la methode des elements finis sous matlab
Post on 28-Oct-2021
22 Views
Preview:
TRANSCRIPT
REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005
DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS
Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur
LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS
MATLAB :
Application au calcul des structures
Présenté par : RALIHALIZARA Julliard Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo
Date de soutenance : 17 Novembre 2006
REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA
Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005
DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS
Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur
LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS
MATLAB :
Application au calcul des structures
Président : Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin
Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo
Examinateurs : Monsieur RABENATOANDRO Martin
Monsieur RAKOTO David
Monsieur RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina
Madame RAVAOHARISOA Lalatiana
REMERCIEMENTS
A cette occasion, nous tenons à adresser nos vifs remerciements à :
- Dieu qui nous a illuminés durant toute la période de réalisation de ce
mémoire ;
- Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin, Directeur de l’école Supérieure Polytechnique d’Antananarivo sans l’aval de qui, ce mémoire n’a jamais été soutenu ; - Monsieur RABENATOANDRO Martin, Maître de conférences à l’Ecole
Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, et Chef du département Bâtiments et
Travaux Publics qui a accepté la tenue de ce mémoire ;
- Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo, Maître de conférences à l’Ecole
Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, qui nous a encadrés durant l’élaboration
de ce mémoire. Il est vrai que les tâches sont moins écrasantes lorsque l’on est
épaulé par un géant comme vous ;
- Tous les honorables membres du jury, qui malgré leurs responsabilités, ont
bien voulu accepter d’examiner ce mémoire ;
- Tous les enseignants de l’Ecole Supérieure Polytechnique, qui ont contribué
à notre formation durant ces cinq dernières années ;
- toute la famille, particulièrement mes deux sœurs qui ne se sont pas
ménagées pour me soutenir ces derniers temps ;
- Tous les amis à la polytechnique, particulièrement ceux du
département télécommunication pour leurs aides généreuses.
NOTATIONS [C] : matrice de rigidité
[E] : le module d’élasticité
F : le vecteur des sollicitations nodales
|J| : Le déterminant du jacobien
[Ke] : la matrice de rigidité élémentaire
[K] : la matrice de rigidité après assemblage
L : longueur des poutres
[N] : la matrice des fonctions d’interpolation
U : énergie de déformation
V : potentiel des forces nodales
W : potentiel de déformation
ui, vi, wi : déplacements nodaux dans les directions de x, y et z
un : le vecteur des déplacements nodaux
δ : opérateur variationnel
ε : le vecteur déformation
σ : le vecteur des contraintes
υ : coefficient de Poisson
Π : la fonctionnelle d’un problème
Sommaire
INTRODUCTION.
Partie I : Théorie de la méthode des éléments fini s
Présentation
Historique
Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis
Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis.
Partie II : Applications aux calculs des structures élastiques
Elément barre à une dimension
Elément poutre dans le plan
Elément poutre dans l’espace
Elément triangulaire
Elément quadrilatéral
Etude des plaques
Elément hexaédrique à huit nœuds
Partie III : Présentation de Matlab
Introduction
Matlab comme outil pour la simulation
Pourquoi Matlab ?
Présentation du programme
Partie IV : Applications
Introduction
Portique spatial
Etude des consoles courtes
Plaque avec ouverture
Hypothèse de la bielle comprimée
Conclusion
Bibliographies
Annexe
INTRODUCTION
La méthode des éléments finis est devenue aujourd’hui une méthode très à la
mode. Elle se prête bien à la programmation sur ordinateur. De ce fait, les
procédures numériques peuvent être rendues automatiques et modulaires. Elle peut
prétendre, pouvoir apporter solutions à des problèmes de physique que l’Homme n’a
pas pu résoudre par les méthodes classiques.
D’une autre part, le monde de l’informatique ne cesse de nous émerveiller par
son évolution fulgurante. Maintenant, le grand public a accès à des ordinateurs de
plus en plus puissants qui peuvent traiter des informations complexes. Les
techniques de programmation suivent aussi cette évolution. Avec la nouvelle
génération de langage de programmation très puissante : le langage orienté objet,
l’art de programmer s’est revêtu d’un aspect nouveau. Parmi eux se trouve Matlab,
qui est reconnu mondialement comme la plus puissante en matière de simulation.
Nous allons créer et développer un environnement de calcul et d’analyse des
structures par la méthode des éléments finis sous Matlab. Il sera enrichi pour être
capable de recevoir des cas de problèmes variés.
Le premier chapitre de cet ouvrage est une présentation de la méthode des
éléments finis. Les bases théoriques ainsi que les outils mathématiques de la
méthode y seront exposés, après un bref historique.
Le deuxième chapitre est une application de la théorie à des modèles
physiques. Les éléments linéaires, planes est enfin les éléments volumiques seront
traités successivement.
Matlab n’apparaît qu’au troisième chapitre. Les points forts de ce logiciel
seront mis en exergues, suivi d’une présentation du programme.
Dans le dernier chapitre, Nous allons voir le programme à l’œuvre pour des
vérifications de quelques théorèmes de la RDM classique. Nous allons prendre
ROBOBAT comme référence pour les résultats numériques.
Chapitre – I:
«««« THEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINIS »»»»
- Présentation
- Concepts mathématiques de la méthode
des éléments finis
- Les outils mathématiques de la méthode
des éléments finis.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
2
I-1. Présentation
La méthode des éléments finis est une approche numérique pour les
problèmes de Physique. Actuellement, l’Homme est souvent conduit à réaliser des
projets de plus en plus audacieux et complexes. Pour des raisons de sécurité et
économiques, il lui est nécessaire de modéliser ses ouvrages le plus fidèlement
possible. Il lui est indispensable de prévoir le comportement réel des systèmes
qu’il étudie. Pourtant, les lois de comportements se traduisent, dans la plupart des
cas, par des équations aux dérivées partielles complexes. La méthode des
éléments finis offre des solutions pour contourner ces genres d’équations.
L’histoire de la méthode des éléments finis n’a commencé que vers les
années 1940. C’était lorsque les ingénieurs en aéronautique américains
cherchaient à obtenir des modèles mathématiques fidèles pour calculer les
fuselages d’avions. Les avions modernes commençaient en cette période, à avoir
des formes de plus en plus complexes. Il était alors impossible de prévoir le
comportement d’une pièce lorsqu’elle est soumise à différentes sollicitations. Le
problème consistait à déterminer la rigidité d’une structure composée de poutres
et de plaques métalliques. Obtenir la rigidité des poutres était une chose facile
mais, ce n’était pas le cas pour les plaques.
En 1941, un ingénieur américain A. Hrennikoff, a proposé d’assimiler les
plaques à un ensemble de plusieurs poutres de rigidité connus. Les résultats
obtenus étaient satisfaisants pour les pièces rectangulaires mais médiocres pour
les autres formes. Alors, en 1956, quatre américains : Turner, Clough, Martin et
Topp, ont présenté ensemble, une méthode pour résoudre le cas des pièces
triangulaires et quadrilatérales.
Parallèlement, l’américain S.Levy (1953) et deux britanniques, J.Argyris et
S.Kalsey (1960) ont perfectionné la méthode d’analyse matricielle des structures
assistée par ordinateur. Ils ont notamment travaillé sur la résolution des systèmes
d’équations linéaires. Il faut dire que sans le développement de l’informatique, la
méthode des éléments finis, aussi efficace soit-elle, n’aurait pas son succès
actuel. Elle conduit toujours à la résolution de systèmes de plusieurs équations
linéaires qui sont difficiles à résoudre sans l’aide d’un ordinateur.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
3
D’un autre côté, l’illustre mathématicien allemand Richard Courant a publié
en 1943, un article qui propose des solutions numériques aux problèmes
variationnels par les méthodes d’approximations de Ritz et Galerkin. Pourtant, il
faut attendre 1965 pour que les conceptions mathématiques de Courant se
transforment en solutions numériques pratiques, plus facilement solvables par
ordinateur. Mieux encore, O.C.Zienkevitch et Y.K.Cheung (1965), ont remarqué
que la méthode peut aussi résoudre d’autres problèmes régis par la même forme
de fonctionnelle que les problèmes d’élasticité. La parution de leur article marque
le début de l’expansion de la méthode des éléments finis vers d’autre domaine
autre que la mécanique des structures. Depuis, la méthode n’a cessé de gagner
du terrain et elle est aujourd’hui considérée comme une méthode d’analyse
standard. La méthode des éléments finis trouve application dans la
thermodynamique, la mécanique des fluides, l’acoustique, la médecine, la
sismologie, et dans bien d’autres.
La suite de cette première partie va nous introduire dans la méthode des
éléments finis proprement dite. Il sera question de la fondation mathématique de
la méthode.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
4
I-2. Concepts mathématiques de la méthode des élém ents finis
Cette partie a pour but de jeter les bases théoriques de la méthode des
éléments finis. Nous allons notamment voir la formulation variationnelle d’un
problème et les méthodes d’approximations.
I-2-1. Relation déformation-déplacement en mécaniqu e du milieu continu
D’après les théories de la mécanique du milieu continu, en considérant les
déformations et les déplacements comme petits, les composants de la matrice de
déformation sont obtenus d’après l’équation matricielle :
[ ]
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
=
w
v
u
XZ
YZ
XY
Z
Y
X
ZX
YZ
XY
Z
Y
X
0
0
0
00
00
00
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε.
Où u, v et w sont les composantes des déplacements dans les directions des axes
X, Y et Z.
I-2-2. Relation contrainte-déformation
Figure 1 : Les composantes des contraintes dans l’espace
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
5
La relation entre contrainte σ et déformation ε s’appelle loi de
comportement. Pour un problème d’élasticité, elle représente la loi de Hooke
généralisée :
[ ] εσ ⋅= D
Où [D] est la matrice des coefficients élastiques.
Pour les contraintes planes nous avons :
[ ]
−
−=
=
γ
ε
ε
ν
τ
σ
σ
ν
νσ
XY
Y
X
XY
Y
X
E
2
100
00
001
21
.
ν : le coefficient de Poisson.
E : module d’élasticité d’young.
Pour les déformations planes :
[ ]
−
−
−
−−=
=
γ
ε
ε
τ
σ
σ
ν
ν
ν
ννσ
Xy
Y
X
XY
Y
X
E
2
2100
010
001
)21)(1(
Nous allons trouver la solution (déplacement-contrainte) de la mécanique
du milieu continu qui est à la fois cinématiquement et statiquement admissible.
Celle qui vérifie les équations de compatibilité des déformations et d’équilibre.
Pour ce faire, nous allons adopter l’approche cinématique.
I-2-3. Approche cinématique
Nous cherchons une formulation énergétique à l’aide du champ de
déplacements. Elle est basée sur le « principe » des travaux virtuels.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
6
Soit un corps solide en équilibre sous l’action des forces de volume )(Mf et
des forces de surface )( pF , dans un champ de déplacements virtuels uδ
cinématiquement admissible. Nous avons la formule :
v v )( )(vv
ddufdupFxu
j
iij
S
M
∂∂
∫∫ ∫ =+ σδσδσ
Figure 2 : Milieu continu
Le premier terme de la dernière équation exprime le travail virtuel des forces
externes. Le deuxième terme est l’expression du travail des forces internes.
Nous pouvons transformer cette relation en admettant l’existence d’un
potentiel de déformation W, tel que :
εσ ∂∂=
ijij
W
Il vient alors, par symétrie du tenseur des contraintes que :
εεεσσ δδ ijij
ijijj
iij dd
xu
Wv v
vvv∫ ∂∫∂
∂∫
∂==
∫∫ ==vv
vW v ddW δδ
Alors la formulation du « principe »du travail virtuel devient :
∫ ∫∫ +==S
dufduFWdvU MP
σ
δσδ v )( )(v
∫=v
v dWU : énergie de déformation.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
7
En élasticité, nous apprenons que l’énergie de déformation U s’obtient par :
U = ∫Ω
dvT 2
1 σε
Or,
][ εσ D=
L’énergie de déformation peut alors, prendre la forme :
U = [ ] ∫Ω
v 2
1dDT εε .
Si nous admettons que les forces de volume et les forces de surface
dérivent des potentiels suivant :
gf −∇=
GF −∇=
D’où :
+−=+ ∫ ∫∫ ∫
v ss
GdgdvduFduf σδσδδ v v
V δ−=
Avec V le potentiel des forces externes.
En introduisant la fonctionnelle énergie potentielle totale ∏ , nous avons
d’après toujours le « principe » des travaux virtuels :
0)VU( =+=∏ δδ
Ainsi, pour un corps solide en équilibre, l’énergie potentielle totale est stationnaire.
Inversement, cette propriété de stationnarité implique que les conditions
d’équilibre sont satisfaites suivant la première variation de l’énergie potentielle
totale.
∫ ∫ ∫∑
⋅−−=∏v v
dudvufWdv ) F ( σδδδδ
D’après l’expression de la variation du potentiel de déformation W :
∫ ∫ −++=∏v s
duPFnpTdufdiv σδδσδ ) )(),((v ).(-
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
8
),( npT est le vecteur des contraintes.
La stationnarité de Π implique que :
0 =+ fdivσ : équation d’équilibre.
0)(),( =− PFnpT : conditions aux limites sur Sσ .
Par ailleurs, nous montrons que la seconde variation de Π ( Πδ 2 ) est
positive.
En résumé, nous avons le théorème de l’énergie potentielle qui est la base
de la méthode des éléments finis en mécanique des structures :
« De toutes les configurations géométriques possibles que puisse
prendre un système, la seule qui est probable et qu i vérifie l’équilibre, c’est
celle qui minimise la valeur de l’énergie potentiel le totale Π .»
En termes de calcul variationnel (Cf. Annexe) nous pouvons dire que les
équations d’équilibre appelées équations d’Euler avec condition aux limites sont le
problème d’extremum de la fonctionnelle énergie potentielle totale Π suivant :
∫ ∫∫ −−=Πv s
)( σ
σδ dupFdvufWdv
Avec uu = sur Su.
I-2-4. Méthodes d’approximations de Ritz
Lorsqu’une forme variationnelle d’un problème existe (c’est-à-dire
que la fonctionnelle Π existe), une solution peut être obtenue en choisissant une
fonction u(x) qui va minimiser la fonctionnelle. u(x) comporte des coefficients
arbitraires que nous pouvons ensuite ajuster.
Par exemple, si nous prenons comme fonction d’essai
u(x) = ∑=
⋅n
iii xc
1)( ϕ
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
9
Où
ci : les coefficients inconnus.
ϕ i : fonctions tel que u(x) est cinématiquement admissible.
Les constantes sont déterminées en cherchant l’extremum de la
fonctionnelle par rapport à chacune d’elles, c’est-à-dire :
01
=Π∂∂c
, 02
=Π∂∂c
,…………, 0=Π∂∂cn
Retenons que u(x) est une solution approximative. Une minimisation de la
fonctionnelle donnera une solution qui va satisfaire l’équation différentielle dans
toute la région.
I-2-5. Méthode des Résidus pondérés : Méthode de Ga lerkin
La méthode des résidus pondérés est une alternative à la méthode
variationnelle. Lorsque la fonctionnelle n’existe pas, nous adoptons cette méthode.
Nous allons présenter dans ce paragraphe les principes généraux de celle-ci.
Soit un opérateur différentiel D qui transforme une fonction inconnue u en
une fonction p :
D(u) = p.
La solution générale de cette équation serait une fonction qui satisfait
l’équation différentielle sur tout le domaine ainsi que sur la frontière.
Nous allons chercher une solution u(x) solution de cette équation
différentielle. Elle doit vérifier l’équation différentielle aux frontières mais pas
nécessairement dans le domaine d’intégration : c ‘est le principe de la méthode
des résidus pondérés.
La méthode des résidus pondérés implique la « création » d’une fonction
solution approximative qui satisfait les conditions aux limites : la fonction de base.
Elle comporte des paramètres ajustables an , initialement inconnus, que nous
pouvons modifier pour minimiser les erreurs dans le domaine d’intégration.
Une fonction de base a la forme suivante :
u(x) = )(xGa ii∑ i = 1,2,…..,n.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
10
Où
=
a
a
a
GGG
n
nxu
...
...)(2
1
21
aG nxxu )( =
- Les ai sont des coefficients ajustables.
- Gi : des fonctions connues linéairement indépendantes.
- n est le nombre de coefficients.
Nous pouvons aussi utiliser l’approximation nodale telle que :
=
u
u
u
NNN
n
nxu
...
...)(2
1
21
unNxu )( =
Les paramètres ui sont les valeurs exactes de u(x) aux points xi. Ils sont aussi
appelés variables nodales.
Les fonctions N(x) sont les fonctions d’interpolation déterminées par :
[ ]GG nxxN 1 )( −=
Tel que :
[ ] aGu nnn =
L’erreur commise lors de l’approximation ou résidu est la différence :
E(x) = D(u) – p
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
11
La méthode des résidus pondérés requiert que l’intégrale du produit de
l’erreur avec une certaine fonction appelée fonction poids W soit égale à zéro.
∫ =x
ii
dxxEW 0 )( , i = 1,2,…..,n.
Nous remarquons que le nombre de fonctions poids est égal au nombre de
coefficients ai. Si les fonctions poids sont judicieusement choisies, nous
aboutissons à n équations avec n inconnues dont les solutions sont les
coefficients ai.
Selon les fonctions poids utilisées, la méthode des résidus pondérés se
subdivise encore en :
- Méthode de collocation :
Cette méthode utilise une famille de fonction de Dirac : les fonctions delta,
comme fonction poids.
( ) 0 =∫ − dxExxxi
iδ i = 1,2,…..,n.
Cette méthode permet de forcer le résidu à être nul pour certains points de
la région.
- La méthode des sous-régions :
La fonction poids est égale à l’unité ;
∫ =xi
dxxE 0 )( , i = 1,2,…..,n.
- La méthode de moindre carrés
La fonction poids Wi = aE
i∂∂ , i = 1,2,…..,n.
Donc,
∫ =∂∂
xi
dxEai
02 .
- La méthode de Galerkin
La fonction poids serait :
Wi = au
i∂∂ = Gi, i = 1,2,…..,n.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
12
Donc,
∫ =x
ii
dxxEG 0)( , i = 1,2,…..,n.
I-2-6. Concept de discrétisation
Les deux derniers paragraphes ont montré comment trouver la fonction de
déplacement u(x) par la formulation variationnelle, après minimisation de la
fonctionnelle. L’idée est assez simple mais pour les problèmes réels, la chance de
trouver une fonction qui va vérifier l’équation différentielle sur tout le domaine
d’intégration est plutôt mince.
Comme alternative à la modélisation de la région en entière avec une seule
et complexe fonction, la méthode des éléments finis propose de subdiviser la
région en plusieurs éléments. Pour chaque subdivision, la fonction de
déplacement s’écrit d’une manière plus simple ; C’est le principe de la
discrétisation.
I-2-7. Milieux continus discrets
Dans le cadre de la méthode des éléments finis, nous étudions un modèle
discret du domaine continu. Il est subdivisé en sous-régions de forme géométrique
simple appelés « éléments finis ». Les subdivisions sont interconnectées en des
points remarquables appelés « nœuds ».
De plus, nous définissons dans chaque élément une approximation nodale
adéquate de la solution, uniquement en fonction des valeurs nodales attachées à
l’élément Ve considéré.
=
u
u
u
NNN
n
n xxxxu
...
)(...)()()(2
1
21
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
13
uenNxu )( =
Nous pouvons classer les différents types d’éléments suivant leur
géométrie :
1. Les éléments unidimensionnels (1D) : barres, poutres.
2. Les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane,
plaque en flexion, coques.
3. Les éléments tridimensionnels (3D).
Figure 3 : Système discrétisé en éléments finis
L’énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles
élémentaires.
∑ Π=
=ΠN
e
e
1
N : nombre total d’éléments.
Sa variation est :
01
==Π ∑ Π=
N
e
eδδ
En élasticité, la variation de l’énergie potentielle pour un élément de volume V e
est:
dvFudvfudv efee
SVV
e [D] >∂<−>∂<−>∂<=∂ ∫∫∫ εεπ
Soit sous la forme discrétisée :
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
14
−>∂<−>∂=<∂ ∫ ∫∫e e
fe V S
en
en
V
Tee dFNdvfNuVdvBDBu σπ ][ ][][
Où,
- efS est la surface frontière appartenant à l’élément Ve
- [B] est tel que :
en
en
uB
ux
N
N
x
u
u
][
....
....
....
....
=
∂∂
><
=
∂∂
En posant
- [ ] v ][ ][ ][v
dBDKe
B Te∫= : La matrice de rigidité élémentaire.
- σdFNdvfNFef
e SV
e ∫∫ −= : Le vecteur élémentaire des
sollicitations. Nous avons l’expression matricielle de eπ discrétisée qui est
la formule de la méthode des éléments finis.
[ ] ( ) een
een
e FuKu −>∂<=π
Nous obtenons la même forme de We discrétisée si la fonctionnelle n’existait
pas. Mais en calcul des structures, nous pouvons l’avoir directement après
discrétisation et à l’aide du « principe » des travaux virtuels.
I-2-8. Principe d’assemblage
L’assemblage de ces divers éléments se déduit,
- Soit de la stationnarité de l’énergie potentielle totale globale :
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
15
01
=∂=∂ ∑=
N
e
eππ ,
- Soit de la forme intégrale globale :
01
== ∑=
N
e
ewW ,
- Soit de l’équilibre de chaque nœud avec continuité des déplacements en
calcul des structures.
Ainsi l’opération consiste à construire la matrice globale [K] et le vecteur
global des sollicitations [F] à partir des matrices éléments [Ke ] et Fe par
expansion de ces matrices élémentaires. Par suite nous avons :
[K] un = F
- [ ] ][1
∑=
=N
eeKK : Matrice globale de rigidité
-
1
∑=
=N
e
eFF : Vecteur global des sollicitations
- un : Vecteur global des variables nodales du problème
Avec le principe d’assemblage, nous terminons cette partie concept
mathématique de la méthode des éléments finis. La partie suivante concerne les
outils mathématiques utilisés par la méthode.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
16
I-3. Les outils mathématiques de la méthode des élé ments finis
Dans ce paragraphe, nous allons voir les éléments mathématiques qui vont
essentiellement avec la méthode des éléments finis. Ce sont des outils
mathématiques qui complètent la théorie.
I-3-1. Systèmes de référence :
Nous avons à utiliser trois types de systèmes de référence :
– Le système de référence global :
C’est le repère le plus courant. Il est constitué par un système d’axes fixes.
L’unité de mesure est l’unité de longueur. Tout point du système a ses
coordonnées par rapport à ce repère ( les coordonnées globales).
– Le système de référence local :
C’est le repère attaché au système, l’orientation des axes dépend du
mouvement du système. L’unité de mesure est encore l’unité de longueur.
Figure 4 : Système de coordonnées locales et globales
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
17
– Le système de référence naturel ou intrinsèque
C’est une manière de repérer les points indépendamment de la taille ni de
la forme du système considéré.
Un point A d’un triangle sera repéré à partir des trois côtés ( côté 1, 2 et 3)
de celui-ci. Le point A aura trois coordonnées L1, L2, L3. Les coordonnées
naturelles peuvent être considérées comme le quotient des surfaces intérieures
issues du point A et la surface totale du triangle.
Si S est l’aire totale du triangle et, S1, S2, S3 les surfaces des domaines
montrés par la figure 5, nous avons comme coordonnées du point A :
L1 = SS1 , L2 =
SS 2 et L3 =
SS3 .
Par exemple, les coordonnées de chacun des sommets du triangle sont :
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
Figure 5 : Repère naturel pour le triangle
Une autre manière de concevoir le système de coordonnées naturel, pour
un triangle, c’est de raisonner en distance. Prenons, par exemple le côté n°1, il
sera l’origine des L1, (tous les points appartenant à ce côté auront comme L1 égale
à zéro). Ensuite, le sommet opposé à elle aura pour coordonnée L1 égale à l’unité.
Les points intermédiaires sont donc à une fraction de l’unité, à partir du côté 1
(Figure 6). Ainsi de suite pour les deux autres coordonnées (L2, et L3).
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
18
Figure 6 : Repère naturel pour le triangle
Nous constatons alors qu’en système de référence naturel, les
coordonnées d’un point ne dépassent jamais l’unité. Et, la somme des
coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à l’unité. Autrement
dit, les coordonnées appartiennent toujours dans l’intervalle [-1 , 1]. Ceci rend ce
mode repérage très intéressant pour la méthode des éléments finis. Plus tard,
nous allons voir que les calculs des matrices de rigidité impliqueront des
intégrations dans une certaine région. Les calculs sont nettement faciles lorsque
les intégrations se font de –1 à +1. Des méthodes d’approximations numériques
existent pour calculer ces genres d’intégrales. .
I-3-2. Eléments de référence
Dans le calcul de la matrice de rigidité élémentaire [Ke ], il est judicieux de
faire ce calcul sur un élément de référence invariable Vo au lieu de Ve .
La transformation qui fait passer de l’élément Vo à l’élément Ve est définie par :
( ) ( ),...,, 0 kjio xxxMx
rrrr →π
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
19
Explicitement,
><=
><=
><=
→
k
j
k
j
k
j
z
z
z
tsrNz
y
y
y
tsrNy
x
x
x
tsrNx
t
s
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
),,(
),,(
),,(
Où,
- ( ),...,, kji xxxrrr
sont les coordonnés des nœuds de l’élément Ve.
- (r, s, t) sont les coordonnées locales liées à l’élément
- Les fonctions N sont les fonctions de transformation géométrique.
Si les fonctions N sont identiques ( N =N), alors les éléments sont dits
isoparamétriques. Dans ce cas le calcul intégral fait intervenir le jacobien [J] de la
transformation.
[ ] ><
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= zyx
t
s
r
t
z
t
z
t
z
s
y
s
y
s
y
r
x
r
x
r
x
,,J
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
20
[ ]
=
∂∂
∂∂
∂∂
= zyx nnn
t
N
s
N
r
N
J
La dérivée par rapport à x ( x∂ ) est liée à la dérivée par rapport à 0x ( 0x∂ )
par la relation :
Avec
[j] =[J]-1
tout ceci se résume par l’organisation des calculs de N, [J] et [Ke ] suivante :
[ ] 0 j xx ∂=∂
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
21
I-3-3. Transformation de coordonnées Dans les calculs en éléments finis, il est préférable d’exprimer la matrice de
rigidité dans le système de coordonnées locales (X, Y). Dans le cas d’éléments
linéaires (poutres) les expressions de [Ke] (la matrice de rigidité) se font à partir
des transformations de coordonnées.
Soit [P] la matrice de passage du repère local (X,Y) au repère global (x, y) ;
[P] =
−
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
αα
αα
Figure 7 : Repère local (X, Y) et repère global (x, y) pour une barre
Alors les variables nodales se transforment de la façon suivante :
uu nn P ][=
Et la matrice de rigidité en :
=
KK
KKK e
2221
1211
dont
• PKPTK 11 11 =
• Les autres sous-matrices sont de la même forme
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
22
I-3-4. Formules d’intégrations numériques :
Pour calculer les matrices de rigidité des éléments, nous sommes
conduits à évaluer des intégrales le long d’une ligne ou à travers une surface ou
encore dans un volume. Dans le cas d’une ligne, les fonctions sont facilement
intégrables, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres. Nous allons donc évaluer
les intégrales numériquement. Pour ce faire, nous allons utiliser des formules
d’intégration de Gauss.
Le but est d’évaluer une intégrale définie, sans faire l’intégration et avec un
minimum d’erreur.
Soit l’intégrale dxxfI )(11∫= +
− .
• Dans le cas où f(x) est une fonction linéaire ( de la forme ax + b).
Figure 8 : Intégrale d’une fonction linéaire
L’intégrale peut s’évaluer exactement par :
+−=2
)1()1( 2
ffI
C’est le produit de la valeur moyenne de la fonction entre +1 et -1 avec la largeur
de l'intervalle d’intégration.
babaffI +++−=+−= )1()1(
bI 2=
Nous pouvons dire alors que l’intégrale est égale à la somme de certaines
constantes multipliées par une valeur particulière de la fonction :
)()( 2211 xwxw ffI +=
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
23
Les facteurs wi représentent ce que nous appelons « facteurs poids »
• Dans le cas d’une fonction du troisième degré, les facteurs poids et
les points particuliers sont solution du système d’équation suivant :
=+
=+
=+
=−+
0
3
2
0
02
322
311
222
211
2211
21
xWxW
xWxW
WxWx
WW
Elles sont :
121 == WW
3
121 −=−= xx
Dorénavant, nous n’avons plus à faire l’intégration pour calculer l’intégrale
d’une fonction cubique, il suffit d’utiliser la formule :
)()( 2211 xWxWI ffa +=
Avec les valeurs de x1, x2,W1, et W2 déjà obtenues.
NOTES
- Pour les polynômes du deuxième degré, les résultats sont identiques à
ceux obtenus pour les polynômes du troisième degré.
- Le principe reste le même pour les polynômes de degré supérieur.
- Cette formule de Gauss ne marche plus lorsque les bornes d’intégration
ne sont plus –1 et +1.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
24
I-3-5. Changement de variable d’intégration : le J acobien
Le calcul d’intégrale avec changement de variable d’intégration s’écrit :
I = ∫∫ ∫∫∫=v v
dtdsdrJtsrgdzdydxzyxf0
),,( ),,(
|J | est le jacobien.
I-3-6. Matrices creuses, matrices bandes et matrice s symétriques :
Lors des manipulations des matrices de rigidité par la méthode des
éléments finis, nous allons remarquer que :
Ces matrices de rigidité sont des matrices creuses c’est-à-dire qu’elles
contiennent plusieurs éléments nuls.
Les matrices de rigidité sont des matrices bandes : les éléments qui se
trouvent loin de la diagonale sont nuls.
Enfin les matrices sont symétriques.
Nous allons tirer avantage de ces trois caractéristiques pour optimiser notre
programme. Plus la taille d’une matrice est grande, plus il va occuper de l’espace
mémoire et, plus le temps de traitement sera long. Pour rendre les matrices de
rigidité moins encombrantes;
1. Nous n’allons enregistrer que leur moitié, l’autre moitié s’obtiendra par
symétrie. Les matrices ne seront remplies que lorsqu’elles sont utiles pour
un calcul.
2. Nous n’allons stocker que les éléments non nuls des matrices.
Les effets de ces techniques peuvent paraître minimes pour les matrices de
petite taille. Mais les différences commenceront à se sentir lorsque nous sommes
en train de manipuler des matrices de grande taille, qui sont fréquentes dans la
méthode des éléments finis.
Enfin, notons aussi que plus la somme des numéros des nœuds pour un
élément est grande, plus les éléments de la matrice de rigidité sont dispersés. Une
matrice est dispersée lorsque des éléments non nuls apparaissent loin du
diagonal. Ceci augmente aussi le temps de traitement des matrices. Les deux
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
25
solutions sus-citées vont nous éviter ce genre de problème. Plus tard nous allons
aussi voir qu’il est possible de réorganiser ces types de matrices en rendant les
éléments plus proches du diagonal.
I-3-7. Classification des traitements
Nous pouvons traiter les problèmes de calcul de structure par analyse
statique et analyse dynamique. Les problèmes statiques consistent à déterminer
les déplacements et contraintes sur l’impulsion de charges statiques ou à variation
lente. Pour les structures à comportement linéaire, nous nous ramenons à la
résolution du système linéaire :
[K] un = F
Pour les structures non linéaires, nous appliquons les méthodes incrémentales
avec itération ou non.
Par ailleurs, les problèmes dynamiques se ramènent :
• Soit à la recherche des modes propres de vibration, c'est-à-dire à
un problème aux valeurs propres.
[ ] [ ][ ] 0 =− UMK λ
Où,
[M] : la matrice de masse,
λ : mode propre de vibration.
• Soit à la détermination de la réponse dynamique en résolvant
l’équation :
[ ] [ ] [ ] [ ])(tFUKUCUM nnn =++ &&&
Où [C] est la matrice d’amortissement par la méthode de superposition modale,
ou la méthode d’intégration directe pas à pas.
Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP
ESPA . 2004-2005
26
I-3-8. Condition de convergence de la solution
La méthode des éléments finis fournit une solution approchée qui converge
vers la solution exacte lorsque la taille des éléments diminue.
Les erreurs tendent vers zéro en tout point du milieu (V), ainsi que sur les
frontières si ;
1. Les erreurs sur u(x) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n tendent
vers zéro. Condition satisfaite si l’approximation de u contient un
polynôme complet d’ordre n.
2. u(x) est continue sur les frontières entre éléments, ainsi que ses
dérivées.
Et nous pouvons écrire :
∑= WeW
Dans le cas où les conditions de continuité sur les frontières entre éléments
ne seraient pas satisfaites, nous avons :
WWeW d+∑=
Wd est un terme dû aux discontinuités entre éléments. Il faut alors vérifier
que les discontinuités n’empêchent pas les erreurs de tendre vers zéro. La
technique du « pach test » permet de s’assurer que Wd est nul.
Nous montrons que les erreurs commises pour un élément linéaire sont :
)'
( 8
2
xMaxu ulu ex
ex ∂∂
≤−
)'
( 2 x
Maxxx
u ulu exex
∂∂
≤∂
∂−
∂∂
l est la dimension maximale de l’élément.
Nous avons terminé avec cette première partie mathématique de la
méthode des éléments finis. Le chapitre suivant nous emmènera vers des
applications sur des systèmes physiques de ces théories
.
Chapitre – II :
« APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES
ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES
SSSSTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUES »
- Elément barre à une dimension
- Elément poutres dans le plan
- Elément poutre dans l’espace
- Elément triangulaire
- Elément quadrilatéral
- Etude des plaques
- Eléments hexaédriques à huit nœuds
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 28
II-1. Elément barre à une dimension
Ce deuxième chapitre est une application de la théorie de la méthode des
éléments finis au calcul des structures. Sachant que nous pouvons prendre en
compte différents types de loi de comportement des matériaux, nous allons nous
limiter, pour notre étude, dans le domaine élastique.
Pour cette première application, nous allons étudier le cas d’une barre
élastique à une dimension. La barre subit des sollicitations et des déformations
seulement suivant l’axe des s (repère intrinsèque ou naturel).
Figure 9 : Forces nodales et déplacements nodaux pour la barre (avec leur sens positif)
F i et F j sont les sollicitations extérieures appliquées aux nœuds i et j,
ui ,uj sont les déplacements des nœuds.
II-1-1- fonction de déplacement.
La raison de la discrétisation de la région en plusieurs petits éléments c’est
de pouvoir utiliser des fonctions de déplacement simples pour chaque élément.
Nous évitons le cas d’une solution unique mais complexe, sur toute la région.
Nous remarquons que seule la dérivée première de la fonction de
déplacement existe dans le fonctionnel pour les problèmes d’élasticité. Et la
solution doit satisfaire la continuité des déplacements. Nous pouvons donc utiliser
une fonction qui possède une première dérivée continue.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 29
Le cas le plus simple de fonction qui satisfait ces conditions est la fonction
linéaire.
Figure 10 : Repère local pour la barre
La fonction de déplacement est donc de la forme (dans le repère local) :
u(X) = a + b X
Les conditions aux limites donnent ( pour les nœuds i et j)
ui = a
uj = a + bL
Nous obtenons alors l’approximation nodale des déplacements,
=
u
u
NN
j
i
Xu )( 21
uenNXu )( =
II-1-2- Calcul du déplacement et de l’énergie de dé placement.
D’après la définition de la déformation, nous avons pour le cas de la barre :
dX
duX =ε
L’expression de la déformation devient :
udNdN e
nX dXdX 21=ε
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 30
Avec,
- L
XXN
jX
−=)(1
- L
X XN iX
−=)(2
D’où,
[ ]
−=
u
u
j
X L
i
11 1
ε
= [ ] uenB
Maintenant, nous allons utiliser la formule de l’énergie de déformation :
Ue = X
X
dEA
2 XX εε∫
Après avoir fait le calcul matriciel et l’intégration, ce terme devient :
Ue =
−
−
u
u
uu
j
i
jiL
EA
11
11
2
Ue = [ ] uKu eT 2
1
Tel que
[Ke] =
−
−
11
11
L
EA.
II-1-3- Calcul des énergies potentielles des forces extérieures.
L’énergie potentielle des forces nodales est le produit des forces avec leur
déplacement respectif.
Nœud i : Vi = - Fi ui
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 31
Nœud j : Vj = - Fj uj
Sous la forme matricielle:
Ve = - <ui uj>
F
F
j
i
Nous allons sommer l’énergie de déformation et l’énergie potentielle que
nous venons de calculer pour obtenir la fonctionnelle.
Πe =Ue + Ve
Πe = [ ] FuuKu ee
nen
e − 2
1 en
Sa première variation est :
[ ] ( )Fuu een
een
e K −==Π δδ
Maintenant, il ne reste plus qu’à assembler les éléments, puis résoudre
l’équation matricielle qui en découle pour trouver les inconnus du problème.
Cette première application nous a montré les démarches essentielles qu’il
faut entreprendre pour résoudre un problème d’élasticité linéaire. Notre but
principal est de trouver la matrice de rigidité de l’élément barre pour que nous
puissions procéder à l’assemblage et à la résolution des problèmes. Pour éviter
trop de répétition, nous n’allons plus détailler les étapes pour les éléments qui
suivent. Sachant que les mêmes démarches seront empruntées. Nous allons nous
contenter de présenter l’élément et sa matrice de rigidité qui sont essentiels pour
la programmation. Le cas suivant concernera les poutres dans le plan.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 32
II-2. Elément poutre dans le plan
Le cas de figure se présente comme suit :
Figure 11 : Les charges pour l’élément poutre
Figure 12 : Les déplacements nodaux pour l’élément poutre
Les deux dernières figures représentent les déformations et les
déplacements nodaux avec leur sens positif respectif. Chaque nœud peut subir
trois déplacements indépendants. L’élément poutre a donc six degrés de liberté.
Forces nodales :
=
F
F
F
j
ie
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 33
Avec,
=
M
F
F
F
i
iy
ix
i
Fix : Forces suivant X,
Fiy : Forces suivant Y,
Mi : Couple autour de Z.
Les forces directement appliquées à la poutre sont ramenées en forces
nodales externes.
Déplacements nodaux :
=q
q
q
j
ien
Avec,
=
θ i
i
i
i v
u
q
ui : Déplacement suivant X.
vi : Déplacement suivant Y.
θ i : Rotation autour de Z.
La matrice de rigidité [Ke] s’écrit :
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
=
KK
KK
K
jjji
ijiie
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 34
Avec,
[ ]
−
−=
L
EIEI
EIEI
L
AE
L
LLK ii
460
6120
00
2
23
[ ]
=
L
EIEI
EIEI
L
AE
L
LLK jj
460
6120
00
2
23
[ ]
−
−−
−
=
L
EIEI
EIEI
L
AE
L
LLK ij
260
6120
00
2
23
et [ ] [ ]KK ijT
ji =
Où,
A : La section la poutre
I : Le moment d’inertie.
L : la longueur de la poutre
E : Le module d’élasticité
Dans le paragraphe suivant, nous allons augmenter le degré de liberté de
l’élément en travaillant dans l’espace.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 35
II-3. Elément poutre dans l’espace
L’élément poutre avec les sollicitations nodales est montré par la figure
suivante :
Figure 13 : Poutre dans l’espace
Nous avons comme sollicitations :
=
F
F
F
j
i
e
Et si,
FiX : L’effort longitudinal ( traction ou compression),
FiY : L’effort tranchant suivant la direction de y,
FiZ : L’effort tranchant suivant la direction de z,
MiX : Le Moment de torsion (moment suivant la direction de x),
MiY : Le Moment fléchissant dans le plan de (x, z),
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 36
MiZ : Le moment fléchissant dans le plan de (x, y).
Nous avons :
MMMFFFF iZiYiXiZiYiXi =
Les déplacements nodaux sont :
=q
q
j
ieq
Et si,
ui : Désigne le déplacement suivant X.
vi : Désigne le déplacement suivant Y.
wi : Désigne le déplacement suivant Z
θ i :Désigne les rotations autour de X, ou Y ou Z.
Nous avons,
θθθ iZiYiXiiii wvuq =
Chaque nœud possède six déplacements indépendants, ce qui fait que
l’élément a 12 degrés de liberté.
La matrice de rigidité [Ke] s’écrit de la façon suivante :
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
=
KK
KK
K
jjji
ijiie
Avec,
[ ] [ ]KK ijT
ji =
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 37
[ ]
+
−
−
+
=
L
EIEI
L
EIEI
L
EIEI
EIEI
L
AE
ZZ
YY
P
YY
ZZ
ii
L
L
GI
LL
LL
K
400060
040600
00000
0601200
6000120
00000
2
2
23
23
[ ]
−
−
=
L
EIEI
L
EIEI
L
EIEI
EIEI
L
AE
ZZ
YY
P
YZ
ZY
jj
L
L
GI
LL
LL
K
400060
040600
00000
0601200
6000120
00000
2
2
23
23
[ ]
−
−
−−
−
−
=
L
EIEI
L
EIEI
L
EIEI
EIEI
L
AE
ZZ
YY
P
YY
ZZ
ij
L
L
GI
LL
LL
K
200060
020600
00000
0601200
6000120
00000
2
2
23
23
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 38
Où :
A : la section la poutre
L : la longueur de la poutre
IY : Le moment d’inertie suivant Y
IZ : Le moment d’inertie suivant Z
Ip : Le moment d’inertie polaire
E : Le module d’élasticité
G : Le module d’élasticité transversale
Jusqu’ici, nous n‘avons vu que des applications de la méthode des
éléments finis sur des éléments linéaires. Dans les applications suivantes, nous
allons ajouter une dimension à l’élément, en abordant le cas des éléments plans.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 39
II-4. Elément triangulaire :
Le système que nous allons développer dans cette partie est élastique,
homogène et isotrope.
Le milieu est d’abord subdivisé en éléments triangulaires comme le montre
la figure suivante.
Figure 14 : Discrétisation du système en éléments triangulaires.
Figure 15 : Les forces nodales pour l’élément triangulaire
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 40
Afin de faciliter le calcul intégral pour obtenir la matrice de rigidité de
l’élément, nous allons travailler dans le repère naturel. La figure 15 montre aussi
que chaque nœud possède deux déplacements possibles : suivant l’axe des x et
suivant l’axe des y. Au total, un élément a six degrés de liberté. Les forces
extérieures sont des forces horizontales et verticales au niveau des nœuds.
Comme pour les applications précédentes, notre principal objectif est
encore de trouver la matrice de rigidité de l’élément.
II-4-1. Fonction de déplacement.
La fonction de déplacement est une fonction linéaire. Elle s’écrit :
=
u
u
u
LLLu
3
2
1
321
=
v
v
v
LLLv
3
2
1
321
u et v sont respectivement les déplacements suivant l’axe de x et de y
(L1+L2+L3=1)
Puisque l’élément est isoparamétrique nous pouvons écrire :
−−=
x
x
x
LLLLX
3
2
1
2121 1
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 41
−−=
y
y
y
LLLLY
3
2
1
2121 1
Où, xi, yi sont les coordonnées des nœuds dans le repère global.
II-4-2. Calcul de la déformation :
La relation déformation et déplacements nodaux est :
[ ] [ ] nn321 q q BBBB ==ε
Où
>>=<< 332211n q vuvuvu
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
x
N
y
N
y
N
x
N
ii
i
i
0
0
Bi
Le calcul de la matrice [B] nécessite la dérivation de la fonction de déplacement
par rapport aux coordonnées globales des fonctions u et v qui sont exprimées
plus facilement à l’aide des coordonnées naturelles Li.
II-4-3. Déformation-Contrainte : loi de comportemen t
D’après la relation Contrainte-déformation :
][ εσ D= = [D] [B] qn
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 42
Avec,
−
−=
2
100
01
01
1][
2
υ
υ
υ
υE
D
Nous obtenons l’expression de l’énergie de déformation
hA]][[[B]2
1qqU n
Tn
e BD><=
Avec
h : l’épaisseur de l’élément
A : aire de l’élément Ve
Or
[ ]
−
−
=
=
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
−−
xx
yy
AJ
L
L
L
L
J
y
L
x
L
31
131
2
1
1
1
1
1
1
2
1
0
1
[ ]
−
−
=
=
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
−−
xx
yy
AJ
L
L
L
L
J
y
L
x
L
12
211
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
0
[ ]
−
−
=
−
−
=
∂−−∂
∂−−∂
=
∂∂
∂∂
−−
xx
yy
AJ
L
LL
L
LL
J
y
L
x
L
23
321
2
21
1
32
1
3
3
2
1
1
1
)1(
)1(
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 43
Avec,
[ ]
)2(
)()(
)()(1
1213
13131
AJ
xxxx
yyyy
JJ
=
−−−
−−−
=−
Nous déterminons complètement la matrice [B] et matrice de rigidité [Re]
[Re]=[B]T [D] [B] qhA
Le potentiel des forces extérieures est défini par :
enn
e FqV ><−=
Avec,
enF : les forces nodales extérieures.
Passons maintenant au cas suivant, qui est celui de l’élément quadrilatéral.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 44
II-5. Elément quadrilatéral
Comme dans les cas précédents, nous allons trouver l’expression de la
matrice de rigidité d’élément quadrilatéral. L’élément quadrilatéral est présenté par
la figure suivante.
Figure 16 : Les forces nodales pour l’élément quadrilatéral.
Pour chaque nœud peut subir des forces verticales et horizontales.
l’élément a alors huit degrés de liberté.
L’élément est homogène isotropique et isoparamétrique. Les calculs sont
faits dans le domaine élastique.
L’origine du repère naturel est le centre du quadrilatéral. Les coordonnées
naturelles s et t varieront donc de –1 à +1.
II-5-1. Fonction de déplacement
=
u
u
u
u
NNNNtsu
4
3
2
1
4321 ),(
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 45
=
v
v
v
v
NNNNtsv
4
3
2
1
4321 ),(
Avec les coefficients Ni:
4
)1)(1(1
tsN
−−= 4
)1)(1(2
tsN
−+=
4
)1)(1(3
tsN
++= 4
)1)(1(4
tsN
+−=
Puisque l’élément est isoparamétrique ;
=
x
x
x
x
NNNNtsX
4
3
2
1
4321 ),(
=
y
y
y
y
NNNNtsY
4
3
2
1
4321 ),(
II-5-2. La Déformation
La déformation s’exprime par :
][ qnB=ε
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 46
Dans cette dernière équation,
vuvuvuvuqn 44332211=
Et
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
=
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
xyxyxyxy
yyyy
xxxx
B
NNNNNNNN
NNNN
NNNN
44332211
4321
4321
0000
0000
][
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]BBBBB 4321][ =
Avec,
[ ]
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂−
t
s
y
x
N
N
JN
N
i
i
i
i
1
et
[ ] [ ]yx
JJ
JJ
nn
t
N
s
N
J
2221
1211
∂∂
∂∂
=
=
−++−−−
+−+−−−
=
yx
yx
yx
yx
ssss
tttt
J
44
33
22
11
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
4
1][
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 47
Avec,
[ ] [ ]
−
−
=−
JJ
JJ
JJ
11211
12221
1
Le déterminant
JJJJJ 21122211 −=
[ ] xy nn aJ =
Où,
[ ]
+−+−
++−−
+−+−
−−−
−=
0)1(1
10)1()(
)(101
110
8
1
ttss
tsts
stst
sstt
a
Nous avons les entrées non nulles de la matrice [B], qui sont :
B1,1 = J8
1(y24, + sY43 + ty32) = B3,2 B2,2 =
J8
1(x42 + sx43 + tx23) = B3,1
B1,3 = J8
1(y31 + sy34 + ty14) = B3,4 B2,4 =
J8
1(x13 + sx43 + tx41) = B3,3
B1,5 = J8
1(y42 + sy12 + ty41) = B3,6 B2,6 =
J8
1(x24 + sx21 + tx14) = B3,5
B1,7 = J8
1(y13 + sy21+ ty23)= B3,8 B2,8 =
J8
1(x31 + sx12 + tx14) = B3,7
Tel que
xm n = xm – xn
ym n = ym – yn
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 48
Ces résultants suffisent pour obtenir la matrice de rigidité de l’élément
quadrilatéral donnée par :
[ ] [ ] dxdyBDhv
Te
eBK ][][∫=
En terme de s et de t :
[ ] [ ] dsdtBDhv
Te
eBK J ][ ][∫=
En résumé, nous avons les opérations nécessaires pour calculer la matrice
de rigidité [Ke] de chaque élément, par intégration numérique. Pour chaque point
d’intégration (s,t), elles se résument par :
• Initialiser [Ke] à zéro.
• Calculer la matrice jacobienne [J] à partir des dérivées en (s,t) des
fonctions de transformations géométriques N et coordonnées des
nœuds de l’élément puis son inverse et son déterminant.
• Calculer les dérivées des fonctions N à partir des dérivées en (s,t).
• Construire la matrice [B] et [D].
• Accumuler dans [Ke] le produit [B] T [D] [B] det J.
• Enfin les forces nodales s’expriment par :
dsdtJ
F
F
NF
y
x
v
Te
o
][
= ∫
Où Fx et Fy sont les projections des forces extérieures suivant les axes des x et y.
Nous avons terminé avec l’élément quadrilatéral, l’application suivante va
concerner le cas des plaques.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 49
II-6. La méthode des éléments finis pour les plaqu es
Dans cette partie, nous allons seulement considérer les plaques minces
isotropiques, qui subissent des petites déformations. Les sollicitations aux nœuds
sont les efforts tranchants et les moments de flexion. Les déformations possibles
sont les déflexions verticales et les rotations.
Nous allons considérer l’élément rectangulaire à douze degrés de liberté.
Figure 17 : Les déplacements nodaux d’une plaque
II-6-1. Fonction de déplacement
La déflexion de la plaque sera approchée par la fonction polynôme à douze
constates ai :
w= ayxyyxxyx nxyxyxyyx 1 33322322
Avec
aaaaaaaaaaaaan 121110987654321=
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 50
II-6-2. Déformations
Les autres déformations sont :
- La rotation autour de x :yw
x ∂∂=θ
- La rotation autour de y : xw
y ∂∂−=θ
Les déplacements pour chaque nœud seront définis par :
=
θ
θ
iy
ix
i
i
w
q
Par conséquent, l’approximation nodale de la déflexion verticale est de la
forme :
=
q
q
q
q
NNNNw
4
3
2
1
4321
Où
NNNNNNN yxyxyx 1331111 −=
NNNNNNN yxyxyx 1432122 −=
NNNNNNN yxyxyx 2442223 −=
NNNNNNN yxyxyx 2341214 −=
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 51
Avec
)1( )21( 21 sN sx −+= )1( )21( 2
1 tN ty −+=
)23(22 ssN x −= )23(2
2 ttN y −=
)1( 23 sN asx −= )1( 2
3 tN bty −=
)1(24 −= sasN x )1(2
4 −= tbtN y
II-6-3. La relation contrainte-déformation
La déformation est définie par :
∂∂−
−
−
=
∂∂∂∂∂
yx
w
w
w
y
x
2
2
2
2
2
2
ε
[ ] qnB =ε
La contrainte généralisée par :
[ ]
=
=
=
=
∫
∫
∫
−
−
−
2
2
2
2
2
2
h
hxyxy
h
hyyyy
h
hxxxx
dz
dz
dz
zM
zM
zM
σ
σ
σ
σ
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 52
h étant l’épaisseur de la plaque.
II-6-4. Loi de comportement
La loi de comportement élastique généralisée relie la contrainte à la
déformation par :
[ ] σε D=
Avec,
[ ]
−
−=
2
100
01
01
)(12 21
3
υ
υ
υ
υEhD
Où,
E : le module d’élasticité
h : l’épaisseur de la plaque
υ : le coefficient de Poisson.
Nous obtenons ainsi la matrice de rigidité par :
[ ] [ ] [ ]∫∫=v
][e
dydxBDBKTe
Nous allons terminer ce chapitre application de la méthode des éléments finis au
calcul des structures, par l’élément hexaédrique à huit nœuds.
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 53
II-7. Elément hexaédrique à huit nœuds
Ici, nous allons toujours rester dans le repère naturel (s, t, r), pour le
calcul de la matrice de rigidité. L’élément hexaédrique est représenté par la figure
qui suit. Les nœuds peuvent subir des déformations dans les directions de X de Y
et de Z. Ils sont soumis à des forces dans ces trois directions.
Figure 18 : Repère naturel et globale de l’élément hexaédrique
Avec les mêmes démarches que pour les problèmes plans, nous avons ;
II-7-1 – Fonction de déplacement
Si u indique le déplacement dans la direction de s, v dans la direction de t
et, w dans le sens de r. nous avons :
u(s,t) = uNNNNNNNN en 87654321
= <N> uen
v(s,t) = vNNNNNNNN en 87654321
= <N> ven
w(s,t) = wNNNNNNNN en 87654321
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 54
= <N> wen
Avec,
uuuuuuuuuen 87654321=
vvvvvvvvven 87654321=
wwwwwwwwwen 87654321=
Similairement, puisque l’élément est isoparamétrique :
xnNx >=<
ynNy >=<
znNz >=<
Nous pouvons ensuite appliquer les différentes opérations pour avoir la matrice de
rigidité [Ke].
Les fonctions d’interpolations Ni (i = 1,2,…,n) sont
N1 = 81 (1-s)(1-t)(1-r) N5 =
81 (1+s)(1-t)(1+r)
N2 = 81 (1-s)(1-t)(1+r) N6 =
81 (1+s)(1+-t)(1-r)
N3 = 81 (1-s)(1+t)(1+r) N7 =
81 (1+s)(1-t)(1-r)
N4 = 81 (1+s)(1+t)(1+r) N8 =
81 (1+s)(1-t)(1+r)
II-7-2. Déformation
Ecrivons maintenant les déformations en fonction des déplacements.
[ ] qnB =ε
Où,
<qn> = <u1 v1 w1 u2 v2 w2 ……….u8 v8 w8>
Et les éléments non nuls de la matrice [B] sont :
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 55
∂∂+∂
∂+∂∂=− r
NatNas
NaJB iiii 131211)23(,1 1
∂∂+∂
∂+∂∂=− r
NatNas
NaJB iiii 232221)13(,2 1
∂∂+∂
∂+∂∂=
rNat
NasNaJB iii
i 333231)3(,3 1
BB ii )13(,2)23(,4 −− =
BB ii )23(,1)13(,4 −− =
BB ii )3(,3)13(,5 =−
BB ii )13(,2)3(,5 −=
BB ii )3(,3)23(,6 =−
BB ii )23(,1)3(,6 −=
Avec i= 1,2,3,…7,8
D = la rigidité de l’élément est donnée par :
[ ])21( )1( υυ −+
= ED
−
−
−
−
−
−
×
22100000
02210000
00221000
0001
0001
0001
υ
υ
υ
υυυ
υυυ
υυυ
La matrice de rigidité s’obtient par :
Chapitre - II : Applications en CDS BTP
ESPA . 2004-2005 56
[ ] dxdydzBDv
Te
eBK ][ ][ ][∫∫∫=
Puisque la matrice de rigidité [B] est fonction de s, t, r, nous pouvons
effectuer un changement de variables x, y, z en s, t, r et la matrice de rigidité
devient :
[ ] dsdtdrBDv
Te
oBK J ][ ][ ][∫∫∫=
Avec l’élément hexaédrique à huit nœuds nous terminons cette partie
application de la méthode des éléments finis au calcul des structures élastiques.
La partie suivante concernera l’outil de simulation Matlab.
Chapitre – III :
« PESENTATION DE MATLAB »
- Introduction - Matlab : outil de simulation - Pourquoi Matlab ? - Présentation du programme
© Mathworks
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 58
III-1. Introduction
Tout au long du deuxième chapitre, nous avons aperçu à quel point les
calculs peuvent devenir compliqués au fur et à mesure que le modèle d’élément
choisi est plus avancé. Les matrices augmentent aussi de taille avec le degré de
liberté. Or, dans la pratique, le nombre d'éléments s’élève à des centaines voire
des milliers. L’aide d’un ordinateur s’avère indispensable. Pour cette occasion,
nous avons choisi d’utiliser le logiciel Matlab. Sa présentation fera l’objet de ce
chapitre.
III-2. MATLAB : Outil de simulation
Nous entendons ici par « outil » le langage de programmation qui va nous
permettre d’arriver à nos fins : Matlab. Ce paragraphe lui est concentré. Avant
d’aller plus loin, nous tenons à préciser que ceci n’est pas un tutorial de Matlab.
Pour en savoir plus, il faut se référer à la liste de livres et de sites web concernant
ce logiciel, à la fin de cet ouvrage ou utiliser le système d’aides de Matlab ou
encore visiter le site web de MathWorks.
III-2-1 – Présentation
Matlab est un logiciel interactif permettant de réaliser des calculs
numériques, ainsi que des visualisations graphiques. Il possède un vaste
ensemble de fonctions pré-programmées et directement utilisables par une simple
instruction. Matlab est un logiciel produit par MathWorks. Il est disponible pour
plusieurs systèmes d’exploitations (Mac OS, Windows, Unix, Linux).
Matlab est un outil précieux pour le scientifique puisqu’il permet
- de visualiser rapidement des données en 1-D, 2-D et 3-D avec
précision,
- de tracer des expérimentations,
- de réaliser facilement des programmes complexes ne nécessitant
pas la ré-programmation des fonctions « classiques ».
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 59
Pour les calculs numériques, Matlab est beaucoup plus concis que les
“vieux” langages (C, Pascal, Fortran, Basic). Par exemple, nous n’avons plus
besoin de programmer des boucles pour modifier un à un les éléments d’une
matrice. Nous pouvons traiter la matrice comme une seule variable. Matlab est un
langage simple et très efficace, optimisé pour le traitement des matrices. D’où son
nom Matlab qui est la contraction de « Matrix Laboratory »
Matlab contient également une interface graphique puissante et une grande
variété d’algorithmes scientifiques. Par ailleurs, il est également possible d’enrichir
Matlab en ajoutant des “boîtes à outils” (toolbox) qui sont des ensembles de
fonctions supplémentaires, profilées pour des applications particulières (traitement
de signaux, analyses statistiques, calculs symboliques,…). C’est sur cet
enrichissement de Matlab que nous allons nous orienter pour notre travail.
III-2-2 – Bref historique
Au début, Matlab a été écrit en Fortran par un professeur de
mathématiques et informatique américain Cleve Moler. Parallèlement, l’ingénieur
californien Jack Little développait, de son côté, des logiciels pour l’automatisme et
le traitement du signal. Les deux hommes ont mis en commun leurs
connaissances pour créer ensemble le logiciel Matlab. En 1984, ils décident de lui
donner une structure commerciale. Ils fondent alors MathWorks au
Massachusetts. C’est l’entreprise chargée de la commercialisation et de la
promotion de Matlab. Aujourd’hui MathWorks emploie plus de deux milles
informaticiens et chercheurs et Matlab est devenu le numéro un de mondial en
matière de simulation et de calcul scientifique.
Plusieurs versions de Matlab sont déjà sorties. Les plus récentes d’entre
elles sont la version 7 et la version 6.5. Pour notre programme, nous allons utiliser
la version 5.3, qui est encore très performante.
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 60
III-2-3 – MATLAB Dans l’entreprise
Pour donner une idée de l’importance de la place que Matlab occupe
actuellement, nous allons citer quelques exemples d’organismes qui l’utilisent
régulièrement.
Aux Etats-Unis, les ingénieurs McDonnell Douglas utilisent Matlab pour
mettre au point un système automatisé de détection des défauts pour les
hélicoptères. Ceci permet d’éviter des inspections manuelles des pales une par
une ou des tests parfois destructifs.
De même, la NASA, Boeing et ‘Saab Military aircraft’ utilisent Matlab pour
la conception de leurs avions. Ce sont des utilisations de Matlab en calcul des
structures.
Nous pouvons ainsi multiplier les exemples en citant BMW, Chrysler,
Philips, Matra Marconi Space.
Aux Etats Unis et en Suisse, Matlab fait partie intégrante des programmes
universitaires. Et les cours d’analyse et d’algèbre en classe préparatoire, sont
appliqués directement sur Matlab.
III-3. Pourquoi MATLAB ?
Dire que Matlab est reconnu mondialement ne suffit pas pour justifier notre
choix. Si nous retournons aux chapitres consacrés à la méthode des éléments
finis, nous allons apercevoir très vite, que nous sommes amenés à manipuler des
matrices. Or Matlab excelle en calcul numérique et matriciel. C’est la première
raison qui nous a poussés à le choisir.
Dans ce qui suit, nous allons souligner quelques instructions remarquables
de Matlab. Elles nous ont été particulièrement utiles durant la conception de notre
programme.
III-3-1. La commande ‘sparse ‘:
Pour les matrices creuses, il est avantageux de les déclarer ‘sparse’
(clairsemé). Ceci permet d’économiser de la place mémoire et d ‘accélérer les
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 61
calculs. Cette instruction crée une matrice clairsemée à partir d’une matrice pleine
et réciproquement.
Par exemple, la session de Matlab suivante, montre une matrice pleine m
tandis que s est la matrice clairsemée correspondante. La matrice pleine m
occupe 72 octets d’espace mémoire tandis que la version ‘sparse’ s n’en occupe
que 52. Pour cet exemple très simple, la différence peut paraître minime (20
octets) mais, elle est très signifiante lorsque la taille de la matrice augmente.
Figure 19 : Une session de Matlab
III-3-2. La commande ‘Symrcm’ et ‘Chol’
En cours d’élément finis, nous retenons aussi que pour avoir une matrice
de rigidité qui se rapproche d’une matrice diagonale, il faut prendre soin que la
somme des numéros des nœuds, pour chaque élément, soit le minimum possible.
Matlab nous offre plusieurs commandes de décomposition et de réorganisation
matricielle pour contourner ce problème. Entre-autre, nous avons les commandes
‘Symrcm’ et ‘Chol’ . Elles utilisent respectivement les algorithmes de Cuthill-
McKee et de Cholesky pour la réorganisation d’une matrice. Le principe consiste à
rassembler les éléments dispersés d’une matrice vers la diagonale. La matrice
proches de la diagonale ainsi obtenue est plus facile à manipuler et prendra
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 62
beaucoup moins de temps pour les calculs. Dorénavant, nous n’avons plus à nous
soucier de la manière dont nous allons numéroter les nœuds.
III-3-3. La commande ‘Spy’
La commande ‘spy’ permet de visualiser la densité d’une matrice ; seul les
éléments non nuls sont représentés par des points. Prenons l’exemple du maillage
d’éléments finis autour d’une aille d’avion de la figure 20. La matrice de rigidité
correspondante est montrée par la figure 21. Après réorganisation de Cuthill-
McKee, cette matrice de rigidité devient comme le montre la figure 22.
Figure 20 : Exemple de maillage qui vient de la Nasa, prédéfini sous Matlab
(© MathWorks)
Figure 21 : La densité de la matrice de rigidité relative au maillage.
(© MathWorks)
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 63
Figure 22 : La matrice de rigidité après transformation de Cuthill-Mckee
(© MathWorks)
Matlab comporte aussi des commandes pour effectuer des manipulations
matricielles ordinaires et, pour effectuer des es calculs numériques. Citons
- la commande ‘det’ pour calculer le déterminant,
- la commande ‘inv’ pour inverser une matrice,
- « + » et « * » pour effectuer des additions et produits matriciels.
- La commande « int » qui permet d’effectuer des intégrations
numériques et symboliques.
- Enfin, nous avons aussi la « boite à outils » très efficace « guide » qui
assiste lors de la création des interfaces graphiques. Avec cette « boite
à outils », le programmeur n’a plus besoin d’écrire une seule ligne de
code pour réaliser une interface graphique. Pendant qu’il configure la
fenêtre, Matlab écrit automatiquement les codes.
Nous allons rester avec ces quelques exemples d’instructions. Pour obtenir
de plus amples informations concernant ces commandes, il suffit de taper « help »
suivi du nom de la commande après l’invite de Matlab. Ces instructions vont
premièrement, nous aider à la programmation. En second lieu, elles vont changer
notre manière d’approche d’un problème d’éléments finis.
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 64
IV-4. Présentation du programme
Dans ce dernier paragraphe, Nous allons, en premier lieu, présenter notre
programme. Nous allons voir ensuite, comment le manipuler et prendre profit de
toutes ses fonctionnalités.
IV-4-1. Manipulations
Pour lancer le programme, il suffit de taper après l’invite le nom « cds-1 »
après l’invite de Matlab.
Figure 23 : Lancement de la simulation dans l’espace de travail Matlab.
Cette action permet d’ouvrir la fenêtre d’accueil de la page suivante. Elle
montre le logo de Matlab surmonté des les mots « La méthode des éléments
finis » en dessus.
• Le bouton « Info » affiche les aides relatives au programme.
• « Quitter ! » : permet d’abandonner la simulation et retourner vers
l’espace de travail de Matlab.
• Le bouton « Entrer » lancera le chargement des outils nécessaires
pour le programme. Le chargement peut durer quelques secondes,
et un message sonore va confirmer son avancement.
Le chargement terminé, la fenêtre d’accueil va se fermer pour faire place à
une nouvelle fenêtre-menu (page suivante). Pour entrer un choix, il suffit de
cliquer sur un icône.
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 65
Figure 24 : Fenêtre d’accueil
Figure 25 : Menu
Les choix disponibles sont :
1. ‘2-D’ : pour le cas des portiques dans le plan
2. ‘3-D’ : pour les portiques dans l’espace
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 66
3. ‘plan’ : contraintes/et déformations planes avec les éléments
triangulaires ou rectangulaires
4. ‘volume’ : pour les corps massifs avec les éléments hexaédriques à
huit nœuds.
5. ‘plaque’ : pour le cas des plaques.
En cliquant sur l’un des choix, une fenêtre comme celle-ci va apparaître sur
l’écran (elle est commune à tous les choix) ; c’est l’espace de notre simulation.
Figure 26 : Figure 27 : Espace pour la simulation
La fenêtre comporte les boutons suivants :
1. ‘<< Pre <’ : qui permet de revenir au menu,
2. ‘Charger ‘ : qui permet de charger des données déjà enregistrées sur
le disque.
3. ’Supprimer’ : Pour supprimer des données enregistrées.
4. ‘Quitter !’ : Pour sortir de l’environnement de simulation et revenir sur
l’espace de travail Matlab.
5. ‘Spy’ : pour visualiser la densité de la matrice de rigidité.
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 67
6. Nous avons deux boutons « sliders » en bas à droite de la fenêtre.
Ils permettent de changer de point de vue pour faire tourner l’image
dans l’espace. Ils sont particulièrement utiles pour les simulations
des systèmes à trois dimensions.
Cette fenêtre affiche les systèmes que nous allons analyser. Les résultats
numériques seront affichés sur l’espace de travail Matlab sous forme matricielle.
III-4-2. Contenus du programme
Le programme est l’association de cinq programmes « pères » qui prennent
en charge les cinq différents choix proposés par le menu. Cependant, les
programmes pères ont des structures similaires. Ils sont formés de plusieurs
sous–programmes qui à leur tour intègrent des fonctions.
Après enregistrement des données, un premier programme vérifie d’abord
la cohérence de celles-ci. Si aucune erreur existe, un deuxième programme va
tracer le système initial sur la fenêtre graphique. Après, les caractéristiques ainsi
que la matrice de rigidité de chaque élément sont calculées par un groupe de
programmes. Les étapes suivantes vont permettre de procéder successivement à
l’assemblage à la résolution de l’équation matricielle et à la récupération des
résultats numériques. La déformée du système sera ensuite tracée sur la même
fenêtre qu’avant tandis que les résultats numériques sont montrés sur l’espace de
travail Matlab.
La structure standard d’un programme père est montrée par la figure
suivante :
Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP
ESPA . 2004 – 2005 68
Chaque rectangle vert et rouge représente un des programmes contenus
dans un système de plusieurs fichiers.
Ici termine le troisième Chapitre consacré à Matlab. Le dernier sera
consacré à des exemples de calculs effectués avec le programme. Nous allons
notamment vérifier quelques théories classiques de la RDM par la méthode des
éléments finis.
Chapitre – IV :
« APPLICATIONS »
- Introduction
- Portique spatial
- Etude des consoles courtes
- Plaque avec ouverture
- théorie de la bielle comprimée
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 70
IV-1. Introduction
Dans ce dernier chapitre, nous aurons l’occasion d’appliquer notre
programme à des exemples. Pour ce, nous avons jugé convenable d’appliquer la
méthode sur quelques problèmes classiques de la RDM. Nous avons choisi de
prendre des exemples qui sont à la fois facilement compréhensibles et assez
représentatifs, pour donner un aperçu du potentiel du programme. Nous allons
laisser aux intéressés, le choix de traiter des cas plus complexes selon leur choix.
Le programme est conçu de la sorte qu’aucune limite ‘existe. La seule contrainte
possible est la performance de l’ordinateur sur lequel Matlab est installé.
Nous voulons souligner aussi que lors des applications numériques, nous
n‘allons pas insister sur les unités. Notre but est surtout de vérifier des théorèmes
généraux. Il est donc convenable que nous restions dans le cas général autant
que possible. Ce sont surtout les ordres de grandeur qui nous intéressent. Dans
certains cas, nous allons évoquer quand même les unités pour une approche
rapide du problème mais ils n’ont pas grand influence sur les résultats
numériques.
Comme première application, nous allons voir le cas d’un portique spatial.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 71
IV-2. Application 1 : Portique spatial
Dans ce cette première application, nous allons étudier le cas d’un portique
spatial. Il est montré par la figure suivante. Notre but est de comparer les efforts
obtenus par ce modèle avec le cas où le portique est ramené à un problème plan.
Figure 28 : Ferme à trois dimensions.
Le portique est constitué de 48 éléments et de 28 nœuds. Des forces
unitaires horizontales sont appliquées sur les nœuds d’une face. Il est articulé sur
les appuis de base. Après déformation, nous obtenons la figure suivante :
Figure 29 : Déformée du portique
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 72
Pour l’analyse, nous allons prendre les poutres numéro 1, 3 et 16 qui se
trouvent sur la première face à gauche du portique.
Les résultats numériques sont résumés dans les tableaux qui suivent. Le
tableau 1 représente les valeurs obtenues dans le cas où le portique serait calculé
dans son ensemble. Le deuxième concerne le cas où les poutres sont calculées
dans leur plan.
Tableau 1 : Résultats des calculs dans l’espace 3D
Elément Nœuds F X
(unité)
FY
(unité)
FZ
(unité)
Mx
(unité)
My
(unité)
MZ
(unité)
1 1 0 0,46 0 0 0 2,10
2 0 0,46 0 0 0 -1,68
3 4 0,68 0,53 0 0 -0,003 2,54
5 0,68 0,53 0 0 0,001 -2,31
16 1 -0,75 0,52 0 0 0 -2,10
4 -0,75 0,52 0 0 -0,002 2,02
Tableau 2 : Résultats des calculs plans
Elément Nœuds F X
(unité)
FY
(unité)
MZ
(unité)
1 1 0 0,49 2,11
2 0 0,49 -1,71
3 4 0,69 0,57 2,55
5 0,69 0,57 -2,32
16 1 -0,77 0,55 -2,11
4 -0,77 0,55 2,08
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 73
Nous observons alors que les valeurs des sollicitations obtenues par calcul
plan sont toujours supérieures ou égales à celles obtenues par calcul à trois
dimensions. Les différences viennent du fait qu’en prenant la structure dans son
ensemble, tous les éléments constituant celle-ci vont participer en même temps à
la résistance. Les éléments auront donc moins d’efforts à développer.
Les différences sont montrées par le tableau suivant (en valeur absolu)
Tableau 3 : Tableau de comparaison
Différences
Elément Nœuds F X
(unité)
FY
(unité)
MZ
(unité)
1 1
0 0,03 0,01 2
0 0,03 0,03
3 4
0,01 0,02 0,01 5
0,01 0,02 0,01
16 1
0,02 0,03 0,01 4
0,02 0,03 0,06
Pour Fx et pour Fy, le décalage varie entre 1,44% pour la poutre n°3,
jusqu’à 6,12% pour la poutre 1. Pour les moments nous avons une différence
maximale de 2,88% pour la poutre n°16. Ces différen ces viennent du fait que le
modèle 3-D reflète fidèlement le comportement réel de la structure dans son
ensemble.
Nous remarquons aussi les moments dans les directions de x et y ne sont
pas toujours nuls. Pourtant leurs valeurs sont négligeables par rapport aux
moments autour de z. Dans le modèle de calcul plan, ces moments sont négligés.
Nous voyons que cette méthode est bien justifiée.
Avant de quitter cette première application, voici les valeurs des
contraintes, pour la même structure, données par Robobat. Elles montrent la
fiabilité de notre programme (page suivante).
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 74
Tableau 4 : Valeur des contraintes selon Robobat
Elément Nœuds F X
(unité)
FY
(unité)
MZ
(unité)
1 1 0 0,42 2,07
2 0 0,42 -1,68
3 4 0,70 0,54 2,55
5 0,70 0,54 -2,29
16 1 -0,78 0,55 -2,07
4 -0,78 0,55 1,92
Dans le paragraphe suivant, nous allons passer vers une autre application
sur les consoles courtes.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 75
IV-3. Application 2 : Etude des consoles courtes
Dans cette partie, nous allons analyser le cas des consoles courtes. Les
règles de la RDM affirment que q’une poutre este considérée comme courte, si la
hauteur est supérieure à la distance du point d’application de la force appliquée
sur celle-ci. Nous allons justifier cette affirmation par la méthode des éléments
finis.
Figure 30 : console courte : h ≥ l
Nous allons considérer huit cas de poutres consoles dont le rapport
longueur sur hauteur est différent à chaque fois
Tableau 5 : Différents cas de consoles
Console Longueur l (unités) Hauteur h(unités)
1 6 10
2 8 10
3 10 10
4 12 10
5 14 10
6 16 10
7 18 10
8 20 10
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 76
Ici, nous allons prendre comme modèle l’élément rectangulaire. C’est la
forme la plus proche de la forme générale de nos poutres.
Figure 31 : Console –1, Celle qui a la plus petite longueur.
Figure 32 : Console –2 : Longueur deux fois la hauteur
Les deux figures suivantes (les déformées) nous permettent de tirer comme
première conclusion que les consoles courtes ne respectent pas l’hypothèse des
poutres de Navier-Bernoulli : « Une section plane reste plane après déformation ».
Ce n’est pas le cas pour la console n°1 (la plus co urte). En même temps, les deux
figures montrent les déformées des deux poutres consoles que nous venons de
considérer, avec les répartitions des contraintes normales σ X . Les zones à fortes
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 77
contraintes sont en noir et les contraintes sont de moins en moins faibles au fur et
à mesure que la couleur s’éclaircit.
Figure 33 : Console –1 : La section est distordue après déformation.
Figure 34 : Console –2 respecte le principe de Navier-Bernoulli.
Comparons les résultats avec ceux obtenus par la théorie des poutres de la
RDM. La contrainte normale dans une partie en flexion est donnée par est donnée
par :
vI
Plx =σ
où,
I : le moment d’inertie de la section
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 78
v : la distance de la fibre supérieure à la fibre moyenne.
Nous allons considérer, les contraintes au sens des éléments de la partie
supérieure.
Tableau 6 : Comparaison des contraintes
Console
Longueur de
la poutre
(unité)
σ x
prévue par
la RDM
(unité)
σ x :
obtenue
(unité)
1 6 0,36 0,42
2 8 0,48 0,49
3 10 0,60 0,59
4 12 0,72 0,70
5 14 0,84 0,83
6 16 0,96 0,95
7 18 1,08 1,08
8 20 1,20 1,21
Nous avons la courbe suivante :
0
20
40
60
80
100
120
140
6 8 10 12 14 16 18 20
Longueur de la poutre
cont
rain
te
RDM Methode des elements finis
Figure 35 : Variation des contraintes, en fonction de la longueur, pour une hauteur constante de la poutre
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 79
L’allure des variations des contraintes en fonction de la longueur nous
permet de tirer les résultats suivants :
• Pour une valeur de la longueur inférieure à la hauteur de la poutre, la
RDM donne une valeur de la contrainte inférieure à la contrainte donnée
par la méthode des éléments finis. La RDM donne une sous-estimation
des contraintes dans les consoles courtes
• Pour une longueur supérieure ou égale à la hauteur, les deux méthodes
donnent les mêmes valeurs de la contrainte.
• Au-delà de cette valeur, les deux méthodes donnent les mêmes valeurs
des contraintes.
Nous venons donc de démontrer que la méthode de la RDM ne peut plus
s’appliquer aux consoles courtes.
Par ailleurs, les résultats donnés par notre méthode coïncident avec ceux
donnés par ROBOBAT : pour une poutre de longueur deux fois la hauteur, nous
obtenons la valeur arrondie de la contrainte égale à 1,2 (unité), ce qui montre une
fois de plus la fiabilité de notre méthode.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 80
IV-4. Application 3 : Plaques avec ouverture
Nous allons analyser, dans cette partie, le cas d’une plaque comportant une
ouverture. Une plaque avec ouverture peut être assimilée à une plaque pleine,
pour une certaine dimension de l’ouverture. Notre but est de trouver commet est-
ce qu’une ouverture, en fonction de sa taille, perturbe les contraintes dans la
plaque. Pour ce, nous allons pendre une plaque de 1 ×1 m2 chargée sur la
surface. Elle sera divisée en éléments de 10 × 10 cm2, c’est-à-dire en 100
éléments et 121 nœuds. En premier lieu, elle sera considérée comme pleine puis,
une ouverture de plus en plus grande sera taillée en son milieu. La plaque est
encastrée sur les quatre côtés.
Figure 36 : Plaque avec ouverture de 4%.
Comme vérification, nous constatons que les résultats relatifs à la plaque
pleine sont identiques à ceux obtenus par ROBOBAT, aux erreurs systématiques
de la méthode près. Pour une plaque pleine, le moment au centre est égal à
3,044.10-1 (unité) alors que la valeur obtenue auprès du programme est de 2,96
(unité). Ce qui confirme la validité de notre programme.
En fonction de l’ouverture, nous allons noter les contraintes pour un
élément un peu plus loin du centre. Puisque le système est symétrique, nous
n’allons considérer que le moment suivant une direction. Le tableau suivant
résume les résultats obtenus selon l’aire de l’ouverture.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 81
Tableau 7 : Variation des moments en fonction de l’ouverture de la plaque
Proportion de l’ouverture (%) Différence des moments My (en unité)
0 2,77.10-1
1 4,99.10-1
2 7,49.10-1
3 1,31 4 4,19
Figure 37 : La déformée de la plaque ave une ouverture de 400cm2
0,00E+005,00E-011,00E+001,50E+002,00E+002,50E+003,00E+003,50E+004,00E+004,50E+00
1 2 3 4 5
Propotion des ouvertures (%)
Mom
ets
Figure 38 : Variation du moment en fonction de la taille des ouvertures
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 82
A partir des résultats précédents, Nous pouvons tirer sommairement que :
- Pour une ouverture de 1%, les contraintes dans la plaque sont multipliées
par deux.
- Les contraintes s’accroissent linéairement jusqu’à ce que les dimensions
de l’ouverture atteignent 3% de l’aire de la plaque.
- A partir de 3%, les contraintes augmentent très rapidement.
Ce sont des résultats qui peuvent aider sur les décisions à prendre sur les
renforcements à ajouter à la plaque lorsque celle-ci comporte une ouverture.
Retenons que la valeur 3 % est la valeur limite, à ne pas dépasser, pour éviter la
détérioration de plaque.
Sur ce, nous terminons cette application de la méthode des éléments finis
à la plaque. Dans la dernière application nous allons utiliser l’élément volumique
hexaédrique.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 83
IV-5. Application 4 : Méthode de la bielle comprimé e
Les répartitions exactes des contraintes dans une semelle de fondation
sont assez difficiles à avoir par calculs. Les hypothèses sur les poutres de la RDM
ne peuvent plus s’appliquer à la semelle. Pour calculer une telle semelle, nous
utilisons couramment la méthode de la bielle comprimée. Cette méthode suppose
que la transmission des charges au niveau du sol, se fait par compression radiale.
Essayons d’analyser les répartitions réelles des contraintes dans la semelle
soumise à la charge d’un poteau.
Considérons la semelle rectangulaire suivante :
Figure 39 : Semelle rectangulaire
Nous allons subdiviser la semelle en éléments cubiques de 10cm de côté
chacun. Pour plus de clarté, nous allons prendre le quart de la semelle qui sera
discrétisé en 58 éléments et 132 nœuds. Le système est montré par la figure de la
page suivante. Quatre forces unitaires appliquées au sommet de la semelle
remplaceront les efforts transmis par un poteau. Nous allons analyser l’effet
qu’elles produiront dans la semelle.
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 84
Figure 40 : Modélisation de la semelle en éléments cubiques.
Le but est de trouver les directions des contraintes maximales au sein du
bloc. Pour ce, nous allons nous intéresser aux contraintes à l’intérieur de chaque
élément de la semelle.
Les répartitions des déformations zε au sein du bloc, ainsi que
l’arrangement des éléments après déformation sont montrées par la figure qui suit.
Figure 41 : Déformée de la semelle avec répartition des contraintes ε z .
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 85
Dans le domaine élastique, comme les contraintes et les déformations sont
directement proportionnelles ( εσ D= ), les directions des contraintes maximales
sont confondues avec celles des déformations maximales. Pour résoudre notre
problème, Nous allons trouver les directions des déformations maximales pour
quelques éléments.
• Elément n°17
le tenseur des déformations est la suivante :
−−
−−−
−−
=
00564,00034,00016,0
0034,01146,00034,0
0016,00034,00441,0
ε
les valeurs propres de cette matrice sont :
−
−
−
1150,0
0565,0
0437,0
La direction principale correspondante à la déformation principale donnée
par le vecteur :
− 05,0
99,0
04,0
• Elément n°10 :
−−
−
−−
=
0838,00196,00249,0
0196,00688,00113,0
0249,00113,00878,0
ε
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 86
Les valeurs propres :
−
−
−
1150,0
0540,0
04664,0
La direction de la déformation maximale
−
6558,0
3931,0
6446,,0
.
• Elément n°4 :
−−
−
−−−
=
215,17544,033,1
544,0673,2800,0
33,1800,00878,0
ε
Les valeurs propres :
−
32,17
75,2
75,2
La direction de la déformation maximale
− 469,0
0565,0
457,0
.
Des calculs similaires sont effectués pour obtenir les directions des
contraintes maximales pour les éléments n° 9, 11, 1 6 et 18
Chapitre – IV : Applications BTP
ESPA . 2004 – 2005 87
La figure suivante montre les directions des contraintes maximales pour les
quelques éléments de la semelle que nous venons de considérer. Nous
constatons que leur direction est proche de la direction que prévoit la méthode de
la bielle comprimée.
Figure 42 : Les directions des contraintes maximales dans le plan x, z
Cette étude concernant l’hypothèse de la bielle comprimée termine cette
dernière partie application de la méthode des éléments finis ainsi que notre travail.
Conclusion BTB
ESPA . 2004 – 2005 88
Conclusion
Dans ce présent, nous venons de créer un environnement de calcul et
d’analyse des structures par la méthode des éléments finis sous Matlab.
Après avoir rappelé les bases de la méthode des éléments finis, dans la
première partie, les matrices de rigidité des modèles d’éléments usuels sont
calculées dans la deuxième partie. Une brève présentation de Matlab fait l’objet
de la partie trois. Comme application, la dernière partie montre le programme à
l’œuvre par des vérifications de quelques méthodes de la RDM classique.
Le programme est enrichi de façon à pouvoir recevoir différents cas de
problèmes de structure selon notre choix. Bien que nous nous sommes
concentrés au calcul des structures, l’outil Matlab donne au programme la
souplesse d’être facilement extensible à d’autres systèmes physiques. Nous
pouvons aussi envisager comme extension, les cas des comportements
plastiques des matériaux et, la prise en charge des structures imbriquées.
Annexe BTP
ESPA . 2004 – 2005 I
Annexe Calculs variationnels
Une fonctionnelle est une intégrale qui dépend d’une ou plusieurs fonctions
inconnues, appelées fonctions argument, d’une ou plusieurs variables. Les
fonctions arguments pouvant intervenir sous forme de leurs dérivées jusqu’à
l’ordre n. Considérons l’intégrale à une seule fonction argument suivant :
Π = ∫xx dxxuxuxf2
1))('),(,(
La fonction à intégrer dépend de la variable indépendante x, d’une fonction de
u(x) et de ses dérivées u’(x).
Le but est de trouver la fonction u(x) pour que le fonctionnel Π devienne
minimum. Les valeurs de u(x1) et u(x2) étant fixées d’avance. Nous allons essayer
de visualiser la variation de la fonctionnelle en fonction de u(x).
Pour ce, remplaçons u(x) par w(x) défini par :
w(x) = u(x) + ε.η(x)
Tel que η(x) est une fonction continûment dérivable de x qui s’annule pour x = x1
et x = x2, ε est un paramètre arbitraire que nous pouvons varier à tout temps.
Nous avons alors :
Π(ε) = ∫xx dxwwxF2
1))('),(,( εε .
Π(ε ) passe par un extremum, lorsque ε = 0 (Pour w(x) = u(x)) et la dérivée
de Π(ε) y sera nulle pour cette valeur d’ ε ;
∫ ∫==Π xx
xx
dxwwxFdddxwwxF
dd
dd 2
1
2
1)',,()',,()( εεεε .
Effectuons d’abord la différenciation :
( ) ( ) ''
''
ηηεεε wF
wFw
wFw
wF
ddF
∂∂+∂
∂=∂∂
∂∂+∂
∂∂∂= .
Pour ε = 0, nous avons :
dwdF
0=ε=
uf
∂∂
Donc :
Annexe BTP
ESPA . 2004 – 2005 II
''0ηηε ε u
fuf
ddF
∂∂+∂
∂==
.
Revenons à l’intégrale, dxuf
ufx
xdd
∫Π
∂∂+
∂∂=
=2
1'
'0ηηε ε
=0,
Après intégration par partie du second terme Nous avons :
ηη''
2
1
2
1 uf
dxuf
dxd
uf x
x
xx ∂
∂+∫ ⋅
∂∂−∂
∂= 0.
Or η (x1) = η (x2) = 0
Donc :
∫ ⋅
∂∂−
∂∂x
x dxuf
dxd
uf
2
1 'η = 0.
Pour une fonction arbitraire η (x), Π sera minimum pour :
∂∂−
∂∂
'uf
dxd
uf
= 0.
C’est l’équation d’Euler pour la formulation variationnelle définie par :
Π = ∫xx dxxuxuxf2
1))('),(,( .
Avec,
0)()( 21 == xuxu δδ
Retournons à l’équation
ηη''
2
1
2
1 uf
dxuf
dxd
uf x
x
xx ∂
∂+∫ ⋅
∂∂−∂
∂= 0.
Calculons la première variation de Π:
δΠ = δ ∫xx dxxuxuxf2
1))('),(,( .
(Remarquons que δΠ est différente de dΠ la première désigne une petite
variation tandis que la seconde exprime la dérivée de Π ).
δΠ = ∫xx dxxuxuxf2
1))('),(,(δ .
La variation de f peut être développée en série de Taylor comme suit (les
termes de plus grand ordre seront négligés) :
Annexe BTP
ESPA . 2004 – 2005 III
δf = ''
uuf
uuf δδ
∂∂+
∂∂
.
Par substitution;
δΠ = ∫
∂∂+∂
∂xx
dxuufu
uf2
1'
'δδ = dxu
dxd
ufu
ufx
x∫
∂∂+∂
∂2
1)(
'δδ .
Une intégration par partie du second terme donne :
δΠ = uufdxu
uf
dxd
uf x
x
xx δδ ')
'(
2
1
2
1 ∂∂+⋅∫
∂∂−∂
∂.
La condition de stationnarité de Π donne uδ ∀ l’équation d’Euler.
0'
f =∂∂−∂
∂udx
duf
Dans le cas d’une fonctionnelle à plusieurs fonctions arguments d’une
variable.
∫=Πx
xdxuuuuxf nn
2
1
)',....,',,....,( 11
L’équation d’Euler:
0'
f =∂∂−∂
∂udx
duf
ii i = 1,2,….n
Table des matières
Chapitre – I: ............................................................................. 6
I-1. Présentation ................................................................................................................. 2 I-2. Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis ...................................... 4
I-2-1. Relation déformation-déplacement en mécanique du milieu continu ................. 4
I-2-2. Relation contrainte-déformation .......................................................................... 4
I-2-3. Approche cinématique ......................................................................................... 5
I-2-4. Méthodes d’approximations de Ritz .................................................................... 8
I-2-5. Méthode des Résidus pondérés : Méthode de Galerkin ...................................... 9
I-2-6. Concept de discrétisation ................................................................................... 12
I-2-7. Milieux continus discrets ................................................................................... 12
I-2-8. Principe d’assemblage ....................................................................................... 14
I-3. Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis..................................... 16 I-3-1. Systèmes de référence : ..................................................................................... 16
I-3-2. Eléments de référence ........................................................................................ 18
I-3-3. Transformation de coordonnées ........................................................................ 21
I-3-4. Formules d’intégrations numériques : ............................................................... 22
I-3-5. Changement de variable d’intégration : le Jacobien ......................................... 24
I-3-6. Matrices creuses, matrices bandes et matrices symétriques : ............................ 24
I-3-7. Classification des traitements ............................................................................ 25
I-3-8. Condition de convergence de la solution ........................................................... 26
Chapitre – II : ......................................................................... 27
II-1. Elément barre à une dimension .............................................................................. 28 II-1-1- fonction de déplacement. ................................................................................ 28
II-1-2- Calcul du déplacement et de l’énergie de déplacement. .................................. 29
II-1-3- Calcul des énergies potentielles des forces extérieures. .................................. 30
II-2. Elément poutre dans le plan.................................................................................... 32 II-3. Elément poutre dans l’espace ................................................................................. 35 II-4. Elément triangulaire : .............................................................................................. 39
II-4-1. Fonction de déplacement. ................................................................................. 40
II-4-2. Calcul de la déformation : ................................................................................ 41
II-4-3. Déformation-Contrainte : loi de comportement ............................................... 41
II-5-1. Fonction de déplacement .................................................................................. 44
II-5-2. La Déformation ................................................................................................ 45
II-6. La méthode des éléments finis pour les plaques..................................................... 49 II-6-1. Fonction de déplacement .................................................................................. 49
II-6-2. Déformations .................................................................................................... 50
II-6-3. La relation contrainte-déformation .................................................................. 51
II-6-4. Loi de comportement ....................................................................................... 52
II-7. Elément hexaédrique à huit nœuds ......................................................................... 53 II-7-1 – Fonction de déplacement ................................................................................ 53
II-7-2. Déformation ..................................................................................................... 54
Chapitre – III : ........................................................................ 57
III-1. Introduction ............................................................................................................ 58 III-2. MATLAB : Outil de simulation ............................................................................. 58
III-2-1 – Présentation ................................................................................................... 58
III-2-2 – Bref historique .............................................................................................. 59
III-2-3 – MATLAB Dans l’entreprise ......................................................................... 60
III-3. Pourquoi MATLAB ?............................................................................................ 60 III-3-1. La commande ‘sparse ‘: .................................................................................. 60
III-3-2. La commande ‘Symrcm’ et ‘Chol’ ................................................................. 61
III-3-3. La commande ‘Spy’ ........................................................................................ 62
IV-4. Présentation du programme ................................................................................... 64 IV-4-1. Manipulations ................................................................................................. 64
III-4-2. Contenus du programme ................................................................................ 67
Chapitre – IV : ....................................................................... 69
IV-1. Introduction ............................................................................................................ 70 IV-2. Application 1 : Portique spatial .............................................................................. 71 IV-4. Application 3 : Plaques avec ouverture ................................................................. 80 IV-5. Application 4 : Méthode de la bielle comprimée ................................................... 83
Conclusion ............................................................................ 88
Annexe ..................................................................................... I
Calculs variationnels .......................................................................................................... I
Liste des figures
Figure 1 : Les composantes des contraintes dans l’espace .................................................... 4 Figure 2 : Milieu continu ....................................................................................................... 6 Figure 3 : Système discrétisé en éléments finis ................................................................... 13 Figure 4 : Système de coordonnées locales et globales ....................................................... 16 Figure 5 : Repère naturel pour le triangle ............................................................................ 17 Figure 6 : Repère naturel pour le triangle ............................................................................ 18 Figure 7 : Repère local (X, Y) et repère global (x, y) pour une barre ................................. 21 Figure 8 : Intégrale d’une fonction linéaire ......................................................................... 22 Figure 9 : Forces nodales et déplacements nodaux pour la barre ........................................ 28 Figure 10 : Repère local pour la barre ................................................................................. 29 Figure 11 : Les charges pour l’élément poutre .................................................................... 32 Figure 12 : Les déplacements nodaux pour l’élément poutre .............................................. 32 Figure 13 : Poutre dans l’espace .......................................................................................... 35 Figure 14 : Discrétisation du système en éléments triangulaires......................................... 39 Figure 15 : Les forces nodales pour l’élément triangulaire ................................................. 39 Figure 16 : Les forces nodales pour l’élément quadrilatéral. .............................................. 44 Figure 17 : Les déplacements nodaux d’une plaque ............................................................ 49 Figure 18 : Repère naturel et globale de l’élément hexaédrique ......................................... 53 Figure 19 : Une session de Matlab ...................................................................................... 61 Figure 20 : Exemple de maillage qui vient de la Nasa, prédéfini sous dans Matlab .......... 62 Figure 21 : La densité de la matrice de rigidité relative au maillage................................... 62 Figure 22 : La matrice de rigidité après transformation de Cuthill-Mckee ......................... 63 Figure 23 : Lancement de la simulation dans l’espace de travail Matlab............................ 64 Figure 24 : Fenêtre d’accueil ............................................................................................... 65 Figure 25 : Menu ................................................................................................................. 65 Figure 26 : Figure 27 : Espace pour la simulation ............................................................... 66 Figure 28 : Ferme à trois dimensions. ................................................................................. 71 Figure 29 : Déformée du portique ....................................................................................... 71 Figure 30 : console courte : h ≥ l ....................................................................................... 75 Figure 31 : Console –1, Celle qui a la plus petite longueur. ............................................... 76 Figure 32 : Console –2 : Longueur deux fois la hauteur ..................................................... 76 Figure 33 : Console –1 : La section est distordue après déformation.................................. 77 Figure 34 : Console –2 respecte le principe de Navier-Bernoulli. ...................................... 77 Figure 35 : Variation des contraintes, en fonction de la longueur, pour une hauteur
constante de la poutre .................................................................................................. 78 Figure 36 : Plaque avec ouverture de 4%. ........................................................................... 80 Figure 37 : La déformée de la plaque ave une ouverture de 400cm2 .................................. 81 Figure 38 : Variation du moment en fonction de la taille des ouvertures ........................... 81 Figure 39 : Semelle rectangulaire ........................................................................................ 83 Figure 40 : Modélisation de la semelle en éléments cubiques. ........................................... 84
Figure 41 : Déformée de la semelle avec répartition des contraintes ε z . ......................... 84 Figure 42 : Les directions des contraintes maximales dans le plan x, z .............................. 87
Liste des tableaux
Tableau 1 : Résultats des calculs dans l’espace 3D ............................................................. 72 Tableau 2 : Résultats des calculs plans ................................................................................ 72 Tableau 3 : Tableau de comparaison ................................................................................... 73 Tableau 4 : Valeur des contraintes selon Robobat .............................................................. 74 Tableau 5 : Différents cas de consoles ................................................................................ 75 Tableau 6 : Comparaison des contraintes ............................................................................ 78 Tableau 7 : Variation des moments en fonction de l’ouverture de la plaque ...................... 81
Bibliographies
[1] Granding HARTLEY – Fundamentals Of Finite Element Method – McMillan
Publishing Co – 1986 (510 pages)
[2] Hayretting KARDESTUNCER & D.HORRIE - Finite element HandBook - Mc
GRAW-HILL – 1987 (362 pages )
[3] Irving SHAMES & Clive DYM – Energy And Finite Elements Methods In Structural
Mechanics – Hemisphere Publishing Corp – 1985 (757 pages)
[4] Jean COURBON – Réseau De Poutres Croisés (Tome-2) – Dunod – Paris 1971
(840 pages)
[5] Jean Louis BATOZ & Gouri DHATT – Modélisation Des Structures Par Eléments
Finis – Hermès Paris – 1990 Tome1 (455 pages), Tome2 (483 pages), Tome3 (564
pages)
[6] J.F IMBERT – Analyse Des Structures Par Eléments Finis – GEPADUES
EDITION – 1979 (480 pages)
[7] Klans J BATHE - Finite Elements In Engineering Analysis - Prentice Hill -1982
(726 pages )
[8] K.C.Rockey et H.R. EVANS et D.W GRIFFITH - Elements Finis - Eyrolles -1979
[9] Mohand MOKHTARI – Matlab 5.2, 5.3 et Simulink 2 et 3 Pour Les Etudiants Et
Ingénieurs – Springer – 2000 (663 pages)
sites web
- www.isabtp.univ.pau.fr
- www.math.edu
- www.MathWorks.com
- www.rocq.inria.fr
- www.Userbrooks.com
Titre : La méthode des éléments finis sous Matlab :Application au calcul des
structures
Auteur : RALIHALIZARA Julliard
Nombre de pages : 88
Nombre de tableaux : 7
Nombre de figures : 42
RESUME Le présent ouvrage se rapporte à la création et développement d’un environnement de
calcul et d’analyse des structures par la méthode des éléments finis sous Matlab. Le programme est ensuite utilisé pour vérifier les méthodes classiques de la RDM comme le calcul de portique à trois dimensions, les consoles courtes, les plaques avec ouvertures, et enfin, l’hypothèse de la bielle comprimée.
Summary This stands for the development of a toolbox for structural mechanics using
the finite element method, under the Matlab environment. The part one sets forth the
basis of the finite element method. In the second part, the stiffness matrix of some
usual elements models are developed for study involving elasticity problems. Third
part is brings up Matlab, and outlines some points that make it a convenient and
powerful tool to our concern. As applications, we end with some tests of classical
theories of mechanical structure with the finite element method.
Mots clés : Eléments finis, Matlab, Programmation, Matrice de rigidité,
Discrétisation, Assemblage.
Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo
Adresse : Lot IB 437 Adoharanofotsy Antananarivo 102
Téléphone : 033 14 324 93
e-mail: iaho007@yahoo.fr
top related