lukkede spill

Hva legger vi i spillteori?

Modell for rasjonelle aktørers adferd i mellom-menneskelige relasjoner

Kan også brukes til å analysere helt vanlige spill, for å avdekke hva som skjer underveis og for å finne strategier for å vinne.

Kravene vi stiller til et spill:

•  Lett å spille og enkelt å lære

•  Morsomt, fengende

•  Ha et matematisk innhold

SPILLGEOGRAFI

Landeveien:

Slå med tre terninger, innom alle rutene i rekkefølge, førstemann til mål. Antall øyne på terningene bestemmer hvor langt man kan gå.

1

5

3

4

2

1

7 8

12, mål

9

6

10

11

Start

Nim med én bunke:

Trekk 1, 2 eller 3 fyrstikker annen hver gang, den som tar den siste har vunnet

Nim med to bunker:

Trekk så mange fyrstikker du vil, men bare fra én bunke av gangen. Den som tar siste fyrstikken har vunnet.

Børs:

1000 1000 367 524 633 476

Juniper Green:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

21 22 23 24 25

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

Ingen flere tall igjen !

Lotto:

Velg ut et tall mellom 1 og 5 379 616, den som treffer riktig tall har vunnet og får premien.

Spill-geografi:

I et åpent spill har alle spillerne full innsikt i hverandres strategier og legger det til grunn for egne valg. Det motsatte kalles et lukket spill.

I et strategispill er det kun spillernes valg som bestemmer spillets gang, mens i et lotteri er det innbakt noe form for tilfeldigheter

Spill-geografi: Lotteri

Åpne spill Lukkede spill

Strategispill

Landevei

Sjakk, Nim

Lotto

Børs

GRAF-TEORI

Graftteori:

En rettet graf er en geometrisk figur som består av noder og rettede kanter mellom nodene. En vei i en rettet graf er en sekvens av påfølgende rettede kanter.

En sykel er en vei som starter og slutter i samme node

En rettet graf er sammenhengende dersom ethvert par av noder er forbundet med en (ikke-rettet) vei av kanter.

Graftteori anvendt på spill:

Et spill er beskrevet av et beslutningstre. Et beslutningstre er en rettet, sammenhengende graf uten sykler

Graftteori, fortsetter:

En forløper u til en node v er en node slik at det finnes en vei fra u til v. Tilsvarende sier vi at v er en etterfølger til u. Dersom det ikke finnes noder mellom u og v er kalles de en primær forløper/etterfølger.

En initial node er en node uten forløpere. En terminal node er en node uten etterfølgere. Hvis et beslutningstre kun har en initial node kalles denne treets rot.

Graftteori, fortsetter:

Høyden til en node er det minimale antall kanter fram til en terminal node. Dybden til en node er antall kanter tilbake til rota. Lengden til et spill er høyden til rota.

UTBYTTE-FUNKSJONER

Utbyttefunksjoner: Funksjon på grafen med verdier i intervallet [0,1]

Fastsetter verdier på terminale noder

Bruker Zermelos algoritme for å bestemme verdien på de andre nodene.

Skille mellom I-noder og II-noder

I-node:

II-node:

0 1 1

1 0

0 1

1 0

0

0

0

1

0

Utbyttefunksjon for Nim med én bunke: 5

4 3 2

3 2 1 2 1 1 0 0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 0 1

0

0 Grøn 0 betyr at spiller I vinner, rød 0 betyr at spiller II vinner

Utbyttefunksjon for lotterier:

U(x) = max U(v) hvor v gjennomløper alle primære etterfølgere til x

X er en I-node

X er en II-node

Zermelos algoritme:

U(x) = min U(v) hvor v gjennomløper alle primære etterfølgere til x

Vektet gjennomsnitt:

U(x) = ∑P(v)u(v) hvor v gjennomløper alle primære etterfølgere til x

Utbyttefunksjon for Primo:

1/3 2/3 Verdi=4g/9 + 1/3

Verdi=1

Verdi=0

1/3 2/3

Verdi=g

Verdi=2g/3

Verdi=g

LUKKEDE SPILL

Lukkede spill:

To spillere med to mulige strategier hver. Spiller I velger strategi 1 med sannsynlighet x og spiller II velger strategi 1 med sannsynlighet y.Valgene gjøres simultant.

Blandede strategier som simultant optimaliserer utbyttefunksjonene for begge spillerne kalles en Nash-likevekt.

Et pengespill:

To spillere viser samtidig fram en mynt, enten en 10-krone eller en 20-krone. Dersom begge viser det samme får spiller I begge myntene, dersom de er forskjellige får spiller II begge myntene.

Hvem tjener mest på dette spillet, I eller II, og hvordan lønner det seg å spille?

Fangenes dilemma:

To fanger sitter i arrest og blir forhørt. Den ene vet ikke hva den andre sier. Begge to blir presentert for følgende problemstilling: Dersom ingen tilstår blir straffen 1 år for begge to. Dersom begge tilstår får de 8 år hver. Dersom den ene tilstår og den andre ikke, får den som tier 10 år og den andre går fri.

Hva gjør de?

Da er det på tide å spille litt, men først tar vi en pause!