limites no infinito; assíntotas horizontais
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Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
2 Limites e Derivadas
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2.6 Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Nesta seo vamos tornar x arbitrariamente grande
(positivo ou negativo) e ver o que acontece com y.
Vamos comear pela anlise do comportamento da funo
f definida por
quando x aumenta.
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
A tabela a seguir fornece os valores dessa funo, com
preciso de seis casas decimais, e o grfico de f feito por
um computador est na Figura 1.
Figura 1
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Quanto maior o x, mais prximos de 1 ficam os valores de f
(x). De fato, temos a impresso de que podemos tornar os
valores de f (x) to prximos de 1 quanto quisermos se
tonarmos um x suficientemente grande. Essa situao
expressa simbolicamente escrevendo
.
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Em geral, usamos a notao
para indicar que os valores de f (x) ficam cada vez mais
prximos de L medida que x fica maior.
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Outra notao para f (x) L quando x
As ilustraes geomtricas da Definio 1 esto representadas
na Figura 2.
Exemplos ilustrando
Figura 2
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Observe que existem muitas formas de o grfico de f
aproximar-se da reta y = L (chamada assntota horizontal)
quando olhamos para a extremidade direita de cada
grfico.
Figura 2
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
Com relao ainda Figura 1, vemos que para os valores
negativos de x com grande valor absoluto, os valores de f
(x) esto prximos de 1.
Fazendo x decrescer ilimitadamente para valores
negativos, podemos tornar f (x) to prximo de 1 quanto
quisermos.
Isso expresso escrevendo .
Figura 1
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
A definio geral dada a seguir.
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
A Definio 2 est ilustrada na Figura 3. Observe que o
grfico aproxima-se da reta y = L quando olhamos para a
extremidade esquerda de cada grfico.
Exemplos ilustrando
Figura 3
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
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Exemplo 2
Encontre e
Soluo: Observe que quando x grande, 1/x pequeno.
Por exemplo,
De fato, tomando x grande o bastante, podemos fazer 1/x
to prximo de 0 quanto quisermos.
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Exemplo 2 Soluo
Portanto, conforme a Definio 1, temos
= 0.
Um raciocnio anlogo mostra que, quando x grande em
valor absoluto (porm negativo), 1/x pequeno em valor
absoluto (mas negativo); logo temos tambm
= 0.
continuao
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Exemplo 2 Soluo
Segue que a reta y = 0 (o eixo x) uma assntota
horizontal da curva y = 1/x. (Esta uma hiprbole
equiltera; veja a Figura 6.)
Figura 6
continuao
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Limites no Infinito; Assntotas
Horizontais
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Exemplo 3
Calcule e indique quais propriedade de
limites foro usados em cada etapa.
Soluo:Quando x cresce, o numerador e o denominador
tambm crescem, logo, no fica bvio o que ocorre com a
razo entre eles. Para eliminar essa indeterminao,
precisaremos antes manipular algebricamente a expresso.
Para calcular o limite no infinito de uma funo racional,
primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior
potncia de x que ocorre no denominador. (Podemos
assumir x 0, uma vez que estamos interessados apenas
em valores grandes de x.)
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Exemplo 3 Soluo
Nesse caso a maior potncia de x no denominador x2,
logo temos,
continuao
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Exemplo 3 Soluo continuao
(pela Propriedade Limite 5)
(pelas Propriedades 1, 2 e 3)
(pela Propriedade 7 e
pelo Teorema 5)
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Exemplo 3 Soluo
Um clculo anlogo mostra que o limite quando x
tambm
A Figura 7 ilustra o resultado
destes clculos mostrando
como o grfico da
funo racional dada aproxima-se
da assntota horizontal y =
continuao
Figura 7
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Exemplo 4
Determine as assntotas horizontais e verticais do grfico
da funo
Soluo:Dividindo o numerador e o denominador por x e
usando as propriedades de limites, temos
(pois = x para x > 0)
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Exemplo 4 Soluo
continuao
.
-
23
Exemplo 4 Soluo
Portanto, a reta y = uma assntota horizontal do
grfico de f.
No clculo do limite como x , devemos lembrar que, para x < 0, temos = | x | = x.
continuao
-
24
Exemplo 4 Soluo
Logo, quando dividimos o numerador por x, para x < 0,
obtemos
continuao
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25
Exemplo 4 Soluo
Logo
continuao
.
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Exemplo 4 Soluo
Assim, a reta y = tambm uma assntota horizontal.
Uma assntota vertical deve ocorre quando o denominador,
3x 5, 0, isto , quando Se x estiver prximo de e x > , ento o denominador est prximo de 0, e 3x 5
positivo. O numerador sempre positivo, logo
f (x) positivo. Assim
continuao
.
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Exemplo 4 Soluo
Se estiver prximo de , mas x < , ento 3x 5 < 0, logo f (x) muito grande em valor absoluto (porm negativa).
Assim,
A assntota vertical x = .
Todas as trs assntotas esto
mostradas na Figura 8.
continuao
Figura 8
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Limites Infinitos no Infinito
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29
Limites Infinitos no Infinito
A notao
usada para indicar que os valores de f (x) tornam-se
grandes quanto x se torna grande. Significados anlogos
so dados aos seguintes smbolos:
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Exemplo 9
Encontre e
Soluo: Quando x torna-se grande, x3 tambm fica
grande. Por exemplo,
Na realidade, podemos fazer x3 ficar to grande quanto
quisermos tornar x grande o suficiente. Portanto, podemos
escrever
-
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Exemplo 9 Soluo
Analogamente, quando x muito grande em mdulo,
porm negativo, x3 tambm o . Assim
Essas afirmaes sobre limites tambm podem ser vistas
no grfico de y = x3 da Figura 11.
continuao
Figura 11
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Definies Precisas
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Definies Precisas
Podemos enunciar mais precisamente a Definio 1 da
seguinte forma.
Em palavras, isso diz que os valores de f (x) podem ficar
arbitrariamente prximos de L (dentro de uma distncia , onde qualquer nmero positivo), bastando apenas tomar x suficientemente grande (maior que N, onde N
depende de ).
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Definies Precisas
Graficamente, isso quer dizer que, escolhendo x
suficientemente grande (maior que algum nmero N),
podemos fazer o grfico de f ficar entre duas retas
horizontais dadas y = L e y = L + , como na Figura 14.
Figura 14
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Definies Precisas
Isso deve ser verdadeiro, no importando quo pequeno
seja . A Figura 15 indica que se for escolhido um valor menor de , ento poder ser necessrio um valor maior para N.
Figura 15
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Definies Precisas
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Exemplo 14
Use a Definio 7 para demonstrar que = 0.
Soluo: Dado > 0, queremos encontrar N tal que
se x > N ento
Ao calcular o limite, podemos assumir que x > 0.
Ento, 1/x < x > 1/.
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Exemplo 14 Soluo
Escolhemos N = 1/. Ento
Se ento
Logo, pela Definio 7,
= 0
continuao
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Exemplo 14 Soluo
A Figura 18 ilustra a demonstrao mostrando alguns
valores de e os valores correspondentes de N.
continuao
Figura 18
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Definies Precisas
Finalmente, observamos que pode ser definido um limite
infinito no infinito da forma a seguir. A ilustrao
geomtrica est dada na Figura 19.
Figura 19
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Definies Precisas
Definies anlogas podem ser feitas quando o smbolo
substitudo por
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