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– 1
FRENTE 1 – ÁLGEBRA
n Módulo 19 – Sistemas Lineares
1)
Regra de Cramer
D = = 3 – 3 + 0 – 0 – 0 – (– 2) � D = 2
Dx = = 3 – 3 + 0 – 0 – 0 – 2 � Dx = – 2
Dy = = 2 – 3 + 0 – 0 – (– 3) – (– 2) = 4 � Dy = 4
Dz = = 3 + 2 + 0 – 3 – 0 –(– 2) = 4 � Dz = 4
x = = = – 1; y = = = 2; z = = = 2
S = {– 1; 2; 2}
2)
D = = – 7
Dx = = 14 x = = = – 2
Dy = = 7 y = = = – 1
Dz = = – 7 z = = = 1
3x0 + 5y0 + 4z0 = 3 · (– 2) + 5 · (– 1) + 4 · 1 = – 7
Resposta: B
3)
D = = 5
Dx = = – 5m – 5 ⇒
⇒ x = ⇒ x = = – m – 1
Dy = = 5m + 15 ⇒
⇒ y = ⇒ y = = m + 3
Dz = = – 10m – 10 ⇒
⇒ z = ⇒ z = = – 2m – 2
S = {(– m – 1; m + 3; – 2m – 2)}
4)
D = = – = – (b – a)(c – b)(c – a)
Dz = = – (b – a)(c – b)(c – a)
Determinante de Dz observe que é idêntico ao determinanteda matriz incompleta (D) pois os resultados das equaçõescoicidem com os coeficientes de z.Resposta: E
5)
Para que o sistema tenha uma única solução (SPD) basta queo determinante dele seja não nulo (D ≠ 0).
D = ≠ 0 ⇒ 25 – 5a ≠ 0 ⇒ a ≠ 5
Resposta: D
CADERNO 5 – CURSO E
�x + y = 1
– 2x + 3y – 3z = 2x + z = 1
�1 1 0
– 2 3 – 31 0 1 �
1 1– 2 31 0
�1 1 02 3 – 31 0 1 �
1 12 31 0
�1 1 0
– 2 2 – 31 1 1 �
1 1– 2 21 1
�1 1 0
– 2 3 21 0 1 �
1 1– 2 31 0
Dx–––D
– 2–––2
Dy–––D
4–––2
Dz–––D
4–––2
�3x + z = – 5x + y + z = – 22y – z = – 3
�3 0 11 1 10 2 – 1�
�– 5 0 0– 2 1 1– 3 2 – 1� Dx–––
D
14–––– 7
�3 – 5 01 – 2 10 – 3 – 1� Dy–––
D
7–––– 7
�3 0 – 51 1 – 20 2 – 3� Dz–––
D
– 7–––– 7
�x + y + z = – 2m
x – y – 2z = 2m2z + y – 2z = 3m + 5
�1 1 11 – 1 – 22 1 – 2�
�– 2m 1 12m – 1 – 2
3m + 5 1 – 2 �Dx–––D
– 5m – 5––––––––
5
�1 – 2m 11 2m – 22 3m + 5 – 2 �Dy–––D
5m + 15––––––––
5
�1 1 – 2m1 – 1 2m2 1 3m + 5�Dz–––D
– 10m – 10––––––––––––
5
�ax + y + a2z = a2
bx + y + b2z = b2
cx + y + c2z = c2
�a 1 a2
b 1 a2
c 1 c2� �1 a a2
1 b a2
1 c c2�
�a 1 a2
b 1 a2
c 1 c2�
�x + 2y + 3z = 133x + y + 2z = 134x + 3y + az = 14
�1 2 33 1 24 3 a�
MATEMÁTICA
6)
a = 1
D = = 25 – 5a = 25 – 5 = 20 (para a = 1)
Dx = = 13 + 56 + 117 – 42 – 78 – 26 ⇒
⇒ Dx = 40 � x = = = 2
Dy = = 13 + 104 + 126 – 156 – 28 – 39 ⇒
⇒ Dy = 20 � y = ⇒ y = = 1
Dz = = 14 + 104 + 117 – 52 – 39 – 84 ⇒
⇒ Dz = 60 � z = ⇒ z = = 3
S = {(2; 1; 3)}
7)
a) Se (k; 3k) é solução então
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ k = 2
b) Para k = 2 a solução será (k; 3k) = (2; 6) e portanto x + y = 2 + 6 = 8
Resposta: C
n Módulo 20 – Método De Gauss(Escalonamento)
1) ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Resposta: E
2)⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
Logo ab · c · d = x · y · w · z = – · · – =
Resposta: C
3) Seja h o número de homens e m o número de mulheres queaguardam o Dr. Antonio. Chegando o Dr. Antonio o númerode homens será h + 1 e teremos: h + 1 = 4m ⇒ h = 4m – 1 �
m + 1 = ⇒ h = 3m + 3 �
Igualando � e � teremos:4m – 1 = 3m + 3 ⇒ m = 4h = 4m – 1 = 4 · 4 – 1 = 15O total de pessoas aguardando o Dr. Antônio será 19 (h + m = 15 + 4 = 19)Resposta: B
4) ⇒ ⇒
⇒
Assim: A tem R$ 302,00, B tem R$ 1208,00, C tem R$ 594,00 eD tem R$ 614,00.
5) ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
Resposta: B
�x + 2y + 3z = 133x + y + 2z = 134x + 3y + z = 14
�1 2 33 1 24 1 1 �
�13 2 313 1 214 3 1 �
13 213 114 3 �
Dx–––D
40–––20
�1 13 33 13 24 14 1 �
1 133 134 14 �
Dy–––D
20–––20
�1 2 133 1 134 3 14 �
1 23 14 3 �
Dz–––D
60–––20
� 2kx – y = 25x + ky = 22
�2k · k – 3k = 2
5 · k + k · 3k = 22 �2k2 – 3k = 25k + 3k2 = 22 �2k2 – 3k – 2 = 0
3k2 + 5k – 22 = 0
�1
k1 = 2 ou k2 = – ––2
11k1 = 2 ou k2 = – –––
3
� x + 2y + 3z = 144y + 5z = 23
6z = 18 � x + 2y + 3z = 144y + 5z = 23
z = 3
� x + 2y + 3z = 144y + 5 · 3 = 23
z = 3 � x + 2y + 3z = 14z = 2z = 3
� x + 2 · 2 + 3z = 14y = 2z = 3 � x = 1
y = 2z = 3
�x + y = 0y + z = 0z + w = 0y + w = 1
�x + y = 0y + z = 0z = – w
y = 1 – w�
x + y = 01 – w + (– w) = 0z = – wy = 1 – w
�x + y = 01 – 2w = 0z = – wy = 1 – w
�x + y = 0w = 1/2z = – 1/2y = 1/2
�x + y = 0w = 1/2z = – 1/2y = 1/2
�x = – 1/2w = 1/2z = – 1/2y = 1/2
� 1––2 � 1
––2 � 1
––2 � 1
––16
h–––3
�A + B + C + D = 2718
B2A = ––– = C + 10 = D – 10
2�
A + B + C + D = 2718B = 4AC = 2A – 10D = 2A + 10
�A + 4A + 2A – 10 + 2A + 10 = 2718
B = 4AC = 2A – 10D = 2A + 10
�A = 302B = 4 · 302 = 1208C = 2 · 302 – 10 = 594D = 2 · 302 + 10 = 614
�A + B = 702A + C = 105B – C = 5 �B = 70 – A
C = 105 – 2AB – C = 5
�B = 70 – AC = 105 – 2A(70 – A) – (105 – 2A) = 5 �B = 70 – A
C = 105 – 2A70 – A – 105 + 2A = 5
�B = 70 – AC = 105 – 2AA = 40 �B = 70 – 40
C = 105 – 240A = 40 �B = 30
C = 25A = 40
2 –
6) Seja t o número de rolos de 30m, e v o número de rolos de20m. Total de rolos 80: t + v = 80; 2080m de arame: 30t + 20v= 2080.
⇒ ⇒
⇒ segunda equação menos o dobro da primeira ⇒
⇒ ⇒
Resposta: E
7)
Observe que somando as quatro equações teremos:3x + 3y + 3z + 3t = 15 ⇒ x + y + z + t = 5Resposta: C
8) · =
Multiplicando nas matrizes teremos:
a) Somando as duas primeiras equações:
b) (Terceira equação) – (primeira equação):
Para que as duas últimas equações sejam compatíveis éneces sário que k – 5 = 7 ⇒ k = 12. Neste caso o sistema épossível e indeterminado, verifique que a última equação é asoma do dobro da primeira equação com a segunda equação.Resposta: E
n Módulo 21 – Sistema LinearHomogêneo
1)
= 35 + 6 + 54 – 63 – 9 – 20 = 3 ≠ 0 ⇒
⇒ Sistema possível e determinado, e a única solução é atrivial: S = {(0; 0; 0)}.
2) · = ⇔
= 11 + 28 – 330 + 5 + 154 + 132 = 0
Como o determinante do sistema é nulo, o sistema é possívele indeterminado. Descartando-se a segunda equação esubtraindo a terceira da primeira teremos:
⇒ ⇒
Fazendo z = k o conjunto solução será:
S = – k; – k; k
� k � �
3) (2x + y – z)2 + (x – y)2 + (z – 3)2 = 0Como x, y e z são números reais e a equação acima é a somados quadrados de três números reais, as parcelas da somasão maiores ou iguais a zero. Como a soma é zero, entãocada parcela é nula:
⇒ ⇒ ⇒
⇒
Assim, x + y + z = 1 + 1 + 3 = 5Resposta: C
4)
Para o sistema admitir soluções diferentes da trivial o sis -tema deve ser possível e indeterminado, logo o deter minantedo sistema é nulo:
= 8m2 + 6 + 24 + 4m – 18 + 16m = 0
⇒ 8m2 + 20m + 12 = 0 ⇒ 2m2 + 5m + 3 = 0
� = 52 – 4 · 2 · 3 = 25 – 24 = 1 � m = = ⇒
⇒ m = – ou m = – 1
5)
a) Para soluções não triviais o sistema é possível e indetermi -nado e, portanto, p � n = 3.
b) Para p � 3 ⇒ = 0 ⇒ 2� + 4 = 0 ⇒ � = – 2
Resposta: A
� t + v = 8030t + 20v = 2080 � t + v = 80
3t + 2v = 208
� t + v = 80t = 48 � t = 48
v = 32
�x + y + z = – 1x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4
� 1 1 – 1– 1 1 11 3 – 1 � � x
yz � � 5
2k �
� x + y – z = 5– x + y + z = 2x + 3y – z = k
� x + y – z = 52y = 7
x + 3y – z = k
� x + y – z = 52y = 72y = k – 5
� x + 2y + 3z = 02x + 7y + z = 03x + 9y + 5z = 0
�1 2 32 7 13 9 5�
1 22 73 9 �
� 1 4 53 – 1 71 – 22 – 11� � x
yz � � 0
00 � � x + 4y + 5z = 0
3x – y + 7z = 0x – 22y – 11z = 0
�1 4 53 – 1 71 – 22 – 11�
1 43 – 11 – 22�
�x + 4y + 5z = 026y + 16z = 0 �
x + 4y = – 5z
16zy = – ––––
26�
33x = – ––– z
26
8y = – ––– z
13
� � 33–––13
8–––13 � �
� 2x + y – z = 0x – y = 0z - 3 = 0 � 2x + y – z = 0
x = yz = 3 � 2x + x – 3 = 0
x = yz = 3
� x = 1y = 1z = 1
� x + y + z = 04x – 2my + 3z = 02z + 6y – 4mz = 0
�1 1 14 – 2m 33 6 – 4m�
1 14 – 2m2 6 �
– 5 ± 1––––––2 · 2
– 5 ± 1––––––
4
3––2
� 2x + �y – 2y = 0x + y + z = 0x – y – z = 0
�2 � – 21 1 11 – 1 – 1�
– 3
6)
a) Para que o sistema admita uma única solução, p = q = n = 3.Logo o determinante do sistema deve ser não nulo:
≠ 0 ⇒ – m2 – 3m ≠ 0 ⇒ – m(m + 3) ≠ 0 ⇒
⇒ m ≠ 0 e m ≠ – 3.Observe que para m = 0 o sistema é homogêneo, e,portanto, possível; nesse caso p = q = 2 � n = 3. E osistema admite infinitas soluções. O único valor que mnão poderá assumir é, portanto, – 3.
b) m = 0 ⇒
Fazendo z = k, o conjunto solução será:S = {(3k, – k, k)�k � �
7)
Se o sistema deve admitir soluções diferentes da trivial, osistema é possível e indeterminado e, portanto, o determi -nante do sistema deve ser nulo:
= 0 ⇒ – m2 – 10m – 24 = 0 ⇒
⇒ m = 12 ou m = – 2Resposta: E
8)
= 0 ⇒ – 2a2 + 2 = 0 ⇒ a2 = 1 a = ± 1
Resposta: A
n Módulo 22 –Divisão em �, Múltiplos eDivisores em �
1) € € fi b = 5
Resposta: 5
2) € € fi não existe x
Resposta: não existe
3) € € fi x = 5
Resposta: 5
4) I) € €
II) € €
III) € € fi
fi a . b = 13 . 5 = 65
Resposta: 65
5) I) € €
II) € €
III) € € fi
fi x + y = 32 + 6 = 38
Resposta: 38
6) Sendo x o maior e y o menor dos números, tem-se:I) x + y = 224
II) = = = = 7
Assim, = 7 € x = 126 e = 7 € y = 98
Portanto, a soma do maior com a metade do menor é
x + = 126 + = 126 + 49 = 175
Resposta: D
7) I) € €
II) a + b + 8 + 24 = 344 € a + b = 312
III) € €
Portanto, a diferença entre o dividendo e o divisor é a – b = 280 – 32 = 248Resposta: D
8) Se a e b são dois números naturais tais que a2 – b2 = 24, então (a – b) . (a + b) = 24.Dessa forma, podemos ter:
1)
2)
3)
4)
Resposta: B
� x + 2y – z = 0x – my – 3z = 0x + 3y + mz = m
�1 4 – 11 – m – 31 3 m �
� x + 2y – z = 0x – 3z = 0x + 3y = 0 � x + 2y – z = 0
x = 3zy = – z
� 3x + 7my + 6z = 03my + 4z = 0(m – 1)x + 2y – mz = 0
�3 7m 60 3m 4
m – 1 2 – m�
� a2x + y – a2z = 0x – a2y + z = 0x + y – z = 0
�a2 1 – a2
1 – a2 11 1 – 1 �
372
b7 �37 = b . 7 + 2
2 < b �7b = 35b > 2
416
x7 �41 = x . 7 + 6
6 < x �7x = 35x > 6
411
x8 �41 = x . 8 + 1
1 < x �8x = 40x > 1
a3
b2 �a = b . 2 + 3
3 < b �a – 2b = 3b > 3
a + 20
b3 �a + 2 = b . 3
0 < b �a – 3b = – 2b > 0
�a – 2b = 3a – 3b = – 2b > 3
�a – 2b = 3– a + 3b = 2b > 3
�a = 13b = 5
x2
y5 �x = y . 5 + 2
2 < y �x – 5y = 2y > 2
x4
y + 14 �x = (y + 1) . 4 + 4
4 < y + 1 �x – 4y = 8y > 3
�x – 5y = 2x – 4y = 8y > 3
�– x + 5y = – 2x – 4y = 8y > 3
�x = 32y = 6
x–––18
y–––14
x + y––––––––18 + 14
224––––––
32
x–––18
y–––14
y–––2
98––––
2
a24
b8 �a = b . 8 + 24
24 < b �a – 8b = 24b > 24
�a – 8b = 24a + b = 312b > 24
�– a + 8b = – 24a + b = 312b > 4
�a = 280b = 32
�a – b = 1a + b = 24
fi a �
� a – b = 2a + b = 12
fi a = 7 e b = 5 fi (a + b)2 = (7 + 5)2 = 144
� a – b = 3a + b = 8
fi a �
� a – b = 4a + b = 6
fi a = 5 e b = 1 fi (a + b)2 = (5 + 1)2 = 36
4 –
9) Sendo a e b dois algarismos do sistema decimal de nume ra -ção, com a ≠ 0, temos que (abab)10 = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b == 101 (10a + b). Portanto, números da forma (abab)10 são divisíveis por 101.
n Módulo 23 – Máximo Divisor Comum eMínimo Múltiplo Comum
1) I) Decompondo 1200 em fatores primos, tem-se que 1200 = 24 . 31 . 52
II) O número de divisores de 1200 é dado por n[D(1200)] = 2 . (4 + 1) . (1 + 1) . (2 + 1) = 2 . 5 . 2 . 3 = 60
Resposta: 60
2) Como 31 é um número primo e observando que 31 = 311, onúmero de divisores é dado por n[D(31)] = 2 . (1 + 1) = 2 . 2 = 4Resposta: 4
3) I) a = 2n . 5 e b = 2 . 3 . 5n, então,
a . b = 2n . 5 . 2 . 3 . 5n = 2n + 1 . 31 . 5n + 1
II) Se ab possui 18 divisores naturais, então:
(n + 1 + 1) . (1 + 1) . (n + 1 + 1) = 18 €
€ (n + 2) . 2 . (n + 2) = 18 € (n + 2)2 = 9 fi
fi n + 2 = 3 € n = 1, pois n > 0
Portanto, para n = 1, tem-se a = 21 . 5 = 10 e b = 2 . 3 . 51 = 30
Resposta: a = 10 e b = 30
4) 1) mdc(a,b) . mmc(a,b) = 190 = 2 . 5 . 19 €
€ mdc(a,b) = 1 e mmc(a,b) = 2 . 5 . 19
2) €
3) �a – b� = 33Resposta: B
5) I) mdc(360, 300) = a
II) mmc(360, 300) = b
III) a . b = mdc(360, 300) . mmc(360, 300) = 360 . 300 =
= 23 . 32 . 5 . 22 . 3 . 52 = 25 . 33 . 53
Resposta: C
6) I) mdc(x; y) = 2
II) mmc(x; y) = 78 = 2 . 3 . 13
III) mdc(x; y) . mmc(x; y) = x . y = 2 . 78 = 22 . 3 . 13
IV)Como x e y são compostos por dois fatores primos e x < y,
conclui-se que x = 2 . 3 = 6 e y = 2 . 13 = 26 e, portanto,
x2 – y = 62 – 26 = 36 – 26 = 10
Resposta: A
7) mmc(30,48,72) = 24 . 32 . 5 = 720, pois:
Resposta: E
8) O lado de cada lajota quadrada, em centímetros, deve ser di visor natural de 200 e 500 e, portanto, divisor do mdc(200, 500) = 100.Os divisores naturais de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.Resposta: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.
9) O número de páginas de cada fascículo deve ser divisor na -tural de 256 e 160 e, portanto, divisor do mdc(256, 160) = 32,pois:
Os divisores naturais de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32.Resposta: A
10) I) €
II) €
III) €
IV) n + 1 é múltiplo comum de 3, 4 e 5, então, o menor valorde n é tal que n + 1 = mmc(3; 4; 5) = 60, portanto, n + 1 = 60 € n = 59
Resposta: B
11) A senha de 4 algarismos, todos diferentes de zero, é do tipo
. De acordo com o enunciado, devemos ter:
€ €
Resposta: A
FRENTE 2 – ÁLGEBRA
n Módulo 19 –Probabilidade
1) Dos 200 homens, 110 não são solteiros e a probabi lidade
pedida é, portanto = 0,55 = 55%
Resposta: C
�a + b = 43a . b = 2 . 5 . 19 �a = 5 a = 38
ou �b = 38 b = 5
2
2
2
2
3
3
5
30,48,72
15,24,36
15,12,18
15, 6, 9
15, 3, 9
5, 1, 3
5, 1, 1
1, 1, 1
256
96
1
160
64
1
96
32
1
64
0
2
32
3n + 10
3n2
4n + 10
4n3
5n + 10
5n4
5cba
a = 2b = 1c = 1
�a ≠ 1a + b + c = 4�a ≠ 1
a + b + c + 5 = 9�
110–––––200
– 5
2) Das 12 bolas, 4 são brancas, assim, a probabilidade pedida é
=
Resposta: A
3) Se o número da chapa do carro é par, o algarismo dasunidades pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
A probabilidade de ser zero é .
Resposta: E
4) Das 90 empadinhas, 60 são mais apimentadas, assim, a
probabilidade pedida é = .
Resposta: D
5) I) O número de bolas na urna é 100, numeradas de 1 a 100.II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são 1, 4, 9,
16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, num total de 10 bolas.III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são 1, 8, 27 e 64,
num total de 4 bolas.IV) Observando que as bolas com número 1 e número 64
foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é
= = 0,12
Resposta: C
6) I) Das 7 lâmpadas, o número de maneiras de acender 4 ao
mesmo tempo é C7,4 = = = 35
II) Uma das 35 combinações forma o número 4, assim, a
probabilidade pedida é
Resposta: A
7) a) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 16 possibili -dades:
II) Das 16 possibilidades, em 4 existem números iguais,
por tanto, a probabilidade pedida é
b)
Das 16 possibilidades, em 3 a soma é 4, portanto, a
probabilidade pedida é
Respostas: a) b)
8) Considerando-se um polígono regular de n lados, n � 4, tem-se:
I) O número total de diagonais é
II) O número de diagonais que passam pelo centro do
polígono é , se n é par.
Observe que se n é ímpar, nenhuma diagonal passa pelocentro.
III) Se uma diagonal é escolhida ao acaso, a probabilidade deque ela passe pelo centro é
= . = , se n é par
Resposta: E
9) I) Das n etiquetas numeradas de 1 a n, o número demaneiras
de sortear 3 é Cn, 3 = =
II) Os casos que apresentam 3 números consecutivos são (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), ... e (n – 2, n – 1, n), num total de(n – 2)
III) A probabilidade pedida é =
= =
Resposta: D
1–––5
60––––90
2–––3
10 + 4 – 2––––––––––
100
12–––––100
� 74 � 7 . 6 . 5
––––––––3 . 2 . 1
1––––35
1 2 3 4
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4)
4 1––– = –––16 4
1 2 3 4
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4)
3–––16
1–––4
3–––16
n . (n – 3)––––––––––
2
n–––2
n––2
–––––––––––n . (n – 3)–––––––––
2
n–––2
2–––––––––n . (n – 3)
1–––––n – 3
� n3 � n!
––––––––3! (n – 3)!
(n – 2)––––––––––––
n!––––––––––3! (n – 3)!
(n – 2) . 3! (n – 3)!––––––––––––––––
n!(n – 2) . (n – 3)! 3!––––––––––––––––
n!
(n – 2)! 3!––––––––––
n!
4––––12
1–––3
6 –
n Módulo 20 – Probabilidade da União eProbabilidade Condicional
1) I) O número de bolas na urna é 100, numeradas de 1 a 100.II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são 1, 4, 9,
16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, num total de 10 bolas.III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são 1, 8, 27 e 64,
num total de 4 bolas.IV)Observando que as bolas com número 1 e número 64
foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é
= = 0,12
Resposta: C
2) a) X + X + 1 + X + 2 + X + 3 = 50 ⇔ 4X = 44 ⇔ X = 11b) I) Para X = 11, o número de bolas azuis é X + 1 = 11 + 1 = 12
II) Para X = 11, existem 3 bolas com o número 12 (umaazul, uma amarela e uma verde).
III) Observando que a bola azul com o número 12 foi con -tada duas vezes, a probabilidade de retirar uma bolaazul ou uma bola com o número 12 é
= = = 28%
Resposta: a) 11 b) 28%
3) No conjunto S = {20; 21; 22; …; 500}:
I) Os múltiplos de 3 são os termos da progressão arit mética
(21; 24; 27; …; 498), num total de 160 ele mentos, pois
498 = 21 + (n – 1) . 3 ⇔ n = 160
II) Os múltiplos de 7 são os termos da progressão arit mética
(21; 28; 35; …; 497), num total de 69 ele mentos, pois
497 = 21 + (n – 1) . 7 ⇔ n = 69III) Os múltiplos de 3 e 7 são os múltiplos de 21, num total de
23, pois a progressão aritmética (21; 42; 63; …; 483) possui23 ter mos.Assim sendo,a) Em S, existem 23 múltiplos de 3 e de 7.b) Como existem 160 + 69 – 23 = 206 elementos de S que
são múltiplos de 3 ou de 7, a probabilidade de oelemento escolhido de S ser múltiplo de 3 ou 7 é
=
Respostas: a) 23 b)
4) I) Se, no lançamento do dado, ocorreu um número maiorque 2, são 4 casos possíveis (3, 4, 5 ou 6).
II) A probabilidade de ser um número ímpar é =
Resposta:
5) I) Se, retirando uma carta de um baralho comum de 52cartas, saiu uma carta de copas, são 13 casos possíveis.
II) A probabilidade de ser um “rei” é
Resposta:
6) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 5 casos comsoma 8.
II) Das 5 possibilidades, em duas ocorrem o número 5, por -
tanto, a probabilidade pedida é .
Resposta: B
n Módulo 21 – Médias e Estatística
1) = = . =
Resposta:
2)3��������������� 6 . 16 . 18 =
3�������������������� 2 . 3 . 24 . 2 . 32 =
3����������26 . 33 = 22 . 3 = 12
Resposta: 12
3) = = . =
Resposta:
4)
7
���������������� �23���2 �3 . �4���2 �4 =
7������������������ 23 . 2 . 44 . 22 =
= 7����������������� 23 . 2 . 28 . 22 =
7�����214 = 22 = 4
Resposta: 4
5) =
= = = 1,85
Resposta: B
10 + 4 – 2––––––––––
100
12–––––100
12 + 3 – 1––––––––––
5014–––50
28––––100
206––––––––––500 – 19
206–––––481
206–––––481
2–––4
1–––2
1–––2
1–––13
1–––13
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
2––5
3 13 1–– + ––– + ––5 4 2
––––––––––––––––3
12 + 65 + 10––––––––––––
20––––––––––––––
387–––20
1––3
29–––20
29–––20
3–––––––––––––––
5 4 2–– + ––– + ––3 13 1
3––––––––––––––––
65 + 12 + 78––––––––––––––
39
3––1
39––––155
117––––155
117––––155
5 . 1,80 + 3 . 1,50 + 2 . 2,50–––––––––––––––––––––––––––
5 + 3 + 2
18,50––––––
109,00 + 4,50 + 5,00
––––––––––––––––––10
– 7
6) = = = 39,6
Resposta: E
7) Se S é a soma dos 28 números, então:
= 27 € S = 756
A nova média será:
= = 26,92
Resposta: A
8) I) A soma dos 100 números é 100 . 9,83 = 983
= 8,5 € x + y = 150
II) fi
fi
Resposta: D
9) Para que um dos 5 números assuma o maior valor possível,os demais números terão de assumir os menores valorespossíveis, que são 1, 2, 3 e 4, pois os números são inteiros,distintos e positivos.Se x é o maior valor possível, então:
= 16 € 10 + x = 80 € x = 70
Resposta: D
10) = =
= . � 1,22 = 122%
Resposta: E
11) Se x foi a nota obtida pelo aluno na 4a. prova, então:
= 7,3 €
€ 56 + 2x = 73 € 2x = 17 € x = 8,5Resposta: B
12) = 0,336 � 0,3
Resposta: C
13) O rol é: 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 800,800, 800, 800, 800, 1200, 1200, 1500, 1500, 2000
14) H = 2000 – 500 = 1500
15)
16) mo = 500 é o valor de maior frequência
17) md = = 650
18) x– = = = 820
19) I) A mediana dos 7 números é o 4.° valor do rol, assim,se a mediana é igual a 4, devemos ter x � 4, pois orol é 2, 2, 2, 4, ––, ––, –– sendo os outros númerosiguais a x, 5 e 10, em qualquer ordem.
II)⇔ x � {4; 5; 6; ... ; 20}, portanto, existem 20 – 3 = 17
possibilidades para x.Resposta: E
20) I) Rol das notas da equipe Gama: 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10II) Se a nota zero fosse substituída por qualquer valor maior
que 7, a mediana passaria a ser, no máximo, = 7,5,
permanecendo inferior às notas das outrasequipes, que foram 7,8 e 7,6.
Resposta: D
21) Sendo mediana o termo central e tendo 3 notas iguais a 2, amediana vale 2. E, sendo moda o valor de frequência máxima,ou seja, o que mais se repete em um conjunto de dados, amoda vale 2.Resposta: C
22) • média: = = 3
• rol: 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6
• mediana: = = 3
• moda: O número de maior frequência foi o número 1.Resposta: B
23) Rol: 3, 5, 5, 7, 8, 9, x, y, zIndependente dos outros três números, o valor máximo damediana será 8, pois é o quinto termo do rol.Resposta: D
24) H = 16 – 13 = 3
25) x– = = = 15
1,5 . 36 + 1 . 45–––––––––––––––
1,5 + 1
54 + 45–––––––––
2,5
99–––––2,5
S–––––
28
756 – 25 – 28 – 30––––––––––––––––––
25673
–––––25
983 – x – y–––––––––––
98
� x + y = 150 3x – 2y = 125 � 2x + 2y = 300
3x – 2y = 125� x = 85y = 65
1 + 2 + 3 + 4 + x–––––––––––––––––
5
média de 2000–––––––––––––––média de 1990
10.4 + 5.8 + 10.11 + 12.15–––––––––––––––––––––––––
10 + 5 + 10 + 12––––––––––––––––––––––––––––
8.4 + 4.8 + 5.11 + 3.15–––––––––––––––––––––––––
8 + 4 + 5 + 3
370–––––
3720
–––––164
1 . 6,5 + 2 . 7,3 + 3 . 7,5 + 2x + 2 . 6,2–––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + 2 + 3 + 2 + 2
0,70 + 1,59 + 0,31 + 0,25 – 1,17––––––––––––––––––––––––––––––
5
x f fr f% fa fra f% a
500 10 0,50 50 10 0,50 50
800 5 0,25 25 15 0,75 75
1200 2 0,10 10 17 0,85 85
1500 2 0,10 10 19 0,95 95
2000 1 0,05 5 20 1,00 100
∑ 20 1,0 100
500 + 800––––––––––
2
10 · 500 + 5 · 800 + 2 · 1200 + 2 · 1500 + 1· 2000––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 + 5 + 2 + 2 + 116400––––––
20
�x � �
x � 21x � 4
7 + 8––––––
2
1 · 4 + 2 · 1 + 3 · 0 + 4 · 2 + 5 · 2 + 6 · 1–––––––––––––––––––––––––––––––––––
10
30–––10
2 + 4–––––
2
6––2
2 · 13 + 5 · 14 + 4 · 15 + 9 · 16––––––––––––––––––––––––––
2 + 5 + 4 + 9300
––––––20
8 –
26) Tabela dos desvios
27) Dm = = = = 0,9
28) Variância = = = = 1,1
29) Desvio padrão = � variância = �1,1 1,04
30) 1. Verdadeira, pois obteve o maior desvio padrão2. Verdadeira, pois os desvios foram diferentes.3. Falsa, pois das três foi a que obteve o menor desvio pa drão.Resposta: D
n Módulo 22 – Razões e Proporções
1)
Resposta: B
2)
Resposta: C
3) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) são G.D.P., então:
= = € €
Resposta: C
4) Se (a; 2; 5; …) e (3; 6; b; …) são G.I.P., então:
I) a . 3 = 2 . 6 = 5 . b €
II) a + mb = 10 fi 4 + m . = 10 €
€ m . = 6 € m = = 2,5
Resposta: D
5) Se m(2; m) e n + 5(1 + 5; 4 + 5) são G.D.P., então:
= € = € m = 3
Resposta: D
6) Se p(1; p) e q + 2(4 + 2; 1 + 2) são G.I.P., então:
1 . (4 + 2) = p . (1 + 2) € 1 . 6 = p . 3 € p = 2
Resposta: D
7) 12 . 2 = 22 . p = m2 . 8 €
Resposta: B
8) S = πR2 € = π
Resposta: Somente a afirmação (V) é correta.
9) = €
Resposta:
10) I) x + y + z = 70
II) = = = = = 7
Resposta: B
11) I) x + y + z = 660
II) = = = = = 660
Resposta: A
x f D �D� f . �D� D2 f . D2
13 2 – 2 2 4 4 8
14 5 – 1 1 5 1 5
15 4 0 0 0 0 0
16 9 1 1 9 1 9
∑ 20 18 22
�f · � D �––––––––
n
4 + 5 + 0 + 9––––––––––––
2018–––20
�f · D2–––––––
n
8 + 5 + 0 + 9––––––––––––
2022–––20
�x 2
––– = –––y 3
x + 2 3–––––– = –––y + 2 5
€ � 3x = 2y
5x + 10 = 3y + 6€ � 3x – 2y = 0
5x – 3y = – 4€
€ � x = – 8
y = – 12fi x . y = (– 8) . (– 12) = 96
� x 3––– = –––y 8
y + 2x = 42
€ � 3y – 8x = 0
y + 2x = 42€ � x = 9
y = 24
2–––8
3–––y
x–––4 � 2y = 24
8x = 8 � x = 1y = 12
�a = 4
12b = –––
5
12–––5
12–––5
30–––12
2––––––1 + 5
m––––––4 + 5
2–––6
m–––9
�1
p = –––21
m = –––2
S–––R2
p–––d
10,4–––––100
10,4 . dp = –––––––––
100
10,4 . dp = –––––––––
100
x–––2
y–––3
z–––5
x + y + z––––––––––2 + 3 + 5
70–––10
III) �x
––– = 72y
––– = 73z
––– = 75
€ �x = 14
y = 21
z = 35
fi x + z = 14 + 35 = 49
x–––––
1–––2
y–––––
1–––3
z–––––
1–––6
x + y + z––––––––––––––––
1 1 1––– + ––– + –––2 3 6
660–––––
6–––6
III) �x
–––– = 6601––2
y–––– = 660
1––3
z–––– = 660
1––6
€ �x = 330
y = 220
z = 110
– 9
12) Sejam x, y e z as quantidades produzidas, respectivamente,por João, Pedro e Paulo.
I) x + y + z = 200
II) = = = = = 20
Resposta: D
13) Hagar deve pagar 3k e seu acompanhante deve pagar k.3k + k = 28 € k = 7 fi 3k = 21Resposta: C
14) I) x + y + z = 40 mil
II) = = = = = 0,4 mil
Resposta: C
15) Se x é a quantidade (em kg) despejada por B, então, Adespeja 2x e C despeja 0,2 . 2x, assim:x + 2x + 0,4x = 170 € 3,4x = 170 € x = 50Portanto, A despeja 100kg, B despeja 50kg e C despeja 20kg.Resposta: A despeja 100kg; B, 50kg e C, 20kg
16) € €
(a, b, c) = (a, 3a, 4a)Resposta: C
17) a) x + y + z = 1280
= = = = = 64
b) a + b + c = 1280
= = = = = 1600
Respostas: a) R$ 512,00; R$ 320,00 e R$ 448,00
b) R$ 320,00; R$ 800,00 e R$ 160,00
18) Sejam x, y e z as quantias, em milhares de reais, que caberão
a cada um dos respectivos colocados.
= = = = = 6
Resposta: R$ 300.000,00; R$ 258.000,00 e R$ 222.000,00
19) Sejam x e y os potenciais em watts, de cada uma dos sis -temas.I) x + y = 2 800 000
II) = fi
fi = = = = 400 000
Resposta: P1 = 1 200 000 W e P2 = 1 600 000 W
20) I) x + y + z = 690 000
II) = = = = = 57 500
Resposta: As pessoas receberão, respectivamente, R$ 172 500,00; R$ 230 000,00 e R$ 287 500,00
x–––2
y–––3
z–––5
x + y + z–––––––––––
2 + 3 + 5
200–––––
10
III) �x
––– = 202y
––– = 203z
––– = 205
€ �x = 40
y = 60
z = 100
x–––20
y–––30
z–––50
x + y + z––––––––––––20 + 30 + 50
40 mil–––––––
100
III) �x
–––– = 0,4 mil20y
–––– = 0,4 mil30z
–––– = 0,4 mil50
fi �x = 8 mil
y = 12 mil
z = 20 mil
�c = a + b
ca = –––
4�b = c – a
c = 4a �b = 3ac = 4a
x–––8
y–––5
z–––7
x + y + z––––––––––––
8 + 5 + 7
1280––––––
20
�x
––– = 648y
––– = 645z
––– = 647
€ �x = 512
y = 320
z = 448
a––––
1––5
b––––
1––2
c–––––
1–––10
a + b + c––––––––––––––––
1 1 1––– + ––– + –––5 2 10
1280–––––
8–––10
�a
–––– = 16001––5
b–––– = 1600
1––2
c––––– = 1600
1–––10
€ �a = 320
b = 800
c = 160
x–––50
y–––43
z–––37
x + y + z––––––––––––50 + 43 + 37
780–––––130
�x
–––– = 650y
–––– = 643z
–––– = 637
€ �x = 300
y = 258
z = 222
x.400––––––1200
y.200––––––
800
x–––3
y–––4
x + y–––––––3 + 4
2 800000––––––––––
7
III)�x
––– = 400 0003y
––– = 400 0004
€ � x = 1 200 000
y = 1 600 000
x–––3
y–––4
z–––5
x + y + z––––––––––3 + 4 + 5
690 000––––––––
12
III) �x
––– = 57 5003y
––– = 57 5004z
––– = 57 5005
€ �x = 172 500y = 230 000z = 287 500
10 –
21)
Resposta: C
22) I) Se idades (35; 14; x) e quantidade de rosas (70; a; b) sãoG.D.P., então:
= = € = = fi a = 28
II) 70 + a + b = 10 . 12 fi 70 + 28 + b = 120 € b = 22
III) = fi = € x = 11
Resposta: D
n Módulo 23 – Porcentagem
1) (10%)2 = 2
= 2 = = 1%
Resposta: D
2) Dos 112 jogadores, 54 + 14 = 68 concluíram o Ensino Médio e,portanto, o percentual pedido é
. 100% que é, aproximadamente, 60%.
Resposta: D
3) Conforme o enunciado, admitindo-se R ≠ 0, temos:
fi = = = =
= =
Resposta B
4) Sendo a e p os salários, em reais, de Antonio e Pedro, respec -tivamente, temos:
€ fi a = 90% . (a + 500) €
€ a = 0,9 . (a + 500) € a = 0,9 . a + 450 €
€ 0,1 . a = 450 € a = 4500
Resposta: D
5) Os gastos com alimentação pelas duas famílias sãoa) na de menor renda, 33% de R$ 400,00 = R$ 132,00b) na de maior renda, 9% de R$ 6000,00 = R$ 540,00Dessa forma, o valor, em reais, gasto com alimentação dafamília de maior renda é aproximadamente quatro vezesmaior que o da família de menor renda.Resposta: B
6) O lucro por litro é R$ (0,52 – 0,32) = R$ 0,20O acréscimo no lucro deve ser R$ 2580,00 . 30% = R$ 774,00Portanto, o total de litros a mais de leite que o produtorprecisa vender é
= 3870
Resposta: D
7) Do gráfico temos: 4 alunos com nota 4,0; 10 alunos com nota5,0; 18 alunos com nota 6,0; 16 alunos com nota 7,0 e 2 alu -nos com nota 8,0, num total de 4 + 10 + 18 + 16 + 2 = 50 alunosDesses, foram aprovados 18 + 16 + 2 = 36 alunos, corres -
pondendo a = 0,72 = 72% dos alunos.
Resposta: E
8) 12,50 . (1 + i) = 13,50 € 1 + i = € 1 + i = 1,08 €
€ i = 0,08 € i = 8%
Resposta: D
9) = = 0,12 = 12%
outra resolução
386 400 – 345 000 = 41 400valor %
345 000 ––––– 100%fi x = 12%
41400 ––––– x
Resposta: C
10) I) Verdadeiro.Conforme a tabela fornecida, pode-se afirmar, com cer -teza, que a mulher não é poupada da violência sexualdoméstica em nenhuma das faixas etárias indicadas.
II) Falso.A maior parte das mulheres adultas é agredida porconhecidos (33,8%), vizinhos (27,9%) e parceiros ou ex-parceiros (25,2%).
III) Verdadeiro.As adolescentes são vítimas de quase todos os tipos deagressores, pois só não são agredidas pelos pais adotivose pelos avós.
IV) Verdadeiro.Conforme a tabela, o pai, biológico ou não, é o autor de21,7% + 16,7% + 1,6% = 40% dos casos de violência sexualenvolvendo crianças.
Obs.: Na tabela publicada, a quantidade de adultas agredidaspor pai biológico é 6 de um total de 68, o que corresponde a8,8% e não 6% como está impresso.Resposta: D
€ �35y
––––– = 70012
2yx = ––––
35y
z = ––––4
€ � y = 240x = 160z = 300
35––––70
14––––
a
x–––b
1–––2
14––––
a
x–––b
1–––2
x–––b
1–––2
x–––22
� 10––––100 � � 1
–––10 � 1
–––100
68–––––112
�P = 30% . QQ = 20% . RS = 50% . R
fi � P = 30% . 20% . RS = 50% . R
fi
P–––S
30% . 20% . R––––––––––––––
50% . R0,30 . 0,20
–––––––––––0,50
0,06–––––0,50
6––––50
3––––25
�a = 90% . pp – a = 500 �a = 90% . p
p = a + 500
774,00––––––––
0,20
36––––50
13,5–––––12,5
386 400 – 345 000––––––––––––––––
345 00041 400
––––––––345 000
�x + y + z = 700x 2
––– = –––y 3y 4
––– = –––z 5
€ �x + y + z = 700
2yx = ––––
35y
z = ––––4
€
– 11
11) Sendo V o valor do artigo antes do aumento e P o descontoa ser anunciado, temos:(1 – P) . 1,25 V = V € P = 0,2 € P = 20%Resposta: A
12) 1) Pela primeira opção Maria ficará devendo, no dia 8/12, (3500,00 – 2300,00) euros = 1200,00 eurosNo dia 9/12 pagará 2% . 1200,00 euros = 24,00 euros dejuros e sua dívida atualizada passará para 1224,00 euros. No dia 10/12 pagará 2%.1224,00 euros = 24,48 euros dejuros e a dívida final passará para 1248,48 euros.Pela 1a. opção, portanto, o valor total dos juros pagos será48,48 euros.
II) Na segunda opção Maria pagará uma multa de 2%. 3500,00 euros = 70,00 euros.
III) A opção 2, em relação à opção 1, representa uma des -vantagem de (70,00 – 48,48) euros = 21,52 euros.
Resposta: C
13) Sendo V o preço de venda e C o preço de custo, tem-se:
€ €
€ € € fi
fi V + C = 7 800 + 4 800 = 12 600 Resposta: D
14) Se c for o preço do catálogo e v o preço de venda, então:
0,75v = 1,3 . (0,75c) € v = 1,3c € v = 130%c
Resposta: C
FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA
n Módulo 19 –Coeficiente angular da reta
1) O coeficiente angular da reta que passa por A 0; e
B – ; 0 , com m � 0, é dado por:
mAB = = = 1
Resposta: C
2) Sendo A(–3; 1), B(–2; 4), C(4; 1) e D(1; 4), tem-se:
I) mAB = = = 3
II) mCD = = = – 1
Resposta: D
3) Sejam A(a; 0), B(b; 0) e C(3; c) os pontos representados nafigura.
I) A reta r, que passa pelos pontos A e C, tem inclinação de30°, assim, seu coeficiente angular é dado por:
mr = = tg 30° fi = € c =
II) A reta s, que passa pelos pontos B e C, tem inclinação de60°, assim, seu coeficiente angular é dado por:
ms = = tg 60° fi = ����3 € c = ����3 (3 – b)
III) Comparando (I) e (II), tem-se:
= ����3 (3 – b) € 3 – a = 9 – 3b € 3b – a = 6
Resposta: A
4) Sejam A(0; 0), B – ; e C ; os vértices dotriângulo.
I) Se M(xM; yM) é o ponto médio de BC––
, então:
xM = = = 0fi M 0;
yM = = =
II) A equação da reta que passa por A e M é dada por:
= 0 € – x = 0 € x = 0
Observe que a reta que passa por A(0; 0) e M 0; é
vertical, coincidente com o eixo y, portanto, formada pelospontos que possuem x = 0.Resposta: A
5) = 0 € 3x – y + 3 = 0 € y = 3x + 3
Resposta: y = 3x + 3
6) = 0 € 4 – 2x – 3y – 4x – 6 – y = 0 €
€ – 6x – 4y – 2 = 0 € 3x + 2y + 1 = 0 €
€ 2y = – 3x – 1 € y = – x –
Resposta: y = – x –
����3–––––
3c – 0
–––––––3 – a
yC – yA–––––––––xC – xA
����3 (3 – a)–––––––––
3
c – 0–––––––3 – b
yC – yB–––––––––xC – xB
����3 (3 – a)–––––––––
3
�3–––5
3–––5��3
–––5
3–––5�
3 3– ––– + –––
5 5 ––––––––––
2xB + xC–––––––––
2� �3–––5�
3–––5
3 3––– + –––5 5
––––––––––2
yB + yC–––––––––2
�0
0
x
03
–––5y
1
1
1� 3
–––5
�3–––5�
�0
– 1x
30y
111
�
�1
– 3x
– 24y
111
�
��1
–––m�
�1–––m
10 – –––
m––––––––––
1– ––– – 0
m
yB – yA–––––––––xB – xA
4 – 1–––––––––
– 2 + 3yB – yA–––––––––xB – xA
4 – 1–––––––––
1 – 4yD – yC–––––––––xD – xC
�V – C = 3 00080% . V = 130% . C �V = C + 3 000
8V = 13 C
�V = C + 3 0008(C + 3 000) = 13C �V = C + 3 000
24000 = 5C �V = 7 800C = 4 800
1–––2
3–––2
1–––2
3–––2
12 –
7) = 0 € – 9 + 4x – 4y + 3x + 16 – 3y = 0 €
€ 7x – 7y + 7 = 0 € x – y + 1 = 0 € y = x + 1 Resposta: y = x + 1
8) = 0 € 2x – y – 2 – 3y = 0 €
€ 2x – 4y – 2 = 0 € x – 2y – 1 = 0 € 2y = x – 1 € y = x –Resposta: B
9) Sejam V1(0; 0), V2(a; a) e V3(a; –a) os vértices do triângulo.I) Se M (xM; yM) é o ponto médio de V1V2, então:
xM = = fi M ;
yM = =
II) A equação da reta que passa por V3 e M é dada por:
= 0 € – ax + – + – ay = 0 €
€ – x + – + – y = 0 €
€ a – 2x + y – x + a – 2y = 0 € – 3x – y + 2a = 0 € y = – 3x + 2a
Resposta: B
10) Sejam A(– 1; 0), B(0; 3) e C(2; 4) os vértices do triângulo.
I) A equação da reta suporte do lado AB––
é dada por:
= 0 € – 3 – 3x + y = 0 € y = 3x + 3
Assim, o coeficiente angular é mAB = 3 e o linear é hAB = 3
II) A equação da reta suporte do lado BC––
é dada por:
= 0 € – x + 2y – 6 = 0 € y = x + 3
Assim, o coeficiente angular é mBC = e o linear é hBC = 3
III) A equação da reta suporte do lado AC––
é dada por:
= 0 € – 4x + 3y – 4 = 0 € y = x +
Assim, o coeficiente angular é mAC = e o linear é
hAC =
Resposta: mAB = 3 e hAB = 3;
mBC = e hBC = 3
mAC = e hAC =
11) A intersecção da reta com o eixo x é o ponto A(2; 0) e com oeixo y é o ponto B(0; – 3), assim, a equação segmentária édada por:
+ = 1
Resposta: + = 1
12) A equação da reta que passa por M(1; 1) e N(2; 3) é dada por:
= 0 € 2x – y – 1 = 0 €
€ 2x – y = 1 € + = 1
Resposta: + = 1
13) As intersecções da reta com os eixos x e y são,
respectivamente, os pontos (2; 0) e (0; – 1), assim, a equação
da reta é dada por:
+ = 1 € – y = 1 € x – 2y = 2 € x – 2y – 2 = 0
Resposta: A
n Módulo 20 –Posição relativa entre duasretas
1) Lembrando que a equação reduzida de uma reta é do tipoy = mx + h, em que m é o coeficiente angular e h é ocoeficiente linear, escrevendo as equações das retas na formareduzida, tem-se:
1) 2x – y + 3 = 0 € y = 2x + 3 fi m = 2 e h = 3
2) 2x – y + 5 = 0 € y = 2x + 5 fi m = 2 e h = 5
3) 3x – 6y = – 3 € y = x + fi m = e h =
4) x – 2y + 3 = 0 € y = x + fi m = e h =
5) 2x + 4y + 3 = 0 € y = – x – fi m = – e h = –
6) 4x – 2y = – 6 € y = 2x + 3 fi m = 2 e h = 3
I) Retas que possuem mesmo coeficiente angular e mesmocoeficiente linear, são coincidentes (retas: 1 e 6)
II) Retas que possuem mesmo coeficiente angular ecoeficientes lineares diferentes, são paralelas distintas(retas: 1 e 2, 2 e 6, 3 e 4)
III) Retas que possuem coeficientes angulares inversos e desinais contrários, são concorrentes e perpendiculares(retas: 1 e 5, 2 e 5, 5 e 6)
4–––3
4–––3
y–––– 3
x–––2
y–––– 3
x–––2
�12x
13y
111
�y
–––– 1
x––––
1–––2
y–––– 1
x––––
1–––2
x–––2
y–––– 1
x–––2
1–––2
1–––2
1–––2
1–––2
3–––2
1–––2
3–––2
1–––2
3–––2
1–––2
3–––2
1–––2
�02x
34y
111
� 1–––2
1–––2
�– 12x
04y
111
� 4–––3
4–––3
4–––3
4–––3
1–––2
�x31
y20
1– 11
�1
–––2
1–––2
a–––2
0 + a––––––
2� �a–––2
a–––2�
a–––2
0 + a––––––
2
�aa
–––2x
– aa
–––2y
1
1
1� a2
–––2
ax–––2
ay–––2
a2–––2
a–––2
x–––2
y–––2
a–––2
�– 10x
03y
111
�
�3
– 4x
4– 3y
111
�
– 13
IV)Retas que não são perpendiculares e possuem coeficien -tes angulares diferentes, são concorrentes (retas: 1 e 3, 1e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 5, 3 e 6, 4 e 5, 4 e 6)
Resposta: 1 e 2 (paralelas) 1 e 3 (concorrentes)1 e 4 (concorrentes) 1 e 5 (perpendiculares)1 e 6 (coincidentes) 2 e 3 (concorrentes)2 e 4 (concorrentes) 2 e 5 (perpendiculares)2 e 6 (paralelas) 3 e 4 (paralelas)3 e 5 (concorrentes) 3 e 6 (concorrentes)4 e 5 (concorrentes) 4 e 6 (concorrentes)5 e 6 (perpendiculares)
2) I) A reta x = y € y = x tem coeficiente angular m = 1II) A reta x + y = 1 € y = – x + 1 tem coeficiente angular m = – 1Como os coeficientes angulares são inversos e de sinaiscontrários, as retas são perpendiculares.Resposta: C
3) I) A reta que passa pelos pontos A(K; 3) e B(– 2; 1) tem
coeficiente angular m1 = = = =
=
II) A reta que passa pelos pontos C(5; K) e D(1; 0) tem coefi -
cien te angular m2 = = = =
III) Se as retas são paralelas, então:
m1 = m2 fi = € 2K + K2 = 8 € K2 + 2K – 8 = 0 €
€ K = – 4 ou K = 2, são racionais, inteiros e de sinaiscontrários.
Resposta: E
4) (x – y)2 = 4 € x – y = ± 2 €€ x – y = 2 ou x – y = – 2 €
€ y = x – 2 ou y = x + 2, são duas retas paralelasResposta: A
5) I) Sejam a e b, respectivamente, os coeficientes angularesdas retas x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0. Temos:
fi a = b
II) Sejam c e d, respectivamente, os coeficientes lineares dasretas x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0. Temos:
fi c ≠ d
III) De I e II concluímos que as retas são paralelas e dis tintas,e, portanto, não têm ponto em comum.
Resposta: C
6) I) ax + by + c = 0 tem coeficiente angular m1 =
II) a’x + b’y + c’ = 0 tem coeficiente angular m2 =
III) As retas são perpendiculares, então:
m1 . m2 = – 1 fi . = – 1 € = – 1 €
€ a . a’ = – b . b’ € a . a’ + b . b’ = 0
Resposta: C
7) I) 3x = 2ky – 6 € y = x + tem coeficiente angular
m1 =
II) 3y = – 5x + 2 € y = – x + tem coeficiente angular
m2 = –
III) As retas são perpendiculares, então:
m1 . m2 = – 1 fi . – = – 1 € – = – 1 €
€ = 1 € 2k = 5 € k =
Resposta: A
8) I) 2x + Ky + 12 = 0 € y = – x –
II) 5x – y – L = 0 € y = 5x – L
III) Se as equações representam a mesma reta, então:
€ fi
fi K + L = – – 30 = – = – 30,4
Resposta: E
9) I) x + 2y + 13 = 0 € y = – x – tem coeficiente angular
m1 = –
II) – x + y = 0 € y = 2x tem coeficiente angular m2 = 2
III) As retas são perpendiculares, pois m1 . m2 = – . 2 = – 1
Resposta: C
1a = ––
52 1
b = ––– = ––10 5
�1
c = –––5
22 d = – –––
10 �
– a–––b
– a’––––b’
a . a’––––––b . b’�– a’
––––b’��– a
––––b�
6––––2k
3––––2k
3––––2k
2––––
35
––––35
––––3
5––––2k�5
––––3�3
––––2k
5––––
25
––––2k
12––––
K2
––––K
2K = – –––
5
L = – 30�2
– ––– = 5K12
– ––– = – LK
�152––––
52
––––5
13––––
21
––––2
1––––
2
1––––
2
1––––
2
– 2–––––––– 2 – K
1 – 3–––––––– 2 – K
yB – yA–––––––––xB – xA2
––––––2 + K
K–––4
– K––––– 4
0 – K––––––1 – 5
yD – yC–––––––––xD – xC
K–––4
2––––––2 + K
14 –
10) I) 3x + 2y – 1 = 0 € y = – x + tem coeficiente angular
m1 = –
II) – 4x + 6y – 10 = 0 € y = x + tem coeficiente
angular m2 =
III) As retas são perpendiculares, pois
m1 . m2 = – . = – 1
Resposta: C
11) I) kx + 5y + k = 0 € y = – x – tem coeficiente angular
mr = – e coeficiente linear hr = –
II) 4x + (k + 1)y – 5 = 0 € y = – x + tem
coeficiente angular ms = – e coeficiente linear
hs =
III) Para que as retas sejam paralelas distintas, deve-se ter:
fi € €
€ € k = – 5 ou k = 4
Resposta: 4 ou – 5
12) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(x; – 2) e
B(5; 1) é mAB = = =
II) O coeficiente angular da reta que passa por C(10; 0) e
D(13; – 2) é mCD = = = –
III)Se as retas AB
e CD
são perpendiculares, então:
mAB . mCD = – 1 fi . – = – 1 € = 1 €
€ 2 = 5 – x € x = 3
Resposta: D
13) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(3; 7) e B(4; y)
é mAB = = = y – 7
II) O coeficiente angular da reta que passa por C(9; 10) e
D(6; 8) é mCD = = = =
III) Se as retas AB
e CD
são perpendiculares, então:
mAB . mCD = – 1 fi (y – 7) . = – 1 € y – 7 = €
€ y = + 7€ y =
Resposta:
14) I) 2x – y – 3 = 0 € y = 2x – 3 tem coeficiente angular m1 = 2
II) 3y + �x – 2 = 0 € y = – x + tem coeficiente angular
m2 = –
III) Para que as retas sejam perpendiculares, deve-se ter:
m1 . m2 = – 1 fi 2 . – = – 1 € � =
Resposta: D
15) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(1; 3) e B(4; 6)
é mAB = = = = 1
II) Se mr é o coeficiente angular da reta r perpendicular à reta
AB
, então:
mr . mAB = – 1 fi mr . 1 = – 1 € mr = – 1
Resposta: – 1
16) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(7; 5) e
B(2; 3) é mAB = = =
II) O coeficiente angular da reta que passa por B(2; 3) e
C(xC; –2) é mBC = = =
III) As retas AB
e BC
são perpendiculares, então:
mAB . mBC = – 1 fi . = – 1 € = 1 €
€ xC – 2 = 2€ xC = 4
Portanto, o vértice C tem coordenadas (4; – 2)Resposta: C
3––––––5 – x
1 –(– 2)–––––––5 – x
yB – yA–––––––xB – xA
2–––3
– 2 – 0–––––––13 – 10
yD – yC–––––––xD – xC
2––––––5 – x�2
–––3�3
––––––5 – x
y – 7––––––4 – 3
yB – yA–––––––xB – xA
2––––
3– 2––––– 3
8 – 10––––––6 – 9
yD – yC–––––––xD – xC
– 3––––
22
–––3
11––––
2– 3––––
2
11–––2
2–––3
�–––3
�–––3
3–––2��
–––3�
3–––3
6 – 3––––––4 – 1
yB – yA–––––––xB – xA
2–––5
3 – 5––––––2 – 7
yB – yA–––––––xB – xA
– 5––––––xC – 2
– 2 – 3––––––xC – 2
yC – yB–––––––xC – xB
2––––––xC – 2�– 5
––––––xC – 2�2
–––5
1––––
23
––––2
3––––
2
5––––
32
––––3
2––––
3
2––––
33
––––2
k–––5
k–––5
k–––5
k–––5
5––––––k + 1
4––––––k + 1
4––––––k + 1
5––––––k + 1
k2 + k = 20k2 + k � – 25�
k 4– ––– = – ––––––
5 k + 1k 5
– ––– � ––––––5 k + 1
�mr = mshr � hs
�
k2 + k – 20 = 0k2 + k � – 25�
– 15
n Módulo 21 –Feixe de retas concorrentesnum ponto
1) A equação da reta que passa por P(3; – 2) e tem coeficiente
angular m = – é dada por:
y – yp = m(x – xP) fi y + 2 = – (x – 3) € 4y + 8 = – x + 3€
€ x + 4y + 5 = 0
Resposta: x + 4y + 5 = 0
2) A equação da reta que passa pelo ponto (– 2; 4) e tem
coeficiente angular igual a – 3 é dada por:
y – 4 = – 3(x + 2) € y – 4 = – 3x – 6 € y + 3x + 2 = 0
Resposta: D
3) A reta procurada passa pelo ponto (3; – 2) e tem coeficienteangular m = tg135° = – 1, assim, sua equação é dada por:
y + 2 = – 1(x – 3) € y + 2 = – x + 3 € x + y – 1 = 0
Resposta: x + y – 1 = 0
4) I) Se a reta intercepta o eixo das ordenadas em P(0; – 3)então, o coeficiente linear é h = – 3
II) O coeficiente angular da reta é m = tg = �3
III) A equação da reta é dada por:
y = mx + h fi y = �3 x – 3 € �3 x – y – 3 = 0
Resposta: C
5)
A reta t tem coeficiente linear h = 2 (intersecção com o eixo
y) e coeficiente angular m = tg 120° = – �3 , assim, sua
equação é dada por:
y = mx + h fi y = –�3 x + 2
Resposta: E
6) A reta procurada tem coeficiente linear h = – 2 e coeficiente
angular m = , assim, sua equação é dada por:
y = mx + h fi y = x – 2 € 3y = x – 6 € x – 3y – 6 = 0
Resposta: x – 3y – 6 = 0
7) Se a equação da reta é y = ax + b, o valor de b é o coeficientelinear da reta, que corresponde à ordenada do ponto deintersecção da reta com o eixo y.
Assim, de acordo com a figura, tem-se:
tg 60° = € �3 = b
Resposta: D
8) I) Se r é a reta que passa pelos pontos (4; 0) e (0; 6), o
coeficiente linear é 6 e o coeficiente angular é mr = =
= – , assim, a equação da reta r é y = – x + 6
II) A reta s tem coeficiente linear 2 e coeficiente angular
ms = (pois é perpendicular à reta r), assim, a equação
da reta s é y = x + 2
III) O ponto P(a; b), intersecção das retas r e s, é dado pelasolução do sistema a seguir, assim:
€ fi P ;
IV)Para a = e b = , tem-se:
a + b = + =
Resposta: D
9) I) A reta r, que passa pelos pontos A(1; 2) e B(3; 4), tem
coeficiente angular mr = = = 1
II) A reta s, de equação mx + ny + 1 = 0, tem coeficiente
angular ms = –
III) Se as retas r e s são perpendiculares, então:
mr . ms = – 1 fi 1 . – = – 1 € m = n
Resposta: B
1–––4
1–––4
π–––3
1–––3
1–––3
b–––1
0 – 6–––––4 – 0
3–––2
3–––2
2–––3
2–––3
�42––––13
24––––13�
24x = ––––
1342
y = ––––13
�3
y = – –––x + 62
2y = –––x + 2
3�
42––––13
24––––13
66––––13
42––––13
24––––13
4 – 2–––––3 – 1
yB – yA––––––––xB – xA
m–––n
�m–––n�
16 –
10) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é paralela ao eixo Oxé horizontal, assim, sua equação é y = – 2 € y + 2 = 0Resposta: y + 2 = 0
11) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é perpendicular aoeixo Ox é vertical, assim, sua equação é x = 3 € x – 3 = 0Resposta: x – 3 = 0
12) I) 2x – 3y – 4 = 0 tem coeficiente angular m1 =
II) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é paralela à reta
2x – 3y – 4 = 0, tem coeficiente angular m2 = m1 = ,
assim, sua equação é dada por:
y – yP = m2(x – xP) fi y + 2 = (x – 3) € 3y + 6 = 2x – 6 €
€ 2x – 3y – 12 = 0
Resposta: 2x – 3y – 12 = 0
13) I) 2x – 3y – 4 = 0 tem coeficiente angular m1 =
II) A reta que passa por P(3; – 2) e é perpendicular à reta
2x – 3y – 4 = 0, tem coeficiente angular m2 = = – ,
assim, sua equação é dada por:
y – yP = m2(x – xP) fi y + 2 = – (x – 3) €
€ 2y + 4 = – 3x + 9 € 3x + 2y – 5 = 0
Resposta: 3x + 2y – 5 = 0
14) I) ax + a2y = 1 € a2y = – ax + 1 € y = – x + tem
coeficiente angular m1 = –
II) A reta que passa por (a; a), a > 0, e é paralela à reta
ax + a2y = 1, tem coeficiente angular m2 = m1 = – ,
assim, sua equação é dada por:
y – a = – (x – a) € ay – a2 = – x + a € x + ay = a2 + a
Resposta: x + ay = a2 + a
15) I) Seja r a reta que passa por (–3; 0) e (0; 2). A equação da
reta r é + = 1 € 2x – 3y = – 6
II) Seja s a reta que passa por (7; 0) e tem coeficiente angularm = tg 135° = – 1. A equação da reta s é y – 0 = – 1(x – 7) €€ y = – x + 7
III) As coordenadas do ponto A, intersecção das retas r e s,correspondem à solução do sistema a seguir:
€ € fi A(3; 4)
IV)O triângulo determinado pelo ponto A(3; 4) e pelos pontos
de abscissas – 3 e 7 da figura, tem base 7 – (– 3) = 10 e altura
igual a yA = 4. Assim, a área do triângulo é = 20
Resposta: E
16) I) 5x – 3y = 2 tem coeficiente angular m1 =
II) A reta que passa pelo ponto (4; 5) e é perpendicular à reta
5x – 3y = 2, tem coeficiente angular m2 = – , assim, sua
equação é dada por:
y – 5 = – . (x – 4) € 5(y – 5) = – 3(x – 4) €
€ 3(x – 4) + 5(y – 5) = 0
Resposta: A
17) I) A reta r passa pelo ponto (3; 2) e tem coeficiente angular
m = tg 60° = �3 , assim, sua equação é dada por:
y – 2 = �3 (x – 3) € y – 2 = �3 x – 3�3 €
€ y = �3 x + 2 – 3�3II) O coeficiente linear da reta é h = 2 – 3�3 , logo, a reta
passa por (0; 2 – 3�3 )
Resposta: A
18) I) A reta de equação y = x, tem coeficiente angular m1 = 1II) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações
2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0, então:
€ € fi P
III) A reta que passa por P e é perpendicular à reta
y = x, tem coeficiente angular m2 = – 1, assim, sua equação
é dada por:
y – yP = m2(x – xP) fi y – = – 1 €
€ 7y – 1 = – 7x + 5 € 7x + 7y – 6 = 0
Resposta: C
n Módulo 22 –Circunferência
1) Se o centro é o ponto C(3; – 1) e o raio é r = 5, a equação dacircunferência é dada por:(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Resposta: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
2) Se o centro é o ponto C(– 4; 2) e o raio é r = = 4, a equa -ção da circunferência é dada por:(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16Resposta: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16
3) I) O centro da circunferência é o ponto C(4; – 1)
II) Se a circunferência passa por P(– 1; 3), o raio é
r = PC = ��������������(4 + 1)2 + (– 1 – 3)2 = ������25 + 16 = ����41
III) A equação da circunferência é dada por:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 4)2 + (y + 1)2 = 41
Resposta: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 41
5–––3
3–––5
3–––5
�2x – 3y – 1 = 03x – y – 2 = 0 �2x – 3y = 1
– 9x + 3y = – 6 �5
x = ––71
y = ––7
5 1�––; ––�7 7
5 1�––; ––�7 7
1–––7
5�x – –––�7
2–––3
2–––3
2–––3
2–––3
– 1––––m1
3–––2
3–––2
1–––a
1–––a2
1–––a
1–––a
1–––a
x–––– 3
y–––2
�2x – 3y = – 6y = – x + 7 �2x + 3x – 21 = – 6
y = – x + 7 �x = 3y = 4
10 . 4––––––
2
8–––2
– 17
4) Sejam A(– 3; 5) e B(7; – 3) os extremos do diâmetro.I) O centro C da circunferência é o ponto médio de
––AB,
então:
fi C(2; 1)
II) O raio da circunferência é r = = AC = BC =
= �����52 + 42 = ����41
III) A equação da circunferência é dada por:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41
Resposta: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41
5) Se o centro é o ponto C(– 4; 3) e a circunferência é tangente ao
eixo y, então o raio é r = �xC� = �– 4� = 4, assim, sua equação é:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16
Resposta: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16
6) Se o centro é o ponto C(0; 0) e a circunferência corta o eixo xno ponto (6; 0), então o raio é r = 6, assim, sua equação é:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi x2 + y2 = 36
Resposta: x2 + y2 = 36
7)
O centro é o ponto (– 8; 8) e o raio é 8, assim, a equação dacircunferência é (x + 8)2 + (y – 8)2 = 64Resposta: (x + 8)2 + (y – 8)2 = 64
8)
I) yC2 + 62 = 102 € yC
2 = 64 € yC = � 8II) O centro da cicunferência é C(– 6; 8) ou C(– 6; – 8)III) A equação da circunferência é dada por:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi
fi (x + 6)2 + (y – 8)2 = 100 ou (x + 6)2 + (y + 8)2 = 100Resposta: (x + 6)2 + (y – 8)2 = 100 ou (x + 6)2 + (y + 8)2 = 100
9) O centro é o ponto (π; 0) e o raio é π, assim, a equa ção dacircunferência é:(x – π )2 + (y – 0)2 = π2 € x2 – 2πx + π2 + y2 – π2 = 0 €€ x2 – 2πx + y2 = 0Resposta: A
10)
O centro é o ponto C(���2 ; ���2 ) e o raio da circunferência é
r = �����2 + 2 = ���4 = 2 Resposta: D
11) I) O centro da circunferência é o ponto C(1; 2)
II) Se a circunferência contém o ponto P(2; 1), o raio é
r = PC = �������������(1 – 2)2 + (2 – 1)2 = �����1 + 1 = ���2
III) A equação da circunferência é dada por:
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 1)2 + (y – 2)2 = 2 €
€ x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 2 = 0 €
€ x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0
Resposta: C
12) I) O centro da circunferência é o ponto M, ponto médio
de––AC, então:
fi M(3; 4)
II) A diagonal do quadrado é d = AC = �����22 + 22 = 2���2
III) O lado � do quadrado é tal que:
����2 = d fi ����2 = 2���2 € � = 2
IV)O raio da circunferência inscrita no quadrado é
r = = = 1
V) A equação da circunferência é dada por:
(x – xM)2 + (y – yM)2 = r2 fi (x – 3)2 + (y – 4)2 = 1 €
€ x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 – 1 = 0 €
€ x2 + y2 – 6x – 8y + 24 = 0Resposta: B
�xA + xB – 3 + 7
xC = –––––––– = ––––––– = 22 2
yA + yB 5 + (– 3)yC = –––––––– = ––––––––– = 1
2 2
AB–––2
xA + xC 2 + 4xM = –––––––– = ––––––– = 3
2 2
yA + yC 3 + 5yM = –––––––– = ––––––– = 4
2 2�
2–––2
�–––2
18 –
13) Seja P(x; y) o centro da circunferência que passa pelos pontosA(1; 7), B(– 3; 5) e C(4; – 2)
I) PA = PB = PC € fi
fi fi
fi €
€ € fi P(1; 2)
II) O centro é P(1; 2) e o raio é r = PA = 7 – 2 = 5
III) A equação da circunferência é dada por: (x – xP)
2 + (y – yP)2 = r fi (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 €
€ x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0 €€ x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0
Resposta: B
14)
I) É verdadeira, pois o centro da circunferência é A(3; 1), o raio é 1 e a equação é (x – 3)2 + (y – 1)2 = 1
II) É verdadeira, pois a reta r passa pelo centro A da circun -ferência, logo, A r
III) É falsa, pois a reta r, paralela à reta y = x, tem coeficienteangular 1 e passa pelo ponto A(3; 1), assim, sua equação éy = x – 2
IV)É falsa, pois r são os pontos de intersecção da retacom a circunferência, assim, suas coordenadas são dadaspelas soluções do sistema:
€ €
€ € €
€ € €
€ ou
Resposta: C
15) I) A circunferência C1 tem equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2 eP(m; 0) é interior a C1, então: (m – 1)2 + (0 – 1)2 < 2 € (m – 1)2 < 1
II) A circunferência C2 tem equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 eP(m; 0) é exterior a C2, então: (m – 1)2 + (0 – 1)2 > 1 € (m – 1)2 > 0
III) € – 1 < m – 1 < 1 € 0 < m < 2
Resposta: A
16) I) O centro da circunferência é C(– 2; 3)
II) A reta 20x – 21y – 42 = 0 é tangente à circunferência, entãoo raio é a distância do ponto C à reta dada, assim:
R = = = = 5
III) A equação da circunferência é (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
Resposta: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
17) I) A reta que passa por (– 2; 4) e (2; 1) tem equação
= 0 € 3x + 4x – 10 = 0
II) O centro da circunferência é C(– 1; – 3)
III) A reta 3x + 4y – 10 = 0 é tangente à circunferência, então oraio é a distância do ponto C à reta, assim:
R = = = 5
IV)A equação da circunferência é (x + 1)2 + (y + 3)2 = 25
Resposta: (x + 1)2 + (y + 3)2 = 25
� PA = PB
PA = PC
� �������������(x – 1)2 + (y – 7)2 = �������������(x + 3)2 + (y – 5)2
�������������(x – 1)2 + (y – 7)2 = �������������(x – 4)2 + (y + 2)2
� x2 – 2x + 1 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 – 10y + 25
x2 – 2x + 1 + y2 – 14y + 49 = x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4
� 2x + y – 4 = 0
x – 3y + 5 = 0 � x = 1
y = 2
� y = x – 2
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 1 � y = x – 2
(x – 3)2 + (x – 2 – 1)2 = 1
� y = x – 2
2(x – 3)2 = 1 �y = x – 2
1(x – 3)2 = –––
2
�y = x – 2
���2 x – 3 = � –––––
2�
y = x – 2
���2 x = 3 � –––––
2
����2
x = 3 + –––––2
���2 y = 1 + –––––
2�
���2 x = 3 – –––––
2
���2 y = 1 – –––––
2
� (m – 1)2 < 1
(m – 1)2 > 0
�20xC – 21yC – 42�–––––––––––––––––
�������202 + (– 21)2
�– 40 – 63 – 42�–––––––––––––––
������400 + 441
145––––––
29
�– 22x
41y
111
�
�– 3 – 12 – 10�––––––––––––––
5
�3xC + 4yC – 10�–––––––––––––––––
�����32 + 42
– 19
18) I) O centro C da circunferência pertence à reta 3x + y – 12 = 0 € y = 12 – 3x, logo, o ponto C é do tipo (xC; 12 – 3xC)
II) Sendo A(4; 6) e B(– 6; 4) pontos da circunferência, então:
AC = BC fi
fi ������������������(xC – 4)2 + (12 – 3xC – 6)2 = ������������������(xC + 6)2 + (12 – 3xC – 4)2 fi
fi (xC – 4)2 + (6 – 3xC)2 = (xC + 6)2 + (8 – 3xC)2 €
€ xC2 – 8xC + 16 + 36 – 36xC + 9xC
2 =
= xC2 + 12xC + 36 + 64 – 48xC + 9xC
2 €
€ – 8xC = 48 € xC = – 6 fi C(– 6; 30)
Resposta: B
19) Se C(2; 3) é o centro e A(2; 0) é um ponto da circunferência,então:
I) O raio é r = AC = 3 – 0 = 3
II) A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 €
€ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 9 = 0 €
€ x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0
Resposta: A
20) I) A circunferência localizada no 1o- quadrante que tangenciaos eixos tem centro sobre a reta y = x (bisssetriz dosquadrantes ímpares), assim, o centro é do tipo C(x; x), comx > 0, e o raio é r = x
II) C(x; x) pertence à reta 4x + 3y – 14 = 0,então:
4x + 3x – 14 = 0 € 7x = 14 € x = 2 fi C(2; 2) e r = 2
III) A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 €
€ x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 – 4 = 0 € x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0
Resposta: A
n Módulo 23 –Circunferência
1) x2 + y2 – 8x + 10y – 11 = 0 €
€ x2 – 8x + y2 + 10y = 11 €
€ (x – 4)2 + (y + 5)2 = 52, tem centro no ponto C(4; – 5) e raio
r = �����52 = 2�����13
Resposta: C(4; – 5) e r = 2�����13
2) x2 + y2 + 6x – 8y = 0 €
€ x2 + 6x + y2 – 8y = 0 €
€ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25, tem centro no ponto C(– 3; 4) e raio
r = 5
Resposta: C(– 3; 4) e r = 5
3) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5, tem centro no ponto C(2; – 1) e raio r = ���5Resposta: C(2; – 1) e r = ���5
4) 2x2 + 2y2 – x = 0 € x2 + y2 – x = 0 €
€ x2 – x + y2 = 0 €
€ �x – �2
+ y2 = , tem centro no ponto C� ; 0� e
raio r =
Resposta: C� ; 0� e r =
5) I) O centro da circunferência C1: x2 + y2 – 6y + 5 = 0 é o ponto
A�0; � € A(0; 3)
II) O centro da circunferência C2: x2 + y2 + 2x – 5 = 0 é o ponto
B� ; 0� € B(– 1; 0)
III) A reta que passa pelos pontos A(0; 3) e B(– 1; 0) é dada por:
= 0 € 3x – y + 3 = 0 € y = 3x + 3
Resposta: y = 3x + 3
6) I) O centro da circunferência de equação
x2 + y2 – 8x – 6y + 24 = 0 é o ponto B� ; � € B(4; 3)
II) O ponto médio do segmento AB, sendo A(2; 3) e B(4; 3) é
M� ; � € M(3; 3)
III) A reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa peloponto M(3; 3) é a vertical formada pelos pontos tais quex = 3
Resposta: D
7) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 € x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 16 €�€ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16, tem centro no ponto (2; – 3) e raio 4.Resposta: D
8) I) A circunferência x2 + y2 – 8x – 6y = 375 tem centro no
ponto A� ; � € A(4; 3)
II) A circunferência x2 + y2 – 20x – 2y = – 100 tem centro no
ponto B� ; � € B(10; 1)
III) A distância entre os centros é
d = AB = �����������(4 – 10)2 + (3 – 1)2 = ������36 + 4 = ���40 = 2���10 Resposta: D
+ 16 + 25 + 16 + 25
+ 9 + 16 + 9 + 16
1–––2
1–––2
1+ –––
161
+ –––16
1–––4
1–––16
1–––4
1–––4
1–––4
1–––4
– 6–––– 2
2–––– 2
� 0– 1x
30y
111�
– 8–––– 2
– 6–––– 2
– 20––––– 2
– 2–––– 2
– 8–––– 2
– 6–––– 2
2 + 4–––––
23 + 3–––––
2
20 –
9) I) O centro da circunferência (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 é o pontoC(1; – 2)
II) A distância da origem O(0; 0) ao ponto C(1; – 2) é
d = �����������(0 – 1)2 + (0 + 2)2 = ������1 + 4 = ���5Resposta: E
10) y2 + (x – 1)2 = 0 € y = 0 e x – 1 = 0 € y = 0 e x = 1, quecorresponde ao ponto (1; 0)Resposta: C
11) I) A circunferência x2 + y2 = 6 tem centro na origem e raio ���6II) Os pontos internos à circunferência têm coordenadas (x; y)
tais que x2 + y2 < 6, assim, para x e y inteiros, tem-se:• Se x = 0 fi 0 + y2 < 6 € y2 < 6 fi y {0; � 1; � 2},
obtendo-se 5 pontos.• Se x = � 1 fi 1 + y2 < 6 € y2 < 5 fi y {0; � 1; � 2},
obtendo-se 10 pontos.• Se x = � 2 fi 4 + y2 < 6 € y2 < 2 fi y {0; � 1},
obtendo-se 6 pontos.Portanto, o número de pontos que têm coordenadas inteirasé 5 + 10 + 6 = 21Resposta: D
12) I) O centro C da circunferência x2 + y2 + 2x + 4y = R2 é o ponto
� ; � = (– 1; – 2)
II) O ponto simétrico da origem O(0; 0) em relação ao pontoC(– 1; – 2) é o ponto P(xP; yP) tal que C é o ponto médio de—OP, assim:
€ fi P(– 2; – 4)
Resposta: A
13) 4x2 + 4y2 – 4x – 12y + 2 = 0 €
€ x2 + y2 – x – 3y + = 0, representa uma circunferência
de centro no ponto C� ; � € C� ; �Resposta: D
2–––– 2
4–––– 2
�xP + 0
––––––––– = – 12
yP + 0 ––––––––– = – 2
2
� xP = – 2
yP = – 4
1–––2
– 1–––– 2
– 3–––– 2
1–––2
3–––2
– 21
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