ma trận - phép toán - các phép biến đổi sơ cấp

www.hoasen.edu.vn

1Linear Algebra

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – TOAN153DV01

Số tín chỉ: 3

Số tiết: 42

Gv: Lê Thị Ngọc Huyên

Khoa KHCN – ĐH Hoa Sen

www.hoasen.edu.vn

2Linear Algebra

Chương 1: Ma trận và hệ các phương trình tuyến tính

Chương 2: Định thứcChương 3: Không gian vectơChương 4: Không gian vec tơ EuclideChương 5: Ánh xạ tuyến tínhChương 6: Giá trị riêng và vectơ riêng

Nội dung môn học

www.hoasen.edu.vn

3Linear Algebra

Chương 1

MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

www.hoasen.edu.vn

4Linear Algebra

Nội dung

1.1 Khái niệm ma trận

1.2 Các phép toán trên ma trận

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

1.4 Ma trận nghịch đảo

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính

www.hoasen.edu.vn

5Linear Algebra

Ma trận (matrix) là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Ký hiệu: A = [aij]mn

1.1 Khái niệm ma trận

www.hoasen.edu.vn

6Linear Algebra

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Hàng thứ nhất

Hàng thứ i

Cột thứ 2 Cột thứ jaij: Phần tử nằm ở hàng i cột j

aij

mn: gọi là cấp của ma trận

a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

7Linear Algebra

Ví dụ:

1 0 2

3 1.5 5A

2 8 6

2 9 0

0 7 2

B

23

33

đường chéo chính21a

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

8Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:1. Ma trận không: ij 0, , .a i j

0 0 0

0 0 0O

Ví dụ:

(tất cả các phần tử đều = 0)

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

9Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:2. Ma trận vuông: m = n.

0 7 81 3

; 4 2 02 7

5 0 2

Ví dụ:

Ma trận vuông cấp 2

Ma trận vuông cấp 3

(số hàng = số cột)

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

10Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:

3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:

ij 0, .a i j (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)

Ví dụ:2 0 0

0 4 0

0 0 9

11

22

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... nn

a

a

a

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

11Linear Algebra

1.1 Khái niệm ma trận (tt)Các ma trận đặc biệt:

4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

1, 1,2,..., .iia i n Ký hiệu: I, In

Ví dụ:

2 3

1 0 ... 01 0 0

1 0 0 1 ... 0, 0 1 0 ,

0 1 .. .. ... ..0 0 1

0 0 ... 1

nI I I

www.hoasen.edu.vn

12Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:

5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có

0, .ija i j 0, .ija i j

Ví dụ: 1 2 5 4

0 3 1 0

0 0 2 6

0 0 0 9

(tam giác trên)

(tam giác dưới)

2 0 0 0

7 1 0 0

0 8 2 0

2 9 1 5

MT tam giác trên MT tam giác dưới

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

13Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:

6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:0, .ija i j

có dạng như sau:11 12 1 1

22 2 2

... ...

0 ... ...

.. .. ... .. ... ..

0 0 ... ...

0 0 ... ...0 0

0 0 ... 0 ... 0

r n

r n

r r r n

a a a a

a a a

a a

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

14Linear Algebra

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

1 3 2 0 1 4

0 3 3 4 0 1

0 0 5 8 9 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

15Linear Algebra

1.1 Khái niệm ma trận (tt)Các ma trận đặc biệt:

7. Ma trận cột: là ma trận có n=1.

Ma trận cột có dạng:

11

21

1

:.. i m

m

a

aa

a

www.hoasen.edu.vn

16Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:

8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.

11 12 1... na a a

Ma trận hàng có dạng:

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

17Linear Algebra

1.1 Khái niệm ma trận (tt)Các ma trận đặc biệt:

9. Ma trận bằng nhau:

ij ij , , .ij ijmn mnA a b B a b i j

10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j.

(chuyển hàng thành cột)

www.hoasen.edu.vn

18Linear Algebra

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

Ví dụ:

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

.. .. ... .. .. .. ... ..

... ...

n m

n mT

m m mn n n nmmn nm

a a a a a a

a a a a a aA A

a a a a a a

Dạng của ma trận chuyển vị:

1 61 2 5

2 76 7 9

5 9

TA A

www.hoasen.edu.vn

19Linear Algebra

Các ma trận đặc biệt:11. Đa thức của ma trận:Cho đa thức và ma trân vuông

Khi đó:

(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A)

[ ]ij nA a

10 1( ) ...n n

n n nP A a A a A a I

10 1( ) ...n n

n nP x a x a x a

nI

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

20Linear Algebra

Ví dụ:

Cho 22 ( ) 3 5P x x x

và ma trận1 2

0 3A

Khi đó: 22 2

2

( ) 3 5

1 2 1 2 1 03 5

0 3 0 3 0 1

P A A A I

1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

21Linear Algebra

1. Phép cộng hai ma trận:

ij ij ij ijmn mn mna b a b

1 2 0 3

3 5 2 4

4 2 1 5

Ví dụ:

1 0

1+ 0=11

2 3

2+3=55

-1 1

5 3

(cộng theo từng vị trí tương ứng)

1.2 Các phép toán trên ma trận

www.hoasen.edu.vn

22Linear Algebra

2 3 3 3 4 2

1 4 6 1 7 2

4 2 0 6 3 2

?5 7

?

?

-1

0

2

11 8

-2 1

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

23Linear Algebra

)

)

) ( ) ( )

i A B B A

ii A O A

iii A B C A B C

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó:

Ví dụ: 1 2 3 5 4 7

4 7 2 0 6 7

3 5 1 2 4 7

2 0 4 7 6 7

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

24Linear Algebra

2. Phép nhân một số với một ma trận:

ij ij. ,mn mn

a a R.

3 2 0

2 7 4 5

0 2 1

Ví dụ:

2

3

2.3=662.(-2)=-4

-22

-4

0

14

2.0=0

8 100 -4 2

(các phần tử của ma trận đều được nhân cho )

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

25Linear Algebra

2 3

3 4 0

5 1

?6

0

15

-9

12

-3

Ví dụ:

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

26Linear Algebra

Các tính chất: là hai ma trận cùng cấp, khi đó

, , ,R A B

) ( )

) ( )

) ( ) ( )

) 1

i A B A B

ii A A A

iii A A

iv A A

Sinh viên tự kiểm tra.

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

27Linear Algebra

1 3 3 9 6 182 3 2

5 2 15 6 30 12

1 3 1 3 6 18(2.3) 6

5 2 5 2 30 12

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

28Linear Algebra

• Chú ý:

1 3 6 5 1 3 6 5( 1)

4 5 1 3 4 5 1 3

1 3 6 5 5 2

4 5 1 3 3 2

( 1)A B A B

Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

29Linear Algebra

2 4 1 32

3 7 2 4

2+(-2).1=0

0 -2

7 -1

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

30Linear Algebra

3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận

Khi đó ma trận gọi là tích của hai ma trận A, B. Trong đó:

; ,mp pnA B[ ]mp pn ij mnA B c

1 1 2 2 ... , 1, ; 1, .ij i j i j ip pjc a b a b a b i m j n

1ia 2ia ipa Hàng thứ i của ma trận A.

1 jb 2 jb pjb Cột thứ j của ma trận B.

Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

ijc

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

31Linear Algebra

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

33 32 32

3 2 1 1 2

0 1 4 3 0

2 3 0 4 1

3. 1

.3

+2 +1

.4

=1313

=

=3.2+2.0+1.(-1)=553

2

2 01

-1

Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 12csố cột của A= số hàng của B

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

32Linear Algebra

33 32 32

3 2 1 1 2 13 5

0 1 4 3 0

2 3 0 4 1

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

=0.1+(-1).3+4.4=13Hàng 2

Cột 1

13

Hàng 2

Cột 2

=0.2+1.0+4.(-1)=-4-4

7 -4

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

33Linear Algebra

2 4 11 4 2

2 3 01 0 4

3 5 1

23

33

23

Hàng 1Cột 1

=

16 2 3

10 16 3

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

34Linear Algebra

1 2 3 3 1

0 4 2 2 0

5 1 1 6 3

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

35Linear Algebra

• Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán

1 4

5 2

1 4

3 1

4 0

3 1

4

2 10

45 2

1 1

6

3

1

2

0

9

5AB

BA

Ví dụ:

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

36Linear Algebra

Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích

) ( ) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

i A BC AB C

ii A B C AB AC

iii A B C AC BC

iv AI A IA A

(I là ma trận đơn vị)

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

37Linear Algebra

Ví dụ:1 5 2 1 5 0 1 5 7 1

7 2 3 4 1 3 7 2 4 1

1 5 2 1 5 0 1 5 2 1 1 5 5 0

7 2 3 4 1 3 7 2 3 4 7 2 1 3

17 19 10 15

20 1 37

27 4

57 5

27 4

57 56

A(B+C)

(B+C)

AB AC

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

38Linear Algebra

Ví dụ:

1 5 7 1 0 0 1 5 7

8 4 2 0 1 0 8 4 2

3 1 0 0 0 1 3 1 0

1 0 0 1 5 7 1 5 7

0 1 0 8 4 2 8 4 2

0 0 1 3 1 0 3 1 0

AI A

IA A

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

39Linear Algebra

Ví dụ: Cho và

Tính f(A)?

2( ) 3 5f x x x 3 5

1 4A

Ta có:

22

2

( ) 3 5

3 5 3 5 1 03 5

1 4 1 4 0 1

3 5 3 5 9 15 5 0

1 4 1 4 3 12 0 5

14 35 4 15 18 50

7 21 3 7 10 28

f A A A I

AA

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

40Linear Algebra

• Bài tập: Cho

và ma trận

Tính f(A) =?

2( ) 3 4f x x x

1 2 3

0 3 4

0 0 2

A

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

41Linear Algebra

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0

0 3 4 0 3 4 3 0 3 4 4 0 1 0

0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1

23( ) 3 4f A A A I

0 14 26

0 14 32

0 0 6

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

42Linear Algebra

• Bài Tập: cho

1 5 1 5 1 5 1 0( ) 2 3

0 4 0 4 0 4 0 1f A

2( ) 2 3

1 5, ( ) ?

0 4

f x x x

A f A

2

2( ) 2 3f A A A I

4 15

0 5

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

43Linear Algebra

• Bài tập: Cho 2 0 0 2 0

3 1 0 ; 1 3

4 2 5 4 5

A B

2; ; ; 3 .TAB A A A AB B Tính

1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)

Làm các bài tập 1 – 13 trang 35; 14 – 16 trang 36 và 25 – 32 trang 37

www.hoasen.edu.vn

44Linear Algebra

1. Nhân một số khác không với một hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:

2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:

3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:

ihA B

i jh hA B

i jh hA B

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

www.hoasen.edu.vn

45Linear Algebra

• Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang

2 1( 2)

1 1 2 0 1 1 2 0

2 1 1 3 0

4 5 2 1

1 7 3 2

h h

?=1+(-2)1=-1

-5 3?-1

Ta làm cho phần dưới đường chéo chính = 0.

03 14h h 9 10 -10

4 11h h

8 5 2

Ta lặp lại như trên cho phần ma trận này

-5=-1+(-2)2

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

46Linear Algebra

2 1

3 1

4 1

( 2)41

1 1 2 0 1 1 2 0

2 1 1 3 0 1 5 3

4 5 2 1 0 9 10 1

1 7 3 2 0 8 5 2

h hh hh h

1 1 2 0

0 1 5 3

0 0

0

3 29h h

-35 26

04 28h h

-35 26

4 3( 1)

1 1 2 0

0 1 5 3

0 0 35 26

0 0 0 0

h h

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

47Linear Algebra

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng :

2 1 3

0 2 1

0

0 2 1

2 1 3

3 0 5

1 2

2 1 3

0 2 1

3 0 5

h h

3 12 ( 3)h h

-3 1

2 1 3

0 2 1

0 0

3 22 3h h

-1

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

48Linear Algebra

3 14h h

4 13h h

1 2 1 0

2 3 0 5

4 1 2 0

3 0 5 7

1 2 1 0

0

0

0

2 12h h -1 2 5

-7 6 0

6 2 7

3 27h h

4 26h h

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

Bài tập: Đưa các ma trận sau về dạng ma trận hình thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

www.hoasen.edu.vn

49Linear Algebra

1 2 1 0

0 1 2 5

0 0 8 35

0 0 14 37

1 2 1 0

0 1 2 5

0 0 8 35

0 0 0 194

4 38 14h h

8.37 14( 35) 194

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn

50Linear Algebra

3 12h h

1 1 2 3

3 4 0 1

2 4 3 2

0 2 1 4

1 1 2 3

0

0

0

2 13h h 1

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

Bài tập: Đưa các ma trận sau về dạng ma trận hình thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

www.hoasen.edu.vn

51Linear Algebra

Bài tập: Đưa các ma trận sau về dạng ma trận hình thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

2 1 1 3

6 6 5 3

4 4 7 3

A

0 0 6 2 4 8 8

0 0 3 1 2 4 4

2 3 1 1 7 1 2

6 9 0 11 19 3 0

B

www.hoasen.edu.vn

52Linear Algebra

Bài tập: Đưa các ma trận sau về dạng ma trận hình thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (tt)

2 3 1 1 5

4 5 2 1 4

2 1 1 1 1

6 7 1 4 2

C