korespondencja agt i wielomiany jackath.if.uj.edu.pl/~grela/old/studia_materialy/magistr.pdf · i...
Post on 01-Mar-2019
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Uniwersytet Jagiello«skiWydziaª Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Praca magisterska
Korespondencja AGT i wielomiany Jacka
Jacek Grela
Opiekun: dr hab. Leszek Hadasz
Kraków, czerwiec 2012
Spis tre±ci
1 Wst¦p 3
2 Konforemna teoria pola 42.1 Grupa konforemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Tensor energii-p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Rozwini¦cie OPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Moduª Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Przestrze« stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Konkretne realizacje CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Pole bozonowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Tensor energii-p¦du dla pola bozonowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Operatory wierzchoªkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.4 Przestrze« Focka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 Funkcje korelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Formalizm gazu Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Tensor energii-p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Waga konforemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Korelatory w formalizmie gazu Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Model Calogero-Sutherlanda 193.1 Przepisanie hamiltonianu w j¦zyku operatorów kreacji i anihilacji . . . . . . . . 203.2 Stan podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Przej±cie do hamiltonianu w postaci wymiernej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Operator p¦du P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Operator energii H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Wektory wªasne w modelu CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Warto±ci wªasne hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Konstrukcja wielomianów Jacka Jλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Wprowadzenie zmiennych pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.1 Operator p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.2 Operator energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Zwi¡zek modelu z algebr¡ Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.2 Sprawdzenie algebry Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Przedstawienie Hamiltonianu w reprezentacji gazu Coulomba . . . . . . . . . . . 363.7.1 Wyliczenie Hamiltonianu w przestrzeni Fα . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7.2 Generatory Virasoro w przestrzeni Fα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7.3 Stany wªasne H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Korespondencja AGT 414.1 Wprowadzenie do problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.1 Wektory bazowe postaci |P 〉λ,∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Obliczenie elementu macierzowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.3 Obliczenie mianownika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Licznik wzoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Przygotowanie licznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Obliczenie licznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Dalsze elementy dowodu hipotezy AGT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
5 Supersymetryczny model CS 505.1 Supersymetria w modelu CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Przej±cie do zmiennych wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Hamiltonian w j¦zyku symetrycznych funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Supersymetryczne wielomany Jacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.1 Przej±cie do przestrzeni F sα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Podstawowe informacje o SCFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.1 Algebra Neveu-Schwarza-Ramonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5.2 Operator wierzchoªkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Literatura 68
1 Wst¦p
Konforemna teoria pola zostaªa zaproponowana po raz pierwszy przez Polyakova w 1970 rokujako opis ukªadów w pobli»u punktu krytycznego. W roku 1984 powstaªa praca [1], w którejautorzy nakre±laj¡ konstrukcj¦ wymiernych modeli konforemnych i dyskutuj¡ tzw. podej±ciebootstrap do teorii. W trakcie jej rozwoju teoria konforemna zostaªa zastosowana do teorii struni problemów zyki ciaªa staªego (np. kwantowy efekt Halla).
Celem pracy jest zapoznanie z konforemn¡ teori¡ pola oraz modelami Calogero-Sutherlandai zastosowanie tej wiedzy do przeprowadzenia bezpo±redniego rachunku w dowodzie hipotezyAGT. Ponadto, ostatni rozdziaª jest wst¦pem do dalszego zbadania relacji AGT w przypadkusupersymetrycznej teorii konforemnej.
W pierwszym rozdziale pracy przedstawiamy zarys struktury teorii CFT jako dwuwymi-arowej kwantowej teorii pola. Zaczynamy od dyskusji symetrii konforemnej i szczególno±cidwóch wymiarów, wprowadzamy iloczynowe rozwini¦cie operatorowe OPE i konstruujemy przes-trze« stanów. Ponadto przedstawiamy niesko«czenie wymiarow¡ algebr¦ Virasoro jako konsek-wencj¦ symetrii konforemnej. Wprowadzamy operator pola bozonowego i konstruujemy z niegotzw. operator wierzchoªkowy. Ostatnim elementem we wst¦pie jest wprowadzenie do formal-izmu gazu Coulomba.
W nast¦pnym rozdziale przechodzimy do dyskusji kwantowego ukªadu wielu cz¡stek w jed-nym wymiarze oddziaªuj¡cego ze sob¡ potencjaªem typu 1/x2. Modele opisuj¡ce takie ukªadyzostaªy odkryte niezale»nie przez Calogero [2] i Sutherlanda [3]. Zajmujemy si¦ tak¡ klas¡modeli poniewa» s¡ znane ich dokªadne rozwi¡zania - s¡ to wielomiany Jacka. Ponadto, istniejeukryty zwi¡zek mi¦dzy tymi teoriami i algebr¡ Virasoro b¦d¡c¡ centralnym poj¦ciem w teoriiCFT. W rozdziale przeprowadzili±my »mudne rachunki przej±¢ pomi¦dzy modelami w formietrygonometrycznej i wymiernej, pokazali±my tak»e ogólne rozwi¡zania modelu jako wielomianyJacka. Ostatnim punktem byªo rachunkowe wykazanie wspomnianego wcze±niej zwi¡zku mod-elu CS z teori¡ CFT.
Gªównym wkªadem wªasnym do pracy jest rozdziaª po±wi¦cony dowodowi hipotezy AGT[4]. Odpowiednio±¢ zaproponowana przez Aldaya, Gaiotto i Tachikaw¦ ustala relacj¦ pomi¦dzyczterowymiarowymi supersymetrycznymi teoriami cechowania N = 2 i teori¡ CFT. Dowódtej hipotezy przeprowadzony w [5] polega na wykazaniu, »e istnieje unikalna baza w teoriiCFT taka, »e elementy macierzowe ze specjalnego operatora wierzchoªkowego s¡ równe tzw.instantonowej funkcji rozdziaªu Zbif - dobrze zdeniowanemu obiektowi po stronie teorii su-persymetrycznej. W tej pracy udaªo mi si¦ odtworzy¢ rachunek b¦d¡cy gªównym krokiemw dowodzie - wykaza¢, »e powy»sza równo±¢ elementów macierzowych zachodzi dla pewnegopodzbioru bazy.
W ostatnim rozdziale omawiam supersymetryczne rozszerzenie modelu Calogero-Sutherlanda
3
w celu odtworzenia powy»szej dyskusji dla przypadku supersymetrycznego. Zostaje wypro-wadzona supersymetryczna posta¢ hamiltonianu oraz naszkicowana relacja pomi¦dzy superkon-foremn¡ teori¡ pola SCFT N = 1. W dalszym ci¡gu zostaj¡ wyprowadzone podstawowe ele-menty SCFT - algebra Neveu-Schwarza-Ramonda i operatory wierzchoªkowe.
2 Konforemna teoria pola
2.1 Grupa konforemna
Konforemna teoria pola [6, 7, 8] (CFT) to kwantowa teoria pola której podstawow¡ symetri¡jest grupa konforemna. Transformacje tej grupy s¡ przedstawione poni»ej:
x′µ = xµ + aµ,
x′µ = Mµν x
ν ,
x′µ = αxµ,
x′µ =xµ − bµx2
1− 2bµxµ + b2x2.
Pierwsze dwa przeksztaªcenia to translacja i obrót stanowi¡ce grup¦ Poincare, pozostaªe toprzeskalowanie i tzw. specjalna transformacja konforemna. Grupa konforemna zachowuje form¦metryki ηµν z dokªadno±ci¡ do funkcji konforemnej Ω(x):
ηµν(x)→ Ω(x)ηµν(x). (1)
Zapiszemy ogóln¡ innitezymaln¡ posta¢ transformacji jako
x′µ = xµ + εµ(x) +O(ε2).
Gdy wstawimy j¡ do prawa transformacji metryki i narzucimy warunek (1), uzyskamy nast¦pu-j¡ce równanie:
∂µεν(x) + ∂νεµ(x) = ω(x)ηµν(x),
gdzie ω(x) to nieznana funkcja. Bior¡c ±lad z powy»szej równo±ci eliminujemy funkcj¦ ω(x) idostajemy równanie:
∂µεν + ∂νεµ =2
d∂αε
αηµν , (2)
gdzie d to wymiar przestrzeni.Dla d = 2 powy»szy zwi¡zek redukuje si¦ do równa« Cauchy-Riemanna znanych z analizyzespolonej:
∂0ε0 = ∂1ε1, ∂0ε1 = −∂1ε0.
W dwóch wymiarach wygodnie jest wprowadzi¢ zmienne zespolone z = x0 + ix1, z = x0 − ix1.W nowych zmiennych mamy do czynienia z symetri¡ zadan¡ przez analityczne funkcje napªaszczy¹nie zespolonej:
z → w(z),
z → w(z).
Dodatkowo, w dwóch wymiarach algebra Lie odpowiadaj¡ca grupie konforemnej jest niesko«cze-nie wiele wymiarowa [1]. Oznacza to, »e w tym szczególnym przypadku teoria jest niezwyklemocno okre±lona poprzez naªo»one wi¦zy symetrii. Jest to podstaw¡ do oblicze« w teorii iistotnym czynnikiem jej sukcesu.
4
2.2 Podstawowe denicje
Podstawowymi obiektami w konforemnej teorii pola s¡ funkcje korelacji zbudowane z lokalnychoperatorów φ(z, z):
〈φ(z1, z1)...φ(zn, zn)〉 .
Denicja Pole zale»ne tylko od jednej zmiennej φ(z) (φ(z)) nazywamy chiralnym lub holo-morcznym (antychiralnym lub antyholomorcznym).
Denicja Je±li przy dowolnej analitycznej zamianie zmiennych w(z), w(z) pole speªnia rów-nanie
φh,h(z, z) =
(dw
dz
)h(dw
dz
)hφ′h,h(w, w), (3)
nazywamy je polem pierwotnym o wadze konforemnej (h, h).
2.2.1 Tensor energii-p¦du
Z twierdzenia Noether wiemy, »e zachowanie symetrii ci¡gªej w teorii poci¡ga za sob¡ istnienieczteropr¡du jµ speªniaj¡cego równanie ci¡gªo±ci:
∂µjµ = 0. (4)
W szczególno±ci, z zachowania symetrii konforemnej wynika istnienie i zachowanie pr¡du:
jµ = Tµνεν ,
gdzie Tµν to symetryczny tensor energii-p¦du. Dla εν = const zachodzi ∂µTµν = 0.Poni»ej wyprowadzimy warunek na tensor Tµν korzystaj¡c z prawa zachowania (4) i relacji (2):
0 = ∂µ(Tµνεν) = (∂µTµν)︸ ︷︷ ︸
0
εν +1
2Tµν(∂
µεν + ∂νεµ) =1
dT µµ ∂µε
µ.
Wobec dowolno±ci εµ uzyskali±my warunek na znikanie ±ladu tensora energii p¦du w konforemnejteorii pola:
T µµ = 0.
Ustalamy euklidesow¡ metryk¦ ηµν = (1, 1). Znikanie ±ladu powoduje wyzerowanie pozadiago-nalnych skªadowych tensora energii p¦du w zmiennych zespolonych:
Tzz = Tzz =1
4T µµ = 0.
W tych zmiennych posta¢ praw zachowania wygl¡da nast¦puj¡co:
∂zTzz = 0, ∂zTzz = 0,
z czego wynika, »e pozostaªe skªadowe tensora T s¡ polami chiralnymi (antychiralnymi)
Tzz = T (z), Tzz = T (z).
5
Mo»emy rozwin¡¢ T (z) oraz T (z) w szereg Laurenta
T (z) =∑n
Lnz−n−2, Lm =
1
2πi
∮dz zm+1T (z), (5)
T (z) =∑n
Lnz−n−2, Lm =
1
2πi
∮dz zm+1T (z).
Ten przepis daje wyra»enia na Ln i Ln speªniaj¡ce algebr¦ Virasoro
[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c
12m(m2 − 1)δm+n,0, (6)
[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c
12m(m2 − 1)δm+n,0,
[Ln, Lm] = 0,
gdzie c to ªadunek centralny. Powy»sz¡ algebr¦ mo»na wyprowadzi¢ z rozwini¦cia OPE wprowad-zonego poni»ej.
2.2.2 Rozwini¦cie OPE
Zachowany ªadunek Q wyra»a si¦ wzorem:
Q =1
2πi
∮dw T (w)ε(w) +
1
2πi
∮dw T (w)ε(w), (7)
gdzie z → z + ε(z) oraz z → z + ε(z). Poniewa» operatory T (z) oraz T (z) s¡ generatoramilokalnych transformacji konforemnych mo»emy zapisa¢ zwi¡zek
δφh,h(z, z) = [Q, φh,h(z, z].
Wstawiaj¡c wyra»enie (7) na ªadunek Q uzyskujemy:
δφh,h(z, z) =1
2πi
∮dw ε(w)[T (w), φ(z, z] + (w ↔ w), (8)
gdzie (w ↔ w) oznacza analogiczny wyraz w zmiennych w.
Denicja W powy»szym wyra»eniu wynik caªkowania zale»y od tego, które osobliwo±ci okr¡»akontur. Z tego powodu wprowadzamy uporz¡dkowanie radialne zdeniowane jako:
R(A(z)B(w)) :=
A(z)B(w), |z| > |w|B(w)A(z), |w| > |z| .
Jest to odpowiednik uporz¡dkowania chronologicznego w kwantowej teorii pola. Dzi¦ki tejdenicji mo»emy przepisa¢ caªk¦ konturow¡ jako:∮
dz [A(z), B(w)] =
∮|z|>|w|
dz A(z)B(w)−∮|z|<|w|
dz B(w)A(z) =
∮w
dz R(A(z)B(w)).
Kontury w powy»szym rachunku ilustruje Rys.1. Po wprowadzeniu tej denicji cz¦sto b¦dziemyopuszcza¢ symbol R.
6
0w
0w
0w- =
Rysunek 1: Kontury caªkowania.
Dzi¦ki temu uporz¡dkowaniu mo»emy zapisa¢ równanie (8) w ostatecznej postaci:
δφh,h(z, z) =1
2πi
∮z
dw ε(w)T (w)φh,h(z, z) +1
2πi
∮z
dw ε(w)T (w)φh,h(z, z), (9)
Z denicji pola pierwotnego (3) policzymy zmian¦ pola pierwotnego δφh,h:
δφh,h(z, z) = (h∂zε(z) + ε(z)∂z + h∂z ε(z) + ε(z)∂z)φh,h(z, z).
Korzystaj¡c ze wzoru Cauchy'ego
f (n)(z) =n!
2πi
∮z
dwf(w)
(z − w)n+1,
wyrazimy zmian¦ pola pierwotnego w postaci caªek konturowych:
δφh,h(z, z) =1
2πi
∮z
dw
(hε(w)φh,h(z, z)
(z − w)2+ε(w)∂zφh,h(z, z)
z − w
)+ (w ↔ w).
Porównuj¡c powy»szy wynik z (9) otrzymujemy:
T (w)φh,h(z, z) =hφh,h(z, z)
(z − w)2+∂zφh,h(z, z)
z − w+ reg. , (10)
T (w)φh,h(z, z) =hφh,h(z, z)
(z − w)2+∂zφh,h(z, z)
z − w+ reg. ,
gdzie reg. oznacza wyra»enia regularne znikaj¡ce pod caªk¡ konturow¡.Powy»sze wyra»enia to przykªad iloczynowego rozwini¦cia operatorów (OPE ).Za pomoc¡ rozwini¦cia OPE dla iloczynu operatorów T (z)T (w) mo»na wyprowadzi¢ posta¢algebry Virasoro (6). Posªuguj¡c si¦ (10) i denicj¡ (5) wyznaczymy nast¦puj¡cy komutator:
[Ln, φh,h(z, z)] =1
2πi
∮z
dw wn+1T (w)φh,h(z, z) =1
2πi
∮z
dw wn+1
(hφ(z, z)
(z − w)2+∂zφh,h(z, z)
z − w
)=
= zn (h(n+ 1) + z∂z)φh,h(z, z), n ∈ Z. (11)
Wykorzystali±my przy tym tak»e denicj¦ uporz¡dkowania radialnego.
2.2.3 Moduª Verma
Reprezentacja algebry Virasoro jest budowana nad stanem o najwy»szej wadze (HWS) zden-iowanym jako
Ln |h〉 = 0, L0 |h〉 = h |h〉 , n > 0,
poprzez dziaªanie Ln dla n ≤ −1
L−k1 ...L−kp |h〉 ,
7
gdzie narzucamy uporz¡dkowanie kp ≤ kp−1 ≤ ... ≤ k1. S¡ to wektory wzbudzone na okre±lonypoziom N =
∑pi=1 ki. Stany o okre±lonej liczbie wzbudze« N s¡ wektorami wªasnymi L0 z
warto±ci¡ wªasn¡ h + N i tworz¡ przestrze« wektorow¡ V N(h). Moduª Verma V (h) jest sum¡prost¡ powy»szych przestrzeni:
V (h) =⊕N≥0
V N(h).
Wprowadzamy iloczyn skalarny taki, »e
L†n = L−n, 〈h| h〉 = 1.
Struktura moduªów. Niektóre moduªy Verma V (h) s¡ reprezentacjami redukowalnymi tzn.istniej¡ w nich pozbiory same b¦d¡ce moduªami Verma. W module V (h) istniej¡ takie wektory|χ〉 »e Ln |χ〉 = 0 dla n > 0. Ich ogóln¡ posta¢ mo»na przedstawi¢ jako:
|χ〉 =∑k
βkL−k1 ...L−kr |h〉 , N =r∑i=1
ki.
Denicja Wektory |χ〉 nazywami osobliwymi, singularnymi lub zerowymi. Mo»na na nichbudowa¢ niezale»ny moduª Verma V (χ).
Wektor osobliwy jest ortogonalny do V N(h) poniewa»
〈χ|L−k1 ...L−kn |h〉 = 0,
z denicji Lx |χ〉 = 0→ 〈χ|L−x = 0 dla x > 0. W szczególno±ci 〈χ| χ〉 = 0.Analogicznie mo»emy przeprowadzi¢ dyskusj¦ dla antychiralnego moduªu V (h). Moduª dlaobydwu algebr jest iloczynem tensorowym V (h)⊗ V (h).
2.2.4 Przestrze« stanów
Zakªadamy, »e przestrze« stanów w CFT jest zbudowana jako (by¢ mo»e niesko«czona) sumaprosta moduªów Verma
H =⊕h,h
V (h)⊗ V (h).
Drugim zaªo»eniem jest odpowiednio±¢ pomi¦dzy wektorami w module oraz lokalnymi opera-torami :
|χ〉 ↔ χ(z, z).
Powy»sza odpowiednio±¢ zachodzi w szczególno±ci pomi¦dzy stanami o najwy»szej wadze∣∣h, h⟩
i polami pierwotnymi φh,h(z, z).
Denicja W module Verma istnieje szczególny stan o najwy»szej wadze nazywany pró»ni¡ |0〉okre±lony dodatkowymi warunkami:
L0 |0〉 = 0, L−1 |0〉 = 0.
8
Za pomoc¡ pró»ni zapiszemy dyskutowan¡ relacj¦:∣∣h, h⟩ = limz,z→0
φh,h(z, z) |0〉 .
Korzystaj¡c ze wzoru (11) dla n = 0 mo»na si¦ przekona¢ o prawdziwo±ci powy»szej odpowied-nio±ci:
L0
∣∣h, h⟩ = limz,z→0
[L0, φh,h(z, z)] |0〉 = h limz,z→0
φh,h(z, z) |0〉 = h∣∣h, h⟩ .
Sprz¦»enie operatora deniujemy nast¦puj¡co:
φh,h(z, z)† = z−2hz−2hφh,h(1/z, 1/z).
Jest to uzasadnione gdy za»¡damy speªnienia warunków:⟨h, h∣∣ =
∣∣h, h⟩† ,⟨h, h∣∣ h, h⟩ = 1.
2.3 Konkretne realizacje CFT
2.3.1 Pole bozonowe
Teoria swobodnego pola bozonowego φ jest opisana nast¦puj¡cym dziaªaniem:
S =1
8π
∫dxdt∂µφ∂
µφ =1
8π
∫dxdt
((∂tφ)2 − (∂xφ)2
),
gdzie pole jest periodyczne φ(x, t) = φ(x+ 2π, t). Rozkªadamy je w bazie Fouriera:
φ(x, t) =∑n
einxφn(t), n ∈ Z.
Korzystamy z normalizacji∫dxeiξx = 2πδ(ξ). Poni»ej przeprowadzimy kanoniczne kwan-
towanie:
L =1
8π
∫dx(φ2 − φ′2) =
1
4
∑n∈Z
(φnφ−n − n2φnφ−n
).
Wprowadzamy p¦d kanonicznie sprz¦»ony jako
∂L
∂φn= πn =
1
2φ−n.
Przechodzimy do hamiltonianu:
H =∑n
φn∂L
∂φn− L =
∑n
(πnπ−n +
n2
4φnφ−n
).
Wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji:
an =
π−n − i |n|2 φn n > 0
π−n + i |n|2φn n < 0
,
an =
πn − i |n|2 φ−n n > 0
πn + i |n|2φ−n n < 0
.
9
Poni»ej zestawiamy hamiltonian wraz z reguªami komutacji:
H = π20 +
∑n>0
(a−nan + a−nan),
[an, am] =n
2δn+m,0, [an, am] =
n
2δn+m,0, [an, am] = 0.
W dalszym kroku powrócimy do konkretnej postaci pola φ i wyrazimy mody Fouriera φmpoprzez operatory kreacji i anihilacji:
φn =i
n(an − a−n).
Wstawiamy powy»sze wyra»enie do rozwini¦cie φ dla t = 0:
φ(x) = φ0(0) + i∑n6=0
1
n(an(0)− a−n(0))einx.
Czasowa ewolucja operatorów w obrazie Heisenberga jest zadana hamiltonianem:
O(t) = eiHtO(0)e−iHt.
Poni»ej obliczymy ewolucj¦ operatorów kreacji i anihilacji ze wzoru Hausdora-Bakera:
an(t) = eiHtan(0)e−iHt = an(0) + it[H, an(0)] +1
2(it)2[H, [H, an(0)]] + ...,
[H, an(0)] = −nan(0),
an(t) = an(0)(1 + (−int) +1
2(−int)2 + ...) =
= an(0)e−int.
Nast¦pnie zajmiemy si¦ ewolucj¡ modu zerowego:
φ0(t) = eiHtφ0(0)e−iHt = φ0(0) + it[H,φ0(0)],
[H,φ0(0)] = [π20, φ0(0)] = −2[φ0(0), π0],
[φ0(0), π0] =i
2,
φ0(t) = φ0(0) + tπ0.
Pole bozonowe wyra»a si¦ wzorem:
φ(x, t) = φ0(0) + tπ0 + i∑n6=0
1
n
(ane
in(x−t) − a−nein(x+t)).
Ostatnim krokiem jest przej±cie do metryki euklidesowej t → −iτ , przeskalowanie π0 → 2π0 iwprowadzenie zmiennych zespolonych
z = eτ−ix, z = eτ+ix.
Uzyskane w ten sposób pole bozonowe ma nast¦puj¡c¡ posta¢:
φ(z, z) = φ0 − iπ0 ln(zz) + i∑n6=0
1
n(anz
−n + anz−n).
10
Powy»szy operator ma znikaj¡c¡ wag¦ konforemn¡ (0, 0). Dalej b¦dziemy si¦ zajmowa¢ chiral-nym polem bozonowym φ(z). Wprowadzamy nowe oznaczenia dla takiego pola:
φ(z) = Q− iPh ln(z) + i∑n6=0
1
nanz
−n. (12)
Poni»ej wypisano tak»e komutatory w nowych oznaczeniach:
[an, am] =n
2δn+m,0, [Q,Ph] =
i
2, [an,Q] = [an,Ph] = 0. (13)
Operator p¦du deniujemy jako Pa := iPh.
2.3.2 Tensor energii-p¦du dla pola bozonowego
Dla podanego pola bozonowego wyliczymy pole T (z):
T (z) = − : ∂φ(z)∂φ(z) :=∑n
Lnz−n−2.
W tym celu wyznaczamy pochodn¡ pola jako:
∂φ(z) = −i∑n∈Z
anz−n−1, a0 = Ph.
Wstawiamy do powy»szej denicji i wyznaczamy z niej posta¢ modów Ln:
T (z) =∑n,k∈Z
: anak : z−n−k−2 =∑m
(∑n
: anam−n :
)z−m−2.
Uzyskali±my realizacj¦ algebry Virasoro poprzez operatory an
Lm =∑n
: anam−n : . (14)
W dalszej cz¦±ci udowodnimy, »e podane wyra»enie speªnia denicj¦ (6) dla ªadunku centralnegoc = 1.
2.3.3 Operatory wierzchoªkowe
Z pola bozonowego mo»na zbudowa¢ chiralny operator wierzchoªkowy:
Vα(z) =: e2αφ(z) := e2αQe−2αiPh ln(z) exp
(2αi
∑n<0
anz−n
n
)exp
(2αi
∑n>0
anz−n
n
)=:
=: eq(α)ep(α;z)e<(α;z)e>(α;z), (15)
gdzie parametr α nazywamy p¦dem. Operator Vα(z) jest polem pierwotnym z niezerow¡ wag¡konforemna h. Mo»na j¡ uzyska¢ z komutatora (11):
[Ln, Vα(z)] = zn(h(n+ 1) + z
∂
∂z
)Vα(z), n ∈ Z. (16)
Rozwijamy porz¡dek normalny w powy»szym wyra»eniu:
[Ln, Vα(z)] =∑m
[: aman−m :, Vα] =∑m<0
[aman−m, Vα] +∑m≥0
[an−mam, Vα] =
=∑m<0
am[an−m, Vα] +∑m<0
[am, Vα]an−m +∑m≥0
an−m[am, Vα] +∑m≥0
[an−m, Vα]am.
(17)
11
Lemat 2.1 Niech [a, a†] = 1 i f(a†) =∑
n≥0 cn(a†)n. Zachodzi [a, f(a†)] = ∂f(a†)∂a†
.
Dowód
[a, f(a†)] =∑n≥0
cn[a, (a†)n],[a, (a†)n
]=[a, (a†)n−1
]a† + (a†)n−1
[a, a†
]= ... = n(a†)n−1, n ≥ 1,
[a, f(a†)] =∑n≥1
cnn(a†)n−1 =∂f(a†)
∂a†.
Korzystaj¡c z lematu 2.1 mo»na wykaza¢, »e
[ak, Vα] = −αizkVα, k ∈ Z, (18)
gdzie a0 = Ph. Korzystaj¡c z powy»szego wyniku kontynuujemy obliczanie komutatora (17):
[Ln, Vα(z)] = −αi
∑m<0
zn−mamVα +∑m<0
zmVαan−m +∑m≥0
zman−mVα +∑m≥0
zn−mVαam
.
(19)
Korzystaj¡c z lematu 2.1 mo»na udowodni¢ nast¦puj¡ce zwi¡zki:
[am, e<(α;z)] = (−αizm)e<(α;z), m > 0,
[am, e>(α;z)] = (−αizm)e>(α;z), m < 0,
[a0, eq(α)] = (−αi)eq(α).
Rozpatrzmy ogólnie wyrazy postaci axVα:
x ≥ 0, axVα = eq(α)ep(α;z)axe<(α;z)e>(α;z) = eq(α)ep(α;z)
[ax, e
<(α;z)]e>(α;z)+ : axVα :=
= −αizxVα+ : axVα :,
x < 0, axVα =: axVα :,
axVα =
−αizxVα+ : axVα : x ≥ 0: axVα : x < 0
.
Nast¦pnie przeprowadzimy podobn¡ dyskusj¦ dla wyrazów Vαay:
y ≥ 0, Vαay = eq(α)ep(α;z)e<(α;z)aye>(α;z) =: ayVα :,
y < 0, Vαay = eq(α)ep(α;z)e<(α;z)[e>(α;z), ay
]+ eq(α)ep(α;z)e<(α;z)aye
>(α;z) = αizyVα+ : ayVα :,
Vαay =
: ayVα : y ≥ 0αizyVα+ : ayVα : y < 0
.
Podkre±lenie w wyra»eniu (19) rozpiszemy korzystaj¡c z powy»szych wzorów:∑m<0
zmVαan−m +∑m≥0
zman−mVα =∑m<0m≤n
zm : Vαan−m : +∑m<0m>n
zm(αizn−mVα+ : Vαan−m :)+
+∑m≥0m>n
zm : Vαan−m : +∑m≥0m≤n
zm(−αizn−mVα+ : Vαan−m :).
12
Wyra»enie powy»sze rozbijemy na dwa przypadki:∑m<0
zmVαan−m +∑m≥0
zman−mVα =∑m<0
zm : Vαan−m : +∑m>n
zm : Vαan−m : +
+n∑
m=0
zm(−αizn−mVα+ : Vαan−m :) =∑m
zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα, n ≥ 0,
∑m<0
zmVαan−m +∑m≥0
zman−mVα =∑m≤n
zm : Vαan−m : +−1∑
m=n+1
zm(αizn−mVα+ : Vαan−m :)+
+∑m≥0
zm : Vαan−m :=∑m
zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα, n < 0.
Z pomoc¡ powy»szego rachunku obliczamy posta¢ komutatora (19):
[Ln, Vα] = −αi
(∑m<0
zn−m : amVα : +∑m
zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα +∑m≥0
zn−m : amVα :
)=
= −znαi
(∑m
z−m : amVα : +∑m
zm−n : an−mVα : −αi(n+ 1)Vα
)=
= zn
(−2αi
∑m
z−m : amVα : −α2(n+ 1)Vα
).
Cz¦±¢ uzyskanego wyniku przeksztaªcamy:
z∂
∂zVα(z) = z : 2α
∂φ(z)
∂zVα(z) := −2αi
∑n
z−n : anVα(z) : . (20)
Uzyskujemy ostateczn¡ form¦ komutatora:
[Ln, Vα] = zn(−α2(n+ 1) + z
∂
∂z
)Vα. (21)
Porównuj¡c z formuª¡ (16) odczytujemy wag¦ konforemn¡ operatora Vα:
h = −α2.
2.3.4 Przestrze« Focka
Wprowadzone operatory an generuj¡ przestrze« Focka nad stanem |α〉:
|α〉 = limz→0
Vα(z) |0〉 ,
an |α〉 = 0, n > 0,
ia0 |α〉 = Pa |α〉 = α |α〉 .
Operator p¦du jest równy Pa := iPh. Stany budowane poprzez operatory a−n s¡ stanamiwªasnymi L0. Komutator pomi¦dzy tymi operatorami wyra»a si¦ wzorem:
[L0, a−m] = ma−m.
Dla stanu an1−1a
n2−2... |α〉 waga konforemna jest równa
h = −α2 +∑j
jnj.
Oznacza to, »e zarówno poprzez dziaªanie operatorami an jak i Ln (patrz rozdziaª 2.2.3) mo»emyzmienia¢ wag¦ konforemn¡.
13
2.3.5 Funkcje korelacji
Zajmiemy si¦ korelatorami zªo»onymi z operatorów wierzchoªkowych i wyprowadzimy ogólnywzór dla takich funkcji. Prosty przypadek przedstawimy jako lemat:
Lemat 2.2 Niech Ai = αia+βia†, a |0〉 = 0, 〈0| a† = 0 oraz [a, a†] ∼ c-liczba. Je±li tak, zachodzi
〈0| : eA1 : ... : eAn : |0〉 =∏i<j
e〈0|AiAj |0〉. (22)
Dowód Wprowadzimy oznaczenie:
: eAi :=: eαia+βia†
:= eβia†eαia =: eBieCi .
Zgodnie z nim obliczamy korelator:
〈0| : eA1 : ... : eAn : |0〉 = 〈0| eB1 ...eBneC1 ...eCn |0〉∏i<j
exp ([Ci, Bj]) =
=∏i<j
exp([αia, βja
†])
=∏i<j
exp(〈0|αiaβja† |0〉
)=∏i<j
e〈0|AiAj |0〉.
n-punktowa funkcja korelacji. Skorzystamy z oznacze« wprowadzonych w (15). Obliczymyiloczyn n operatorów wierzchoªkowych:
n∏i=1
Vαi(zi) =n∏i=1
eq(αi)ep(αi;zi)e<(αi;zi)e>(αi;zi) =n∏i=1
(eq(αi)ep(αi;zi)
) n∏i=1
(e<(αi;zi)e>(αi;zi)
).
D¡»ymy do uszeregowania normalnego caªego wyra»enia:
n∏i=1
e<(αi;zi)e>(αi;zi) =n∏i=1
e<(αi;zi)
n∏i=1
e>(αi;zi)∏i<j
e[>(αi;zi),<(αj ;zj)],
n∏i=1
eq(αi)ep(αi;zi) =n∏i=1
eq(αi)n∏i=1
ep(αi;zi)∏i<j
e[p(αi;zi),q(αj)].
Pomocniczo wyznaczymy:
[> (αi; zi), < (αj; zj)] = −4αiαj∑
k>0;l<0
[akkz−ki ,
allz−lj
]= −2αiαj
∑k>0;l<0
z−ki z−ljk
klδk,−l =
= 2αiαj∑k>0
1
k
(zjzi
)k= −2αiαj log
(1− zj
zi
),
[p(αi, zi), q(αj)] = 4iαiαj log(zi)[Q,Ph] = −2αiαj log(zi). (23)
Obliczymy podkre±lone czªony b¦d¡ce rozszerzeniem rachunków dla funkcji dwupunktowej:∏i<j
e[p(αi,zi),q(αj)]e[>(αi,zi),<(αj ,zj)] =∏i<j
(zi − zj)−2αiαj .
Ostatecznie dostajemy wyra»enie:
n∏i=1
Vαi(zi) =n∏i=1
: Vαi(zi) :∏i<j
(zi − zj)−2αiαj . (24)
14
Obkªadaj¡c powy»szy wzór stanami pró»ni uzyskujemy:
〈0|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0〉 = 〈0| e2Q∑ni=1 αi |0〉
∏i<j
(zi − zj)−2αiαj . (25)
Nakªadamy warunek na p¦dy∑n
i=1 αi = 0 wynikaj¡cy z ortogonalno±ci stanów |0〉 i exQ |0〉 dlax 6= 0. W wyniku tego uzyskujemy ogólny wzór dla n-punktowej funkcji korelacji:
〈0|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0〉 =∏i<j
(zi − zj)−2αiαj ,∑i
αi = 0.
Pró»nia |0〉 speªnia równania Pa |0〉 = 0 = Ph |0〉.
2.4 Formalizm gazu Coulomba
2.4.1 Tensor energii-p¦du
Tensor energii-p¦du w formalizmie gazu Coulomba deniujemy jako:
T (z) = − : ∂φ∂φ : +Q∂2φ.
Z powy»szej postaci wyprowadzamy wyra»enia na mody Ln:
Ln =∑k
: akan−k : +iQ(n+ 1)an. (26)
Udowodnimy, »e powy»sze generatory nadal speªniaj¡ algebr¦ Virasoro:
[Lm, Ln] =
Amn︷ ︸︸ ︷∑k,l
[: akam−k :, : alan−l :] +iQ(m+ 1)
Bmn︷ ︸︸ ︷∑k
[am, : akan−k :] +
+ iQ(n+ 1)∑k
[: akam−k :, an]−Q2(m+ 1)(n+ 1)[am, an]︸ ︷︷ ︸Cmn
.
Na pocz¡tku obliczymy wyraz Bmn, przy zaªo»eniu n > 0:
Bmn =∑k
[am, : akan−k :] =0∑
p=−∞
[am, apan−p] +∞∑p=1
[am, an−pap] =
=0∑
p=−∞
([am, ap]an−p + ap[am, an−p]) +∞∑p=1
([am, an−p]ap + an−p[am, ap]) =
=1
2
0∑p=−∞
(mδm+pan−p + apmδm+n−p) +1
2
∞∑p=1
(mδm+n−pap + an−pmδm+p) =
=1
2
∑p
(mδm+pan−p +mδm+n−pap) = mam+n. (27)
Taki sam rachunek mo»na przeprowadzi¢ dla n < 0. Wyraz Cmn jest równy:
Cmn = −Q2(m+ 1)(n+ 1)[am, an] =Q2
2m(m2 − 1)δm+n,0. (28)
15
Czªon Amn rozbijemy jako sum¦ wyrazów Bmn:
Amn =∑p,q
[: apam−p :, : aqan−q :] =
(0∑
p=−∞
∑q
[apam−p, : aqan−q :]+
∞∑p=1
∑q
[am−pap, : aqan−q :]
)=
0∑p=−∞
∑q
(ap
Bm−p,n︷ ︸︸ ︷[am−p, : aqan−q :] +
Bp,n︷ ︸︸ ︷[ap, : aqan−q :] am−p)+
+∞∑p=1
∑q
(am−p [ap, : aqan−q :]︸ ︷︷ ︸Bp,n
+ [am−p, : aqan−q :]︸ ︷︷ ︸Bm−p,n
ap) =
=0∑
p=−∞
((m− p)apam+n−p + pap+nam−p) +∞∑p=1
(pam−pap+n + (m− p)am+n−pap).
W wyrazach podkre±lonych dokonujemy zamiany q = p+ n:
Amn =0∑
p=−∞
(m− p)apam+n−p +n∑
q=−∞
(q − n)aqam+n−q +∞∑
q=n+1
(q − n)am+n−qaq+
+∞∑p=1
(m− p)am+n−pap =0∑
p=−∞
(m− n)apam+n−p +n∑p=1
(p− n)apam+n−p
::::::::::::::::::::::
+
+∞∑
p=n+1
(m− n)am+n−pap +n∑p=1
(m− p)am+n−pap. (29)
Poni»ej obliczymy::::::::::::::podkre±lon¡ sum¦:
n∑p=1
(p− n)apam+n−p =n∑p=1
(p− n)am+n−pap +n∑p=1
(p− n)[ap, am+n−p] =
=n∑p=1
(p− n)am+n−pap +1
2
n∑p=1
(p− n)pδm+n,
n∑p=1
p2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
n∑p=1
p =n(n+ 1)
2,
n∑p=1
(p− n)apam+n−p =n∑p=1
(p− n)am+n−pap +1
12m(m2 − 1)δn+m.
Wstawiamy powy»sz¡ sum¦ do (29):
Amn =0∑
p=−∞
(m− n)apam+n−p +∞∑
p=n+1
(m− n)am+n−pap +n∑p=1
(m− n)am+n−pap+ (30)
+1
12m(m2 − 1)δn+m = (m− n)
(0∑
p=−∞
apam+n−p +∞∑p=1
am+n−pap
)+
1
12m(m2 − 1)δn+m =
= (m− n)∑p
: apam+n−p : +1
12m(m2 − 1)δn+m. (31)
16
Zbieraj¡c wyra»enia (27), (28) i (30) otrzymujemy komutator algebry Virasoro:
[Lm, Ln] = (m− n)∑p
: apam+n−p : +1
12m(m2 − 1)δn+m + iQm(m+ 1)am+n
− iQn(n+ 1)am+n +Q2
2m(m2 − 1)δm+n,0 =
= (m− n)
(∑p
: apam+n−p : +iQ(m+ n+ 1)am+n
)+
(1
12+Q2
2
)m(m2 − 1)δm+n =
= (m− n)Lm+n +c
12m(m2 − 1)δm+n.
Z porównania zmodykowany ªadunek centralny wynosi c = 1 + 6Q2. Dla Q = 0 ªadunekzgadza si¦ z wcze±niej wprowadzon¡ postaci¡ Ln w (14).
2.4.2 Waga konforemna
Nowe generatory algebry Virasoro modykuj¡ wag¦ konforemn¡ operatora wierzchoªkowego:
[Ln, Vα] =∑k
[: akan−k :, Vα]︸ ︷︷ ︸obl. w (21)
+iQ(n+ 1)[an, Vα].
Z równania (18) obliczamy iQ(n+ 1)[an, Vα] = αQ(n+ 1)znVα. W formalizmie gazu Coulombadostajemy nast¦puj¡cy wzór:
[Ln, Vα] = zn(
(Qα− α2)(n+ 1) + z∂
∂z
)Vα. (32)
W tym modelu waga konforemna wynosi:
h = α(Q− α). (33)
2.4.3 Korelatory w formalizmie gazu Coulomba
Korelatory w tej teorii buduje si¦ z tych samych operatorów wierzchoªkowych nad pró»ni¡konforemn¡ |0∗〉:
K = 〈0∗|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0∗〉 ,∑i
αi = Q.
Stan pró»ni konforemnej deniujemy jako:
|0∗〉 := e−QQ |0〉 , Pa |0∗〉 = −Q2|0∗〉 . (34)
Korzystaj¡c z (24) mo»na wykaza¢, »e korelator w tym formalizmie wynosi:
〈0∗|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0∗〉 =∏i<j
(zi − zj)−2αiαj ,∑i
αi = Q. (35)
17
Operatory ekranuj¡ce. W formalizmie gazu Coulomba mo»emy skonstruowa¢ dwa opera-tory Vα i VQ−α o tej samej warto±ci h. Korelatory pomi¦dzy tymi operatorami powinny by¢sobie równe 〈0∗|VαVα |0∗〉 = 〈0∗|VαVQ−α |0∗〉 = 〈0∗|VQ−αVQ−α |0∗〉 poniewa» opisuj¡ one tesame zyczne wielko±ci. Z drugiej strony, warunek (35) naªo»ony na p¦dy powoduje, »e tylko〈0∗|VαVQ−α |0∗〉 6= 0. Aby zapewni¢ równowa»no±¢ powy»szych operatorów wprowadzamy tzw.operatory ekranuj¡ce. Od tych obiektów wymagamy »eby modykowaªy p¦dy wierzchoªkoweoraz miaªy znikaj¡c¡ wag¦ konforemn¡. Operator ten przedstawiamy w nielokalnej formiecaªkowej:
Q =
∮dzA(z),
gdzie A(z) ma hA = 1 gdy» wtedy hQ = 0. Niezmienniczo±¢ wagi wida¢ z nast¦puj¡cegokomutatora
[Ln, Q] =
∮dz[Ln, A(z)] =
∮dzzn
(zd
dz+ (n+ 1)
)A(z) =
∮dz
d
dz
(zn+1A(z)
)= 0, (36)
gdy operator zn+1A(z) jest jednoznaczny. Operatory o wadze h = 1 wyznaczymy ze zbioruoperatorów wierzchoªkowych Vα poprzez speªnienie warunku:
h = α(Q− α) = 1.
Rozwi¡zanie tego równania ze wzgl¦du na α prowadzi do dwóch warto±ci:
α± =Q
2±√Q2
4− 1, (37)
α+ + α− = Q,
α+α− = 1.
Dostali±my odpowiednio dwa operatory ekranuj¡ce postaci
Q± =
∮dzVα±(z). (38)
Poniewa» nie modykuj¡ one wag konforemnych, mo»emy do ka»dego korelatora zaaplikowa¢dowoln¡ liczb¦ takich obiektów:
〈0∗|Vα(z)Vα(w)Qr+Q
s− |0∗〉 .
Podany korelator b¦dzie ró»ny od zera gdy zajdzie warunek:
2α + rα+ + sα− = Q = α+ + α−,
αrs =1
2(1− r)α+ +
1
2(1− s)α−.
Wyznaczyli±my dozwolone warto±ci p¦du, które mo»e przyjmowa¢ operator wierzchoªkowyaby model miaª jednoznacznie okre±lone funkcje korelacji. Do wyprowadzenia tego warunkuu»yli±my dwupunktowych funkcji korelacji jednak dla dowolnej n-punktowej mo»na przeprowa-dzi¢ analogiczne rozumowanie. Zawsze uzyskamy przy tym równanie na p¦d αrs z innymiwielokrotno±ciami α±. Wstawiaj¡c αrs do wzoru wag¦ konforemn¡ (33) dostajemy:
hr,s =Q2
4− 1
4(rα+ + sα−)2, (39)
c = 1 + 6Q2,
Q = α− + α+.
18
Wypisali±my powy»ej tak»e równanie na ªadunek centralny. Formuªa na wag¦ konforemn¡ hr,sma tak¡ sam¡ posta¢ jak w przypadku dyskusji unitarno±ci teorii konforemnej. Poniewa» liczbyr i s s¡ dowolnymi liczbami caªkowitymi, zdeniujemy wzór na p¦d jako
αrs =1
2(1 + r)α+ +
1
2(1 + s)α−. (40)
Nowa denicja nie zmienia hr,s ale b¦dzie przydatna w pó¹niejszych rachunkach.
3 Model Calogero-Sutherlanda
Model Calogero-Sutherlanda [3, 2] jest kwantowym opisem ukªadu N cz¡stek w jednym wymi-arze, oddziaªuj¡cych ze sob¡ potencjaªem 1/x2 i posiadaj¡cym dokªadne rozwi¡zania. Jestto model b¦d¡cy w utajonym zwi¡zku [9, 10] z wprowadzon¡ ju» algebr¡ Virasoro i mod-elami CFT w ogólno±ci. W poni»szych rozdziaªach przeprowadzimy hamiltonian do formywymiernej, obliczymy stan pró»ni w modelu oraz wprowadzimy sumy pot¦gowe. Doprowadz-imy do konkretnych relacji wi¡»¡cych rozwi¡zania modelu (tzw. wielomiany Jacka) po stroniemodelu CS ze stanami zerowymi zdeniowanymi w CFT. W rozdziale po±wi¦conym twierdzeniuAGT poka»emy, »e ta odpowiednio±¢ to podstawowy element sªu»¡cy w dowodzie. Hamiltonianmodelu w postaci trygonometrycznej przedstawia si¦ nast¦puj¡co
HCS =N∑j=1
(1
i
∂
∂qj
)2
+1
2
N∑j=1,i<j
β(β − 1)
sin2(qi−qj
2)
= H0 +HV . (41)
Operator p¦du
P =N∑j=1
1
i
∂
∂qj.
Posta¢ trygonometryczna jest periodycznym modelem zdeniowanym na okr¦gu S1 z oddzi-aªywaniem HV przedstawionym na Rys.2. Funkcja ma osobliwo±ci dla qi − qj = 2kπ, k ∈ Z.Potencjaª HV mo»na rozwin¡¢ dla maªych qi − qj jako:
0 2π
qi - qj
sin-2((qi-qj)/2)
Rysunek 2: Wykres potencjaªu oddziaªywania HV w postaci trygonometrycznej modeluCalogero-Sutherlanda.
HV ≈ 2β(β − 1)N∑
j=1,i<j
1
(qi − qj)2.
Rozpatruj¡c maªe ró»nice k¡tów efektywnie przechodzimy do teorii zdeniowanej na prostej.W takim przypadku odzyskujemy potencjaª 1/x2.
19
3.1 Przepisanie hamiltonianu w j¦zyku operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian (41) mo»na wyrazi¢ w postaci:
HCS =N∑j=1
hj(β)†hj(β) + ε0 =: H0CS + ε0,
gdzie deniujemy operatory kreacji i anihilacji jako
hj(β) =1
i
∂
∂qj+ i
β
2
N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
), (42)
hj(β)† =1
i
∂
∂qj− iβ
2
N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
).
Poni»ej przedstawimy równowa»no±¢ powy»szego hamiltonianu z postaci¡ trygonometryczn¡:
H0CSΨ =
N∑j=1
hj(β)†hj(β)Ψ =
=N∑j=1
(1
i
∂
∂qj− iβ
2
N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
))(1
i
∂
∂qj+ i
β
2
N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
))Ψ =
=
H0Ψ︷ ︸︸ ︷N∑j=1
(1
i
∂
∂qj
)2
Ψ +iβ
2
N∑j=1
[1
i
∂
∂qj,N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
)]Ψ+
+β2
4
N∑i 6=ji′ 6=jj=1
cot
(qj − qi
2
)cot
(qj − qi′
2
)Ψ. (43)
Czªon z komutatorem jest równy:
iβ
2
N∑j=1
[1
i
∂
∂qj,
N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
)]Ψ = −β
4
N∑j=1
N∑i 6=j
1
sin2( qj−qi
2
)Ψ. (44)
Ostatni czªon w powy»szym równaniu rozbijamy na przypadki gdy i = i′ oraz i 6= i′:
β2
4
N∑i 6=ji′ 6=jj=1
cot
(qj − qi
2
)cot
(qj − qi′
2
)=
=β2
4
N∑j=1i 6=j
cot2
(qj − qi
2
)︸ ︷︷ ︸
i=i′
+β2
4
N∑i 6=ji′ 6=ji 6=i′j=1
cot
(qj − qi
2
)cot
(qj − qi′
2
)=: Aeq + Aneq.
20
Wyraz Aeq przeksztaªcamy w nast¦puj¡cy sposób:
Aeq =β2
4
N∑j=1i 6=j
cot2
(qj − qi
2
)+β2
4
N∑j=1i 6=j
1− β2
4
N∑j=1i 6=j
1 =
=β2
4
N∑j=1i 6=j
1
sin2( qj−qi
2
) − β2
4N(N − 1). (45)
Czªon Aneq rozwiniemy korzystaj¡c z to»samo±ci trygonometrycznej
tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x) tan(y) tan(z), x+ y + z = π,
zapisanej inaczej jako
cot(x) cot(y) + cot(y) cot(z) + cot(x) cot(z) = 1.
Zmienna qi to poªo»enie i-tej cz¡stki na okr¦gu. Rozwa»my trójk¦ poªo»e« qi, qj, qk speªniaj¡-cych qi < qj < qk. Dla takiego uporz¡dkowania zachodzi:
qj − qi2
+qk − qj
2+
poªo»enia skrajne︷ ︸︸ ︷(π − qk − qi
2
)= π
Powstaª¡ sytuacj¦ ilustruje Rys.3. Nie jest to jedyne uporz¡dkowanie poªo»e«, pozostaªe mo»li-
qiqj
qk
qj-qi
qk-qj2π-(qk-qi)
Rysunek 3: Poªo»enia na okr¦gu speªniaj¡ce qi < qj < qk.
wo±ci uszeregowania zestawili±my w Tab.1. W taki sam sposób mo»emy rozªo»y¢ sum¦ poindeksach:
N∑i 6=ji′ 6=ji 6=i′
=∑
qi,qj ,qk
. (46)
W tabeli powy»ej zestawiono znak po uwzgl¦dnieniu uporz¡dkowania ci¡gu, wida¢ z niej »edla ka»dego uporz¡dkowania wyrazy z cotangensami maj¡ równe znaki. W takim razie mo»emynapisa¢, »e dla dowolnego uporz¡dkowania poªo»e« qi zachodzi:
cotqj − qi
2cot
qk − qj2
− cotqj − qi
2cot
qk − qi2− cot
qk − qj2
cotqk − qi
2= 1.
21
Tablica 1: Rozkªad (46) na sumy uporz¡dkowanych poªo»e«. Szara komórka oznacza ró»nic¦poªo»e« skrajnych.
ci¡g x =qj−qi
2y =
qk−qj2
z = qk−qi2
cotx cot y cotx cot z cot y cot zqi < qj < qk + + + + - -qi < qk < qj + - + + - -qk < qi < qj + - - + - -qk < qj < qi - - - + - -qj < qk < qi - + - + - -qj < qi < qk - + + + - -
Powy»sze równanie zsumujemy po indeksach i 6= j 6= k i wymno»ymy przez β2
4uzyskuj¡c Aneq:
Aneq =β2
4
N∑i 6=j 6=k
cotqk − qj
2cot
qk − qi2
= −β2
4
N(N − 1)(N − 2)
3. (47)
Wstawimy uzyskane wyniki (44), (45) i (47) do wyj±ciowego równania (43):
H0CSΨ =
N∑j=1
hj(β)†hj(β)Ψ =
H0Ψ︷ ︸︸ ︷N∑j=1
(1
i
∂
∂qj
)2
Ψ +
+ iβ
2
N∑j=1
[1
i
∂
∂qj,N∑i 6=j
cot
(qj − qi
2
)]Ψ +
β2
4
N∑i 6=ji′ 6=jj=1
cot
(qj − qi
2
)cot
(qj − qi′
2
)Ψ =
= H0Ψ− β
4
N∑j=1
N∑i 6=j
1
sin2( qj−qi
2
)Ψ +β2
4
N∑j=1i 6=j
1
sin2( qj−qi
2
) − β2
4N(N − 1)− β2
4
N(N − 1)(N − 2)
3.
Uzyskali±my ostatecznie relacj¦ pomi¦dzy HCS i H0CS:
HCSΨ = H0CSΨ + ε0 = H0Ψ +
1
2
N∑j=1i<j
β(β − 1)
sin2( qj−qi
2
) − β2N(N − 1)(N + 1)
12+ ε0. (48)
Równowa»no±¢ obydwu postaci wymaga speªnienia warunku na ε0:
ε0 = β2N(N − 1)(N + 1)
12. (49)
3.2 Stan podstawowy
Stan podstawowy (pró»ni¦) deniujemy jako nast¦puj¡c¡ funkcj¦:
∆β =
N∏i<jj=1
sinqi − qj
2
β
=
N∏j′=1j′>k
sinqk − qj′
2
N∏i′<k
sinqi′ − qk
2
N∏i′<j′
j′ 6=ki′ 6=k
sinqi′ − qj′
2
β
=:
=: (A(qk)B(qk)C)β.
22
Pró»nia powinna speªnia¢ warunek:
hk(β)∆β = 0, k = 1, ..., N, (50)
gdzie hk(β) to operator anihilacji zdeniowany w (42). Poni»ej udowodnimy, »e dla zden-iowanego stanu ∆β zachodzi powy»szy warunek. Policzymy dziaªanie pochodnej ∆β:
∂
∂qk(∆β) = β∆β−1 ∂∆
∂qk= β∆β−1(∂AB + A∂B)C = β
(∂A
A+∂B
B
)∆β, (51)
gdzie ∂A = ∂A(qk)∂qk
. Pozostaje obliczenie pochodnych ∂A/A i ∂B/B:
∂A
A=
1
A
∂
∂qk
N∏j′=1j′>k
sinqk − qj′
2
=1
2A
∑i′>k
cosqk − qi′
2
∏j′>kj′ 6=i′
sinqk − qj′
2=
=1
2
∑i′>k cos
qk−qi′2
∏j′>kj′ 6=i′
sinqk−qj′
2∏Nj′=1j′>k
sinqk−qj′
2
=1
2
∑i′>k
cotqk − qi′
2,
∂B
B=
1
B
∂
∂qk
(N∏i′<k
sinqi′ − qk
2
)= − 1
2B
∑i′<k
cosqi′ − qk
2
∏j′<kj′ 6=i′
sinqj′ − qk
2=
= −1
2
∑i′<k cos
qi′−qk2
∏j′<kj′ 6=i′
sinqj′−qk
2∏N
i′<ksin
qi′−qk2
= −1
2
∑i′<k
cotqi′ − qk
2.
Po wstawieniu powy»szych wyra»e« do (51) otrzymujemy:
∂
∂qk(∆β) =
β
2
∑i′ 6=k
cotqk − qi′
2∆β. (52)
Ostatecznie odzyskujemy warunek na pró»ni¦ (50):
hk(β)∆β =1
i
∂∆β
∂qk+ i
β
2
N∑i 6=k
cotqk − qi
2∆β = 0.
Udowodnili±my, »e ∆β jest stanem pró»ni.
3.3 Przej±cie do hamiltonianu w postaci wymiernej
Hamiltonian H i operator p¦du P w postaci wymiernej wprowadzamy jako dziaªaj¡cy tylko nacz¦±¢ wzbudzon¡ J(q) stanu J(q)∆β. Przechodzimy do zmiennych zespolonych:
xj = eiqj ,∂
∂qj= ixj
∂
∂xj. (53)
3.3.1 Operator p¦du P
Dziaªaj¡cy na wzbudzenia operator p¦du P deniujemy poprzez warunek
P (∆βJ(x)) =: ∆βPJ(x),
23
który po przeksztaªceniu jest równy
PJ(x) = ∆−βP (∆βJ(x)).
Poni»ej wyznaczymy wzór na P w zmiennych xi:
∆−βP∆βJ(x) = ∆−βN∑j=1
1
i
∂(∆βJ(x))
∂qj=
N∑j=1
xj∂
∂xj+
N∑j=1
∆−β1
i
∂∆β
∂qj
J(x).
Korzystaj¡c ze wzoru (52), podkre±lony wyraz wynosi:
N∑j=1
∆−β1
i
∂∆β
∂qj=
N∑j=1
β
2i
∑i′ 6=j
cotqj − qi′
2.
Nast¦pnie przejdziemy do zmiennych xj wprowadzonych w (53):
cotqj − qi′
2=
cosqj − qi′
2
sinqj − qi′
2
=
1
2
(exp
(iqj − qi′
2
)+ exp
(iqi′ − qj
2
))1
2i
(exp
(iqj − qi′
2
)− exp
(iqi′ − qj
2
)) =
= i
√xjxi′
+
√xi′
xj√xjxi′−√xi′
xj
= i
xjxi′
+xi′
xj+ 2
xjxi′− xi′
xj
= ix2j + x2
i′ + 2xjxi′
x2j − x2
i′= i
xj + xi′
xj − xi′.
Kontynuujemy obliczanie podkre±lonego wyrazu:
β
2i
∑i′ 6=j
cotqj − qi′
2=β
2
∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′= 0.
Czªon znika poniewa» jest sum¡ iloczynu wyrazu symetrycznego i antysymetrycznego w zmi-ennych xi. Reasumuj¡c, operator P jest równy
P =N∑j=1
xj∂
∂xj=:∑j
Dj.
3.3.2 Operator energii H
Analogicznie do operatora p¦du deniujemy dziaªaj¡cy na wzbudzenia operator Hamiltona:
∆βHJ(x) := H0CS(∆βJ(x)) = HCS(∆βJ(x))− ε0∆βJ(x).
Przeksztaªcamy podobnie:
HJ(x) = ∆−βHCS∆βJ(x)− ε0J(x) =
= ∆−βH0∆βJ(x) + ∆−βHV ∆βJ(x)− ε0J(x) =: T1 + T2 − ε0J(x). (54)
Poni»ej rozwijamy czªony T1 i T2:
T2 = ∆−βHV ∆βJ(x) =1
2
N∑j=1,i<j
β(β − 1)
sin2(qi−qj
2)
= −β(β − 1)
2
N∑j=1,i<j
4xixj(xi − xj)2
, (55)
T1 = ∆−βH0∆βJ(x) =N∑j
∆−β(
1
i
∂
∂qj
)2 (∆βJ(x)
)= −∆−β
N∑j
∂
∂qj
(∂∆β
∂qjJ(x) + ∆β ∂J(x)
∂qj
)=
= −N∑j
(∆−β
∂2∆β
∂q2j
J(x) + 2∆−β∂∆β
∂qj
∂J(x)
∂qj+
∂2
∂q2j
J(x)
)=: −
N∑j
(u1 + u2 + u3).
24
Czªon T1 zostaª rozbity na trzy wyrazy:
u3 =∂2
∂q2j
J(x) =
∂2xj∂q2
j︸ ︷︷ ︸=−xj
∂
∂xj+
(∂xj∂qj
)2
︸ ︷︷ ︸=−x2j
∂2
∂x2j
J(x) = −xj(
∂
∂xj+ xj
∂2
∂x2j
)J(x), (56)
u2 = 2∆−β∂∆β
∂qj
∂J(x)
∂qj= −β
∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′xj∂J(x)
∂xj, (57)
u1 = ∆−β∂2∆β
∂q2j
J(x) = ∆−β
β(β − 1)∆β−2
(∂∆
∂qj
)2
+ β∆β−1∂2∆
∂q2j
:::::
J(x).
::::::::::::::Podkre±lona cz¦±¢ wyrazu u1 jest równa:
∂2∆
∂q2j
=∂
∂qj
(∂∆
∂qj
)=
∂
∂qj
(∆
2
∑i′ 6=j
cotqj − qi′
2
)=
=1
2
∂∆
∂qj
∑i′ 6=j
cotqj − qi′
2− ∆
4
∑i′ 6=j
1
sin2 qj−qi′2
=1
∆
(∂∆
∂qj
)2
− ∆
4
∑i′ 6=j
1
sin2 qj−qi′2
.
Wstawiaj¡co powy»sze wyra»enie do u1 dostajemy:
u1 = ∆−β
(β(β − 1)∆β−2
(∂∆
∂qj
)2
+ β∆β−1
(1
∆
(∂∆
∂qj
)2
− ∆
4
∑i′ 6=j
1
sin2 qj−qi′2
))J(x) =
= β2 1
∆2
(∂∆
∂qj
)2
J(x)− β
4
∑i′ 6=j
1
sin2 qj−qi′2
J(x).
Ostatnim krokiem jest przej±cie do zmiennych zespolonych xi:
u1 = β2 1
∆2
∆2
4
(∑i′ 6=j
ixj + xi′
xj − xi′
)2
J(x)− β
4
∑i′ 6=j
−4xi′xj(xj − xi′)2
J(x) =
= −β2
4
(∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′
)2
J(x) + β∑i′ 6=j
xi′xj(xj − xi′)2
J(x). (58)
Wstawimy do hamiltonianu (54) obliczone czªony (55), (56), (57) i (58) :
H = T1 + T2 − ε0 = −N∑j
(u1 + u2 + u3)− β(β − 1)
2
N∑j=1,i<j
4xixj(xi − xj)2
− ε0 =
=
R︷ ︸︸ ︷−2β(β − 1)
N∑j=1,i<j
xixj(xi − xj)2
+N∑j
β2
4
(∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′
)2
− β∑i′ 6=j
xi′xj(xj − xi′)2
+
+ β
N∑j
∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′xj
∂
∂xj+
N∑j
xj
(∂
∂xj+ xj
∂2
∂x2j
)− ε0.
25
Poni»ej zajmiemy si¦ czªonem R:
R = β∑i 6=j
xixj(xi − xj)2
− β2∑i 6=j
xixj(xi − xj)2
− β∑i′ 6=j
xi′xj(xj − xi′)2
+
+β2
4
∑j
(∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′
)2
=β2
4
∑j
(∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′
)2
−∑j,i6=j
4xixj(xi − xj)2
=
=β2
4
∑j
∑k,k′
k 6=k′ 6=j
(xj + xk)(xj + xk′)
(xj − xk)(xj − xk′)+∑k,k 6=j
(xj + xkxj − xk
)2
−∑j,i6=j
4xixj(xi − xj)2
=
=β2
4
∑j,k,k′
k 6=k′ 6=j
(xj + xk)(xj + xk′)
(xj − xk)(xj − xk′)︸ ︷︷ ︸q
+∑j,k 6=j
(xj + xkxj − xk
)2
−∑j,i6=j
4xixj(xi − xj)2︸ ︷︷ ︸∑
j,k 6=j 1=N(N−1)
=
=β2
4
(N(N − 1)(N − 2)
3+N(N − 1)
)=β2
12N(N − 1)(N + 1).
Wyraz q zostaª obliczony z wykorzystaniem Maple. Porównuj¡c z wyra»eniem (49) widzimy, »eR = ε0. Ostateczny hamiltonian w formie wymiernej przyjmuje posta¢:
H = R− ε0 + βN∑j
∑i′ 6=j
xj + xi′
xj − xi′xj
∂
∂xj+
N∑j
xj
(∂
∂xj+ xj
∂2
∂x2j
)=:
=: β∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +∑i
D2i . (59)
3.4 Wektory wªasne w modelu CS
Deniujemy wielomiany Jacka Jλ(x) [11] jako wektory wªasne hamiltonianu (59):
HJλ(x) = ελJλ(x),
gdzie zmienna λ to diagram Younga parametryzuj¡cy wzbudzenie. Wielomiany s¡ funkcjamiwªasnymi H poniewa» jego dziaªanie nie zmienia stopnia wielomianu. Wida¢ to z dyskusjiformy hamiltonianu:
∆H = β∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj).
Zadziaªanie operatorem Di −Dj na dowoln¡ funkcj¦ f prowadzi do wyra»enia P :
(Di −Dj)f =
(xi∂f
∂xi− xj
∂f
∂xj
)= P (xi, xj).
Obliczony wyraz P ma miejsce zerowe dla xi = xj:
P (xi, xi) =
(xi∂f
∂xi− xi
∂f
∂xi
)= 0.
Z formy caªego operatora ∆H mo»na zauwa»y¢, »e dyskutowane miejsce zerowe skraca si¦ zmianownikiem. Z tego powodu wektorami wªasnymi hamiltonianu s¡ wielomiany.
26
Lemat 3.1 Niech H(x) = β∑N
i<jxi+xjxi−xj (Di −Dj) +
∑Ni=1 D
2i , Di := xi
∂∂xi
.
Dla dowolnej funkcji f(x) := f(x1, ..., xN) speªniaj¡cej równanie wªasne
H(x)f(x) = εf(x),
ka»da funkcja f(x) (gdzie x to dowolna permutacja argumentów xi) speªnia zdegenerowanerównanie wªasne:
H(x)f(x) = εf(x),
Dowód Zapiszmy hamiltonian:
H(x) = β
N∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +N∑i=1
D2i =
β
2
N∑i 6=j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +N∑i=1
D2i .
W takiej postaci hamiltonian jest jawnie symetryczny wzgl¦dem dowolnej zamiany xi:
H(x) = H(x), ∀x.
Wykorzystamy powy»sz¡ wªasno±¢ do wykazania tezy:
H(x)f(x) = εf(x) −→ H(x)f(x) = εf(x).
W przypadku wielomianów Jacka istnieje twierdzenie [11] o unikalno±ci dla danej warto±ciwªasnej. Zastosowanie lematu do tego przypadku pozwala zapisa¢:
Jλ(x) = Jλ(x), ∀x.
N-cz¡stkowe stany opisane wielomianami Jacka s¡ parametryzowane diagramem Younga -
Rysunek 4: Przykªadowy diagram Younga, N = 6, |λ| = 18, λ1 = 6.
nierosn¡cym zbiorem liczb caªkowitych λ = (λ1, λ2, ..., λN). Ten diagram charakteryzuje energi¦i p¦d caªkowity ukªadu za pomoc¡ zwi¡zków:
ελ =N∑i=1
k2i − ε0 =
N∑i=1
(λ2i + λiβ(N + 1− 2i)
), ε0 =
β2N(N − 1)(N + 1)
12, (60)
pλ =N∑i=1
ki =N∑i=1
λi =: |λ|,
ki = λi +β
2(N + 1− 2i).
Uwa»amy ki za p¦d i-tej cz¡stki, s¡siaduj¡ce p¦dy speªniaj¡ nierówno±¢
ki − ki+1 > β.
27
3.4.1 Warto±ci wªasne hamiltonianu
Poni»ej wyprowadzimy wzór na warto±ci wªasne podane w (60). Zdeniujemy operator L [12]oraz zapiszemy hamiltonian H w innej parametryzacji
H =α
2
∑i
(xi∂i + x2i∂
2i ) +
1
2
∑i<j
xi + xjxi − xj
(xi∂i − xj∂j)︸ ︷︷ ︸A
,
L =α
2
∑i
x2i∂
2i +
∑i 6=j
x2i∂i
xi − xj.
Korzystaj¡c z wyników [11] znamy warto±ci wªasne operatora L:
LJλ(x) = cλJλ(x) =
[(N − α
2
)|λ| −
∑i
iλi +α
2
∑i
λ2i
]Jλ(x).
Poni»ej obliczymy wyraz A:
A =1
4
∑i 6=j
x2i∂i
xi − xj+
xjxi∂ixi − xj
− xixj∂jxi − xj︸ ︷︷ ︸−xjxi∂ixi−xj
−x2j∂j
xi − xj︸ ︷︷ ︸−
x2i∂i
xi−xj
=1
2
∑i 6=j
(x2i∂i
xi − xj+
xjxi∂ixi − xj
),
xixj∂ixi − xj
=x2i∂i
xi − xj− xi∂i,
A =∑i 6=j
(x2i∂i
xi − xj− 1
2xi∂i
).
Wstawiamy znaleziony wyraz do hamiltonianu:
H =α
2
∑i
(xi∂i + x2
i∂2i
)+∑i 6=j
(x2i∂i
xi − xj− 1
2xi∂i
)=
=α
2
∑i
x2i∂
2i +
∑i 6=j
x2i∂i
xi − xj︸ ︷︷ ︸L
+α−N + 1
2
∑i
xi∂i︸ ︷︷ ︸P
.
Cz¦±¢ hamiltonianu to wprowadzony operator L. Operator energii (59) jest proporcjonalny doobecnie rozpatrywanego H = H 2
αprzy β = 1
α. Zgodnie z tym wyznaczamy H:
H =2
αL+
(1− N − 1
α
)P .
Policzymy energi¦ ελ:
HJλ(x) =
(∑i
λ2i −
2
α
∑i
iλi +
(2N
α− 1
)|λ|+ |λ| − |λ|N − 1
α
)Jλ(x) =
=
(λ2i +
1
αλi(N + 1− 2i)
)Jλ(x) =
(λ2i + βλi(N + 1− 2i)
)Jλ(x),
co zgadza si¦ z wyra»eniem podanym w (60).
28
3.4.2 Konstrukcja wielomianów Jacka Jλ
Wprowadzone wielomiany Jacka mo»na skonstruowa¢ z pomoc¡ dwóch transformacji, boostuGs oraz zmiany liczby zmiennych od M do N, NNM .
Boost Gs. Boost jest zdeniowany jako
GsJλ(x1...xr) =
(r∏i
xsi
)Jλ(x1...xr).
Transformacja jest nazwana boostem poniewa» dodaje ona ka»dej cz¡stce s jednostek p¦du.Sytuacj¦ jest zobrazowana na Rys.5.
1Jλ(x)
Nr,0 = 1
1
s=4
r=7
G s = ∏ xis
i
r
∏ xis
i
r
Rysunek 5: Sposób kreacji prostok¡tnego diagramu i odpowiadaj¡cy mu wielomian Jacka
Stan prostok¡tny. Poni»ej przedstawimy sposób konstrukcji stanu prostok¡tnego zobra-zowanego Rys.5 oraz sprawdzimy konsystencj¦ podanej denicji boostu z hamiltonianem.
Stanem wyj±ciowym jest pró»nia Jλ(x) = 1. Konstrukcja stanu prostok¡tnego bezpo±red-nio wymaga formalnego uprzedniego zadziaªania (wprowadzonym pó¹niej) operatorem zmianyliczby cz¡stek Nr0 = 1.
Obliczymy równanie wªasne H. Dla ka»dego wielomianu Jacka zachodzi równanie wªasne:
HJλ(x) =N∑i=1
(λi +
β
2(N + 1− 2i)
)2
Jλ(x)− ε0Jλ(x) = (ελ − ε0)Jλ(x).
W szczególno±ci, dla prostok¡tnego wzbudzenia mamy z (60):
εsr =r∑i=1
(s+
β
2(r + 1− 2i)
)2
− ε0 =r∑i=1
(s2 + sβ(r + 1− 2i) +
β2
4(r + 1− 2i)2
)− ε0 =
= rs2 + sβr(r + 1)− 2sβr∑i=1
i︸︷︷︸r(r+1)/2
+β2
4r(r + 1)2 − β2(r + 1)
r∑i=1
i︸︷︷︸r(r+1)/2
+β2
r∑i=1
i2︸ ︷︷ ︸r(r+1)(2r+1)/6
−ε0 =
= rs2 +β2
12r(r − 1)(r + 1)− ε0︸ ︷︷ ︸
0
.
29
Z drugiej strony, mo»emy policzy¢ energi¦ z dziaªania H na wektor prostok¡tny:
Hr∏
k=1
xsk =
(β
r∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +r∑i=1
D2i
)r∏
k=1
xsk =
=
βr∑i<j
xi + xjxi − xj
(s− s)︸ ︷︷ ︸0
+r∑i=1
s2
r∏
k=1
xsk = rs2︸︷︷︸εsr
r∏k=1
xsk.
Oba podej±cia si¦ zgadzaj¡ czyli wykazali±my, »e podana denicja boostu jest niesprzeczna dlaprostok¡tnych stanów.
Boost ogólnego wielomianu. Pozostaje wykaza¢, »e ogólny wektor powstaªy poprzez boostdowolnego innego (Jλ(x) 6= 1) b¦dzie miaª odpowiedni¡ energi¦:
HGsJλ(x) = ελ+srGsJλ(x).
Wykorzystamy przy tym wyniki dotychczasowe, z (60) energia ze wzbudzeniem wynosi:
ελ+sr =r∑i=1
(λi + s+
β
2(r + 1− 2i)
)2
− ε0 =
=r∑i=1
(λi +
β
2(r + 1− 2i)
)2
+ 2r∑i=1
s
(λi +
β
2(r + 1− 2i)
)+
r∑i=1
s2 − ε0 =
=r∑i=1
(λi +
β
2(r + 1− 2i)
)2
︸ ︷︷ ︸ελ
+2s|λ|+ βr∑i=1
(r + 1− 2i)︸ ︷︷ ︸0
+rs2 − ε0.
Dziaªaj¡c bezpo±rednio hamiltonianem H na stan mamy:
H (GsJλ(x)) = (HGs) Jλ(x) + Gs (HJλ(x)) + 2∑i
x2i
∂Gs∂xi
∂Jλ(x)
∂xi.
Czªon podkre±lony wynosi:
2∑i
x2i
∂Gs∂xi
∂Jλ(x)
∂xi= 2sGs
∑i
xi∂Jλ(x)
∂xi= 2sGsPJλ(x) = 2s|λ|GsJλ(x).
Wstawiamy powy»sze wyra»enie:
H (GsJλ(x)) =(rs2 + ελ + 2s|λ| − ε0
)GsJλ(x).
Obydwa podej±cia zgadzaj¡ si¦ ze sob¡.
Operator zmiany liczby cz¡stek NNM . Denicja operatora zmiany liczby cz¡stek z M doN jest nast¦puj¡ca:
NNMJλ(t1...tM) = Jλ(x1...xN) =
∮ M∏j=1
dtj2πitj
i=N,j=M∏i,j
(1− xi
tj
)−β M∏i 6=j
(1− ti
tj
)βJλ(t1...tM).
(61)
30
Poni»ej naszkicujemy dowód [10] na to, »e denicja tworzy N-cz¡stkowy stan Jacka. Zdeniu-jemy nast¦puj¡ce wyra»enia:
Γ(x, t) =N∏i=1
M∏j=1
(1− xi
tj
), ∆(t) =
M∏i 6=j
(1− ti
tj
).
Zgodnie z tymi oznaczeniami mamy:
(NNMJλ)(t1...tM) = Jλ(x1...xN) =
∮ M∏j=1
dtj2πitj
Γ(x, t)−β∆(t)βJλ(t1...tM). (62)
Na przestrzeni wielomianów deniujemy dwa zwi¡zane ze sob¡ (dla β > 0) iloczyny skalarne:
< f(x), g(x) >‘β;r =
1
r!
∮ r∏j=1
dxj2πixj
f(1/x)g(x)∆(x)β,
< pk11 ...pknn ; pl11 ...p
lmm >β = δ~k,~lβ
−∑ni=1 ki
n∏i=1
ikiki!.
Te dwa iloczyny staj¡ si¦ identyczne dla β = 1 (patrz [10]). Dla tych iloczynów mamy nast¦pu-j¡ce relacje ortogonalno±ci
Γ(x, t)−β =∑µ
Jµ(x1...xN)Jµ
(1
t1...
1
tM
)< Jµ, Jµ >
−1β ,
1
r!
∮ r∏j=1
dtj2πitj
Jλ(t1...tr)Jµ
(1
t1...
1
tr
)∆(t)β = δλ,µ < Jλ, Jλ >
‘β;r ,
gdzie w pierwszym wyra»eniu suma przebiega po wszystkich diagramach µ. Wstawiamy powy»szerelacje do denicji (62)
(NNMJλ)(t1...tM) =
∮ M∏j=1
dtj2πitj
∑µ
Jµ(x1...xN)Jµ
(1
t1...
1
tM
)< Jµ, Jµ >
−1β ∆(t)βJλ(t1...tM) =
= M !∑µ
Jµ(x1...xN) < Jµ, Jµ >−1β δλ,µ < Jλ, Jλ >
‘β;M= M !
< Jλ, Jλ >‘β;M
< Jλ, Jλ >β
Jλ(x1...xN).
Pokazali±my, »e dziaªanie operatora NNM zwi¦ksza liczb¦ cz¡stek w wielomianie Jacka:
(NNMJλ)(t1...tM) ∼ Jλ(x1...xN).
Dowolny wielomian Jacka. Za pomoc¡ operacji Gs i NNM mo»emy skonstruowa¢ dowolnywielomian Jacka:
Jλ(x) = Nrn,rn−1Gsn−1 ...Gs2Nr2,r1Gs1Nr1,1,
gdzie λ to ogólny diagram Younga przedstawiony na Rys.6.
31
r1
s1s2
r2...
sn-2sn-1
rn-2rn-1
Rysunek 6: Ogólny diagram Younga λ.
3.5 Wprowadzenie zmiennych pn
Ostatni¡ zamian¡ b¦dzie wprowadzenie zmiennych wykorzystuj¡cych fakt symetrycznego sta-tusu xi w hamiltonianie (59). Deniujemy tzw. sumy pot¦gowe jako
pn =N∑i=1
xni , (63)
gdzie n > 0. Istnieje niesko«czona liczba takich sum. Taka zamiana jest uprawniona poniewa»wielomiany pn tworz¡ baz¦ [13] w przestrzeni funkcji symetrycznych V :
V =⊕K≥0
V K ,
gdzie V K jest podprzestrzeni¡ rozpi¦t¡ przez wszystkie sumy pot¦gowe pK := pk1 ...pkn speªni-aj¡ce
∑ni=1 ki = K.
Po tym wprowadzeniu przejdziemy do nowych zmiennych:
∂
∂xj=∑n
∂pn∂xj
∂
∂pn=∑n
nxn−1j
∂
∂pn. (64)
3.5.1 Operator p¦du
W tych zmiennych wyliczymy operator p¦du P :
P =∑i
xi∂
∂xi=∑j
∑n
nxnj∂
∂pn=∑n
npn∂
∂pn= β
∑n
pn∂n.
Wprowadzili±my przy tym u»ywan¡ pó¹niej notacj¦:
∂n =n
β
∂
∂pn.
3.5.2 Operator energii
Hamiltonian w nowych zmiennych wyliczamy poni»ej:
H = β∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +N∑j
(xj
∂
∂xj+ x2
j
∂2
∂x2j
)=: α2 + α1.
32
Obliczymy drug¡ pochodn¡ w nowych zmiennych:
∂2
∂x2j
=∂
∂xj
(∑n
∂pn∂xj
∂
∂pn
)=∑n
(∂2pn∂x2
j
∂
∂pn+∑m
∂pm∂xj
∂pn∂xj
∂2
∂pm∂pn
)=
=∑n
n(n− 1)xn−2j
∂
∂pn+∑m,n
mnxm+n−2j
∂2
∂pm∂pn,
przy czym korzystali±my ze wzoru (64). Dalej obliczamy α1:
α1 = P +∑j
∑n
n(n− 1)xnj∂
∂pn+∑j
∑m,n
mnxm+nj
∂2
∂pm∂pn=
=
0︷ ︸︸ ︷P −
∑n
npn∂
∂pn+∑n
n2pn∂
∂pn+∑m,n
mnpm+n∂2
∂pm∂pn=
= β∑n
npn∂n + β2∑m,n
pm+n∂m∂n. (65)
Nast¦pnie obliczamy wyra»enie α2:
Di −Dj =∑n>0
n(xni − xnj )∂
∂pn=∑n>0
n(xi − xj)n−1∑k=0
xki xn−k−1j
∂
∂pn,
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) =∑n>0
nn−1∑k=0
(xk+1i xn−k−1
j + xki xn−kj
) ∂
∂pn=
=∑n>0
n
(2n−1∑k=1
xki xn−kj + xni + xnj
)︸ ︷︷ ︸
f(xi,xj)=f(xj ,xi)
∂
∂pn.
Kontynuujemy obliczanie:
α2 = β∑i<j
∑n>0
n
(2n−1∑k=1
xki xn−kj + xni + xnj
)∂
∂pn=β
2
∑i 6=j
∑n>0
n
(2n−1∑k=1
xki xn−kj + xni + xnj
)∂
∂pn=
=β
2
∑n>0
n
(∑i,j
(2n−1∑k=1
xki xn−kj + xni + xnj
)−∑i
(2n−1∑k=1
xni + 2xni
))∂
∂pn=
= β∑n>0
n
(n−1∑k=1
pkpn−k +Npn − (n− 1)pn − pn
)∂
∂pn=
= β∑n>0
n
(n−1∑k=1
pkpn−k + (N − n)pn
)∂
∂pn= β
∑n>0
n
n−1∑k=1
pkpn−k∂
∂pn︸ ︷︷ ︸A0
+β∑n>0
n(N − n)pn∂
∂pn.
Poni»ej przeksztaªcimy czªon A0:
A0 = β∑n>0
n
n−1∑k=1
pkpn−k∂
∂pn= β
∑n
θ(n)n∑k
∑l
δk+l,nθ(k)θ(l) pkpl∂
∂pn=
= β∑k
∑l
(k + l)θkθlθk+l pkpl∂
∂pk+l
= β∑k>0
∑l>0
(k + l)pkpl∂
∂pk+l
. (66)
33
Ostatecznie α2 jest równe:
α2 = β∑
m>0,n>0
(m+ n)pmpn∂
∂pm+n
+ β∑n>0
n(N − n)pn∂
∂pn=
= β2∑
m>0,n>0
pmpn∂m+n + β2∑n>0
(N − n)pn∂n. (67)
Wstawiamy (65) i (67) do hamiltonianu H:
H = α1 + α2 = β2∑
m>0,n>0
pmpn∂m+n + β2∑n>0
(N − n)pn∂n + β∑n
npn∂n + β2∑m,n
pm+n∂m∂n =
= β2∑n,m
(pn+m∂n∂m + pnpm∂n+m) + β∑n
(n+ β(N − n))pn∂n. (68)
3.6 Zwi¡zek modelu z algebr¡ Virasoro
W poni»szym rozdziale uzyskamy wyra»enie na hamiltonian Calogero-Sutherlanda w j¦zykumodów Ln algebry Virasoro.
3.6.1 Hamiltonian
Prostym rachunkiem mo»na wykaza¢, »e H przyjmuje nast¦puj¡c¡ posta¢ z operatorami Ln,które oka»¡ si¦ tworzy¢ algebr¦ Virasoro
H = β∑n>0
pnLn + (β − 1 + βN)P ,
gdzie
Ln = βn−1∑m=1
∂m∂n−m + β∑m>0
pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n, n > 0, (69)
P = β∑n
pn∂n.
Pomocniczo dokonamy przeksztaªcenia:
β2∑n>0
pn
n−1∑m=1
∂m∂n−m = β2∑n
θ(n)pn∑m
∑l
δm+l,nθ(m)θ(l) ∂m∂l =
= β2∑m
∑l
θ(m)θ(l)θ(m+ l) pm+l∂m∂l = β2∑
m>0,l>0
pm+l∂m∂l.
Wstawiamy denicje (69) oraz powy»szy wynik do wyj±ciowej postaci hamiltonianu:
H = β2∑n>0
pn
n−1∑m=1
∂m∂n−m + β2∑n,m>0
pnpm∂m+n+
− β∑n>0
pn(n+ 1)(β − 1)∂n + (β − 1 + βN)β∑n>0
pn∂n =
= β2
( ∑m,n>0
pn+m∂m∂n +∑n,m>0
pnpm∂m+n
)+ β
∑n>0
(n+ β(N − n))pn∂n,
co zgadza si¦ ze wzorem (68).
34
3.6.2 Sprawdzenie algebry Virasoro
Wprowadzone operatory Ln powinny speªnia¢ relacj¦ komutacji algebry Virasoro (6):
[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c
12m(m2 − 1)δn,−m.
Poni»ej udowodnimy, »e operatory (69) j¡ speªniaj¡:
[Lm, Ln] = [Fm, Fn] + [Em, Fn] + [Fm, En] + [Fm, Gn] + [Gm, Fn],
gdzie wprowadzili±my oznaczenia:
Em = β
m−1∑p=1
∂p∂m−p, Fm = β∑r
pr∂m+r, Gm = −(m+ 1)(β − 1)∂m.
Komutatory [Em, En] = 0, [Gm, Gn] = 0, [Em, Gn] + [Gm, En] = 0 znikaj¡. Pozostaªe obliczymyponi»ej:
[Em, Fn] + [Fm, En] =
[βm−1∑p=1
∂p∂m−p; β∑r
pr∂n+r
]+
[β∑r
pr∂m+r; βn−1∑p=1
∂p∂n−p
]=
= β2
m−1∑p=1
∂p∂m−p∑r
pr∂n+r −∑r
pr∂n+r
m−1∑p=1
∂p∂m−p+
+∑r
pr∂m+r
n−1∑p=1
∂p∂n−p −n−1∑p=1
∂p∂n−p∑r
pr∂m+r
.
Podkre±lone wyrazy liczymy poni»ej:
m−1∑p=1
∂p∂m−p∑r
pr∂n+r =m−1∑p=1
m− pβ
∂p∂n+m−p +m−1∑p=1
∂p∑r
pr∂m−r∂n+r =
=m−1∑p=1
m− pβ
∂p∂n+m−p +m−1∑p=1
p
β∂m−p∂n+p +
m−1∑p=1
∑r
pr∂p∂m−p∂n+r.
Kontynuujemy obliczanie komutatora:
[Em, Fn] + [Fm, En] = β
(m−1∑p=1
(m− p)∂p∂n+m−p +m−1∑p=1
p∂m−p∂n+p −n−1∑p=1
(n− p)∂p∂n+m−p+
−n−1∑p=1
p∂n−p∂m+p
)= β
(m−1∑p=1
(m− p)∂p∂n+m−p +m+n−1∑p′=m+1
(m− p′)∂m+n−p′∂p′+
−n−1∑p=1
(n− p)∂p∂n+m−p −m+n−1∑p′=n+1
(n− p′)∂m+n−p′∂p′
)=
= β
(m+n−1∑p=1
(m− p)∂m+n−p∂p −m+n−1∑p=1
(n− p)∂m+n−p∂p
)= β(m− n)
m+n−1∑p=1
∂m+n−p∂p. (70)
35
Kolejny komutator wynosi:
[Fm, Gn] + [Gm, Fn] = −
[β∑r
pr∂m+r, (n+ 1)(β − 1)∂n
]−
[(m+ 1)(β − 1)∂m, β
∑r
pr∂n+r
]=
= β(n+ 1)(β − 1)
[∂n,∑r
pr∂m+r
]+ β(m+ 1)(β − 1)
[∑r
pr∂n+r, ∂m
].
Osobno wyliczamy wyraz:[∂n,∑r
pr∂m+r
]=n
β∂m+n +
∑r
pr∂n∂m+r −∑r
pr∂n∂m+r =n
β∂m+n.
Wstawiamy powy»szy wynik do komutatora:
[Fm, Gn] + [Gm, Fn] = n(n+ 1)(β − 1)∂m+n −m(m+ 1)(β − 1)∂m+n =
= (n−m)(β − 1)(n+m+ 1)∂m+n. (71)
Ostatni komutator jest równy:
[Fm, Fn] = β2
[∑r
pr∂m+r,∑p
pp∂n+p
]= β2
(∑r
prm+ r
β∂n+m+r +
∑r
pr∑p
pp∂n+p∂m+r,
−∑p
ppn+ p
β∂m+n+p −
∑p
pp∑r
pr∂m+r∂n+p
)= β(m− n)
∑r
pr∂m+n+r. (72)
Zbieramy obliczone komutatory (70), (71) oraz (72) do wyj±ciowego wzoru:
[Lm, Ln] = β(m− n)m+n−1∑p=1
∂m+n−p∂p + (n−m)(β − 1)(n+m+ 1)∂m+n+
+ β(m− n)∑r
pr∂m+n+r = (m− n)Lm+n.
Dostali±my cz¦±¢ algebry Virasoro (bez czªonu proporcjonalnego do ªadunku centralnego c)poniewa» zdeniowali±my operatory Ln jjedynie dla n > 0. Za pomoc¡ powy»szej reprezentacjinie mo»na uzyska¢ peªnej algebry Virasoro. Jest to jednak wystarczaj¡ce dla naszych celów isªu»y jako wst¦p do ustalenia faktycznej korespondencji mi¦dzy modelem CS i CFT.
3.7 Przedstawienie Hamiltonianu w reprezentacji gazu Coulomba
W (68) uzyskali±my Hamiltonian w zmiennych pn:
H = β2∑n,m
(pn+m∂n∂m + pnpm∂n+m) + β∑n
(n+ β(N − n))pn∂n, ∂n =n
β
∂
∂pn.
Obecny hamiltonian dziaªa na przestrzeni wielomianów symetrycznych. Chcemy przeprowadzi¢go do modelu z hamiltonianem H dziaªaj¡cym na przestrzeni Hilberta Fα. Operatory anihilacjii kreacji w przestrzeni Hilberta Fα odpowiadaj¡ kreacji i anihilacji pn w przestrzeni wielomianówsymetrycznych. Wspomniane poª¡czenie jest realizowane przy pomocy mapy z przestrzeniHilberta Fα do przestrzeni symetrycznych funkcji:
|f〉 → f(x) = 〈α|Cβ′ |f〉 ,
36
gdzie
Cβ′ = exp
(β′∑n>0
1
nanpn
), pn =
∑i
xni . (73)
Staªa β′ jest dowolna. Operatory an dziaªaj¡ w przestrzeni Fα i s¡ operatorami Heisenbergaspeªniaj¡cymi [an, am] = n
2δn+m,0.
3.7.1 Wyliczenie Hamiltonianu w przestrzeni FαNowy hamiltonian H jest okre±lony warunkiem
H〈α|Cβ′ |f〉 = 〈α|Cβ′H |f〉 ,
dla ka»dego stanu |f〉. Ustanowimy poª¡czenie w postaci:
Hf(x)↔ H |f〉 .
Poni»ej udowodnimy równo±ci:
β′
2pp 〈α|Cβ′ = 〈α|Cβ′a−p,
p
β′∂
∂pp〈α|Cβ′ = 〈α|Cβ′ap, p > 0.
Pierwsza z relacji wynosi:
〈α|Cβ′a−p = 〈α|∏n>0
exp
(β′
nanpn
)a−p = 〈α|
[∏n>0
exp
(β′
nanpn
), a−p
].
Rozwijamy powy»szy komutator[∏n
An, B
]=∑n=1
A1A2...An [An, B]An+1... , An = exp
(β′
nanpn
), (74)
gdzie An oznacza brak n-tego wyrazu. Rozwiniemy powstaªy komutator [An, B] korzystaj¡c zlematu 2.1:
[An, B] =1
2δn,pβ
′pnAn.
Powracaj¡c do komutatora dostajemy:[∏n
An, B
]=
1
2
∑n=1
δn,pβ′pnA1A2... =
β′
2pp∏n>0
exp
(β′
nanpn
)=β′
2ppCβ′ .
W takim razie udowodnili±my pierwsz¡ relacj¦:
〈α|Cβ′a−p =β′
2pp 〈α|Cβ′ .
Drugie równanie udowodnimy poni»ej:
p
β′∂
∂pp〈α| exp
(β′∑n>0
1
nanpn
)=
p
β′〈α| β
′
pap exp
(β′∑n>0
1
nanpn
)= 〈α|Cβ′ap.
Do przeksztaªcenia u»yjemy nast¦puj¡cych mnemotechnicznych przyporz¡dkowa«:
pn ↔2
β′a−n,
∂
∂pn↔ β′
nan. (75)
37
3.7.2 Generatory Virasoro w przestrzeni FαPrzepiszemy wyra»enie (69) i wyprowadzimy posta¢ generatora algebry Virasoro w nowejprzestrzeni Fα:
Ln = β
n−1∑m=1
∂m∂n−m + β∑m>0
pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n, n > 0.
Z pomoc¡ przyporz¡dkowa« (75) dostajemy:
Ln =
(β′
β
)2
βn−1∑m=1
aman−m + 2β′
β
β
β′
∑m>0
a−man+m − (n+ 1)(β − 1)β′
βan.
Wstawiamy β′ =√β do powy»szego wyra»enia:
Ln =n−1∑m=1
aman−m + 2∑m>0
a−man+m︸ ︷︷ ︸A
−(n+ 1)β − 1√βan,
oraz kontynuujemy z przeksztaªcaniem wyra»enia A:
A =∑m<0
aman−m +∑m
θ(m)a−man+m =∑m<0
aman−m +∑k
∑m
θ(m)a−makδk,n+m =
=∑m<0
aman−m +∑k
θ(k − n)an−kak =∑m<0
aman−m +∑k>n
an−kak.
Wstawiamy do wyra»enia na Ln powy»szy wyraz A aby uzyska¢ ostatecznie:
Ln =∑m6=0,n
: aman−m : −(n+ 1)β − 1√βan, n > 0.
Porównamy t¦ posta¢ z obliczeniami w formalizmie gazu Coulomba (26). W tym przypadkumamy do czynienia z t¡ sam¡ algebr¡ ograniczon¡ do n > 0, pozbawion¡ a0 oraz identykacj¡−β−1√
β= iQ. Relacje
β′ = −√β, Q = −i
(√β − 1√
β
), α+ = i
√β, α− = − i√
β, (76)
s¡ dobrane tak, »eby uzyska¢ zgodno±¢ pomi¦dzy wielomianami Jacka i wektorami zerowymi.
3.7.3 Stany wªasne H
W tym rozdziale zajmiemy si¦ konstrukcj¡ stanu wªasnego |f〉λ odpowiadaj¡cego prostok¡tnemudiagramowi Younga. Na pocz¡tku wprowadzimy oznaczenie:
φ−(z) = −i∑n>0
1
na−nz
n,
38
oraz obliczymy pomocniczy wyraz korzystaj¡c ze wzoru Hausdora-Bakera eAeB = eBeAe[A,B]:
〈α|Cβ′e2α±φ−(z) |α〉 = 〈α| exp
(β′∑n>0
1
nanpn
)︸ ︷︷ ︸
X
exp
(−2α±i
∑n>0
1
na−nz
n
)︸ ︷︷ ︸
Y
|α〉 =
= 〈α| eY eXe[X,Y ] |α〉 ,
e[X,Y ] = exp
(−2α±iβ
′∑m,n>0
1
mnpmz
n[am, a−n]
)= exp
(−α±iβ′
∑n>0
pnzn
n
)=
= exp
−α±iβ′∑i,n>0
xni zn
n︸ ︷︷ ︸−
∑i ln(1−xiz)
=∏i
(1− xiz)iβ′α± .
Skorzystali±my z faktu, »e [X, Y ] jest c-liczb¡ oraz z równania 〈α| eY eX |α〉 = 1. Ostateczniemamy:
〈α|Cβ′e2α±φ−(z) |α〉 =∏i
(1− xiz)iβ′α± . (77)
Stany wªasne odpowiadaj¡ce wielomianom Jacka z prostok¡tnymi diagramami (r,s).Zgodnie z dyskusj¡ w rozdziale 2.4 po±wi¦conej formalizmowi gazu Coulomba, w skonstruowanejprzez nas przestrzeni Fa dysponujemy operatorem pierwotnym Vα(z). Tworzy on asymptoty-czny stan |α〉 b¦d¡cy stanem HWS dla moduªu Verma V (h(α)). Zgodnie ze wzorem (40) nap¦d αr,s oraz równaniem (39) na wag¦ konforemn¡, mamy relacje:
h∓r,±s = hr,s + rs,
α−r,s = αr,s − rα+. (78)
Zgodnie z powy»szym, stan |α−r,s〉 ma tak¡ sam¡ wag¦ konforemn¡ jak wektor wzbudzony napoziom rs zbudowany na |αr,s〉. Istnieje twierdzenie [14], które mówi o jednoznaczno±ci wektorazerowego na poziomie rs:
Lemat 3.2
∃! |χr,s〉 = Dr,s |αr,s〉 taki, »e
Ln |χr,s〉 = 0, n > 0,
L0 |χr,s〉 = (hr,s + rs) |χr,s〉 .
Kandydatem [15] na stan |χr,s〉 b¦dzie
|χr,s〉 = Qr+ |α−r,s〉 .
Z (36) komutator wynosi [Ln, Q+] = 0, |χr,s〉 jest stanem zerowym. W szczególno±ci z równania[L0, Q+] = 0 widzimy, »e posiada on tak»e odpowiedni¡ wag¦ h = hr,s + rs. Z powy»szegolematu wnioskujemy, »e musz¡ istnie¢ wspóªczynniki Dr,s wi¡»¡ce próbny stan z |αr,s〉. Poni»ejznajdziemy te wspóªczynniki:
|χr,s〉 =
∮ r∏j=1
dzj
r∏i=1
Vα+(zi) |α−r,s〉. (79)
39
Rozwiniemy podkre±lenie korzystaj¡c z (24):
r∏i=1
Vα+(zi) |α−r,s〉 =r∏i=1
: Vα+(zi) :
(∏i<j
(zi − zj)−2α2+
)eq(α−r,s) |0〉 =
=
(∏i<j
(zi − zj)−2α2+
)r∏i=1
eq(α+)
(r∏i=1
ep(α+;zi)
)eq(α−r,s)
::::::::::::::::::::::::
r∏i=1
: e<(α+;zi)e>(α+;zi) : |0〉 .
Obliczamy::::::::::::::podkre±lenie korzystaj¡c z (23):(
n∏i=1
ep(α+;zi)
)eq(α−r,s) = eq(α−r,s)
n∏i=1
ep(α+;zi)∏i
e[p(α+;zi),q(α−r,s)] =
= eq(α−r,s)n∏i=1
ep(α+;zi)∏i
z−2α+α−r,si .
Grupujemy i skracamy wyrazy w wyj±ciowym wyra»eniu:
e>(α+;zi) |0〉 = |0〉 , ep(α+;zi) |0〉 = |0〉 .r∏i=1
Vα+(zi) |α−r,s〉 =∏i<j
(zi − zj)−2α2+
∏i
z−2α+α−r,si
(r∏i=1
eq(α+)
)eq(α−r,s)
r∏i=1
e<(α+;zi) |0〉 .
Przeksztaªcamy cz¦±¢ czªonów korzystaj¡c z (78):(r∏i=1
eq(α+)
)eq(α−r,s) = erq(α+)+q(α−r,s) = exp (2rα+Q+ 2α−r,sQ) = exp(2αr,sQ) = eq(αr,s).
r∏i=1
e<(α+;zi) =r∏i=1
exp
(2α+i
∑n<0
1
nanz
−ni
)=:
r∏i=1
e2α+φ−(zi), φ−(z) = −i∑n>0
1
na−nz
n.
Wstawiamy powy»sze relacje bezpo±rednio do (79):
|χr,s〉 =
∮ r∏j=1
dzj
r∏i=1
z−2α+α−r,si
∏i<j
(zi − zj)−2α2+
r∏i=1
e2α+φ−(zi) |αr,s〉 .
W ten sposób odnale¹li±my wspóªczynniki Dr,s deniowane w lemacie 3.2. Pozostaje pokaza¢,»e podane wyra»enie to realizacja prostok¡tnego wielomianu Jacka w przestrzeni Fa. Pierwszymkrokiem jest przej±cie do przestrzeni funkcji symetrycznych za pomoc¡ wzoru (77):
e2α+φ−(z) |α〉 ↔∏i
(1− xiz)iβ′α+ ,
Drugi krok to przej±cie do parametru β za pomoc¡ relacji (76):
β′ =√β, α+ = i
√β, α+α− = 1,
− 2α+α−r,s = −(1− r)α2+ − 1− s = β(1− r)− s− 1,
− 2α2+ = 2β,
iβ′α+ = −β,
40
uzyskuj¡c wzór
Jβχr,s(x1, ..., xn) =
∮ r∏j=1
dzj
r∏i=1
zβ(1−r)−s−1i
∏i<j
(zi − zj)2β
r∏j=1
n∏i=1
(1− xizj)−β. (80)
Aby uzyska¢ wielomian Jacka w postaci caªkowej, dokonamy zamiany zmiennych w powy»szymwyra»eniu:
zi =1
ξi,
dzizi
= −dξiξi,
uzyskuj¡c
Jβχr,s(x1, ..., xn) = (−1)r∮ r∏
j=1
dξjξj
r∏i=1
ξ−β(1−r)+si
r∏i<j
(1
ξi− 1
ξj
)2β r∏j=1
n∏i=1
(1− xi
ξj
)−β,
r∏i<j
(1
ξi− 1
ξj
)2β
= (−1)r(r−1)/2
r∏i 6=j
(1
ξi− 1
ξj
)β= (−1)r(r−1)/2
r∏i 6=j
(1− ξi
ξj
)β∏i
ξ−β(r−1)i .
Zestawiaj¡c powy»sze wyra»enie uzyskujemy:
Jβχr,s(x1, ..., xn) = (−1)r(r+1)/2︸ ︷︷ ︸−1
∮ r∏j=1
dξjξj
r∏i 6=j
(1− ξi
ξj
)β r∏j=1
n∏i=1
(1− xi
ξj
)−β r∏i=1
ξsi .
Z dokªadno±ci¡ do znaku odzyskali±my wielomian Jacka w postaci caªkowej wprowadzonej w
s=4
r=7
∏ xis
i
r
n=9
N97
Rysunek 7: Prostok¡tny diagram po zadziaªaniu operatora zmiany liczby cz¡stek N97
(61) oraz [16]:
Jβχr,s(x1, ..., xn) =
∮ r∏j=1
dtj2πitj
i=n,j=r∏i,j
(1− xi
tj
)−β r∏i 6=j
(1− ti
tj
)β r∏j=1
tsj , (81)
odpowiadaj¡cego prostok¡tnemu diagramowi przedstawionemu na Rys.7. Jest to wielomian nzmiennych z prostok¡tnym wzbudzeniem rs. Poniewa» zachodzi n 6= r, oprócz prostok¡tnegowielomianu Jacka wykorzystany jest tutaj operator zmiany liczby cz¡stek (61).Udowodnili±my, »e stan osobliwy |χr,s〉 jest reprezentowany po stronie funkcji symetrycznychprostok¡tnym wielomianem Jacka rs.
4 Korespondencja AGT
Korespondencja AGT zostaªa zaproponowana w [4] przez Aldaya, Gaiotto i Tachikaw¦. Ustalaona relacj¦ mi¦dzy czterowymiarowymi supersymetrycznymi teoriami cechowania N = 2 i
41
teori¡ CFT. Dokªadny opis wykracza znacz¡co poza zakres tej pracy, dlatego te» ograniczymysi¦ do zdeniowania problemu który jest cz¦±ci¡ dowodu AGT podan¡ w [5]. Dowód polegana wykazaniu, »e istnieje unikalna baza |P 〉~λ w przestrzeni b¦d¡cej reprezentacj¡ algebry A =V ir ⊗H taka, »e
~µ 〈P ′|Vαn |P 〉~λ〈P ′|Vαn |P 〉
= Zbif (αn|P ′, ~µ;P,~λ), (82)
gdzie oznaczenia b¦d¡ obja±nione pó¹niej. W tym momencie wa»ne jest, »e traktujemy Zbif jakoobiekt zdeniowany po stronie supersymetrycznych QFT. Baza jest zdeniowana w nietrywialnysposób wokóª stanu o p¦dzie P i w dalszych rozdziaªach b¦dziemy si¦ zajmowa¢ lew¡ stron¡równania.
4.1 Wprowadzenie do problemu
Problem deniujemy w przestrzeni HilbertaH = HV ⊗HH w której dziaªa reprezentacja algebryA = V ir ⊗H zªo»onej z podalgebry Virasoro i podalgebry Heisenberga.
Podalgebra Virasoro V ir. B¦dziemy korzysta¢ z reprezentacji gazu Coulomba, operatoryalgebry Virasoro speªniaj¡ standardow¡ relacj¦ komutacji (6):
[Ln, Lm] = (n−m)Lm+n +c
12n(n2 − 1)δn+m,0,
c = 1 + 6Q2, Q = b+1
b,
gdzie parametr b jest równy α+ wprowadzonemu w (37). Wyprowadzimy u»ywan¡ podczasrachunku realizacj¦ tej algebry ze standardowej formy (26):
Ln =∑k
: akan−k : +iQ(n+ 1)an.
Rozdzielimy mod L0:
L0 =∑k
: aka−k : +iQa0 = iQa0 + a20 + 2
∑k>0
a−kak =Q2
4− (ia0 −
Q
2)2 + 2
∑k>0
a−kak =
=Q2
4− P2 + 2
∑k>0
a−kak,
gdzie zdeniowali±my nowy operator p¦du:
P := ia0 −Q
2= Pa −
Q
2.
Nowy operator speªnia równanie dla pró»ni konforemnej (34):
P |0∗〉 = 0.
Generatory Ln dla n 6= 0 s¡ równe:
Ln =∑k
: akan−k : +iQ(n+ 1)an =∑k 6=0,n
: akan−k : +2a0an + iQ(n+ 1)an =
=∑k 6=0,n
: akan−k : +i(nQ− 2ia0 +Q)an =∑k 6=0,n
: akan−k : +i(nQ− 2P)an.
42
Podsumowuj¡c, u»ywana w tym rozdziale algebra Virasoro jest zdeniowana jako:
Ln =∑k 6=0,n
: akan−k : +i(nQ− 2P)an, n 6= 0,
L0 =Q2
4− P2 + 2
∑k>0
a−kak.
Operatory wyst¦puj¡ce powy»ej speªniaj¡ standardowe komutacje (13)
[an, am] =n
2δn+m,0, [Q, P ] = [Q,Pa] = −1
2.
Dla tej algebry istniej¡ wprowadzone w (15) operatory wierzchoªkowe Vα. Stany asymptotycznes¡ zdeniowane nast¦puj¡co:
P |P 〉 = P |P 〉 , 〈P | P = 〈P |P. (83)
Za pomoc¡ operatorów wierzchoªkowych stany asymptotyczne s¡ równe:
|P 〉 = limz→0
VP (z) |0∗〉 = eq(P ) |0∗〉 , 〈P | = 〈0∗| eq(P ) (84)
(85)
Waga konforemna tych stanów wynosi:
L0 |P 〉 =
(Q2
4− P 2
)|P 〉 = ∆(P ) |P 〉 .
B¦dziemy u»ywali wprowadzonych w (38) operatorów ekranuj¡cych:
Q+ =
∮dzVb(z).
Nad stanem |P 〉 budujemy moduª Verma zdeniowany w rozdziale 2.2.3.
Podalgebra Heisenberga H. Poni»ej podajemy denicje zwi¡zane z algebr¡ Heisenberga.Algebr¦ deniujemy za pomoc¡ poni»szej relacji komutacji:
[bn, bm] =n
2δn+m,0.
Wprowadzamy operator Vα(z) dla tej podalgebry jako:
Vα(z) = e2(α−Q)ϕ−(z)e2αϕ+(z) =: ef<(z)ef>(z), (86)
ϕ+(z) = i∑n>0
bnnz−n, ϕ−(z) = i
∑n<0
bnnz−n.
Przestrze« stanów budujemy nad pró»ni¡ |0〉H :
bn |0〉H = 0, n > 0,
poprzez dziaªanie operatorów bn, n < 0:
b−lm ...b−l1 |0〉H = |φ〉 , l1 ≥ ... ≥ lm.
W tej przestrzeni istnieje operator B0 którego funkcje wªasne to operatory |φ〉:
B0 |φ〉 =m∑i=1
li |φ〉 ,
B0 = 2∑k>0
b−kbk.
43
Przestrze« stanów H i baza |P 〉~λ Przestrze« stanów jest iloczynem prostym HV ⊗ HH ,budujemy j¡ nad stanem zdeniowanym jako:
(Ln ⊗ bn) |P 〉 ⊗ |0〉H = Lnbn |P 〉 = 0, n > 0,
(L0 ⊗ I + I⊗B0) |P 〉 ⊗ |0〉H = (L0 +B0) |P 〉 = ∆(P ) |P 〉 .poprzez dziaªanie operatorów bn, Ln dla n < 0:
b−lm ...b−l1L−kn ...L−k1 |P 〉 =: b−lL−k |P 〉 , l1 ≥ ... ≥ lm, k1 ≥ ... ≥ kn,
Wektory powy»szej postaci tworz¡ naturaln¡ baz¦ w przestrzeni H. Ka»dy wektor powy»szejpostaci jest wektorem wªasnym operatora L0 +B0:
(L0 +B0)b−lL−k |P 〉 =
(∆(P ) +
m∑i=1
li +n∑j=1
kj
)L−k |P 〉 .
Mo»na zauwa»y¢, »e powy»sze wektory s¡ zdegenerowane wzgl¦dem L0 + B0. Z tego powoduwprowadzamy now¡ baz¦ zdeniowan¡ jako:
|P 〉~λ =∑|~µ|=|~λ|
Cµ1,µ2~λ
(P )b−µ1L−µ2 |P 〉 ,
gdzie ~λ = (λ1, λ2) to zbiór dwóch diagramów Younga, Cµ1,µ2~λ
(P ) s¡ nieznanymi wspóªczynnikami
za± wyraz |~µ| = |~λ| oznacza |µ1|+ |µ2| = |λ1|+ |λ2|.Wprowadzaj¡c takie wektory bazy znosimy wspomnian¡ degeneracj¦. Jest to baza wprowadzonawe wzorze (82). Gªówny rachunek podj¦ty w pracy jest obliczeniem wspomnianego wzoru dlapodzbioru stanów postaci |P 〉λ,∅ gdzie jeden z diagramów Younga jest pusty.
Sprz¦»enie hermitowskie. Na przestrzeni deniujemy standardowe sprz¦»enie hermitowskie:
L†−n = Ln, b†−n = bn.
Zakªadamy, »e wspóªczynniki Cµ1,µ2~λ
(P ) w wektorach bazy |P 〉~λ s¡ rzeczywiste:
~λ 〈P | =∑|~µ|=|~λ|
Cµ1,µ2~λ
(P ) 〈P | (b−µ1)†(L−µ2)†.
4.1.1 Wektory bazowe postaci |P 〉λ,∅Wektory z jednym pustym diagramem Younga |P 〉λ,∅ postulujemy jako zªo»one z operatorowychwielomianów Jacka J
(1/g)λ :
|P 〉λ,∅ = Ωλ(P )J(1/g)λ (x) |P 〉 ,
µ,∅ 〈P ′| = Ωµ(P ′) 〈P ′| J (1/g)µ (y).
gdzie g = −b2 to parametr β−1 wprowadzony w modelu CS. Operatorowe wielomiany Jacka towielomiany z sumami pot¦gowymi pk(x) (pk(y)) wypromowanymi do operatorów pk(x) (pk(y))zdeniowanymi jako:
b−k − a−k = −ibpk(x), bk + ak = −ibpk(y), k > 0. (87)
Przyporz¡dkowanie (87) mo»e by¢ tak»e rozumiane jako przedstawienie mapy pomi¦dzy przes-trzeni¡ H a przestrzeni¡ wielomianów symetrycznych przedyskutowanej w rozdziale 3.7. Czyn-nik Ωλ(P ) wynosi:
Ωλ(P ) = (−b)|λ|∏
(i,j)∈λ
(2P + ib+ jb−1),
gdzie (i, j) numeruj¡ komórki w diagramie Younga.
44
4.1.2 Obliczenie elementu macierzowego
Dla caªej algebry istnieje pole zdeniowane jako:
Vα(z) = Vα(z)Vα(z)Qn+. (88)
Zdeniowali±my w j¦zyku wielomianów Jacka podzbiór bazy |P 〉~λ gdy jeden z pary diagramów~λ jest pusty. Pozostaje obliczy¢ element macierzowy
µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉
. (89)
Zadanie zostaªo podzielone na osobne obliczenie mianownika i licznika.
4.1.3 Obliczenie mianownika
Korzystaj¡c z denicji (88) zapisujemy mianownik jako:
〈P ′|Vαn(1) |P 〉 =
∮ n∏i=1
dξi 〈P ′| Vα(1)Vb(ξ1)...Vb(ξn)Vαn(1) |P 〉 .
Poni»ej zajmiemy si¦ wyrazem podcaªkowym, mo»emy go upro±ci¢ poniewa» Vα(1) |P 〉 = |P 〉:
〈P ′|Vb(ξ1)...Vb(ξn)Vαn(1) |P 〉 = 〈P ′| :
(n∏i=1
Vb(ξi)
)Vαn(1) : |P 〉
∏i<j
(ξi − ξj)−2b2∏i
(ξi − 1)−2bαn .
gdzie skorzystali±my tak»e ze wzoru na iloczyn operatorów wierzchoªkowych (24). Oznaczaj¡crozwini¦cie operatora wierzchoªkowego jak w (15) kontynuujemy przeksztaªcanie podkre±lenia:
〈P ′| :
(n∏i=1
Vb(ξi)
)Vαn(1) : |P 〉 = 〈P ′|
(n∏i=1
eq(b)
)eq(αn)
n∏i=1
ep(b;ξi) |P 〉 =
= 〈P ′| e2(nb+αn)Qn∏i=1
ξ−2bPai |P 〉 .
Stan |P 〉 jest zdeniowany w (83) za± Pa = P + Q/2. Z tych dwóch denicji wyliczamy cz¦±¢powy»szego wyrazu: ∏
j
ξ−2bPaj |P 〉 =
∏j
ξ−b(Q+2P )j |P 〉 .
Pozostaª korelator przepisujemy w nast¦puj¡cej postaci:
〈P ′| e2(nb+αn)Q |P 〉 = 〈0∗| e2(nb+αn+P ′+P )Q |0∗〉 = 1, (90)
gdzie wprowadzili±my denicje stanów asymptotycznych (84). Podobnie jak przy wyprowadza-niu wzoru na n-punktow¡ funkcj¦ korelacji (25), nakªadamy warunek na p¦dy:
nb+ αn + P ′ + P = 0.
Zbieramy obliczone wyrazy do ostatecznej formy mianownika:
〈P ′|Vαn(1) |P 〉 =
∮ n∏i=1
dξi∏j
ξ−b(Q+2P )j
∏i<j
(ξi − ξj)−2b2∏i
(ξi − 1)−2bαn =: 〈1〉(n)Sel .
Takie wyra»enie nazywamy caªk¡ Selberga [17] i ogólnie oznaczamy j¡ symbolem 〈O〉(n)Sel dla
czªonu podcaªkowego O 6= 1.
45
4.2 Licznik wzoru
4.2.1 Przygotowanie licznika
Po prostszej kalkulacji mianownika skorzystamy z tych wyników i przyst¡pimy do obliczeniapostaci licznika. U»ywamy oznacze« z (86):
µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅ =
= Ωλ(P )Ωµ(P ′)
∮ ∏i
dξn 〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)ef>(1)
(∏i
Vb(ξi)
)Vαn(1)J
(1/g)λ (x) |P 〉 .
Kontynuujemy obliczanie korelatora 〈P ′| ... |P 〉 przeksztaªcaj¡c podkre±lenie zgodnie z obliczeni-ami mianownika:
〈P ′| J (1/g)µ (y)ef−(1)ef+(1)
(∏i
Vb(ξi)
)Vαn(1)J
(1/g)λ (x) |P 〉 =
=∏j
ξ−b(Q+2P )j
∏i<j
(ξi − ξj)−2b2∏i
(ξi − 1)−2bαn×
× 〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)e<(αn;1)
(n∏i=1
e<(b;ξi)
)eq(nb+αn)
(n∏i=1
e>(b;ξi)
)e>(αn;1)ef>(1)J
(1/g)λ (x) |P 〉 ,
(91)
gdzie korzystamy z oznacze« operatora wierzchoªkowego (15). Dalej b¦dziemy si¦ zajmowa¢jedynie korelatorem 〈P ′| ... |P 〉.
4.2.2 Obliczenie licznika
Przyj¦li±my ogólne rozwini¦cia operatorowych wielomianów Jacka w bazie sum pot¦gowychjako:
J(1/g)λ (x) =
∑ρ,|ρ|=|λ|
Θλρ pρ(x),
J (1/g)µ (y) =
∑ρ,|ρ|=|µ|
Θµρ pρ(y),
pρ = pρ1 ...pρn .
Przepiszemy licznik dla tego rozwini¦cia wielomianów
〈P ′| J (1/g)µ (y) ef<(1)︸ ︷︷ ︸
T3
e<(αn;1)︸ ︷︷ ︸T4
(n∏i=1
e<(b;ξi)
)︸ ︷︷ ︸
T5
X
(n∏i=1
e>(b;ξi)
)︸ ︷︷ ︸
T2
e>(αn;1)ef>(1)︸ ︷︷ ︸T1
J(1/g)λ (x) |P 〉 ,
gdzie X = eq(nb+αn) to operator, który jest przeniesiony przez caªy rachunek jako niezmienny.Zarówno po stronie bra jak i ket ogóln¡ strategi¡ jest przekomutowanie przez operatorowywielomian Jacka. W klamrach s¡ zaznaczone numery kolejnych rachunków. Ogólny wzór dla
46
dowolnych operatorów oi, qi jest przedstawiony poni»ej:[oi,∏k
eAkqkk
]=∞∑l=1
eA1q11 ...eAl−1
ql−1l−1
[oi, e
Alqll
]eAl+1
ql+1l+1 ... ,[
oi, eAl
qll
]=All
[oi, ql]eAl
qll ,[
oi, e∑k>0 Ak
qkk
]=∞∑l=1
All
[oi, ql]e∑k>0 Ak
qkk , (92)
zakªadaj¡c, »e komutator [oi, ql] jest liczb¡.
Wyra»enie T1. Pomocniczo obliczymy korzystaj¡c z (92):[o1...on, exp
(∑k>0
Akqkk
)]=
n∑i=1
o1...oi−1
[oi, exp
(∑k>0
Akqkk
)]oi+1...on,
=n∑i=1
o1...oi−1
(∞∑l=1
All
[oi, ql]e∑k>0 Ak
qkk
)oi+1...on, (93)
Grupujemy eksponenty z u»yciem denicji (87):
eT1 := e>(αn;1)ef>(1) = exp
(2iαn
∑k>0
akk
)exp
(2iαn
∑k>0
bkk
)= exp
(2bαn
∑k>0
pk(y)
k
).
Obliczamy nast¦puj¡cy komutator:[eT1 , J
(1/g)λ (x)
]=∑ρ
Θλρ
[eT1 , pρ1(x)...pρn(x)
],[
eT1 , pρ1(x)...pρn(x)]
=
=n−1∑i=0
pρ1(x)...pρi(x)
(∞∑l=1
2bαnl
[pl(y), pρi+1(x)]eT1
)pρi+2
(x)...pρn(x),
gdzie powy»szy wynik dostali±my korzystaj¡c z (93) dla Ak = 2bαn i qi = pρi(x). Pozostajepoliczy¢ komutator:
[pl(y), pρi+1(x)] =
i2
b2[al + cl, a−ρi+1
− c−ρi+1] = − 1
b2
([al, a−ρi+1
]− [cl, c−ρi+1])
=
= − 1
b2
(l
2δl,ρi+1
− l
2δl,ρi+1
)= 0.
Dzi¦ki temu komutator znika: [eT1 , J
(1/g)λ (x)
]= 0. (94)
Wyra»enie T2. Rozpoczniemy od zdeniowania wyra»enia:
eT2 :=n∏i=1
e>(b;ξi) = exp
(∑k>0
akk
2bi(ξ−k1 + ...+ ξ−kn )
)=: exp
(∑k>0
Akakk
), Ak = 2bi
n∑i=1
ξ−ki ,
eT2 J(1/g)λ (x) |P 〉 =
∑ρ
ΘλρeT2 pρ1(x)...pρm(x) |P 〉 =
=∑ρ
Θλρ
([eT2 , pρ1(x)
]+ pρ1(x)eT2
)pρ2(x)...pρm(x) |P 〉 .
47
Komutator obliczymy poni»ej korzystaj¡c z (92) dla Ak = 2bi∑n
i=1 ξ−ki , qk = ak i oi = pρ1(x):
[eT2 , pρ1(x)
]=∞∑l=1
All
[al, pρ1(x)]eT2 , [al, pρ1(x)] =i
b[al, b−ρ1 − a−ρ1 ] = − il
2bδl,ρ1 ,
[eT2 , pρ1(x)
]=
n∑i=1
ξ−ρ1i eT2 =: fρ1eT2 .
Czyli wracaj¡c do peªnego wyra»enia dostajemy:
eT2 J(1/g)λ (x) |P 〉 =
∑ρ
Θλρ (fρ1 + pρ1(x)) eT2 pρ2(x)...pρm(x) |P 〉 =
=∑ρ
Θλρ (fρ1 + pρ1(x)) ... (fρm + pρm(x)) eT2 |P 〉 =
=∑ρ
Θλρ
m∏i=1
(fρi + pρi(x)) |P 〉 , fρi =n∑i=1
ξ−ρii . (95)
Wyra»enie T3. Kolejne wyra»enie znajduje si¦ po stronie bra:
eT3 := ef<(1) = exp
(2i(αn −Q)
∑k>0
b−k−k
)=: exp
(∑k>0
Akb−kk
), Ak = −2i(αn −Q),
〈P ′| J (1/g)µ (y)eT3 = 〈P ′|
∑η
Θµη pη1(y)...pηm(y)eT3 =
= 〈P ′|∑η
Θµη pη1(y)...pηm−1(y)
([pηm(y), eT3
]+ eT3 pηm(y)
).
Komutator obliczymy ze wzoru (92) dla Ak = −2i(αn −Q), qk = bk i oi = pηm(y):
[pηm(y), eT3
]=∞∑l=1
All
[pηm(y), b−l]eT3 , [pηm(y), b−l] =
i
b[bηm + aηm , b−l] =
il
2bδl,ηm ,
[pηm(y), eT3
]=αn −Q
beT3 =: geT3 .
Podobnie jak w wyra»eniu T2, dostajemy:
〈P ′| J (1/g)µ (y)eT3 =
∑η
Θµη pη1(y)...pηm−1(y)eT3(g + pηm(y)) =
= 〈P ′|∑η
Θµη
m∏i=1
(g + pηi(y)), g =αn −Q
b. (96)
Wyra»enie T4. W nast¦pnym wyra»eniu uwzgl¦dniamy obliczony wcze±niej (96):
eT4 := e<(αn;1) = exp
(2iαn
∑k>0
a−k−k
), Ak = −2iαn,
〈P ′|m∏i=1
(g + pηi(y))eT4 = 〈P ′|m−1∏i=1
(g + pηi(y))([(g + pηm(y)), eT4 ] + eT4(g + pηm(y))
).
48
Komutator z ogólnego wzoru (92) dla Ak = −2iαn, qk = ak i oi = pηm(y) wynosi:
[(g + pηm(y)), eT4 ] =∞∑l=1
All
[pηm(y), a−l]eT4 , [pηm(y), a−l] =
i
b[bηm + aηm , a−l] =
il
2bδl,ηm ,
[(g + pηm(y)), eT4 ] =αnbeT4 =: geT4 .
Skªadamy razem powy»sze wyra»enia:
〈P ′|m∏i=1
(g + pηi(y))eT4 = 〈P ′|m−1∏i=1
(g + pηi(y))eT4(g + g + pηm(y)) =
= 〈P ′|m∏i=1
(h+ pηi(y)), g + g = h =2αn −Q
b. (97)
Wyra»enie T5.
eT5 :=n∏i=1
e<(b;ξi) = exp
(2bi∑k>0
a−k−k
(ξk1 + ...+ ξkn
))=: exp
(∑k>0
Aka−kk
),
〈P ′|m∏i=1
(h+ pηi(y))eT5 =m−1∏i=1
(h+ pηi(y))([h+ pηm(y), eT5 ] + eT5(h+ pηm(y))
).
Komutator z (92) dla Ak = −2bi∑n
j=1 ξkj , oi = pηm(y) i qk = a−k wynosi:
[h+ pηm(y), eT5 ] =∞∑l=1
All
[pηm(y), a−l]eT5 , [pηm(y), a−l] =
il
2bδl, ηm,
[h+ pηm(y), eT5 ] =n∑j=1
ξηmj eT5 =: fηmeT5 .
Ostatni wyraz jest równy:
〈P ′|m∏i=1
(h+ pηi(y))eT5 = 〈P ′|m∏i=1
(fηi + h+ pηi(y)), fηi =n∑j=1
ξηij . (98)
Zªo»enie obliczonych wyra»e«. Przekomutowali±my wszystkie eksponenty, skªadamy wi¦cwyrazy (95) i (98) razem:
〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)e<(αn;1)
(n∏i=1
e<(b;ξi)
)X
(n∏i=1
e>(b;ξi)
)e>(αn;1)ef>(1)J
(1/g)λ (x) |P 〉 =
=∑ρ
Θλρ
∑η
Θµη 〈P ′|
m′∏j=1
(fηj + h+ pηj(y))Xm∏i=1
(fρi + pρi(x)) |P 〉 ,
fηj =n∑i=1
ξηji , fρi =
n∑j=1
ξ−ρij , h =2αn −Q
b.
Kontynuujemy dyskusj¦ korelatora:
〈P ′|m′∏j=1
(fηj + h+ pηj(y))m∏i=1
(fρi + pρi(x))X |P 〉 =m′∏j=1
(fηj + h)m∏i=1
fρi 〈P ′|X |P 〉 .
49
Powy»sza równo±¢ zachodzi poniewa» [pηk+1, pρl+1
] = 0. Wyraz 〈P ′|X |P 〉 = 1 zostaª obliczonyw (90). Gdy zsumujemy otrzymany korelator ze wspóªczynnikami Θ dostaniemy wyraz:
∑η
Θµη
m′∏j=1
(fηj + h)∑ρ
Θλρ
m∏i=1
fρi =: J (1/g)µ [pk + h](ξ) J
(1/g)λ [p−k](ξ). (99)
Po wykonaniu caªego rachunku w powy»szym wzorze znajduj¡ si¦ zwykªe wielomiany JackaJλ. Poni»ej zbieramy wyrazy (91) i (99) skªadaj¡ce si¦ na licznik:
µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅ = Ωλ(P )Ωµ(P ′)
∮ ∏i
dξn∏j>i
(ξi − ξj)−2b2∏j
(ξj − 1)−2bαn∏j
ξ−b(Q+2P )j ×
× J (1/g)µ [pk + h](ξ) J
(1/g)λ [p−k](ξ),
gdzie
J (1/g)µ [pk + h](ξ) :=
∑η
Θµη
m′∏j=1
(fηj + h), J(1/g)λ [p−k](ξ) :=
∑ρ
Θλρ
m∏i=1
fρi ,
fηj =n∑x=1
ξηjx , fρi =n∑y=1
ξ−ρiy , h =2αn −Q
b.
Dowiedli±my, »e element macierzowy (89) jest równy:
µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉
= Ωλ(P )Ωµ(P ′)
⟨J
(1/g)µ [pk + ρ]J
(1/g)λ [p−k]
⟩(n)
Sel
〈1〉(n)Sel
.
4.3 Dalsze elementy dowodu hipotezy AGT
Przedstawiony dowód na posta¢ elementu macierzowego jest jednym z wa»niejszych etapówrachunku sªu»¡cego do zdeniowania bazy |P 〉~λ. W kolejnym kroku nale»aªoby obliczy¢ rozsz-erzon¡ caªk¦ Selberga i udowodni¢, »e
µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉
= Zbif (αn|P ′, (µ, ∅);P, (λ, ∅)).
Warto zaznaczy¢ przy tym, »e odpowiednio±¢ bazy wyra»onej przez wielomiany Jacka nie byªado tej pory ewidentna. Przy przej±ciu do ogólnego |P 〉~λ korzystamy z charakterystycznej wªas-no±ci przedyskutowanej w rozdziale 3.7.3 - dla pewnych warto±ci p¦du Pmn wektor zerowy jestreprezentowany przez wielomian Jacka. Dzi¦ki temu wielomiany Jacka jako baza s¡ wyró»nione.Ta dyskusja wykracza jednak poza zakres pracy.
5 Supersymetryczny model CS
Supersymetryczny model Calogero-Sutherlanda [18, 19] jest rozszerzeniem klasycznego modeluopisanego szczegóªowo w rozdziale 3. Zwykle w rozszerzeniu supersymetrycznym postuluje si¦dodatkow¡ symetri¦ pól w taki sposób, »e dotychczas rozª¡czne sektory fermionowe i bozonowezaczynaj¡ si¦ przenika¢.
50
5.1 Supersymetria w modelu CS
Wprowadzamy zwykªe zmienne bozonowe[qj,
1
i
∂
∂qk
]= iδjk,
1
i
∂
∂qk= pk,
oraz dodatkowe zmienne fermionowe
θj, θ†k = δjk.
Za pomoc¡ tych zmiennych deniujemy supersymetryczny hamiltonian jako:
H =1
2Q,Q†,
gdzie
Q =∑i
θ†iAi, Q† =∑i
θiA†i ,
Q2 = 0, (Q†)2 = 0.
Je±li zdeniujemy stany bozonowe i fermionowe jako:
|b〉x = A†x |0〉 , |f〉x = θ†x |0〉 , Ai |0〉 = θi |0〉 = 0,
to dziaªanie operatorami Q na te stany b¦dzie nast¦puj¡ce:
Q |b〉x = |f〉x , Q |f〉x = 0,
Q† |f〉x = |b〉x , Q† |b〉x = 0.
Q (Q†) jest operatorem zmieniaj¡cym stany bozonowe w fermionowe (fermionowe w bozonowe),za± podany hamiltonian zlicza cz¡stki bozonowe i fermionowe. Warunki naªo»one na Q wyma-gaj¡ speªnienia nast¦puj¡cych równa«:
[Ai, Aj] = 0, [A†i , A†j] = 0.
Przy podanej denicji Q mo»emy rozwin¡¢ denicj¦ hamiltonianu jako:
H =1
2
∑i,j
θ†iAi, θjA†j =
1
2
∑i,j
(θ†i θjAiA
†j + θjθ
†iA†jAi
)=
1
2
∑i,j
(θ†i θj[Ai, A
†j] + θ†i , θjA
†jAi
),
H =1
2
(∑i
A†iAi +∑i,j
θ†i θj[Ai, A†j]
). (100)
Wstawiamy konkretne denicje Ai:
Ai = pi − iΦi, A†i = pi + iΦi,
Φi = ∂iW,
gdzie W (q) to prepotencjaª - pewna funkcja zmiennych qi. Obliczymy czªony skªadowe hamil-tonianu:
A†iAi = (pi + iΦi)(pi − iΦi) = p2i + iΦipi − ipiΦi − iΦipi + Φ2
i =
= p2i − ∂2
iW + (∂iW )2,
[Ai, A†j] = [pi − iΦi, pj + iΦj] = −i[Φi, pj] + i[pi,Φj] =
= −iΦipj:::::::
=0
+ ipjΦi + iΦipj:::::
=0
+ ipiΦj + Φjpi − iΦjpi:::::::::::::
=0
=
= 2∂i∂jW.
51
Wstawiaj¡c powy»sze wyra»enia do hamiltonianu (100) dostajemy:
H =1
2
∑i
(p2i − ∂2
iW + (∂iW )2)
+∑i,j
θ†i θj∂i∂jW =
=1
2
∑i
(p2i − ∂2
iW + (∂iW )2)
+∑i,j
(δij − θjθ†i )∂i∂jW =
=1
2
∑i
p2i +
1
2
∑i
(∂iW )2
︸ ︷︷ ︸A0
+1
2
∑i
∂2iW︸ ︷︷ ︸
A1
−∑i,j
θiθ†j∂i∂jW︸ ︷︷ ︸A2
. (101)
Prepotencjaª przyjmiemy w postaci:
W =∑k<l
w(qk − ql).
Wyznaczamy pochodne z wprowadzonego prepotencjaªu:
∂jW =∑k<l
∂jw(qk − ql) =∑k<l
∂w(qk − ql)∂(qk − ql)
(∂qk∂qj− ∂ql∂qj
)=∑k<l
w(qkl)′(δkj − δlj),
∂i∂jW = ∂i∑k<l
w(qkl)′(δkj − δlj) =
∑k<l
w(qkl)′′(δki − δli)(δkj − δlj),
gdzie oznaczyli±my qkl = qk − ql. Wstawiamy powy»sze pochodne do wyrazów Ai w hamiltoni-anie:
A2 =∑i,j
∑k<l
θiθ†jw(qkl)
′′(δki − δli)(δkj − δlj) =∑k<l
w(qkl)′′(θkθ
†k − θlθ
†k − θkθ
†l + θlθ
†l ) =
=∑k<l
w(qkl)′′(θk − θl)(θ†k − θ
†l ), (102)
A1 =1
2
∑i
∂2iW =
1
2
∑i
∑k<l
w(qkl)′′(δki − δli)2 =
1
2
∑i
∑k<l
w(qkl)′′(δ2
ki − 2δkiδli + δ2li) =
=∑k<l
w(qkl)′′ −
∑k<l
w(qkl)′′δkl
::::::::::::::=0
=∑k<l
w(qkl)′′. (103)
Do obliczenia wyrazu A0 poczynimy zaªo»enia dotycz¡ce funkcji w. Przepiszmy w innej formiewyraz ∂jW :
∂jW =∑k<l
w′(qkl)(δkj − δlj) =∑l,j<l
w′(qjl)−∑k,k<j
w′(qkj).
Zakªadamy, »e w′ jest funkcj¡ nieparzyst¡ w′(qab) = −w′(qba). Dzi¦ki temu dostajemy wyraz:
∂jW =∑l,l 6=j
w′(qjl),
który wstawiamy do czªonu A0:
A0 =1
2
∑j
∑k′,k′ 6=j
∑k,k 6=j
w′(qjk)w′(qjk′) =
1
2
∑j
∑k,k 6=j
w′(qjk)2
︸ ︷︷ ︸k=k′
+1
2
∑j
∑k′,k′ 6=jk′ 6=k
∑k,k 6=jk 6=k′
w′(qjk)w′(qjk′) =
=∑j
∑k,k>j
w′(qjk)2 +
1
2
∑j
∑k′,k′ 6=jk′ 6=k
∑k,k 6=jk 6=k′
w′(qjk)w′(qjk′). (104)
52
Wstawiamy do hamiltonianu (101) wyrazy (102) (103) i (104):
H =1
2
∑i
p2i +
∑k<l
(w′(qkl)
2 + w′′(qkl)(1− θklθ†kl))
+1
2
∑j
∑k′,k′ 6=jk′ 6=k
∑k,k 6=jk 6=k′
w′(qjk)w′(qjk′)
::::::::::::::::::::::::::::::::::
.
Aby uzyska¢ zgodno±¢ z modelem CS wprowadzamy konkretn¡ posta¢ w′ tak, aby móc rozwikªa¢
::::::::::::::podkre±lenie:
w′(qjk) =β
2cot
(qj − qk
2
).
Przy takim podstawieniu wyraz:::::::::::::podkre±lony zostaª ju» obliczony w (47) i wynosi:
::::=β2
8
∑j,k′,kj 6=k 6=k′
cot
(qj − qk
2
)cot
(qj − qk′
2
)= −β
2N(N − 1)(N − 2)
24.
Wstawiamy postulowan¡ posta¢ w′ do pozostaªych wyrazów:
=∑k<l
(β2
4cot2
(qkl2
)− β
4
1
sin2(qkl2
)(1− θklθ†kl)
)=
=∑k<l
1
sin2(qkl2
) (β2
4
(1− sin2
(qkl2
))− β
4(1− θklθ†kl)
)=
= −β2
8N(N − 1) +
1
4
∑k<l
β(β − 1 + θklθ†kl)
sin2(qkl2
) .
Zestawiamy razem obliczone wyrazy aby uzyska¢ ostateczn¡ posta¢ hamiltonianu:
H =1
2
∑i
p2i +
1
4
∑k<l
β(β − 1 + θklθ†kl)
sin2(qkl2
) −β2
8N(N − 1)− β2N(N − 1)(N − 2)
24︸ ︷︷ ︸−β
2N(N2−1)24
. (105)
Warto±¢ energii zerowej β2N(N2−1)24
zgadza si¦ z warto±ci¡ dla modelu CS (49) gdy zauwa»ymy,»e ten hamiltonian jest przeskalowany czynnikiem 1/2 (porównaj z (41)).
5.2 Przej±cie do zmiennych wymiernych
Supersymetryczny model CS nie ró»ni si¦ znacz¡co od klasycznego hamiltonianu (41). Poni»sz¡przeskalowan¡ funkcj¦ Hamiltona HsCS = 2(H + ε0) uzyskali±my z (105):
HsCS =N∑j=1
(1
i
∂
∂qj
)2
+1
2
N∑j=1,i<j
β(β − 1 + (θi − θj)(∂θi − ∂θj))sin2(
qi−qj2
).
Poni»szy czªon b¦d¡cy cz¦±ci¡ hamiltonianu jest operatorem zamiany zmiennych fermionowych:
Kij = 1− (θi − θj)(∂θi − ∂θj),Kijf(θi, θj, θ
†i , θ†j) = f(θj, θi, θ
†j , θ†i )Kij.
53
Inaczej ni» w modelu CS, mamy dwa stany pró»ni:
Ψ0(x) = ∆β, Ψ0(x) = ∆−βθ1...θN .
Analogicznie jak w (54), zdeniujemy hamiltonian Hs = ∆−βHsCS∆β − ε0 dziaªaj¡cy jedyniena stany wzbudzone. Bazuj¡c na wcze±niejszych obliczeniach mo»emy od razu przej±¢ do zmi-ennych xj = eiqj . Mamy jeden dodatkowy czªon poniewa» mo»emy rozªo»y¢ wyraz:
β(β −Kij) = β(β − 1) + β(1−Kij),
czyli zachodzi
HsCS = HCS +Hsup,
Hsup =β
2
N∑j=1,i<j
(1−Kij)sin2(
qi−qj2
).
Mo»emy wykorzysta¢ (55) do bezpo±redniego wypisania
∆−βHsup∆β = −β
2
N∑j=1,i<j
4(1−Kij)xixj(xi − xj)2
.
Zbieramy razem czªony nowego hamiltonianu jako:
Hs = H− 2βN∑
j=1,i<j
(1−Kij)xixj(xi − xj)2
,
Hs = β∑i<j
xi + xjxi − xj
(Di −Dj) +∑i
D2i − 2β
N∑j=1,i<j
(1−Kij)xixj(xi − xj)2
. (106)
5.3 Hamiltonian w j¦zyku symetrycznych funkcji
W peªnej analogii do klasycznego modelu CS (rozdziaª 3.5), wprowadzamy symetryczne funkcje:
pn =∑i
xni , n > 0, qn−1 =∑i
θixn−1i , n > 0,
dzi¦ki którym przejdziemy z Hs do postaci b¦d¡cej supersymetrycznym rozszerzeniem (68).Uzyskany w ten sposób hamiltonian b¦dzie sum¡ (68) i dodatkowych czªonów. W pierwszym
54
kroku policzymy pochodne w nowych zmiennych:
∂
∂xj=∑n>0
(∂pn∂xj
∂
∂pn+∂qn−1
∂xj
∂
∂qn−1
)=∑n>0
nxn−1j
∂
∂pn:::::::::::::::
+∑n>0
(n− 1)θjxn−2j
∂
∂qn−1
,
∂
∂θj=∑n>0
∂qn−1
∂θj
∂
∂qn−1
=∑n>0
xn−1j
∂
∂qn−1
,
∂2
∂x2j
=∑n>0
∂
∂xj
(∂pn∂xj
∂
∂pn+∂qn−1
∂xj
∂
∂qn−1
)=
=∑n>0
∂2pn∂x2
j
∂
∂pn+∑n>0
∂pn∂xj
∂
∂xj
∂
∂pn+∑n>0
∂2qn−1
∂x2j
∂
∂qn−1
+∑n>0
∂qn−1
∂xj
∂
∂xj
∂
∂qn−1
=
=∑n>0
∂2pn∂x2
j
∂
∂pn::::::::::::::
+∑m,n>0
∂pn∂xj
(∂pm∂xj
∂
∂pm
∂
∂pn:::::::::::::::::::::
+∂qm−1
∂xj
∂
∂qm−1
∂
∂pn
)+
+∑n>0
∂2qn−1
∂x2j
∂
∂qn−1
+∑n,m>0
∂qn−1
∂xj
(∂pm∂xj
∂
∂pm
∂
∂qn−1
+∂qm−1
∂xj
∂
∂qm−1
∂
∂qn−1
)=
=:::::
+∑n>0
(n− 1)(n− 2)xn−3j θj
∂
∂qn−1
+∑n,m>0
(n− 1)(m− 1)xn−2j xm−2
j θ2j
∂
∂qm−1
∂
∂qn−1︸ ︷︷ ︸0
+
+ 2∑n,m>0
nxn−1j (m− 1)θjx
m−2j
∂
∂qm−1
∂
∂pn,
gdzie::::::::wyrazy
:::::::::::::::podkre±lone oznaczaj¡ poznan¡ ju» cz¦±¢ obliczon¡ w rozdziale 3.5. Poni»ej
zapisano jawnie hamiltonian (106):
Hs = β∑i<j
xi + xjxi − xj
(xi
∂
∂xi− xj
∂
∂xj
)− 2β
N∑j=1,i<j
(θi − θj)(∂θi − ∂θj)xixj(xi − xj)2
+
+∑i
(xi
∂
∂xi+ x2
i
∂2
∂x2i
).
Wstawiamy podane pochodne do Hs:
Hs =∑n,m
(nmpn+m
∂
∂pn
∂
∂pm+ β(n+m)pnpm
∂
∂pn+m
)+∑n
(n+ β(N − n))npn∂
∂pn+ ∆Hs.
55
Poni»ej obliczamy tylko dodatkowe czªony supersymetryczne:
∆Hs =
β∑i<j
xi + xjxi − xj
(∑n
(n− 1)xn−1i θi
∂
∂qn−1
−∑n
(n− 1)xn−1j θj
∂
∂qn−1
)+
− 2β∑i<j
θi − θj(xi − xj)2
xixj
(∑n
xn−1i −
∑n
xn−1j
)∂
∂qn−1
+
+∑j
∑n
(n− 1)xn−1j θj
∂
∂qn−1
+∑j
∑n
(n− 1)(n− 2)xn−1j θj
∂
∂qn−1
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
+
+ 2∑j,n,m
nxn−1j (m− 1)θjx
mj
∂
∂qm−1
∂
∂pn:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
.
::::::Drugi
::::::::wyraz jest równy:∑
n
(n− 1)qn−1∂
∂qn−1
+∑n
(n− 1)(n− 2)qn−1∂
∂qn−1
+ 2∑n,m
n(m− 1)qn+m−1∂
∂qm−1
∂
∂pn=
=∑n
(n− 1)2qn−1∂
∂qn−1
+ 2∑n,m
n(m− 1)qn+m−1∂
∂qm−1
∂
∂pn.
Pierwszy wyraz wynosi:
β∑i<j,n
xi + xjxi − xj
(n− 1)(xn−1i θi − xn−1
j θj) ∂
∂qn−1
− 2β∑i<j,n
θi − θj(xi − xj)2
xixj(xn−1i − xn−1
j
) ∂
∂qn−1
=
= β∑i<j,n
[xi + xjxi − xj
(n− 1)(xn−1i θi − xn−1
j θj)− 2
θi − θj(xi − xj)2
xixj(xn−1i − xn−1
j
)] ∂
∂qn−1
.
Przeksztaªcimy wyra»enie w nawiasie∑
i<j[ ]:
∑i<j
[xi + xjxi − xj
(n− 1)(xn−1i θi − xn−1
j θj)− 2
θi − θj(xi − xj)
xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j
]=
=N∑i=1
N∑j=i+1
xi + xjxi − xj
(n− 1)xn−1i θi −
N∑j=1
j−1∑i=1
xi + xjxi − xj
(n− 1)xn−1j θj
::::::::::::::::::::::::::::::::
+
− 2N∑i=1
N∑j=i+1
θi(xi − xj)
xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j + 2
N∑j=1
j−1∑i=1
θj(xi − xj)
xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j .
Zamieniamy indeksy w podkre±leniach:
::::= (i↔ j) =
N∑i=1
i−1∑j=1
xj + xixj − xi
(n− 1)xn−1i θi = −
N∑i=1
i−1∑j=1
xj + xixi − xj
(n− 1)xn−1i θi,
= (i↔ j) =N∑i=1
i−1∑j=1
θi(xj − xi)
xixj
n−2∑k=0
xkjxn−k−2i = −
N∑i=1
i−1∑j=1
θi(xi − xj)
xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j .
56
Wstawiamy z powrotem do nawiasu:
∑i<j
[ ] =∑i 6=j
xi + xjxi − xj
(n− 1)xn−1i θi − 2
∑i 6=j
θi(xi − xj)
xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j =
=∑i 6=j
θi1
xi − xj
[(xi + xj)(n− 1)xn−1
i − 2xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j
].
Rozwijamy wyraz w nawiasie kwadratowym [ ]:
(xi + xj)(n− 1)xn−1i − 2xixj
n−2∑k=0
xki xn−k−2j =
= xi
[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 1)xn−2
i xj − 2n−2∑k=0
xki xn−k−1j
]=
= xi
[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 2)xn−2
i xj − 2n−3∑k=0
xki xn−k−1j
]=
= xi
[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 2)xn−3
i xj(xi − xj) + 2(n− 3)xn−3i x2
j − 2n−4∑k=0
xki xn−k−1j
]=
= xi
[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(xi − xj)
n−2∑l=1
(n− l − 1)xn−l−2i xlj
].
Wracamy do pierwszego wyrazu:
β∑n
∑i 6=j
θixixi − xj
[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(xi − xj)
n−2∑l=1
(n− l − 1)xn−l−2i xlj
]∂
∂qn−1
=
= β∑n
∑i 6=j
θixi
[xn−2i (n− 1) + 2
n−2∑l=1
(n− l − 1)xn−l−2i xlj
]∂
∂qn−1
=
= β∑n
(n− 1)(N − 1)qn−1∂
∂qn−1
+
+ 2β∑n
(∑i,j
θi
n−2∑l=1
(n− l − 1)xn−l−1i xlj −
∑i
θi
n−2∑l=1
(n− l − 1)xn−1i
)∂
∂qn−1
=
= β∑n
(n− 1)(N − 1)qn−1∂
∂qn−1
+ 2β∑n
n−2∑l=1
(n− l − 1)qn−l−1pl∂
∂qn−1
+
− 2β∑n
n−2∑l=1
(n− l − 1)︸ ︷︷ ︸(n−1)(n−2)/2
qn−1∂
∂qn−1
=
= β∑n
(n− 1)(N − 1− n+ 2)qn−1∂
∂qn−1
+ 2β∑n>0
n−2∑l=1
(n− l − 1)qn−l−1pl∂
∂qn−1
.
57
Skªadamy razem wszystkie znalezione czªony:
∆Hs =∑n
(n− 1)2qn−1∂
∂qn−1::::::::::::::::::::::::
+∑n,m
(n− 1)(m− 1)qn+m−2∂
∂qm−1
∂
∂qn−1
+
+ 2∑n,m
n(m− 1)qn+m−1∂
∂qm−1
∂
∂pn+ β
∑n
(n− 1)(N + 1− n)qn−1∂
∂qn−1::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
+
+ 2β∑n>0
n−2∑l=1
(n− l − 1)qn−l−1pl∂
∂qn−1
.
Kontynuujemy przeksztaªcanie wyrazu:
2β∑n>0
n−2∑l=1
(n− l − 1)qn−l−1pl∂
∂qn−1
= 2β∑n>0
∑l>0
θ(n− 2− l)(n− l − 1)qn−l−1pl∂
∂qn−1
=
= 2β∑n
∑l
∑k
θ(n− 2− l)θ(n− 1)θ(l − 1)δn−l−1,kkqkpl∂
∂ql+k=
= 2β∑l
∑k
θ(k + l)θ(l − 1)θ(k − 1)kqkpl∂
∂ql+k= 2β
∑l>0
∑k>0
kqkpl∂
∂ql+k.
Nast¦pnie zbijamy::::::::wyrazy:∑
n
(n− 1)2qn−1∂
∂qn−1
+ β∑n
(n− 1)(N + 1− n)qn−1∂
∂qn−1
=
=∑n
(n− 1)(n− 1 + β(N + 1− n))qn−1∂
∂qn−1
=∑n
(n− 1) [(n− 1)(1− β) + βN ] qn−1∂
∂qn−1
.
Ostatecznie mamy dodatkow¡ cz¦±¢ hamiltonianu:
∆Hs = 2∑n,m
n(m− 1)qn+m−1∂
∂qm−1
∂
∂pn+
+ 2β∑l>0
∑k>0
kqkpl∂
∂ql+k+∑n
(n− 1) [(n− 1)(1− β) + βN ] qn−1∂
∂qn−1
.
Poni»ej wypisali±my caªy hamiltonian po przeksztaªceniu:
Hs =∑
n>0,m>0
(nmpn+m
∂
∂pn
∂
∂pm+ β(n+m)pnpm
∂
∂pn+m
)+∑n>0
(n+ β(N − n))npn∂
∂pn+
+ 2∑
n>0,m>0
n(m− 1)qn+m−1∂
∂qm−1
∂
∂pn+ 2β
∑l>0
∑k>0
kqkpl∂
∂ql+k+
+∑n>0
(n− 1)(n− 1 + β(N + 1− n))qn−1∂
∂qn−1
.
Przesuwamy indeks przy niektórych czªonach:
Hs =∑
n>0,m>0
(nmpn+m
∂
∂pn
∂
∂pm+ β(n+m)pnpm
∂
∂pn+m
)+∑n>0
(n+ β(N − n))npn∂
∂pn+
+ 2∑
n>0,m>0
nmqn+m∂
∂qm
∂
∂pn+ 2β
∑l>0
∑k>0
kqkpl∂
∂ql+k+∑n>0
n(n+ β(N − n))qn∂
∂qn. (107)
58
Wprowadzamy oznaczenia ∂n, ∂n i przeksztaªcamy niektóre wyra»enia:
∂n =n
β
∂
∂pn, ∂x =
1
β
∂
∂qx,
∑n>0,m>0
nmpn+m∂
∂pn
∂
∂pm=∑n>0
n−1∑m=1
m(n−m)pn∂
∂pm
∂
∂pn−m= β2
∑n>0
pn
n−1∑m=1
∂m∂n−m,
β∑
n>0,m>0
(n+m)pnpm∂
∂pn+m
= β2∑n>0
pn∑m>0
pm∂n+m,
∑n>0
(n+ β(N − n))npn∂
∂pn= β
∑n>0
(n+ β(N − n))pn∂n =
= β∑n>0
(β − 1 + βN)pn∂n − β∑n>0
(n+ 1)(β − 1)pn∂n,
2∑
n>0,m>0
nmqn+m∂
∂qm
∂
∂pn= 2β2
∑n>0,m>0
mqn+m∂m∂n,
2β∑l>0
∑k>0
kqkpl∂
∂ql+k= 2β2
∑l>0
∑k>0
kqkpl∂l+k,
∑n>0
n(n+ β(N − n))qn∂
∂qn= β
∑n>0
(β − 1 + βN)nqn∂n − β∑n>0
(n+ 1)(β − 1)nqn∂n.
Dostajemy wyra»enie:
Hs = β2∑n>0
pn
n−1∑m=1
∂m∂n−m + β2∑n>0
pn∑m>0
pm∂n+m + β∑n>0
(β − 1 + βN)pn∂n
::::::::::::::::::::::::::
+
−β∑n>0
(n+ 1)(β − 1)pn∂n + 2β2∑
n>0,m>0
mqn+m∂m∂n + 2β2∑
l>0,k>0
plkqk∂l+k+
+ β∑n>0
(β − 1 + βN)nqn∂n
:::::::::::::::::::::::::::
− β∑n>0
(n+ 1)(β − 1)nqn∂n.
Grupujemy wyrazy podkre±lone:
Hs = β∑n>0
pn
(βn−1∑m=1
∂m∂n−m + β∑m>0
pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n
)+
+ 2β2∑
n>0,m>0
mqn+m∂m∂n + 2β2∑
l>0,k>0
plkqk∂l+k − β∑k>0
qk(k + 1)(β − 1)k∂k+
+ (β − 1 + βN)β∑n>0
(pn∂n + nqn∂n
). (108)
Podane wyra»enie to rozszerzenie wprowadzonego w rozdziale 3.6.1 hamiltonianu. Jest to forma,której celem jest pokazanie ukrytej algebry Virasoro w modelu Calogero-Sutherlanda. Wydajesi¦ naturalnym, »e w supersymetrycznym przypadku powinna istnie¢ podobna relacja z algebr¡Neveu-Schwarza-Ramonda.
5.4 Supersymetryczne wielomany Jacka
Funkcjami wªasnymi hamiltonianu (108) s¡ supersymetryczne wielomiany Jacka JmΛ (x, θ) (nazy-
wane pó¹niej sJackami). Analogicznie do zwykªych wielomianów wprowadzonych w rozdziale
59
3.4, supersymetryczne odpowiedniki s¡ scharakteryzowane superpartycj¡ Λ = (Λa,Λs) [18].Wielomian sJacka ma dodatkowy parametr m mówi¡cy o liczbie fermionów.Λa jest ±ci±le malej¡cym diagramem o m rz¦dach (tak»e pustych), Λs to standardowy diagramYounga. Przykªadowa superpartycja jest przedstawiona na rysunku 8. Supersymetryczne wielo-
m=3 Λa
Λs
Rysunek 8: Przykªadowa superpartycja dla supersymetrycznego wielomianu JackaJ 3
(2,1,0;6,5,3,3,1).
miany s¡ funkcjami bozonowych zmiennych x i fermionowych θ. Warto±¢ wªasna hamiltonianudla supersymetrycznego wielomianu jest równa
ελ =∑j
(λ2j + λjβ(N + 1− 2j)), (109)
gdzie λ jest diagramem stworzonym poprzez poª¡czenie dwóch cz¦±ci superpartycji Λa i Λs
tak, aby wyj±ciowa partycja byªa diagramem Younga. Zgodnie z t¡ denicj¡, supersymetriawprowadza dodatkow¡ degeneracj¦ stanów.Korzystaj¡c z podanych w [18] przykªadowych wielomianów sJacka sprawdzili±my, »e s¡ tofunkcje wªasne dla hamiltonianu (108) z warto±ciami wªasnymi odpowiadaj¡cymi (109).
5.4.1 Przej±cie do przestrzeni F sαEtapem po±rednim przy wykazaniu relacji pomi¦dzy modelem CS i algebr¡ Virasoro byªo prze-j±cie pomi¦dzy przestrzeniami dyskutowane w rozdziale 3.7.1. Chcemy wykona¢ ten krok dlaprzypadku supersymetrycznego. Musimy uzyska¢ Hs takie, »e
Hs 〈α|Cβ′,γ |f〉 = 〈α|Cβ′,γHs |f〉 ,
dla ka»dego stanu |f〉. Operator Cβ′,γ nazywamy operatorem przej±cia. Ustanowimy w tymmomencie poª¡czenie mi¦dzy modelami w postaci:
Hsf(x)↔ Hs |f〉 .
Operator przej±cia powinien speªnia¢ nast¦puj¡ce warunki (p > 0):
β′pp 〈α|Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γa−p,p
β′∂
∂pp〈α|Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γap,
γqp−1 〈α| Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2, (110)
1
γ
∂
∂qp−1
〈α|Cβ′,γ = 〈α| Cβ′,γΨp−1/2, (111)
60
gdzie wyrazy Cβ′,γ zostan¡ wyja±nione w dalszej dyskusji. Sprawdzimy, »e powy»sze warunkispeªnia nast¦puj¡ca posta¢ operatora Cβ′,γ:
Cβ′,γ = exp
(β′∑n>0
1
npncn
)exp
(γ∑n>0
qn−1Ψn−1/2
).
Dwa pierwsze warunki dla wielomianów pn zostaªy ju» policzone w rozdziale 3.7.1, pozostaje je-dynie skorzysta¢ z tych wyników do udowodnienia warunków fermionowych na qn. Na pocz¡tkuprzekonamy si¦, »e mo»emy dokona¢ nast¦puj¡cego rozwini¦cia:
exp
(γ∑n>0
qn−1Ψn−1/2
)=∏n>0
exp(γqn−1Ψn−1/2
). (112)
Skorzystamy ze wzoru Bakera-Hausdora:
exp
(γ∑n>0
qn−1Ψn−1/2
)= e
∑n>0 An = eA1e
∑n>1 Ane−
12
∑n>1[A1,An] = ... .
Dalej wyka»emy, »e dla i 6= j, i, j > 0 operatory Ai komutuj¡ ze sob¡:
[Ai, Aj] = γ2[qi−1Ψi−1/2, qj−1Ψj−1/2] = γ2([qi−1Ψi−1/2, qj−1]Ψj−1/2 + qj−1[qi−1Ψi−1/2,Ψj−1/2]
)=
= γ2
[qi−1 Ψi−1/2, qj−1︸ ︷︷ ︸0
−qi−1, qj−1︸ ︷︷ ︸∼δi,−j
Ψi−1/2]Ψj−1/2+
+qj−1[qi−1 Ψi−1/2,Ψj−1/2︸ ︷︷ ︸δi,−j
+ qi−1,Ψj−1/2︸ ︷︷ ︸0
Ψi−1/2]
= 0.
Udowodnili±my relacj¦ (112).Poni»ej udowodnimy relacj¦ (110) speªnian¡ przez operator przej±cia Cβ′,γ:
〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2 = 〈α| exp
(β′∑n>0
1
npncn
)[∏n>0
exp(γqn−1Ψn−1/2
),Ψ−p+1/2
],[∏
n>0
exp(γqn−1Ψn−1/2
),Ψ−p+1/2
]=
[∏n>0
An, B
]=∑n=1
A1A2...An [An, B]An+1... ,
[An, B] = [γqn−1Ψn−1/2,Ψ−p+1/2] = γqn−1Ψn−1/2,Ψ−p+1/2 = γqn−1δn,p.
Po podstawieniu powy»szych wzorów dostajemy:
〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2 = 〈α| exp
(β′∑n>0
1
npncn
)∑n=1
A1A2...An (γqn−1δn,p)An+1... =
= γqp−1 〈α| exp
(β′∑n>0
1
npncn
) ∏n>0,n6=p
exp(γqn−1Ψn−1/2
)=: γqp−1 〈α| Cβ′,γ.
Zgodnie z powy»szym, uzyskali±my zwi¡zek (110):
γqp−1 〈α| Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2, Cβ′,γ = exp
(β′∑n>0
1
npncn
)exp
γ∑n>0n6=p
qn−1Ψn−1/2
.
61
Inaczej ni» w przypadku bozonowym, tutaj operator przej±cia Cβ′,γ ulega zmianie po zadziaªaniuna kreacj¦ fermionow¡. Nie jest to niepo»¡dane poniewa» w nowym Cβ′,γ nie ma jedynie tegowzbudzenia, które ju» zostaªo wykorzystane. Z powodu fermionowej natury wzbudze« taki stani tak byªby równy zero.Zwi¡zek (111) policzymy startuj¡c z drugiej strony:
∂
∂qp−1
〈α|Cβ′,γ = 〈α| exp
(β′∑n>0
1
npncn
)∂
∂qp−1
exp
(γ∑n>0
qn−1Ψn−1/2
)=
= 〈α| exp
(β′∑n>0
1
npncn
)eγq0Ψ1/2eγq1Ψ3/2 ...
∂
∂qp−1
eγqp−1Ψp−1/2 ... ,
∂
∂qp−1
eγqp−1Ψp−1/2 =∂
∂qp−1
(1 + γqp−1Ψp−1/2
)= γΨp−1/2.
Udowodnili±my relacj¦ (111) dla operatora przej±cia:
1
γ
∂
∂qp−1
〈α|Cβ′,γ = γ 〈α| Cβ′,γΨp−1/2 , Cβ′,γ = exp
(β′∑n>0
1
npncn
)exp
γ∑n>0n6=p
qn−1Ψn−1/2
.
Mo»emy te relacje podsumowa¢ jako mnemotechniczne przyporz¡dkowania:
pp ↔2
β′a−p, ∂p ↔
β′
βap,
qp−1 ↔1
γψ−p+1/2,
∂
∂qp−1
↔ γψp−1/2.
W powy»szej dyskusji staªe γ i β′ s¡ dowolne.
5.5 Podstawowe informacje o SCFT
B¦dziemy rozpatrywa¢ supersymetryczne rozszerzenie CFT w formalizmie gazu Coulomba [20].Dla supersymetrycznej konforemnej teorii pola N = 1 mamy, oprócz pola bozonowego zden-iowanego standardowo w (12), dodatkowe pole fermionowe ψ w sektorze Neveu-Schwarza:
ψ(z) =∑p∈Z
ψp− 12z−p, (113)
którego mody speªniaj¡ relacj¦ antykomutacji
ψx, ψy =1
2δx+y,0. (114)
Rozpatrujemy sektor Neveu-Schwarza co oznacza, »e pole fermionowe jest funkcj¡ jednoznaczn¡.Podobn¡ dyskusj¦ mo»na przeprowadzi¢ dla sektora Ramonda w którym pole fermionowe jestrówne:
ψ(z) =∑p∈Z+ 1
2
ψp− 12z−p.
5.5.1 Algebra Neveu-Schwarza-Ramonda
Poniewa» rozszerzyli±my symetri¦ modelu, znane z CFT pole T (z) uzyskuje dodatkowy czªonoraz pojawia si¦ nowe antykomutuj¡ce poleG(z). Poni»ej opisujemy pokrótce wªasno±ci wspom-nianych pól.
62
Pole T (z). Dla takiego zespoªu pól modykujemy T (z)
T (z) = − : ∂φ∂φ : +Q∂2φ− : ψ∂ψ : .
W stosunku do (26), dodatkowy czªon obliczono poni»ej:
− : ψ∂ψ :=∑p,r
r : ψp− 12ψr− 1
2: z−pz−r−1 =
=∑q,p,r
r : ψp− 12ψr− 1
2: z−q−2δq+2,p+r+1 =
=∑q
∑r
r : ψq−r+ 12ψr− 1
2:︸ ︷︷ ︸
δLq
z−q−2.
W tym supersymetrycznym rozszerzeniu wzór na Ln jest równy:
Ln =∑k
: akan−k : +iQ(n+ 1)an +∑r
r : ψn−r+ 12ψr− 1
2:=
=∑k
: akan−k : +iQ(n+ 1)an +∑
r∈Z+1/2
(r +
1
2
): ψn−rψr : .
Cz¦sto wyst¦puje te» druga forma supersymetrycznego wyrazu δLn:∑r∈Z+1/2
(r +
1
2
): ψn−rψr :=
1
2
∑r∈Z+1/2
(n− 2r) : ψrψn−r :,
której krótki dowód przedstawiamy poni»ej:∑r∈Z+1/2
(r +
1
2
): ψn−rψr :=
1
2
∑r∈Z+1/2
(r +
1
2
): ψn−rψr : +
1
2
∑p,r∈Z+1/2
δn−r,p
(r +
1
2
): ψn−rψr :=
=1
2
∑r∈Z+1/2
(−r − 1
2
): ψrψn−r : +
1
2
∑p∈Z+1/2
(n− p+
1
2
): ψpψn−p : .
Pole G(z). Drugie zachowane pole przy transformacjach supersymetrycznych deniujemyjako:
G(z) = i : ∂φψ : −iQ∂ψ.
W j¦zyku modów mamy:
G(z) =∑p,n∈Z
: anψp− 12
: z−n−p−1 + iQ∑p∈Z
pψp− 12z−p−1 =
=∑r,n,p
anψp− 12δ−n−p−1,−r−2z
−n−p−1 + iQ∑r,p
pψp− 12δ−p−1,−r−2z
−p−1 =
=∑r,p∈Z
ar−p+1ψp− 12z−r−2 + iQ
∑r∈Z
(r + 1)ψr+ 12z−r−2 =
=∑r∈Z
(∑p∈Z
ar−p+1ψp− 12
+ iQ(r + 1)ψr+ 12
)z−r−2.
63
Dla indeksów p′ = p− 12i r′ = r + 1
2zachodzi:
G(z) =∑
r′∈Z+ 12
∑p′∈Z+ 1
2
ar′−p′ψp′ + iQ
(r′ +
1
2
)ψr′
z−r′− 3
2 ,
gdzie wzór na Gk to:
Gk =∑r∈Z+ 1
2
ak−rψr + iQ
(k +
1
2
)ψk, k ∈ Z +
1
2.
Sprawdzenie algebry Neveu-Schwarza-Ramonda. Algebra Neveu-Schwarza-Ramondastworzona przez pola T (z) i G(z) speªnia nast¦puj¡ce relacje (anty)komutacji:
[Ln, Lm] = (n−m)Ln+m +c
12n(n2 − 1)δn+m,0, (115)
[Ln, Gk] =(n
2− k)Gn+k, (116)
Gk, Gl = 2Lk+l +c
2
(k2 − 1
4
)δk+l,0. (117)
Dodatkowy czªon supersymetryczny [δLn, δLm] dla pierwszego komutatora (115) wynosi:
[δLn, δLm] =∑r,s
rs[: ψn−r+ 12ψr− 1
2:, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:] =
=∑r>0
r∑s
s[ψn−r+ 12ψr− 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:]−
∑r≤0
r∑s
s[ψr− 12ψn−r+ 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:] =
=∑r>0
r∑s
s(ψn−r+ 1
2[ψr− 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:] + [ψn−r+ 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:]ψr− 1
2
)+
−∑r≤0
r∑s
s(ψr− 1
2[ψn−r+ 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:] + [ψr− 1
2, : ψm−s+ 1
2ψs− 1
2:]ψn−r+ 1
2
).
Jak wida¢ z powy»szego rachunku, musimy policzy¢ wyraz typu:∑s
s[ψx, : ψm−s+ 12ψs− 1
2:] =
∑s>0
s[ψx, ψm−s+ 12ψs− 1
2]−∑s≤0
s[ψx, ψs− 12ψm−s+ 1
2] =
=∑s>0
s(ψx, ψm−s+ 1
2ψs− 1
2− ψm−s+ 1
2ψx, ψs− 1
2)
+
−∑s≤0
s(ψx, ψs− 1
2ψm−s+ 1
2− ψs− 1
2ψx, ψm−s+ 1
2)
=
=1
2
∑s(δx+m−s+ 1
2ψs− 1
2− δx+s− 1
2ψm−s+ 1
2
)=
1
2
(x+m+
1
2−(
1
2− x))
ψx+m =
=
(x+
1
2m
)ψx+m. (118)
64
Podstawiamy do powy»szego aby uzyska¢ wynik:
[δLn, δLm] =1
2
∑r>0
(r(2r +m− 1)ψn−r+ 1
2ψr+m− 1
2+ r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 1
2ψr− 1
2
)+
− 1
2
∑r≤0
(r(2n− 2r + 1 +m)ψr− 1
2ψm+n−r+ 1
2+ r(2r +m− 1)ψr+m− 1
2ψn−r+ 1
2
)=
=1
2
∞∑r=m+1
(r −m)(2r −m− 1)ψm+n−r+ 12ψr− 1
2+
1
2
∞∑r=1
r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 12ψr− 1
2+
− 1
2
0∑r=−∞
r(2n− 2r + 1 +m)ψr− 12ψm+n−r+ 1
2− 1
2
m∑r=−∞
(r −m)(2r −m− 1)ψr− 12ψm+n−r+ 1
2.
Kontynuujmy rachunek korzystaj¡c z równo±ci (r−m)(2r−2m+m−1)+r(2n−2r+1+m) =2nr − 2mr +m2 +m oraz zakªadaj¡c m > 0:
1
2
∞∑r=m+1
(2nr − 2mr +m2 +m
)ψm+n−r+ 1
2ψr− 1
2+
1
2
m∑r=1
r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 12ψr− 1
2+
− 1
2
0∑r=−∞
(2nr − 2mr +m2 +m)ψr− 12ψm+n−r+ 1
2−1
2
m∑r=1
(r −m)(2r −m− 1)ψr− 12ψm+n−r+ 1
2,
Wyraz podkre±lony przeksztaªcamy korzystaj¡c z (114):
= −1
2
m∑r=1
(r −m)(2r −m− 1)
(1
2δm+n,0 − ψm+n−r+ 1
2ψr− 1
2
)=
= − 1
24m(m2 − 1)δm+n,0 +
1
2
m∑r=1
(r −m)(2r −m− 1)ψm+n−r+ 12ψr− 1
2.
Wstawiamy i dostajemy ostateczn¡ form¦ czªonu supersymetrycznego:
[δLn, δLm] =1
2
∑r
(2nr − 2mr +m2 +m) : ψm+n−r+ 12ψr− 1
2: − 1
24m(m2 − 1)δm+n,0,
poniewa»∑
r : ψm+n−r+ 12ψr− 1
2:= 0, mamy speªnion¡ relacj¦:
[δLn, δLm] = (n−m)δLn+m +δc
12n(n2 − 1)δm+n,0, δc =
1
2.
W supersymetrycznym przypadku ªadunek wynosi c = 32
+ 6Q2.Drugi komutator (116) udowodnimy poni»ej:
[Ln, Gk] =∑
l,r∈Z+ 12
[: alan−l :, ak−r]ψr + iQ(n+ 1)∑r∈Z+ 1
2
[an, ak−r]ψr+
+∑
r,r′∈Z+ 12
(r +
1
2
)[: ψn−rψr :, ψr′ ]ak−r′ + iQ
(k +
1
2
) ∑r∈Z+ 1
2
(r +
1
2
)[: ψn−rψr :, ψk].
65
Korzystamy z (27) i wyprowadzonego pó¹niej (118) aby obliczy¢ kolejne czªony w powy»szymwzorze:∑
l,r∈Z+ 12
[: alan−l :, ak−r]ψr =∑r∈Z+ 1
2
(−Bk−r,n)ψr = −∑r∈Z+ 1
2
(k − r)ak+n−rψr,
iQ(n+ 1)∑r∈Z+ 1
2
[an, ak−r]ψr =iQ
2(n+ 1)nψk+n,
∑r,r′∈Z+ 1
2
(r +
1
2
)[: ψn−rψr :, ψr′ ]ak−r′ =
∑r′∈Z+ 1
2
∑s∈Z
s[: ψn−s+ 12ψs− 1
2:, ψr′ ]ak−r′ = (118) =
= −∑
r′∈Z+ 12
(r′ +
n
2
)ak−r′ψr′+n = −
∑r,r′∈Z+ 1
2
(r′ +
n
2
)ak−r′ψr′+nδr′+n,r =
= −∑r∈Z+ 1
2
(r − n
2
)ak+n−rψr,
iQ
(k +
1
2
) ∑r∈Z+ 1
2
(r +
1
2
)[: ψn−rψr :, ψk] = −iQ
(k +
1
2
)(k +
n
2
)ψk+n.
Zestawiamy obliczone wyrazy aby dosta¢ ostateczn¡ form¦:
[Ln, Gk] =∑r∈Z+ 1
2
(−k + r − r +
n
2
)ak+n−rψr + iQ
(n
2(n+ 1)−
(k +
1
2
)(k +
n
2
))ψk+n,
n
2(n+ 1)−
(k +
1
2
)(k +
n
2
)=(n
2− k)(
k + n+1
2
),
[Ln, Gk] =(n
2− k) ∑
r∈Z+ 12
ak+n−rψr + iQ
(k + n+
1
2
)ψk+n
=(n
2− k)Gn+k.
W taki sam sposób mo»na udowodni¢ ostatni¡ relacj¦ (117) algebry Neveu-Schwarza-Ramonda.
5.5.2 Operator wierzchoªkowy
W teorii supersymetrycznej oprócz standardowego operatora wierzchoªkowego Vα deniujemysupersymetryczny operator V S
α (z) jako:
V Sα (z) =: ψ(z)Vα(z) := ψ(z) : e2αφ(z) : .
Poni»ej obliczymy jego wag¦ konforemn¡ korzystaj¡c z (32):
[Ln, VSα ] = [Ln, ψVα] = [Ln, ψ]Vα + ψ [Ln, Vα]︸ ︷︷ ︸
obl. w (32)
.
Poniewa» cz¦±¢ bozonowa byªa ju» obliczona, teraz zajmiemy si¦ fermionow¡,
[Ln, ψ] =∑s
∑r
r[: ψn−r+ 12ψr− 1
2:, ψs− 1
2]z−s = −1
2
∑s
(2s+ n− 1)ψs+n− 12z−s =
=∑s
(1
2− s− 1
2n
)ψs+n− 1
2z−s.
66
Wykorzystali±my przy tym obliczenia (118). Poniewa» d¡»ymy do postaci wyra»enia (16),obliczymy z ∂
∂zψ:
z∂
∂zψ = −
∑s
sψs− 12z−s.
Zamieniamy s+ n = q i kontynuujemy:
[Ln, ψ] = zn∑q
(1
2+
1
2n− q
)ψq− 1
2z−q = zn
(1
2(n+ 1) + z
∂
∂z
)ψ.
Waga konforemna pola ψ wynosi hψ = 12. Wracaj¡c do pola V S
α , mamy:
[Ln, VSα ] = zn
((hφ + hψ)(n+ 1) + z
∂
∂z
)V Sα .
Waga konforemna wynosi
hS = hφ + hψ =1
2+ α(Q− α). (119)
Operator ekranuj¡cy. Jak w przypadku CFT, konstruujemy operator ekranuj¡cy poprzezwarunek naªo»ony na wag¦ konforemn¡:
hS = 1 =1
2+ αS±(Q− αS±).
Rozwi¡zaniami tego równania s¡:
αS± =Q
2±√Q2
4− 1
2,
αS+ + αS− = Q,
αS+αS− =
1
2.
Operatory ekranuj¡ce s¡ zdeniowane jako:
QS± =
∮dzV S
αS±=
∮dzψ(z)VαS±(z).
Warunek na ªadunek αrs. Podobnie jak w CFT, mo»emy zastanowi¢ si¦ nad warunkiemnaªo»onym na ªadunki poprzez operatory ekranuj¡ce. Dostajemy nast¦puj¡cy wzór:
αSr,s =1
2(1 + r)α+
1
2(1 + s)α−, r + s = 2k, k ∈ Z,
z dodatkowym warunkiem na parzysto±¢ r + s. Jest to konsekwencja tego, »e dla nieparzystejliczby operatorów fermionowych korelator jest równy 0. Mo»emy wyznaczy¢ dozwolone wagi z(119):
hr,s =1
2+Q2
4− 1
4(rα+ + sα−)2.
Analogiczny do (78) warunek to
h∓r,±s = hr,s +rs
2, r + s = 2Z.
Wyra»enie hamiltonianu poprzez Ln i Gn Powy»sza teoria supersymetryczna zostaªawprowadzona w celu wyra»enia hamiltonianu (108) w j¦zyku operatorów Ln i Gn. Z powoduniekompletno±ci tego kroku rachunkowego nie przedstawiamy go w tej pracy i traktujemypowy»szy rozdziaª jako wst¦p do dalszego badania relacji AGT.
67
Literatura
[1] A.B. Zamolodchikov A.A. Belavin, A.M. Polyakov. Innite conformal symmetry in two-dimensional Quantum Field Theory. Nucl.Phys. B, 241:333380, 1984.
[2] F. Calogero. Ground State of a One-Dimensional N-Body System. J.Math.Phys., 10:21972200, 1969.
[3] B. Sutherland. Quantum ManyBody Problem in One Dimension: Ground State.J.Math.Phys., 12:246250, 1971.
[4] Y. Tachikawa L.F. Alday, D. Gaiotto. Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories. Lett.Math.Phys., 91:167197, 2010, [arXiv:0906.3219].
[5] A.V. Litvinov G.M. Tarnopolskiy V.A. Alba, V.A. Fateev. On combinatorial expansionof the conformal blocks arising from AGT conjecture. Lett.Math.Phys., 98:3364, 2011,[arXiv:1012.1312].
[6] D. Sénéchal P. Di Francesco, P. Mathieu. Conformal Field Theory. Springer, 1997.
[7] S. Theisen D. Lüst. Lectures on String Theory. Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag,1989.
[8] E. Plauschinn R. Blumenhagen. Introduction to Conformal Field Theory With Applicationsto String Theory. Springer, 2009.
[9] S. Odake J. Shiraishi H. Awata, Y. Matsuo. A Note on Calogero-Sutherland Model, Wn
Singular Vectors and Generalized Matrix Models. Soryushiron Kenkyu, 91:A69A75, 1995,[arXiv:hep-th/9503028].
[10] S. Odake H. Awata, Y. Matsuo. Excited States of Calogero-Sutherland Model and SingularVectors of the WN Algebra. Nucl.Phys. B, 449:347374, 1995, [arXiv:hep-th/9503043].
[11] R.P. Stanley. Some Combinatorial Properties of Jack Symmetric Functions. Advances inMathematics, 77:76115, 1989.
[12] L. Roberts. A unied view of determinantal expansions for Jack Polynomials. ElectronicJournal of Combinatorics, 8, 2001.
[13] I.G. Macdonald. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford University Press,1995.
[14] Y. Koga K. Iohara. Representation theory of Neveu-Schwarz and Ramond algebras II:Fock modules. Ann.Inst.Fourier, 53:17551818, 2003.
[15] S. Matsuda M. Kato. Construction of Singular Vertex Operators as degenerate primaryconformal elds. Phys.Lett. B, 172:216222, 1986.
[16] Y. Yamada K. Mimachi. Singular Vectors of the Virasoro Algebra in Terms of Jack Sym-metric Polynomials. Commun.Math.Phys., 174:447455, 1995.
[17] S.O. Warnaar P.J. Forrester. The importance of the Selberg integral. Bull. Amer. Math.Soc. (N.S.), 45:489534, 2008, [arXiv:0710.3981].
[18] P. Mathieu P. Desrosiers, L. Lapointe. Supersymmetric Calogero-Moser-Sutherland modelsand Jack superpolynomials. Nucl.Phys. B, 606:547582, 2001, [arXiv:hep-th/0103178].
68
[19] P. Mathieu P. Desrosiers, L. Lapointe. Superconformal eld theory and Jack superpoly-nomials. 2012, arXiv:1205.0784.
[20] M.G. Teitelman M.A. Bershadsky, V.G. Knizhnik. Superconformal symmetry in two di-mensions. Phys.Lett. B, 151:3136, 1984, [arXiv:0906.3219].
69
top related