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Matriz de Admitância e Cálculo de Redes
Joinville, 8 de Abril de 2013
Matriz de Admitância e Cálculo de Redes
Escopo dos Tópicos Abordados
� Matriz de Admitância e Cálculo de Redes – Matriz de Admitância;– Eliminação de Gauss;– Redução de Kron;
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Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Considerando Linhas de Transmissão (LTs) médias e longas:– Existência do carregamento B – susceptância “shunt”;
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Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: com existência de susceptância “shunt”;
4
Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;
� Cálculo das admitâncias primitivas:
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Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;
� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:
6
Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;
� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:
7
Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;
� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:
8
Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;
� Cálculo das admitâncias da matriz Ybus final:
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Montagem da Matriz de Admitância Nodal
� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt” e transformadores com representações como:
– Relação nominal em fase;– Defasador puro
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Transformadores com relação não nominal em fase
� Modelo de transformador ideal em fase:– Consiste em um transformador ideal com as perdas no núcleo
desprezadas e com relação de transformação
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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
kma:1
Transformadores com relação não nominal em fase
� Modelo de transformador ideal em fase – não considerando o ponto p como uma barra:– Da figura, pode-se escrever as relações de corrente
12
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
Transformadores com relação não nominal em fase
� Modelo de transformador ideal em fase:– As relações de transformação são:
– Substituindo nas equações, pode-se obter:
13
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇒
Transformadores com relação não nominal em fase
� Modelo de transformador ideal em fase:
14
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇒
Transformadores com relação não nominal em fase
� Matriz de admitância - transformador ideal em fase:
15
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇓reverso
Transformadores com relação não nominal em fase
� Matriz de admitância - transformador ideal em fase:
16
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇓
reverso
Transformadores com relação não nominal em fase
� Matriz de admitância resultante trafo ideal em fase:
17
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇒
Representação de Transformadores Defasadores
� Representação de um transformador defasador puro:
18
ϕjaet =
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
⇒�A presença de transformadores defasadores tornam a matriz assimétrica
Representação de Transformadores Defasadores
� Matriz de admitância :
19
ϕjaet =
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
Representação de Transformadores Defasadores
� Matriz de admitância resultante:
23
ϕjaet =
�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.
23
Resolução das Equações Nodais
� Resolução via:– Inversão da matriz Ybus;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU; - próxima aula
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Resolução das Equações Nodais
� Resolução via Inversão da matriz Ybus:� Desvantagens:
– Custo computacional elevado (geralmente a Ybus possui dimensão elevada – dimensão igual ao número de nós da rede);
– Apesar de Ybus ser esparsa, sua inversa é uma matriz cheia (todos os elementos diferentes de zero - não esparsa).
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Resolução das Equações Nodais
� Resolução via eliminação de Gauss ou eliminação sucessivas:– Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4
incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a um sistema de uma equação e uma variável;
– A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da equação, que é substituída novamente no conjunto de equações a fim de se calcular o restante das incógnitas;
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Resolução das Equações Nodais
� Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo:
� Passo 1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô Y11:
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Resolução das Equações Nodais
� Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo:
� Passo 2) multipliquepor Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das
equações 2, 3 e 4:
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(1)
(2)
(3)
(4)
(2’)
Resolução das Equações Nodais
� Reescrevendo em forma compacta:
� De forma genérica:
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(2’)
(3’)
(4’)
(1’)
Resolução das Equações Nodais
� Após o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis:
� Sistema original:
� Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:
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Resolução das Equações Nodais
� Graficamente, após o passo 1, o nó 1 foi eliminado, resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a referência:
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Resolução das Equações Nodais
� Realizando eliminações sucessivas através das equações genéricas, elimina-se V2:
� Resultando no sistema:
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Resolução das Equações Nodais
� Prosseguindo com a eliminação, elimina-se V3:
� Resultando no sistema onde se obtém V4:
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Resolução das Equações Nodais
� Por substituição reversa, a partir do valor de V4, calcula-se V3, V2 e V1:
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Resolução das Equações Nodais
� Uma outra terminologia utilizada, que equivale à eliminação de Gauss, porém comumente aplicada somente para determinados nós, é denominada redução de Kron;
� Nesta redução, nós específicos, normalmente os que não são de interesse ou não possuem injeção de corrente (barras sem geração, cargas ou elementos shunt) são normalmente eliminados.
� Para eliminar a barra p, usa-se Ypp como pivô e elimina-se o nó p utilizando a fórmula:
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Resolução das Equações Nodais
� Eliminação do nó 2:
� Observe que os elementos j e k estão ligados ao nó 2 e p=2.� Nova linha 1:
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Resolução das Equações Nodais
� Eliminação do nó 2: linha e coluna 2 desaparecem– Calculos similares levam à obtenção de outros elementos da matriz
� Monte o circuito por inspeção da matriz:
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