lógica de descrição x lógica modal
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Everton Guerra Marques
RoteiroIntrodução à lógica ModalSaul KripkeLógica modal KLógica de Descrição x Lógica modal KConclusãoReferências
Introdução à lógica modalPrincipais contribuidores da lógica modal
Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática.
Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou Semantical Considerations on Modal Logic em 1963, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.
Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica temporal.Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de
lógica dinâmicaArthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e
contribuiu com a lógica intencional.
Introdução à lógica modalA Lógica Modal faz parte da pesquisa atual
em diversas áreas da ciência da computação. Encontram-se algumas aplicações na área de:
Inteligência artificial Representação do conhecimento e dedução
automáticaEspecificação formal de sistemasEngenharia de software e lingüística
computacional.
Introdução à lógica modalA Lógica Modal pode ser encarada como uma
extensão da Lógica Proposicional. Grande parte das lógicas modais teve origem em
uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K.A lógica K leva este nome em homenagem a Saul
Kripke por sua contribuição.A Lógica Modal é bastante utilizada na análise
semântica, visto que as representações dos conectivos modais permitem expressar advérbios, dentre os quais a Lógica Clássica não pode representar.
Introdução à lógica modalUma compreensão da Lógica Modal é
particularmente valiosa na análise formal de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas.
Trata-se da lógica do "é necessário que" (representado por “") e do é "possível que" (representado por “◊”).
Portanto, não considera apenas a veracidade e a falsidade das proposições como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes.
Introdução à lógica modalComo um operador pode ser derivado do
outro, pode-se manter uma representação de apenas um deles e fazer uma transformação na expressão trabalhada sempre que se encontra o outro.
Há algumas variações de lógica modal, dependendo de quais axiomas são incluídos no conjunto de axiomas básicos (da lógica proposicional).
Introdução à lógica modalHá outros operadores lógicos que podem ser
derivados dos já definidos (os quatro da lógica proposicional, mas os dois acima citados).
Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter uma notação padrão, é comum representá-lo por f1 f2 .
A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1 f2 é falsa. Caso contrário é verdadeiro.
Introdução à lógica modalEsta lógica permite analisar não só o que dizem as
coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível.
Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por asserções neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação contra-fatual que não aconteceu, mas poderia ter acontecido.
Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todos os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.
Introdução à lógica modalLógicas modais tratam de modalidades. Além
dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):
Introdução à lógica modalLinguagem das lógicas modais:Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos
proposicionais (P).Linguagem: é menor conjunto que:
então então com então
Introdução à lógica modalAplicações
Solução de problemas de sentenças proposicionais
Análise formal de argumento filosóficoEstudo da inteligência artificial
Saul KripkeSaul Aaron Kripke:
nascido em 1940 em Omaha, Nebraska.É amplamente reconhecido como um dos filósofos
vivos mais importantes. Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem.
Ele é professor emérito em Princeton e professor de filosofia na City University of New York (CUNY).
Boa parte da sua obra é inédita, e circula na forma de gravações de áudio e cópias de manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock em Lógica e Filosofia.
Saul KripkeKripke é conhecido principalmente por quatro
contribuições para a filosofia:uma semântica para a lógica modal e outras
lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha menos de vinte anos de idade;
suas conferências Naming and necessity, proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em 1972 e 1980);
uma interpretação controversa de Wittgenstein;sua teoria da verdade;
Saul KripkeDois dos primeiros trabalhos de Kripke (A
Completeness Theorem in Modal Logic e Considerations on Modal Logic) influenciaram amplamente a lógica modal.
Em Semantical Considerations on Modal Logic, publicado em 1963, Kripke responde a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.
Toda a motivação para a abordagem relativa a mundos era refletir a idéia que objetos existentes em um mundo podem não existir em outro.
Saul KripkeTodavia, se as regras de quantificação padrão são
utilizadas, cada termo deve referir a algo que existe em todos os mundos possíveis.
Isso parece incompatível com nossa prática comum de usar termos para nos referirmos a coisas que existem apenas contigentemente, não necessariamente.
A resposta de Kripke a essa dificuldade foi eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma interpretação relativa a um mundo que preserva as regras clássicas.
Todavia, o custo para a solução do problema foi caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida artificialmente. Segundo, as regras para a lógica modal proposicional devem ser enfraquecidas.
Lógica Modal KGrande parte das lógicas modais teve origem em uma
lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição.
Um modelo de Kripke é uma tripla m = <Wm,Rm,hm> tal que: Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis de m; Rm C Wm x Wm representa a relação de acessibilidade de
m; hm : ν → ρ(Wm) é uma função que estabelece um valor de
verdade arbitrário para cada fórmula atômica da linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas.
Lógica Modal KAxiomatização da Lógica Modal Normal
Mínima (K)Primeiramente definiremos a sintática da
lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:
Axiomas A0) Todas as tautologias clássicas K)
Lógica Modal KRegras de Inferência
Modus Ponens:
Necessitação:
Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado A, não é sempre verdade que
Lógica modal KEstrutura de Krypke
Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R) onde: W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de
mundos possíveis é uma relação binária. Relação de acessibilidade.
Modelo de Krypkeμ = (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente
se: (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva
símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.
Lógica modal K
No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W = {s1;s2; s3; s4; s5} e a relação de acessibilidade é R = {(s1; s2); (s1; s3); (s3; s3); (s3; s4); (s2; s4); (s2; s5);(s4; s1); (s4; s5); (s5; s5)g. O frame é F = (W;R).
Lógica Modal KNo exemplo da figura 2 o frame é o mesmo
da figura 1 e a função V é: V (p) = {s3; s4; s5} V (q) = {s1; s5} V (r) = {s1}
Lógica modal KUma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma
classe Kr de modelos de Kripke. O sistema K é o menor dos sistemas modais
normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios: se trata de um sistema de lógica modal, visto que se
trata de um conjunto de axiomas e regras de inferência que representam formalmente o raciocínio válido;
é fechado para modus ponens e necessitação, isto é, se A é uma tese então A é uma tese;
Lógica modal Kcontém os axiomas K e Df ◊:
K: ((A → B)) →(( A) → ( B));Df◊: (◊ A) ↔ (¬( ¬A));
Uma assinatura é uma família C = {Cn}{n∈N} tal que cada Cn é um conjunto, sendo que Cn ∩ Cm = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto Cn são chamados conectivos n-ários. Em particular, os elementos de C0 são chamados constantes. O domínio de C é o conjunto |C| = ∪{Cn : Cn ∈ N }
Lógica modal KUma assinatura modal é uma assinatura C tal
que C1 = {¬,◊, ,}; C2 = {→,↔,∧,∨}; Cn = ø se n ≠ 1, n ≠ 2.
É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke.
Lógica de Descrição X Lógica Modal KLógica de Descrição
Descende das redes de heranças estruturadasTentou resolver ambigüidades em redes semânticas
e frames que eram herança da falta de uma semântica formal.
Restrição a um pequeno conjunto de operadores “adequadamente epistemológicos” para conceitos definidos (Classes).
Importância de procedimentos de inferência básicos bem definidos.
Primeira implementação: KL-ONE.Primeira aplicação: Processamento de linguagens
naturais. Agora é aplicado em outros domínios.
Lógica de Descrição X Lógica Modal KFamília de formalismos de representação de
conhecimento baseado em lógica apropriada para “representação de” e “explicação sobre”: Conhecimento terminológicoConfiguraçõesOntologiasEsquema de Banco de Dados
Lógica de Descrição X Lógica Modal KSistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura
Lógica de Descrição X Lógica Modal KSistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura
Lógica de Descrição X Lógica Modal KLinguagem de descrição (DL ALC)
Lógica de Descrição X Lógica Modal KUma lógica de descrição (DL ALC)
Comumente caracterizada por um conjunto de construtores que permitem a construção de conceitos e papéis complexos através de itens atômicos
Conceitos correspondem a classes / São interpretados como um conjunto de objetos
Papéis correspondem a relações / São interpretados como relações binárias sobre objetos
Exemplo: Pai feliz em DL ALC
Lógica de Descrição X Lógica Modal KSemântica formal – Baseado em interpretação
assim como em predicados lógicos
Lógica de Descrição X Lógica Modal KSintaxe e Semântica de ALCSemântica dada por significados de uma interpretação
Lógica de Descrição X Lógica Modal KAntigamente, lógicas de descrição não
pareciam ser nada mais do que uma notação para falar sobre conhecimento estruturado.
Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e semântica próprias, modelos e teorias de prova, em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se possível relacionar lógicas de descrição com outras áreas da lógica.
Em particular, a conexão entre lógicas de descrição de um lado e lógicas modais do outro lado receberam atenção especial.
Lógica de Descrição X Lógica Modal KSchild (1991) foi o primeiro a fazer explicitamente a
conexão entre a lógica de descrição e a lógica modal.Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas de
descrição e lógicas dinâmicas proposicionais, que são lógicas desenvolvidas para raciocínio sobre programas.
Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini identificaram a correspondência entre lógicas de descrição e a lógica multi-modal K.
A seguir, segue o mapeamento entre lógica de descrição e a lógica modal K.
Lógica de Descrição X Lógica Modal KMapeamento entre ALC e Lógica Modal K
Lógica de Descrição X Lógica Modal KMapeamento entre ALC e Lógica Modal K
ConclusãoSchild (1991) mostrou que algumas lógicas de
descrição são variantes notacionais de certas lógicas modais.
Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na lógica modal, chamada de versão multi-modal da lógica K.
Atualmente conceitos ALC e fórmulas em multi-modal K podem imediatamente serem traduzidas de uma para outra.
Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e somente se a fórmula K correspondente for satisfatível.
ConclusãoPesquisas sobre a complexidade do problema
da satisfatibilidade para lógicas proposicionais modais foram iniciadas pouco tempo antes da complexidade das lógicas de descrição ser investigada.
Conseqüentemente, essa relação tornou possível pegar emprestado da lógica modal resultados complexos, técnicas de raciocínio e construtores de linguagens que não eram considerados anteriormente em Lógicas de Descrição.
ConclusãoPor outro lado, existem características da lógica
de descrição, que não tiveram contrapartidas na lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias extensões ad hoc das técnicas de raciocínio desenvolvias para a lógica modal.
Em particular, restrições de números, bem como o tratamento de indivíduos no ABox, exigiram tratamentos específicos baseado na idéia de reificação, o que equivale a expressar as extensões através de um tipo especial de axioma dentro da lógica.
ReferênciasWikipédia – Lógica modal
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal
Wikipédia – Saul Kripkehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke
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Modal Logics And Description LogicsRijke, M. Modal Logics And Description Logics.
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An Introduction to Description LogicsNardi, D. ; Branchman, R. An Introduction to
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Baader, F. Nonstandard Inferences in Description Logics. Theoretical Computer Science. RWTH Aachen. Germany.Workshop
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Baader, F.; Cartzen, L. Description logic. E-bookDescription Logics - Basics, Applications, and
MoreHorrocks, I. Description Logics-Basics,
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Tableau Algorithms for Description LogicsBaader, F. Tableau Algorithms for Description
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