kumpulan tugas kuliah semikonduktor
Post on 31-Jul-2015
459 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SEMIKONDUKTORKUMPULAN TUGAS KULIAH
OLEH:
ALVIN RAHMAT
JAMALUDDIN
HELGA DWI FAHYUAN
MELI MUCHLIAN
MERRY THRESSIA
Dosen: Drs. Alimin Mahyudin. M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA PASCASARJANAUNIVERSITAS ANDALAS2012
TUGAS I
MENENTUKAN MASSA EFEKTIF DENGAN METODA RESONANSI SIKLOTRON, MASSA EFEKTIF 3D DAN
GAMBARAN MASSA EFEKTIF 3D UNTUK Si, Ge, GaAs
A. Massa Siklotron
Energi partikel elektron bebas dalam komponen vektor gelombang paralel (kz) dan
tegak lurus (k⊥) terhadap medan magnet, energi permukaan ε konstan diperoleh dari
hubungan (kz, k⊥) yang memenuhi persamaan :
(1)
Ruang k ini bersilangan dengan kz adalah :
(2)
Hal ini menyiratkan bahwa :
(3)
Jika persamaan ini disubstitusikan pada persamaan siklotron
(4)
Yang diperoleh untuk elektron bebas.
Perioda dan frekuensi siklotron untuk elektron bebas adalah :
(5)
Spektrum energi partikel dengan massa siklotron mc dapat didefinisikan sebagai :
(6)
Dengan mengulangi langkah perhitungan kasus elektron bebas, kita dapat
menetapkan energi elektron Bloch yang dikarakteristikkan oleh massa efektif skalar m*,
sehingga massa siklotron menjadi sama dengan massa efektif yang diperoleh dari struktur
pita.
mc = m* (7)
Hubungan dispersi umum elektron Bloch dengan energi permukaan konstan,
orientasi ellipsoid berada di sekitar minimum dan maksimum, dimana hubungan dispersi
dapat didekati dengan ekspresi kuadrat, dan persimpangan dari permukaan Fermi tegak
lurus bidang terhadap medan magnetik elips. Seperti terlihat pada Gambar 1 orbit siklotron
bergantung pada titik di permukaan Fermi. Periode dan frekuensi gerak siklotron elektron,
terbebas dari parameter ketinggian (kz) dan yang hanya tergantung pada orientasi medan
magnet yang diterapkan pada sumbu utama permukaan fermi elipsoid. Massa siklotron
adalah komponen rata-rata tensor massa efektif saat diberikan medan magnet sepanjang
sumbu z.
(8)
Gambar 1. Orbit eliptik siklotron pada permukaan Fermi elipsoidal
Cara paling mudah untuk menurunkan ini adalah dengan memecahkan persamaan
gerak elektron yang diterapkan pada persamaan dispersi medan magnet dalam arah z.
(9)
Metode ini akan kita terapkan dalam perhitungan masa elektron setelah tabrakan.
Untuk menyederhanaan notasi, kita akan menggeser asal ke k0. Menghitung
kecepatan dalam persamaan gerak semiklasik hubungan dispersi, didapatkan:
(10)
Karena gerakan ini periodik, kita mencari solusi dari bentuk k e−i ωc t. Rumus di atas
kemudian diarahkan ke persamaan homogen.
(11)
Solusi nontrivial muncul ketika determinan yang dibentuk dari koefisien tersebut
hilang :
(12)
Salah satu solusinya adalah, ωc = 0. Sehingga solusi secara fisika diperoleh dari persamaan
(13)
Dengan mendefinisikan massa siklotron dengan cara lama, dan mengubahnya menjasi
tensor massa efektif M* dari invers tensor massa efektif M*-1, persamaan massa siklotron
(pers. 8) dibawah terselesaikan.
Hasil untuk kasus sumbu koordinat yang dipilih sepanjang sumbu utama di
permukaan Fermi ellipsoid dengan mengabaikan induksi magnetik dot dalam arah keadaan
simetri. Tensor massa effektif menjadi diagonal, sehingga hubungan tersebut dapat ditulis
sebagai :
(14)
dan, menurut asumsi kami, massa positif masing-masing dalam tiga arah. Menentukan
proyeksi dari medan magnet sepanjang sumbu utama dalam arah cosinus α1, α2, dan α3 :
(15)
Persamaan gerak untuk komponen sepanjang sumbu utama adalah :
(16)
Selanjutnya untuk mencari solusi dari bentuk k e−i ωc t
(17)
diperoleh, maka kondisi keberadaan solusi nontrivial adalah:
(18)
Perluasan dari determinan mengarah ke persamaan kubik dalam ωc:
(19)
Hal ini terlihat bahwa solusi pertama adalah ωc = 0. Dua lainnya adalah dalam bentuk :
(20)
Hubungan antara massa siklotron dan frekuensi siklotron, diberikan dalam persamaan (5),
menjadi :
(21)
Dalam kasus khusus ketika energi yang diberikan :
(22)
yaitu, massa longitudinal dan transversal (seperti pada semikonduktor), dan medan magnet
yang membuat sudut θ terhadap sumbu z, maka massa siklotron adalah :
(23)
B. Resonansi Siklotron dan Energi Permukaan Elipsoid
Pertama kita tinjau kasus energi di permukaan bola dan massa efektif skalar. Gaya
Lorentz pada hole (dimisalkan hole dalam sampel tipe-p untuk perhitungan spesifik)
diberikan oleh persamaan :
(1)
Jika massa efektif m p¿ dalam arah sembarang, dan vektor medan listrik berosilasi, frekuensi
ω, maka untuk getaran sepanjang arah x, maka :
(2)
Sementara
(3)
dan komponen gaya Lorentz yang diberikan dalam persamaan gerak :
(4)
(5)
(6)
Dalam menulis persamaan ini vektor medan magnet rf yang dibandingkan medan Bo
konstan diabaikan. Persamaan komponen z (pers. 6) hanya memberitahu kita bahwa partikel
bergerak dengan kecepatan konstan sepanjang arah z. Persamaan komponen x dan y dapat
ditulis
(7)
(8)
dimana ω0 adalah frekuensi
(9)
yang berhubungan dengan efek Hall.
Jika solusi osilasi x=x0 eiωtdan y= y0e iωt` maka
(10)
dan
(11)
yang dapat diselesaikan untuk amplitudo xo dan yo, sehingga
(12)
(13)
Ketika ω=ω0=e B0/mp¿ resonansi terjadi dan amplitudo menjadi sangat besar.
Frekuensi resonansi ω0sering disebut sebagai frekuensi siklotron. Jikaω0 diukur
secara eksperimen dan induksi medan magnet Bo diketahui, massa efektif m p¿, dapat
ditentukan. Dalam prakteknya, efek resonansi siklotron merupakan suatu metode terbaik
untuk mengukur massa efektif. Dari persamaan 12 dan 13 dapat dilihat ω→ ω0
(14)
Dimana
(15)
(16)
Pada saat resonansi, x (t) dan y (t) adalah getaran harmonik ortogonal dari jumlah
amplitudo yang berbeda fase sebesar 90°. Hal ini terlihat bahwa lintasan partikel yang
dihasilkan berbentuk orbit melingkar.
Nilai energi minimum dalam zona tidak selalu berada pada k = 0, tetapi mungkin
berada di tempat lain dalam zona. Keadaan ini diamati pada elektron di pita konduksi
germanium dan silikon. Karena kisi berlian adalah FCC dengan jarak diagonal a√ 34
.
Grafik hubungan E terhadap k sepanjang arah (100) di zona Brillouin untuk elektron pada
pita konduksi silikon ditunjukkan pada Gambar 1. Nilai ε terkecil dicapai saat nilai k 0.8
(2π/a).
Gambar 2. Hubungan ε vs k untuk (a) pita konduksi silikon, diplot sepanjang arah kx (b)
pita konduksi germanium, diplot sepanjang (111) arah ruang k
Energi εc mewakili energi kinetik elektron bebas dalam pita konduksi, dimana
(17)
Gambar 3 adalah elipsoidal energi permukaan dalam ruang k.
Gambar 3. Ellipsoidal energi permukaan konstan dalam ruang k untuk (a) silikon dan (b)
germanium. Dalam silikon sumbu utama dari ellipsoids di sepanjang arah {100}, sementara
di germanium, karena energi minimum pada batas zona, permukaan energi yang konstan
membentuk delapan setengah-ellipsoids yang utama terletak di sepanjang sumbu arah
{111}.
Selanjutnya efek resonansi siklotron material pada energi permukaan ellipsoid.
Pertama dihitung frekuensi resonansi yang berhubungan dengan ellipsoid tunggal, yang
diasumsikan simetris terhadap sumbu kz dan berpusat pada titik kzo, seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 3. Induksi magnetik B, membuat sudut θ dengan sumbu utama
elipsoid. Dalam keadaan ini, persamaan gerak (untuk partikel muatan e positif) dapat ditulis
dalam bentuk tensor
(18)
yang merupakan kebalikan dari massa efektif
(19)
Gambar 4. Geometri vektor yang digunakan untuk perhitungan
Hubungan antara ε dan k untuk kasus energi permukaan ellipsoid ditunjukkan pada
Gambar 4 harus, menurut persaman 17 maka
(20)
Komponen tensor (1/m*)αβ sekarang ditemukan
(21)
Dalam hal ini, ∂2 ε
∂ kα ∂ k β
=0, untuk α ≠β sehingga semua elemen tensor diagonal adalah nol.
Elemen-elemen diagonal mudah dievaluasi, hasilnya menjadi
(22)
Tensor massa efektif memiliki bentuk
(23)
dan
(24)
Dengan memasukkan komponen gaya Lorentz Fx, Fy, dan FZ dan menyamakan ke
komponen dv/dt seperti yang diarahkan persamaan 18, persamaan gerak dapat ditulis :
(25)
Perhatikan bahwa Bx =Bo sin θ, Bz = Bo cos θ, By = 0, E y=E0 e iωt, E x=E y=¿0. Persamaan
ini dapat dinyatakan sebagai :
(26)
Dimana
(27)
Seperti sebelumnya, solusi osilasi diasumsikan dalam bentuk x (t)=x0 e iωt,y (t )= y0 eiωt dan
z (t)= z0 e iωt, disubstitusikan ke dalam persamaan gerak 23 dan amplitudo diselesaikan
untuk mendapatkan
(28)
Amplitudo ini menjadi sangat besar saat
(29)
C. Massa Efektiv 3D
Persamaan gerak semi klasik
(1)
(2)
Selanjutnya persamaan diatas diolah dalam
(3)
Nilai massa didefinisikan dalam hukum Newton adalah :
(4)
Disebut massa efektif dinamis, karena perubahan massa dalam k mengakibatkan perubahan
waktu sesuai yang dengan k. Pengecualian dalam tinjauan 3-D, nilai F dan a tidak selalu
dalam arah titik yang sama.
(5)
dimana
(6)
(7)
Hubungan struktur pita, kecepatan dan massa efektif adalah seperti terlihat pada
Gambar 5.
Gambar 5. Struktur pita, kecepatan dan massa efektif
D. Orientasi Massa Efektiv Si, Ge dan GaAs
Gambar 6. Orientasi Massa Efektif Si, Ge dan GaAs
E. Massa Efektif, Pita energi maksimum dan minimum dari Ge, Si dan GaAs
Tabel 1 : Massa Efektiv, Pita energi maksimum dan minimum dari Ge, Si dan GaAs
TUGAS II
IKATAN LOGAM DAN MENENTUKAN JUMLAH ELEKTRON DALAM LOGAM
A. Ikatan Logam
Atom logam dapat berikatan sambung menyambung ke segala arah sehingga
menjadi molekul yang sangat besar sehingga atom tersebut terikat kuat dan menjadikan
logam berwujud padat (kecuali Hg cair) dan umumnya keras. Mekanisme pembentukan
ikatan logam belum diketahui secara pasti karena atom logam cenderung melepaskan
elektron valensinya (agar sesuai dengan aturan oktet), maka atom logam mampu
melepaskan satu, dua, tiga atau empat elektronnya tapi teori ini tidak ada yang
menerimannya.
Teori (pendekatan) yang menjelaskan tentang ikatan logam :
1. Teori Drude dan Lorentz
Pada tahun 1900 Drude berpostulat bahwa logam terdiri atas pusat-pusat (cores) ion
positif dengan elektron valensi yang bebas bergerak di antara pusat-pusat ion tersebut.
Elektron-elektron valensi tersebut dibatasi untuk bergerak di dalam logam akibat adanya
gaya tarik elektrostatis antara pusat-pusat ion positif dengan elektron-elektron valensi.
Medan listrik seluruh bagian dalam logam ini dianggap konstan, dan gaya tolak antara
elektron-elektron tersebut diabaikan. Tingkah laku elektron-elektron yang bergerak dalam
logam dianggap sama dengan tingkah laku atom atau molekul gas mulia. Karena itu,
elektron-elektron ini juga dianggap bebas dan sering disebut gas elektron bebas. Dan teori
yang membahas gas elektron bebas ini sering disebut model gas elektron bebas.
Namun demikian, sesungguhnya gas elektron bebas berbeda dengan gas biasa.
Perbedaan pertama adalah bahwa gas elektron bebas bermuatan negatif sedangkan molekul-
molekul dari gas biasa netral. Kedua, konsentrasi elektron bebas dalam gas elektron bebas
jauh lebih besar dari pada konsentrasi molekul dalam gas biasa.
Elektron valensi sering disebut sebagai elektron konduksi dan mematuhi prinsip
Pauli. Elektron-elektron ini bertanggung jawab atas hantaran arus listrik dalam logam.
Karena elektron-elektron konduksi bergerak di dalam medan elektrostatis serbasama
(uniform) ditimbulkan oleh pusat-pusat ion, maka energi potensial tetap konstan dan sama
dengan nol. Artinya keberadaan pusat-pusat ion diabaikan. Dengan demikian, energi
elektron konduksi sama dengan energi kinetiknya. Karena gerakan electron konduksi
dibatasi dalam logam, maka energi potensial elektron dalam logam lebih kecil dari pada
energi potensial elektron diluar permukaan logam. Perbedaan energi potensial ini berfungsi
sebagai penghalang dan menyebabkan elektron-elektron dalam logam tidak dapat keluar
meninggalkan permukaan logam tersebut. Oleh karena itu, dalam model gas elektron bebas
gerakan elektron-elektron bebas dalam sebuah logam adalah sama dengan gerakan sebuah
gas elektron bebas di dalam sebuah kotak energi potensial. Elektron konduksi yang
dibicarakan sekarang ini adalah elektron konduksi dalam logam yang belum diberi sumber
tegangan (beda potensial).
Dengan mengacu pada postulat Drude, gas elektron bebas bersifat seperti gas mulia.
Tahun 1909 Lorentz berpostulat bahwa elektron-elektron penyusun gas elektron bebas
dalam keadaan ekuilibirum mematuhi statistika Maxwell-Boltzmann. Kedua postulat ini
sering dipadukan dan sering disebut Teori Drude-Lorentz. Karena teori ini didasarkan pada
statistika klasik Maxwell-Boltzmann, teori ini disebut Teori Klasik. Meskipun teori ini
bersifat klasik, namun telah berhasil digunakan untuk menjelaskan beberapa sifat logam.
Contoh teori ini berhasil membuktikan keabsahan hukum Ohm. Di samping itu, karena
elektron bebas dengan mudah bergerak dalam logam, beberapa logam menunjukkan adanya
konduktivitas listrik dan konduktivitas panas yang tinggi. Ratio antara konduktivitas listrik
( ) terhadap konduktivitas panas ( ) selalu konstan.
= konstan (1)
Persamaan in sering disebut hukum Wiedemann-Franz.
Di samping keberhasilannya, teori ini memiliki kegagalan, diantaranya dalam
menjelaskan ketergantungan resistivitas terhadap temperatur. Menurut teori ini, resistivitas
listrik merupakan fungsi akar kuadrat dari temperatur T. Padahal resistivitas listrik
merupakan fungsi linier dari temperatur. Kegagalan lainnya adalah tentang kapasistas panas
elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron konduksi. Teori ini gagal
menjelaskan kapasitas panas elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron
konduksi. Kapasitas panas dan suseptibilitas paramagnetik yang dihitung oleh teori ini lebih
besar dari nilai yang diamati secara eksperimen.
2. Pendekatan Teori Ikatan Valensi
Logam dalam keadaan padat mempunyai bilangan koordinasi (BK) yang cukup
besar, artinya satu atom berikatan dengan banyak atom tetangganya. Oleh karena itu
elektron valensi atom logam dapat membentuk pasangan terikat dengan elektron valensi
atom lain didekatnya tetapi sifatnya tidak tetap dan hanya sesaat untuk kemudian terikat
kembali dengan atom tetangga yang lainnya.
Sebagai contoh ikatan logam pada Natrium (titik leleh 97,80C), meleleh pada suhu
yang jauh lebih tinggi dibandingkan Neon. Natrium memiliki konfigurasi elektron
1s22s22p63s1. Ketika atom-atom Natrium datang secara bersamaan, elektron pada orbital 2s
dari satu atom natrium membagi ruang dengan elektron yang bersesuaian pada atom
tetangganya untuk membentuk sebuah orbital molekul.
3. Pendekatan Teori Orbital Molekul (TOM)
Menurut TOM dalam senyawa hanya ada orbital molekul (tidak ada orbital atom),
oleh karena itu dalam logam yang berupa molekul raksasa terdapat molekul raksasa karena
semua elektron atom logam berada dalam orbital molekul sehigga atom – atom tersebut
terikat kuat satu sama lain. Orbital s dalam semua atom logam, saling tumpang tindih
untuk memberikan orbital molekul dalam jumlah yang sangat banyak.
Ciri-ciri ikatan logam:
1. Atom logam dapat diibaratkan seperti bola pingpong yang terjejal rapat satu sama lain.
2. Atom logam mempunyai sedikit elektron valensi, sehingga sangat mudah untuk
dilepaskan dan membentuk ion positif.
3. Kulit terluar atom logam relatif longgar (terdapat banyak tempat kosong) sehingga
elektron dapat berpindah dari satu atom ke atom lain.
4. Mobilitas elektron dalam logam bebas, sehingga elektron valensi logam mengalami
delokalisasi yaitu keadaan elektron valensi yang tidak tetap posisinya pada satu atom,
tetapi senantiasa berpindah-pindah dari satu atom ke atom lain.
5. Elektron-elektron valensi tersebut berbaur membentuk awan elektron yang
menyelimuti ion-ion positif logam.
6. Struktur logam dapat menjelaskan sifat-sifat khas logam yaitu :
a. Berupa zat padat pada suhu kamar, akibat adanya gaya tarik-menarik yang cukup
kuat antara elektron valensi (dalam awan elektron) dengan ion positif logam.
b. Dapat ditempa (tidak rapuh), dapat dibengkokkan dan dapat direntangkan menjadi
kawat. Hal ini akibat kuatnya ikatan logam sehingga atom-atom logam hanya
bergeser sedangkan ikatannya tidak terputus.
c. Penghantar / konduktor listrik yang baik, akibat adanya elektron valensi yang
dapat bergerak bebas dan berpindah-pindah. Hal ini terjadi karena sebenarnya
aliran listrik merupakan aliran elektron.
B. Menentukan Jumlah Elektron Dalam Logam
Dalam zat padat masing-masing atom menyumbangkan satu elektron bebas pada
gas elektron. Sehingga dalam satu kilomole logam terdapat No elektron bebas. Jika
elektron-elektron tersebut berkelakuan seperti molekul-molekul dalam gas ideal, maka
masing-masing elektron akan memiliki energi kinetik rata-rata 32
kT, dan dalam tiap
kilomole logam akan terdapat energi kinetik sebesar
U e=32
N okT = 32
RT (1)
Oleh karena itu ada sumbangan panas jenis molar dari elektron bebas sebesar
c ve=(∂U e
∂T )v=3
2R
(2)
Dengan demikian panas jenis molar logam akan menjadi
cv≈ 3R + 32
R ≈ 92
R (3)
Akan tetapi kenyataannya panas jenis zat padat baik logam dan non logam pada suhu tinggi
secara eksperimen diperoleh cv≈ 3R , dari keadaan ini dapat disimpulkan bahwa elektron
bebas tidak memberikan kontribusi terhadap panas jenis padatan sebesar yang dihasilkan
persamaan (2).
Kita dapat memahami sifat-sifat dari logam secara sederhana melalui model
elektron bebas. Menurut model elektron bebas, elektron valensi dari atom-atom penyusun
padatan logam menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas disekitar inti logam pada
keseluruhan volume logam. Elektron-elektron bebas dipantulkan oleh medan potensial yang
kuat dari ion inti logam.
Tataran Energi Elektron Fermi
Tinjaulah gas elektron bebas dalam satu dimensi, dengan menggunakan teori
kuantum dan prinsip Pauli. Sebuah elektron dengan massa m dibatasi geraknya sepanjang L
oleh sumur tak berhingga, seperti pada Gambar (1).
Gambar 1. Tingkat Energi dan Keadaan Gelombang Stationer Elektron Bebas
Fungsi gelombang (x) dari elektron merupakan penyelesaian dari persamaan
Schrodinger H = E, dengan mengabaikan energi potensial diperoleh H = p2/2m, di mana
p adalah momentum elektron bebas. Dalam teori kuantum p dapat dinyatakan dengan -iℏ
d/dx, sehingga
HΨ n=− ℏ2
2m
d2Ψ n
dx 2=EnΨ n
(4)
di mana En adalah energi elektron dalam orbital. Orbital menyatakan penyelesaian dari
persamaan gelombang hanya untuk satu elektron. Sesuai dengan gambar (1) maka
persamaan (4) berlaku syarat batas yaitu n (0) = n (L) = 0. Penyelesaian yang cocok dari
persamaan (4) adalah sebuah gelombang sinosoidal
Ψ n=A sin (2 πλn
x ); (5)
dengan 12
nλn= L dan A tetap dan energi En diperoleh
En=ℏ2
2m ( nπL )
2 (6)
Berdasarkan Prinsip Larangan Pauli tidak ada dua elektron yang dapat memeilki
semua bilangan kuantum yang sama, dengan demikian masing-masing orbital paling
banyak hanya bisa ditempati oleh satu elektron. Dalam kisi linier bilangan kuantum dari
orbital elektron konduksi adalah n dan ms, dengan n bilangan bulat positif dan ms = ½
merupakan bilangan kuantum spin magnetik. Jika nF menyatakan tataran energi tertinggi
yang terisi dimana pengisian mulai dari n = 1 sampai semua N elektron terakomodasi, maka
diperoleh
EF=ℏ2
2m ( nF π
L )2
= ℏ2
2 m (Nπ2L )
2 (7)
yang menyatakan tataran energi elektron tertinggi dalam satu dimensi.
Dalam tiga dimensi maka persamaan Schrodinger menjadi;
− ℏ2
2m ( ∂2
∂ x2+ ∂2
∂ y2+ ∂2
∂ z2 )Ψ k (r )=Ek Ψ k (r )(8)
Anggaplah elektron terkurung dalam kotak dengan sisi L maka fungsi gelombang dalam
bentuk gelombang berdiri adalah;
Ψ (r )=A sin ( πnx x
L )sin( πn y y
L )sin( πnz z
L ) (9)
dimana nx, ny, dan nz adalah bialngan-bilangan bulat positif. Dalam hal ini berlaku syarat
batas periodik fungsi gelombang
(x + L,y,z) = (x,y,z)
(x ,y + L,z) = (x,y,z)
(x ,y,z + L) = (x,y,z)
(10)
Penyelesaian dari persamaan Schrodinger untuk tiga dimensi sesuai dengan syarat batas
persamaan (10) adalah.
k (r) = ei(k.r) (11)
dengan
k x= 0; ±2 πL
; ± 4 πL
; .. .(12)
demikian juga untuk ky dan kz . Dengan memasukkan persamaan (11) ke persamaan (8)
persamaan energi orbital dengan vektor gelombang k.
Ek=ℏ2k2
2m= ℏ2
2m(k x
2+k y2 +k z
2)(13)
besaran dari vektor gelombang terkait dengan panjang gelombang yaitu k = 2 / .
Energi sebagai fungsi dari k dilukiskan pada Gambar 2.
Gambar 2. Energi elektron bebas sebagai fungsi k
Fungsi gelombang di atas memenuhi 2 = 1, yang berarti bahwa elektron memiliki
probabilitas yang sama untuk ditemukan pada setiap tempat dalam kisi. Dengan
menganggap elektron berada pada energi potensial yang tetap maka energi elektron yang
digambarkan dengan fungsi gelombang di atas dikaitkan dengan energi kinetik elektron
dengan momentum p = ℏ .k adalah;
E = p2
2me
=ℏ2k2
2m e
(14)
Model elektron bebas mengijinkan semua harga k, akibatnya juga berlaku untuk
semua harga enegi Ek, yang berarti bahwa model elektron bebas tidak menyediakan
informasi tentang lebar sebuah pita energi, tetapi kita dapat menentukan lebar pita energi
dengan cara berikut; tinjaulah sebuah kisi linier dengan panjang L terdiri dari N ion yang
saling berjarak a, sehingga L = N.a. Untuk memperoleh gelombang tegak maka panjang-
gelombang elektron harus memenuhi persyaratan n(/2) = L. Untuk setiap harga n
menyatakan sebuah hasil keadaan stasioner, tapi telah diketahui bahwa pita dalam kisi
disusun oleh N ion yang hanya memiliki N keadaan. Oleh karena itu harga-harga yang
mungkin dari n adalah; 1, 2, 3, ..............., N. Karena k = 2/, maka selanjutnya dapat
diperoleh k =nπ
L
Momentum linier dalam mekanika kuantum dinyatakan dengan operator p = -iℏ ,
dengan demikian untuk persamaan (11) diperoleh hubungan,
pk (r) = -iℏ k (r) = ℏ k k (r) (15)
jadi k merupakan fungsi eigen dengan nilai eigen adalah ℏ k. Kecepatan elektron bebas
dalam orbitel ke k adalah v = ℏ k/m.
Dalam keadaan dasar sebuah sistem N elektron bebas, orbital yang terisi dinyatakan
sebagai titik-titik di dalam ruang bola k. Energi pada permukaan bola merupakan energi
Fermi, dengan vektor gelombang pada permukaan bola adalah kF.
EF=ℏ2
2mkF
(16)
Dari persamaan (12) dapat dipahami bahwa untuk volumen (2/L)3 terdapat satu
pasangan triplet harga k ( kx ,ky dan kz ) dari ruang k. Dengan demikian jumlah orbital
yang tersedia dalam bola dengan volume 43
π k F3
adalah.
243
πk F3
(2 π /L )3= V
3π2k F
3 =N(17)
di mana faktor 2 pada persamaan sebelah kiri muncul dari karga spin magnetik yang
diizinkan. Dari persamaan (17) diperoleh.
k F=( 3π 2 NV )1
3(18)
yang hanya bergantung pada konsentrasi elektron bebas. Dengan demikian energi fermi
dari gas elektron dapat dinyatakan dengan.
EF=ℏ2
2m( 3π 2N
V )23
(19)
dengan harga energi pada persamaan (19) maka kecepatan elektron pada permukaan Fermi
adalah;
vF=( ℏ kF
m )=( ℏm )( 3 π2 N
V )13
(20)
Selanjutnya ditentukan jumlah orbital-orbital per satuan interval energi yang disebut
kerapatan keadaan D(E). Kerapatan keadaan menyatakan bagaimana elektron bebas
terdistribusi dalam sebuah pita energi dari nol sampai energi maksimum. Dari persamaan
(18) jumlah total orbital dengan energi E adalah;
N = V3 π 2 (2 mE
ℏ2 )32
(21)
sehingga kerapatan keadaan dapat diperoleh
D( E )=dNdE
= V2π2 ( 2m
ℏ2 )32 . E
12
(22)
dapat juga ditunjukkan bahwa D(E) =
3 N2E , ini menyatakan jumlah total elektron bebas
dibagi energi Fermi. Jumlah tataran energi dalam interval energi dE yang disediakan untuk
partikel bebas dapat ditentukan yaitu.
dN = V2π2 ( 2m
ℏ2 )32 . E
12 . dE
(23)
masing-masing tataran energi dapat menampung dua elektron bebas (satu dengan spin atas
dan satu dengan spin bawah). Oleh karena itu untuk satu satuan volume, maka jumlah total
elektron persatuan volume dengan energi antara E sampai (E + dE) dalam pita adalah.
dn = 1π2 ( 2 m
ℏ2 )32 . E
12 . dE= g( E ) dE
(24)
Keadaan dari g(E) sebagai fungsi E ditunjukkan oleh gambar (3) di bawah. Jumlah
elektron persatuan volume yang dapat ditampung sampai energi E adalah.
n =∫0
E
g( E ) dE
Gambar 3. Kerapatan keadaan energi elektron bebas
Oleh karena itu dapat diperoleh jumlah total elektron bebas persatuan volume yaitu;
n = 23 π2 ( 2m
ℏ2 )32 . E
32 .
(25)
Jika logam dalam keadaan dasar (pada keadaan suhu absolut nol) semua elektron
akan mengisi tataran energi yang terendah tersedia dengan tetap mengikuti prinsip larangan
Pauli. Jika jumlah total elektron persatuan volume dalam keadaan dasar adalah no lebih
kecil dari pada jumlah tataran energi dalam pita, maka elektron akan mengisi semua
keadaan energi sampai pada energi maksimum yang dinyatakan dengan EF yang disebut
dengan Energi Fermi yang harganya dapat ditentukan yaitu;
EF=ℏ2
2m (3 π2 no )23
(26)
Energi Fermi memiliki harga positif dan memegang peranan penting di dalam
penerapan fisika logam.
Statistik Distribusi Elektron Bebas
Elektron bebas dalam logam merupakan partikel yang paling sesuai dengan
karakteristik dari sistem Fermion, karena elektron bebas merupakan sistem partikel yang
tak terbedakan saling berinteraksi satu dengan yang lainnya dengan mengikuti prinsip
larangan Pauli. Elektron bebas seperti yang telah dijelaskan di atas memiliki kelompok
tataran energi yang disebut pita energi. Pita energi paling rendah terisi penuh dengan
elektron pada semua suhu, elektron pada pita ini tidak menjadi bahan bahasan, tetapi pita
energi lebih atas hanya terisi sebagian elektron sampai pada batas energi tertentu. Pengisian
elektron pada tataran energi ini sesuai dengan yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya.
Hanya elektron-elektron yang mengisi pita paling atas inilah yang memberikan kontribusi
terhadap sifat-sifat termal dari padatan jenis logam tersebut.
Untuk menentukan statistik distribusi elektron hanya akan ditinjau distribusi
elektron pada tataran energi pada pita energi yang terisi sebagian dan tataran energi lebih
di atas yang tidak terisi. Tataran energi dari pita kosong tersebut disebut pita konduksi.
Dalam hal ini diambil acuan energi nol pada batas bawah dari pita konduksi tersebut.
EFEF
Karena spektrum energi pada pita dianggap kontinu maka jumlah elektron dengan energi
antara E sampai E +dE adalah
dn = g(E) fFD (E) dE (27)
dengan g(E)dE sesuai persamaan (24) dan fFD (E) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac.
fFD (E) =
1
e(E - EF )/kT
+1
(28)
Fungsi distribusi ini mengikuti prinsip larangan Pauli. Pada T = 0 K maka fFD (E) =
1 untuk E EF dan fFD (E) = 0 untuk E EF. Untuk setiap keadaan temperatur fFD (E) = ½
untuk E = EF. Pada T = 0 K kemungkinan untuk menemukan elektron pada daerah E EF
adalah satu, artinya tidak ada kemungkinan untuk menemukan elektron pada daerah E EF,
energi tertinggi yang dapat terisi elektron adalah EF. Pada T = 0 semua tataran energi
sampai E = EF terisi sampai penuh sedangkan tataran energi E EF,tidak terisi. Pada T = 0
K semua elektron harus berada pada tataran keadaan dasar (ground state). Kemungkinan
untuk menemukan elektron dengan energi E = EF adalah ½. Keadaan dari fungsi distribusi
elektron digambarkan seperti gambar 5.4 berikut.
fFD(E) T = 0 K fFD(E) T 0 K
1,0 1,0
0,5
0 E 0 E
Gambar 4. Keadaan fungsi didtribusi Fermi Dirac Pada T = 0 K dan T 0 K
Gambar (4) dapat ditunjukkan bahwa pada temperatur lebih tinggi tataran energi E
EF, mulai terisi elektron oleh adanya perpindahan elektron dari tataran energi yang lebih
rendah. Akan tetapi hanya elektron dengan energi yang mendekati EF yang dipengaruhi
oleh kenaikan temperatur kT EF. Sehingga hanya elektron Fermi dengan energi EF dapat
berpindah mengisi tataran energi yang lebih tinggi dengan menyerap energi sebesar kT.
Dari persamaan (24), (27), dan (28) maka jumlah elektron dengan energi antar E
samapai E +dE adalah;
n( E ) dE =
1
π 2 ( 2m
ℏ2 )32 . E
12 dE
e(E - EF )/k . T
+1=
8 π (2m3 ¿h6)12 E
12 dE
e( E - EF )/k . T
+1
(29)
Energi total untuk n elektron pada suhu yang sangat rendah dapat dihitung dengan
mempertimbankan bahwa suhu mendekati 0 K, sehingga fungsi distribusi mendekati 1.
U = ∫E dN =∫E
dNdE
dE(30)
Dari persamaan (23) diperoleh
dNdE
= Vπ2 ( 2 m
ℏ2 )32 . E
12
(31)
dengan demikian diperoleh,
U =
V
π 2 (2m
ℏ2 )32 .∫
0
EF
E32 dE=
2V
5 π2 ( 2m
ℏ2 )32 EF
5/2
(32)
dengan memasukkan persamaan (27) maka persamaan (33) dapat dinyatakan menjadi,
U = U = 35
N EF(33)
Yang menyatakan energi minimum dari sebuah sistem N fermion, dengan demikian
energi arat-rata untuk setiap fermion adalah
U =35
EF(34)
Berikut ini di tunjukkan beberapa besaran energi Fermi dari beberapa logam
Tabel 1. Energi Fermi beberapa logam
Jenis logam Energi Fermi (ev)
Litium (Li) 4,72
Sodium (Na) 3,12
Aluminium (Al) 11,8
Potasium (K) 2,14
Cesium (Cs) 1,53
Tembaga (Cu) 7,04
Seng (Zn) 11,0
Emas (Au) 5,54
Perak (Ag) 5,51
TUGAS III
MENENTUKAN LEVEL FERMISEMIKONDUKTOR INTRINSIK DAN EKSTRINSIK
A. Menentukan konsentrasi elektron pada semikonduktor intrinsik
Distribusi elektron (pembawa) dalam semikonduktor :
KB = Konstanta Bolzman
f e( E)= 1
1+e(E−EF)/KBT ; untuk E EC berlaku E- EF KBT
Menghasilkan f e( E)=e(E¿¿ F−E)/KBT ¿ (1)
Rapat kebolehjadian elektron :
ge (E)=4 π ( 2 meh2 )
32 (E−EC)
12 ; misalkan : γ=4 π ( 2 me
h2 )32
ge (E)=γ (E−EC )12 (2)
Jumlah elektron dalam pita konduksi :
n(E) = ∫EC
ge ( E ) . f e (E ) dE (3)
subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)
n ( E )=∫EC
γ (E−EC)1 /2. 1
1+e(E−E F)/KBTdE
= ∫EC
γ (E−EC)1 /2
. e(EF−E)/KBT dE
= ∫EC
γ (E−EC)1 /2
( KBT )1/2
( KBT )1/2 e(EF−EC−E+EC )/KBT dE
= γ (KBT )1/2 ∫EC
( E−EC)1 /2
(KBT )1/2 e−(E− EC)/KBT e(EF−EC)/KBT dE
= γ (KBT )1/2e(EF−EC)/KBT ∫EC
( E−EC)1 /2
(KBT )1/2 e−(E− EC)/KBT dE (4)
Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi
gamma:
∫0
∞
x12 e−x dx=√π
2 (5)
Dengan permisalan, bahwa :
x=( E−EC )( KBT )
( E−EC )=¿ x . KBT
E=EC+x . KBT
dEdx
=KBT
dE=KBT dx (6)
Untuk E = EC, maka x = 0 dan E = , maka x =
Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :
Maka pers (4) menjadi :
n ( E )=¿ γ (KBT )1/2e(EF−EC)/KBT∫0
X1/2e− x KBT dx
= γ (KBT )3/2 e(EF −EC )/KBT∫0
x1 /2 e−x dx
√ π2
= √ π2
γ (KBT )3/2 e(EF −EC )/KBT ; γ=4 π ( 2 meh2 )
32
= √ π2
4 π (2 meh2 )
3/2
(KBT )3/2 e(EF−EC )/KBT
= 2 π 3/2(2 me KBTh2 )
3 /2
e(EF−EC)/KBT
= 2( 2me π KBTh2 )
3 /2
e(EF−EC)/KBT
n ( E )= NC e(EF−EC)/KBT ; NC=2(2 me π KBTh2 )
3/2
B. Menentukan konsentrasi hole pada semikonduktor intrinsik
Distribusi hole dalam semikonduktor :
f h=1−f e
= 1− 1
1+e( E−E F)/KBT (samakan penyebut)
= 1+e(E−E F)/KBT−1
1+e(E−EF)/KBT
= e(E−EF)/KBT
1+e(E−E F)/KBT : e(E−E F)/KBT
= 1e¿ ¿¿ ; jika E<EC maka berlaku untuk
EF−E≫KBT , sehingga :
f h ( E )=e(E−E F)/KBT (1)
Rapat kebolehjadian hole :
gh(E)=4 π ( 2|mh|h2 )
32 (Ev−E)
12 ; misalkan : γ=4 π ( 2|mh|
h2 )32
gh(E)=γ (Ev−E)12 (2)
Jumlah hole dalam pita valensi :
p(E) = ∫EV
gh ( E ) . f h ( E )dE (3)
subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)
p ( E )=∫−
EV
γ (Ev−E)1 /2. 1
e¿ ¿¿
= ∫−
EV
γ (Ev−E)1 /2 . e(E−E F)/KBT dE
= ∫−
EV
γ (Ev−E)1 /2 ( KBT )1/2
( KBT )1/2 e(E−E V−EF+EV )/KBT dE
= γ (KBT )1/2 ∫−
EV (EV −E)1 /2
(KBT )1/2 e−(EV −E )/KBT e(EV−EF )/KBT dE
= γ (KBT )1/2e(EV −EF )/KBT ∫−
EV (EV −E)1 /2
(KBT )1/2 e−(EV −E )/KBT dE (4)
Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi
gamma:
∫0
∞
x12 e−x dx=√π
2 (5)
Dengan permisalan, bahwa :
x=( EV −E )
(KBT )
( EV −E )=¿ x . KBT
E=EV −x . KBT
dEdx
=−KBT
dE=−KBT dx (6)
Untuk E = EV, maka x = 0 dan E = , maka x = −
Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :
Maka pers (4) menjadi :
p ( E )=¿ γ (KBT )1/2e(EV −EF )/KBT∫0
x1 /2 e−x (−KBT )dx
= −γ (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT∫0
x1 /2 e− x dx
- √ π2
= √ π2
γ (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT ; γ=4 π ( 2|mh|h2 )
32
= √ π2
4 π (2|mh|h2 )
32 (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT
= 2 π 3/2(2|mh|. KBT
h2 )32 e(EV−EF )/KBT
= 2( 2|mh|. π . KBT
h2 )32 e(EV−EF )/KBT
p ( E )= NV e(EV−EF )/KBT ; NV =2( 2|mh|. π .KBT
h2 )32
C. Menentukan level fermi pada semikonduktor intrinsik (murni)
Untuk semikonduktor murni (intrinsik), konsentrasi hole sama dengan konsentrasi
elektron ( n = p ).
Dimana :
n ( E )=¿ NC e(EF−EC)/KBT
p ( E )=N V e(EV−EF )/KBT
n ( E )=¿ p ( E )
NC e(EF−EC)/KBT ¿ NV e(EV−EF )/KBT
e(EF−EC−EV +E F)/KBT = N V
NC
e2 E F−EC−EV
KBT = N V
NC
(2 EF−EC−EV )
KBT=ln
NV
NC
(2 EF−EC−EV )=KBT lnN V
NC
2 EF=(E¿¿C+EV )+KBT lnNV
NC
¿
EF=(E¿¿C+ EV )
2+KBT ln
NV
NC
¿
D. Menentukan level fermi pada semikonduktor ekstrinsik tipe-n dan tipe-p
1. Tipe n
Konsentrasi pembawa dalam pita konduksi
n=N c e( E F−EC )
KBT dengan N c=2( 2 mn¿ πKBT
h2 )32
Jika semua elektron konduksi berasal dari elektron donor , maka nsama
dengan konsentrasi elektron donor (atau konsentrasi atom donor, karena setiap atom
semikonduktor ekstrinsik hanya menyumbang satu elektron) yang dieksitasi kedalam
pita konduksi. Sehingga, jumlah n sama dengan konsentrasi atom tak-murni N D
dikurangi dengan konsentrasi yang tersisa dalam pita ED (pita energi atom donor)
n=ND−N D f (ED)≅ N D e( E D−EF )
KBT
Dengan demikian
N c e( E F−E C)
KBT =N D e( ED−E F)
KBT
NC
N D
=e( E D−EF +EC−E F)
KBT
NC
N D
=e−2EF +E D+E C
KBT
e2
E F−(E¿¿ D+EC )KBT
=N D
N C
¿
2 EF−(E¿¿ D+EC)=KBT lnND
NC
¿
2 EF=(E¿¿ D+EC)+KBT lnN V
N C
¿
Tingkat energi Fermi untuk semikonduktor tipe- n
2. Tipe p
Konsentrasi hole pada pita valensi
p=N V e( EV −EF )
KBT , dengan NV =2( 2mp¿ πKBT
h2 )32
N A f (EA) aseptor dengan konsentrasi N A diionisasikan negatif dengan memberikan
elektron dari jalur valensi yang menaikkan jumlah hole yang sama disana.
Sehingga
p=N A−N A f (E A)≅ N A e( E F−E A )
KBT ,
Dengan demikian
NV e( EV −EF )
KBT =N A e( EF −E A)
KBT
NV
N A
=e( EF +E F−E A−E V )
KBT
NV
N A
=e2E F−E A−E V
KBT
2 EF−(E¿¿ A+EV )=KBT lnNV
N A
¿
Tingkat energi fermi untuk semikonduktor tipe-p
TUGAS IV
MEMBUKTIKAN HUBUNGAN EINSTEIN
DALAM MENGHITUNG RAPAT ARUS,
PERSAMAAN KONTINUITAS SEMIKONDUKTOR TIPE-n DAN TIPE-p
A. Membuktikkan hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus baik tipe-n
maupun tipe-p
Ada dua macam mekanisme yang menyebabkan arus mengalir :
1. Arus drift (hanyut)
Adalah Arus listrik mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan
(elektron dan hole) karena adanya medan listrik E. Ketika semikonduktor diberi
medan listrik E, maka partikel-partikel bermuatan dalam semikonduktor tersebut
akan bergerak (hanyut) dengan laju/ kecepatan yang berbanding lurus dengan medan
listriknya.
Gambar 1 : Gerakkan elektron dan hole dalam medan listrik
Jika sebuah medan listrik diberikan pada suatu semikonduktor, maka medan listrik
ini akan menghasilkan gaya yang bekerja baik pada elektron bebas ataupun hole,
yang lalu akan mengalami pergerakan dan kecepatan drift. Dari Gambar 1 dapat
dilihat arah gerak elektron berlawanan dengan arah medan listrik, sehingga
menghasilkan gaya pada elektron bermuatan negatif, sedangkan arah gerak hole
searah dengan arah gerak medan listrik, sehingga menghasilkan gaya pada hole
dengan muatan positif. Elektron dan hole tersebut akan memperoleh kecepatan drift
besar :
kecepatan elektron yang bermuatan −q vn=−μn ε (1)
kecepatan hole yang bermuatan +q v p=+μp ε (2)
keterangan : vn = laju / kecepatan elektron (m/s)
v p = laju / kecepatan hole (m/s)
μn= mobilitas elektron (m2/V.s)
μp= mobilitas hole (m2/V.s)
μndan μp (m2/V.s) di sebut dengan mobilitas pembawa. Mobilitas ini dapat dipandang
sebagai sebuah parameter yang mengindikasikan seberapa baik sebuah elektron/hole dapat
bergerak di dalam semikonduktor. Tanda negatif pada persamaan menandakan bahwa
kecepatan drift elektron berlawanan arah dengan medan listrik yang diberikan, sedangkan
tanda positif menandakan bahwa kecepatan drift hole searah dengan medan listrik yang
diberikan . Kecepatan drift ini sendiri akan menghasilkan kerapatan arus drift J (A/m2)yang
besarnya adalah :
Jn= (−q ) nvn=(−q )n (−μn ε )=qn μn ε
J p= (+q ) p v p= (+q ) p (+μ p ε )=qp μp ε
dimana : n = konsentrasi elektron,
p = konsentrasi hole
q = besar muatan listriknya
ε= medan listrik
Jn = kerapatan arus elektron
Jp = kerapatan arus hole
Rapat arus total drift pada semikonduktor adalah :
J=J n+J p=q ε (μn n+μp p) (5)
Arus yang dinyatakan dalam persamaan di atas di sebut arus hanyut, dimana μn ,
μp ,n dan p tidak tergantung pada medan ε , arus dikatakan mengikuti hukum ohm. Maka
kita dapat mendefinisikan konstanta perbandingan atau konduktivitas σ (ohm.m)-1 yang
menghubungkan arus dengan medan.
Untuk elektron : σ n=q μn n
(3)
(4)
Hole : σ p=q μp p
Konduktivitas total : σ=q (μn n+μp p) (6)
Sehingga, rapat arus total diperoleh dengan mensubtitusi pers (6) ke pers (5) :
Maka :
J=σε
2. Arus Difusi
Adalah arus yang mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan
(elektron dan hole) karena ada perbedaan konsentrasi. Arus difusi dapat terjadi walaupun
tanpa medan listrik. Arus difusi akan mengalir dari daerah yang berkonsentrasi tinggi ke
daerah yang memiliki konsentrasi rendah. Ini adalah fenomena statistikal dan berhubungan
dengan teori kinetik. Untuk menjelaskannya, baik elektron maupun hole pada
semikonduktor selalu berada pada pergerakan yang kontinyu. dengan kecepatan rata-rata
yang ditentukan oleh suhu, dan dalam arah yang acak oleh pengaruh struktur kristal. Secara
statistik, kita dapat mengasumsikan bahwa untuk setiap instan manapun, sekitar setengah
dari partikel pada daerah dengan konsentrasi tinggi akan bergerak keluar dari daerah
tersebut menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah. Kita juga dapat
mengasumsikan bahwa pada saat yang bersamaan, sekitar setengah dari partikel dari daerah
dengan konsentrasi rendah bergerak menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih tinggi.
Bagaimanapun juga, oleh definisi, terdapat lebih sedikit partikel pada daerah dengan
konsentrasi rendah daripada yang terdapat pada daerah dengan konsentrasi yang lebih
tinggi, Karenanya, aliran partikel akan bergerak dari daerah dengan konsentrasi tinggi
menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah. Ini adalah proses difusi yang paling
dasar.
Gambar 3 : Difusi holeGambar 2 : Difusi elektron
Sebagai contoh, perhatikan konsentrasi elektron yang bervariasi sebagai sebuah fungsi
jarak x, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Difusi elektron dari daerah dengan
konsentrasi tinggi menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah menghasilkan
aliran elektron dalam arah x negatif. Karena elektron bermuatan negatif, maka arah arus
konvensionalnya akan menjadi x positif.
Maka : Jn∝dndx
Jn sebanding dengan konstanta difusi elektron (Dn) dengan satuan m2/s,
Sehingga : Jn= (−q ) Dn[−dndx ]=q D n
dndx
Untuk hole, prinsip yang sama dapat digunakan. Pada Gambar 3, konsentrasi hole adalah
sebuah fungsi jarak. Difusi hole dari daerah dengan koefisien tinggi ke daerah dengan
koefisien yang lebih rendah akan menghasilkan aliran hole dalam arah x negatif. Karena
hole bermuatan positif, maka arah arus konvensionalnya akan menjadi x negatif.
Maka : J p∝−dpdx
J p sebanding dengan konstanta difusi hole (D p) dengan satuan m2/s,
Sehingga : J p= (+q ) D p[−dpdx ]=−q D p
dpdx
Jika rapat arus disebabkan oleh arus drift dan arus difusi, maka rapat arus total
menjadi :
Rapat arus untuk elektron :
Jn=qn μn ε+q Dndndx
Rapat arus untuk hole :
J p=qp μ p ε−q D pdpdx
Hubungan Einstein untuk dan D
Meskipun arus hanyut dan arus difusi terlihat berbeda proses, namun ada
hubungan antara konstanta mobilitas μ dan konstanta difusi D. Ini karena kedua
(8)
(7)
parameter ini ditentukan oleh gerak termal dan penyebaran pembawa bebas. Untuk
melihat hubungan ini dapat digunakan konsep energy Fermi pada kesetimbangan
fermal.
Hubungan antara konstanta difusi dan mobilitas pembawa muatan saling
dependen, sesuai dengan relasi Einstein :
Gambar 4 : Hubungan antara konstanta difusi dan mobilitas listrik
Tipe-n ; x = 0 ; Ei (0) = EF ; karena semikonduktor intrinsik
Gambar 5 : Gambar 5 : (a) sebuah batang semikonduktor tipe-n(b) diagram pita energi pada kesetimbangan termal
EF - Ei (x) = Ei (0) - Ei (x) = qΨ (9)
Ψ (x) potensial antara x dan 0
n(x) = ni exp ( EF−Ei(x)
kT ) (10)
subtitusi pers (7) ke pers (8) :
n(x) = ni exp ( qΨ (x )kT )
dndx
= q
kTn ( x ) dψ
dx=
−n(x )V T
ε ; V T=kTq
(11)
Subtitusi pers (11) ke pers (7)
Jn=qn μn ε+q Dn .−n(x )V T
ε
q Dn .n(x)V T
ε=qnμn ε
Dn=μn .V T ; untuk elektron
D p=μ p . V T ; untuk hole
Sehingga hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus pada semikonduktor tipe-n dan
tipe-p adalah :
Dn
μn
=D p
μp
= kTq
B. Menentukan kontinuitas pada semikonduktor yang berarus
Persamaan kontinuitas : menyatakan perubahan jumlah pembawa dalam suatu
daerah.
; Jn = 0
Gambar 6. Penampang melintang semikonduktor dengan luas A dengan infitesimal dan ketebalan dx
Seperti yang terlihat pada Gambar 6, sebuah semikonduktor tipe-n yang berbentuk
batang dengan penampang A (m2), silinder AΔ x dibatasi oleh dua buah bidang pada x dan
pada x+Δ x.
Jn(x ) = arus elektron yang masuk
Jn(x+dx ) = arus elektron yang keluar
Jumlah pembawa yang terkumpul dalam silinder AΔ x dalam interval waktu Δt adalah :
A d x .dndt
=J n (x+dx ) Aq
−J n(x ) Aq
(1)
Laju timbul dan laju hilangnya pembawa :
Bila Gn = laju timbul pembawa per satuan volum dan per satuan waktu
Rn = laju hilang pembawa per satuan volum dan per satuan waktu
Maka jumlah pembawa yang di timbulkan dalam silinder AΔ x dalam interval waktu
Δt adalah :
Gn . A d x−Rn . A d x (2)
Maka total penanmbahan jumlah elektron adalah :
n (t+ Δt )−n(t)Δt
=Aq
[J n ( x+dx )−J n(x)] Δt+ Δt . A d x (Gn−Rn)
Dengan limit Δ x dan Δt pers di atas menjadi pers difensial :
dn(t )dt
=1q
ddx
[J n(x) ]+(Gn−Rn)
dp(t )dt
=−1q
ddx
[ J p( x)]+(G p−Rp)
TUGAS V
TEGANGAN BARRIER, DAERAH DEPLESI
DAN CARA MENENTUKAN KAPASITANSI DI DAERAH BARRIER PADA
SAMBUNGAN DIODA P-N
A. Tegangan Barrier dan Daerah Deplesi Dioda Sambungan p-n
Di dalam bahan semikonduktor tipe-n, elektron merupakan majority carrier dan
hole merupakan minority carrier (Gambar 1).
Gambar 1. Semikonduktor tipe n
Di dalam bahan semikonduktor tipe-p, hole merupakan majority carrier dan
electron merupakan minority carrier (Gambar 2).
Gambar 2. Semikonduktor tipe p
Dioda semikonduktor dibuat dengan menyambung dua jenis semikonduktor (dari
bahan yang sama, Ge atau Si) Gambar 3.
Gambar 3. Sambungan dioda p-n
Segera setelah kedua jenis bahan semikonduktor di atas disambung, pada bagian
sambungan akan terbentuk daerah "nir carrier". Sesaat setelah terjadi penyambungan, pada
daerah sambungan semikonduktor terjadi perubahan. Semikonduktor tipe-n memiliki
sejumlah elektron yang akan dengan mudah terlepas dari atom induknya. Pada tipe-p, atom
aseptor menarik elektron (atau menghasilkan lubang). Kedua pembawa muatan mayoritas
tersebut memiliki cukup energi untuk mencapai material pada sisi lain sambungan. Pada hal
ini terjadi difusi elektron dari tipe-n ke tipe-p dan difusi lubang dari tipe-p ke tipe-n. Proses
difusi ini tidak berlangsung selamanya karena elektron yang sudah berada di tempatnya
akan menolak elektron yang datang kemudian. Proses difusi berakhir saat tidak ada lagi
elektron yang memiliki cukup energi untuk mengalir.
Daerah deplesi adalah daerah batas antara sambungan semikondiktor tipe-n dan
tipe-p yang menghalangi transfer elektron, kecuali dibantu dengan pemberian bias maju
pada persambungan. Jadi sebelum diberi medan dari luar sedikit sekali elektron yang
berpindah ke tipe-p karena terdapat daerah deplesi.
Muatan ruang positif dan negatif terdapat dalam lapisan deplesi dan ini
menimbulkan medan listrik dalam daerah itu. Menurut persamaan Poison bahwa medan
listrik dinyatakan sebagai domain pada 0 < x < dn yaitu :
dEdx
=+qN D /εε0(1)
Dengan mengintegralkan didapat :
E=qND
εε0
x+Cn(2)
Hal yang sama untuk –dp < x < 0
E=−qN A
εε0
x+CP(3)
Dimana Cn dan CP adalah konstanta integrasi. Harga persamaan di atas harus sama pad x =
0. Persamaan (2) memberikan gradien positif terhadap sumbu-x dan persamaan (3)
memberikan gradien negatif. Jika x = 0 maka Cn = CP dan E = 0 pada x = dn dan -dp
Cn=−qND dn
εε 0 , CP=−
qN A dP
εε 0
Maka : N D dn=N A dP (4)
Yang menunjukkan jumlah muatan ruang positif dan negatif yang sama maka pers (2) dan
(3) menjadi :
E=qND
εε0
( x−dn)(5)
E=−qN A
εε0
( x+dP)(6)
Tegangan elektrostatis didapat dengan mengintegralkan per (5) dan (6) :
V=−∫Edx=−qN D
εε0( x2
2−dn x )+C 'n
untuk 0<x<dn
V=−∫Edx =+qN A
εε0( x2
2+d P x)+C 'P
untuk –dp<x<0
Gambar 4. (a) Distribusi muatan ruang, (b) Distribusi medan listrik(c) Distribusi tegangan elektrostatis pada hubungan p-n
Karena tegangan pada kedua sisi harus sama (x = 0) maka C’n = C’P . Dengan
mengambil daerah p sebagai tegangan referensi yaitu V = 0 pada x = -dP didapat :
0=qN A
εε0(−d
P2
2 )+CP '
CP '=qN A d
P2
2 εε0 (7)
Maka untuk 0<x<dn :
V=−qN D
εε0( x2
2−dn x )+
qN A dp2
2 εε0 (8)
Untuk –dp<x<0 :
V=qN A
εε0( x2
2−dP x)+
qN A dp2
2 εε0 (9)
Dengan membuat V = VB pada x = dn dalam pers (9) maka didapat
V B=qN D d
n2
2 εε0
+qN A d
p2
2 εε0 (Tegangan Barier Hubungan p-n)
Analisis pada dioda semikonduktor:
1. Tanpa bias (no bias, VD = 0 V) Gambar 5.
- -
---
-
---
+++
+++
+++
Tipe-p Tipe-n
I = 0I = 0
Tanpa Eksternal Bias
p n
(a). Difusi Pembawa Muatan Melalui Junction
- -
---
-
---
+++
+++
+++
Daerah Netral Daerah Netral
Lapisan Deplesi
p n
+
+
+
-
-
-
Medan Listrik
(b). Setelah Difusi
Gambar 5. Dioda sambugan p-n tanpa bias
Keterangan:
- Lingkaran dengan positif ditengah adalah atom pentavalen yang kehilangan satu
elektron sehingga berubah menjadi ion positif
- Lingkaran dengan negatif ditengah adalah atom trivalen yang kehilangan satu hole
sehingga berubah menjadi ion negatif
- Sesaat sesudah terbentuk sambungan-pn (pn junction), majority carrier dari bahan
tipe-n (elektron bebas) akan menyeberang ke bahan tipe-p. Elektron bebas ini
ditangkap oleh atom trivalen (kontributor hole pada ikatan kovalen) dan elektron ini
digunakan untuk menutupi hole pada ikatan kovalen. Akibatnya sejumlah atom trivalen
di sekitar pn junction di bahan tipe-p berubah menjadi ion negatif.
- Kondisi sebaliknya terjadi pada bahan tipe-p.
- Pasangan ion negatif dan ion positif yang terbentuk di sekitar junction disebut dipole.
- Peningkatan jumlah dipole di sekitar junction menimbulkan satu area yang terbebas
dari carrier apapun. Area ini dinamakan depletion region.
- Pasangan-pasangan dipole yang terbentuk di sekitar junction menimbulkan potential
barrier yang semakin membesar. Pembentukan dipole akan terhenti ketika carrier
tidak dapat lagi menembus potential barrier yang terbentuk.
- Pada suhu kamar (300°K), potential barrier untuk germanium adalah 0,3 V, sementara
untuk silikon 0,7 V.
• Arus difusi ID
– Konsentrasi holes yang tinggi di daerah p dan yang rendah di daerah n menyebabkan
holes merembas melalui ‘junction’ dari sisi p ke sisi n.
– Sebaliknya, elektron merembas dari sisi n ke sisi p.
– Jumlah kedua arus ini membentuk arus difusi ID dengan arah dari sisi p ke sisi n.
• Daerah deplesi
– Holes yang merembas melalui junction ke daerah n akan berekombinasi dengan
mayoritas elektron di daerah n, sehingga holes ini menghilang demikian juga sebagian
elektron bebas pada daerah n juga menghilang.
– Sebagian dari muatan negatif tidak lagi dinetralkan oleh holes. Muatan ini disebut
‘uncovered’
– Rekombinasi terjadi di dekat junction, sehingga ada daerah dekat junction pada daerah
p yang kekurangan holes (depleted of holes) dan mengandung muatan negatif yang
‘uncovered
– Dari penjelasan di atas, daerah deplesi pembawa (carrier-depletion region) atau daerah
deplesi akan terdapat di kedua sisi junction, pada sisi n bermuatan positif dan di sisi p
bermuatan negatif.
– Muatan pada ke dua sisi daerah deplesi akan menyebabkan adanya medan listrik pada
daerah deplesi, sehingga ada perbedaan tegangan pada daerah deplesi, dengan tegangan
positif pada sisi n dan tegangan negatif pada sisi p.
– Perbedaan tegangan pada daerah deplesi merupakan penghalang (‘barrier’) yang harus
diatasi oleh holes untuk berdifusi ke daerah n dan elektron berdifusi ke daerah p.
– Makin besar tegangan penghalang, makin kecil jumlah pembawa yang dapat mengatasi
‘barrier’ sehingga makin kecil arus difusi.
– Arus difusi tergantung pada perbedaan tegangan V0 pada daerah deplesi.
• Arus drift IS dan keseimbangan
– Selain komponen arus difusi ID, terdapat juga komponen arus drift yang disebabkan oleh
pembawa minoritas.
– Ada dua komponen arus drift, yaitu elektron yang bergerak dari bahan p ke bahan n dan
holes yang bergerak dari bahan n ke bahan p.
– Arah arus drift IS dari sisi n ke sisi p pada junction.
– Karena arus drift disebabkan oleh pembawa minoritas yang dihasilkan secara termal,
harganya sangat tergantung pada suhu, tetapi tidak tergantung pada harga tegangan pada
daerah deplesi.
– Pada kondisi hubung terbuka: ID = IS
• Lebar daerah deplesi
– Daerah deplesi pada kedua sisi junction tergantung pada jumlah muatan (konsentrasi
doping) pada kedua sisi.
– Daerah deplesi akan lebih lebar pada sisi yang mempunyai doping lebih kecil.
qxpANA = qxnAND
xp dan xn: lebar deplesi pada sisi p dan n
A: luas penampang junction
NA dan ND: konsentrasi doping pada sisi p dan n
εs = permivity elektrik dari silicon = 11,7 ε0 = 1,04 x 10-12 F/cm
Harga Wdep berkisar antara 0,1 μm – 1 μm
Lapisan muatan pada daerah diplesi ini dapat dibandingkan dengan kapasitor keping
sejajar yang termuati. Karena terjadi penumpukan muatan yang berlawanan pada masing-
masing keping, maka terjadi perbedaan potensial yang disebut sebagai “potensial kontak”
atau “potensial penghalang” VBi. Keadaan ini disebut diode dalam keadaan rangkaian
terbuka.
Kesimpulan : Tidak ada arus yang mengalir pada p-n junction tanpa external bias
(prategangan luar).
2. Bias maju (forward bias, VD > 0 V) Gambar 6
- -
---
--
-
----
+ +++
++++
++++
Tipe-p Tipe-n
IsIs
Daerah deplesi
External bias
I mayorityIs
V
Id = If = I mayority – Is I may >> Is, makaId = If Imayority
Gambar 6. Dioda sambugan p-n dengan bias maju
Ciri-ciri :
Tipe p dihubungkan ke terminal positif sumber
Tipe n dihubungkan ke terminal negatif sumber
akibat :
Hole di daerah p akan ditolak oleh terminal positif akan ditarik oleh terminal negatif
melalui junction.
Elektron di daerah n akan ditolak oleh terminal negatif dan ditarik oleh terminal positif
melalui junction.
Zone depletion menyempit
Potential barrier turun
maka :
Pembawa muatan mayorits akan mudah melewati junction, Id ≠ 0
Makin besar tegangan bias → Id makin besar
- Hal di atas hanya bisa terjadi jika tegangan luar lebih besar dari potential barrier.
– Arus luar mencatu pembawa mayoritas pada ke dua sisi; holes ke bahan p dan elektron
ke bahan n.
– Pembawa mayoritas ini menetralkan muatan ‘uncovered’, sehingga jumlah muatan di
daerah deplesi berkurang, akibatnya daerah deplesi menjadi lebih sempit dan tegangan
penghalang menurun
– Makin banyak holes yang mengalir dari bahan p ke bahan n dan makin banyak elektron
mengalir dari bahan n ke bahan p
– Arus difusi meningkat sampai mencapai keseimbangan: ID – IS = I
Besarnya komponen arus difusi sangat sensitif terhadap besarnya potensial
penghalang VBi . Pembawa muatan mayoritas yang memiliki energi lebih besar dari eVBi
dapat melewati potensial penghalang. Jika keseimbangan potensial terganggu oleh
berkurangnya ketinggian potensial penghalang menjadi VBi -VF , probabilitas pembawa
muatan mayoritas mempunyai cukup energi untuk melewati sambungan akan meningkat
dengan drastis. Sebagai akibat turunnya potensial penghalang, terjadi aliran arus lubang
dari material tipe-p ke tipe-n, demikian sebaliknya untuk elektron.
Dengan kata lain menurunnya potensial penghalang memberi kesempatan pada
pembawa muatan untuk mengalir dari daerah mayoritas ke daerah minoritas. Jika potensial
penghalang diturunkan dengan pemasangan panjar maju eksternal VF maka arus If akan
mengalir.
3. Bias mundur (reverse bias, VD < 0V) Gambar 7
- -
---
--
-
----
+ +++
++++
++++
Tipe-p Tipe-n
IsIs
Daerah deplesi
External bias
Id = 0Is ≠ 0 Is = Arus oleh pembawa
muatan minoritas
Gambar 7. Dioda sambugan p-n dengan bias mundur
Ciri : - tipe p dihubungkan dengan negatif sumber
- tipe n dihubungkan dengan positif sumber
akibat :
e- akan tertarik menuju terminal positif
hole akan tertarik menuju terminal negatif
zone depletion menjadi lebar
potential barrier naik
Maka tidak ada pembawa muatan mayoritas yang dapat melewati junction sehingga
I = 0; kecuali pembawa minoritas yang berada dekat junction (Is ≠ 0)
– Arus luar I mengalir dari bahan n ke bahan p
– Elektron meninggalkan bahan n dan holes meninggalkan bahan p.
– Elektron bebas yang meninggalkan bahan n menyebabkan meningkatnya
‘uncovered’ muatan positif.
– Holes yang meninggalkan bahan p menyebabkan meningkatnya ‘uncovered’ muatan
negatif.
– Arus balik I akan menyebabkan meningkatnya lebar daerah deplesi dan juga muatan
pada daerah deplesi.
– Akibatnya tegangan pada junction meningkat – artinya tegangan penghalang
meningkat – arus ID menurun.
– Arus IS tidak tergantung dari tegangan penghalang, jadi arus IS tetap.
– Pada keadaan seimbang: IS – ID = I, dan tegangan sama V0 sama dengan tegangan
VR
– Pada keadaan steady ID kecil sekali sehingga I ≈ IS
Jika potensial penghalang dinaikkan menjadi VBi +VR dengan memasang panjar
mundur sebesar VR, maka probabilitas pembawa muatan mayoritas memiliki cukup energi
untuk melewati potensial penghalang akan turun secara drastis. Jumlah pembawa muatan
mayoritas yang melewati sambungan praktis turun ke nol dengan memasang panjar mundur
sebesar sekitar sepersepuluh volt.
Pada kondisi panjar mundur, terjadi aliran arus mundur (Ir) yang sangat kecil dari
pembawa muatan minoritas. Pembawa muatan minoritas hasil generasi termal di dekat
sambungan akan mengalami “drift” searah medan listrik. Arus mundur akan mencapai
harga jenuh -Io pada harga panjar mundur yang rendah. Harga arus mundur dalam keadaan
normal cukup rendah dan diukur dalam mA (untuk germanium) dan nA (untuk silikon).
Secara ideal, arus mundur seharusnya berharga nol, sehingga harga -Io yang sangat rendah
pada silikon merupakan faktor keunggulan silikon dibandingkan germanium. Besarnya Io
berbanding lurus dengan laju generasi termal dimana harganya berubah secara
eksponensial terhadap perubahan temperatur.
B. Cara Menentukan Kapasitansi di Daerah Barrier Sambungan Dioda p-n
Sebagaimana sudah diutarakan di atas bahwa terdapat muatan negatif dan positif
dalam lapisan deplesi dari hubungan p-n terlihat pada Gambar 8. Dipandang dari sudut lain
ini dapat dianggap sebagai kapasitor dengan tegangan VB diberikan pada ujung-ujungnya
Gambar 8. Skema daerah deplesi seperti komponen kapasitor plat sejajar
C=εεo
dn+d p
=εεo
d dimana d=dn+d p(1)
C dapat ditentukan bila dn dan dp diketahui. Kapasitansi pada lapisan deplesi disebut
kapasitansi deplesi atau kapasitansi hubungan. Dengan menggunakan persamaan:
N D dn=N A d p (2)
V B=qN D d
n2
2 εε0
+qN A d
p2
2 εε0 (3)
Dari dua persamaan 2 dan 3 diatas di atas akan diperoleh dn dan dp sebagai.
N D dn=N A d p
d p=N D
N A
. dn
d p2=
N D2
N A2 . dn
2 (*)
V B=q
2 ε ε0(N D dn
2+N A d p2 )
V B 2 ε ε0
q−N D dn
2=N A d p2
d p2=
V B 2 ε ε 0
q N A
−N D dn
2
N A
(**)
Subsitusikan persamaan * ke **
N D2
N A2 . dn
2=V B 2 ε ε0
q N A
−N D dn
2
N A
( N D2
N A2 +
ND
N A )dn2=
V B 2 ε ε0
q N A
dn2=
V B 2 ε ε 0
q N A
.1
(N D2
N A2 +
N D
N A )=√ V B 2 ε ε0
q N A
.1
N D2
N A2 +
N D
N A
dn=√ V B 2 ε ε 0
q.
1
N A (N D2
N A2 +
N D
N A )=√ V B 2 ε ε 0
q.
1
( N D2
N A
+N D)dn=√ V B 2 ε ε 0
q.
1
N D2( 1
N A
+ 1N D
)=√ V B 2 ε ε0
q ( 1N A
+ 1N D
).
1ND
2
dn=1
N D √ V B2 ε ε0
q( 1N A
+ 1N D
) (4)
Karena d p=N D
N A
. dn
d p=N D
N A
.1
ND √ V B 2 ε ε0
q ( 1N A
+ 1N D
)d p=
1N A √ V B 2 ε ε0
q ( 1N A
+ 1N D
) (5)
d=dn+d p=( 1N D
+ 1N A
)√ 2 εε0 V B
q ( 1N A
+ 1N D
)(6)
Persamaan di atas menunjukkan bahwa dn dan dp tergantung pada VB . Jika NA>>ND maka
persamaan di atas menjadi
d≈√ 2 εε0 V B
qN D
≈dn dan jika NA<<ND maka d≈d p
Dengan kata lain lapisan deplesi terjadi lebih panjang pada daerah dengan konsentrasi
doping ketidakmurnian yang lebih rendah. Bila tegangan bias diberikan pada hubungan p-n
dengan kutup positifnya pada daerah tipe-p dan yang negatif pada tipe-n maka barier
menjadi lebih rendah seperti terlihat pada Gambar 9. Bila polaritas tegangan bias dibalik
maka barier menjadi lebih tinggi.
Gambar 9. Kurva pita energi hubungan p-n pada bias maju dan bias mundur
d=√ 2 εε0
q ( 1N A
+ 1N D
)(V B±V ) (7)
Dengan memasukkan nilai d persamaan di atas pada persamaan C=
εε0
d maka didapat
harga kapasitansi :
C=εε0
√ 2 εε0
q ( 1N A
+ 1N D
)(V B±V )
=√ q εε0
2( 1N A
+ 1N D
)(V B±V )(8)
top related