lista de exercício - algebra vetorial
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LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 1
CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL
1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o
ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2).
2. Se zyx âââA 235 ++=→
, zyx âââB 64 ++−=→
e yx ââC 28 +=→
, determine os
valores de α e β, tais que →→→
++ CBA βα seja paralelo ao eixo y.
3. Dados os vetores zyx âââT 362 +−=→
e zyx âââS ++=→
2 , determine:
a. A projeção escalar de →
T sobre →
S .
b. O vetor projeção de →
S sobre →
T .
c. O menor ângulo entre →
T e →
S .
4. Calcule os ângulos que o vetor zyx âââH 853 −+=→
faz com os
eixos x, y e z.
5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e
(-1,2,3), respectivamente. Determine:
a. A distância entre P e Q.
b. O vetor distância de P até R.
c. O ângulo entre QP e QR.
d. A área do triângulo PQR.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 2
e. O perímetro do triângulo PQR.
6. Dado zyx âyzyzâyâxA22 +−=
→
, determine:
a. A magnitude de →
A no ponto T(2,-1,3).
b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6
unidades de distância afastado de T e com a mesma
orientação de →
A em T.
c. O vetor posição de S.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 3
CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
1. Se
a. yzxyxzV +−= , expresse V em coordenadas cilíndricas.
b. 222 32 zyxU ++= , expresse U em coordenadas esféricas.
2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e
esférico
a. ( )zyx âyâxâ
zyxF 4
1
222++
++=
→
.
b. ( )zyx zâyâxâ
zyx
yxG ++
++
+=
→
222
22
.
3. Seja zâzâA φρθρ ρ sencos 2+=→
,
a. Transforme →
A para coordenadas retangulares e
determine sua magnitude no ponto (3,-4,0).
b. Transforme →
A para coordenadas esféricas e determine
sua magnitude no ponto (3,-4,0).
4. Dados os vetores zyx âââA 1042 ++=→
e zâââB 35 −+−=→
φρ ,
determine:
a. →→
+ BA em P(0,2,-5).
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 4
b. O ângulo entre →
A e →
B em P.
c. A componente escalar de →
A ao longo de →
B em P.
5. Seja ( )zâzâzâzA
222 cos1 ρφρρ φρ +−−=→
e φθφ ârârB r sen2cos2 +=→
,
calcule em T(-3,4,-1):
a. →
A e →
B .
b. A componente vetorial de →
A ao longo de →
B em T, em
coordenadas cilíndricas.
c. O vetor unitário perpendicular tanto a →
A quanto a →
B
em T, em coordenadas esféricas.
6. Um campo vetorial em um “misto” de variáveis
coordenadas é dado por zyx âx
âyz
âx
G
−++=
→
2
2
21
2cos
ρρρ
φ .
Expresse →
G , de maneira completa, em um sistema esférico.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 5
CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL
1. Dado que yx âyâxH22 +=
→
, calcule ∫→→
⋅L
ldH , considere L ao longo
da curva 2xy = , de (0,0) a (1,1).
2. A temperatura em um auditório é dada por zyxT −+= 22 . Um
mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja
voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais
rápido possível. Em qual orientação ele deve voar?
3. Se 2222 zyyxxzU +−= , calcule
∇⋅∇→→
U .
4. Se ( )zyx âzâyâxF 1222 −++=
→
, encontre ∫→→
⋅S
SdF , onde S é definido
por 2=ρ , 20 << z e πφ 20 ≤≤ .
5. Encontre o fluxo do rotacional do campo
φθ θφθθ âârâr
T r coscossencos1
2++=
→
através do hemisfério 4=r e
0≤z .
6. Se o campo vetorial ( ) ( ) ( )zyx âyxzâzxâzxyT −+−++=
→223 33 γβα é
irrotacional, determine α, β e γ. Encontre →→
⋅∇ T em (2,-1,0).
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 6
CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS
LISTA A
1. Duas cargas pontuais Q1=5mC e Q2=-4mC estão localizadas
nos pontos (3,2,1) e (-4,0,6), respectivamente. Determine a
força sobre Q1.
2. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4,0,-3)
e (2,0,1), respectivamente. Se Q2=4nC, determine Q1 tal
que:
a. O campo →
E em (5,0,6) não tenha componente em z.
b. A força sobre uma carga de teste em (5,0,6) não tenha
componente em x.
3. Seja yx âxxyâE2+=
→
determine:
a. O vetor densidade de fluxo elétrico.
b. A densidade volumétrica de cargas.
4. Dado que <<
=intervalodessefora;0
21;nC/m12 3 ρρρv , determine
→
D em
qualquer ponto.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 7
5. Determine o trabalho realizado ao deslocar uma carga de
5C do ponto P(1,2,-4) até o ponto R(3,-5,6), na presença de
um campo elétrico dado por yzâzâyzâxE 22 ++=→
V/m.
6. Uma carga pontual Q está na origem. Calcule a energia
armazenada na região dada por r>a.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 8
CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS
LISTA B
1. Determine →
E em (5,0,0) devido à distribuição de carga
referida por A na figura 1.
Figura 1
2. Um disco circular de raio a está carregado com uma
distribuição de carga dada por ρ
ρ1
=S C/m². Calcule o
potencial em (0,0,h).
3. A linha x=3 e z=-1 está carregada com 20nC/m, enquanto
o plano x=-2 está carregado com 4nC/m². Determine a
força sobre uma carga pontual de -5mC localizada na
origem.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 9
4. Para uma distribuição esférica de cargas dada por
( )
>
<−=
a
arrav
r;0
;22
0ρρ
a. Determine →
E e V para ar ≥ .
b. Determine →
E e V para ar ≤ .
c. Determine a carga total.
d. Demonstre que →
E é máximo quando r=0,74a.
5. No espaço livre, ( )32 += zyxV V. Determine o vetor campo
elétrico em (3,4,-6).
6. Se φρ sen2 zV = , calcule a energia dentro da região definida
por 41 << ρ , 22 <<− z e 3
0π
φ << .
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 10
CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL
LISTA A
1. A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio
a é de
z
a âeJ
−−→
=
ρ1
10 A/m².
Determine a corrente através da seção reta do condutor.
2. Um condutor de 10m de comprimento consiste de núcleo
de aço de 1,5cm de raio e de uma camada externa de cobre
de 0,5cm de espessura.
a. Determine a resistência do condutor.
b. Se a corrente total no condutor é de 60A, qual a
corrente que flui em cada metal?
c. Determine a resistência de um condutor sólido de
cobre, de comprimento e área de seção reta iguais às
da camada externa. Considere as resistividades do
cobre e do aço iguais a 1,77x10-8 e 11,8x10-8Ωm,
respectivamente.
3. Uma esfera de raio a e constante dielétrica εr tem uma
densidade uniforme de carga de ρo.
a. No centro da esfera, demonstre que
( )126
2
+= r
ro
oaV ε
εε
ρ.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 11
b. Determine o potencial na superfície da esfera.
4. Dado que r
tâe
rJ
41051 −
→
= A/m², em t=0,1ms, determine:
a. A corrente que passa através da superfície r=2m.
b. A densidade de carga ρv nessa superfície.
5. A região 1 (z<0) contém um dielétrico para o qual εr=2,5,
enquanto que a região 2 (z>0) é caracterizada por εr=4.
Considere o vetor campo elétrico na região 1 igual a
(-30,50,70)V/m e determine:
a. O vetor densidade de fluxo elétrico na região 2.
b. O vetor polarização na região 2.
c. O ângulo entre o vetor campo elétrico na região 1 e a
normal à superfície.
6. Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio
5cm, está carregada com uma carga total de 12nC,
uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
a. O valor da densidade de fluxo elétrico sobre a
superfície da esfera.
b. O vetor densidade de fluxo elétrico externo à esfera.
c. A energia total armazenada no campo.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 12
CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL
LISTA B
1. A uma determinada temperatura e pressão, o gás de hélio
contém 5x1025 átomos/m³. Um campo de 10kV/m aplicado
no gás provoca um deslocamento médio de10-18m na
nuvem eletrônica. Determine a constante dielétrica do
hélio.
2. Em uma placa de material dielétrico ε=2,4ε0 e V=300z²V,
determine:
a. O vetor densidade de fluxo elétrico e ρv.
b. O vetor polarização e ρρv.
3. Uma esfera condutora de raio 10cm está centrada na
origem e imersa em um material dielétrico com ε=2,5ε0. Se
a esfera está carregada com uma densidade superficial de
cargas de 4nC/m², determine o vetor campo elétrico em
(-3,4,12)cm.
4. Para um meio anisotrópico
=
z
y
x
z
y
x
E
E
E
D
D
D
411
141
114
obtenha o vetor densidade de fluxo elétrico para:
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 13
a. Vetor campo elétrico igual a (10,10,0) V/m.
b. Vetor campo elétrico igual a (10,20,-30) V/m.
5. O excesso de cargas, em um determinado meio, decai a um
terço de seu valor inicial em 20µs,
a. Se a condutividade do meio é de 10-4S/m, qual é a
constante dielétrica desse meio?
b. Qual é o tempo de relaxação?
c. Após 30µs, qual a fração de carga que ainda
permanece?
6. Duas regiões dielétricas homogêneas 1 ( 4≤ρ cm) e 2
( 4≥ρ cm) têm constantes dielétricas 3,5 e 1,5,
respectivamente. Se zâââD 96122 +−=→
φρ nC/m², calcule:
a. →
1E e →
1D .
b. →
2P e 2vρρ .
c. A densidade de energia em cada região.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 14
CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM
ELETROSTÁTICA
LISTA A
1. No espaço livre, 86 2 += zxyV . Determine →
E e vρ , no ponto
P(1,2,-5).
2. Seja ( )( )nyny DeCenxBnxAV −++= sencos , onde A, B, C e D são
constantes. Demonstre que V satisfaz a equação de
Laplace.
3. Considere as placas condutoras mostradas na figura 1. Se
( ) 00 ==zV e ( ) 50mm2 ==zV V, determine V , →
E e →
D no interior
do dielétrico (εr=1,5) entre as placas e Sρ sobre as placas.
Figura 1
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 15
4. Dois cilindros concêntricos, ρ=2cm e ρ=6cm, são mantidos
a V=60V e V=-20V, respectivamente. Calcule V , →
E e →
D em
ρ=4cm.
5. Duas placas condutoras estão posicionadas em z=-2cm e
z=2cm e são, respectivamente, mantidas nos potenciais 0V
e 200V. Assumindo que as placas estão separadas por
uma camada de polipropileno (εr=2,25), calcule:
a. O potencial em um ponto entre as placas e
eqüidistante delas.
b. As densidades superficiais em cada placa.
6. Uma esfera condutora de raio 2cm está circundada por
uma esfera condutora concêntrica de raio 5cm. Se o
espaço entre as esferas for preenchido com cloreto de sódio
(εr=5,9), calcule a capacitância do sistema.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 16
CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM
ELETROSTÁTICA
LISTA B
1. A região entre x=0 e x=d tem d
dxv
−= 0ρρ . Se ( ) 00 ==xV e
( ) 0VdxV == , encontre:
a. V e →
E .
b. A densidade superficial de cargas em x=0 e x=d.
2. Um certo material ocupa o espaço entre dois blocos
condutores e está localizado em 2±=y cm. Quando
aquecido, o material emite elétrons de forma que essa
região adquire uma carga dada por ( )2150 yv −=ρ µC/m³. Se
ambos os blocos forem mantidos a 30kV, encontre a
distribuição de potencial entre eles. Considere ε=3ε0.
3. Resolva a equação de Laplace para o sistema eletrostático
bidimensional da figura 1 e encontre o potencial ( )yxV , .
Figura 1
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 17
4. Um hemisfério condutor ôco, de raio a, está enterrado com
sua face plana paralela à superfície da terra, servindo
como um eletrodo de aterramento. Se a condutividade da
terra é σ, demonstre que a condutância de perdas entre
eletrodo e terra é 2πaσ.
5. Um capacitor esférico tem um raio interno a e um raio
externo d. Concêntrica com os condutores esféricos e
posicionada entre eles existe uma casca esférica de raio
externo c e raio interno b. Se as regiões d<r<c, c<r<b e
b<r<a são preenchidas com materiais de permissividade ε1,
ε2 e ε3, respectivamente, determine a capacitância do
sistema.
6. Um capacitor esférico tem um raio interno a e um raio
externo b e é preenchido com um dielétrico não
homogêneo, tendo 2
0
r
kεε = . Demonstre que a capacitância do
capacitor é ab
kC
−= 04πε
.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 18
CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS
LISTA A
1. Considere o trecho AB, na figura 1, como parte de um
circuito elétrico. Encontre o vetor campo magnético na
origem devido a AB.
Figura 1
2. Determine o vetor campo magnético no centro C de uma
espira na forma de um triângulo equilátero, de lado 4 m,
percorrido por uma corrente de 5 A, como mostrado na
figura 2.
Figura 2
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 19
3. Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente
de 2 A ao longo de +z. Calcule:
a. O vetor densidade de fluxo magnético em (-3, 4, 7).
b. O fluxo através da espira quadrada descrita por
62 ≤≤ ρ , 40 ≤≤ z e o90=φ .
4. Considere o seguinte campo arbitrário:
( ) ( ) z
x
x âeyâaxyA−
→
++= cos . Determine se o campo pode
representar um campo eletrostático ou magnetostático no
espaço livre.
5. O potencial magnético vetorial devido a dois filamentos de
corrente retilíneos infinitos e paralelos no espaço livre,
percorridos por correntes iguais I e de sentidos contrários,
é zâdI
A
−=
→
ρ
ρ
π
µln
2 onde d é a distância que separa os dois
filamentos (com um dos filamentos disposto sobre o eixo z).
Determine o vetor densidade de fluxo magnético
correspondente.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 20
6. Prove que o potencial magnético escalar em (0, 0, z) devido
à uma espira circular de raio a, mostrada na figura 3, é
+−=
221
2 az
zIVm .
Figura 3
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 21
CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS
LISTA B
1. Um condutor infinitamente longo é dobrado na forma de L,
como mostra a figura 1. Se uma corrente contínua de 5 A
flui no condutor, determine a intensidade do campo
magnético em:
a. (2, 2, 0).
b. (0, 0, 2).
Figura 1
2. Uma espira quadrada condutora de lado 2a está no plano
z=0 e é percorrida por uma corrente I no sentido anti-
horário. Demonstre que no centro da espira zâa
IH
π
2=
→
.
3. Considere a linha de transmissão a dois fios, cuja seção
reta é ilustrada na figura 2. Cada fio tem raio 2 cm e os
fios estão separados de 10 cm. O fio, centrado em (0, 0), é
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 22
percorrido por uma corrente de 5 A, enquanto o outro, que
está centrado em (10 cm, 0), é percorrido pela corrente de
retorno. Determine o vetor campo magnético em (5 cm, 0).
Figura 2
4. Considere o seguinte campo arbitrário: ρρ
âA20
=→
. Determine
se o campo pode representar um campo eletrostático ou
magnetostático no espaço livre.
5. Um condutor infinitamente longo, de raio a, está colocado
de tal modo que seu eixo está ao longo do eixo z. O
potencial magnético vetorial, devido à corrente contínua Io,
que flui ao longo de âz no interior do condutor, é dado por
( ) z
o âyxa
IA
22
024+−=
→
µπ
Wb/m. Determine o vetor campo
magnético correspondente. Confirme seu resultado
utilizando a lei circuital de Ampére.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 23
6. Determine o vetor densidade de corrente para
zâAρ
10=
→
Wb/m no espaço livre.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 24
CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS
LISTA A
1. Um elétron com uma velocidade
u = (3âx + 12ây – 4âz).105 m/s experimenta uma força
líquida nula em um ponto no qual o campo magnético é
B = 10âx + 20ây + 30âz mWb/m². Determine E nesse
ponto.
2. Dado que B = 6xâx - 9yây + 3zâz Wb/m², determine a força
total experimentada pela espira retangular
(sobre o plano z=0) ilustrada na figura 1.
Figura 1
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 25
3. Um condutor de 2 m de comprimento é percorrido por uma
corrente de 3 A e está colocado em paralelo ao eixo z a
uma distância ρo = 10 cm, como mostrado na figura 2. Se o
campo nessa região é de ρ
φâ
3cos Wb/m², quanto trabalho é
necessário para girar o condutor de uma espira em torno
do eixo z ?
Figura 2
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 26
4. Em um certo material, para o qual µ=6,5µo,
H = 10âx + 25ây - 40âz A/m. Determine:
a. A suscetibilidade magnética do material (χm).
b. A densidade de fluxo magnético (B).
c. A magnetização (M).
d. A densidade de energia magnética.
5. A interface 4x – 5z = 0 entre dois meios magnéticos é
percorrida por uma corrente de 35 ây A/m. Se
H1 = 25âx - 30ây + 45âz A/m na região 4x – 5z ≤ 0, onde
µ=5µo, calcule H2 na região 4x – 5z ≥ 0, onde µ=10µo.
6. Quando dois fios idênticos paralelos estão separados de
3 m, a indutância por unidade de comprimento é
2,5 µH/m. Calcule o diâmetro de cada fio.
7. Considere a figura 3. Se a corrente na bobina é 0,5 A,
determine a fmm e a intensidade de campo magnético no
entreferro de ar. Assuma que µ=500µo e que todos os
trechos tenham a mesma área de seção reta igual a
10 cm².
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 27
Figura 3
8. O circuito magnético da figura 4 tem uma bobina de
2000 espiras percorrida por uma corrente igual a 10 A.
Assuma que todos os trechos têm a mesma área de seção
reta de 2 cm² e que o material do núcleo é ferro com
µ=1500µo. Calcule R, ℑ e Ψ para:
a. O núcleo.
b. O entreferro de ar.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 28
Figura 4
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 29
CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS
LISTA B
1. Uma partícula com massa de 1 kg e carga 2 C,
inicialmente em repouso, parte do ponto (2, 3, -4) em uma
região onde E = - 4ây V/m e B = 5âx Wb/m². Determine:
a. A posição da partícula em t=1 s.
b. Sua velocidade e sua energia cinética nessa
posição.
2. Um elemento de corrente de 2 cm de comprimento está
localizado na origem no espaço livre e é percorrido por uma
corrente de 12 mA ao longo de âx. Uma corrente filamentar
de 15âz A está localizada ao longo de x=3 e y=4. Determine
a força sobre o filamento de corrente.
3. Uma linha de transmissão trifásica consiste de três
condutores que são suportados nos pontos A, B e C,
formando um triângulo equilátero, como mostrado na
figura 1. Em determinado instante, tanto o condutor A
quanto o B, são percorridos por uma corrente de 75 A,
enquanto o condutor C é percorrido pela corrente de
retorno de 150 A. Determine a força por metro sobre o
condutor C nesse instante.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 30
Figura 1
4. A intensidade de campo magnético é H = 1200 A/m em um
material quando H é reduzido à 400 A/m, B=1,4 Wb/m².
Calcule a variação na magnetização M.
5. A região 0≤z≤2 m é preenchida com um bloco infinito de
material magnético (µ=2,5µo). Se as superfícies do bloco em
z=0 e z=2, respectivamente, são percorridas por correntes
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 31
de superfície de 30âx A/m e - 40âx A/m, como mostrado na
figura 2, calcule H e B para:
a. z<0.
b. 0<z<2.
c. z>2.
Figura 2
6. O núcleo de um toróide tem 12 cm² de área de seção reta e
é feito de um material com µ=200µo. Se o raio médio do
toróide é 50 cm, calcule o número de espiras necessário
para obter uma indutância de 2,5 H.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 32
7. Considere o circuito magnético ilustrado na figura 3.
Assumindo que o núcleo (µ=1000µo) tem uma seção reta
uniforme de 4 cm², determine a densidade de fluxo no
entreferro de ar.
Figura 3
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 33
RESPOSTAS
• CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL
1. ± (-0,87; -0,35; -0,35).
2. α=-3/2 e β=1/2.
3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o.
4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o.
5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30.
6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89).
• CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
1. φρφφρφρ sencossencos 2 zzV +−= ; ( )[ ]θφφθ 22222 cos3sen2cossen ++= rU .
2.
++ 2222
4,0,
zz ρρ
ρ;
−+ 0,
4sencossen,
4cossen 2
rrθθθθθ ;
++ 22
2
22
3
,0,z
z
z ρ
ρ
ρ
ρ; ( )0,0,sen 22 θr .
3.
++++
2
222222,, yz
zyx
yz
zyx
xz; 0;
( ) ( )[ ]0,sencossenccossen,sencossencossen 222 φθθθθθφθθθθ rosrrr −+ ; 0.
4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79.
5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82).
6. ( ) ( )
+−
−−+−++
θ
θφφφφ
φθθ
φθφθφφθφθ
sen
cossencos2cossen
,cos1sensen
sencos2cosc,cossen1coscossen
2
222
3223os
• CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL
1. 0,67.
2. (0,67; 0,67; -0,33).
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 34
RESPOSTAS
3. ( )222 zx −− .
4. 50,26.
5. 0.
6. 6; 1; 1; -6.
• CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA A
1. (-1,83; -0,52; 1,31) kN.
2. 24,97 nC; -11,64 nC.
3. (ε0xy; ε0x2; 0); ε0y.
4. 0 (ρ<1); ( )
ρ
ρ 14 3 − (1<ρ<2);
ρ
28 (ρ>2).
5. 1050 J.
6. a
Q
0
2
8πε.
• CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA B
1. (4,86; 0,27; 0) MV/m.
2.
+−
+=
h
a
h
haV 1ln
2
1 22
0ε.
3. (-0,59; 0; -0,18).
4. râr
a2
0
5
0
15
2
ε
ρ;
r
a
0
5
0
15
2
ε
ρ; ( ) râra
r 25
0
0 3515
−ε
ρ;
−−−
4206
4422
0
0 arar
ε
ρ;
15
8 5
0aπρ;
Demonstração.
5. (72; 27; -36).
6. 9,44 nJ.
• CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA A
1. 23,11a² A.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 35
RESPOSTAS
2. 0,27 mΩ; 50,35 A e 9,65 A; 0,32 mΩ.
3.
+=
r
aVεε
ρ
2
11
3
2
0
0 ; 2
0
0
3aV
ε
ρ= .
4. 46,23A; 46 µC/m³.
5. (-1,06; 1,77; 1,55) nC/m²; (-0,80; 1,33; 1,16) nC/m²; 39,79o.
6. 12,95 µJ.
• CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA B
1. 1,000184.
2. (0; 0; -12,74) nC/m²; -12,74 nC/m³; (0; 0; -7,43z) nC/m²;
7,43 nC/m³.
3. (-24,71; 32,95; 98,86).
4. ε0(50; 50; 20). ε0(30; 60; -90).
5. 205,70; 18,20µs; 0,1924ρvo.
6. (12, -14, 21) nC/m²; (387,41; -451,98; 677,97) V/m;
(4; -2; 3) nC/m²; 0; 12,61 µJ/m²; 9,83 µJ/m².
• CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA –
LISTA A
1. 5,31x10-10 C/m³; (120, 120, -24) V/m.
2. Demonstração.
3. 25000z V; -25000 V/m zâ ; -331,88 nC/m² zâ ; 331,88 nC/m².
4. 9,53 V; 1,82 kV/m ρâ ; 16,11 nC/m² ρâ .
5. 100V; 100 nC/m²; -100 nC/m².
6. 21,87 pF.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 36
RESPOSTAS
• CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA –
LISTA B
1. xd
d
Vdxx
d
−+
−−
0
00
23
0
0
626 ε
ρ
ε
ρ; xâ
d
d
Vdx
x
d
+−
−
0
00
2
0
0
62 ε
ρ
ε
ρ;
+−−
0
000
6ε
ρε
d
d
V;
+−
0
000
3ε
ρε
d
d
V.
2. ( )38,3094,15662,941 42 ++− yy kV.
3.
−
∑
∞
≠= b
yn
b
yn
b
an
b
xn
b
ann
V
parnn
ππππ
ππ
senhcoshtghsen
tgh
4
1
0 .
4. Demonstração.
5. ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )cdabcdbcbcab
cdbcab
−−+−−+−−
−−−
312132
3214
εεεεεε
εεπε.
6. Demonstração.
• CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA A
1. zâ95,0 H/m.
2. xâ77,1− H/m.
3. a) φâ80 nT; b) 76,1 µWb.
4. Não pode ser nem campo eletrostático e nem magnetostático.
5. ( ) φ
ρπρ
µâ
d
Id
−2.
6. Demonstração.
• CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA B
1. a) zâ18,0 ; b) yx ââ 20,020,0 −− .
2. Demonstração.
3. φâ83,31 .
LISTA DE EXERCÍCIOS
Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 37
RESPOSTAS
4. Pode ser apenas um campo eletrostático para o caso de não haver
densidade de cargas livres ( 0=vρ ).
5. φπ
ρµâ
a
I oo
22.
6. z
o
â3
10
ρµ− .
• CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA A
1. (-44, 13, 6) kV/m.
2. (0, 0, 30) N.
3. -1,56 J.
4. 9,50 mJ/m³.
5. (3,63; -30,00; 15,43) A/m.
6. 22,36 µm.
7. 200 A-espiras; 19,083 kA/m.
8. a) 1151,23 kA-espiras/Wb; 920,98 A-espiras; 0,8 mWb.
b) 23873,24 kA-espiras/Wb; 19098,59 A-espiras; 0,8 mWb.
• CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA B
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
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