mechanika kwantowa schrödingerazebra/f2_ibm/fi2 w2 mechanika kwantowa...fizyka 2 wykład 2 10...
Post on 10-Aug-2020
27 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fizyka 2 Wykład 2 1
Mechanika kwantowa Schrödingera
Hipoteza de Broglie’a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona.
Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek
graniczny (gdy stała Plancka h 0 tj. jest małe w porównaniu z innymi wielkościami
fizycznymi).
Teoria ta idzie o wiele dalej niż hipoteza de Broglie’a:
Podaje nie tylko długość fali materii ale też wszystkie szczegóły jej propagacji
istnieje też relatywistyczna wersja mechaniki kwantowej
sformułowana przez Diraca.
Własności operatorów mechaniki kwantowej
Operator A:
przyporządkowuje funkcji f funkcję g - dzieje się to w przestrzeni funkcyjnej
(przestrzeń Hilberta)
Fizyka 2 Wykład 2 2
Przykłady:
Dla ostatniego przykładu można napisać równanie operatorowe:
Ważny wniosek:
kolejność działań jest w mechanice kwantowej istotna
Fizyka 2 Wykład 2 3
Definicja:
komutatorem nazywamy wyrażenie
o Operator C na ogół jest różny od zera.
o Jeśli C znika mówimy, że operatory komutują.
Przykład:
Proszę sobie sprawdzić, że
Zagadnienie własne, wartości i funkcje własne
Zagadnienie własne dla operatora Â
gdzie un(x) jest funkcja własną operatora  w stanie n zaś an jest wartością własną w
stanie n.
n może być liczba dyskretną albo też wielkością ciągłą.
Fizyka 2 Wykład 2 4
Jeżeli jednej wartości własnej an odpowiada więcej niż jedna funkcja własna un to
mówimy,że jest ona
zdegenerowana.
Stany zdegenerowane pojawiają się również w fizyce klasycznej: np. orbity planet są
zdegenerowane ze względu na energię tj. różnym kształtom orbit odpowiada ta sama
wartość energii.
Jednakże w fizyce klasycznej wielkości (w tym energia) nie są skwantowane.
Zbiór wartości własnych danego operatora nazywamy jego widmem.
Przykład:
Gdy operatorem jest operator energii - wartości własne to dozwolone w danym
układzie wartości energii.
Dla cząstki swobodnej energia jest wielkością ciągłą (widmo energii jest ciągłe). Na
ogół jednak widmo energii jest dyskretne (nieciągłe).
Przykład: Niech w przestrzeni jednej zmiennej x
gdzie i jednostka urojona
Fizyka 2 Wykład 2 5
Bez dodatkowych założeń Â miałby ciągłe widmo wartości własnych.
Żądamy jednak dodatkowo:
aby funkcje własne były periodyczne
Zagadnienie własne dla operatora Â:
Rozwiązaniem tego równania są funkcje własne
Z podstawienia an = kn
a więc co daje
Uwaga:
Skwantowanie wartości własnych kn pojawiło się jako skutek warunku
brzegowego (w przykładzie - warunku periodycznego).
Gdy L to różnice wartości własnych maleją do zera (widmo quasi-ciągłe)
Fizyka 2 Wykład 2 6
Oprócz operatorów różniczkowych oraz operatorów mnożenia są też inne.
Przykład:
Jedna z 3 macierzy Paulliego związanych ze spinem cząstki
z funkcjami własnymi:
Proszę sprawdzić (ćwiczenie do domu !), że wartościami własnymi tych funkcji są:
Operator hermitowski
Ważną rolę w mechanice kwantowej odgrywają operatory hermitowskie - mają one
rzeczywiste wartości własne
tak jak większość wielkości mierzonych w doświadczeniu (tj. obserwabli).
Funkcje własne tych operatorów są wektorami w przestrzeni Hilberta.
Fizyka 2 Wykład 2 7
W tej przestrzeni definiuje się dla nich iloczyn skalarny (rzut w przestrzeni Hilberta):
gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie w sensie zmiennej zespolonej.
Funkcje własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne
Funkcje własne są unormowane
Zupełność funkcji własnych
Zbiór wszystkich funkcji własnych danego operatora hermitowskiego stanowi
bazę w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeni Hilberta), w której ten operator działa.
Zatem:
jeśli )(rf
jest dowolnym stanem należącym do tej przestrzeni to można go rozwinąć
na szereg funkcji własnych
gdzie un są funkcjami własnymi operatora.
Suma rozciąga się po całym widmie tego operatora.
Jeśli widmo jest ciągłe suma ta przechodzi w całkę.
Fizyka 2 Wykład 2 8
Przykład:
Często stany f badanego układu rozwija się na funkcje własne operatora pędu ip
gdzie to operator nabla znany z elektrodynamiki.
Mówimy wtedy, że stan f został przedstawiony w reprezentacji pędowej
Współczynniki tego rozwinięcia wyznaczamy korzystając z iloczynu skalarnego w
przestrzeni Hilberta
Jest to działanie analogiczne jak w przestrzeni Euklidesa:
Niech będzie dany wektor zyx iii
32)3,2,1(
Aby znaleźć y-kową współrzędną tego wektora wykonuje się iloczyn skalarny
Fizyka 2 Wykład 2 9
Dany stany kwantowy (wektor stanu) może zostać rozwinięty na funkcje własne różnych
operatorów: otrzymujemy wtedy różne reprezentacje tego samego wektora stanu:
reprezentacja pędowa – rozwinięcie na funkcje własne operatora pędu
reprezentacja położeniowa - rozwinięcie na funkcje własne operatora położenia
reprezentacja energetyczna - rozwinięcie na funkcje własne operatora energii
i inne.
Fizyka 2 Wykład 2 10
Postulaty mechaniki kwantowej
Postulaty Fizyczne
operacja obserwacji
Każdemu rodzajowi obserwacji przyporządkowuje się zespół liczb stanowiących zbiór
wszystkich możliwych wyników obserwacji
Jeżeli są dwa rodzaje obserwacji A i B to wtedy na ogół kolejność wykonywania tych
obserwacji jest istotna tj. AB BA.
zasada odpowiedniości
Relacje klasyczne, w których nie występują pochodne zachodzą w mechanice
kwantowej po zastąpieniu wielkości klasycznych odpowiednimi operatorami
Przykład:
Niech ),,(ˆoraz),,(ˆzyx ppppzyxr
są operatorami położenia i pędu,
odpowiednio.
Wtedy operator momentu pędu otrzymuje się z relacji klasycznej:
jako przy czym np.
Fizyka 2 Wykład 2 11
Przykład:
Całkowita energia (mechaniczna), która w mechanice klasycznej wyraża się w
postaci: )(2
2
rVm
p
w mechanice kwantowej ma swój odpowiednik w postaci operatora Hamiltona
)ˆ(ˆ2
ˆˆ2
rVm
pH
Przykład:
Dana jest para mas M połączonych nieważkim prętem o długości 2d.
Układ ten wiruje swobodnie z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez
środek masy i prostopadłej do pręta.
Znaleźć kwantowe równanie ruchu i wartości własne takiego rotatora jeśli wiadomo:
a) klasyczne wyrażenie na energie kinetyczną w ruchu obrotowym
gdzie L moduł momentu pędu a I = 2Md2 - moment bezwładności
Fizyka 2 Wykład 2 12
b) operator kwadratu momentu pędu ma funkcje własne Ylm( , ) oraz wartości własne
l(l+1) ħ2 , l = 0,1,2,...
Odpowiedź:
poszukiwane równanie ruchu:
a energia własna tego układu:
zasada komplementarności
Każde dwie wielkości obserwowalne, z których jedna wiąże się z położeniem a
druga, , wiąże się z pędem spełniają związek przemienności
i]ˆ,ˆ[
Wielkości takie nazywamy komplementarnymi.
Zasada komplementarności pozwala konstruować operatory
Fizyka 2 Wykład 2 13
Przykład: Przyjmujemy reprezentację położeniową a więc, że
Aby był spełniony związek komutacyjny powyżej operator pędu musi przyjąć postać
Przykład:
Przyjmijmy tym razem reprezentację pędową: pp
Wtedy ta sama relacja komutacji wymaga aby
Wyniki obliczeń otrzymane z różnych reprezentacji są równoważne ale wybór
reprezentacji wiąże się z wyborem funkcji własnych, za pomocą których
obliczenia są wykonywane.
A to wiąże się ze stopniem trudności rachunkowych (podobnie jak w fizyce
klasycznej wybór układu współrzędnych).
Fizyka 2 Wykład 2 14
Pośredni wniosek z zasady komplementarności
Jeśli spełnione jest CBA ˆ]ˆ,ˆ[ dowodzi się, że
gdzie <. .> oznacza wartość średnią a nieoznaczoność A definiuje się
tj. jako odchylenie średnie standardowe.
Dla otrzymuje się
Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga
Są też inne wielkości spełniające tą zasadę jak np.
Fizyka 2 Wykład 2 15
postulaty matematyczne
Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji  są odpowiednie wartości własne an
Wynikiem obserwacji  w stanie własnym un jest na pewno wartość własna an
Interpretacja:
pomiar idealny w stanie własnym nie zmienia tego stanu
Wartość średnia obserwacji w dowolnym stanie wyraża się wzorem
gdzie całkowanie rozciąga się po całej dziedzinie stanu
Fizyka 2 Wykład 2 16
Interpretacja 1:
1) niech badany stan będzie (unormowanym) stanem własnym tj. nu
2) Jeśli stan nie jest stanem własnym (zakładamy, że jest unormowany) to łatwo
wykazać
(Ćwiczenie !!!)
Interpretacja 2:
W stanie, który nie jest stanem własnym Â, za każdym razem jak będziemy
dokonywać obserwacji  otrzymamy różne wyniki; należą one do zbioru wartości
własnych an.
Wartość średnia jest średnią ważoną z wagami w postaci kwadratów modułów
(wielkości zespolone !) współczynników rozwinięcia stanu na funkcje bazy un.
Współczynniki rozwinięcia 2
nc mają przy tym więc sens prawdopodobieństwa
otrzymania wyniku an.
top related