matematika-math1440-lekcija 1
Post on 26-Dec-2014
469 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
06-11102008 1
Универзитет Американ Колеџ - СкопјеUniversity American College - Skopje
Курс Математика
Реални броеви експоненти корени рационални алгебарски изрази
Слајдовите ги подготвил проф Ѓорѓи ЈованчевскиПредавач (прилагодил за 20082009) доц Вено Пачовски
06-11102008 2Negativnibroevi
Nula
Pozitivni broevi
Celi broevi
Racionalni broevi
Iracionalnibroevi
Realni broevi
РЕАЛНИ БРОЕВИ
N - природни броеви 12345hellipZ - цели броеви hellip -32--201234hellipQ - рационални броеви можат да се изразат како однос на два цели броја
каде m и n се цели броеви и nne0(Потсетете се дека делење со 0 не е дозволено)
I - Ирационални броеви реални броеви кои не можат да се изразат како однос на два целиброја На пример
Унија на множествата Q и I е множество на реални броеви и се означува со R
3113 512372
ππminus
nmr =
Систем на реални броеви
МАТЕМАТИКАПредавање 01
2
06-11102008 3
Реалните броеви можат да се претстават на реална оска
Точката O која одговара на реалниот број 0 се нарекува координатен почеток O
Реалните броеви се подредени Велиме дека altb a е помало од b
bgta b е поголемо од aaleb a е помало или еднакво на bageb a е поголемо или еднакво на b
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 4
Интервали Подмножество од множеството реални броеви се нарекува интервалТиповиинтервали
[-4 -1)Множествотоброеви xa le x lt b
[a b)
ПримерСликаОписИнтервал
(-3 1]Множествотоброеви x
a lt x le b
(a b]
Полуотворен
(-1 5)
(исклучени крајните точки)
Множествотоброеви xa lt x lt b
(a b)Отворен
[0 10]
(вклучени крајните точки)
Множествотоброеви x
a le x le b
[a b]Затворен
МАТЕМАТИКАПредавање 01
3
06-11102008 5
ПримерСликаОписИнтервал
(- infin + infin)Множеството нареалните броеви
(- infin + infin)
(- infin b)Множеството броеви xx lt b
(- infin b)
(- infin 0]Множеството броевиx
x le b
(- infin b]
(-3 + infin)Множеството броеви xa lt x
(a + infin )
[0 + infin )Множеството броеви xa le x
[a + infin )
Бесконеченинтервал
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 6
множеството на негативните броевиене е(- infin 0)Q5
множеството на позитивните броевиене е[0+ infin )Q4
најголем цел број во (-5 2)ене е1Q3
елемент од [-5 2)ене е
-5Q2
елемент од (-5 2)ене е2Q1
Вежби (Заокружете го точниот одговор)
МАТЕМАТИКАПредавање 01
4
06-11102008 7
Операции со реални броеви
Има пет основни операции со реални броеви и тоа собирање одземање множење делење степенување
ldquoСтепенување значи подигање на еден реален број на некој степенНа пример 23 = 2 22 = 8
Собирање c = a+b ab ndash собироци c ndash збир (сума)Одземање c = a-b = a+(-b) -b ndash спротивен на b c - разликаМножење c = ab ab ndash множители c ndash производ
01nesdot== b
ba
bacДелење a ndash броител
b ndash именител c ndash количник
- реципрочна вредност на b b1
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 8
Својства на реалните броеви
за собирање за множењезатвореност a+b е пак реален број ab е пак реален број
комутативност a+b = b+a ab = ba
асоцијативност (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
неутрален број постои единствен број 0 постои единствен број 1така да важи a+0 = 0+a така да важи a 1 = 1 a
инверзен број за секој реален број a постои за секој реален број a постоиединствен реален број ndasha таков единствен реален број 1a таковда важи да важи
a+(-a) = (-a)+a=0
дистрибутивност
111=sdot=sdot a
aaa
МАТЕМАТИКАПредавање 01
a(b+c) = ab + ac
5
06-11102008 9
Редослед на операциите
При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите
1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради
(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење
2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени
3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно
4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 10
(Заокружете го точниот одговор)
Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е
c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5
Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =
d) 42c) 36b) -12a) 20
Вежби
е __________Вредноста на изразотQ1
е __________Вредноста на изразотQ2
2
5432 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
3
2
359414
)()(
minusminusminus
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
2
06-11102008 3
Реалните броеви можат да се претстават на реална оска
Точката O која одговара на реалниот број 0 се нарекува координатен почеток O
Реалните броеви се подредени Велиме дека altb a е помало од b
bgta b е поголемо од aaleb a е помало или еднакво на bageb a е поголемо или еднакво на b
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 4
Интервали Подмножество од множеството реални броеви се нарекува интервалТиповиинтервали
[-4 -1)Множествотоброеви xa le x lt b
[a b)
ПримерСликаОписИнтервал
(-3 1]Множествотоброеви x
a lt x le b
(a b]
Полуотворен
(-1 5)
(исклучени крајните точки)
Множествотоброеви xa lt x lt b
(a b)Отворен
[0 10]
(вклучени крајните точки)
Множествотоброеви x
a le x le b
[a b]Затворен
МАТЕМАТИКАПредавање 01
3
06-11102008 5
ПримерСликаОписИнтервал
(- infin + infin)Множеството нареалните броеви
(- infin + infin)
(- infin b)Множеството броеви xx lt b
(- infin b)
(- infin 0]Множеството броевиx
x le b
(- infin b]
(-3 + infin)Множеството броеви xa lt x
(a + infin )
[0 + infin )Множеството броеви xa le x
[a + infin )
Бесконеченинтервал
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 6
множеството на негативните броевиене е(- infin 0)Q5
множеството на позитивните броевиене е[0+ infin )Q4
најголем цел број во (-5 2)ене е1Q3
елемент од [-5 2)ене е
-5Q2
елемент од (-5 2)ене е2Q1
Вежби (Заокружете го точниот одговор)
МАТЕМАТИКАПредавање 01
4
06-11102008 7
Операции со реални броеви
Има пет основни операции со реални броеви и тоа собирање одземање множење делење степенување
ldquoСтепенување значи подигање на еден реален број на некој степенНа пример 23 = 2 22 = 8
Собирање c = a+b ab ndash собироци c ndash збир (сума)Одземање c = a-b = a+(-b) -b ndash спротивен на b c - разликаМножење c = ab ab ndash множители c ndash производ
01nesdot== b
ba
bacДелење a ndash броител
b ndash именител c ndash количник
- реципрочна вредност на b b1
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 8
Својства на реалните броеви
за собирање за множењезатвореност a+b е пак реален број ab е пак реален број
комутативност a+b = b+a ab = ba
асоцијативност (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
неутрален број постои единствен број 0 постои единствен број 1така да важи a+0 = 0+a така да важи a 1 = 1 a
инверзен број за секој реален број a постои за секој реален број a постоиединствен реален број ndasha таков единствен реален број 1a таковда важи да важи
a+(-a) = (-a)+a=0
дистрибутивност
111=sdot=sdot a
aaa
МАТЕМАТИКАПредавање 01
a(b+c) = ab + ac
5
06-11102008 9
Редослед на операциите
При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите
1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради
(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење
2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени
3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно
4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 10
(Заокружете го точниот одговор)
Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е
c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5
Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =
d) 42c) 36b) -12a) 20
Вежби
е __________Вредноста на изразотQ1
е __________Вредноста на изразотQ2
2
5432 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
3
2
359414
)()(
minusminusminus
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
3
06-11102008 5
ПримерСликаОписИнтервал
(- infin + infin)Множеството нареалните броеви
(- infin + infin)
(- infin b)Множеството броеви xx lt b
(- infin b)
(- infin 0]Множеството броевиx
x le b
(- infin b]
(-3 + infin)Множеството броеви xa lt x
(a + infin )
[0 + infin )Множеството броеви xa le x
[a + infin )
Бесконеченинтервал
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 6
множеството на негативните броевиене е(- infin 0)Q5
множеството на позитивните броевиене е[0+ infin )Q4
најголем цел број во (-5 2)ене е1Q3
елемент од [-5 2)ене е
-5Q2
елемент од (-5 2)ене е2Q1
Вежби (Заокружете го точниот одговор)
МАТЕМАТИКАПредавање 01
4
06-11102008 7
Операции со реални броеви
Има пет основни операции со реални броеви и тоа собирање одземање множење делење степенување
ldquoСтепенување значи подигање на еден реален број на некој степенНа пример 23 = 2 22 = 8
Собирање c = a+b ab ndash собироци c ndash збир (сума)Одземање c = a-b = a+(-b) -b ndash спротивен на b c - разликаМножење c = ab ab ndash множители c ndash производ
01nesdot== b
ba
bacДелење a ndash броител
b ndash именител c ndash количник
- реципрочна вредност на b b1
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 8
Својства на реалните броеви
за собирање за множењезатвореност a+b е пак реален број ab е пак реален број
комутативност a+b = b+a ab = ba
асоцијативност (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
неутрален број постои единствен број 0 постои единствен број 1така да важи a+0 = 0+a така да важи a 1 = 1 a
инверзен број за секој реален број a постои за секој реален број a постоиединствен реален број ndasha таков единствен реален број 1a таковда важи да важи
a+(-a) = (-a)+a=0
дистрибутивност
111=sdot=sdot a
aaa
МАТЕМАТИКАПредавање 01
a(b+c) = ab + ac
5
06-11102008 9
Редослед на операциите
При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите
1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради
(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење
2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени
3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно
4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 10
(Заокружете го точниот одговор)
Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е
c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5
Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =
d) 42c) 36b) -12a) 20
Вежби
е __________Вредноста на изразотQ1
е __________Вредноста на изразотQ2
2
5432 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
3
2
359414
)()(
minusminusminus
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
4
06-11102008 7
Операции со реални броеви
Има пет основни операции со реални броеви и тоа собирање одземање множење делење степенување
ldquoСтепенување значи подигање на еден реален број на некој степенНа пример 23 = 2 22 = 8
Собирање c = a+b ab ndash собироци c ndash збир (сума)Одземање c = a-b = a+(-b) -b ndash спротивен на b c - разликаМножење c = ab ab ndash множители c ndash производ
01nesdot== b
ba
bacДелење a ndash броител
b ndash именител c ndash количник
- реципрочна вредност на b b1
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 8
Својства на реалните броеви
за собирање за множењезатвореност a+b е пак реален број ab е пак реален број
комутативност a+b = b+a ab = ba
асоцијативност (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
неутрален број постои единствен број 0 постои единствен број 1така да важи a+0 = 0+a така да важи a 1 = 1 a
инверзен број за секој реален број a постои за секој реален број a постоиединствен реален број ndasha таков единствен реален број 1a таковда важи да важи
a+(-a) = (-a)+a=0
дистрибутивност
111=sdot=sdot a
aaa
МАТЕМАТИКАПредавање 01
a(b+c) = ab + ac
5
06-11102008 9
Редослед на операциите
При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите
1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради
(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење
2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени
3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно
4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 10
(Заокружете го точниот одговор)
Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е
c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5
Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =
d) 42c) 36b) -12a) 20
Вежби
е __________Вредноста на изразотQ1
е __________Вредноста на изразотQ2
2
5432 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
3
2
359414
)()(
minusminusminus
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
5
06-11102008 9
Редослед на операциите
При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите
1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради
(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење
2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени
3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно
4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 10
(Заокружете го точниот одговор)
Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е
c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5
Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =
d) 42c) 36b) -12a) 20
Вежби
е __________Вредноста на изразотQ1
е __________Вредноста на изразотQ2
2
5432 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
3
2
359414
)()(
minusminusminus
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
6
06-11102008 11
исто соене е
Вредноста на изразот 323+1Q2
исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1
Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35
32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради
На пример се запишува како 2(1+(32-5))
(Заокружете го точниот одговор)
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5
е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x
(2-64-2)^x
Вежби
532
3 minus
)( 1323 +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ minus+ 52312
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 12
Експоненти целирационални
Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти
Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи
Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент
a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa
Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1
-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =
43421патиn
n aaaaaminus
sdotsdotsdotsdot=
Вежби
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
7
06-11102008 13
МАТЕМАТИКА
Идентите со експоненти
ПримерПравило
2322 = 25 = 32
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)am+n=aman
am-n if m gt n and a ne 0 =am
an 43-2 = 41 = 4 =43
42
anm=(an)m 26 = 64=(23)2
anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2
an
bn=na
b169=42
32=24
3
(m и n се цели броеви)
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
Предавање 01
06-11102008 14
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75
73
3212
= 1 2
(xy3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x2y)3 = xy
x9
= x
(x2)3
x4y5
= xy
(xy2)2
Q4(x2y)3
= xy
(x4y3)2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
8
06-11102008 15
b) Негативни експоненти и експонент нула
Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш
Секој реален број на степен 0 е еден
Примери
43421patiminus
minus
sdotsdotsdotsdot==
n
nn
aaaa1
a1a
10 =a
xx 11 =minus
22 1
yy =minus 5
5
5 111 x
xx
==minus
2
3
3
2
3
2
1
1
xy
y
xyx
==minus
minus 6
62
3
2323
11
111 x
x)
x()x(
)x( ==== minusminusminus
cbda
dcba
sdotsdot
=
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 16
Вежби
Q4=Q3
= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-
2 (-2) = 7-5
7-3
-3212
= 1 2
(xy-3)2 = xx
Q3
Q2Q1 (4x-2y)3 = xy
x-9
= x
(x2)-3
x-4y-5
= xy
(xy-2)2
Q4(x-2y)-3
= xy
(x-4y-3)-2
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
9
06-11102008 17
КорениДефиниција
Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a
На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со
Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш
Слично
Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина
Многу важно
416 =
2164 minus=
pareniza minuslt k0aak
pareniza minusgeplusmn= k0abak
МАТЕМАТИКАПредавање 01
nepareniza minusge+= k0abak
nepareniza minusltminus= k0abak
не е реален број
06-11102008 18
Ознака Име Примери
a
3 a
4 a 189212216381 444 ===
3271128 333 =minus=minusminus=minus
11416 ==
1minusКвадратен корен од а
Кубен корен од а
Четврти корен од а
4 2minus
=25
Вежби
=minus 25 =minus7 1
=minus3 125 =41
=+ 2516
n a n-ти корен од а
МАТЕМАТИКАПредавање 01
не е реален број
не е реален број
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
10
06-11102008 19
Својства на корените
Производна корени
Количникна корени
Коренувањена корен
nnn abba =
nn
n
ba
ba=
nmn m aa =
ПримериПравило
10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=
2321
321
3221
41
164
164 55
5
5minus=minus=
minus=
minus===
26464 63 ==
32343412 =sdot=sdot=
523
125227
125227
12554
12554 3
3
33
3
3
3
33 =
sdot=
sdot==
2446464 2 244 312 ====
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 20
е еднаков наQ1 12 102238234 ++
е еднаков наQ2 3 24 61243232 33
е еднаков наQ3 381minus 22
21
21
minusminusminus
Q32720
Вежби
Задачи
Q1 312 sdot Q2 3
3
2724
Q4 3 8 Q54520
Q6 3
15403 sdot
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
11
06-11102008 21
Рационални експоненти
Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти
Ознака сокорени
Ознака соекспоненти Примери
a
3 a
n a
21
a
31
a
na1
23
21
3321
21
21
21
21
5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(
332727 31
331
3 minus=minus=minus=minus ))(()(
32
31
23 231
3 55511 ==minus=minus )()(
nm
n m aa =
Општо
3351
5351
53
5 3 22323232 ==== ))(())(()(
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 22
Идентитети со експоненти
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
примерПравило
apaq = ap+q
= apminusq if ane0 ap
aq
= apq(ap)q
(ab)p = apbp
ap
bp
pab =
(p и q се рационални броеви)
( ) 4
4
334
31
3
4
31
34
31
35
2228888 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
minus
31
9
19999
21
212
23
2
23
====minusminus
( ) 4161616 21
42
41
2 ===
( ) 23
21
21
21
21
2222424 =sdot=sdot=sdot
34
9
169
16
21
21
21
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Производ на степени
Количник на степени
Степен на степен
Степенување на производ
Степенување на количник
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
12
06-11102008 23
Q1
12
=23
4 Q2 =32
125 Q3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35
81
Q1 ( ) =minus 75
1 Q2 x
x=
34
31
Q3 x
)x(=
31
35
2
Q4 Q5 yx
yx=
minusminus
23
23
23
21
Q6 yx
y=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛minus
minus
minus2
25
21
21
2yx
yx=
minusminus
minusminus
21
3
12
Вежби
Задачи
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 24
Множење на алгебарски изрази
Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви
Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc
Примери
a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x
b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3
c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
13
06-11102008 25
Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример
x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме
1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ
x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП
(x+1)(x-2)
(-x + 2)(2x - 1) =Q2
(4x - 3)(2x + 5) =Q1
Задачи
(a + b)(a - b) =Q5
(x - y)2 =Q4
(x + 3)2 =Q3
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 26
примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети
(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати
Пример
(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4
(x - 1)3 = Q3
(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2
(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи
(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6
(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
14
06-11102008 27
Факторизација на алгебарски изрази
Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед
На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се
јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x
ене е
ене е
ене е
ене еQ1 заеднички фактор во
Q2 заеднички фактор во
Q3 заеднички фактор во
Q4 заеднички фактор во
Вежби2x
x
3x
xx3
342 43 xxx +minus
21
25
23
21 xxx minusminus
33 52
xx minus
xxx 22 36 minus
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 28
Примери
1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)
2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)
3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)
2x2 - 6x3 + 8x4 =
Задачи
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5
= xxx minus+23
6x5 - 4x3 + 2x2 =
10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
15
06-11102008 29
Рационални алгебарски изрази
Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP
11+x 13
22
3
+minus
xxxy 1023 25 minus+minus xxx
ПримериP
Q
Правила за рационални изрази
Множење
Собирање со ист именител
Општо правило за собирање(ист или различен именител)
QSPR
SR
QP
=times
QSRQPS
SR
QP +
=+
QRP
QR
QP +
=+
МАТЕМАТИКАПредавање 01
06-11102008 30
1
Одземање со ист именител
Општо правило на одземање(со ист или различен именител)
Реципрочна вредностна дропка
Кратење
QRP
QR
QP minus
=minus
QSQRPS
SR
QP minus
=minus
RS
SR =1
QP
QXPX
= QRPS
RS
QP
SRQ
P
SRQP
=sdot=sdot=1
Двојна дропка
Примери
xyxyx
xy)x(xy
yx
xy minus+
=minus+
=minus
+222 11
)yxxy(x)y(yxy)y(x
yxy
yx 2222
11
1minus+
=+minus+
=+
minus2
1
3)yx(yx
yxxy
)yx(xyxx
yxyx
+minusminus
=+minusminus
=minus
+3
33
3
311
Вежби
1
2
3
=+minus
minusminus 1
11 x
xx
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
minusminus y
xy
)x(xy 32
1
2
=
minus
+minus
minus
yxy
yxyx11
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
16
06-11102008 31
Ви благодарам на вниманието
Прашања коментари
МАТЕМАТИКАПредавање 01
top related