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Maillage 2D et 3D

1) Exemples de nuages de points:2) Interpolation d’un nuage de points:3) Triangulation:

a. Différents typesb. Diagrammes de Voronoïc. Triangulation de Delaunay

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1) Exemples de nuages de points:

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2) Interpolation d’un nuage de points:

On cherche à créer un modèle 3D correspondant au nuage de points :

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Les différentes étapes du processus :

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2) Interpolation d’un nuage de points:

Les différentes étapes du processus :

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2) Interpolation d’un nuage de points:

3) Triangulation : a) Différents types:

• Approche naïve :

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• Approche par triangulation: deux approches d’interpolation de la hauteur.

La triangulation permet de connaitre pour chaque point, ses coordonnées X,Y et Z. Suivant son utilisation elle peut donner différents résultats :

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3) Triangulation : a) Différents types:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Enveloppe convexe :

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Exemple de triangulation invalide, il est possible d’ajouter des segments entre deux points:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Ajout de segments pour rendre la triangulation valide:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Convexité des quadrilatères:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Pour 4 points, deux types de triangulations possibles:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Détermination du bon choix:

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3) Triangulation : a) Différents types:

• Exemple de triangulation équivalente:

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Origine du diagramme de Voronoï:

Une personne veut poster une lettre, il y a plusieurs bureaux de postes, lequel choisir? Chaque bureau correspond à un site. Il faut déterminer lequel est le plus proche

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Désignation des éléments du diagramme de Voronoï:

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Diagramme de Voronoï à deux sites:

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Diagramme de Voronoï à trois sites:a) Les bissectrices :

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Diagramme de Voronoï à trois sites:b) Une cellule est l’intersection de plusieurs demi-plans:

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Diagramme de Voronoï à quatre sites:Une cellule est l’intersection de plusieurs demi-plans:

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Par cette méthode, on obtient le résultat suivant :

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Algorithme de Fortune : une ligne de plage :

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Algorithme de Fortune : la ligne balaye tout les points et chaque intersection de paraboles constitue un point des arêtes de Voronoï

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• La ligne de balayage croise un nouveau site :

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Un arc de parabole disparait :

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3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï

• Algorithme de Fortune : on obtient :

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

Soit G, le graphe dual à Vor(P). En rouge, les arêtes de G

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3) Triangulation : c) Triangulation de DelaunayDéfinition du Graphe dual :Le graphe dual d'un graphe

planaire G est défini à partir d'un plongement de G sur une surface. A partir d'un tel plongement de G, on peut définir les faces de G (car en fait G est alors en bijection avec un polyèdre):

Exemple :

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

Exemple de dual :

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

Soit Gd(P), le graphe de Delaunay. En rouge, les arêtes de Gd(P)

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

Gd(P) n’est pas toujours une triangulation:

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

La triangulation de Delaunay est obtenue à partir de Gd(P):

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

Td(P) doit toujours être légal:

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

• Triangulation de Delaunay par la méthode incrémentale aléatoire :

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

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3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay

On obtient :