mechanik-ii ws0910 neu · mp e kin =mv 2/2, v i=ωri, (allgemeiner: integral über masseverteilung)...
Post on 25-Sep-2019
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Mechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung
• mechanische Arbeit� Einheit
� Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg
� für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.
W F r= ∆r r
2 2[ ] (Joule)W Nm kgm s J= = =
cosW F r F r α= ∆ = ∆r rr r
� für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.
� Änderung der Bewegung⇔ Arbeit zuführen/entnehmen
⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen
Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.
W =v F ⋅
v s = F ⋅ s ⋅ cos(α )
v F
α v s Die Arbeit ist das
Die Arbeit
Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente
αF cos(α )
s
Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2
Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg
∫∑ ⋅=∆⋅= sdFsFWrrvv ∆
v s
v F
F
x=0
s
Die elastische Verformungsarbeit
2
2s
DdssDsdFWD −=⋅⋅−== ∫∫
vv
Für die Federkraft gilt: sDF ⋅−=
- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energiegenannt
Potentielle Energie
2
2s
DWE Dpot =−=
hgmWE Hpot ⋅⋅=−=
Feder:
Lage:
Konservative Kraft und potentielle Energie
dx
dEF pot−=
Experiment: Potential-Landschaft
)(,, rVgraddz
dV
dy
dV
dx
dVF
rr−=
−=
Im dreidimensionalen Raum gilt :
Die Leistung Pist definiert als die verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit.
P =dW
dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3
Die Leistung
dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3
- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).
- 1 PS entspricht 735,5 W
[Tafel]
Mechanik II Potential, Kraftfeld
• allgemein: Kraftfeld Kraft hängt nur von ab.
⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung
( )F F r=r r r
rr
grad GradientE
F Er
∆= =∆
r
r
⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie� W=0 für geschlossene Wege
� Experiment: schiefe Ebene – ParabelPendel
• allgemeines Konzept: Potential (Energiefeld)
Mechanik II Energie
• Energie für Massepunkte (MP)
• MP in Bewegung: v� Zuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während
bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)
2 2, für 0 giltat rr vt v t= + = =
• aufgewendete Arbeit:
kinetische Energie
2
02
2
2, für 0 gilt
2 2
at
F Wm m
rr vt v ta
v at ra r
= + = =
= = = =
2 kinmvW E= =
2
Mechanik II Potentielle Energie
• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)
⇒ potentielle Energie:� Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach
oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis dann gilt:
0v =r
, 0 : , .v v gt wenn v v gt bzw t v g= − = = =
potE mgh=
� wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.
0 0 0
2 20
, 0 : , .
2 2
v v gt wenn v v gt bzw t v g
x at gh v
= − = = =
= → =20
, ,02
pot t kin
mvE mgh E⇒ = = =
Mechanik II Energiesatz
• Pendel: Umwandlung potentielle Energie
� kinetische Energie
• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstantEnergie ist in abgeschlossenem System konstant
Energiesatz der Mechanik
Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.
Wenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt:
konstant==+ geskinpot EEE
Goldene Regel der Mechanik:Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler
zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab.Wzu = Wab
Kann man Arbeit sparen?
Geleistete “Zugarbeit” : Wzu = F⋅sErbrachte Hub-Arbeit : Wab = FG⋅hDa am Flaschenzug mit einer losen Rolle FG= 2⋅F und h = s/2 gilt,
ergibt sich daraus Wzu = Wab.
Beispiel Energieumwandlung: Die schiefe Ebene (ohne Reibung)
Epot+Ekin=const
2
2v
mhgm =⋅⋅
αh
2
gh2max =v
Mechanik II Beispiel : Pendel
• Versuch: Pendelasymmetrisches Pendel
Höhe links und rechts gleich
⇔ Energie bleibt erhalten0
21
2max max
: 0,
: 0, /2
aus Energieerhaltung: /2 2
kin pot
pot kin
P E E mgh
P E E mv
mgh mv v gh
= =
= =
= ⇒ =
Epot+Ekin=const
Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte
1. ϑ=ϑmax mit Ekin=0 und
Beispiel Energieumwandlung:
Das Pendel
gh2max =v
mghEE potges == )( maxϑ
2)0(
2maxvm
Ekin =
2. ϑ=0 mit Epot=0 und
1.)+2.)
- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.
- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.
- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.
- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)
Perpetuum mobile
Der allgemeine Energieerhaltungssatz
dissipativkinpotges WEEE =∆+∆=∆
Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,WNK entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie
Mechanik II
• Pendel: Umwandlung potentielle Energie
� kinetische Energie
• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstantEnergie ist in abgeschlossenem System konstant
• Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit
� Einheit
P W t F r t F v= = ∆ =r rr r
2 3[ ] (Watt)P J s kgm s W= = =
)( xxDF −⋅−=
Kräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt.oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):
Die elastische FederkraftExperiment: Federwaage
)( 0xxDFD −⋅−=
FederkonstanteFederauslenkung
Hook‘sches GesetzF
Mechanik II 1.4 Impuls
� in Kräfte freiem System:(Geschwindigkeit konst.)
� allgemeiner:
(es kann sich auch Masse ändern)
• Impuls:
0dvdt
F ma m= = =rr r
( ) 0d mv
dtF = =
rr
p mv=r r• Impuls:
� mehrere Massen m1, m2, ....
⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant
für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen
p mv=
1... 1...i i i
i n i n
p p mv= =
= =∑ ∑r r r
1..S i i
i n
mr m r=
= ∑r r
Mechanik II Elastischer-inelastischer Stoß
• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß
v1v2
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +vorher nachher
Vorzeichen beachten !
v1 v2
u1 =u2=u1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u+ = +
vorher nachher
Mechanik II Stoßgesetze
� Stoß: vorher m1, v1, m2, v2,....nachher m1, u1, m2, u2,....
� Randbedingungen:
� Impulserhaltung:
� Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +�
� für elastische Stöße: , sonst <1
� Impulsübertrag:
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):� stößt während ∆t Masse ∆µ mit Geschwindigkeit
w aus, d.h. mit Impuls ∆µw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +2
2 1u
v=
( ) 22 sinp m v u mv θ∆ = − =r r r
( ) ( )w µ t m v t ma− ∆ ∆ = ∆ ∆ =
Mechanik II Chemische Reaktionen
• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
KA BC AB C+ → +
CABBCA pppprrrr +=+ CABBCA pppp +=+
chemkinkin
kinkin
ECEABE
BCEAE
∆++=+
)()(
)()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Mechanik II 1.5 Rotationen
• Kreisbahn:
� .... Bahngeschwindigkeit
� θ.... Winkel unter dem Massepunkt gesehenwird, ändert sich mit der Zeit t.
Winkelgeschwindigkeit
v r⊥rr
vr
2 1( ) ( )t t dθ θ θ ω−⇒ → = rWinkelgeschwindigkeit
� (Drei-Finger-Regel)
� Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird)
2 1
2 1 2 1
dt t dtt t
θ ω− →⇒ → =
Einschub: Winkel Einheit: Radiant (° Grad) (Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)
60°�π/3 90°�π/2 120°�2π/3 180°�π 360°�2π
v r v rω ω= = ×rr r
2 2r
vT π π
ω= =
ϕ (t) = ω ⋅t
Einschub: Kreisbewegung y
ϕϕsin⋅= ry
s
)( ) sin(
) cos( /)(
) cos(
) sin( /)(
) sin(
) cos()(
2
2
2
tstr
trdtvdta
tr
trdtsdtv
tr
trts
vrr
rr
v
⋅−=
⋅−⋅−
==
⋅⋅−
==
⋅⋅
=
ωωωωω
ωωωω
ωω
ϕ (t) = ω ⋅t
x
ϕ
x = r ⋅ cosϕ
Zentripetalkraft
Mechanik II
rmrm
r
MmG
amFG
22
2
v−=−=⋅−
=
ω
rTr )/2( πω ==v
Kreisbahnen
[Tafel]
rr
32
2 4r
MGT ⋅
⋅= π Dritte Keplersche Gesetz
(Kreisbahn ist Spezialfall des allgemeinen Falls: Ellipse)
(Gravitationskraft = Zentripetalkraft)
Mechanik II Zentripetalkraft
• evtl. konstant, aber nicht geradlinig
⇒ Änderung von immer nur durch Kraft, bzw. Beschleunigung Analyse über ähnliche Dreiecke
⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft
vr
vr
v vAB rr r vv
∆ ∆∆= = =r r
r
vtv
r rt
v a
r v
∆∆∆
∆ ∆∆
= = =
⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft
Zentripetalkraft� nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft
� in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft: Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft� vergleiche Ablenkung mit ⇒
� Corioliskraft
2 2 2vr
a r F m rω ω= = =
2 2/2 Kat v tω= 2c Ka v ω=
2cF m vω=
Mechanik II
Resumee
• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft
• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft
(Planeten)
Mechanik II
• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):� MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)
� wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
2 2 21 12 2rot i i i i
i i
E mv m rω= =∑ ∑
• Trägheitsmoment: ( )i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫
Mechanik II Trägheitsmomente, Satz von Steiner
• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):� MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)
� wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
2 2 21 12 2rot i i i i
i i
E mv m rω= =∑ ∑
• Trägheitsmoment: ( )� Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von
Drehachse entfernt sind
� Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM
um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt
• Drehmoment: ( )
• Drehimpuls:
2i i
J m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫
A S ASJ J Md= + uur
T rF= T r F= ×r rr
i i iL m r v= ×∑r r r ( ) 2
i i i i im r r m rω ω= × × = =∑ ∑r rr r
Jωr
Mechanik II Drehmoment und Starre Körper
• Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)
⇒ Ist eine belasteter Hebel im ⇒ Ist eine belasteter Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über der Achse
� stabiles Gleichgewicht: SP unter Achse (sonst labil)(Stehaufmännchen)
Mechanik II Hebelgesetze
• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet
• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"1.. 1..
0 und 0i i
i n i n
F T= =
= =∑ ∑r r
• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad
• Bizeps gebeugt – gestreckt
Mechanik II es fehlt
• Relativitätstheorie
� Äquivalenz von Masse und Energie
� Änderung der Masse bei v�c
� Längenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)
• Kreisel, Planetenbahnen• Kreisel, Planetenbahnen
• deformierbare Körper
� Dehnung (siehe Feder, Hookesches Gesetz)
� Kontraktion
� etc.
Mechanik II Zusammenfassung
• Arbeit, Energie, Leistung
� unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)
� Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)
• Impuls
� Impulserhaltung
� Stoßgesetze, Rückstoß
• Rotation
� Winkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment
� Trägheitsmoment
� Drehimpuls
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