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Magnitudes vectoriales y escalares
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Magnitudes escalares• Son aquellas que quedan completamente especificadas con un
número (mayor o menor que cero) y unidades.
• No tienen una expresión geométrica
Por ejemplo: la temperatura. Si decimos que en un día hay 25°C,
no necesitamos saber más sobre la temperatura.
Otras cantidades escalares que podemos mencionar son:
Masa
Volumen
Tiempo
Presión
Densidad
Distancia recorrida
Magnitudes vectoriales Son magnitudes que para estar determinadas precisan de un
valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de
aplicación.
Tienen una expresión geométrica.
Un vector se utiliza para representar una magnitud física que tiene dirección y sentido, por ejemplo,
Fuerza
Velocidad
Aceleración
Desplazamiento.
Un ejemplo entre la diferencias de magnitudes
vectoriales y escalares
Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el este el siguiente
día, la persona estará 14km al este desde donde partió.
Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el oeste el siguiente
día, la persona estará 2km al este desde donde partió.
Origen, 0
8km 6km
14km
x (km)
Este
x (km)
EsteOrigen, 0 8km
6km2km
espacio recorrido = desplazamiento
espacio recorrido ≠ desplazamiento
Magnitudes vectoriales: expresión geométrica
Es todo segmento de recta dirigido en el espacio con la siguientes
características:
• Origen: también llamado Punto de aplicación
• Módulo: es la longitud o tamaño del vector y representa la intensidad de la
cantidad vectorial que está representando: (Fuerza)
• Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo
contiene.
• Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del
vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector
Suma de vectores
Dados dos vectores, estos pueden se sumados
mediante una operación llamada suma de vectores.
Aunque recibe el mismo nombre que la suma de
números, se trata de una operación distinta.
La suma de vectores da como resultados otro vector
Suma de vectores: métodos gráficos
• Regla del paralelogramo: consiste en trasladar paralelamente los vectores
hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que
obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la
diagonal de ese paralelogramo.
• De la poligonal o punta y cola: En el extremo del primer vector se sitúa el
punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se
coloca el del tercero y así sucesivamente. El vector resultante es el que se
obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del
último.
Suma de Vectores - Propiedades
Como toda operación, la adición de vectores tiene ciertas propiedades
• Conmutativa
• Asociativa
• Existe elemento neutro
• Existe elemento opuesto
Conmutativa:
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 = 𝑤𝑢 𝑢
𝑣
𝑣
𝑤
Suma de Vectores - Propiedades
Elemento Neutro:Existe el elemento neutro, el vector 𝟎, cuyo punto de aplicación ypunto final coinciden, por lo que su módulo vale 0.
Elemento Opuesto:𝑢 + 0 = 𝑢
𝑣 − 𝑣
Dado un vector 𝑣 existe suelemento opuesto ( − 𝑣 ), deigual intensidad y dirección,pero sentido opuesto, deforma que al sumarlos se
obtiene el vector 0
𝑣 + − 𝑣 = 0
Suma de vectores: métodos analíticos
La suma gráfica de vectores no essuficientemente precisa y no es útil para cuandodebemos trabajar con vectores en tresdimensiones. Los métodos analíticos son máseficaces y precisos a la hora de operar convectores, ya sea en dos o tres dimensiones.
Suma de vectores: métodos analíticos• Para poder aplicar el método de componentes debemos primeramente
repasar como descomponer un vector.
Descomposición de una fuerza en componentes
• Al igual que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula se pueden sustituir por una única fuerza.
• También una única fuerza puede ser sustituida por dos o más fuerzas que actuando conjuntamente produzcan el mismo efecto que la primera
Métodos analíticos: vectores unitarios
•Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios.
•Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es:
•tienen módulo 1,
•son perpendiculares entre sí; y
•corresponden a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Métodos analíticos: vectores unitarios
Un Vector 𝑨, puede ser
reemplazado por su
representación con vectores
unitarios, donde 𝐴𝑥sería su
componente en el eje x, 𝐴𝑦su
componente en el eje y, y
finalmente, 𝐴𝑧 su representación
en el eje z.
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
Métodos analíticos: suma de vectores
Dados dos
o más vectores
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗
Entonces
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗𝐴𝑦 𝑗
y
x
𝐴
𝐴𝑥 𝑖
𝐵
𝐵𝑥 𝑖
𝐵𝑦 𝑗
𝐶
Otras operaciones con Vectores: Producto Escalar
Definición:
Dados dos vectores 𝒓 y 𝒗 , el producto punto o producto escalar sedefine como el producto de la magnitud de 𝒓 , por lamagnitud 𝐝𝐞 𝒗 y el coseno del ángulo que va en sentido antihorariodel primero al segundo vector.
𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘
𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟 𝑣 cos 𝑟, 𝑣
𝜑
𝑟
𝑣
Puede demostrarse fácilmente que:
𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟𝑥 𝑣𝑥 + 𝑟𝑦 𝑣𝑦 + 𝑟𝑧 𝑣𝑧
Significado del producto escalar
El producto escalar de dos vectores puede definirse como el producto del módulo
de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Aplicaciones
Proyección de un vector sobre otro:
Criterio de Perpendicularidad de dos vectores:
Ángulo entre dos vectores:
cos 𝑢, 𝑣 =𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 𝑣=
𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧
𝑢𝑥
2+ 𝑢𝑦
2+ 𝑢𝑧
2𝑣𝑥
2+ 𝑣𝑦
2+ 𝑣𝑧
Proyección de 𝑢 sobre 𝑣 =𝑢 ∙ 𝑣
𝑣=
𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧
𝑣𝑥
2+ 𝑣𝑦
2+ 𝑣𝑧
2
𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 ⇔ 𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧 = 0
Producto vectorial o Cruz
Definición:
es una operación binaria entre dos vectores en
un espacio tridimensional.
El resultado es un vector perpendicular a los
vectores que se multiplican.
Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos
vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos
vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas
matemáticos, físicos o de ingeniería.
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
𝐶 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑘
Regla de la Mano Derecha
Si pones el dedo pulgar de tu mano derecha apuntando en el mismo sentido que el vector 𝑎 y el dedo índice en el mismo sentido que el
vector 𝑏, entonces el sentido del
producto vectorial 𝑎 × 𝑏 lo da el dedo mayor de tu mano derecha cuando éste se estira de manera que esté perpendicular a los otros dos dedos.
𝑎𝑏
𝑎 × 𝑏
REGLA DEL TORNILLO O ROSCA DERECHA
El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero.
𝑖 × 𝑗 = − 𝑗 × 𝑖 = 𝑘
𝑗 × 𝑘 = − 𝑘 × 𝑗 = 𝑖
𝑘 × 𝑖 = − 𝑖 × 𝑘 = 𝑗
𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0
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