
puan, seperti terlihat pada gambar 9 .6.2. a. berikut.
Kemudian kita menentukan reaksi tumpuan vertikal Ra, RC dan Lgp,sebagai reaksi
tumpuan yang statis berlebih dengan nilai X,, X, dan X.. Pada beban yang mati
(tetap) dapat kita tentukan tiga persamaan berikut untuk mencari tiga nilai yang
statis berlebih , Xr, Xrdan Xr:
6rrXr+dnX2+d,,X3--d.,
62rXr + d22X2 + dpX3 = - 6ro
6rrX, + drrX, + d31X3 = * 63s
Pada rumus-rumus ini d1; misalnya menjadi pergeseran titik k oleh gaya X7 Bagian
beban d1o rnenjadi p"ig"rerrn titik k oleh beban yang sebenarnya. Semua
pergeseran ditentukan pada sistim dasar, yaitu pada balok tunggal'
450
bo
Gambar 9" 6.2. a.
Pada penentuan garis pengaruh beban atau cara pembebanan pada sistim statisbiasanya belum diketahui. Karena itu nilai d1o belum dapat kita tentukan dengansuatu angka tertentu. Jikalau kita menggulingkan suatu gaya P = 1,0 pada seluruhpanjang balok terusan ini nilai dp, berubah pada tiap-tiap pergeseran gaya P itu.Jikalau kita menentukan pergeserart dro dengan P : 1,0 sebagai ordinat di l r:wahtiap-tiap titik tangkap gaya P itu, maka d16 sebetulnya menjadi garis pengaruh pada
lendutan'pada titik 1 pada sistim dasar yang statis tertentu. Sama saja dapat kitatentukan pada d2s dan d36 Menurut bab 9. 2. 5. garis pengaruh pada lendutan rnen-jadi garis elastis oleh suatu gaya F = 1,0 pada titik 1,2atau 3. Nilainya dapat kita
tentukan dengan cara-cara yang sudah diketahui, dan yang kita tentukan sebagaid*..Selanjutnya kita memperhatikan tiga persamaan di atas. Sebagai nilai dr* d2- dandr- kita ketahui garis-garis pengaruh pada lendutan pada titik 1,2 dan 3 yang men-jadi identik dengan garis elastis pada sistim statis tertentu oleh gaya P : 1.0 pada
titik 1.2 atau 3. Bagian kanan pada tiga persamaan d1., dz. dan dr,, itu pada tiap-tiap titik sembarang pada balok terusan ini berisi suatu nilai. Karena itu pada Xr, X,dan X, kita mendapatkan nilai-nilai yang tergantung dari titik tangkap gaya P : 1,0
dan yang rnenjadi ordinat-ordinat pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang
statis berlebih.Karena nilai-nilai 6kntidak menjadi tetap kita belum menrlapatkan hasil pada tigapersamaan ini. Tetapi karena d,1 rnenjadi pergeseran suatu titik i oleh x1 : 1"0 pada
titik k. Dengan d1- kita menentukan garis elastis oleh gaya P = 1 ,0 pada titik k.
Jikalau kita memperhatikan ordinat garis elastis pada titik i yaiig menjadi d,1 yangpada saat ini menjadi juga dp, (Lihat juga rumus (8. 20.), Syarat dari Maxwell).
Pada sistim $tatis tertentu dengan satu nilai yang statis berlebih, perhitungan ini
menjadi mudah karena kita hanya membagi ordinat garis elastis d1p atas d11 dan
mendapat ordinat garis pengaruh pada X7.
451
Atas dasar penentuan-penentuan di atas dapat kita menentukan garis elastis pada
reaksi tumpuan yang statis berlebih X t , X z , - . X n ' Tinggallah kemudian penen-
tuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lentur dan gaya lintang.
9. 6.3. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lentur dangaya lintang
Pada balok teRlsan dengan beban tetap (mati) dapat kita tentukan reaksi
tumpuan, momen lentur dan gaya lintang dengan bantuan reaksi tumpuan yang
statis berlebih Xr, Xz . Xn dengan superposisi:
Ra
Mo
R,rlo
Mo
Qo
XrRa,
X,M,XrA,
X2RA2 +
XrM, +
Xra, +
XpRap + * XnR4n
X*Mr + ...'. + XnMn
XrQ* + .... + XnAn
Pada penentuan garis-garis pengaruh kita gunakan cara yang sama. Garis pengaruh
pada reaksi tumpuan ,4 kita dapatkan oleh superposisi ordinat garis pengaruh ,94p.
dengan Ra1, \anQ dikalikan dengan ordinat garis pengaruh pada X1, dengan Ra2
yang dikalikan dengan ordinat garis pengaruh pada X2 dsb. Pada penentuan ini Ra7
menjadi reaksi tumpuan oleh X7 -- 1.0, Rnz menjadi reaksi tumpuan oleh X2 : 1'0
dsb. Sebagai ringkasan dapat kita katakan, bahwa garis-garis pengaruh pada balok
terusan atau pada sistim statis tidak tertentu yang lain terdiri dari bagian-bagian
seperti berikut:1. ordinat garis pengaruh pada sistim dasar (balok tunggal dsb.) dengan nilai
Ra6, Asdan Ms.
2. Ordinat garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis berlebih Xt, Xz.. . Xndanyangdiakibatkan olehXT = 1'0, Xz: 1.0, .'..' Xn : 1'0pada
titik yang kita perhatikan dan yang harus dikalikan dengan Rnr, Raz, ..."R4naldu Mr, Mz, . Mnatau Q1, Qz, ..... Qu'
Kita melihat bahwa pemborosan perhitungan untuk penentuan garis-garis
pengaruh pada sistim yang statis tidak tertentu menjadi besar sekali.
Akan tetapi kalau kita memperhatikan cara perhitungan ini kita dapat melihat,
bahwa caranya menjadi sebetulnya sama seperti pada perhitungan balok terusan
secara grafis dengan menggunakan slstim titik potong (lihat bab 6.3.).
9. 6.4. Penentuan garis-garis pengaruh secara grafis
1. Penentuan momen lentur dan gaya lintang pada balok terusan denganbeban yang tetap (mati):
Pada suatu balok terusan dengan macam-macam beban dan gaya seperti terlihatpada gambar 9. 6. 4. 1. a. berikut kita tentukan titik potong menurut bab 6. 3. 2'(lihatgambar9.6.4. L b.)dan kemudian dengan superposisi dapat kita menggam-
bar diagram momen menurut bab 6. 3. 3. (lihat gambar 9. 6. 4. 1 . c. ). Kemudian kita
menentukan masing-masing reaksi tumpuan secara grafis seperti diterangkan pada
452
bab 6. 3. 3. contoh 2 (lihat gambar 6. 3. 3. f. dan 9. 6. 4. 1. d.) dan dengan hasil
reaksi tumpuan masing-masing dapat digambar diagram gaya lintang (lihat gambar
6. 3. 3. g. dan 9. 6. 4. 1. e. berikut):
"l':/t
+
+
+
+
+
+
Yz' Hfr, a
-1,_l
-:$
I
{t
/-Jr=r:1"
Gambar9. 6. 4. 1. a. s/d e.
453
2. Penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan dengan beban yangtadak tetap (bergerak):
Supaya penentuan garis-garis pengaruh yang menjadi garis lerigkung menjadiseteliti mungkin, biasanya bagian balok terusan masing-masing dibagi sepuluh.Pada contoh berikut, lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. s/d g. kita hanya membagi empatsupaya gambar tidak menjadi terlalu rumit.Seperti pada beban tetap kita pertama menentukan titik potong J, J', J'dsb. danK, K', K'dsb. (lihat garnbar9.6.4. 1. b.). Kemudian kita menggulingkarr suatugaya P - 1.0 pada seluruh panjangnya balok terusan ini. Gaya P = 1.0 selaluberhenti sebentar pada msing-masing titik yang kita tentukan tadi. Pada tiap-tiapperhentian ini kita menggambar diagram momen Mo (lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. danb.). Diagram momen itu dapat digambar dengan bantuan potongan garis ber-silang, lihat juga gambar 6.2.2. c. pada bab 6. 2. 2.Karena contoh ini menjadi simetris, cukup jikalau digambar garis pengaruh padabagian pertama dan kedua.
3. Garis pengaruh pada mornen lentur:Jikalau kita mau menggambar garis pengaruh pada momen lentur pada titik sem-barang 3 (M3) kita rnengukur dari diagram momen pada titik 3 semua nilai42sld4ayang sebagai ordinat garis pengaruh kita gambar pada tiap-tiap titik. misalnya 42pada titik 2, 16 pada titik 3 dsb. Ujung-ujung ordinat ini dihubungkan dengan garislengkung dan mendapat garis pengaruh pada momen lentw M3 (lihat gambar 9. 6.
4. 3. a. dan c.)Cara ini berlaku pada bagian balok terusan yang diperhatikan. Pada bagian-bagianyang lain kita mengukur nilai ordinat 46 si d 49 antara garis sumbu balok terusan dangaris penutup dari diagram momen (lihat gambar 9. 6. 4. 3, b. dan c.). Karena balokterusan pada contoh ini menjadi simetris nilai ordinat 42'sld '.i4'dan 46's/d 49'dapat diambil pada titik 3'sebelah kanan (lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. dan b.).Maka dapat kita lakukan penentuan garis pehgaruh pada momen lentur M7.Kita lihat, bahwa penentuan momen maksimal kita dapatkan jikalau semua bebanberada pada satu bagian dari balok terusan, dan bagian sebelah kiri sena bagiansebelah kanan tinggal kosong. Pengaruh suatu gaya atau beban atas bagian ketigasudah hampir menjadi nol.Yang harus kita perhatikan dengan khusus ialah suatu titik sembarang (9) yangberada antara suatu titik potong (K) dan suatu tumpuan (C2l seperti terlihat garispengaruhnya pada gambar S. 6. 4. 3. a. berikut. Nilai momen maksimal kitadapatkan pada suatu beban merata terbatas. Sebagai garis putus pada gambar itudapat dilihat garis pengaruh pada momen lentur pada titik potong K'.Pada penentuan garis pengaruh pada momen tumpuan Mlkita dapat mengukur 42's/d qa' dan 46' s/d qe' pada C3 (lihat gambar 9. 6. 4. 3. f.). Pada penentuan garispengaruh pada momen tumpuan Mil kita dapat mengukur semua ordinat 4 padatumpuan C2 (lihat gambar9. 6.4. 3. a., b. dan g.).Kita lihat. bahwa penentuan momen maksimal kita dapatkan iikalau semua bebanberada pada bagian sebelah kiri dan kanan pada tumpuan yang kita perhatikan.Bagian-hagian sesudahnya sebaiknya ditinggalkan kosong.
454
a/AQ2-auqk0r r
Ia
HK
Ht-btrlJ
I Qz-+ utk0u H7y' Q2:a'utl.< /Q2:a'utk0r
S, J"'4' J,
4 1t3'utk lltct'qr:r,utk ll,
/Qsts'utkQ5
15'-n,utkl,ft \
45:-s'utk ll7
Z'tl zioislo'utk l/3
knt4e-eutku'
'S-s +x:
Garis pengaruh pada momen lentur M3
Garis pengaruh pada momen lentur M9
455
6'J',6 7
n2-4
il,S*,s s
Garis pengraruh pada mornen lentur lVfi
Garis pengaruh pada momen tumpuan Mg
Garis pengaruh pada momen tumpuan M11 Gambar 9. 6. 4. 3. a- s/d g.
4. Garis pengaruh pada gaya lintang:Pada penentuarr garis pengaruh pada gaya lintang (lihat gambar 9. 6. 4. 4. a. s/d f .
berikut) kita sebaiknya mernperhatikan suatu balok tunggal (lihat bab 9. 2. 2.1 danmengingat, bahwa dua momen tumpuan menurut perbandingan nilainya dan tanda(+,-) mengakibatkan suatu tambahan atau kurangan pada gaya lintang ataureaksi tumpuan menurut rumus (6. 16.) dan (6. 17.) yang kemudian dapat ditulisseperti berikut:
o(RA) : oo(Ras) * ta--lm1 = Qo t Ao
Perbedaan AO dapat kita tentukan secara grafis dengan mudah. Seperti terlihatmisalnya pada contoh 2. gambar 6. 3. 3. f . pada gambar gaya dapat kita tentukandengan suatu garis sejajar dengan garis penutup s yang kena titik kutub, nilai reaksitumpuan kiri atau kanan. Pada poligon batang tarik menurut gambar 9. 6. 4. 3. a.dan b. garis penurut menjadi garis horisontal. Perbedaan antara garis horisontal dangaris sejajar pada garis penutup masing-masing kiri dan kanan pada suatu tumpuanmenentukan nilai AO pada garis pengaruh pada gaya lintang, seperti terlihat padagambar 9. 6. 4- 4" g. berikut.Karena pada bagian pertama pada balok terusan ini semua garis penutup naik ke kirikita terima tambahan-tambahan pada bidang gaya lintang yang positif dankurangan-kurangan pada bidang gaya lintang yang negatif. Jarak antara dua garis
ini selalu harus menjadi 1 (lihat gambar9. 6. 4. 4. b dan c.).Karena pada bagian-bagian yang kita perhatikan hanya timbul momen pada tum-puan dapat kita tentukan ordinat-ordinat untuk garis pengaruh dengan mengukurukuran H (jaraktitik kutub pada gambar gaya) dari titik potong J ke kanan atau K ke
kiri. Pada titik itu kita dapat mengukur siku-siku pada garis sumbu balok terusansampai garis penutup rnasing-masing.Jarak titik kutub H dapat kita tentukan dengan menggambar garis sejajar daripoligon batang tarik pada bagian balok terusan yang diperhatikan oleh p 1.Q padaujung-ujung gaya P = 1.0 itu. Jarak H sebenarnya selalu harus menjadi samakarena P : 1.0 juga selalu sama.
456
89t0g',g',
' ./;
{als1
+!
7
+
\RS
sRe
${<
\R-'
Garis pengaruh pada gaya lintang O3
Garis pengaruh pada gaya lintang 07
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan C2
Gambar 9. 6. 4. 4. a. s/d f.
\s.
-t/
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan C1
sRS+&
RS{s,
Rl
+gR{?ll*s
R9
ttRe
Gambar 9. 6. 4. 4. g.
457
5. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan:Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan menjadi sebetulnya suatu garis
pengaruh pada gaya lintang pada suatu titik tumpuan. Garis pengaruh pada reaksi
tumpuan sebetulnya juga dapat ditentukan dengan melankaui tumpuan yang
diperhatikan, dan memasang suatu gaya P = 1.0 yang membebani balok terusan
pada titik tumpuan itu. Sekarang kita tentukan garis elastis pada balok terusan itu
dan garis elastis ini menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan itu. (Syarat dari
Land. ).
I Garis pengaruh pada reaksi tumpuan,4
8 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan Cr
I Garis pengaruh pada reaksi tumpuan C2
Gambar9.6.4.5. a.
458
I
[*ampiran
l. 1. Rumus-rumus yang penting
1.1.1. Rumus-rumustahuan dasar
Nomor: Uraian rumus:
yang penting pada bab 1. Penge
Halaman:
timbul dan tegangan yang(1.1.)
11.2.1(1. 3.)(1.4.)(1.5.)
Penghubung antara tegangan yangdiperbolehkanSyarat HookPenentuan dasar suatu gaya PPenentuan dasarsuatu gaya PHubungan antara nilai dari ilmu ukur dan nilai dari mekanika teknik(statika)
(1. 6.) Penentuan resultante pada dua gaya(1. 7.) Penentuan resultante pada dua gaya(1. 8.) Syarat tangkai pengungkit(1. 9. ) Fersamaan momen pada gaya yang sejajar( 1 . 1 0. ) Penentuan resultante pada beberapa gaya yang tidak sejajar(1.11.) Tiga persamaan untuk membagi suatu resultante r9 atas tiga garis
kerja11 . 12.1 Syarat persantaan momen Ritter(1. 13.l Momen dari satu gaya(1. 14. ) Momen dari kumpulan gaya(1. 15.) Syarat-syarat keseimbangan gaya(1. 16.) Syarat-syarat keseimbangan momen11 . 17.1 Syarat-syarat keseimbangan gaya dan molnen
1.1.2. Rumus-rumus yang penting pada bab 2. llmu inersiadan ketahanan
,2. 1.1 Ketentuan jarak titik berat pada umumnya12.2.1 Ketentuan jarak titik berat pada trapesium{2.3.) Penentuan momen lembam pada umumnya12.4.1 Penentuan jari-jari lembam pada umumnya(2. 5.) Momen lembam oleh jari-jari lembam dan F
20202222
222425303032
33v3536
383939
6I495050
r
(2. 6. ) Momen lembam pada sistim koordinat berpindah 50
Q.7.1 Momen lembam pada sistim koordinat pada titik berat 51
(2.8.\ Momen lembam pada segiempat pada titik berat (x, y) 5'l
(2. 9. ) Momen lembam pada segiempat pada sisi-sisi (x', y') 51
(2. 10.) Momen lembam pada segitiga 51
Q.'11 .l Momen lembam pada trapesium pada sisi bawah (x1 52
12. 12.1 Momen lembam pada trapesium pada titik berat (x) 52
12. 13.1 Koordinat u dan v pada sistim koordinat terputar (u, v) 53
12. 14.1 Momen lembam pada sistim koordinat terputar (u, v) 53
(2. 15. ) Momen lembam pada sistim koordinat terputar (u, v) il(2. 16. ) Sudut putar a pada sistim koordinat terputar il12. 17.1 Momen lembam utama /1 dan /2 55
(2. 18.) Syarat-syarat perseimbangan gaya luar dan gaya dalam 58
(2. 19.) Persamaan penguluran pada potongan yang datar 59
12.2O.l Tegangan o pada penguluran yang datar dan Etetap 60
Q.21 .l Persamaan penentuan gaya normal N 60
12.22.1 Tegangan o pada sistim koordinat bertitik tangkap pada titik berat 61
(2.23.1 Tegangan o pada sistim koordinat terkonyungsi 6'l
12.24.1 Persamaan garis sumbu nol 61
Q.25.1 Koordinat xn dan yn dari garis sumbu nol dengan garis sumbu
terkonYungsi,.2.26.1 Tegangan o pada sistim koordinat terkonyungsi
12.27.1 Rumus garis sumbu n<ll linear
Q.28.1 Tegangan o pada gaya tarik dan gaya tekan
Q. n.l Tegangan o pada sistim koordinat terkonyungsi(2. 30.) Tegangan o oleh momen lenlur Mr, Mrsaja(2. 31 .) Tegangan o oleh momen lentur M, saja
Q.32.1 Tegangan omaxpada sisi atas dan sisi bawah -
(2. 33.) Penentuan besaran inti kQ. U.l Syarat keseimbangan tegangan geser
(2. 35.) Syarat keseimbangan tegangan geser(2. 36.) Penentuan omaxpada segiempat sejajar(2. 37 .l Penentuan o -urpada prof il baja berbentuk /(2. 38.) Tegangan linear(2. 39.) Tegangan dalam bidang
12. N.l Tegangan utama dalam bidang,.2. 41.1 Hubungan antara gaya tekuk dan lendutan batang tekuk
.2.42.1 Penentuan pelengkungan pada batang tekuk
12.43.1 Penentuan pelengkungan pada batang tekuk a ( 1
12. M.l Penentuan gaya tekan Psryang bahaya
12.45.1 Penentuan gaya tekan PpfanQ bahaya
.2. 6.1 Penentuan tegangan o17 |on$ bahaya
12.47.1 Penentuan tegangan okr pada sepenjangkanan plastis
ST 37
460
61
62
63
6363
646465
6770
71
71
7274n77
828282
83
uu
pada baja85
t2. M.tQ.49.1(2.50.)Q.5"t.l
t2.52.t
(2.53.)
Penentuan ),iapada topang ganda konstruksi baja 88
Penentuan t4pada topang ganda konstruksi kayu 90
Penentuan tegangan omax pada tiang terbengkok 92
Hubungan antata a* yang sebenarnya dan orft yang diperbolehkanpada tiang terbengkokHubungan antara o,1 yang sebenarnya dan or1
pada tiang yang tertekan eksentrisHubungan antara o6 yang sebenarnya dan or1
pada tiang dengan beban lintang
92yang diperbolehkan
o2
yang diperbolehkan95
Rumus-rumus yang penting pada bab 3.Konstruksi batang
Uraian: halaman:
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan satu gaya 103
Momen maksimal pada balok tunggal dengan satu gaya 103
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan gaya pusat 104
Momen maksimal pada balok tunggal dengan gaya pusat 105
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan beberapa gaya 105
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan dua gaya Pyang simetris 107
Momen makimal pada balok tunggal. dengan dua gaya P yangsimetris 107
Fleaksi tumpuan pada balok tunggal dengan beban merata 108
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban merata 108
Momen pada titik x sembarang pada balok tunggal dengan beban
merata 108
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban merata terbatas 111
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban segitiga yang
simetris 113
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban segitiga yang
satu hadap saja 114
Momen maksimal pada konsole dengan satu gaya pada ujung yang
bebas 120
Momen maksimal pada konsole dengan beban merata 121
Momen maksimal pada konsole dengan gaya horisontal 122
Gaya normal dan gaya lintang pada balok tunggal yang miring 144
Tegangan amaxpada balok tunggal dengan lengkungan miring 152
Momen maksimal yang bercita-cita pada balok rusuk Gerber 155
Jarak engsel yang bercita-cita pada balok rusuk Gerber 156
t.1.3.
Nomor:(3.1.)(3. 2. )
(3. 3. )
(3.4.)(3.5.)(3.6.)(3.7.)
(3. 8. )
(3.9.)(3. 10.)
(3.11.)
13.12.1
(3. 13.)
(3. 14.)
(3. 15.)(3. 16.)(3. 17.)(3. 18.)(3. 19.)(3.20.)
461
1.1.4.
(4. 1.)14.2.t(4.3.)(4.4.)(4.5.)
!.1.5.
Rumus-rumus yang penting pada bab 4.Konstruksi rangka batang
Persamaan keseimbangan pada rangka batangPenentuan konstruksi rangka batang yang statis tertentuPenentuan gaya batang tepi atas O menurut RhterPenentuan gaya batang tepi bawah U menurut RifterPenentuan gaya batang diagonal D menurut Ritter
Rumus-rumus yang penting pada bab 5.Alat-alat sambungan
179
179187
187188
204
204223?23224227227
halaman:2il2552552552562562562562572572582582592592ffi
(5.3.)(5.4.){5. 5. )
(5. 6. )
(5.7.)
t. 1.6.
Nomor:(6.1.)(6. 2. )
(6.3.)(6.4.)(6. 5. )
(6. 6. )
(6.7.)(6.8.)(6.9.)(6. 10.)(6. 11.)(6.12.)(6. 13. )
(6. 14.)(6.15.)
462
(5. 1.) Beban yang diperkenankan satu keling atau baut terhadap tegangangeser
(5.2.) Beban yang diperkenankan satu keling atau baut terhadap tekanandinding lobangGaya lintang A6pada topang ganda dari bajaGaya pergeseran fpada topang ganda dari bajaMomen M pada topang ganda dari bajaTegangan normal o6 pada gigi tunggalTegangan geser r pada gigi tunggal
Rumus-rumus yang penting pada bab 6.Balok terusan
Uraian rumus:Balok terjepit: persamaan elastisBalok terjepit: momen jepitanBalokterjepit: momenjepitan o = D : 0Perhitungan sudut tumpuan oleh Mt : 1
Perhitungan sudut tumpuan oleh M2 = lPersamaan sudut tumpuanBalok terjepit: momen jepitanBalokterjepit: momenjepitan a = 0 = 0Balok terjepit dengan beban merata: sudut tumpuanBalok terjepirdengan beban merata: momen jepitanBalok terjepit dengan gaya pusat: sudut tumpuanBalok terjepit dengan gaya pusat: momen jepitanBalok terjepit dengan dua gaya: sudut tumpuanBalok terjepit dengan dua gaya: momen jepitanBalok terjepit: menentukan momen pada titik x
(6. 16.) Balok terjepit: menentukan gaya lintang(6. 17. ) Balok terjepit: menentukan reaksi pada tumpuan(6. 18.) Balok teriepit dengan beban merata: momen maximal(6. 19. ) Balok terjepit derorgan gaya pusat: mo{nen maximal(6. 20. ) Balok terjepit: menentukan lendutan f(6. 21 . ) Balok terjepit dengan beban merata: lendutan maxirnal
{'6.22.1 Balok terjepit dengan gaya pusat: lendutanmaxirnal(6. 23. ) Balok terjepit sebelah: momen jepitan kalau a = 0
i6.24.1 Balok terjepit sebelah: momen jepitair kalau a ) 0(6. 25. ) Balok terjepit sebelah dengan beban merata:
momen jepitan(6. 26. ) Balok terjepit sebelah dengan beban merata:
momen maximali.6.27.1 Balok terjepit sebelah dengan beban merata:
gaya lintang(6. 28. ) Balok terjepit sebelah dengan beban merata:
(6.29.)(6.30.)(6.31.)(6.32.)(6.33.)(6.34.)(6. 35. )
(6.36.)(6. 37. )
(6.38.)t6.39.)(6.40.)(6.41.)$.42.t(6.43.)(6. 44. )
(6. 45. )
(6.46.)$.47.t(6. 48. )
(6. 49. )
(6. s0.)(6. 51.)(6.52.)(6. s3.)(6. s.)(6. 55. )
2@261261
261
b22f,2263263243
2U
2U
2M
reaksi pada tumpuan 2UBalok terjepit elastis: momen jepitan 265Jarak titik potong a ffiJarak titik potong b 267
Perhitungan momen jepitan dengan jarak titik potong 267
Perhitungan momen pada titik potong J dan K 28Potongan K dan K' pada garis bersilang 268Jaraktitikpotong adanb dengan/tetap 269Perhitungan momen pada titik potong dengan /tetap 269Jarak titik potong pada balok teriepit 270Jarak titik potong pada balok terjepit dengan / tetap 270Jarak titik potong pada balok tunggal 271
Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis 272Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan yang kaku 272Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada engsel 272Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis 273Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis 273Perhitungan ukuran jepitan asing 273
Jarak titik potong a' dan b' pada balok terjepit elastis 276Jarak titik potong a' dan b' pada balok terjepit 277Jarak titik potonq a' dan b' pada balok tunggal 277syarat persamaan rrga mornen (clapeyron) 283Penentuan angka kekakuan batang k 289Perhubungan antara momen distribusi dan angka kekakuan batang 289Penentuan koefisien induksi y 289Penentuan koefisien induksi y pada balok dengan /tetap 290Perhitungan momen jepitan pada balok terjepit sebelah 291
Penentuan angka kekakuan batang k' pada balok terjepit sebelah 291
463
r-
344345346u7u7
1.1.7. Rumus-rumus yang penting pada bab 7.Konstruksi portal
17. 1.1 Momen jepitan M;ppada penurunan tumpuan pada balok terjepit 322
17.2.1 Momenjepitan Mppadatumpuanpadabalokterjepitsebelah 322
(7.3.) Faktor pengikat t' pada gaya pengikat horisontal pada konstruksiyang goyah 326
17. 4.1 Momen jepitan pada konstruksi yang goyah dengan perhatikan faktorpengikat! 326
(7.5.) Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal denganpanjangnya kaki berbeda dan yang terjepit pada tumpuannya 329
(7.6.) Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal denganpanjangnya kaki berbeda dan yang berengsel pada tumpuannya 329
(7.7.1 Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal dengan
panjangnya kaki berbeda dan yang terjepit sebelah dan
berengsel menYebelah 330
(7.8.) Penentuan gaya pengikat horisontal rl = 0 pada konstruksi portal
bertingkat pada tingkatsatu 333
(7.9.) Penentuan gaya pengikat horisontal Frr : 0 pada konstruksi portal
(6. 56.) Penentuan koefisien induksi y pada balok terjepit sebelah(6.57.) Balok terusan dengan beban merata: momen maksimal pada satu
bagian(6.58.) Merendahkan ketinggian puncak momen pada momen yang negatif
( - ) di atas tumpuan pada konstruksi beton bertulang.
bertingkat pada tingkat dua(7. 10.) Penentuan momen M pada konstruksi portal bertingkat
r. 1.8. Rurnus-rumus yang pentang pada bab 8.
Perubahan bentuk elastis
(8. 1. ) Persamaan keseimbangan kerja virtual(8. 2. ) Persamaan keseimbangan kerja virtual dengan giliran terbalik(8. 3. ) Kerja virtual dalam oleh gaya normal(8.4.) Kerja virtual dalam oleh momen lentur(8. 5. ) Kerja virtual dalam oleh perubahan suhu seragam(8. 6) Kerja virtual dalam oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi
bawahKerja virtual dalam oleh gaya lintangPersamaan kerja pada konstruksi batangPersamaan kerja yang diperpendekkan pada konstruksi batang
Persamaan kerja pada konstruksi rangka batang
Persamaan kerja yang diperpendekkan pada konstruksi rangka
batang
292
295
299
18.12.t(8. 13.)(8. 14.)(8.15.)(8.16.)(8.17.)(8. 18.)(8. 19.)(8.20.)(8.21.)8.22.1(8.23.)t8.24.t(8.25.)(8.26.)t8.27.t(8.28.)(8.29.)(8.30.)(8.31.)(8.32.)(8.33.)(8.34.)(8.35.)(8" 36.)(8.37.)
(8.38.)
Hasil pengintegralan pada kerja virtual:Bidang limas - bidang sembarangBidang limas - bidang limasBidang limas - bidang segiempatBidang segiempat - bidang segiempatBidang segitiga - bidang segiempatBidang segitiga * bidang segitiga sejajarBidang segitiga - bidang segitiga tidak sejajar
Syarat dari BettiSyarat dari MaxwellSyarat dari CastiglianoSyarat dari Mohr tentang lengkungan kSyarat dari Mohr tentang persamaan garis lengkungSyarat dari MohrPergeseran dan perputaran pada konstruksi batangPersamaan kerja pada konstruksi rangka batang pada prakteknyaPenentuan bobot-beban W I pada konstruksi batangBobot-beban Wopada tumpuan kiriBobot-beban Wnpada tumpuan kananBobot-beban Wppada momen lembam /tetapBobot-beban Wopada /tetap, pada tumpuan kiriBobot-beban Wrpada /tetap, pada tumpuart kanan
Bobot-beban Wppada konstruksi rangka batangBobot-beban W p pada konstruksi rangka.batangBobot-bieban Wppada diagonal yang naikBobot-beban Wppada diagonal yang turunBobot-beban Wp pada diagonal yang naik pada konstruksi rangka
batang dengan tepi sejaiarBobot-beban Wp pada diagonal yang turun pada konstruksi rangka
batang dengan tepi sejajar
352352353
353
3533543il355
356357
357
3573583s9369373374374374374374381
381
382383
383
383
(8. 7)(8. 8)(8.9.)(8. 10.)(8.11.)
M
333333
u73Aw349350
350
r. 1. 9.
(9.1.)(9.2.)((9.3.)
(9.4.)
(9.5.)
Rumus-rumus yang penting pada bdb 9.Garis pengaruh
Reaksi tumpuan oleh kumpulan gaya P dengan garis pengaruh 392Reaksi tumpuan oleh beban merata g dengan bidang pengaruh 392Luasnya bagian (+)atau bagian (-) pada bidang pengaruh pada
beban yang tidak langsung 398
Luasnya bidang pengaruh seluruhnya pada beban yang tidaklangsung 398
Gaya normal pada titik x pada konstruksi busur tiga ruas dengan
beban tetap 416
465
(9.6.) Gaya lintang pada titik x pada konstruksi busur tiga ruas denganbebasan tetap
(9.7.) Gaya normal pada titik x pada konstruksi busur tiga ruas denganbeban tetap
(9.8.) Gaya lintang pada titik x pada konstruksi busur tiga ruas denganbeban tetap
(9. 9. ) Gaya batang tepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi sejajar(9. 10.) Gaya batang diagonal pada konstruksi rangka batang dengan tepi
sejajar(9.11.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan tepi
sejajar
1.9.12.1 Gaya batang tepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi tidakseja.jar
(9. 13.) Gaya batang diagonal pada konstruksi rangka batang dengan tepitidak sejajar
(9. 14.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan diagonalturun naik dan tepi tidak sejajar
(9. 15.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan diagonalturun naik dan tepi tidak sejajar
(9. 16.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua
diagonal berarah sesama dan tepi tidak sejaiar(9. 17.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua
diagonal berarah sesama dan tepi tidak se.iaiar(9. 18.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua
diagonal naik atau turun dan tepi tidak seiajar(9.19.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua
diagonal naik atau turun dan tepi tidat< sejajar
t.2. 1. Penentuan titik berat pada bidang yang datar416
420
420421
425
425
430
431
433
433
434
435
436
436
Bentuk luasnya F jarak titik berat e
ESHPersegi-empatF:a'bdengan sama sisi:F=a2
e:,
,ffi JajaranF:a'hn : /6t-.t
h
"= i
*ffi Trapesiurn
F: a+b._ n:m.n2
h a+2bA-:--- 3 a+b
.d1\t#i:s\
Segiempat sembarang
h'+h"r : ---z --'s
S pada titik F"rotong garis
FJ dan Glt, F dan G
men jadi titik tengahdiagonal ,a,C dan BD,cian jarak Cll - AE danDJ = BE.
,/\. /,{ ,f"\ Ie "//\ \ i Ir,{flfl t i
L-:_rl
Segitiga
F=, 9-:I' :' l-:luh = b.siny
h
466467
Segi-banyak sama sisi
n' R2p; __qi642^u= n.r..tg I
n'S2 u= o_ "rn,n : banyaknya sudut
Bentuk iarak titik berat e
180lstn-n
- 360U_u -- nrR=-180
cos -n
0o :180-,,
S : 2vrR'? - r,: 2 R "in 180
n
- 180 s 180=H cos n =2 ctg n
34
5
6
7
I9
'to
1.132 R
1.414 R
r,176 R
1R
0.8678R0,7654R
0,6840R
0,6180R
0,5635R
0.51 76R
0,390280.3129R
3,4M r
2r1,453 r
1t
0,9631 r
0,8284r0,7279r0.6498r
0.5873r0,5359r0,3979r0.3'r67r
0,5774s0.7071s0,8506s'ls
1 .152 s
1.307 s
1,462 s
1,6',t8 s
1.775 s
1.932 s
2.563 s
2.563 s
2ro,414r1 .1 55r1 ,'l 55r
0.2887s0,5 s
0.6882s0,8660s
1,038 s
1,207 s
1 ,374 s
1,539 s
1,703 s
1,866 s
2,514 s'1,012 s
0,50,7071
0,80900.8600
0,90100,92390.93970,9511
0.95950,96590.98090,9877
0,4330s'1s?1,772 s1
2,598 s'
3,634 s2
4,828 sl6,182 s?
7.694 s']
9,366 s'11,20 sz
20,11 s2
31 ,57 s1
1,299R,2F'22,378R1
2.599R'
2.736R'2.82tiqt2.893R'2,939R'
2,974R7
3R,3,061R'3.090R1
5,19614123,633r?
3,4&r2
3,371rt3,314tt3,27612
3,24612
3.23012
3,215t3,18313.1 681
3
4
5
6
1
8q
10
contohl;n -5 s =30 mmR -- 0.8506 30 = 25.52 mmr - 0,6882 30 . 20.65 mmF -1.72A 30, = 1548 mm,
1,O42r
1.035r
1,O20r
2.563r
Lingkaran
F =r2.r=Or+
conloh2: n 12 R 75 rnrn
r = 0,9659 '15 = 72,44 mm
' s =0,5176 75 =.38,82 mm
F ,3. 75'? ..16875 mnr'l
u'd4
Setengah lingkaran er= *r:0,4244r3n-4
ez = Jn- : 0,5756 r
8
,2.-
z
468
=d2
469
seperempat lingkaran
F=r2'n4
luasnya F':
F, : rz(1- it: o,urcr,
Eentuk jarak titik berat e
4€r::_l'
JN
= 0,4244 r
'10*.3re, =--r" 12-3n'
= 0,2234?
3n-4e2: ^-rJtr
= 0,5756 r
2e' = 12inr= 0.7766 r
Sektor lingkaran
- r b t2 n'aot = 2 : 360- =o'0a87266' qo' 12
. 2'F roo'no =; = -180- :0,017453 . ( qo
_ 8t-s ) co < 900- 3 le(1500e' :# = s7,2s69
2s"3b 2 sino- 3 ' arc,
12' s=3.F
sektor 600 sektor 900
segmen lingkaran
2e =- r
n
= 0,6366 t
sl"- l2r
4\[28:-^- I
Jn:0,6002 r
- rz,qo'n' 2'180
r{b-s, +s.h2
23
r3 ' sin3 o
r'ao'nb : 186- -- 0,017453r.q00
s = 2. r. sn f = zr/ uzr-nl
h : r ( 1 -cos+ l :r - vC= 1, tso =ts$ = il=
s2h+-th2
Elips
= ,lt -";o - v/ibl
1.2.2. Penentuan momen lembam dan mornen tahanan
Mornen I Momen
fid164
: !-l4
: 0,7854 ra* 0,05 d.
A- 19t-a:y64
Momentahanan Ut/
!dt32
: flt'4
: 0,7854 r3
- 0,1 d3
D4 -d1D
R4 -ra
tt-nlt4
st/t16
: 0,5413 ra
F : 2,598 rz
1+2]/2___-_ r.6
_Ii n,17
- 0,1'1785 hr
"- lrfr
J-., : 9,525.,
a:rvi- 0,865 r
5vl-J-- r3
16
: 0,54'13 rr
0,1098 ra
ls : 0,0549 rr
l))* o'"" "lxy : 0,125 r{lss : 0,0165 r{
ls : 0,0075 rr
l))- o,'' "lxy : 0,125 11
l5s s Q,@{'( ;a
L b^,4
- 0,7854 b a:
Wt - 0,2587 rrw2 : 0,1908 r!et :0,4244 r
ez :0,5756 r
et: 0.42:44 r
er :0,5756 r
et : 0,2234 r
ez : 0,7766 r
Lb ",4
: 0,7854 b a,
Pada pipa dengan dinding yang tipis:
w:T- q.[,.(+)']l:W'R
a
I
: 0,5381 r'.
- 0,8758 er: 0,0547 a{
0,6906 rr: 0,8758 c:: 0,1095 a3
e :0,974 r
b trllx: J
bh2
2
3
momen lembam / momen tahanan t/l/
h2 6b2+6b_b1+b1212 3b+2br
h 3b+2ble:--- 3 2b+bl
H4 -h45H
6bllJrirlb-"2b * br
H1 -hl-nt/. _H4
_ ha : 0.1179 I: - h".
ltz 12H H
He: - ll t2 t'
-BI! :--! j1
w :17
Bll3-bh3-;.H
qn!{, + g}112
. Be,3-bh3+ae23l:- 3
1 aH2*bd2a.:-' 2 aH+bdez: H -et
w: B-[ -t ! !16H
e1
W: : '-1-e2
471
1.2.3. Tabel nilai-nilai pada bahan baja profilmasing-masing
1. 2. 3. 1. Tabelnilai-nilaiprofilbaja I NP
Sx : mom€n statis pada separuh luasnya profil
S,. = {i jarak titik berat pada bagian ta!'ik dan tekan
., - l,
-ux - ^, -Jx
It : momentembam : +[2b. tr + (h - 2t]s3l
momen lembammomen statis pada sayap
torsi menurutrumus A. F6ppl
Bentuk
h r2
mm
berat
cm2
ukuran-ukuran
3,753,9
4,55,1
6,36,9
8,1
8,79
14,1
10,8'1 1,5
13
14,415,316,)
17,1
1B'19
21,6
garis sumbu x-x
lolmm
tmm
lxcm4
354042
505866
7487909B
t01214
l5t8202t
2425762A
30323436
160180200770
740750260280
300320340360
38040042'5454
4t5500550600
41lt6I
6080
10017011+O
4,75,97,58
10,614,2'18,3
72,877,933,539,5
46,149,7q?Z
61,1
69,1
77,886,897,1
1071't8132147
3,74,65,95
8,3211,714,4
't7,921,926,331,1
36,739,041,948,O
54,261,168,176,2
81r,0
92,6104
141167199
6,811,419,5
34,254,781,9
117161214278
354397442
'1,8
7,43,20
4,O1
4i815,61
6,407,208,008,80
9,5910,010,4't1,1
11,912,713,5't4,2
15,015,716,717,7
18,619,6?1,623,4
7,1
7,3qg
5,45,66,1
5,8
8,6
10,411 ,312,2
13,113,61tt,115,2
16,217,318,319,5
20,571,62324,3
25,627,03032,4
15,334,177,8
328573
9351 4502 1403 060
4 7504 97057407 590
9 80012 51015 70019 610
24 01079 21035 97045 850
56 48068 74099 180
1 39 000
)1
3,4
4,14,54,9
3B
a04211t45
1061'10113119
125131137143
149155163170
118185200215
6,56,9??
7,8
8,28,6
9,7
10,310,841 0
13
653782923
1090
1160146017407040
23802750361 04630
180713754
tt?1lt505560
-_- 1
a
472
4674
473
garis sumbu y-y
ry I wy'l iy
cmalcmll.-Sxls*ls',cm3 l.-1.-
l1
cm4
lobang
w ldrmaxmmlmm
h1
mmU
mzlm I
3,65,96,29
12,2I t,)35,2
54,7o. )
117162
221756288364
451s55674818
975r1 601440r 730
20902480.490
2,03,03,00
4,887,41
10,7
14,819,826,0JJ, I
41,746,551,061,7
72,2
98,4114
't31149176203
235768349434
0,870,960.91
1,07't,23't,40
1,55'l,v11,87ana
2,202,272,372.45
7,562,672,802.90
3,023,1 33,303,43
3,503,724,074.30
4,736,79
11,4
19,9
47,7
68,0q?1
125162
706231?57316
481457540638
74',1
85710201 200
1m167021202730
3,675,026,84
o<?
'10,3
12,0
13,715,517,718,9
20,621,5
14,U
1E 7
27,429,1
-?0,7
3?,434,136,2
40,442,446,850,9
3,945,686,93
'10,217,414,6
16,819,121.123.4
16,t27,830,1
32,434,636,939,1
41,443,646,549,1
52,154,660,066,5
0,4880,5520,928
1,72
4,66
7,0810,314,620,1
2:t,o31,336,147,8
61,278,297,5
173
150183233288
354449618875
27
763034
38444657
56
5862
64707474
80848692
96100110120
11
14141717
17172020
202A2023
1?
232626
16762626
784'l59
7592
109
125142159175
19?.200208715
241257274290
305373343363
384404444485
0,2100,2s70,304
0,370o,4390,502
0,5750,6400,709o,775
o,844o,8770,9060,966
1,03'1,09't,15
1,21
1,271,33't,41
1,48
1,551,631,80't,92
41125I
!0l2l4
l6l82022
u232628
30t2?t36
38404211t1.5
47112505550
20907480
bentuk
1.2.3.2. Tabel nilai-nilai profil baia U NP
ukuran-ukuran
tekan momen lembam
momen statis pada sayaP
berat
11 ,013,517,020,4
garis sumbu x-x
Sx = momen statis pada separuh luasnya profil
IS, : * jarak titik berat pada bagian tarik dan tekan
Jx
)^= E:
It = momen lembam : + [2b.t3 + (h-2t) s3]
torsi menurut rumus A. FoPPI
6 : jarak yang menentukan lr2 = lv2 : 2l' pada dua prosil
baia U NP
Bentuk
E cm3
8t012l4
16t82027
2476B30
12353840
F
cm2
24,O28,032,237,4
6,57
8
8
8,59
10
5
mm
6677
7q88,59
'.l'lmmmm]
- '. T-.; ilool rot
120 I 55l4oleoltt'160 I es Ilsol rol200 7s I
220 I rol240 I ,, I2601 9012Boj gsl3oo I roo I
rl
mm
44,54,55
26,541,260,786,4
'115150191245
la
3,103,914,625,45
6,2',1
6,951,708,48
9,229.,99
10,911,7
12,11?,914,114,9
10,511
11 ,517,5
13141516
5,55,566.5
9,5101010
141413,314
8,75o
11,29
47,348,3
s8.8
75,877,379,791,5
42,442,847,6
679734826
1 020
30037'.i.
448s35
320350381400
1001001021'10
17,516'16
18
T- I - --:11t''i1::n'"'*r1*n11"":11"1-t -1 -l--l l-l :-i
;TT EJff l- l: I ^' I ":fw
t05. 65tg5. 60
235. 90300. 7s300. 78
474
Profil baja dengan ukuran knusus kereta api
105145
235300300
65bU
90
78
8I
101010
555,5
8I
121013
4,075.43
9,0010,711,1
ev]r,o"'I ::l :l-
I
a,s+ | t,+s 10610,511,ss120613,4 1 1,60 364ta.o : t;ts I 605
18,8 I 1,84 | 92szz.o 't t,gz J I :so25,3 2,0',1 191029,4 2,14 | 2690
37,2 2,73 | 360037,9 2,35 i 487041.8 \ 2.53 I 628046,2 z,to | 8o3o
s9,5 I 2,50 I 10 87060,6 2,40 | 17840ez,o i z,ts I rsz:ozr,alz,eslzotso
gans sumbu y-y t I ' I lobano,xliEx lxfifx "
I
i ll-ll wrdlin,+ar+ l_-La_]+l mA:
1.. l-.i.,,:"J mm
ty
cm4
*r]iycm3 i cm
s*1,,.*r | .-
1,331"471 ,5941<
't,89v,o?7,142,30
7,422,562,742,90
2,812,777,783,04
15,924,536,351,4
6,658,42
10,011,8
13,3r3,r16,818,5
24,121,823.675,4
7,419,61
'12,0
14,1
16,418,821,323,5
75,928,230,232,3
2,74t,Y64,306,02
7,819,98
12,617,0
20,823,733,240,6
69,263,267,185.2
U
m2/m
o,312o,3770,434a,489
o,5460,6't10,6610,718
o.7750,8340,8900,950
0,9821,051,111,18
l1
cm4
s'x
cm
35,440,245,946,9
19,429,143,262.,7
6,368,49
11 ,114,8
ttLzB I - I,zslt+ +o42l',to4 130114 64s51120i30117 s270 I 14A I 3s I 17 I 98
8211s6135120111s96t174'401201133
io8 I rqo +o I z: I rsr'tLz I 208 I 45 I 23 167
134 i 724 I 45 I 26 )184146121+olsol26i200160 I 262 I 50 26 I 716174 I 282 | ss ) ?6 1232
182 I 286 5s I 26 I 246204 | 300 I ss I 26 1282230 I 324 I s5 | 26 1312240 I 346 I 60 I 26 1324
8t012t4
16i8zo22
24262830
t2353840
813 16,32?-,42'1,033,6
80,675,078,4
102
r'r8,8
dl,611.',l
179221266316
114148197
248317399495
597570613846
39,647,757,767,8
413459505618
7'6,3?.8,63't,132,9
Profil baja dengan ukuran khusus bangunan I t t
Profil baja dengan ukuran khusus bangunan f \i,--l -'- l--l-'- -- 1 -- r---t- I -r----
61,253,it
't3,211,9
40,524,234,7
,,,ur]rr,.'r,rol,o,o io,',, 36 i ',,2 I ,, | ,0, ,o 1o,o:.1,6s I 49,2 1i,9 I 15,8 4,76 68 t. 't?.8 ' 35 i 17 | 111 | 0,494
ilirr:r2,s3 i 17s ,1e,2 12s,8 t1e,s eB ] raa I so I ze I ro: o,zas1,84 i204 1241 40,6 116,1 182 t 242 A 23 I 257 0,857z,'to t, zlt 24,7 :e,r I z:,0 raz ] zs4 40 ' 23 j z+s i o,esa
8,80 | 10,4 I 4,18 36 105. 65t45. 60
235. '0300. r5
300. 78
475
272145209
1.2. 3.3. Tabel nilai-nilai profil baja L
lxy - momen sentrifugal
It : momen lembam : -0 J9
12u-.1 ,'torsi menurut rumus A. F6PPel
-1112 =,
BentukL
1. a. s
mm
t5. 15.3'4
20. 20' 34
25.25.3I5
30. t0. 345
35.35.{6
10. 40. {5a
45.15.5,1o,50.5
6,)
53'tt.68
t0
40. 60. at
t0
63.6t'',fi
1o.70 -,)tl
13.,5-'t
t0l2
476
garis sumbu x-xdany-y
wx
cm3
l1
cm4
lX
cm
o,43o,42
0,590,58
0,75o,74o,77
0,900,890,88
1,051,O4
1,351,33
1,511,501,491,47
1,66'1,641,62
1,821,801,78
3,5
3,5
0,821,05
0,670,73
0,850,90
1,031,081,'13
1,181.241.30
1 ,41
0,480.51
2,83
3,18
3,54
2,673,87
3,083,794,48
4,305,86
8,43'1o,612,7
9,6711,013,5'15,8
17,322,125,3
22,879,134,9
33,44',1,3
48,8
42.452,661,8
5?.,458,97',1,482,4
2,712,322.,43
2,392,502,62
2,622,732,83
2,792,903,0'1
2,953,Ol3,123,24
5,427,@8,69
6,838,62
10,3
1,121,45
1,421,852,26
1,742,272.75
0,60o,64
0,730,760,80
0,840,890,92
1,001,08
1,121,16'1,20
't,281,36
1,401,451,491,56
1.561,641,72
1,691.771,85
1,851,932,@
1,972,052,11
2.@2,132.2'l2,79
1,77
2,47
0,t50,19
0,390.48
o.791,O1
1,1I
1,411,8'l2.16
7,964,14
4.485,436,33
7,43't0,4
't1,o,t2,8
14,617,9
0,150,19
0,280,35
u,450,580,69
0,650,861,O4
1,18't,71
't,561,912,2e
2,433,31
3,053,6'l4,155,20
4.&5.726,97
5,296,888,4',1
7,189,W
'10,8
1,121,451,77
't,361,782,18
4,805,696,568.24
6,318,23
10,1
6,919,03
1',t,1
8,7011,013,2
9,4011,914,3
10,rll,514.115.7
ajo3,04
2,422,973,52
3,384,60
3,Tt4,475,156,47
4,956,467,90
7,389,34
11,2
7,949.03
11,111,1
1,421,53
1,581,64't,70
1,8',1
1,97
1,987,O47,1',|2,2',1
1.961,941.91
2,'t22,102,C8
1,782,762,252.72
jarak garis sumbu
T
t -e rl:71bentuk
La.a'5
t0. 90. Iiit3
100. t00. t072'14
rr0. tt0. 101714
t20. t20' t!t3t5
t30. t30. 12l4!6
t&0. tgo. t3
t6t8
t60. t60. t511l9
180. t80. t61820
200 . 200. 't6
t820
477
t(
cm4
10',10
11501 280
13401 5101670
1 7501 9502140
2690)9703260
374041 504540
3,063,033,002,96
3,453,4',1
3,39
3,823,803,77
4,734,214,',l8
4,624qq4,56
5,004,974,94
5,385,365,33
5,775,745,70
6,155,136,10
6,966,936,90
7,787,757,7?
1,551,541,531,54
1,751,7 4
'l ,951,951,94
2.,162,152,14
2.35
7,34
2,542,512,t2
2,742,732,72
2,942,93I q?
3,143,13211
3,503,493,49
3,913,903.89
42,751 ,659,066,4
68,280,992,1
2,574,958,44
13,2
10,716,8
6,9311,918,7
10,116,525,1
14,111 1
31,0
19,479,542,6
25,938,454,3
34,049,1
68,1
46,565.889,8
51 ,973,5
100
tfl
cm
hl
cm4
i€
cm
115139161181
184218250
280328372
379444s05
541675705
750857959
29,635,943,048,6
47,857,155,9
86,798,3
98,6116133
140162186
194223751
262298334
347391
438
453506558
619757830
9431 05011 60
80. 80. 8l01214
20232323
23?326
232376
23)376
232626
232676
76
0"351
0,390
0,430
0,469
0,508
o,547
0,586
4,625
0,705
o.185
140164186
701232264
278
354
376475
498558617
648722791
1 4001 5501 690
!
garis sumbu x-x dan Y-Y
lxlWt
cm{ I .-'
ix
crh
2.422,417,392,36
2,747,722,69
3,M3,4;i"
3,00
3,363,343.32
3,663,643,63
3.973,943,92
4,584,564,54
4,884,864.84
5,515,495,4'l
18,021.625,1
24,729,233.s
30,135,741,O
39,546,052,5
50.458,255,8
63,372.391,2
78,788,799,3
130145164
162181199
116138158
17124123s
2392803'19
341394446
4"12
54605
638723805
845949
1050
734026002850
3,203,313,413,51
3,593,703,81
3,994,104,21
4,34/+,45
4,54
4.754,864,96
5,155,765,37
5,545,665,77
5,956,O76,17
7,117,227,33
7,807,928,04
cm
BentukI
a. a. S
mm
72.387.5
102115
12,615,518,220,8
95,5108118
12,315,117,920,6
9,6611,914,1'16,1
2,262,342,412,49
8tt" 80. 0t0l2t4
,0. ,0. ,ilt3
t00. 100. l0l2lt1
fio- lr0.l0l7l4
t20. r20- lil3t5
t30. 130. 12ltt6
t40-l{0.llt5l,
t50. lso . llt6t8
t60. t50. 15l7l,
rto. lEo. 16!870
200. 200 - lat0fr
478
4,274,754,23
6,156,136.1',|
2,542,622,74
2,822,902,98
3,073,153,21
3,363,443,5'.1
3,643,723,80
3,92.4,004,08
4.214,294,36
4,494,574,65
5,025,105,18
5,525,505,68
12,714,717,1
15,117,820,6
16,6'19,7
22,8
19,923,326,6
73,627,230,9
27,531,43s,3
31,635,9q,1
36,7q,745,1
43,548,6s3,7
48,554,359,9
15,518.771,8
'19,222,726,2
21,275,129,O
25,429,733,9
30,034,739,3
35,040,045,0
40,345,751,0
46,1s1357,5
55,461,968,4
61,869,176,4
10,6
11001 2301 350
1 68018707040
6,356,465,58
12,7
14,1
e -t 1l -rltn 1,,cm4 I ..
0,351
0,390
0,430
o.469
0,508
o,541
0,586
t6 I 0,625
0,705
0.78 5
bentukL
a.a.s
mm
80.80.8t0l7'14
90. t0. 9Iti3
r00.100.t0l21q
tt0.tt0.t017ll.
t517
t50.t50.t4t6t8
t60.160.1517t9
t80. t80. t6t820
200. 200. t6IE20
4t9
if
cm
rf
cm4
115139161181
1 01011 501 280
134015101670
1 7501 9502140
269079703260
3,063,033,002,96
79,635,943,048,6
98,6I tb'133
1 ,551,541,531,54
1,161,751,74
47,151 ,659,066.4
2,514,958.44
13,7
4.',t17,47
12.1
20232313
3.453,41
3,3e
3,823,803.77
4,?.3
4,714,18
4,624,594,56
s,004,974,94
184218250
280328
379444505
54162570s
750857959
47,857,155,9
7?'l86,298,3
68,280,992,1
104121137
140
186
201232260
278317
-154
316475
498558612
648
791
1 00011101210
1 4001 5501 690
73)6
23)3
23)326
2l7626
232626
7,16
2,14
2, l51342,34
6,2110,715,8
6,9311,918,1
10,11 6,525,1
5,775,745,70
5,385,365,33
6,155,136.10
140162185
194
762298334
341391438
453506558
679
830
3,143,133,12
14,1
33,0
51 ,973,5
100
2,542,53
2,11
)ai2,932,93
3,503,493,49
3,91
3,903.89
19,4)qq42,6
25,938,454,3
34,O49,1
68,1
1+6,5
65,889,8
374041504540
6,966,935,90
7,787,757.72
9431 0501 160
wllwrldr
mmlmmlmm
1.2.3.4. Tabel momen lembam I dari bagian badan dari profil baja
Momen lembam / pada badan dengan tebalnya f tidak adadalam tabel berikut dapat kita menggunakan nilai t = 10 mmsaja, yang dikalikan seperlunya.
th3tx-
1D
h
mm
/, (cma) dengan t (mm): h
mm
/, (cma) dengan t(mm):8 10 12 15 8 10 l2 15
5060708090
100110120130140
8,&t14,422,534,148,6
66,788,7
1151471&t
10,418,028,642,7,
60,8
8it,3111
1441 Stit
229
12,521,634,351,272,9
100133173220274
15,627,042,964,09'1,1
125166216275343
500550600650700
750800850900950
83&!110921440018i,0822ffi7
2812534r38409424860057158
10/.1713865180002288528s8tit
35r5642667tr11776075071448
1250016538216002746334300
121885120061413729008s738
5273/640007676691 125
101172
156252079727000u32842875
150160170180190
20021022023024A
225273328389457
533617710811
922
281341409486572
667772887
10141152
&t8410491583686
800926
106512171382
422512614729857
10001158133115211728
1000105011 001 1501200
r2501300135014001450
06067771758873ii
't 013921 I 5200
130208146467164025182933203242
83i|3396469
1 1001 7126740144000
1627601830&t20503122ffi67254052
1 000001 1 576:l133100152088172800
195313219700246038274400304863
12s000114704166375190109216000
24414127462530754734300038t078
1 5001550160016501 700
I 7501800185019001950
225000248258273066299475327534
357292388800422108457266494325
28125031032334133337434440941 7
44061 5486000527635571583617906
337500372388409600449212491 300
535938583200633163685900741482
42',1875
4654845120005615'.16
614125
869922729000791453857375926859
2fi260270280290
300310320330340
104211721312146it1626
18001986218523962620
13021 465164018292032
225024A3273129953275
1 563175819682't 952439
27002979327735943930
1 9542197246027443048
33753724409644924913
22302W02350240024502500
20002050210021502200
53333157434261 7400662558709867
79537581 1 1338651 92921600980408
1041667
6666677179217717508281 988873i13
949219101391 7I 081 4901 15200012255101302083
800000861 51 3926100993838
1064800
1 1 39062121670012977841382400't4706131562500
10000001076890r r5762512422971331000
142382815208751622234I 7280001 8it8266r953125
350360370380390
400425450475
28583110337736583955
4267511860757145
35733888422145734943
5333639775948931
640076779113
10717
428€4666506554875932
5359583263268597415
80009596
1 139113396
480
inch
Eoo
!
Gf:=)
ar)mm
af
!oo)co
.9.oo)
dii)mm
EGG
TGo)co)
.9.Go)
s
mm
CD
Ec=oEo-oo
g2)kg/m
csc',cf
J- -ogE93C:
69-oEer)
ke/m
o.'d.o
Poo6'-Oo
F
cm2
oG-oocoG
cm2
oo-'oc.g.oG
Coo
dm3/m
6 ls,.a laqe l:s€ 8lE E> o-lj:.o
Iolr6275 | cm.
nilai-nilai sta
wl,.-, I cm
tlt
tls't lz',ll
1tL'11lt'
21lz'
33,842,448.460,276,O
88.81141@165
10.213,617,1v,446,9
6,28,9
17,416,121,6
27,236,041,853,O68,6
80,6105130156
22,352,352,652,65
3,253.253.253.653,65
4,054,504,854,85
2,463,173,655,176,63
8,6412,4't6,719,8
0,4100,6540,8581,431,59
0,4070,6500,8s21,221,58
2,443,143,615,106,51
8,4712,',|
't6,219,2
0,5150,8311,@1,562,O2
3.1',1
4,004,&6,498,29
10,815,520,s24.4
0,302o,622'1,21
2,M3,66
5,83'1o,213,827,O37,0
51,186,7
133190
0.0302o,0622o,1210,2040,366
0,5831,021,382,203,70
5,'11
8,6713,319,0
o"o:zol o.o<l .;l .;o,uttl o.'nt I o.zozl o.qooo.os:rl o.ro+l o.:ssl o.szeo.oezzl o,zool o.esal o.eego,os4sl i,so I r,rz I o.aozttto.roel r.eol z.rzlr.oeo:ttz I t.tt, | :,es I r.rso.rszlrr.a I a.ezlr.ooojag lzai I s.eo I z.oro,z:r I s+,: lt+,2 | z,se
o,ztglso,s lzr,e l:.ooo,:sglz:: l+o,a lr,ee0,43e 467 i se,r I o,tt0,s1e i785 | es.2 | s,67
U
,t
Iii1
1.2.3.5. Tabel nilai-nilai pipa air
trs
1.2.3.6. Tabel besi beton
Banyaknya besi beton
1 I :__ i-l _l ' 1_-.__ | r _l :_ l l_tlluasnya dalam cm2 total
7,92'10,8
14,1
,@
1,9642,8273,848
5,O216,3627,8s4
11,311 5,3920.11
1,712.543,46
4,525,737,O7
10,11 3.918,1
27,928,314,2
44,747,855,4
63,672,481,7
91,6102113
l
I
I
9,05'12,316,',|
20,425,130,4
35,241,549,!
56,564,372,6
.17,8
22,026,6
31,737.243,1
49,556,363,6
71,379,488.0
17,131,936,9
4L,448,354,5
6',1,'l
68,075.4
10,211,312,6
o.r, i o,rr, | 0,78s, 0,e82o,s6s o.a+a I r,r: i r,+ro,nol1.1s ) 1,s4 | 1,e2
i,or l r,r.r l r,o, l r.r.,'r,zt I t,gt I z,sl I :.rat,st i z,to I t:rt 3,e3
1,572,263,08
4,025,096,28
25,4531,4238.01
45,2453,0961,58
70,6980,4290,79
3,554,174,83
5,556,3'l7.13
89
to
l2llt6
t8Nt
xuB
30t2g*380
0,395o.499o,617
0,8881,711,58
2,002,472,98
,,r, l r,r, lo,r, lr.r,:,ooln,ez{r,rslz,zo4,02 | 6,03 I 8,04 ilo.l,., 1r,., 1,0,, lrr.,6,28 19.42 l't2.6 t1s.77,60 11',1,4 115,2 119.0
9,O5 113,6 118,1 122,6'to,6 1 15,9 171,7 1 26,512,3 118,s 124,6 l:O,s
14,1 12',t,2 128,3 135,316,1 i74.1 132,2 14o,218,2 :l17,2 136,3 l+S,q
|,r,o | ,,r I *., L., i
I 22.7 I 34,0 | ts,e I ss.z I
12s.1 137.7 1s0.3 | 67,a I
6,799,24
12,"1
15,318,822,8
7,998,909,86
81,490,7
101
101,81',13,4
125,7
dlcmm I kg/m
s I o,rsl6 I 0,2227 I 0.302
garis sumbu Y-Yu kuran-ukuran
hbmm mm
cmm
s
mm
l, IW, li,cm4l cm3 I cm
l00x50x20
125x50x20
125 x 50
50 x20
150 x 65
150x75x20
1&x75x26
200x75x20
2@x75x25
zfix75x25
2.33.24.04.5
2.33.24.04.5
2.33.24.04.5
1.861.861.861.86
80.7107121135
16.1
21.325.427.7
21.929.034.738.0
3.953.903.853.82
4.884.U4.774.74
4.884.824.714.74
5.17i 4.067.01 I 5.508.551 6.71
9.4t1 7.43
4.51
6.137.50a.32
19.01 6.06 | 1.92
24.51 7.81 | 1.87
28.71 9.131 1.833o.el 9.82 | 1.81
33.133.5
5.757.81
9.55
6.328.619.5510.6
1379181
217
21.929.034.738.0
20.626.633.133
6.228.029.3810.0
6.228.029.3810.0
1.891.851.81
1.78
1.891.851.81
1.78
1_69 I 137
1.68 I 181
1.ffi| 217
1.68 I 238
4.9s 11.s56.76 I 1.547.s0 | 1.86
8.32 I 1.86
J 55Il sl1.il I
I
2.1212.11
2.11
2.512.51
2.50
2.662.652.85
L
12.19lz rgI z.rsI
12.33lz.szlz.zz
l,o,
rq6 I
6.769.2A
5.50't.51
9.22
8.01
9.8511.0
8.2710.211 .3
9.2711 .412.7
9.5211 .1
i3.1
14.9
6.3218.61 |
11.71
I
| 7.01 i
i 9.571
l rr al
lrozllrz.olI ra.o I
l,nullrs.olIr+alI rr.ellra.slI ro.z I
| ,,,1lrs.olI ro.z I
l,utl
2.J
3.24.
3.24.0
3.24.04.5
3.24.04.5
3.24.04.5
3.24.04.5
4.5
6.33 |l
8.19 |I
10.5 1
9.3712.2'14.5
15.31A.2
19.8
tl.J
20.622"5
15.818.920.6
17.821.323"3
23.8
1.861.81
1.75
2.422.372.32
2.742.692.66
2.822.782.75
2.612.62i.m2.762.722.69
2.62
482483
1.2.3.8. Tabel nilai-nilai profil kanal C berkembar
Ukuran-ukuranhbc
mm mm mm
100x100x 20
125x100x 20
150x130x 20
200x150x 20
smm
2.33.2
2.33.2
2.33.2
3.2
10.34't4.01
11.rNl15.60
14.O2
19.14
23.62
8.1211.0
9.0212.3
11.015.0
18.5
161
214
274362
4966An
1432
32.242.8
43.858.0
66.188.6
1zl3
3.953.90
4.884.82
5.945.89
7.79
140187
167
255
351
476
834
28.037.4
33.445.0
il.073.2
1',t1
3.683.65
3.81
3.38
5.004.99
5.94
I
-+- -I
igaris sumbu x-x garis sumbu y-y
ty I wri i
IUkuran-ukuranhbc
mm mm mm
100x100x 20
125x100x 20
130 x 20
200x150x 20
S
mm
2.32.,
2.33.2
2.33.2
3.2
10.3414.01
11.4915.60
't4.02
19.14
23.62
8.121'1.0
9.0212.3
11.015.0
18.5
16't
214
274362
4966&1442
32.242.8
43.858.0
66.188.6
144
3.943.91
4.884.82
5.955.89
7.81
73.897.5
74.1
97.2't45
193
297
14.819.4
14.919.4
22.329.7
39.6
2.672.U2.552.fi3.223.18
3.54
4.2.4. Tabel nilai-nilai balok kayu segi empat
bh3Momen lembam l^ =
12
hb3I'Y 12
Mom.en penahan W, = bh'6
*rYJari-jari lembam i, : rf + = 0,289 h
F
1..:/i :YF
garis sumbu y-ylv IW, I i
4U
0,289 b
bCM
hCM
Fcm2
lsacm4
wxcm3
lycm
lycm4
wv^cmJ
tY
cmV
m3/m
2.43
4.85
11.515
22.1
31.39.2
12.51.39'1.45
qtr
11.34.6AF
0.690.87
0.00120.00'15
44
44444
68
10't2
14
16
18
243240456u72
71
169
333570906
13521925
24426695
129169
214
1.732.31
2.893.474.U4.625.20
324353
u758596
16
21aa
323l434t]
1.161 .161 .161.161.'16
1 .161.16
0.m240.00320.00400.0@80.00560.00640.c072
5 8 40 213 53 2.31 83 33 1.M 0.0040
666
666666
68
'10
12
14
16
18
2022
3646072u96
108
120132
108
256500864137220/,8291640005324
36u
100
144196
2563244004U
1.732,312,893,464,M4,625,205,776,35
108144180
21625228324360396
36486072u96
108
120132
1,731,731,731,731,131,731,731,731.73
0,00360,00480,0060o,@720,m840,00960,01080,01200,0r32
88I8I8I88
8't0
12
14
16
18
202224
6480()6
112128144160't76
't92
y1666
1152182927303888533370989216
85133
192261u1432533645768
2,31
2,893,464,U4,625,205,776,356,93
y1426512597ffi2768853938
1024
85106
1281491701922132U2fi
2,31
2,31
2,312,31
2,312,312,312,312,31
0,m640,m800,m960,01120.01280,01440,01600,01760,0192
1010
10
10
10
10
10
10't0
10
10
12
14
16't8
2022
242628
100
120140'160
180
2@2202N260284
833144o22863413486066668873
1 1520
1464618293
166
2N326426540666806960
11261306
2,893,464,U4,625,205,776,356,937,51
8,08
8331000
1 166
13331500
1666
1833
200021662333
166
20023326300333366
400433466
2,892,892,892,W2,892,892,892,892,892,89
0,01000,01200,01400,01600,01800.02000,02200,02400,02600.0280
bCM
hcnl
Fcrn2
lxcm4
wxa
CMJ
tX
crn
lycm4
wY^
CMJ
tyCM
Vm3/m'
12
12
12
1?
12
12
12
12
12
12
14
16
1B
2022
24
26
28
1M168
192216240Zil288312336
17242144409658328000
10&81 382417516
21952
288392512648800968
1152
1568
3,464,U4,625,205,176,356,937 tr1
8.08
1128201 6
23042592288031 68345637M4032
28336384432480528576624o/t
3,463,463,463,463,463,463,463,46J,40
0,014410,0168I0,01920.0216o,a2N0,02u0,02880,03120.0336
14
14
14
l414
14
14
14
14
16
'20
22
24
2628
196224)q1
2803083383&20,
3201
477868049333
1242216128
2050525610
451
597156933129344577829
4.O4
4,625,205,776,356,93/,518,08
3201
365841164573503054885945MO2
457E11
588b5J7187U849914
4,U4,U4,u4,044,M4,U4,U4M
0.01960,0224o,02520,02800,03080,03360,03640.0392
16
16
16
It)
16
16
16
t6t8)n22
24
26
/o
2562883201)384416M8
5461
7116L rooooI rargz
I tuszl2uuI zszosI
682BM
1 06612901 5361 8022090
4,625,205,7V6,356,931,518.08
5461
614468267509B 192
88749557
682768853838
10241 109
1 194.
4,62 | 0,02564.62 I 0,02884.62 lo.032oq,oz lo,ozsz4,62 | 0,03844,62 10,04164.62 | a,o448
't8
ro,18
18
181B
18
20
?2
26
2A
324360396
468504
8748i200015972201362636432928
o)a
12001452172820282352
5,20 I 8748sr I stzo6.35 I 10692
6,s3 I I r6Mt ,51 | 12636
e,oe I rs6o8
all
r 0801 18B
r2961404
1512
5,205,205,205,205,205,24
0,43240,03600,03960,04320,M680,0504
2020
2A
2020
2022
24
26AQ
400MO480
520560
I JJJJ17746230402929336586
1 3331613
1 920an(c
2613
5,776,356,937,51
8,08
1 33331 4666160001 73331 8666
3331466
t600r 733r866
5,775,71Raa
5,775,17
0.04000,04400,04800,05200.0560
aa
22
22
22
1')
26
28
M528572616
19521
253443222240245
1114211224782874
6,356,937,518,08
19521
2129623070248M
1714
1936
2097alaQ
6,356,356,356,35
0,04&l0,05280,05720.0616
24
2424
2426
28
576624672
27&,8351 5243904
23M27M31 36
6,937,51 :
8.08
276/€ l2w29952 I 24%322s6 I 2683
6,936.936,93
0,05760,0624o.C512
Il. 2.5. Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk baia ST 37
1,.itL: i = angkakelangsingan
Pada gaya batang S atasdasar beban tetap (induk) H
!
t
+Imkelanosrnoan | '^--
;; " I regangan vang diizinkan dalam kg/cm2
" -
102030
405060
708090
100
1r0120130140
'140
1400I 330't2&
118011m1030
955880805
730
655
140013201250
117011001020
947872797
722
1 3901 320124o
1't 6010901020
9Q855790
715
1380I 3101230
1't6010801010
,32857782
707
13801 3001720
115010801000
925850Tt5
700
13701290't220
11401070992
g'.t7
842767
692
'r 3601 2801210
11401060
985
910835760
685
1 35012801200
113010509'n
n2827752
6n
't34012701200
12010401970
895820745
670
'13401 2601190
't110'1040962
887812737
662
649
546456
k max Pa(
t$7
I 637
I s:z| 4s8,a jembata
I 397
626
528452
kereta at
391
61s | 604
s20 I 51241,6 I +ra
386 380
594
503432
375
584
496426
370
488420
365
564
480414
360
555473408
407139713913s1 l:+e lur
,tk max pada iembatan lalu linta32035s
312150160
150170180190m200210270230240
776746LZ12m
181165151138
196
162148136
301267238214
1?4176160147135
1?217415?146134
309 I 304273 I 270244 | 241219 I 217
max pada bangunan
316
280249224NI
?83E2D62U
185163153141130
324
286255229206
186169155142131
329
2X)258231208
293261233vo
337
7972&236a1a
198179163150t5t
,t1
333
190173158145133
18817'.|
156143't32
183't6615?1Q129
Kondisi-kondisi tekuk
/* : panjang tekungmenurut Euler : 2t t 0.7 L 0.5 t
I!
}tie" \
q
Pada gaya batang S atas dasarbeban tetap dan hidup (HZ)
r'lz rl4Tegangan yang diizinkan dalam kg/cm2
102030
405060
708090
54045
4053s6
315280752227
64$
549472
3192U2v229
2S1 8[]1731581$
5584T'
46:t55
322287257232
567486
422370
3262907&2v
211192176't61148
576493
4283'14
330293763236
585501
434379
334297265139
21619617914't 51
3393m268?41
218198181165152
2232021841681y
zu'185't70155
1/tO150160
160110180190200
2m210220230?40
1 60015101420
1 34012601170
10801000915
1 59015001420
1 33012501't 60
1 58014901410
1 3201244't150
"t070983898
343304
131012301140
1 5601480't 390
I 310"t2201110
1050966881
796
1 55014701 380
13@12101130
2141941n162149
459 l1 max paoa lembatan kereta apr
1 54014601 370
129t)12001120
15{o14501370
1 2801 2001110
4103@
2101v'l174'r60147
yang diperkenankan
10809r1906
1060974889
804
10309Q855
7:10
1030949864
Tt9
1040957872
787
'152014301 350
12@11801090
101o923838
753
206187171157145
't00
110
't20130140
14s31447144o4ool rssl:asl:s4351 ik max pada iembatan lalu lintas
347307
2771274127',124912461244225 Ik max pada bangunan
2n2@1g?.167153
1.2.6. Faktor tekuk dan tegangan tekukuntuk kayu
745 I 7301 717 I 705ti62s | 5141 604l se453215241516'509
Kondisi-kondisi tekuk
& = panjang tekungmenurut Euler =
2l L 0.7 L 0.5 t
488 ZE9
!
t.i" - i = angkakelangsingan
ittFaktor tekuk
(o
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayudengan kelas kuat:
I
kg/cm2il
kg/cm2ilt
kg/cm2IV
kg/cm2
01
.)
3
45
o7
8o
1011
12
13
14'15
16
17
18
19
2021
2223242526272829
30
1,00i,01'1,0'l
1,021,03
1,031,U1,05
1,06'1,06
1,071.081,091,091.101 ,111,121,131,141,151,151,161 ,171,181,191,201,21
1,221,231,24
1,25
130129128127
1261261251241231221211201t9119118117
116115114113113112'111
110
109108
107
107
106
105
104
85uu8383828281
80807979787877
777675757474737372
71
71
70
70696968
606059595858585757575656555555uil535352525251
5l505050494948I
45454544444443434343424241
41
41
41
NNQ3939393838
383837
37373636
T\
trtt Faktor tekuk
(,
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengankelas kuat;
I
kg/cm2il
kg/cm2lll
kg/cm2IV
kglcm2
71
7273
7475re7778
798081
82838485868788899091
9293gl9596979899
100101
102103104105106107
108'r09
110
1,901,921,951,972,N2,O32,052,082,112,142,172,212,242,272,31
2,v2,382,422,462,fi2,92,82,632.682,732,782,832,82,913,003,073,143,213,283,353,433,503,573,653"73
6968676665
6463636261
6059585l5656555453525'r
504949I47464544434241
41
N393837363635
454444343424241
Nq3939383737363635
.35v333332323'r
31
30
30292828272626252524242323
3231
31
3030302929
28282827
27262626
252524242423222222
2221
21
20202019
19
18
18
1817
17
1616
242323232322
222221
21
21
2020202019191918
18
18
17
17
17
17
16
16'16
15
15
15
14
1414'r3
1313
13
12
12
lr
Faktor tekuk
G)
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengankelas kuat:
I
kg/cm2il
kg/cm2ilt
kg/cm2IV
kg/cm2
31
3233u353637
38394041
424344454647B495051
5253u55565758596061
62
63&l6566676869
1,261,271,281,291,301,321,331,41,351,361,381,391,401,421,431,41,461,471,491,501,521,531,551,561,581,601,61't,63
1,651,671,691,701,721,741,761,791,81
1,831,851,87
103102102101
100
999897969594gt939291
90898887868585u838281
81
807978
7777
7675
7473
7271
70
70
6767666665uu6363626261
61
605959
5858
5757,56565555il5353525251
50504949BI47464645
4847474746464545444434342424241
41
40403939393838383737363636353535vu333332a,
3635353535uuv333333323232
31
31
31
31
303030292929282828282727272626262625
25252424
,Itr Faktor tekuk
(n
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengankelas kuat:
I
kg/cm2il
kglcm2ilt
kg/cm2IV
kg/cm2
1t1112'113
114115116117118119
120121122123124125126127
128129130131
132133
1y135136137138139140
141142
143144145
14614714€!
149150
3,813,893,974,054,134,214,294,384,464,554,U4,734,824,915,005,095,195,285,385,485,575,675,775,885,986,086.196,296,406,516,626.736,846,957,077,187,307,417,537,65
u3333323231
303029
2928282727262625252424232323222221
21
21
20202019
19
19
18
18181817
17
222221
21
21
20201919
19
18
18
18
1717
17
16
16
16
16'15
15
15
15
14
14
14
14
13
13
13
13
12
12
12
12
12
1',I
'11
11
161515
15
15
14
1414
13
13
13
13
12
1212
12
12't1
11
11
11
11
10
101010
10
r09I9o
II9I88I8
12
12
11'11
't1
11
11
10
10't0
10109I9II98Ia
888877
7777
77
666b666
4.2.7. Penentuan tegangan omax pada konstruksi batangGaya luar seperti P dan Q diisi dalam f
Panjangnya /, ukuran c dan x, tingginya batang h dan lendutan /diisi dalam cm.Tegangan o,r dan modul elastis Ediisi dalam t/cm2,lpadabaja E : 2' 100t/ cmzl,momen lembam / : cma dan momen tahanan W : cm3
: 3,17 9I"t l' r1
: 2,3s q.3r r1
'1
Pl!iel
qt18EI
- 9,794 o-Y 12 ,;Pt3
aEt
: 3,r7 9M cr cr r;
i t"il :r,rgd'1*r'')I 8Et hI
I t ti t.+ 3l\: r.1romar(c. F 1'5-l)g
I 3Er\ 2.t h| ,.)
:)']
!)
3/-(
1)
1)
1)
o,ee2 qIgI-I1h
(;)i.(;)
e,26s oj13I 11
s,473 o:!11P-
h
g.a12 9-u !h
+5
Ol sQl38W 384Et
Pada o c. padaA'B 2w'r I - lor, 1s 5c'
^ ,. ' I L
lzaerlre-zr.1,;(.-.) I ilvv \ 4 , I
,.1;1.:t^^^-. ar] c l= Qr3-.K€rtoUc:o.2o7t:* o)*1 1600Et
Pada,a j paOa, x:0,447t3pr I ,,,16W I
A = 11 p/16';'t: t rl1, | +e[s'tt
pada,i I p.dr,,:or;QI I QI'8w I raser
A:5Q/8; B::Q/a
5 (0 5
:i+i
n[ffi
1.+
JLr-
'1- I t
-
IH "lr'
l-ll-
o+-{
fl.^
i- fl
l- .
i'ti-
't-i-i ti
!, 0) CL
0) c o c r o o ET o
9-o 83 --
tlt
il
.o.o
IN
OO
ooo ---
n 9 !
I 9 @
l -oP o
@
o o> ni
lO
@il
ill:-
-.o
88&
8Bd
ooD
@oo
o>[[n
nil
-o--
o:r-
oo6
!or
;388
SD
OO
OO
il
o@ [il -o 'oL
6+ ES 1:
il
o@ ilil
JO BS
AO
IO
@ ll --o 8r 9* lo
ltO
@ In JO '-$ ?Y !l
., l
>o 3) F 1l
gN-
ol
I
[ il1
1
l++
-o -
o.o
8 88
oo!
o aD
N J
\,N
<<
<3<
<oo
SoN
J
f,nrr
rr|
!++
++
oooo
oo88
88S
8tu
NO
N-O
oo!o
r@!4
0000
N,N
NN
NN
nIn
l++
ooo
b b'
o60
@gs
ED
DO
NN
N
lt ill
1++
ooo
HE
Hoo
!o:
o
NN
N
ilil| l++
-o.o
.o88
8gs
goo
o
NN
N
ilx l+ B8 ss oo NN
<i
il: -O @>
fe -f
36
ll I
Bs
oJ
Ill EE
9i
ll . ! 3 Y
N il B N
ll ! @
il ! @ -
il tr
E
<q
-l c-
3.'^
81-;
g a\!
L* o63
'1
T -o € { lq l3 ,ll Ir,
NE
o-@
o,=
!q.
Oa
=3 9e J= trf
ola
Ja
qr'
la(
oq,
6'
x; ot J Gt^
th c-&
Oo
o 0r
_
*o o3 *6 LA !O a t c o 3 CL o 3 o : o
-t Sl-
-t
ul Blo
ml-- -t T -o N € @ lq t!l ,ll lx g-
&
5 (o ('r
M u
ata
nJa
rak
engs
eiT
umou
an
q =
kg/
m,L
: m
Ny'
omen
m
axrm
al
M=
kgm
,L=
m
Mom
en l
emba
m I
untu
k le
ndut
an
L 200
1=s6
41=
6
9el.A
I{
J(A
qH
6EX
,P,
ICB
|H c
lts
5
(t -
C
,203
5 /
\2 .
- 0,
1570
i13
= 0
'146
5 i
x4 -
0.
1250
'
A Cl
a2 Ca
C4
B
0,41
42 q
/1,
1090
q /
0.97
68 q
' /1,
0000
q /
1,06
25 q
/0,
4375
q I
Mt
=+
0,08
58 q
2M
2 =
+0,
0511
q 2
N43
=+
a.06
25 q
4M
4 =
+0.
0957
q E
Mcl
=-0
,085
8 q
2M
c24=
*0,0
025
q 2
I1 =
1,79
M1
13 =
1,6
6 M
3 /
iiI0,
1465
/
c,12
50 /
A =
B
=0,
4375
q/C
t=C
a=1,
0625
q/C
z=C
:=i,m
00q/
Mt
=M
A=
+0,
0957
q I
M2
=M
g= +
0,06
25 q
Il!'
1cr-
4 =
-0,0
6.25
q /,
l1 =
1,9
0 [4
1 /
13 =
1,6
6 M
3 /
*Pt'|
l t.+
'i'
)A
arat
rdrd
t6rc
,l!C
EJ
IJX
UX
6x
il!r€
ElrH
*cl
I
x1 =
0,1
250
/x2
.
0,14
65 /
A.=
B
=0,
4375
q/C
r =
1,0
625
q'/
C2
=1.
0000
q/
Ml
=+
0,09
51 q
2M
2 =
+0,
o625
"q 2
Mc1
2=
-0,
0625
q P
t2=
1,66
M2/
Elq
ra
bqla
H
qN]t!
, l.F
gtH
r,R
r g
x1 -
0.2
035
/x2
= A
,157
0 /
X3
.014
65 /
A=
B=
0,41
42q.
/cr
=
r,1o
9o a
/c2
=
0,97
68q/
c3
=l,o
oooq
/
M1
= +
0,@
58 q
2M
2 =
+0.
051
t q
2M
3 =
+0.
0625
q (
Mcl
=
-0,0
858q
/2M
c2-3
=-0
'062
5qP
It =
1,7
9 M
l /
13 =
1,6
6 M
3 /
))=
o,*
u ,
A.B
Cl
C2
0,43
75 q
. /
1,06
25 q
/1,
0000
q /
M1
=+
0,09
57'q
2M
2 =
M3=
+0,
0625
q I
Mcl
3
=-0
p625
q n
I1 =
1,9
0 M
1 /
13 =
1,6
6 M
3 i
a
IEC
A3
1 0.
1465
/2
0,1?
fl I
Cj
C)
0,43
75 q
i1,
0625
q /
1,00
00 q
/
Mr
='0
,095
1 q
RM
Z =
+A
,062
5 q
2M
c1 z
= -
0.06
25 '
q 2
r1 =
1,9
0 M
1 /
I2 =
1,6
6 lv
13 /
t. 2. 9. Nitai-nilai alat sambungan besi seperti keling, baut dan
las
1. Penentuan garis tengah d dari keling atau baut menurut tebalnya t ;n terkecil
pada plat baja:
t ...5 5 ... 8 7 ...12 1o ... 14 12...20 14 ...20 18 ...20d1l172123252831
2. Daftar beban yang diperkenankan dalam kg per keling atau baut terhadap per-
geseran (tampang satu, iikalau tampang dua boleh mengambil dua kali tampang
satu):
3. Daftar beban yang diperkenankan dalam kg per keling atau baut terhadap
tekanan dinding lobang pada plat baja setebal 10 mm:
pada bangunandengan: kg/cm2
o lobang (keling) dan 0
11 I,rlnL,'tMnlMelMrclM20
caut dalam mm
23l' zsl zaM22lM25lM27
gaya batang Satas dasar bebantetap (induk) H 1ut00 1330 1858 3180 4850 5820 6870 8620
gaya batang Satas dasar bebantetap dan hidupangin dsb.)HZ 1600 1521 2120 3630 5540 6650 7850 9850
pada bangunandengan: kglcm2
o lobang (keling) dan o baut dalam mm
11 I ''s I 't, I ,, I ,, I ,u I ,tM n lM plM rc lM 20 lM 22lM 24 lM 27
gaya batang .S
atas dasar bebantetap (induk) H 2800 3080 3@0 4760 5880 6/40 7000 7UO
gaya batang .S
atas dasar bebantetap dan hidup(angin dsb. ) HZ 3200 3520 4160 54/;0 6720 7360 8000 8960
496 497
4. Daftar faktor reduksi fpada barisan-barisan baut atau keling:
5. Daftar bataesn togangan pada bahan baia:
banyalnyakeling/bautyangmsk6im6lpoda barisdahm
n
satu boris dua baris tiga baris ompdt barts
6-d
f, hv fry , ,l) fry ,p
?
3
46
6
7
Is
t,0mr,0@0,m00,8000,7140,6430,8&r0,533
1,m0,8000,e430,5330,4550,3960,3500,314
0,5m0,5000,4500,4000.3570,321
0,N2o,x7
0,5m0,440,3750,320o,2780,2450,2190,1s
0,33tr1
0,3330.3t 000,26670,2381
0,21430,1944AjTE
0,5m0,4000"321
0,2670,2270,1980,1750.1 57
0,25000,25m4,22m0,m00,17860,16070,1.s80.1ix}3
10
1t12
13
14
15
r617
18
19
o,'t910,r85o,4B0,4,80,3710,3500,331
0,3'14
0,2960,284
0,ru0,2800,2390,qcl0,2080.r930,181
0,1710,1620,154
0,zts0,2270,2120,r980,1 86
0,1750,1650,1570,1 4t)
o,142
0,r800,1650,1530,1t12
0,1ait0,1240,1 17
0,11 1
0,1 060,t00
0,16360,1 51 5
0,14100, t3t90,13380,1 167
0.1 103
0,10480,@940,@47
0,1420,1im0,1200,111
0,1030,0970,00'l0,@0,81a,on
o,1xt70, I 139
0,10580,09*r0,09290,0€r/60.0827o,glu0,07460,071 1
2021
?2
B24
25
0,2710,2600,2490,29,0.230o,).,
0,1rS0,1390,1330,1 28
0,1D.0.1 l8
0,1360,1300,r250,1200,1 r50,111
0,0s0,091
0,0870,0&,0,m0,0n
0,09050;08660,ffip0,crc,0,0m70,onts
0,0730,0700,m70,0440,06'l0,0s
0,06790,06500,06230,05980,0sr50,0584
TeganganJenis baja
sT37 I Sr52
o dan t/7 + "r!, masing-masing 950 kg/cm2 l2([ kg/cm2
o + '/7+4 1350 kg/cm2 1700 kg/cm?
6. Daftar tegangan-tegangan yang diperbolehkan pada bahan baia:
*) Sambungan las sudut K bersela, jikalau mungkin diabaikan
498
Bentuksambungan las
Jenistegangan
Pada bahan baja ST 37 dan ST 52
gaya batang S
atas dasar beban
tetap (induk) H
gaya batang S
atas dasar bebantetap dan hiduP HZ
Tekanan dantekananlentur
ST 37
1600 kg/cmzST 37
1800 kg/cm2
ST 522400 kg/cm2
ST 52
2700kglcmz
1r I5'/il nn
Tarikan dantarikanlentur sikudengan jurusan
sambungan
ST 37
1600 kg/cm2 *)ST 371800 kg/cm2 *)
ST 52
22100 kg/cm2 *)ST 52
27C/:.kglcm2*l
o=tr
Tarikan dantarikanlentur sikudengan jurusan
sambungan
ST 37
1350 kg/cm2ST 37
1500 ks/cm2
ST 52
1700'kglcm2ST 52
1900 kg/cm2
Tekanan dantekanan lentur,Tarikan dantarikanlentur
ST 37
1350 kg/cm2ST 371500 kg/cmz
St52 i1700 kglcmz
ST 52
1900 kg/cm2
Semua Pergeseran ST 37'1350 kg/cmz
ST 371500 kg/cmz
ST 52
1700 kg/cm2ST 52
1900 kg/cm2
!.2. 10. Nilai-nilaialat sambungan kayu
1. Daftar beban yang diperkenankan per paku untuk kayu dengan berat ienisrata-rata 0.5 gr/cm3 kering udara:
2. Daftar beban yang diperkenankan per baut untuk k6yu dengan beraljenis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
Ukuran pakuPaku garis tengah @ mmPanjangnya paku mm
2Yz" BWG 11
3.0563
3"BWG 10
3.4073
3%" BWG I3.76
89
4".BWG I4.19102
4%" BWG 65.20114
5" BWG 65.20130
Dapat digunakan untukpapan tebalnya sampai mm 20 25 30 35 40 40
Kekuatan 1 paku
tampang satutampang dua
kgkg
31
624080
50
100
61
122
94188
94r88
keperluan ukuran sam-bungan per paku min. cm2 6.2 8.0 10.0 12.2 18.8 18.8
Jumlah paku kira-kiraper kg paku ptg 2W 185 r30 93 53 47
Baut garis tengah O mm 12
1/2"14 16
5/8"18 N
3/4"22 ,E
t"
Garis tengah di dalamdrat/snail mm 9 r05 12.5 14 16 18 20.5
Cincin minimum gCincin segiempatCincin tebalnya
mmmmmm
5850/50
5
6355/55
5.5
68
60/606
74
65/657
8070/70
I
o')
80/80I
105
95/95I
Ukuran kayu rhinimaldengan satu tarisan bar
Papan pengapitKayu tengah
t:
cmcm
3.6/B8/8
4.5/ 10
10/105/ 10
10/106112
12/ 12
6/1212/ 12
6/ 14]|
14/146/ 1A
't6i 16
Kekuatan 1 bauttampangsatu g =0o kg 308 384 463 il4 626 t11 856
Kekuatan 1 bauttampangdua 9 = 0'
9=45(9=90'
kgkgkg
615538461
768672576
925809694
1088
952816
12531096
940
142212441067
171314991285
Kekualan I baut untukgaya tarik kg 625 850 12m l5@ 2W 2500 3200
3.Daftarbebanyangdiperkenankanperbautpasakkhususuntukkayuberat.ienis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
d
tl[n
tampang dua dan lebih
pada batang tengah
4 6
tet8
ral kayu a dalamlol 12
:m
t4 16 18
8 272 326 326 326 326 3fr 3il6 326
10 340 5lo 510 510 510 510 510 5ro
12 4(}8 612 7U 7v 7v 7U 7y ?vl
t4 476 714 952 1(m tflx) 1(m 1fi)O t(m
16 w 816 1088 13(m 13{E 138 r3(D r3(E
18 612 918 1224 r530. 1652 1652 1652 1652^
20 680 r020 13fl) 17m 2M 2fiO 2(XO 2Dt()
x2 78 tlzt t4$ 187O 2,24,4. 2& 2468 2tm
24 816 1224 1632 20{0 24{/8 2456 2938 2938
n 884 1826 t768 2it10 m52 c,o4 34/t8 3|{8
8 952 142tr t9(x xm 2Ag8 3gIr 3UB 3m
3t} ro:lo 1530 v040 ?550 nEo 3570 txE tl8)
d
pada papan p6ngarrit
tel4 6 I
ral kayu10
dalam12
:mt4 r6 t8
8 176 211 211 211 211 ?11 211 211
10 2?f) 330 3[n 3A) 33) f,p an 3:n
12 2A4 396 478 475 4t5 475 175 475
14 308 62 6r6 u7 ill ill u7 u:t
16 352 524 7M 845 845 845 845 845
t8 3S 594 792 9g) 1(89 1069 1(E9 1(f,g
20 m 660 8g) nm r320 r320 t32() r320
?2 Qtl 7m 968 1210 1452 r597 r507 1697
24 528 7gt 1056 r320 r5B4 r848 1901 1901
26 572 858 114,. lrlil0 1716 Zffit zB1 2231
2A 616 924 1232 r5|{) 1848 2156 24li, 2fi87
3) 660 gso 1320 1650 r9€D 23ro zffi 29'tO
500501
d
mm
tampang satu
tebal kayu a dalam cl
4 I 6 | 8 I roi', I
n14 16 18
8 128 147 147 147 147 147 147 147
10 160 2n 230 2n 23t) 230 2n 2n
12 192 248 331 3:}t 381 331 331 33t
t4 224 3i:16 44 450 450 450 450 450
l6 266 384 512 589 589 589 589 589
t8 288 432 576 7n 745 745 745 745
20 320 480 640 8m 920 920 920 920
22 352 52f3 7M 880 r056 r 113 1113 tlt3
24 384 576 768 960 1 152 r325 1 325 1325
x) 416 624 832 lorto 124a 1456 1555 1 555
28 4$ 672 896 1 120 1344 1 568 1792 1803
c) '180720 9d) 1200 144D 1680 1920 2070
4. Daftar beban yang diperkenankan pada pasak cincin untuk kayu dettgmberat jenis rata-rata 0.5 grlcm3'kering udara:
Pasak geris tengah @
6 luar Dla dalam Dd
Pasak lebarnya b
mmmmmm
605218
807022
1008826
12010830
1N1X36
160
14zm
18016446
200lU50
Baut pegang tengah 6Cincin segi empatCincin tebalnya
mmmmmm
1250/5(
5
14 14 16 16to/7c
7
18t0l7c
7
18t0t7(
7
nVA
8IJl OL
6 7 7
Ukuran kayu minimal:Papan pengapitI = s/d 30oI = lebih dari 30o
Kayu tengah9 = s/d 30o
I : lebih dari 30o
cmcm
cmcm
6/126/10
8/128/1A
6/14611i
81148t'ti
6/1tBlU
8llt8llt
6t6/
2t1€
8t2{ule
8t228/18
10/228118
8t6l
24N
10/24gl20
I \J/ J\J
8/24
r0/mtot24
10/328t26
10t32rcl26
Jarak antara baut dan ujurkayu v (kayu muka)
I
Jarak antara dua baut i
Jarak antara pinggir i
Pasak dan tepi kayu:yang dibebani a
]
yang tidak dibebani b i
rg
cm
cm
cm
It2
3
2
12
16
3
2
15
.n
4
2
18
24
42
21
28
42
24
32
42
27
36
6
.,
30
40
6
3
Diperkecilnya luaskayu tanpa baut cm? 4.3 7.1 1'-t.2 't5.6 22.3 28.4 37.3 45.0
Kekuatan 1 pasak9:0o9:45o9:9go
kgkgkg
420315210
7W5853m
1140855570
16201215810
2m16951 130
288021ffi1M
378028351890
460034502m
502 503
5. Daftar beban yang diperkenankan per Bulldog Connector untuk kayudengan berat ienis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
BulldoglconnectorGaris tengah D
Tingginya b
Tebal seng s
mrnmmmm
5010
1.3
6217
1.3
7519
1.3
9525
r.3
117
301.5
140
31
1.5
165
33'1.8
Baut pegang tengahCincin segiempat
mmmm
12
50/5016
60/60
't6
70/70
't6
70t70n
80/80n
90/9025
lm/100
Ukuran kayu minimal:I = s/d 30o
i = lebih dari 30o
cm 6/ 10
6/86/126/ 10
6/126/ 10
6/146/12
8/ 18
8/1610/208/ 18
10/24Bl20
Jarak antara baut danujung kayu, dan antaradua baut cm 12 12 14 14 17 20 23
Kekuatan 1 Bulldog9=0o9:45'? =96o
kgkgkg
3503002N
550475400
7W650550
1000
875750
135011751000
17fl1525
1300
24C021n1800
6. Oaftbr beban yang diperlenankan per plat paku-paku untuk kayudengan berat jenis rota-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
Pelat paku-pakulet'arnyapaniangnya
cmcm
'l
1
55
510
10
10
Kepsrluan tekanan untuk pasang kg 50 1250 25m 5m0
kekuatan terhadap penc&utan kg 16 ll()0 800 16m
Ukuran kayu minimal:tebalnya cm 3 3 3 3
Kekuatan tampangsatu 9 = 0o
i=90okgkg
107.5
250r88
5m375
lm760
Kekuatan tampangdua ?= 0o
9=30o9=69o?=90o
kgkgkgkg
Xt18.517
15
6m$24N3E
lm9258S0750
m18501700
l6m
504 NB= -1,5lr:'ft
1.2. 11. 1. Tabel untuk monentukaniopit sebelah
iepitan pada bolok tar-
r.-lMomen japitan
Mao fia
u,= *l; - *l "
ffi *,= 1k*
ffiMr=t#s
ffi *,* *(,-$l "
Perubahan suhuo to,lot=
L--Hrart.r
iln
*r**L,
Ma= !u
r'l- rj
ffiMomen jepitan
,f
1.2. 11.2. Tabel untuk menentukan momen iepltan pada balok torlopit
wW ,,=+(r-+l
ffi (r*f)'
wffi
*r=+ ffi Me= Ma= ! ,
Ma=Ma=prlr-+l
Ma - Ma = "l**'u ,
Mn: Me:'i;r' ,
,^-#(+-) '= +(t-t' - 'l
Ma=Me=-r,o'io'
"ffiMomen jepitan
Ma=qc''
8
u,=*k-+l
u,=sk*
,r:#
uu: io ,,,
tI
t
rt
Perubahan suhu
w::;,] rzn -sr{ rze- nr
M^=#L,*L-,, J
IP IP IP
t*,**i
MA= llB -
tu s!:12
,rffin,Momen jepitan
M1= ft4, =
un=#tBc'2+4cc'+c)
*, = #(4cc'+ c2)
mn=Sot
u,**0,,
1.2.12. Tabel-tabel untuk menentukan bagian beban @a eyaratpersamaan tiga momen (Chpsyronl dan luasnya bidangmomen ili
Persamaan tiga momen menurut Clapeyron:
Mtlc + 2Mzltc + l'"1 + Mzl'c: -9 ' l" * 8' l'"
Bidangmomen M = i M,' x' dx
Beban: M [tm2] 8 ttml n ltml
I r-+r:.-l-o*--b--1l--z ---_-{
tub? ffo *,t ffo+n
2H1
I f,n $a
3
tult - al ffu*"t3+v
-,1
4
f,n, !a tnJ
ftn, ffa Jfa
6 'fi n, fia fin
Hh- *l nil, - |,1 nil, - )ltL.P
d*ffi Tl,.*l nih. *l a ih.';Fl9 D
i u'- c'l {u,-,'t {v,-",t
t0 ffila*-b-4b_ L-------4
,{ro- ll 'fro l,'-o'-f", ' ,?'" (u-"- f "'
fuwl-r_-l-.J
fuwl-i .l i-t
%. .,rl,rfrfu. W, Ma=Ma=#(3/,-c)
LJ*-.-J-dJ
nd.rl" "fihb.,,h
l-l-l LLIMe: Ma = #Bt - zct
n ',nw Ma=Me*#t
U".,rqrffnff,n,*.,l
,-# b- |t)L'.1
M4=Mr= * 0,,
M^=* *r=#"r)
5@* hanyapadan = godil
n ltml
l1p4tt
l,
r3
beban M ttmrl B ttml
1tP12
lzp4
$ ar. za # ,rtz - czl El et - ct'
pl'3
24 * ,,,I64 Pl'
'f,("*u'- "')4
t1 DC' . l3ab- c'l24
of,l''-o' *{)4
r5
r6
pc
24(3/2 - c2)
pc
8ll3lt - czl -P" lgl'_
"lat
13
- Dl.
108'
ailil'
f' l3l - 2al2t
cD-'41 [3(/2-a2)-c2l
13
-- Dl5
324'
13
-
Dlt108'
17 ffiilflll fiilfltte
?w*us*wiF-! ------rL ot3162',
Lor*'
r8
ffe,-*t $,n-*'r9
n
fiinm fiilllhrTLc.l I.c,ltl*a4 I
l-Lt2-?-112-i.
Pc 1911'-ut1*"12
cPqt 13 lt? - a2l - czl
pl'24
L ot'60'
pcl6012
(10/2 - 3c2)
I- ol'/60'
(frt2 -15ic +3cpcz
ffi122l
2i,
z3
A
!:'24
l2l - cl
P"' l4t - g"l
24 ffil*,-.ou,*,ri SG,-' ";r
*0,,
fft,.11t,-'S
*,,, * 0,,
$(,.f) G-t'oiTPLo*-t--ll-- t -----lffv'+aot
510
n ttml
a5
fr
beban: M [tm!l s ltml
pflltnud?f*uz-lttz-ll---:- L
---{
pl'32 * 0,,
3
-
^r2g2 u'
*:, lZJ - al
*..r*
L (,,4 -2a2 .+t
$' or*,r ffw-"t
#,*r, + 37 p2lt,
28
19
9
3r
t2
3
l+
35
,(
!) s, * o,t
p
12It3 -21a2 + a3l
l3
u lP' + Pzl
L h'-u *4 i)fit o,*ros
t2
* (7P, + 8Pr)
+*ff w'- r'r
M4
2M
M, + 2M,
.eL15
) pt'D
M, \a-b\
Mv ll2 - 3b2\
M4
r\flr.fnluz*uz4
0
I*, M
q(6n)xt-l--, ----l
ffi;;rgElro
!, ,01, n ,rt zMr + Mz
6EtV (vz- vi
6Ell7
(Y, - Yrl
3ElarLth
rrubahan suhu' -htbruH
SElo,Lth
rIft,il
511
l. e" 13. Pensntran rekeitorusan
t mpuan dan momen pada belok
1. Batot teruean dengan b€ban m€iata
Momnmor - Mql2
0,57150.3715
512 513
lvluatan Momenmax.=MPl Tumpuan P
Ml M2 M3 M4 MB MC MD AI kiriB
c kiric
D kiriD
kdnanE
rft'; ). l55i ),1562 - 0,1875 0,312t0,68750,6875
0,3125
.r- ).2031 - 0.0938 o.M2 0,5s€80.@88 - 0,0938
drth 1751 ),100c 17y. 0,1 500 - 0,1500 0,35000,65000,5000
0,50m0,6500
0.3500
J--tt ).2121 ),212t - 0.0750 - 0,0750 0,425(0,5750
00
0.5750o,4m
-+- 115i. - 0.0750 - 0,0750 - 0.075r0,07500,5000
0,50000,0750 - 0,0750
J-I-- ).162t ),137t - 0,1750 - 0,0500 o,325/.0,67500,6250
0.37500.0500 - 0,05m
A- - 0,1m0 + 0,0250 0,40J0,60000,1250
- 0,1250
- 0,02500,0250
+'+-++ ),1697 I 161 l16l ),1697 - 0,1607 - 0,1071 - 0,1607 0.33910,66070,5536
4,4&o,4404
0,56360,6607
0.3393
.L-J_ ,2W ),183( - 0.0804 * 0.0536 - 0,@0 0_419(0,58010,0268
* 0,02680,4732
0,52680.0804 - o,Bot
.Lr,-+ ,1596 ),1462 ).2065 - 0.1808 - 0.0268 - 0.0871 0,319i);680€).654C
0,3460
- 0.mG30,06030.5871
0,4129
.-r-r- 1428 .'t42t - 0.053[ - 0,1m7 - 0.05& - 0.053(),053(),392€
0,m7r0,m71
0,39290,0536 - 0,0636
J-- .1998 - 0.1001 + 0,0268 - 0,006 0,3s9(),6@4),1272
- o,1272
- 0,c8360,03t60,0067 - 0.m67
1130 - o,o737 - 0,G01 + 0.0201 - o.o7370,0737c,4*,3
0,50670,1m5
- 0,1m6* 0,0201
0,0201
2. Balok terusan dengan gaya pusat
4.
\
I3. Balok terusan dengan dua gaya yang simetris Belok terusan dengan beban merata dengan jarak tumpuan yang
berlainan
Muatan Momnmax.=MPl Tumpuan = ... P
M, M2 Mg M4 Md MC MD I ririBkanan
ckanan
D tiaD
kaMnE
/+tr o,2/. - 0,333 0.666;r,3133r.3333
0_6667
"$- ),2771 - 0,r667 0_83r 1,16670,r667 - 0,1667
C+rtlrih t,2444 -qm1 - 0,m67 0,739 1,M71,m00
1,00001,2ffi1 0.733
),28& - 0, t333 - 0_1333 0,866;1,'1333
00
t.13330,8667
- 0,1333 - 0,133 - 0.133(),'t333t.0m
1,m000,1333 - 0.1333
J-rl-- - 0,311 1 - 0,G89 0,68881,3111
1.22220.77780.0889 - 0,0889
rll,...* - o,17n + 0,U44 o.w2 1,1718).2U
- 0,2222
- o,M44o.0444
d\#Jts ),238r t't 1'l lltt ,,2381 - 0.2857 - 0,1906 - 0.2857 o_71431.2S57't,G52
0,90480,9048
1.09521.2857
0,7143
.il--Jt-- t,2ffii J.m - 0,142s - 0,0962 - 0,1429 0.857r1,r421),u7i
- 0,c4710,9523
1,0/77o,1429 - 0.1429
#JIJ{ ),r94 ).2811 - 0.3214 - 0,u76 - 0.154a 0,67861,32141.273E
0,7 2
- o.'1o72
o,1072l.1548 0,u52
--axJfn 174t 1741 - 0,0052 * 0,2857 - 0,0952 -o.w2 ,,@5'),8094
1,19051,r905
0,80s50,0s62 - 0.0952
J-.-. - 0,1786 + 0,0476 - 0,01 19 0,4214 , r786t,2262
- 0.2262
- 0.05950,05s50,01 l9 - 0,01 19
-*- ),19& - 0,1310 - 0.1423 + 0.0357 - 0.1310 ,1310,9881
1,0tt90,1 786
- 0,1786- 0,0357
0,035i
perbandinganloll
Reaksi tumpuan(kg)
Momen maksimalMlkgml
0,4A - - 0,0375.q.t8 = 0,40fi.q.tC = 1,0325.q.t
Mr4 M,Mz = O,0[l2O'q'12M"= *0,0950'g'lr
0,5A = 0,625.q.t8 = 0,4ffi3.s.tC = 1,0312.q.t
Mr = 0,00'195.q./ 2
Mt = 0,828'q'l'2M"= -0,W7'q'lz
0,6A = 0,1420.q.tfl = 0,40fi.q.lC = 1,0530.q./
Mr = 0,0101 'q'l z
Mt- 0,ff]2o'q'lzMc= - 0,0950'g'/z
0,7A = 0,2f00'q.tB = 0,4o10.q.tC - 1,0900.q./
Mr=Mt=Mc=
0,02t8'q't z
0,0805 'q'l I
- 0,09X).q.t z
0,8A = 0,26fi.q.tB = 0,3950.q'lC = 1,13fi.q.t
Mt = 0,0362'q'l z
Mz = 0,0980'q'/ IMc = - 0.1050'g'/z
514515
-'(r'
'1 | .2.14, Tabel-taber hasil peng-integrat-an pada kerja virtual
Segiempat,r. IIIIIIIIIII,.
Segitiga
@Segitiga
ffiffil-r<l
Segiempat
,,W, sM;Mp|sm;mp tsMlMp
Segitiga
tt lsuiup lsuiml, fsfr + alMiM1,
Segitiga
,r@L lsMiup t:*'*r fs{r + 0l MiMk
Segitiga# lsu;u1 fsfr + alM1M1lsmlmp
Trapesium
c,tfirrflT-flla,, trr,, + M;,t M1 tor,, + 2M;,t M1 tt*rr11 + fi) Mi,
+ 11 + al Mi,l
Parabel
4ffffn, lsu;rttp ftsu;tvrl ,1sts- 0-0\tt,rttr
Parabel
,&tlliT,nrr* lsm1u1, f,suiup *Ou- a-o2tM1Mp
Parabel
$r lsmiup lsu;rvrl ,1s{t + o * a2lM1M1
Parabel
4h,r'r lsniux $sm;nt1, frsfr + P+B2lM;Mp
{ urura, sMpMp lsupup lstaeup
Trapisium
a,1fiil,fffltrr,
Parabol
@'Parabol
fi:[tttfr+
Parabol-4lsMitup, + Mr,l lsu1u1 lsu1u1 lsu;up
I sMlMy, + 2Mp2l tsu1u1 lrsutux lsuiu2
{smfiuy, + M22t !su;ur lsuiupti"MiMx
t'',u1 + {lt M21
+ fi + olM*zl]s{r + oB)M;Mp #,u- o-rtlwink frsfr+ a*o2lsM1M1
I sQsM1,Ms,
+ M;rMp+ M;rMp1+ 2Mi,Mpl
*^r^ + M;2r M1 keuo+sMizrtz Mk $au^ + tM;2r M1
1';sMi -'' 13 Mr, + 5 Mprl
lrsM;Mr' *'u'*r #,,,r
|'ut$Mp + 3Mpl
ftsuu21'nsMiM* #*,'r
I
i"Milms + 3 Mp2l
lsu;rttp ftsu1up {su1u1
,lr't'(3 Mp + Mp2l
I su1ul lsuiup $suiul
lstul,. Ml,r M21Mp2l
lrsuPl ?r'*r'r lsu1,Mp
517
l. 3. Daftar kependekan
f-9-h-i-k-t-g-s-u-v-
x-Y_
DEFGH
HZl-
KNMoPoRsTUVwza-b-d
batang diagonal pada konstruksi rangka batangmodul elastisgaya pengikat horisontalmodul pergeserangaya horisontalpenentuan beban atas dasar beban tetap (induk)penentuan beban atas dasar beban tetap dan hidup (angin dsb. )momsn lembamtitik potong pada sistim titik potongtitik potong pada siatim titik potonggaya normalmomen lentur, momen jepitanbatang tepi atas pada konstruksi rangka batanggaya, gaya pusat, gaya tekan, gaya tarikgaya lintangreEultantegaya batang pada konstruksi rangka batangmomen torsibatang tepi bawah pada konstruksi rangka batanggaya vertikal, batang vertikal pada konstruksi rangka batangmomen tahanan, bobot-bebanmomen sentrifugal
farak titk potong Jjarak titik potong Kdalamnya gigi tunggal, garis tenEah paku, baut, pasak dsb., suatupotongan yang sangat kecil, muatan gempalendutanberat atau bobot sendiritingginya batang atau konstruksi rangka batangbesaran intiangka kekakuanpanjangnya batang, lebar batangbeban merata. beban bergunapanjangnya batang pada konstruksi rangka batangsistim koordinat terputarsistim koordinat terputartekanan anginkoordinat yang horisontalkoordinat yang vertikallsndutan ke samping pada tiang teklk
AT_q-
a-v*6-
deltasigma
alphabetagammadelta
epsilonetakappalambda
my
pirhosigmatauphipsi
omega
diferensijumlah
sudut putar tumpuansudut putar tumpuankoefisien induksipergeseran
ukuran penurunan tumpuanlendutan pada batang atau konstruksi rangka batang.ukuran jepitan. ukuran penguluranordinat garis pengaruhfaktor koreksi pada gaya lintangangka kelangsinganjarak balok melintang pada beban yang tidak langsungkoefisien distribusifaktor pergoyanganfaktor3. 14159jarr-jari lingkaran pada kerja virtualtegangan normaltegangan geser
sudut antara dua batangsudut pada penentuan kerja virtualfaktor tekuk
€
4x,
I
'l-a-o-T_qw@
518519
-' ,( :
1" 4. Daftar istilah penting
Alat sambungan, bafa 203-, kayu 226
Arigka, kelangsingan 84'-, kekakuan k 291
Balok rusuk Gerber, 103,253
, garis pengaruh 409Balok teriepit, 102, 253* . sebelah 2&3- , elastis 265Balok terusaR, 103,253
, garis pengaruh zl49
Balok tunggal, 102, 103*, dengan gaya 103, 105
- , dengan beban merata 108, I t0, dengan beban segitiga 1 13
, dengan konsole 123,407, bersudut 134. 143
, dengan lengkungan miring 152
, garis pengaruh 333Batang dengan engsel pada uiungnya 290Baut, 203,230-., pasak khusus 231
Beban, yang tetap 16
. yang bergerak l6-, berguna 16
. yang berulang-ulang 79Berat sendiri 16
Bernoulli, Jakob 59Besaran inti 65Betti (Syarat) 354Bobot-beban W 372Bulldog connector 237
Castigliano { Syarat} 356Clapeyron, Syarat persamatn tiga momenao,
Cremona l83Cross (lihat: Sistem Cross)Culmann, Karl 176, 185
Distribusi momen, persiapan 292-- , menrut Cross 292, $4
Engesser 88Euler, Leonhard 83
520
Gambar, situasi 23
-, gaya 23Garis bersilang 268Garis olastis, 96, 372
-, penontuan dengan bobot-beban W 374*, pada konstruksi rangka batang 379Garis kerla 2lGaris pengaruh, 3&9
-, pen€ntuan 390
- , penggunaan 391
-, pada balok tunggal 3!13
-, psd€ reaksi tumpuan 393, 417, 452
-', pada gaya lintang 394, 419, 452, 6rada momen lentur 395, 418,452
- , pada beban yang tidak langsung 396
-, pada lendutan 3S-, pada konsole 406
-, pada balok tunggal dengan konsole 407, pada balok rusuk Gerberzl09
- , pada busur tiga ruas 41 5
-, pada gaya normal 419--, pada konstruksi rangka batang 424
-, pada balok rerusan 449
--, pada reaksi tumpuan statis berlebih 450--, penentuan secara grafis 452Garis sumbu nol 61
Gaya,20,21
-, dengan titik tangkap bersama 23- , yang seiajar 30--, yang tidak seiaiar 31
-, ganda 37
-, tarik G3
-, tekan 63
-, lintang 45, normal 44
-, dalam €-, torsi 72
-, yang berbahaya 83, pengikat horisontal 312,325
Gerber, Heinrich 153Gigi tunggal 226
Hetzer 239Hook (Syarat) 20, 59
lnti, besaran 65
Jari-lari lembang 84Jepitan, sendiri 27 1, 272
- , asing271,273
Keamanan 79Keling 203Kerja virtual, 343
-, hasil pengintegralan 351Koefisien, distribusi 274
-, induksi 289
-, pergoyangan 3?2Konsole, 102,120
-, dengan gaya l?0, 121
-, dengan beban merata 121
-, garis pengaruh 406Konstruksi batang, 14, 101*, pergeseran dan perputaran 359Konstruksi berlapis maiemuk dengan perekat239Konstruksi bingkai 15Konstruksi busur tiga ruas 103, lm, 168,415Konstruksi parabol 109, 110
Konstruksi portal, tiga ruas 103, 160, 161
-, statis tidak tertentu 304
-, dengan titik simpul yang kaku 3O4
-, pertingkct 318, 3lil2
-, dengan titik simpul yang goyah 322Konstruksi rangka batang, 15, 176
-, pembangunan 178*, kestabilan 180
-, bentuk 181
-, p6n6ntuan gaya batang 1&l
-, belah ketupat 188
-, berbentuk K 189
-, pergeseran 369
-, garis pengaruh 424Konstruksi tangga 149
Lagrange (Asas tentang kerja virtual) 343Las (sambungan),207
-, sudut 207
-, tumpul 208
-, tepi 208--, cekung 207
-, pipi207
-, cembung 207
-, kepala 208
-, sela 208Lendutan, 96,262. Y2-, penentuan menerut Mohr97
Maxwelt (Syarat) 355Modul elastis 59
Mohr, lingkaran 55, 75
-, p€nentuen lendutan 97
-, (Syarot) 81,357,372Momen,35
-, satu gays 35
-, kumpulan gaya 35
-, lentur 45, 63
-, lembang tt9, 5O, 52
-, sentrilwal 49
-, tahanan 64
-, jepitan 287, 289
-, distribusi 288)
-, koreksi pergoyangan 322
-', residu 288
Navier, Louis 59, 92
Paku227Pasak cincin 235Pelat paku 235Penurunan tumpuan pada baiok terjepit V')Perekat 239Perjanjian tanda tl4Persamaan kerja, poda konstruksi batang 3{5
-, pada konstruksi rangka batang 350Perubahan bentuk, 59
-, elastis 342, 354Polygon batang tarik 26Pytagoras (hukum) 2
Ritter, A", sYarat persamaan momen 34
-, perhitungan gaya batang 186
Sifat-sifat bahan bangunan 19Sistim Cross, pada balok terr:san 286--, perianiian randa 286
-, distribu3i momen 292, 3C$
-, pada konstrukli portal, dengan titik sim-pul yang kaku 3&l- , -, dengan titik simpul yang goyah 324Sistim titik potong, 266, 453--, jarak penting 270
-, pada balok terusan 274--, penentuan secara analytis 275
- , penentuan secara grafis 277Stegtrdger 239Sudut putar tumpuan 255Syarat, tangkai pengungkit 29, 1 19
-, keseimbangan 38, tl0, 253
-, elastis 265
-, persamaan tiga rnornen (Clapeyron) 282, dari Betti 354
--, dari Maxwell 355
521
t:/
-, dari Castigliano 356
-, dari Mohr 357, 372
Tegangan,20,80
-, normal57, fl)-, geser 58, @, 72
-, linear 73
-, dalam bidang 76
-,las2GTekukan, 81, 87
- , ex-sentris 91, 93Tetmajer, L. von 85Tiang terbengkok, 91
-, dengan beban lintang 95Titik berat 4,6
Titik patah {teoril 81
Titik simpul, macam-macam jephan 271
-, momen 288Topang ganda,8l
-, konstruksi baia 88
-, konslruksi kayu 90Tumpuan, sendi 17
-, rd 17
-, iodtan 18,87
-, engsel 87
-, porhitung€n reaksi 40, 44
Urat nisbi 134
UYilliot (Diagram pergeseranl 379
522
15.
2.
3.
4.
5.
1.5. Pustaka
1. Bochmann, Fritz
Darmawan, Loa W.
Dirdjosapoetro, Soad.
Frick, Heinz
Gattnar/Trysna
Harasim. Alfons
Hempel, G.
Hirschfeld, Kurt
Hofsteede/ Kramer/ Soemargono
H ofsteede/ Kramer/ Baslim
H olsteede/ Kramer/Zeiruddin
Johannson, Johannes
Kaufmann, W.
Kirchhoff, R.
Ktiderli + Co.
Statik im BauwesenJilid 1, edisi ke-12, Berlin 1976Statik im BauwesenJilid 2, edisi ke-9, Frankfurt/Basel 1976Statik im BauwesenJilid 3, edisi ke-6. Frankfurt/Basel 1977
Konstruksi Baja ll2. revised edition, Bandung 1976
Pengantar menghitung balok gelagar padakonstruksi bangunan, edisi pertama, Jakarta1972
llmu konstruksi kayuedisi pertama, Yogyakarta 1977
Htilzerne Dach- und Hallenbautenedisi ke-7, Berlin'196'l
Statikedisi pertama, Wtirzburg 1970
Freigespannte Holzbinder, Bau-Fachschriften No. Iedisi ke-10, Karlsruhe 1973
Baustatikedisi ke-2, Berlin-GOttingen-Heidelberg 1965
llmu Mekanika TeknikJilid A, edisi ke-2, Jakarta 1976llmu Mekanika TeknikJilid B, edisi ke-3, Jakarta 1976
llmu Mekanika TeknikJilid C, edisi ke-2, Jakarta 1977
llmu Mekanika TeknikJilid D, edisi ke-2, Jakarta 1977
Das Cross-Verfahrenedisi ke-2, Berlin-Gottingen-Heidelberg 1955
Statik der Tragwerkeedisi ke-4, Berlin 1957
Die Statik der EauwerkeJilid 1, edisike-6, 1960
Handbuch l, Tabellenedisi ke-2, 1963, Ztirich, Basel
8.
9.
10.
11.
12.
r3.
14.
E-I{lI
I'lB. I lCNtrM, Arlrcitslyr;rnci,,s.,l-raf tlirr r[rs Holz
17. Mriller_Breslau, H.
18. Salinger, R.19. Soemono. B.
20. St0ssi, F.
21 . Wagner/Erlhof
Wendehorst/Muth
Yayasan Dana Normalisasitndonesia
I
IDokunrerftation HolzJilid 2 dan 3 (hiiau), Ztirich .1960
.
Die graphische Statik tedisi ke-6, Leibzig,rrl"'',rronstruktionenPraktische.Sfatlk, Wien I g5lStatika Iedisi pertama, Bandung 1g77Baustatik Iedisi ke-3, Basel 1962Praktische BaustatikJilid 1, edisi ke-16, Stuttga rt1975Piaktische BaustatikJilid2, edisi ke_12, Sturtga rt1977Praktrbche BaustatikJilid 3, edisi ke_6. Stuttgart 1977B a.u te ch n is c h e Za h le nta felneorsr ke-19, Stuttgart 1976P::?.tr:gl Konstruksi Kayu tndonesia, Nt-iP! K /. I 96 t,
-edisi ke_8, Bandung 1 976Pe:a.t:tra n M ua ta n t ndo nesia, Nl_1gedisi ke-2, Bandung ,l976
22.
23.
x _:-It'II
I
i
522
{
(
I
I
{
(
top related