logika 7. előadás
Post on 07-Feb-2016
69 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
LOGIKA
7. Előadás
TECHNIKAI ADATOK
Elérehetőség:• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
• szilagyi@aszt.inf.elte.hu
Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ
TÁRGYALÁSA
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_matematikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html
TEMATIKA
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
TEMATIKA
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis
• abc, term, formula, szintaktikai definíció,
• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió
• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése
• Logikai összettetség
• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens
• Változó átnevezés, Termhelyettesítés
Szemantika
• Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész)
• változó kiértékelés( )
• L-értékelés (term és formula)
• Term és formula értéktáblája
• Quine-féle táblázat
• Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
Abc
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Abc
Logikai rész: • , , , , , ,
• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak
• Elválasztó jelek („(„ „)”)
• (ítélet változók)
Logikán kívüli rész:
•Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
•Elemfajták halmaza
SZEMANTIKA: Zérusrendben
• A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
• Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
• Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
• Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk.
• Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
• minden ítéletváltozó ( Vv) JFF
• ha AJFF akkor AJFF
• ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás Összetett állítás
interpretáció Boole-értékelés
{ i , h } { i , h }
Formula jelentése mindig igazságérték!
Szemantika: 1 rendben
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés ( )+
3. L-értékelés (I + -n alapuló)
1. Interpretáció : szignaturák
Nyelv szignaturája:
<P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k , k1, k2, …, kq>
I
Struktúra szignaturája:
<U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k c1, c2, …, cq>
x,y, ... Individum változók
A formalizált egyyfajtájú nyelv szignaturája és a matematikai struktúra szignaturája közötti kapcsolat.
Szemantika: 1 rendben
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés ( )+
3. L-értékelés (I + -n alapuló)
2. Változó kiértékelés: indivíduum változók
Definíció: : változó kiértékelés( ): VU, ahol V: indivíduum változók halmaza,
U: univerzum
|x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot
x
u1
V U
y
u2
Szemantika: 1 rendben
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés ( )+
3. L-értékelés (I + -n alapuló)
L-értékelés: Informális (I, )
A L-értékelés
Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}.
A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven
íródott
1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával
2. lépés. a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I)
3. lépés. Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött
változóinak az összes lehetséges változókiértékelése mellett
4. lépés. Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes
lehetséges változókiértékelése mellett
L-értékelés (term)
Definíció: Termek = I, L-értékelése
1. xs individuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés)
c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem.
2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn| I, )
L-értékelés (Példa: term)
(x) (y) x+ x*y
1 1 2
2 3 8
0 4 0
Példa:logikai nyelv struktúra nyelve
I: L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2) S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * )
(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )
= I,
Term interpretációja:t = (f1(x, f2(x,y))) = f1
(x, f2 (x,y)) = + ( x, * (x ,y)) = x+ x*y
L-értékelés (formula)
Definíció: Formulák =I, L-értékelése
1. |P(t1, t2, ..., tn))|I, = i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol
PI jelöli a PI reláció igazhalmazát.
2. |A|I, =|A|I,
|AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I,
3. |xA|I, = i, ha |A|I,* = i minden * x variánsára |xA|I, = i, ha |A|I,* = i legalább egy * x variánsára
(A a formula törzse/mátrixa)
L-értékelés (kvantormentes formula)
Egy kvantormentes formula kiértékelése
(x) (y) (x+ x*y)<( y+ x*y)
A formula minden alap előfordulását generáljuk
1 1 h
és így minden állítás előáll
2 3 i
Példa: Kvantormentes formula interpretációja: =I,
(P1(t, f1(y, f2(x,y)))) = P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )=
P1 (t, f1
(y, f2 (x,y))) =
< (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = < ( x+ x*y, y+ x*y) = (x+ x*y)<( y+ x*y)
L-értékelés (kvantált formula)
Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(x+x)
0 h
1 i
Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(1+x)
0 i
1 i
Univerzális formula interpretálása: =I,
(x P1(a, f1(b,x))) = i, ha (P1(a, f1(b,x))) (x/u)=i minden uUMivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.
Egzisztenciális formula interpretálása: =I,
(x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uUebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uNMivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i.
Term és formula értéktáblája: Ismétlés
X Y Z (ZXYZ)
i i i i
i i h i
i h i i
Egy 1. rendű formula primformulái • az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a • kvantált formulák
Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.
Példa:P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:P(X) Q(X) -ben: P(X) prímkomponens isxP(x) Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula
Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.
Term és formula értéktáblájaEgy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba
• a szabad indivíduum változók
• a primkomponensek és a
• formula kerülne.
Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká.
Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé.
• Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek
• A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek
• A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési értékek találhatók.
Term és formula értéktáblájaADOTT INTERPRETÁCIÓBAN EGY ADOTT
VÁLTOZÓKIÉRTÉKELÉS ESETÉN NÉZI A FORMULA ÉRTÉKÉT
Példa
A formula xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)
A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).
A szabad indivíduum változók: v, w.
Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)},
Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások
Az értéktábla:
(V) (w) (xP(x)) (y(Q(w,y)) P(v) (zQ(w,z))) (xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))
1 1….
h y(Q(1,y))=i
P(1)=i zQ(1,z)=h i mivel a feltételrész hamis ….
Formula Quine táblája
A PRIMKOMPONENSEK ÖSSZES LEHETSÉGES ÉRTÉKÉT NÉZI
Példa
A formula xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)
A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).
A Quine tábla:
xP(x) y(Q(w,y) P(v) zQ(w,z)) xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))
i i i i i
… … … … …
h h h h i
KielégíthetőségDefiníció: Kielégíthetőség
Definíció: Kielégíthetetlenség
Azt mondjuk, hogy G formula, illetve F formulahalmaz kielégíthetetlen (nem kielégíthető), ha L-hez nincs olyan I interpretáció, hogy I= G illetve, hogy I= F.
• Más szóval egy G formula kielégíthetetlen ha minden interpretációban a G értéktáblájának minden sorában G helyettesítési értéke h(amis).
• Az F formulahalmaz kielégíthetetlen, ha az F közös érték táblájában minden sorban van legalább egy eleme F-nek, amelynek a helyettesítési értéke h(amis).
Logikailag igaz formula
Definíció: Logikailag igaz formula
Tautológia, Logikailag igaz
Definíció: Tautológia
Azt mondjuk, hogy egy G formula tautológia, ha G Quine táblájában a prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozzárendelés esetén a formula helyettesítési értéke i.
Jelölés: =0A
TÉTEL:
Definíció: Logikai ekvivalencia
Az A és B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek ha A=B és B=A.
Logikailag igaz, tautológia
Eldöntésprobléma
DEFINICIÓ: Logikai vagy szemantikus következmény
Azt mondjuk, hogy a G formula logikai (szemantikus) következménye az F formulahalmaznak, ha minden olyan I interpretációra amelyre I= F a I= G is fennáll.
Jelölés: F= G.
TÉTEL
F-nek szemantikus következménye G, akkor és csak akkor, ha az F {G} kielégíthetetlen
Eldöntésprobléma: tetszőleges 1.rendű formulahalmazról eldönteni, hogy kielégíthetetlen-e
Eldöntésprobléma megoldás
1. ÉRTÉKTÁBLÁVAL
F= G, ha minden olyan interpretáló struktúrában, ahol az F, G közös értéktáblájában minden olyan sorban, ahol az F elemeinek helyettesítési értéke i(gaz), a G helyettesítési értéke is i(gaz).
2. REZOLÚCIÓVAL
F {G} kielégíthetetlenségének bizonyításával.
AlaprezolúcióAz F1F2...FnG elsőrendű formulát logikailag ekvivalens módon át kell írni elsőrendű klózok konjunkciójává.
Elsőrendű klóz: xy(P(x)Q(x,f(y)) kifejtése U={a,b,c} felett alapklózok konjunkciójává:
(P(a)Q(a,f(a)) (P(a)Q(a,f(b)) (P(a)Q(a,f(c)) (P(b)Q(b,f(a)) (P(b)Q(b,f(b)) (P(b)Q(b,f(c)) (P(c)Q(b,f(a)) (P(c)Q(b,f(b)) (P(c)Q(b,f(c))
Lépések:
1. Prenex alakra hozás
2. Skolem alakra hozás
3. Klózokra bontás (K: Klózhalmaz)
4. A Herbrand univerzum és Bázis: a klózhalmaz alapelőfordulásainak generálása
5. Herbrand tétele alapján pontosan akkor vezethető le az üres klóz, ha K kielégíthetetlen
6. Az alaprezolúció segítségével az üres klóz levezetése
1. Prenex alakra hozás
Definíció: Prenex formula
Egy B=Q1x1Q2x2…QsxsA formulát prenex formulának nevezünk, ha az A formula kvantormentes.
A formula Q1x1Q2x2…Qsxs részét a formula prefixumának, az A részét a formula magjának vagy mátrixának nevezik.
Prenex-konjunktív normálformájú illetve prenex-diszjunktív normálformájú egy prenex formula, ha a magja KNF illetve DNF.
• Megmutatjuk, hogy tetszőleges elsőrendű formula átalakítható prenex formulává.
• Ehhez megadunk néhány, a kvantorokra vonatkozó azonosságot,
• majd egy algoritmust, amely biztosítja tetszőleges formula prenex formulává alakítását az említett azonos átalakítások felhasználásával.
1. Prenex alakra hozásÁltalános De Morgan – szabályok:
1. ¬xA=x¬A
2. ¬xA=x¬A
Kvantorkiemelési szabályok: (A[x] jelentése, x szerepel A-ban)
1. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 2. xA[x]˅B=x(A[x]˅B)
3. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 4. xA[x]˅B=x(A[x]˅B)
5. xA[x]˄xB[x]=x(A[x]˄B[x]), a ˅ műveletre nem áll fenn.
6. xA[x]˅xB[x]=x(A[x]˅B[x]), az ˄ műveletre nem áll fenn.
7. Q1xA[x]˄Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˄B[x/y]) y nem szerepelt
8. Q1xA[x]˅Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˅B[x/y]) a formulában
1. Prenex alakra hozás
Algoritmus tetszőleges formula prenex alakra való átírására
• A formulában szereplő logikai összekötőjelek átírása ¬, ˄, ˅ logikai műveletekre.
• A De Morgan- és az általános De Morgan- szabályok alkalmazása addig, amíg a ¬ hatásköre minden esetben atomi formula nem lesz.
• A kvantorkiemelési szabályok alkalmazása addig, amíg az összes kvantor a formula elé nem kerül.
2. Skolem alakra hozás
Definíció: Skolem – formulának
Egy prenex formulát Skolem – formulának nevezünk, ha a prefixumában csak univerzális kvantorok szerepelnek és a formula magja konjunktív normálformájú.
Megjegyzés: Egy olyan prenex formulához amelyben Qj a legkisebb indexű egzisztenciális kvantor, vagyis a formula alakja x1...xj-
1xjQj+1xj+1…QnxnA=x1…xj-1xjB, konstruálhatunk egy olyan f(x1,x2,…,xj-
1) függvényt, amely az interpretáló struktúrában az (x1,x2,…,xj-1) változók által felvett minden értékkombinációhoz hozzárendel egy értéket azok közül, amelyeket az xj helyébe helyettesítve a B igaz lesz.
Ezt a függvényt Skolem függvénynek nevezzük.
2. Skolem alakra hozásMegadunk egy algoritmust, amellyel tetszőleges prenex formulához meg lehet konstruálni egy vele logikailag ekvivalens Skolem-formulát.
Algoritmus Skolem-formula előállítására.
• A prenex formula legyen Q1x1Q2x2…QsxsA.
• Megkeressük az első egzisztenciális kvantort.
• Ha ilyen nincs, akkor a formula Skolem-formula. Az algoritmus befejeződik.
• Legyen az első egzisztenciális kvantor az j-edik. Válasszunk egy olyan f függvényszimbólumot, amely nem szerepel a nyelvben és jelöljük f(x1,x2,…,xj-1)-el a Skolem függvényt. Az új formulát úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk a x j kvantort és a B-ben elvégezzük az (xj/f(x1,x2,…,xj-1)) helyettesítést.
• A kapott formulával következik az 1. lépés.
Tétel:
Legyen B prenex formula és BSN a B alapján előállított Skolem-formula. A B formula logikailag ekvivalens a BSN formulával.
3. Klózókra bontás
Mivel a Skolem forma magja KNF, ezért könnyen klózokra bontható az ˄ műveletek mentés történő szétvágás segítségével
Példa. A formula:
xyz((P(x,y)→¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – átírás ¬, ˄, ˅-ra
xyz((¬P(x,y)˅¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – prenex-konjunktív forma Skolem-formába való átírása.
z-re Skolem függvény bevezetése:
xy((¬P(x,y)˅¬P(y,x)) ˄ (P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y))))
A kapott elsőrendű klózhalmaz:
K={¬P(x,y)˅¬P(y,x) , P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y)}
4. Herbrand UniverzumEgy adott, elsőrendű klózhalmazhoz egyértelműen hozzárendelhető univerzum konstrukciója J. Herbrand nevéhez fűződik
Definíció: Herbrand-univerzum
• Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.
• Legyen H a K-ban szereplő konstansok halmaza.
• Ha K-ban nincs konstans, akkor H={a}, ahol az a egy fiktív konstans.
• Legyen i=0,1,…-re H=HF, ahol F az összes olyan f(t,t,...,t) termek halmaza, amelyekre az f függvényszimbólum szerepel K-ban és tj Hi, (j=1,2,...,n).
Hi-t a K i-edrendű konstansai halmazának, a H-t a K Herbrand-univerzumának nevezzük.
Megjegyzés: A definícióból következik, hogy H legfeljebb megszámlálható számosságú lehet.
4. Herbrand UniverzumPélda 1.
K={P(x)˅Q(x), R(y), T(z)˅Q(z)}
H0={a}, mivel K-ban nincs konstans.
H0=H1=...=H={a},
H véges számosságú, mivel K-ban nincs függvényszimbólum.
Példa 2.
K={P(a), P(x)˅P(f(x))}
H0={a}, ahol a K-beli egyetlen konstans az a.
H1={a, f(a)}
H2={a, f(a), f(f(a))}
...
H={a, f(a),f(f(a)),f(f(f(a))), ...}
H megszámlálható számoságú.
4. Herbrand Bázis
Definíció: Herbrand-bázis
Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.
A K Herbrand-bázisának nevezzük a K-beli literálokban szereplő atomi formulák H feletti összes alapelőfordulását.
Példa. Legyen K={P(x), Q(f(y))˅R(y)} klózhalmaz.
K Herbrand-univerzuma:
H={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),...}
K Herbrand-bázisa:
{P(a),Q(f(a)),R(a),P(f(a)),Q(f(f(a))),R(f(a)),...}.
5. Herbrand tételeTÉTEL: Herbrand-tétel
Egy K elsőrendű klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetetlen, ha a K klózai alapelőfordulásainak van véges kielégíthetetlen K’ részhalmaza.
Példa 1.
Legyen K={P(x), ¬P(f(a))}. A K kielégíthetetlen, mivel K’={P(f(a)), ¬P(f(a))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.
Példa 2.
A K={¬P(x)˅Q(f(x),x), P(g(b)), ¬Q(y,z)} kielégíthetetlen, mert K’={¬P(g(b))˅Q(f(g(b)), g(b)), P(g(b)), ¬Q(f(g(b)), g(b))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.
Ezek az alapklózok az (x/g(b), y/f(g(b)), z/g(b)) helyettesítéssel álltak elő.
6. Alaprezolúció• A rezolúciós kalkulusra több, a Herbrand-tételeket felhasználó számítógépes
implementáció ismert.
• Az ítéletlogikai rezolúciós kalkulust, valamint az alapklózhalmazon definiált alaprezolúciós kalkulust egyformán lehet végrehajtani.
• Egy elsőrendű K klózhalmazból való rezolúciós levezetés egy olyan
véges k1, k2, ..., kn elsőrendű klózsorozat, ahol minden j=1, 2, ..., n-re
1. vagy kj K2. vagy van olyan 1s,tj, hogy kj a ks, kt klózpár elsőrendű rezolvense.
• Az elsőrendű logikában a probléma abban rejlik, hogy a Herbrand univerzum feletti alapatomok célszerű generálási sorrendjére nincs stratégia, és így a műveletszám becslése lehetetlen.
• A nulladrendű rezolúciós elvben a rezolvensképzés feltétele az volt, hogy két C1, C2 klózban pontosan egy azonos alapú, de ellenkezően negált literál (egy komlemens pár) forduljon elő.
• Azokra a klózokra, amelyek nem tartalmaznak változót, a döntés egyszerű.
• Azonban a változót tartalmazó klózok esetén a helyzet komplikáltabb.
6. Alaprezolúció
Példa
Tekintsük például a következő két klózt:
C1=P(x)˅Q(x)
C2=¬P(f(y))˅R(y)
Látszólag nincs olyan literál C1-ben, amely komplementere lenne a C2 valamelyik literáljának.
Ha viszont előállítjuk a Herbrand-univerzum feletti alapelőfordulástokat,
akkor az x/f(a), y/a helyettesítések mellett előálló P(f(a))˅Q(f(a)),
¬P(f(a))˅R(a) alapklózokban a P(f(a)), ¬P(f(a)) ilyen komplemens pár.
6. AlaprezolúcióPélda alaprezolúcióra
Előállítjuk az első rendű klózok magjainak összes alappéldányát és az alapklózok halmazán ítéletlogikai rezolúcióval levezetjük az üres klózt.
Az elsőrendű klózhalmaz:
{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)}
H univerzum: a, g(a), f(a), g(f(a)), g(g(a)), f(f(a)), f(g(a)), …(A klózhalmaz leíró nyelvének összes alaptermje)
Alapklózok:
alaprezolúció az ítletlogikai megfelelő levezetés
1. Q(g(f(a)), f(a)) u/f(a) 1. X
2. P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a)) x/g(f(a)), y/a 2. YX
3. P(g(f(a))) 3. Y
4. P(g(f(a))) z/f(a), v/ g(f(a)) 4. Y
5. 5.
x y z v u P(x)Q(x,f(y)) P(g(z))P(v) Q(g(u),u)
a a a a a P(a)Q(a,f(a)) P(g(a))P(a) Q(g(a),a)
g(a) a a g(a) a P(g(a))Q(g(a),f(a)) P(g(a))P(g(a)) Q(g(a),a)
g(a) a a g(a) f(a) P(g(a))Q(g(a),f(a)) P(g(a))P(g(a)) Q(g(f(a)), f(a))
g(f(a))
a f(a) g(f(a)) f(a) P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a)) P(g(f(a)))P(g(f(a))) Q(g(f(a)), f(a))
1. Rendű rezolúció
Az elsőrendű rezolúcióban a rezolvens képzésnél az illesztő helyettesítéssel dolgozunk, és az alapján próbáljuk levezetni az üres klózt.
Példa
Elsőrendű rezolúciós levezetés a
{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)} klózhalmazból.
1. P(x)Q(x,f(y)) K
2. Q(g(u),u) K u / f(y), x/g(f(y)),
3. P(g(f(y))) rez(1,2)
4. P(g(z))P(v) K faktorizálás (v/g(z)) z/f(y), )
5.
top related