lineer cebir jeoloji müh. 2013-2014 baharumm.kocaeli.edu.tr/14_15/bolum4.pdfdeterminant...

Minör nedir?

A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin aij öğesinin minörü denir ve aij öğesinin minörü Mij ile gösterilir.

Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, aij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:

Lin

eer

Ceb

ir -

Arz

u E

rdem

- J

eolo

ji M

uh

.

1

27

.04

.20

14

Minör nedir?

Lin

eer

Ceb

ir -

Arz

u E

rdem

- J

eolo

ji M

uh

.

2

27

.04

.20

14

Minör Örneği

Lin

eer

Ceb

ir -

Arz

u E

rdem

- J

eolo

ji M

uh

.

3

27

.04

.20

14

Kofaktör (Eşçarpan) nedir?

A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin minörü olan Mij nin (-1)i+j ile çarpılmasıyla elde edilen sayıya, aij

öğesinin kofaktörü (eşçarpanı) denir ve aij nin kofaktörü Aij ile gösterilir.

Örnek?

Lin

eer

Ceb

ir -

Arz

u E

rdem

- J

eolo

ji M

uh

.

4

27

.04

.20

14

Determinant nedir?

n ≥2, A = (aij) nxn kare matrisi için, 1 ≤i≤n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalan

olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i. satıra göre açılımı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de hesaplanabilir. 1 ≤j ≤n olmak üzere, j. sütuna göre açılım

Lin

eer

Ceb

ir -

Arz

u E

rdem

- J

eolo

ji M

uh

.

5

27

.04

.20

14

Determinant Örneği (3x3 matris)

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

6

Determinant Örneği (4x4 matris)

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

7

Determinant Örneği (4x4 matris)

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

8

Determinant Örneği (5x5 matris)

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

9

Determinant Örneği (5x5 matris)

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

10

Saruss Kuralı

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

11

Saruss Kuralı

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

12

Saruss Kuralı Örneği

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

13

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

14

A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yer değiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(B) = -det(A) dır.

• Örnek?

• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5

det(A)=1 bulunmuştu

buna göre B =0 3 41 −1 21 1 5

için det(B)=-1 olarak elde ederiz.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

15

A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındaki tüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(B) = r det(A) dır. Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (aij) nxn olmak üzere, det(r A) = 𝑟𝑛det(A)dır. Örnek?

• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5

det(A)=1 bulunmuştu

buna göre B =1 −1 20 6 81 1 5

için det(B)=2 olarak elde ederiz.

C =3 −3 60 9 123 3 15

için det(C)= 33det(A)=27 olarak buluruz.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

16

Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(A) = 0 dır. Örnek?

• 𝐴 =1 −1 21 −1 21 1 5

ise det(A)=0 dır.

B =1 −1 20 6 80 3 4

için det(B)=0 olarak elde ederiz.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

17

Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(A) = 0 dır. Örnek?

• 𝐴 =1 3 20 0 01 4 5

ise det(A)=0 dır.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

18

Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı 𝑟 gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(B) = det(A) dır. Örnek?

• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5

det(A)=1 bulunmuştu. A

matrisinin 1.satırı -1 ile çarpıp 3.satıra eklediğimizde elde

ettiğimiz matris B=1 −1 20 3 40 2 3

olmak üzere

det(B)=det(A)=1 olarak buluruz.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

19

Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir. Örnek?

• 𝐴 =1 −1 20 3 40 0 5

için det(A)=1*3*5=15 dir.

𝐵 =

1 0 0 012 −2 0 03 5 7 04 2 1 −1

için det(B)=1*(-2)*7*(-1)=14 dır.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

20

Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-nantına eşittir. Yani det(A) = det(𝐴𝑡) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun yazıldığında sonuçlar yine doğru olur. Örnek?

• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5

det(A)=1 bulunmuştu.

Buna göre 𝐴𝑡 =1 0 1

−1 3 12 4 5

için det(𝐴𝑡) =1 dir.

Determinant Özellikleri

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

21

A ve B n. mertebeden iki matris ise det(AB) = det(A) det(B) dir. Örnek?

Ek Matris Nedir?

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

22

Ek Matris Örneği

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

23

Regüler-Singüler Matris Nedir?

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(A)In dir.

A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) ≠0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A ya singüler matris denir.

A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regüler matris olmasıdır

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

24

Ters Matrisin Bulunması

𝐴 =1 0 0

−1 4 00 2 3

alt üçgensel matrisi için det(A)=12 dir.

Şimdi sırayla kofaktörlerini bulalım:

,

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

25

𝐴11 = −1 212= 12

𝐴12 = −1 3 −3= 3

𝐴13 = −1 4 −2= −2

𝐴21 = −1 30 = 0

𝐴22 = −1 43 = 3 𝐴23 = −1 52= −2

𝐴31 = −1 40 = 0 𝐴32 = −1 50 = 0 𝐴33 = −1 64 = 4

Ters Matrisin Bulunması

Böylece kofaktörlerinden oluşan matris :

12 3 −20 3 −20 0 4

ve bu matrisin transpozesini alırsak ek matrisi:

𝐴∗ =12 0 03 3 0

−2 −2 4 olarak buluruz. Böylece

𝐴−1 =1

12

12 0 03 3 0

−2 −2 4 olarak buluruz.

,

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

26

Ters Matris Özellikleri

•

,

27

.04

.20

14

Li

nee

r C

ebir

- A

rzu

Erd

em -

Jeo

loji

Mu

h.

27