makalah setengah putaran

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu

setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu

sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu padanan 𝑆𝐴 yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :

1. Apabila 𝑃 ≠ 𝐴 maka 𝑆1(𝑃) = 𝑃′ sehingga 𝐴 titik tengah ruas garis 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅.

2. 𝑆𝐴 = 𝐴

Setengah putaran adalah suatu transformasi

Bukti:

Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Bijektif.

Untuk membuktikan 𝑆𝐴 Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu 𝑆𝐴

Surjektif dan Injektif.

(1) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Surjektif

Untuk menunjukkan 𝑆𝐴 Surjektif, akan ditunjukkan ∃𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′

Ambil sebarang 𝑃′ ∈ 𝑉

𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑃′ = 𝑆𝐴(𝑃)

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴(𝐴) = 𝐴′ = 𝐴

Jadi, ∀ 𝑃′ ∈ 𝑉 ∃ 𝑃′ = 𝑃 = 𝑆𝐴(𝑃)

Jika 𝑃 ≠ 𝐴 maka A menjadi sumbu ruas garis ′ , berarti 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′

Jadi, 𝑆𝐴 Surjektif

(2) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Injektif

Missal 𝐵1 ≠ 𝐵2

Kasus I

𝐵1 = 𝐵2 = 𝐴

Untuk 𝐵1 = 𝐴 maka 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝐵1 = 𝐵1′………………..1*)

Untuk 𝐵2 = 𝐴 maka 𝑆𝐴(𝐵2) = 𝐵2 = 𝐵2′…………………2*)

Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh 𝑆𝐴(𝐵1) ≠ 𝑆𝐴(𝐵2)

Kasus II

𝐵1 ≠ 𝐵2 ≠ 𝐴

Ambil sebarang 𝐵1, 𝐵2 ∈ 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵1 ≠ 𝐵2

𝐵1 ≠ 𝐴, 𝐵2 ≠ 𝐴, 𝐵2, 𝐵2, 𝐴 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠

Sehingga 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝐵1′ dan 𝑆𝐴(𝐵2) = 𝐵2′

Andaikan 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝑆𝐴(𝐵2)

Karena 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝑆𝐴(𝐵2)

Maka 𝐵1′ = 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝑆𝐴(𝐵2) = 𝐵2′

Sehingga diperoleh 𝐵1′ = 𝐵2′ dan ᒐ1 = 𝐵2

Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis”

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 𝐵1 ≠ 𝐵2

Pengandaian 𝐵1 ≠ 𝐵2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴(𝐵1) = 𝑆𝐴(𝐵2) harus dibatalkan.

Jadi, 𝑆𝐴(𝐵1) ≠ 𝑆𝐴(𝐵2)

Jadi 𝑆𝐴 Injektif

Dari (1) dan (2) maka diperoleh 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif

Karena 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif, maka 𝑆𝐴 Bijektif

Karena 𝑆𝐴 Bijektif, maka 𝑆𝐴adalah suatu transformasi.

Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Teorema 7.1

Andaikan 𝑨 sebuah titik, 𝒈 dan 𝒉 dua garis tegak lurus yang berpotongan di

𝑨. Maka 𝑺𝑨 = 𝑴𝒈𝑴𝒉.

Bukti :

Diketahui 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝐴.

a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Karena 𝑔 ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan 𝑔

sebagai sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. 𝐴 sebagai titik asal.

Ambil titik 𝑃 ∈ 𝑉

Perhatikan Gambar 7.2

Ditunjukkan bahwa untuk setiap 𝑃 berlaku 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃)

Andaikan 𝑃(𝑥, 𝑦) ≠ 𝐴 dan 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′′(𝑥1, 𝑦1)

Karena 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′′ maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃′ sehingga

(0,0) = (𝑥1 + 𝑥

2,𝑦1 + 𝑦

Diperoleh 𝑥1 + 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥1 = −𝑥 dan 〱1 + 𝑦 = 0 ⟺ 𝑦1 = −𝑦

Artinya 〱𝐴(𝑃) = (−𝑥, −𝑦) ………………………………………………(1)

Komposisi pencerminan

𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑀𝑔[𝑀ℎ(𝑃)]

= 𝑀𝑔(−𝑥, 𝑦)

= (−𝑥, −𝑦)

Artinya 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = (−𝑥, −𝑦) ……………………………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _𝐴(𝑃) = 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃).

Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ

b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Menurut Definisi, 𝑆𝐴(𝐴) = 𝐴 ……………………………………………(1*)

𝑀𝑔𝑀ℎ(𝐴) = 𝑀𝑔(𝐴) = 𝐴 ……………………………………………….(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh 𝑆𝐴(𝐴) = 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝐴).

Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ.

Teorema 7.2

Jika 𝒈 dan 𝒉 dua garis yang tegak lurus maka 𝑴𝒈𝑴𝒉 = 𝑴𝒉𝑴𝒈

𝑃′′(−𝑥, −𝑦)

𝑃′(−𝑥, 𝑦) P(x,y)

𝑔 𝑋

Karena 𝑃 ≠ 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑆𝐴(𝑃).

𝑀ℎ𝑀𝑔(𝑃) = 𝑀ℎ (𝑀𝑔(𝑃)) = ᒐℎ((𝑥, −𝑦)) = (−𝐷, −𝑦) =〰𝐴(𝑃).

diperoleh 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑀ℎ𝑀𝑔(𝑃)

Jadi, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔

Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝐴) = 𝑀𝑔(𝐴) = 𝐴

𝑀ℎ𝑀𝑔(𝐴) = 𝑀ℎ(𝐴) = 𝐴

Sehingga diperoleh 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝐴) = 𝑀ℎ𝑀𝑔(𝐴).

Jadi, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔.

Teorema 7.3

Jika 𝑺𝑨 setengah putaran, maka 𝑺−𝟏𝑨 = 𝑺𝑨.

Andaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑆𝐴 dengan 𝐴

titik potong antara 𝑔 dan ℎ.

(𝑀𝑔𝑀ℎ)−1 = 𝑀−1ℎ𝑀−1

𝑔 = 𝑆−1𝐴.

Karena 𝑀−1ℎ = 𝑀ℎ dan 𝑀−1

𝑔 = 𝑀𝑔 maka 𝑀ℎ𝑀𝑔 = 𝑆−1𝐴.

Karena 𝑔 ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔.

Sedangkan menurut teorema 7.1, 𝑆𝐴 =て𝑔𝑀ℎ.

Sehingga diperoleh 𝑆−1𝐴 = 𝑀ℎ𝑀𝑔 = 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑆𝐴.

Jadi, 𝑆−1𝐴 = 𝑆𝐴.

Teorema 7.4

Jika 𝑨 = (𝒂, 𝒃) dan 𝑷 = (𝒙, 𝒚) maka 𝑺𝑨(𝑷) = (𝟐𝒂 − 𝒙, 𝟐𝒃 − 𝒚).

Misalkan 𝑃" = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃" maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃" sehingga

diperoleh

(𝑎, 𝑏) = ((𝑥1+𝑥

2) , (

𝑦1+𝑦

Maka 𝑥1+𝑥

2= 𝑎 dan

𝑦1+𝑦

2= 𝑏 sehingga diperoleh

𝑥1+𝑥

2= 𝑎 ⟺ 𝑥1 + 𝑥 = 2𝑎 ⟺ 𝑥1 = 2𝑎 − 𝑥 ……………………………..(1*)

𝑦1+𝑦

2= 𝑏 ⟺ 𝑦1 + 𝑦 = 2𝑏 ⟺ 𝑦1 = 2𝑏 − 𝑦 ………………………………(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) maka (𝑥1, 𝑦1) = ( 2𝑎 − 𝑥), (2𝑏 − 𝑦)

Karena 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃", maka 𝑆𝐴(𝑃) = (𝑥1, 𝑦1) = ( 2𝑎 − 𝑥), (2𝑏 − 𝑦)

Jadi, 𝑆𝐴(𝑃) = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦).

Karena 𝑃 = 𝐴, maka (𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑏) artinya 𝑎 = 𝑥 dan 𝑏 = 𝑦.

⍞𝐴(𝑃) = 𝑆𝐴(𝐴) = 𝐴 = (𝑎, 𝑏)

(𝑎, 𝑏) = ((2𝑎 − 𝑎), (2𝑏 − 𝑏))

= ((2𝑎 − 𝑥), (2𝑏 − 𝑦))

Jadi, 𝑆𝐴(𝑃) = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦).

7.2 Lanjutan Setengah Putaran

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.

Definisi refleksi atau pencerminan ialah

1. gAAAM g ,

2. 'PPM g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP

Jelas bahwa gA yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan

petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.

Definisi

A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A

Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g

memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g

itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya

titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X’ dengan PX dan P titik

tengah ruas garis 'XX .

Definisi

Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis

dinamakan kolineasi

Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran

adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi

Definisi

Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku

sifat ∆(𝑔)//𝑔.

Teorema 7.5

Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila 𝑨 ∉

𝒈, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑆𝐴(𝑔)//𝑔

Diketahui : SA sebuah garis g, gA

Buktikan bahwa 𝑆𝐴(𝑔)//𝑔

Bukti :

Misal 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑄 ∈ 𝑔

karena P ∈ g maka A titik tengah PP′ dengan P′ = SA(P)

karena Q ∈ g maka A titik tengah QQ′ dengan Q′ = SA(Q)

Perhatikan ∆APQ′ dan ∆AQP′

Untuk membuktikan bahwa g′ ∕∕ g maka harus ditunjukkan

∆APQ′ dan ∆AQP′ adalah kongruen.

m(< 𝑃𝐴Q′) = m(< 𝑄𝐴P′) (sudut bertolak belakang)

PA = AP′ ( karena A titik tengah PP′ )

𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′

𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

𝑆𝐴(𝑄) = 𝑄′

QA = AQ ( karena A titik tengah QQ′ )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga ∆APQ′ ≅ ∆AQP′

Karena ∆APQ′ ≅ ∆AQP′ maka PQ′ = QP′

Karena PQ′ = QP′ maka g′ ∕∕ g

Jadi, 𝑆𝐴(𝑔)//𝑔

Contoh

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g

atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik

tengah ruas garis XY .

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA ,

Ditanya : tentukan semua XYgah titik ten, AhYgX

Jawab :

Ambil gP

Jika PSP A' maka gSg A' melalui P’ dan PA=AP’, g’//g

Jika g’ memotong h di Y

Tarik YA memotong g di X

Maka X dan Y pasangan titik yang dicari

Ilustrasi :

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang

memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan gSg A' tapi hSh A''

apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut

P’ Y

hAgA , ,

Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.

Bukti :

Ambil 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ℎ, 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 ℎ, 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∉ ℎ

Karena 𝐴 ∉ ℎ, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴(ℎ) = ℎ′ ∕∕ ℎ

ℎ′ akan memotong 𝑔 di titik 𝑋, sehingga 𝑋 ∈ ℎ′

karena 𝑆𝐴(ℎ) = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka 𝑆𝐴(𝑋) = 𝑌 ∈ ℎ

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,

Maka 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan .

sehingga 𝑋 ∈ ℎ′, 𝑋 ∈ 𝑔, 𝑋 ∈ 𝑋𝑌, 𝑑𝑎𝑛 𝑌 ∈ ℎ, 𝑌 ∈ 𝑔′, 𝑌 ∈ 𝑋𝑌

jadi, 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan.

hAgA , , hSh A''

Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X

dan Y.

Bukti :

Teorema 7.6

Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki

titik tetap

Bukti :

Misal BAVBA ,,

ℎ ℎ′

𝑔′

𝑔 𝐴

Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal g = AB

h AB di A, k AB di B

Akan ditunjukkan BASS = khMM

Karena hgA MMS , kgB MMS

Maka BASS = kghg MMMM

Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal X titik varian BASS

Jadi BASS (X) = X sehingga XXMM kh

2... )(

1 ... )(

XMXMMM

Dari (1) dan (2) diperoleh

XMXMXIMXM khkh

Misal 1XXMk

(i) Kasus 1 ( 1XX )

Misal khXX 1

Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya

memiliki satu sumbu maka h=k

Hal ini tidak mungkin sebab BA

(ii) Kasus 2 ( 1XX )

Misal 1XX

Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X

Jadi XhXkX din berpotongak h, ,

Hal ini tidak mungkin sebab h//k

Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga

XXSSXMXM BAkh atau .

Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap.

Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7

Jika BA adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang

memetakan A pada B

Bukti :

Dipunyai BA

Akan dibuktikan BAST dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga BABASD ESdan

Jadi AASD ES

Maka ASASS DDD E

Karena S-1D=SD maka ASA D ES

Jadi jika ED , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS

Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A

pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah

ruas garis AB

Teorema 7.8

Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik

Dipunyai titik VP

Akan dibuktikan

(1) g sebuah garis ggSP //

(2) ISS PP dengan I transformasi identitas

Bukti :

(1) Jelas SP(g) = g’ suatu garis.

Misal gBgA ,

Maka ',' gBgA dan PA = PA’, PB = PB’

Karena PA = PA’, PB = PB’, dan ''PBAmAPBm sehingga

BPAPAB ' (s sd s)

Jelas BAPmPABm ''

Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi

(2) Karena AASASS ppp ' , maka gIgSSgA PP

Jadi, ISS PP .

Hal ini berarti SP bersifat involuntorik

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat

involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu

dilatasi yang bersifat involutorik.

Ilustrasi :

Teorema 7.9

Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,

maka HATHTA 1

Bukti :

SP(g)=g’

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik

Akan dibuktikan HATHTA 1

Ambil HTA

Jadi XTAHX

maka XXIXTTXTTAT 111

Jadi, HAT 1

Ambil HAT 1

Hal ini berarti HTAatau 1 HTATT

Contoh :

Dipunyai : 164, 22 yxyxE

Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)

g adalah sumbu X

Ditanya : Selidiki apakah ESMA cg

Jawab :

Jelas gcgccg MSMSSM 111

Ambil P = (x,y)

Jelas yxPMyxP g ,,

Jelas yxyxPSc 2,61.2,3.2

Jadi yxyxSPMSPSM cgccg

Sehingga 1,232,463,411

cgcg SMASM

Karena EASM cg

maka berarti bahwa ESMA cg

Jadi, ESMA cg

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan

apabila persamaan himpunan tela diketahui.

Menurut teorema 7.9, HATHTA 1. Jika transformasi T adalah

ESM cg dengan 164, 22 yxyxE , maka

EPSMESMP cgcg 1

. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan

sebelumnya, jika yxP , maka yxPSM cg

Jadi, 164,2,6 221

yxyxyxEPSM cg

Jadi haruslah 1624622 yx

Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 yxyxyxPESMP cg

Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 yxyx adalah persamaan

peta E oleh transformasi cgSM .

Latihan Soal halaman 68

1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.

Lukis :

a. 𝑆𝐴(𝑃)

b. 𝑅 ∋ 𝑆𝐵(𝑅) = 𝑃

c. 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑃)

d. 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝐷)

e. 𝑆𝐴2(𝑃)

Lukisan :

a. 𝑆ᒐ(𝑃)

b. 𝑅 ∋ 𝑆𝐵(𝑅) = 𝑃

𝑆𝐴(𝑃)

c. 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑃)

d. 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃)

e. 𝑆𝐴2(𝑃)

2. Diket : garis 𝑔 dan titik 𝐴, 𝐴 ∉ 𝑔

Ditanya :

a) Lukisan garis 𝑔1 = 𝑆𝐴(𝑔) dan mengapa 𝑔 sebuah garis?

b) Buktikan bahwa 𝑔′//𝑔.

Jawab :

== 𝑆𝐴2(𝑃)

𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃)

𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑃)

𝑆𝐴(𝑃)

a. 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

Karena 𝑔 sebuah garis, maka 𝑆𝐴(𝑔) juga merupakan sebuah garis

(isometri).

b. 𝑔′ ∕∕ 𝑔

Bukti :

𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔

karena 𝑃 ∈ 𝑔 maka A titik tengah 𝑃𝑃′ dengan 𝑃′ = 𝑆𝐴(𝑃)

karena 𝑄 ∈ 𝑔 maka A titik tengah 𝑄𝑄′ dengan 𝑄′ = 𝑆𝐴(𝑄)

Perhatikan ∆𝐴𝑃𝑄′ 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐴𝑄𝑃′

Untuk membuktikan bahwa 𝑔′ ∕∕ 𝑔 maka harus ditunjukkan

∆𝐴𝑃𝑄′ 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐴𝑄𝑃′ adalah kongruen.

𝑚(< 𝑃𝐴𝑄′) = 𝑚(< 𝑄𝐴𝑃′) (sudut bertolak belakang)

𝑃𝐴 = 𝐴𝑃′ ( karena A titik tengah 𝑃𝑃′ )

𝑄′𝐴 = 𝐴𝑄 ( karena A titik tengah 𝑄𝑄′ )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga ∆𝐴𝑃𝑄′ ≅ ∆𝐴𝑄𝑃′

Karena ∆𝐴𝑃𝑄′ ≅ ∆𝐴𝑄𝑃′ maka 𝑃𝑄′ = 𝑄𝑃′

Karena 𝑃𝑄′ = 𝑄𝑃′ maka 𝑔′ ∕∕ 𝑔

3. Diket : ∆𝐴𝐵𝐶 dan jajargenjang 𝑊𝑋𝑌𝑍, K terletak diluar daerah ∆𝐴𝐵𝐶

dan diluar jajargenjang 𝑊𝑋𝑌𝑍.

Ditanya :

a) Lukisan 𝑆𝐾(∆𝐴𝐵𝐶)

b) Titik J ∋ 𝑆𝐽(𝑊𝑋𝑌𝑍) = 𝑊𝑋𝑌𝑍

Jawab :

a) Lukisan 𝑆𝐾(∆𝐴𝐵𝐶)

𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃′

𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

𝑆𝐴(𝑄) = 𝑄′

b) 𝑆 (𝑊𝑋𝑌𝑍) = 𝑊𝑋𝑌𝑍

4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris

Lukis :

a) Garis 𝑔 dan ℎ sehingga 𝑀𝑔(𝐵) = 𝐵 dan 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ

b) Garis 𝑘 dan 𝑚 sehingga 𝑀−1𝑘(𝐶) = 𝐶 dan 𝑆𝐴 = 𝑀𝑘𝑀𝑚

Lukisan :

a) 𝑀𝑔(𝐵) = 𝐵 dan 𝑆𝐴 =て𝑔𝑀ℎ

b) 𝑀−1𝑘(𝐶) = 𝐶 dan 𝑆@ = 𝑀𝑘𝑀𝑚

5. Diket : A = (2,3)

Ditanya:

a. SA( C ) apabila C = (2,3)

b. SA( D ) apabila D = (-2,7)

c. SA( E ) apabila E= (4,-1)

d. SA( P ) apabila P = (x,y)

Jawab:

C’ A’

𝐴 ℎ

a. C = (2,3)

SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)

= (2,3)

b. D = (-2,7)

SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)

= (6,-1)

c. E= (4,-1)

SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))

= (0,7)

d. P = (x,y)

SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)

= (4-x, 6-y)

6. Diket : B = (1, -3)

Tentukan :

a. SB(D) apabila D (-3, 4)

b. E apabila SB(E) = (-2, 5)

c. SB(P) apabila P = (x, y)

Jawab :

a. D (-3, 4)

SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)

= (5, -10)

b. SB(E) = (-2, 5)

Misal E = (x, y)

Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5

⇔2 – x = -2 ⇔ -6 - y = 5

⇔ x = 4 ⇔ y = -11

jadi, E = (4, -11)

c. P= (x, y)

SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)

= (2 - x, - 6 - y)

7. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)

a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)

= (2, 6)

SDSB(B) = SD(2,6)

= (2.0 - 2, 2.(-3) – 6)

= (-2, -12)

b. K = (1, -4)

SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4)

= (3, 16)

SDSB(K) = SD(3,16)

= (2.0 - 3, 2.(-3) - 16)

= (-3, -22)

c. SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4))

= (-1, -2)

SBSD(K) =SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

d. Menurut teorema 7.3

jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA

maka, SD-1 (K) = SD(K) = (-1,-2)

Dan, SB-1(K) = SB(K)

Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD

-1 (K)

= SB-1(-1, -2)

= SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

e. P = (x, y)

SB(P) = (2.2 – x, 2.6 – y)

= (4 – x, 12 – y)

SDSB(P) = SD(4 – x, 12 – y)

= (2.0 – (4 – x), 2.(-3) – (12 – y))

= ( - 4 + x, - 6 – 12 + y)

=(x - 4, y - 18)

8. Diket : C = (−4,3)

𝑔 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = −𝑥}

Tentukan :

a. 𝑀𝑔𝑆𝑐(2, −1)

b. 𝑀𝑔𝑆𝐶(𝑃) jika 𝑃(𝑥, 𝑦)

c. (𝑀𝑔𝑆𝐶)−1(𝑃), apakah 𝑀𝑔𝑆𝑐 = 𝑆𝑐 = ᒐ𝑐𝑀𝑔?

Jawab :

a. 𝑀𝑔𝑆𝑐(2, −1) = 𝑀𝑔(2. (−4) − 2,2.3— 1)

= 𝑀𝑔(−10,7)

= (−7,10)

b. 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑀𝑔𝑆𝐶(𝑃) = 𝑀𝑔(2. (−4) − 𝑥, 2.3 − 𝑦)

= 𝑀𝑔(−8 − 𝑥, 6 − 𝑦)

= (𝑦 − 6, 𝑥 + 8)

c. (𝑀𝑔𝑆𝐶)−1(𝑃) = (𝑆𝐶−1𝑀𝑔

−1)(𝑃)

Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh 𝑆𝐴−1 = 𝑆𝐴 dan

𝑀𝑔−1 = 𝑀𝑔, sehingga diperoleh

(𝑀𝑔𝑆𝐶)−1(𝑃) = (𝑆𝐶−1𝑀𝑔

−1)(𝑃)

= (𝑆𝐶𝑀𝑔)(𝑃)

= 𝑆𝐶𝑀𝐺(騴, 𝑌)

= 𝑆𝐶(−𝑦, −𝑥)

= (2. (−4)— 𝑦), 2.3— 𝑥

= (𝑦 − 8, 6 + 𝑥)

9. a. SA(K) = SA(J)

Misal K = (x, y), A = (a, b), J = (u, v)

SA(K) = (2a − x, 2b − y)

SA(K) = (2a − u, 2b − v)

Karena SA(K) = SA(J) sehingga

2a − x = 2a − u

⇔ −x = −u

⇔ x = u

2b − y = 2b − v

⇔ −y = −v

⇔ y = v

Sehingga K(x, y) = J(u, v)

Jadi K = J

b. SA(D) = SB(D)

Misal 𝐴 = (𝑎, 𝑏)

𝐵 = (𝑐, 𝑑)

𝐷 = (𝑥, 𝑦)

Karena SA(D) = SB(D)

maka (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦) = (2𝑐 − 𝑥, 2𝑑 − 𝑦)

diperoleh 2𝑎 − 𝑥 = 2𝑐 − 𝑥

⇔ 2𝑎 = 2𝑐

⇔ 𝑎 = 𝑐

dan 2𝑏 − 𝑦 = 2𝑑 − 𝑦

⟺ 2𝑏 = 2𝑑

⟺ 𝑏 = 𝑑

Karena 𝑎 = 𝑐 dan 𝑏 = 𝑑

Maka (𝑎, 𝑏) = (𝑐,敡) sehingga 𝐴 = 𝐵

Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu 𝐴 = 𝐵

c. SA(E) = E ⟹ Misal A(a, b), E(x, y)

SA(E) = (2a − x, 2b − y)

Karena SA(E) = E maka

(2a − x, 2b − y) = (x, y)

diperoleh

2a − x = x

⟺ 2a = 2x

⟺ a = x

2b − y = y

⟺ 2b = 2y

⟺ b = y

Sehingga A(a, b) = E(x, y)

Jadi A = E

10. a) Dipunyai : ABBA SSSSBA ,

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Ambil ),(,,,, yxPVdcBVbaA

1... 22,22

ydbxca

ydxcSA

2... 22,22

ydbxca

ybdxac

ybxaSB

Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa

ABBA SSSS

ydbxcaydbxca

22,2222,22

Jadi, ABBA SSSSBA , merupakan pernyataan yang salah

b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung

Jawab :

Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila

transformasi itu mengawetkan orientasi.

Ambil tiga titik tak segaris feCdcBbaA ,,,,, dan tiga titik tersebut

membentuk segitiga ABC

Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan A’B’C’ dengan

A’=T(A),B’=T(B), C’=T(C)

Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran

PSS BA

PSS AB

c) Dipunyai : hSSgSShg BABA

Jawab :

d) Dipunyai : ABBABSBASA AB 2, 1111

Jawab :

Ambil 2211 ,,, yxByxA

21 yyxxAB

2121221

1212111

yyxxyxSBSB

yyxxyxSASA

211211

yyyyxxxx

yyyyxxxxBA

Jadi, ABBABSBASA AB 3, 1111

Jadi, ABBABSBASA AB 2, 1111 merupakan pernyataan salah

e) Dipunyai : PPSggSPAgPgA AA ,,,

Jawab :

Jelas gAP

Ambil A(a,b), P(x,y)

Akan ditunjukan bahwa PPSggS AA ,

gPybxaPS

, Jadi,

Karena gA , maka ggSgPPSgAAS AAA ',

Jadi, PPSggSPAgPgA AA ,,, merupakan pernyataan

salah.

11. Diket: A = (−1,0)

Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis 𝑔 dan ℎ sehingga

𝐵(3,4) ∈ 𝑔 dan 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ

Jawab:

𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ ⇒ 𝑔 ⊥ ℎ ⇒ 𝑚𝑔. 𝑚ℎ = −1 ⟺ 𝑚𝑔 =1

𝑚ℎ

misal 𝑔 ⟹ 𝑦 = 𝑚𝑔𝑥 + 𝐶

ℎ ⟹ 𝑦 = 𝑚ℎ𝑥 + 𝐶

titik potong g dan h ada di A(−1,0)

A titik potong g dan h

B(3,4) ∈ g

Sehingga A dan B ∈ g

Persamaaan garis g melalui A(−1,0) dan B(3,4)

g:y − y1

y2 − y1=

x − x1

x2 − x1

⇔y − 4

0 − 4=

x − 3

−1 − 3

⇔y − 4

x − 3

⟺ y − 4 = x − 3

⟺ y = x + 1 ⟹ mg = 1

Karena mg. mh = −1 dan mg = 1 maka mh = −1

h melalui (−1,0) dan bergradien -1

y − y1 = m(x − x1)

y − 0 = −1(x + 1)

y = −x − 1

Jadi g: y = x + 1

h: y = −x − 1

13. Diketahui : titik VBA , , garis g

Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T)

memiliki orientasi positif

Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh

transformasi :

b. SA SB

c. MgSA

d. SAMgSB

e. S-1A

f. (MgSB)-1

Selesaian :

14. Diketahui:tiga titik A, B, C

Buktikan:(𝑆𝐴𝑆𝐵)−1 = 𝑆𝐵𝑆𝐴

Bukti:

Adb (𝑆𝐴𝑆𝐵)−1 = 𝑆𝐵𝑆𝐴

(𝑆𝐴𝑆𝐵)−1 = 𝑆𝐵−1𝑆𝐴

Menurut teorema 7.3 “𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴−1 = 𝑆𝐴”

Jadi SB−1 = SB dan SA

−1 = SA

Karena 𝑆𝐵−1 = 𝑆〱 𝑑𝑎𝑛 𝑆𝐴

−1 = 𝑆𝐴

Maka (𝑆𝐴𝑆𝐵)−1 = 𝑆𝐵−1𝑆𝐴

−1 = 𝑆𝐵𝑆𝐴

Jadi, terbukti bahwa (SASB)−1 = SBSA

15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi

sebarang

Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya

Selesaian :

a) hhgghgAgAAg MIMMMMMSMSSM

b) ISSSSSSSMMMSM AAAAAAAhghAg 111111

c) AhBAhBhABBhABhA SMSSMSMSSSMSSMS11111111

gBghhBAhB MSMMMSSMS 11

Jadi, gBBhA MSSMS 1

TSTSST AAA 11111

16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝐾) = (6,2)

b. Apabila 𝑀𝑔𝑆𝐴(𝑃) = 𝑅, nyatakan kootdinat P dengan koordinat-

koordinat R

Penyelesaian:

a. Diket : A=(0,0), B=(-4,1)

Ditanya : tentukanlah K sehinga 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝐾) = (6,2)

Jawab :

Misal 𝐾 = (𝑥, 𝑦)

𝑆𝐴𝑆𝐵(𝐾) = (6,2)

⇔ 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑥, 𝑦) = (6,2)

⇔ 𝑆𝐴(2. (−4) − 𝑥, 2.1 − 𝑦) = (6,2)

⇔ 𝑆𝐴(−8 − 𝑥, 2 − 𝑦) = (6,2)

⇔ (2.0 − (−8 − 𝑥), 2.0 − (2 − 𝑦) = (6,2)

⇔ (8 + 𝑥, 𝑦 − 2) = (6,2) ⇒ 8 + 𝑥 = 6 ⇔ 𝑥 = −2

𝑦 − 2 = 2 ⇔ 𝑦 = 4

Jadi, 𝐾(−2,4)

b. Diket : 𝑀𝑔𝑆𝐴(𝑃) = 𝑅

Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R

Jawab :

17. Diket: Titik 𝐴(−1,4)

Garis 𝑔 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 2𝑥 − 1}

Garis ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = −4𝑥}

Ditanya:

a. Persamaan 𝑆𝐴(𝑔) = 𝑔′?

b. Persamaan 𝑆𝐴(ℎ) = ℎ′?

c. Persamaan 𝑆𝐴(𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥)?

d. Apakah titik (−5,6) terletak pada 𝑆𝐴(𝑔) ? jelaskan !

Jawab:

a. Ambil titik 𝐺(1,1) ∈ 𝑔

曯𝐴(𝑔) =昹′, 𝐺 ∈ 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑆𝐴(𝐺) = 𝐺′

Maka 𝐺′ ∈ 𝑔′

𝑆𝐴(𝐺) = (2. (−1) − 1, 2.4 − 1)

= (−3, 7) = 𝐺′ ∈ 𝑔′

Menurut teorema 7.5 maka 𝑔′ ∕/𝑔

sehingga 𝑚𝑔′ = 𝑚𝑔 = 2

jadi, persamaan 𝑔′ melalui 𝐺′(−3, 7) dengan 𝑚=2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 7 = 2(𝑥— 3)

騴− 7 = 2𝑥 + 6

𝑦 = 2〰 + 13

Jadi, 𝑔′ = {(𝑥, 𝑦)| 𝑦 = 2𝑥 + 13}

b. Kasus I

Ambil titik 𝐻 = 𝐴

𝐻(−1,4) ∈ ℎ

SA(h) = h′, H ∈ h, dan SA(H) = H′

Maka H′ ∈ h′

SA(H) = (2. (−1) − (−1), 2.4 − 4)

= (−1, 4) = H′ ∈ h′

Menurut teorema 7.5 maka h′ ∕/h

sehingga mh′ = mh = −4

jadi, persamaan h′ melalui G′(−1, 4) dengan m = −4

y − y1 = m(x − x1)

y − 4 = −4(x − (−1))

y − 4 = −4x − 4

y = −4x

Jadi, h′ = {(x, y)|y = −4}

Kasus II

Ambil titik 𝐻 ≠ 𝐴

𝐻(1, −4) ∈ ℎ

SA(h) = h′, H ∈ h, dan SA(H) = H′

Maka H′ ∈ h′

SA(H) = (2. (−1) − 1, 2.4 − (−4))

= (−3, 12) = H′ ∈ h′

Menurut teorema 7.5 maka h′ ∕/h

sehingga mh′ = mh = −4

jadi, persamaan h′ melalui G′(−3, 12) dengan m = −4

y − y1 = m(x − x1)

y − 12 = −4(x − (−3))

y − 12 = −4x − 12

y = −4x

Jadi, h′ = {(x, y)|y = −4}

c. Sumbu 𝑥 ⇒ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑔

Ambil titik 𝐺(1,0) ∈ 𝑔 dan SA(𝑔) = 𝑔′

Maka SA(𝐺) = 𝐺′ = (2. (−1) − 1, 2.4 − 0) = (−3,8)

Sehingga 𝐺′ ∈ g′

Karena 𝑔//𝑔′ ⇒ 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔′ = 0

Persamaan himpunan melalui (−3,8) dengan 𝑚 = 0

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

⇔𝑦 − 8 = 0(𝑥 + 3)

⇔ 𝑦 = 8

Jadi, persamaan himpunan 𝑆𝐴(𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥) adalah 𝑦 = 8

d. 𝑆𝐴(𝑔) = 𝑔′ = {(𝑥, ᒐ)|@ = 2𝑥 + 13}

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = −5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦 = 2. (−5) + 13 = 3 ≠ 6

Jadi (−5,6) tidak terletak pada 𝑆𝐴(𝑔)

18. Diket: C = {(x, y)|x2 + (y − 3)2 = 4

𝑔 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥}

𝐴(3,2)

Ditanya: Apakah 𝐷(2,5) ∈ 𝑀𝑔𝑆𝐴(𝐶)?

Jawab:

𝐶 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 4 dengan pusat 𝑀(0,3) dan berjari-jari 2

𝐴(3,2)

𝑆𝐴(𝑀) = 𝑀′ = (2.3 − 0,2.2 − 3) = (6,1)

𝑆𝐴(𝐶) = 𝐶′

𝐶′ adalah lingkaran dengan pusat M′(6,1), jari-jari 2

Sehingga 𝐶′ = {(𝑥, 𝑦)|(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 1)2 = 4}

𝑀𝑔(𝐶′) = 𝐶′′

⟺ 𝑀𝑔(6,1) = (1,6)

Jadi M′′(1,6) adalah pusat lingkaran C′′

𝐶′′ = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 6)2 = 4

Jadi, MgSA(C) = C′′ = (x − 1)2 + (y − 6)2 = 4

Jika x = 2, dan y = 5

Maka (2 − 1)2 + (5 − 6)2 = (1)2 + (−1)2 = 1 + 1 = 2 ≠ 4

Jadi, D(2,5) ∉ MgSA(C)

20. Diket : 𝑔 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 5𝑥 + 7}

𝑃 = (−3,2)

Ditanya : 𝑆𝑃(𝑔) = 𝑔′?

Jawab:

Ambil sebarang titik 𝐴(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔

𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = −5 + 7 = 2

Misal 𝐴(−1,2), 𝐴 ∈ 𝑔

𝑆𝑃(𝐴) = (2. (−3)— 1,2.2 − 2)

= (−6 + 1,4 − 2)

= (−5,2) = 𝐴′ ⟹ 𝐴′ ∈ 𝑔′

𝑔//𝑔′ ⟹ 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔′ = 5

俎− 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

⇔ 𝑦 − 2 = 5(𝑥 + 5)

⇔ 𝑦 − 2 = 5𝑥 − 25

⇔ 𝑦 = 5𝑥 + 27

Jadi, 𝑆𝑃(𝑔) = 𝑔′ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 5𝑥 + 27)

Tugas halaman 74

1. Diketahui : titik A dan B, garis 𝑔 ∋ 𝐴 ∉ 𝑔, 𝐵 ∉ 𝑔

Lukis :

a. 𝑔′ = 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑔)

b. Garis 𝑘 ∋쭔𝐴𝑆𝐵(𝑘) = 𝑔

c. Garis ℎ ∋ 𝑆𝐴𝑆𝐵(ℎ) = ℎ

Lukisan :

a. 𝑔′ = 𝑆𝐴𝑆𝐵(逜)

b. Garis 𝑘 ∋ 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑘) = 𝑔

𝑔 = 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝑘)

𝑆𝐵(𝑘)

𝐴 𝑘

𝑔′ = 𝑆𝐴㉹𝐵(𝑔)

𝑔 𝑆𝐵(𝑔)

𝐵 𝐴

c. Garis ℎ ∋ 𝑆𝐴𝑆𝐵(ℎ) = ℎ

2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis

g dan h.

Lukis :

a. 𝑀𝑔𝑆𝐴𝑆𝐵(ℎ)

b. 昰 ∋ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑀ℎ(ℎ) = 𝑔

Lukisan :

a. 𝑀𝑔𝑆𝐴𝑆𝐵(ℎ)

b. 𝑘 ∋ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑀ℎ(ℎ) = 𝑔

3. Diketahui : 𝑔 = {(𝑥, 𝑦)│2𝑥 − 5𝑦 = 4} dan 𝐴 = (1,4)

Ditanya :

a. apakah 𝐶(−1,6) ∈ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

b. persamaan 𝑔′

Jawab :

a. 𝑔 ∶ 2𝑥 − 5𝑦 = 4

Karena 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) dan 𝐴 = (1,4) ∉ 𝑔 maka menurut teorema 7.5, 𝑔//𝑔′.

𝐵 𝐴

Untuk mengetahui apakah 𝐶(−1,6) ∈ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) maka harus dicari

𝑆𝐴(𝐶) = (𝑥, 𝑦) lalu diselidiki apakah (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔

Menurut teorema 7.4 maka

𝑆𝐴(𝐶) = (2.1— 1,2.4 − 6)

⇔ (𝑥, 𝑦) = (2 − 1,8 − 6)

⇔ (𝑥, 𝑦) = (1,2)

Maka diperoleh 𝑥 = 1, 𝑦 = 2

Substitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 ke persamaan 𝑔

Diperoleh 2.1 − 5.2 = 2 − 10 = −8

Karena (𝑥, 𝑦) tidak memenuhi persamaan 𝑔 maka (𝑥, 𝑦) = 𝑆𝐴(𝐶) ∉ 𝑔

maka 𝐶 ∉ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

b. Untuk menentukan persamaan 𝑔′ maka dihitung gradien 𝑔′ dan diambil

salah satu titik 𝑃 ∈ 𝑔, misalnya 𝑃 = (7,2)

Maka 𝑆𝐴(𝑃) = (2.1 − 7,2.4 − 2)

⇔ 𝑆𝐴(𝑃) = (2 − 7,8 − 2)

⇔ 𝑆𝐴(𝑃) = (−5,6)

Karena 𝑃 ∈ 𝑔 dan 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) maka 𝑆𝐴(𝑃) ∈ 𝑔′.

𝑔 ∶ 2𝑥 − 5𝑦 = 4 maka gradient 𝑔 adalah 2

𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) sehingga 𝑔//𝑔′ maka gradien 𝑔 = gradien 𝑔′ =2

𝑦 − 7 =2

5(𝑥 − 2)

⇔ 𝑦 = 7 +2

5𝑥 −

⇔ 𝑦 = 7 +2

5𝑥 −

⇔ 𝑦 =2

5𝑥 +

⇔ 5𝑦 = 2𝑥 + 31

⇔ −2𝑥 + 5𝑦 = 31

Jadi, persamaan garis 𝑔′ adalah −2𝑥 + 5𝑦 = 31.

4. Diketahui :𝑔 = {(𝑥, 𝑦)│3𝑥 + 2𝑦 = 4} dan 𝐴 = (−2,1)

Ditanya :

a. 𝑘 ∋ 𝐷 = (3, 𝑘) ∈ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

b. Persamaan 𝑔′

c. Persamaan ℎ ∋ 𝑆𝐴(ℎ) = 𝑔

Jawab :

a. Untuk menentukan 𝑘 maka diambil titik 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔 sehingga

2. −2 − 𝑥 = 3

⇔ −4 − 𝑥 = 3

⇔ 𝑥 = −7

Substitusikan 𝑥 = −70 pada persamaan 𝑔 maka 3𝑥 + 2𝑦 = 4

⇔ 3. −7 + 2𝑦 = 4

⇔ −21 + 2𝑦 = 4

⇔ 2𝑦 = 25

⇔ 𝑦 =25

Maka 𝑃 = (𝑥, 𝑦) = (−7,25

Karena 𝑃 = (−7,25

2) dan 𝐴 = (−2,1) maka menurut teorema 7.4 maka

𝑆𝐴(𝑃) = (2. −2— 7), 2.1 −25

⇔ (3, 𝑘) = (−4 + 7,2 −25

⇔ (3, 𝑘) = (3, −21

Sehingga diperoleh 𝑘 = −21

b. Untuk menentukan persamaan 𝑔′ maka harus ditentukan gradien 𝑔′

Karena 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) maka menurut teorema 7.5 𝑔//𝑔′ sehingga gradien

𝑔 = gradien 𝑔′

𝑔 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 = 4 maka gradien 𝑔 adalah −3

2 sehingga gradien 〱

′= −

Berdasarkan jawaban soal a, maka 𝐷 = (3, −21

5) ∈ 𝑔′

Sehingga persamaan ᒐ′ adalah

𝑦 − 3 = −3

2(𝑥—

⇔ 𝑦 = −3

2(𝑥 +

5) + 3

⇔ 𝑦 = −3

2𝑥 −

⇔ 𝑦 = −3

2𝑥 −

⇔ 10𝑦 = −15ㄎ − 63

⇔ 15𝑥 + 10𝑦 = 63

Jadi, persamaan 𝑔′ adalah 15𝑥 + 10𝑦 = 63.

c. 𝑆_(ℎ) = 𝑔 maka 𝑆−1𝐴(𝑔) = ℎ

Menurut teorema 7.3 ᒐ−1𝐴 = 𝑆𝐴 sehingga 𝑆−1

𝐴(𝑔) = 𝑆𝐴(𝑔) = ℎ

Dari jawaban soal b, 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) artinya 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) = ℎ sehingga

diperoleh 𝑔′ = ℎ

maka persamaan ℎ = persamaan 𝑔′ yaitu 15𝑥 + 10𝑦 = 63

Jadi, persamaan ℎ adalah 15𝑥 + 10𝑦 = 63.

5. Diketahui : kurva 𝑘 = {(𝑥, 𝑦)│@ = 𝑥2} dan titik 𝐴 = (3,1)

Ditanya :

a. Apakah 𝐵 = (3, −7) ∈ 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘)

b. Persamaan kurva 𝑘′

Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah 𝐵 = (3, −7) ∈ 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘) maka harus dihitung

𝑆𝐴(𝐵)

Misalkan 𝑆𝐴(𝐵) = (𝑥′, 𝑦′) sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh

𝑆𝐴(𝐵) = (2.3 − 3,2.1— 7)

⇔ (𝑥′, 𝑦′) = (6 − 3,2 + 7)

⇔ (𝑥′, 𝑦′) = (3,9)

Maka 𝑥′ = 3, 𝑦′ = 9

Substitusikan (𝑥′, 𝑦′) = (3,9) ke persamaan 𝑘

diperoleh 9 = 32 memenuhi persamaan 𝑘 maka (𝑥′, 𝑦′) ∈ 𝑘

Karena 𝑆𝐴(𝐵) = (𝑥′, 𝑦′) ∈ 𝑘 dan 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘) maka 𝐵 ∈ 𝑘′

Jadi, 𝐵 = (3, −7) ∈ 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘)

b. Untuk menentukan persamaan 𝑘′ maka harus ditentukan koordinat titik

puncak kurva 𝑘′

Karena 𝑘 = {(𝑥, 𝑦)│𝑦 = 𝑥2} maka titik puncak 𝑘 adalah (0,0) dan titik

fokus kurva 𝑘 adalah (0,1

Misalkan titik puncak 𝑘 adalah titik 𝑀 maka 𝑀 = (0,0) sehingga menurut

teorema 7.4,

𝑆𝐴(𝑀) = (2.3 − 0,2.1 − 0) = (6,2)

Karena 𝑀 ∈ 𝑘 dan 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘) maka 𝑆𝐴(𝑀) ∈ 𝑘′ dan karena 𝑀 adalah

titik puncak 尠 maka 𝑆𝐴(𝑀) = (6,2) titik puncak 𝑘′.

Misalkan titik fokus 𝑘 adalah 𝑃 maka 𝑃 = (0,1

4) sehingga menurut

teorema 7.4,

𝑆𝐴(𝑃) = (2.3 − 0,2.1 −1

4) = (6,

Karena 𝑃 ∈ 𝑘 dan 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘) maka 𝑆𝐴(𝑃) ∈ 𝑘′ dan karena 𝑃 adalah titik

fokus 𝑘 maka _𝐴(𝑃) = (6,7

4) titik fokus 𝑘′

Sehingga diperoleh titik puncak 𝑘′ adalah (6,2) dan titik puncak 𝑘′ adalah

4) maka kurva 𝑘′ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva 𝑘′

adalah

(𝑥 − 6)2 = −4. −1

4(𝑦 − 2)

⇔ 𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 𝑦 − 2

⇔ 𝑦 = 𝑥2 − 12《 + 38

Jadi, persamaan kurva 𝑘′ = 𝑆𝐴(𝑘) adalah 𝑦 = 𝑥2 − 12𝑥 + 38.

6. Diketahui : kSMkxCyyxgAyyxk Agx ',6,,0,,0,2,, 1

Ditanya : a) nilai x sehingga 'kC ; b) persamaan 'k

Selesaian :

a) Ambil P(m,n)

nmnmMnmMnmSMPSM ggAgAg ,4,4,22,

Hal ini berarti bahwa

xxSMkSM ggAgAg

Maka 6

Jadi, nilai x sehingga 'kC adalah 6

b) Misal 'kD

Untuk nilai x = 1, maka '1,31

1,14 kD

Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu

1,3dan 6,623 DC

7. Diketahui : Q titik tengah PR

Ditanya : Buktikan bahwa QRPQ SSSS

Bukti :

Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f)

Karena Q titik tengah PR , maka dbfcae 21

ybdbxacaybxaSyxSSASS QPQPQ 22,222,2,21

ydbxca ,

a. ydbdxcacydbxcaSyxSSASS RQRQR 2,22,2,21

ydbxca 3,3 Nilai 𝑥 ∋ 𝐶 = (𝑥, 6) ∈ 𝑘′ = 𝑀𝑔𝑆𝐴(𝑘)

b. Persamaan 𝑘′

Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah 𝑥 ∋ 𝐶 = (𝑥, 6) ∈ 𝑘′ = 𝑀𝑔𝑆𝐴(𝑘) maka harus

diambil

b. Untuk mencari persamaan 𝑘′ maka

8. Diketahui : 𝐶 = (2, −1), 𝑔 = {(𝑥, 𝑦)│𝑦 = 𝑥}, ℎ = {(𝑥, 𝑦)│𝑦 = 3𝑥 − 2}

Ditanya : persamaan garis 𝑘 = 𝑆𝐶𝑀𝑔(ℎ)

Jawab :

Ambil titik 𝐴 (2,4) ∈ ℎ

Maka 𝑀𝑔(𝐴) = 𝑀𝑔(2,4) = (4,2) = 𝐴′

Karena 𝑀𝑔(ℎ) = ℎ′,騴 ∈ ℎ, 𝑑𝑎𝑛 𝑀𝑔(𝐴) = 𝐴′

Maka 𝐴′ ∈ ℎ′

Mencari titik potong garis 𝑔 dan garis ℎ

ℎ: 𝑦1 = 3𝑥 − 2

𝑔: 𝑦2 = 𝑥

Titik potong garis _ dan garis ℎ adalah

𝑦1 = 𝑦2

3𝑥 − 2 = 𝑥

2𝑥 = 2

𝑥 = 1

Maka, 𝑦 = 1

Jadi, titik potong garis 𝑔 dan garis ℎ adalah di (1,1)

Karena 𝑀𝑔(ℎ) = ℎ′

Maka (1,1) ∈ ℎ′

Sehingga garis ℎ′ melalui titik (4,2) dan titik (1,1)

𝑦2 − 𝑦1

𝑦 − 𝑦1=

𝑥2 − 𝑥1

𝑥 − 𝑥1

1 − 2

𝑦 − 2=

1 − 4

𝑥 − 4

𝑦 − 2=

𝑥 − 4

−3𝑦 + 6 = −𝑥 + 4

−3𝑦 + 𝑥 = −2

𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0

Jadi persamaan ℎ′: 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0

Ambil titik 𝐵 = (7,3) ∈ ℎ′

Maka 𝑆𝐶(𝐵) = 𝑆𝐶(7,3)

= (2.2 − 7,2. (−1) − 3)

= (−3, −5) = 𝐵′

Karena 𝑘 = 𝑆𝐶𝑀𝑔ℎ

Atau 𝑘 = 𝑆𝐶(ℎ′), 𝐵 ∈ ℎ′ dan 𝑆𝐶(𝐵) = 𝐵′

Maka 𝐵′ ∈ 𝑘

Sehingga 𝑘 melalui 𝐵′ = (−3, −5) dan 𝑘//ℎ′ dengan 𝑚 =1

− 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 + 5 =1

3(𝑥 + 3)

𝑦 + 5 =1

3𝑥 + 1

ᒐ =1

3𝑥 − 4

3𝑦 = 𝑥 − 12

Jadi persamaan garis 𝑘 = 𝑆𝐶𝑀𝑔(ℎ) adalah 3𝑦 = 𝑥 − 12.

9.a)Diketahui : garis g dan h

Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik

Bukti :

Misal AA ''

Jelas ''' AAMAMM ghg

Karena g//h maka AA '' sehingga 'AAMM hg

Hal ini sebuah kontradiksi

Maka pengandaian harus dibatalkan.

Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila

berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap

yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa 'AAMM hg dan

Ahg SAMM maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

9.b)Diketahui : garis g, titik gA

Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap

Bukti :

10. Diketahui : ∆𝐴𝐵𝐶, garis 𝑔 dan sebuah titik 𝐾 ∉ 𝑔, 𝐾 diluar daerah ∆𝐴𝐵𝐶.

Tentukan semua pasangan titik 𝑋 dan 𝑌 dengan 𝑋 ∈ 𝑔, 𝑌 ∈ ∆𝐴𝐵𝐶 sehingga

𝐾 titik tengah 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ ?

Jawab:

11. Diketahui : lingkaran 𝐿1 dan 𝐿2. Salah satu titik potongnya adalah 𝐴.

𝐶 ∈ 𝐿1 dan 𝐷 ∈ 𝐿2

Ditanya : Lukisan ruas garis 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sehingga A titik tengah ruas garis 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ?

Jelaskan lukisan tersebut?

Jawab :

A titik tengah 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , berarti 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷

Jadi, 𝐿1 = 𝐿2 atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.

𝑔 𝐵

𝐶 𝐷 𝐷

𝐿2 𝐿1

12. Diketahui: titik 𝐴 dan garis 𝑔, 𝐴 ∈ 𝑔

Ditanya :

a. Buktikan bahwa transformasi 𝑆𝐴𝐷𝑔 adalah sebuah refleksi pada suatu garis

dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?

b. Jika 𝑔 tegak lurus ℎ di titik 𝐴 dan 𝑔 tegak lurus 𝑘 di titik B, buktikan

bahwa 𝑆𝐴𝑀𝑘 = 𝑀ℎ𝑆𝐵?

Jawab :

a. Ambil sebarang titik 𝑃 ∈ 𝑉

Diperoleh Ó𝐴𝑀𝑔(𝑃) = 𝑃′

Tarik garis ℎ ⊥ 𝑔 yang melalui A

Tarik garis 𝑃𝑃′′ yang memotong garis ℎ dititik B,

sehingga 𝐶𝐴 = 𝑃𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑃𝐶 = 𝐵𝐴

Lihat ∆𝐶𝐴𝑃′ 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐶𝐴𝑃

𝐶𝐴 = 𝐶𝐴 (berhimpit)

𝐶𝑃 = 𝐶𝑃′ (Refleksi)

< 𝑃𝐶𝐴 =<㌱′𝐶𝐴 (Siku-Siku)

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)

Sehingga dapat disimpulkan ∆𝐶𝐴𝑃′ ≅ ∆𝐶𝐴𝑃

Salah satu akibatnya 𝐴𝑃′ = 𝐴𝑃

Lihat ∆𝐴𝑃𝐵 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐴𝑃′′𝐵

𝐴〰 = 𝐴𝐵 (berhimpit)

𝐴𝑝′ = 𝐴𝑃′′ (setengah putaran)

𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐴𝑃 =〰𝑃′ = 𝐴𝑃′′

𝑃𝐵2 = 𝐴𝑃2 − 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑃′′2 − 𝐴𝐵2 = 𝑃′′𝐵2

Karena 𝐴𝑃 = 𝐴𝑃′ = 𝐴𝑃′′, maka 𝑃𝐵 = 𝑃′′𝐵

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)

Maka dapat disimpulkan ∆𝐴𝑃𝐵 ≅ ∆𝐴𝑃′′𝐵

𝑃′′

𝑃 𝐴

𝑃′

Akibatnya 𝑃𝐵 = 𝑃′′𝐵

Karena O merupakan titik tengah 𝑃𝑃′′, maka 𝑆𝐴𝑀𝑔(𝑃) = 𝑃′′ merupakan

refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik 𝐵 ⊥ 𝑔.

Jadi, 𝑆𝐴𝑀𝑔 merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah

garis yang melalui A tegak lurus dengan 𝑔.

b. Ambil garis 𝑔 tegak lurus ℎ di titik 𝐴 dan 𝑔 tegak lurus 𝑘 di titik 𝐵.

Adb 𝑆𝐴𝑀𝑘 = 𝑀ℎ𝑆𝐵

Menurut teorema 7.1 : “andaikan A sebuah titik, dan 𝑔 𝑑𝑎𝑛 ℎ dua garis tegak

lurus yang berpotongan di A, maka 𝑆𝐴 =筽𝑔𝑀ℎ”

Maka 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ dan 𝑆𝐵 = 𝑀𝑔𝑀𝑘

Sehingga 𝑆𝐴𝑀𝑘 = (𝑀𝑔𝑀ℎ)𝑀𝑘

Karena 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔, maka diperoleh:

(𝑀𝑔𝑀ℎ)𝑀𝑘 = (𝑀ℎ𝑀𝑔)𝑀𝑘 = 𝑀ℎ𝑀𝑔𝑀𝑘

Sehingga

𝑆𝐴𝑀ᒐ = (𝑀𝑔𝑀ℎ)𝑀𝑘 = (𝑀ℎ𝑀𝑔)𝑀𝑘 = 𝑀ℎ𝑀𝑔𝑀𝑘 = 𝑀ℎ(𝑀𝑔𝑀𝑘) = 𝑀ℎ𝑆𝐵

Jadi terbukti bahwa 𝑆𝐴𝑀𝑘 = 𝑀ℎ𝑆𝐵

13. Diketahui : 𝐴, 𝐵, 𝐶 tak segaris

Ditanya:

a. Pilih sebuah titik 𝑃 dan lukislah titik 𝑃′ = 𝑆𝐴 𝐵𝑆𝐶(𝑃) !

b. Jika 𝑀 titik tengah 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ , lukislah 𝑀′ = 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶(𝑀) !

c. Perhatikan hubungan antara 𝑀 dan 𝑀′. Apakah dugaan kita mengenai

jenis transformasi 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶 ?

Jawab:

c. Karena 𝑀 = 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶 = 𝑀−1 maka transformasi 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶 merupakan

transformasi identitas.

14. Diketahui : ∆𝐴𝐵𝐶, ∠𝐵 = 90°

15. Diketahui : 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (3, −1)

Ditanya :

a) 𝐶′ = 𝑆𝐴𝑆𝐵(𝐶) jika 𝐶 = (−2,4)

b) 𝑃′ = 𝑆𝐵𝑠𝐴(𝐶) jika 𝑃 = (𝑥, ᒐ)

c) Apa yang dapat kami katakan tentang 𝐶𝐶′, 𝑃𝑃′, 𝐴𝐵

Jawab :

a) Menurut teorema 7.4 maka

𝑆𝐴𝑆𝐵(𝐶) = 𝑆𝐴(𝑆𝑩(𝐶))

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = 𝑆𝐴(2.3— 2), 2. (−1) − 4

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = 𝑆𝐴(6 + 2, −2 − 4)

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = 𝑆𝐴(8, −6)

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = (2.0 − 8,2.0— 6)

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = (0 − 8,0 + 6)

⇔ 𝑆𝐴𝑠𝐵(𝐶) = (−8,6)

Jadi, 𝐶′ = 𝑆〱𝑆𝐵(𝐶) = (−8,6)

b) Menurut teorema 7.4 maka

𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = 𝑆𝐵 (〱𝑨(𝑃))

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = 𝑆𝐵(2.0 − 𝑥, 2.0 − 𝑦)

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = 𝑆𝐵(0 − 𝑥, 0 − 𝑦)

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = 𝑆𝐵(−𝑥, −𝑦)

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = (2.3 − (−𝑥), 2. (−1)— (−𝑦))

C P 'P

''P''P

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = (6 + 𝑥, −2 + 𝑦)

⇔ 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = (𝑥 + 6, 𝑦 − 2)

Jadi, 𝑃′ = 𝑆𝐵𝑆𝐴(𝑃) = (𝑥 + 6, 𝑦 − 2)

c) Karena 𝐶 = (−2,4) dan 𝐶′ = (−8,6)

Maka persamaan 𝐶𝐶′ :

𝑥 −〱1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1⇔

𝑥 + 2

−8 + 2=

𝑦 − 4

6 − 4⇔

𝑥 + 2

𝑦 − 4

⇔ −6𝑦 = 2𝑥 + 4 − 24 ⇔ 𝑦 = −1

3𝑥 +

Karena 𝑃 = (𝑥,〱) dan 𝑃′ = (𝑥 + 6, 𝑦 − 2)

Untuk tidak membuat rancu,

dimisalkan titik 𝑃 = (𝑎, 𝑏) dan 𝑃′ = (𝑎 + 6, 𝑏 − 2)

Maka persamaan 𝑃𝑃′:

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1⇔

𝑥 − 𝑎

𝑎 + 6 − 𝑎=

𝑦 − 𝑏

𝑏 − 2 − 𝑏⇔

𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏

⇔ 6𝑦 = −2𝑥 + 2𝑎 + 6𝑏 ⇔ 𝑦 = −1

3𝑥 +

3𝑎 + 𝑏

Karena 𝐴 = (0,0) 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = (3, −1)

Maka persamaan 𝐴𝐵:

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 مف−1

⇔𝑥 − 0

3 − 0=

𝑦 − 0

−1 − 0⇔

⇔ 3𝑦 = −𝑥 ⇔ 𝑦 = −1

Dari persamaan–persamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan

𝐶𝐶′, 𝑃𝑃′, dan 𝐴𝐵 mempunyai gradien yang sama, yaitu −1

16. Buktikan :

17. Diketahui : ∆𝐴𝐵𝐶 dan sebuah titik 𝑃 𝐶̅̅مخت∋ ̅̅ ̅̅

Lukis : di dalam ∆𝐴𝐵𝐶, sebuah ∆𝑃𝑄0 yang kelilingnya paling pendek

makalah setengah putaran

Education

rasio putaran persediaan

decrease and conquer -...

menyetel putaran idle

makalah setengah mateng- perkembangan embrio amphioxus

tugas makalah prngetahuan bahan agroindustri...

jaga putaran mesin

putaran duniaku

rangkaian penyearah dioda (rectifier) · pdf filedan dioda...

tugas besar setengah fix

putaran kritis

pengolahan setengah jadi serealia

kti jadi setengah

pgesanan setengah tahun_jpnj_2012

putaran spesifik

dinamika putaran

analisa torsi dan putaran

setengah putaran

bab ii setengah

laporan rahma_nita setengah

latihan setengah jam