lógica proposicional
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Lógica Proposicional
Relações semânticas entre conectivos e
formas normais
Conjunto de conectivos completo
Um conjunto de conectivos é qualquer conjunto cujos elementos sejam conectivos (^, v, , , )
Num conjunto completo C, dada uma fórmula H do tipo (P), (PvQ), (P^Q), (PQ) ou (PQ), então é possível determinar uma fórmula G, equivalente, usando apenas os conectivos de C e os símbolos proposicionais de H.
Exemplo de conjunto de conectivos completo {,v} As fórmulas com conectivos {^,,}
são trocadas por equivalências com {,v}
Achar tautologias do tipo (P*Q) F, sendo
* € {^,,} F expressa com {,v}
Equivalência entre ^ e {,v} (P^Q) (Pv Q) é uma tautologia (PQ) e (Pv Q) são equivalentes
Equivalência entre e {,v}
(PQ) (PvQ) é uma tautologia (PQ) e (PvQ) são equivalentes Resultado importante
Olha sob o ponto de vista de interpretação (valoração)
Equivalência entre e {,v}
(P Q) ((P Q)^(Q P)) Substituindo por seu equivalente
(P Q) ((P v Q)^(Q v P)) Substituindo ^ por seu equivalente
(P Q) ((P v Q)v(Q v P)) Está provada a completude de
{,v}
Regra de substituição de subfórmulas
Dadas as fórmulas da lógica proposicional Eg, Eh, G e H onde G é subfórmula de Eg H é subfórmula de Eh e Eh é obtida de Eg substituindo as
ocorrências de G em Eg por H então se G equivale a H, Eg equivale
a Eh
Transformação para o conjunto {,v} Dada uma fórmula E, como obter G
contendo apenas {,v} e.g. E=(P Q)v(R S)
Substituir PQ por ((P v Q)v(Q v P)) E=((P v Q)v(Q v P))v(R S)
Substituir PQ por (Q v P) G=((P v Q)v(Q v P))v(RvS)
G equivale a E!
Conjunto {nand} (P nand Q) = ((P^Q)) {nand} é completo! Demonstração
Se {nand} puder expressar {,v} P equivale a (P nand P) (1) (PvQ) equivale a (P nand Q) Substituindo (1), (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q))
Transformação para o conectivo nand
H=P^(RS) Primeiro, transformar para {,v} Depois transformar para nand,
usando as equivalências P equivale a (P nand P) (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q))
Possível Redefinição da Linguagem da Lógica Proposicional
Alfabeto Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false
true = false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1,
P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v
E com nand???
Formas normais e {,v,^}
Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação
Um bom conjunto completo é {,v,^}
Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos
Forma normal disjuntiva Uma fórmula está na forma normal
disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais
F é da forma F1 v F2 v ... v Fn, onde Fi é uma conjunção (da forma A1
^ A2 ^ ... ^ An ) e Ai é um literal
Ex: H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S)
Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal
conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais
F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma
A1 v A2 v ... v An ) e Ai é um literal
Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)
Obtenção de formas normais
Observe que H e G são parecidos H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S), DNF G=(PvQ) ^ (RvQ vP) ^ (PvS), CNF
Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais Os mesmos, trocando-se T por F
Obtenção de formas normais a partir de tabelas-verdade
H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=TP Q R HT T T T L1F T T T L2F F T T L3 L1=P^Q^R L2=P^Q^R L3=P^Q^R H=L1 v L2 v L3, DNF H=(P^Q^R) v (P^Q^R) v (P^Q^R)
P Q R HT T T TT T F FT F T FT F F FF T T TF T F FF F T T F F F F
Obtenção de formas normais conjuntivas H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=FP Q R HT T F F T F T FT F F FF T F FF F F F H=L1 ^ L2 ^ L3 ^ L4 ^ L5, DNF H=(PvQvR) ^ (PvQvR) ^
(PvQvR) ^ (PvQvR) ^ (PvQvR)
P Q R HT T T TT T F FT F T FT F F FF T T TF T F FF F T T F F F F
Exercícios de obtenção de formas normais
Obter DNF de (P ^Q) R Obter CNF de (P ^Q) R
Algoritmos usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação
PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)
2 -Lei da negação (H) H
2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q
3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)
Exercícios
Obter DNF de (P v Q) R = (PvQ) v R (eliminação de ) = (P ^ (Q)) v R (De Morgan) = (P ^ Q) v R (negação)
Obter CNF de (P^(QR))S
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