la inductancia es la capacidad de almacenar …profesores.dcb.unam.mx/users/franciscompr/docs/tema...

Inductancia

La inductancia es la capacidad dealmacenar energía debido a un campoalmacenar energía debido a un campomagnético, como sucede con un capacitoren un campo eléctrico.

Bobina de 1500 vueltas y pila de 6 [V]

Inductancia

La inductancia es la propiedad de uncircuito o elemento de un circuito pararetardar el cambio en la corriente queretardar el cambio en la corriente quepasa por él. El retardo está acompañadopor absorción o liberación de energía yse asocia con el cambio en la magnituddel campo magnético que rodea losconductores.Circuito CL

Inductancia

En muchos problemas de ingeniería lavariación de flujo magnético involucrada enla ecuación de Faraday es producida porla ecuación de Faraday es producida porvariaciones de corriente, en tales caso, esmucho más simple resolver los problemaspor medio del concepto de inductancia, sinaplicar la ley de Faraday; ya que la medicióndirecta de la corriente y la inductancia esmás sencilla que la del flujo magnético.

Inductancia

� En el espacio libre o vacío, y en la granmayoría de las sustancias, existe unarelación de proporcionalidad directa entrerelación de proporcionalidad directa entreel flujo concatenado y la corriente i que loproduce, por lo que podemos escribir

i∝λ

Inductancia

� Cuando se tieneun circuitoaislado queaislado quetransporta unacorriente i, elúnico flujoinvolucrado es elproducido por elpropio circuito.

Inductancia

� La relación de proporcionalidad se puedeexpresar como una igualdad al obtener elvalor constante de proporcionalidad delvalor constante de proporcionalidad delcircuito particular, la cual dependerá delmedio y de sus factores geométricos, por loque la relación se transforma en

iL ⋅=λ

Inductancia propia

� Por lo tanto

⋅λλ vueltaWbd

=⋅λ=λ= HA

vueltaWb

di

d

iL

Inductancia propia

Donde:� L se conoce como inductancia propia o

autoinductancia del circuito y la unidadresultante se conoce como henry, en honorresultante se conoce como henry, en honordel científico norteamericano Joseph Henry

� La interpretación de esta última ecuaciónindica que L representa la derivada delamda (flujo concatenado) respecto a lacorriente, evaluada para un valor dado de i.

Inductancia propia

� Recordando que:

Nφ=λLiN =φ

Derivando con respecto al tiempo

dt

diL

dt

dN =φ

Inductancia propia

� Recordando la ley de Faraday

diL

dN −=φ−=ε

dt

diL

dt

dN −=φ−=ε

Inductancia

A los dispositivos que sefabrican con el propósitode utilizar la propiedadde utilizar la propiedadllamada inductancia seles conoce comoinductores. En la figura semuestra el símbolo querepresenta a un inductor

Inductancias

Inductancia propia de un solenoide largo

Sea un solenoide largo

ANi

BA 0µφ ==

[ ]HAN

iLcomo

AiN

N

ABA

l

l

l

20

20

µλ

µφλ

φ

==

==

==

Inductancia propia de un solenoide largo

Determinar el valor de la inductancia de unsolenoide con sección circular r=3[cm],l=30 [cm] y 640 [vueltas] con núcleo del=30 [cm] y 640 [vueltas] con núcleo deaire.

L=4.85[mH]

Inductancia propia de un solenoide corto

Para el caso de un solenoide corto esnecesario aplicar un factor k de corrección yla expresión para obtener la inductanciala expresión para obtener la inductanciaapropia es:

[ ]HAN

kLl

20µ=

Gráfica para obtener el factor de corrección

a/l K

0.2 0.85

0.4 0.74

0.6 0.650.6 0.65

0.8 0.58

1.0 0.53

1.5 0.43

2.0 0.37

4.0 0.24

10.0 0.12

Inductancia propia de un solenoide largo

Determinar el valor de la inductancia deun solenoide con sección circular deradio r = 6[cm], longitud l = 6[cm], 120radio r = 6[cm], longitud l = 6[cm], 120vueltas enrolladas uniformemente y unfactor de corrección k = 0.53.

L=1.8 [mH]

Inductancia propia de un toroide de sección rectangular.

En la figura semuestra una bobinatoroidal, sus radiostoroidal, sus radiosinternos y externosson r1 y r2.

Inductancia propia de un toroide de sección rectangular.

El campo magnético

NiB 0µ=

r2B

π=

El flujo

∫∫ πµ==φ 2

1

r

r

0 bdrr2

NiBdA

Inductancia propia de un toroide de sección rectangular.

Sustituyendo limites

20 rln

Nibµ=φ1

20

r

rln

2

Nib

πµ=φ

La inductancia

]H[r

rln

2

bN

i

N

iL

1

22

0

πµ=φ=λ=

Inductancia propia de un toroide de sección rectangular.

Un toroide de sección rectangular tiene lassiguientes características: r1=8[cm],r2=10[cm], b=1 [cm]; N=3000 [vueltas] yr2=10[cm], b=1 [cm]; N=3000 [vueltas] yposee núcleo de aire. ¿Cuál es el valor de lainductancia propia?.

L=4.017 [mH]

Inductancia mutua

� En la siguiente figura se observan doscircuitos con sus respectivas fuentesvariables. La corriente en el circuito unovariables. La corriente en el circuito unoproduce un flujo que enlaza las espirasdel circuito dos.

Inductancia mutua

Similarmente la corriente en el circuito dosproduciría un flujo que enlazará a las espirasdel circuito unodel circuito unoUsando el concepto de concatenación deflujo se pueden plantear las siguientesecuaciones.

12121221

21212112

iMN

iMN

=φ=λ=φ=λ

Inductancia mutua

Cuando la corriente en el circuito 1cambia, el flujo en el inductor 2 tambiéncambia; este flujo cambiante induce una

dt

d-N

λ=ε

cambia; este flujo cambiante induce unafem 2 en la bobina 2, dada por:

Inductancia mutua

� Sustituyendo:

diM

dN 12 −=φ−=ε

dt

diM

dt

dN 1

212

22 −=φ−=ε

Es decir, un cambio en la corriente i1 induceuna fem en la bobina dos que esproporcional a la rapidez del cambio de i1.

Inductancia mutua

La definición de inductancia mutua se puede escribir como

22NM

φ=

MMM 2112 ==

1

2221 i

M =

Se puede demostrar que:

Inductancia mutua

La inductancia máxima se obtiene cuandolos flujos enlazados son máximos:

21máx

21

2

2

1

12máx

LLM

LLii

MMM

=

=λ⋅λ=⋅=

Inductancia mutua

En realidad la inductancia mutua depende dela geometría de los inductores y seacostumbra usar un factor k, denominadoacostumbra usar un factor k, denominadofactor o coeficiente de acoplamiento, cuyovalor se encuentra entre 0 y 1.

Inductancia mutua

� Por lo tanto, la inductancia mutua se puede obtener como

� LLkM =�

� Donde:

21LLkM =

10 ≤≤ k

Inductancia mutua

� Repitiendo el análisispara el inductor 1, esdecir, una corriente dt

diM 1

2 −=εdecir, una corrientecambiante i2 produceun flujo variable en elinductor 1, se tieneque:

dt

diM

ydt

21 −=ε

Inductancia mutua entre dos solenoides coaxiales

Dos solenoides de enrollamientos uniformesse colocan unos sobre otro. El solenoide 1es largo por lo que todo su flujo cruza cadaes largo por lo que todo su flujo cruza cadavuelta del solenoide 2, su inductancia mutuaes:

Inductancia mutua entre dos solenoides coaxiales

1221

1221121

NM

N;

φ=λ=

φ=λ→φ=φ

� Por lo tanto

[ ]HANNAN

NM1

210

1

102

ll

µ=µ=

1

12

1

21

i

N

iM

φ=λ=

[ ]WbAiN

BA1

1101

l

µφ ==

Inductancia en solenoides

� Se tienen dos solenoides enrollados en unnúcleo ferromagnético común ( ) ,con área a = 2 [cm^2], con longitud l=10

010µµ =con área a = 2 [cm^2], con longitud l=10[cm], considerando ambos solenoideslargos N1=2000 [vueltas] y N2=3000[vueltas] y despreciando el flujo disperso,determinar:

a) La inductancia propia de cada solenoideb) La inductancia mutua.

Inductancia en solenoides

][226.0;][1.0; 21

2

HLHLl

AN

i

NL ==== µφ

21li

][15.01

21

1

212 Hl

ANN

I

NM ===

µφ

Energía almacenada en un campo magnético

didt

dqLdq

dt

diLdW ==

[ ]JLiU 21=

� Ecuación que indica que al circularcorriente por cualquier inductor existirá unaenergía almacenada asociada al campomagnético.

[ ]JLiU 2

2

1=

Conexión en Serie

En la figura se muestran dosinductorescercanosconectadosen seriecercanosconectadosen seriey con enrollamientosen sentidos opuestos (flujosenlazados en diferentedirección).

MLLLeq 221 −+=

Conexión en Serie

� En la figura se muestrandos inductores cercanosconectados en serie yconectados en serie ycon enrollamientos en elmismo sentido (flujosenlazados en la mismadirección).

MLLLeq 221 ++=

Conexión en Serie

� Marcas de polaridad en inductores en serie.

Conexión en Serie

� En el caso particular en que el coeficiente de acoplamiento es muy pequeño y

LyLM <<

� Las ecuaciones anteriores se pueden aproximar como

21 LyLM <<

21 LLLeq +=

Conexión paralelo

� En la figura se muestran dos inductores en inductores en paralelo con flujos en direcciones iguales.

MLL

MLLLeq 221

221

++−=

Conexión paralelo

� En la figura se muestran dos inductores en inductores en paralelo con flujos en direcciones contrarias.

MLL

MLLLeq 221

221

−+−=

Inductores en paralelo. Marcas de polaridad.

� Colocación de las marcas de polaridad en inductores en paralelo

Conexión paralelo

� En el caso de que M << L1 y L2

las ecuaciones anteriores se pueden aproximar a:aproximar a:

21

21

LL

LLLeq +

=

Ejemplo

Dos solenoides L1 (N1=200,l1=12[cm], a1=1[cm] y r1=6[ohm]) yL2 (N2=1000, l2=10 [cm], a2=1[cm] y r2 =3[ohm]) se conectan en[cm] y r2 =3[ohm]) se conectan enserie a una fuente de 24[V] con 1[ohm] de resistencia interna. Si elcoeficiente de acoplamiento esk=0.2. Determine:a) Las autoinductancia L1 y L2 de

los solenoidesb) El inductor equivalente a la

conexión serie.

Ejemplo

a) L1=0.13159 [mH]L2=0.987 [mH]

b) M=0.07207[mH] y L=0.9744[mH]

Bibliografía.

Gabriel A. Jaramillo Morales, Alfonso A. Alvarado Castellanos.Electricidad y magnetismo.Electricidad y magnetismo.Ed. Trillas. México 2003

Sears, Zemansky, Young, FreedmanFísica UniversitariaEd. PEARSON. México 2005