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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Equazione di Klein-Gordon e potenziale di Yukawa
Lezione 11
Equazione di Klein-Gordon
• Per preparare lo studio delle proprietà delle interazioni, diamo una breve occhiata ad una generalizzazione relativistica dell’equazione di Schrödinger.
• Equazione di Klein-Gordon – Dalla trattazione relativistica compare un’equazione di continuità
analoga a quella classica – Che permette di intuire la necessità di introdurre anti-particelle:
• conservazione dei numeri quantici barionico ed elettronico
– Cercando soluzioni statiche mostreremo come un potenziale a breve range può essere interpretato con lo scambio di una particella massiva:
– Dal calcolo delle sezioni d’urto si ottengono relazioni per l’intesità relativa delle forze
• Questa discussione è una forma estesa del cap. 9 del Das-Ferbel
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Equazione di Klein-Gordon
• L’equazione di Schrödinger per una particella libera è palesemente non relativisticamente invariante:
• è stata ricavata dala relazione:
• Effettuando la sostituzione operatoriale:
• Per trovare una generalizzazione relativistica, possiamo utilizzare delle relazioni relativistiche: – tetra-vettore energia impulso:
– con l’identità operatoriale
– e la relazione energia momento:
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−!2
2m∇2ψ = i! ∂
∂tψ
E = p2
2m
E = i! ∂∂t, p = −i!∇
( E p )
pν ⇒ i!∂ν = i!∂∂xν
p2 = pν pν = E 2 − p2 = m2
Equazione di Klein-Gordon
• Sostituendo gli operatori nelle relazione energia-impulso, otteniamo l’equazione di Klein-Gordon:
– Cerchiamo soluzione nella forma di onde piane: • N è un coefficiente di normalizzazione
– La condizione che deve soddisfare il tetravettore p è:
– Per un dato valore del momento, esistono due soluzioni:
• soluzioni con energia positiva:
• soluzioni con energia negativa:
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∂2
∂t2φ −∇2φ +m2φ = 0
φ = Ne−ip⋅x
−E 22 +p2 +m2( )φ = 0
E = ± p2 +m2 = ±Ep Ep definita come sempre positiva
φ+ = Ne−iEpt+ip⋅x
φ− = Ne+iEpt+ip⋅x
Corrente di probabilità (Schrödinger)
• Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata:
• Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ* e ψ:
• Sottraendo le due equazioni:
• Da cui si ricava:
• Che si identifica come un’equazione di continuità: • Se identifichiamo la densità: ρ=|ψ|2 • e la densità di corrente: J=(-i/2m)[ψ*∇ψ-ψ∇ψ*]
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i ∂∂tψ +
12m
∇2ψ = 0 −i ∂∂tψ* +
12m
∇2ψ* = 0
iψ* ∂∂tψ +
12m
ψ*∇2ψ = 0 −iψ ∂∂tψ* +
12m
ψ∇2ψ* = 0
iψ* ∂∂tψ + iψ ∂
∂tψ* +
12m
ψ*∇2ψ −12m
ψ∇2ψ* = 0
i ∂∂t
ψ*ψ( )+ 12m
∇ ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( ) = 0
∂∂tψ
2−
i2m
∇ ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( ) = 0∂∂tρ +∇⋅ J = 0
Corrente di probabilità (Schrödinger)
• Nel caso particolare di onde piane:
• La densità:
• La corrente:
• Ovvero:
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ρ = ψ2= N 2
J = − i2m
ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( )
ψ = Ne−i p
2
2mt+ip⋅x
= −i2m
ψ*(ip)ψ −ψ(−ip)ψ*( )
=p2m
ψ*ψ +ψψ*( ) = 2p2m ψ2= v ψ 2
J = vρ = N 2 v
Corrente di probabilità (Klein-Gordon)
• Ripetiamo lo stesso procedimento con l’equazione di Klein-Gordon:
• Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per 𝜙* e 𝜙:
• Sottraendo le due equazioni:
• Da cui si ricava: • Che si identifica anch’essa come un’equazione di continuità:
• e si può esprimere in maniera covariante
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∂∂tρ +∇⋅ J = 0
∂2
∂t2φ −∇2φ +m2φ = 0 ∂2
∂t2φ* −∇2φ* +m2φ* = 0
φ*∂2
∂t2φ −φ*∇2φ +φ*m2φ = 0 φ
∂2
∂t2φ* −φ∇2φ* +φm2φ* = 0
φ*∂2
∂t2φ −φ
∂2
∂t2φ* −φ*∇2φ +φ∇2φ* = 0
∂∂t
φ*∂∂tφ −φ
∂∂tφ*
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−∇ φ*∇φ −φ∇φ*( ) = 0
ρ = i φ* ∂∂tφ −φ
∂∂tφ*
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ J = −i φ*∇φ −φ∇φ*( )
Jν = −i φ*∂νφ −φ∂νφ
*( ) ∂νJν = 0
Corrente di probabilità (Klein-Gordon)
• Nel caso particolare di onde piane:
• La densità:
• Le soluzioni con energia positiva hanno densità: • Le soluzioni con energia negativa hanno densità: • Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ
→ effetto relativistico dovuto alla contrazione del termine di volume • La corrente:
• Le soluzioni con energia positiva: • Le soluzioni con energia negativa:
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φ = Ne−iEt+ip⋅x
ρ = i φ* ∂∂tφ −φ
∂∂tφ*
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = i φ*(−iE)φ −φ(iE)φ*( ) = E φ*φ +φφ*( )
ρ = 2 N 2 Eρ = 2 N 2 Ep > 0ρ = −2 N 2 Ep < 0
J = −i φ*∇φ −φ∇φ*( ) = −i φ*(ip)φ −φ(−ip)φ*( ) = p φ*φ +φφ*( )J = 2p N 2
J = 2pρ / 2Ep = βρJ = −2pρ / 2Ep = −βρ
β = p / Ep
Particelle ed anti-particelle
• Nell’equazione di Klein-Gordon le soluzioni ad energia negativa sorgono perché l’equazione è del secondo ordine nelle derivate temporali.
• Dirac scrisse un’equazione relativisticamente invariante al primo ordine: – descrive i fermioni – particelle con spin 1/2 – anche in tal caso si trovano soluzioni con energie negative
• In una formulazione relativistica della meccanica quantistica, queste soluzioni sono identificabili con le anti-particelle: – la carica conservata – è la differenza tra numero di particelle ed antiparticelle
• L’esistenza di anti-particelle entra a forza nella meccanica quantistica relativistica.
• Esempio: processo di scambio carica: non è possibile distinguere i due processi
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p
-p
Δp p+Δp
-p-Δp -Δp
p
-p
Δp p+Δp
-p-Δp -Δp
p emette un π+ che viene assorbito dal n n emette un π- che viene assorbito dal p
Q = dVρ∫
Particelle ed anti-particelle
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Nobel 1936
• 1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici
Particelle ed anti-particelle
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Nobel 1959
• 1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici • 1955: produzione di anti-protoni in collisioni p-N
Nobel 1936
Particelle ed anti-particelle
• Particelle e rispettive anti-particelle hanno la stessa massa: – entrambe soddisfano l’equazione E2-p2=m2
• e lo stesso spin. • Le altre cariche hanno segno opposto:
– elettrone, q=-1 positrone, q=+1 – protone, q=+1 antiprotone, q=-1
µ=+2.79µN µ=-2.79µN I3=+1/2 I3=-1/2
• ...questo vale anche per particelle neutre: – neutrone, q=0 antineutrone, q=0
µ=-1.91µN µ=+1.91µN I3=-1/2 I3=+1/2
• In alcuni casi, particelle neutre sono le antiparticelle di sè stesse. – tipicamente accade per bosoni – Il caso più notevole è il fotone, γ – per queste non vale una legge di conservazione del numero di particelle
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Particelle ed anti-particelle
• La conservazione del numero totale di particelle – antiparticelle vale individualmente per le singole specie.
• Nel caso di simmetrie interne, come lo spin isotopico, la funzione d’onda ha diverse componenti:
– Le interazioni deboli possono causare spostamenti da una componente all’altra – La legge di conservazione si applica quindi solo alla funzione d’onda globale, non alle
singole componenti. – Conservazione del numero barionico:
• numero di nucleoni – numero di anti-nucleoni • vedremo più avanti che il nome serve ad indicare una classe più ampia di particelle,
i barioni, di cui il nucleone è la particella più leggera • Interazioni forti ed elettromagnetiche conservano separatamente i numeri di n e p
• Stabilità del protone: – conseguenza della conservazione del numero barionico è che il p, essendo il barione più
leggero, è stabile. – il limite inferiore alla vita media del protone è τp>1031 anni
(da confrontarsi con l’età dell’universo 12×109 anni)
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p = 10( ), n = 0
1( )φ x( ) = a x( ) p + b x( ) n = a(x)b(x)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Neutrini ed anti-neutrini
• Abbiamo evidenza che neutrini ed anti-neutrini sono particelle differenti: – In un reattore nucleare, (anti)neutrini vengono prodotti insieme con e-
attraverso decadimenti β-: – questi possono venire osservati tramite la reazione:
• (esperimento di Reines e Cowan) • non si osserva invece:
– Nei processi di fusione, neutrini vengono prodotti insieme con e+
– questi sono stati osservati tramite reazioni del tipo: • (esperimento di Davis) • non si osservano processi analoghi come:
• L’interpretazione è molto simile a quanto fatto per i nucleoni: – dal punto di vista delle interazioni deboli, |e-⟩ e |νe⟩ sono due stati
corrispondenti ad una simmetria interna – isospin debole: I=1/2, |νe⟩ I3=+1/2, |e-⟩ I3=-1/2 – Conservazione del numero elettronico
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(Z,A)→ (Z +1,A)+ e− +νe
νe + p→ e+ + nνe + n→ e− + p
p + p→ d + e+ +νe
νe +37Cl→ 37Ar + e−
νe +37Cl→ 37S+ e+
Decadimenti doppio β
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Z
• Nella formula di Weiszäcker
• Un nucleo con A pari può essere – pari-pari a5 < 0 – dispari-dispari a5 > 0
– ci sono due possibili parabole • I casi del tipo Cd–In-Sn sono molto interessanti
– È possibile un decadimento β doppio
• È di grande interesse la ricerca di decadimenti doppio β senza neutrini
– violazione del numero leptonico – possibile in modelli teorici in cui un neutrino può trasformarsi in un anti-neutrino
• Figura da: Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005
( )( )2 3
3 413
22
1 2 3 4 52, Z A ZB A Z a A a A a a a AAA
--= - + + + ±
ZAX → Z−2
AX + e− + e− +νe +νe
ZAX → Z−1
AX + e− +νe νe → νe νe + Z−1AX → Z−2
AX + e−
Potenziale di Yukawa
• Possiamo anche cercare soluzioni stazionarie dell’equazione di Klein-Gordon:
• Queste possono essere non nulle solo in presenza di una carica sorgente:
• Se andiamo nello spazio delle trasformate di
Fourier,
• l’equazione diventa un’equazione algebrica:
• dovremmo ora calcolare l’anti-trasformata • è più facile notare the la funzione ottenuta è
la trasformata di:
Esattamente quello che facciamo per il campo elettromagnetico: • campo libero:
• campo elettrostatico
• se
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∂∂tφ = 0
∂ν∂νφ = 0
−∇2φ = ρ /ε0ρ = eδ(r)
φ =e
4πε0r
−∇2φ +m2φ =ηδ(r)
!φ(k) = dVeik⋅rφ(r)∫
k2 !φ +m2 !φ =η !φ = ηk2 +m2
φ =ηe−mr
4πr
Potenziale di Yukawa
• L’equazione di Klein-Gordon descrive una particella libera di massa m con un formalismo covariante
• Il potenziale di Yukawa corrisponde alla soluzione dell’equazione di Klein-Gordon in corrispondenza di sorgenti
• Questo porta ad identificare concettualmente le interazione dovute ad un certo potenziale, con la propagazione di particelle tra le sorgenti di quel potenziale:
– range delle interazioni: 1/m – nel limite m=0 si ha la forma del potenziale elettromagnetico:
interazioni a lungo range – predizione dell’esistenza di una particella mediatrice delle
interazioni tra nucleoni: il pione
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φ =ηe−mr
4πr
Intensità delle interazioni
• Finora abbiamo detto che esiste una gerarchia nell’intensità delle interazioni: 1. interazioni forti 2. interazioni elettromagnetiche 3. interazioni deboli 4. interazioni gravitazionali
• Vogliamo ora quantificare meglio questa relazione – Usiamo la regola d’oro per calcolare la sezione d’urto di una particella in un
potenziale di Yukawa – la sezione d’urto dipende:
• dalla costante η • dalla massa m (o dal range 1/m della forza)
– m=0 per interazione elettromagnetiche e gravitazionali • dal momento trasferito q=pi-pf nell’interazione
– I valori di η stabiliscono una gerarchia • interazioni forti ≫ interazioni elettromagnetiche e deboli ≫ gravitazione • la differenza tra interazioni elettromagnetiche e deboli dipende dal range delle
interazioni e diminuisce all’aumentare di q2 • Fenomeno che suggerisce l’unificazione elettro-debole
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V (r) = η e−mr
4πr
Scattering su potenziale fisso
• La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d’oro di Fermi:
• Dove compaiono: – l’elemento di matrice
– Le funzioni d’onda, sono quelle della particella libera, normalizzate sul volume
– con momenti
– la densità di stati finali: (spazio delle fasi)
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P = 2π!
f U i 2 ρ Ef( )
f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫
ρ Ef( ) =dNdE f
=Vpf2dΩ(2π!)3
dpfdE f
ψ r( )∝1Ve−ip⋅r
pi = p 0 0 1( ) p f = p sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ( )
Elemento di matrice su potenziale di Yukawa
• L’elemento di matrice:
• dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=pi-pf
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f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫ = dr 1
Veip f ⋅rη e
−mr
4πre−ipi ⋅r∫ =
η4πV
dr e−mr
re−i!pi−p f( )⋅r∫
q2 = p22 1− cosθ( ) = p2 4sin2θ 2
q = p −sinθ cosϕ −sinθ sinϕ 1− cosθ( )
=η4πV
dr e−mr
re−iq⋅r∫
Elemento di matrice su potenziale di Yukawa
• Per calcolare l’integrale, usiamo le formule:
• L’elemento di matrice diventa:
– per svolgere l’integrale, possiamo scegliere liberamente l’asse z – usiamolo diretto lungo q:
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dxe−αx0
+∞∫ =
1α
f U i = η4πV
dr e−mr
re−iq⋅r∫
f U i = ηV
1m2 + q2
dxe−αxx1
x2∫ =1α
e−αx1 − e−αx2#$ %&
=η4πV
dϕ dcosθ drr2 e−mr
re−iqrcosθ∫ =
2πη4πV
dr re−mr dcosθ e−iqrcosθ−1
1∫0
+∞∫
=η2V
drre−mr 1iqr⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ eiqr − e−iqr⎡⎣ ⎤⎦0
+∞∫
=η2V
1iq⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1m − iq
−1
m + iq⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=η2V
dr 1iq⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ e−(m−iq)r − e−(m+iq)r⎡⎣ ⎤⎦0
+∞∫
=η2V
1iq⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2iqm2 + q2⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥
f U i = ηV
!c( )3
m2c4 + q2c2in unità SI
Termine di spazio delle fasi
• Dalla relazione tra pf ed Ef: (caso non relativistico)
• Ed il termine di densità di stati finali diventa:
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pf = pi = 2ME = 2MEfdpfdE f
=M2E
ρ Ef( ) =dNdE f
=Vpf2dΩ(2π!)3
dpfdE f
=Vpf2dΩ(2π!)3
M2E
=V2MEdΩ(2π!)3
M2E
=VM 2ME(2π!)3
dΩ
M=massa particella incidente (o massa ridotta del sistema)
Sezione d’urto
• La probabilità di transizione per unità di tempo è quindi:
• confrontandola con la definizione di sezione d’urto:
• Troviamo la sezione d’urto differenziale:
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P = 2π!
η2
V 2!c( )6
m2c4 + q2c2( )2VM 2ME(2π!)3
dΩ
P = !c2π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 1V
2EM
η2M 2
m2c2 + q2( )2dΩ
dndt
= IonTdσ
v della particella incidente
Il nostro stato ha una sola particella: dn/dt = P
Una particella, che percorre lo spessore d con velocità vα: produce un’intensità: I0=v/d
Un bersaglio nel volume V: la densità è: nT=1/V
dσ =!c2π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 η2M 2
m2c2 + q2( )2dΩ
Sezione d’urto Coulombiana
• Possiamo confrontare questo risultato con la sezione d’urto classica di Rutherford: – M=mα
– η=Z Zαe2/ε0
– m=0 – q2=(mαvα)24sin2(θ/2)=mαEα8sin2(θ/2)
• Si ottiene esattamente lo stesso risultato:
• Per interazioni tra cariche unitarie:
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dσdΩ
=!c2π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 η2M 2
m2c2 + q2( )2=
ηM!c2πq2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
=ZZαe2mα!c
2πε0mαEα8sin2 θ / 2( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
dσdΩ
=ZZαα!c4Eα
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 1sin4θ 2
=ZZαα!c
Eα 4sin2 θ / 2( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
η =e2
ε0= 4πα ≈ 0.09
Sezione d’urto forte
• Nel caso limite in cui q≪mc – corrisponde ai casi in cui il momento della particella incidente è molto minore di mc
• Studiando le interazioni nucleone-nucleone, avevamo visto che a basso momento:
– a=lunghezza di scattering: • app = -17.1±0.2 fm • ann = -16.6±0.5 fm
• Confrontanto le due relazioni abbiamo:
• Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η – nelle prossime lezioni vedremo che questa particella esiste realmente – il pione, mπ~140 MeV
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dσdΩ
=η2
4π 2M!cm2c2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2=η2
4π 2Mm2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
σ = 4πa2
σ =η2
πMm2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
η = 2πam2
M
η ≈ 10 Il valore esatto dipende dalla scelta del potenziale/
Sezione d’urto debole
• L’ipotesi di Fermi consisteva in pratica ad assumere un mediatore con range 1/m≪1 fm – con le convenzioni utilizzate,
• Ovvero, nel limite di momenti ≪ m
• Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η
– questa particella effettivamente è stata scoperta nel 1982 – il bosone vettore W, mW=80.385 GeV
• L’intensità relativa delle interazioni debole ed elettromagnetica:
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η ≈ 0.07
f U i = ηV
!c( )3
m2c4 + q2c2≈1VGF !c( )3
GF =ηm2
σWσ e.m.
=f VW i 2
f Ve.m. i2 =
ηW4πα
q2
m2 + q2
ηW4πα
q2
m2 << 1 per q2 << m
ηW4πα
~ 1 per q2 >> m
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Interazioni gravitazionali
• Per le interazioni gravitazionali il risultato è immediato: – m=0 – η=4πGNM2
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η = 4πGNM 2 / (!c) = 12 6.67×10−11 (1.67×10−27)2 / (6.6 ×10−34 3×108)
= 11×10−11−54+34−8 = 1.1×10−38
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